第一章 集合

第一章 集合

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1.1 集合与集合的表示方法

1.2 集合之间的关系与运算

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2008年北京要举办第29届奥运会,奥运会组委会的工作非常繁重.例如,安排各代表团的吃、住、行就是一件大事,要考虑各地区、各民族的生活、饮食习惯,分别为他们准备餐厅;要统计各代表团中,运动员(分男、女)、工作人员(分男、女)的人数和名单,分别为他们准备住处;要统计参加各大项比赛的运动员、教练员和裁判员各有多少,分别为他们准备交通工具……

为了组织、安排好各项比赛,组委会还要统计参加每个小项目的运动员人数和名单.有的项目,例如羽毛球比赛,除了男、女单打,还有男双、女双、混双等,有的运动员要参加其中的两项甚至三项比赛,怎样收集、整理这些资料呢?……

我们设想建立这样一个模型,把参加奥运会的每个代表团都看成是一个集合,代表团中的每个成员就是这个集合的一个元素.这样,解决以上实际问题,就变成了研究这些集合之间的关系与性质的问题.当然,建立这样的数学模型也并非易事,它是一件复杂的工作,但运用本章学习的集合观点,借助计算机的帮忙,这些工作都能较容易地完成.

集合不仅在实际中有着广泛的应用,还是研究数学的一个重要工具,一种重要的数学语言.

我们知道,数学之所以能成为科学的基础和应用广泛的学科,一个重要的原因是数学使用了抽象的符号语言,通常我们把它称作数学语言.事实上,从小学到初中,你已经掌握了许多数学语言,并已经学着用数学语言表达自己的思想和解决一些问题.

学习数学的过程,也是逐渐理解数学语言的过程.例如,写出等式

a+b=b+a,

你会理解这个等式表达的含义:交换两个加数的顺序,它们的和不变.这就比用自然语言叙述要简明准确得多.

数学中的符号语言是我们人类的创造.通过学习,大家一定能够理解并掌握它.进入高中阶段,你将会学到更多更精确的数学语言.在这开篇的第一章,我们就要学习数学中最基础、最通用的数学语言:集合语言.用集合语言能精确地表达各类对象之间的关系,更简洁、更准确地表达相关的数学内容。

学好这一章可以为整个高中阶段的数学学习打下较好的基础,并将提高你运用数学语言,理解、表达和处理问题的能力.

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1.1 集合与集合的表示方法

1.1.1 集合的概念

集合一词与我们日常熟悉的整体、一类、一群等词语的意义相近.例如,数学书的全体、地球上人的全体、所有文具的全体等都可分别看成一些对象的集合.

我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号,都可以看作对象.一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或).构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).

例如,把小于10的自然数

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中的各个数都看作对象,所有这些对象汇集在一起构成一个整体,我们就说由这些对象构成了一个集合.

康托尔(Cantor. G. F. L. P.,1845—1918).德国数学家,集合论的创始者.

节头图是中国体育代表团步入亚特兰大奥林匹克体育场的照片,代表团的309名成员构成一个集合.下面我们再举几个集合的例子:

(1)方程x^(2)=1的解的全体构成一个集合,其中每一个解都是这个集合的元素;

(2)平行四边形的全体构成一个集合,其中每一个平行四边形都是这个集合的一个元素;

(3)平面上与一个定点O的距离等于定长r的点的全体构成一个集合,这个集合是以O为圆心、半径长为r的圆.圆上的每个点都是这个集合的元素.

上面是我们用自然语言来描述集合的几个例子,下面我们将逐步引入集合语言来描述集合.

集合通常用英语大写字母A,B,C,…来表示,它们的元素通常用英语小写字母a,b,c,…来表示.

如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作

a∈A,

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读作a属于A.

如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作

aA,读作a不属于A.

我们考虑方程x+1=x+2的解的全体构成的集合,显然这个集合不含有任何元素.

一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作.

关于集合概念,还要作如下说明:

(1)确定性:作为一个集合的元素,必须是确定的.这就是说,不能确定的对象就不能构成集合.也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.

(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的).这就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归人同一个集合时只能算作集合的一个元素.

集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:

含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集.

我们约定,用某些大写英语字母表示常用的一些数集:

非负整数全体构成的集合,叫做自然数集,记作N;

在自然数集内排除0的集合叫做正整数集,记作N+或N^(*);

整数全体构成的集合,叫做整数集,记作Z;

有理数全体构成的集合,叫做有理数集,记作Q;

实数全体构成的集合,叫做实数集,记作R.

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1.1.2 集合的表示方法

如何表示一个集合呢?

1.列举法

如果一个集合是有限集,元素又不太多,常常把集合的所有元素都列举出来,写在花括号{ }内表示这个集合.例如,由两个元素0,1构成的集合可表示为

{0,1}.

又如,24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成的集合可以表示为

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{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.

这种表示集合的方法叫做列举法.

有些集合的元素较多,元素的排列又呈现一定的规律,在不致于发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.

例如,不大于100的自然数的全体构成的集合,可表示为

{0, 1, 2, 3,…, 100}.

无限集有时也用上述的列举法表示.例如,自然数集N可表示为

{0, 1, 2, 3,…, n,…}.

由一个元素构成的集合,例如集合{a},要与它的元素a加以区别.a与{a}是完全不同的,a是集合{a}的一个元素,而{a}表示一个集合.例如,某个国家代表团只有一个人,这个人本身和这个人构成的代表团是完全不同的.

用列举法表示集合时,一般不必考虑元素的前后顺序.例如,集合{1,2}与{2,1}表示同一个集合.

2.描述法

一种更有效地描述集合的方法,是用集合中元素的特征性质来描述.

例如,正偶数构成的集合,它的每一个元素都具有性质

能被2整除,且大于0,

而这个集合外的其他元素都不具有这种性质.因此,我们可以用上述性质把正偶数集合表示为

{x∈R|x能被2整除,且大于0}或{x∈R|x=2n,n∈N+},

大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意一个元素,元素x从实数集合中取值,在竖线右边写出只有集合内的元素x才具有的性质.

一般地,如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.于是,集合A可以用它的特征性质p(x)描述为

{x∈I|p(x)},

它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.

例如,集合A={x∈R|x^(2)-1=0}的特征性质是

x^(2)-1=0.

在实数范围内,集合A的所有元素都满足方程x^(2)-1=0,满足方程x^(2)-1=0的所有元素也都在集合A内.因此,可用集合A来表示方程x^(2)-1=0的解集.

在求解方程时,通常用列举法表示方程的解集.例如方程x^(2)-1=0的解集,记为A={-1, 1}.

在不致发生误解时,x的取值集合可以省略不写.例如,在实数集R中取值,∈R常

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常省略不写.上述集合A可以写作

{x|x^(2)-1=0}.

在几何中,通常用大写字母表示点(元素),用小写字母表示点的集合,应注意区别.

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1.2 集合之间的关系与运算

1.2.1 集合之间的关系

1.子集

考察集合

A={1, 3}, B={1, 3, 5, 6};

C={x|x是长方形},D={x|x是平行四边形};

P={x|x是菱形},Q={x|x是正方形}.

容易看出,集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,集合C中的任意一个元素都是集合D的元素,而集合P中的元素不都是集合Q的元素.

一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作

AB或BA,

读作A包含于B,或B包含A.

如果集合P中存在着不是集合Q的元素,那么集合P不包含于Q,或Q不包含P.分别记作

PQ或QP.

依照上述定义,任意一个集合A都是它本身的子集,即AA.

我们规定:空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A,都有

A.

如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作

AB或BA,

读作A真包含于B,或B真包含A.

例如,

A={1, 2}, B={1, 2, 3, 4},

由观察可知,A是B的子集,但3∈B,3A,因此A是B的真子集,即AB.

符号∈与符号表达的含义相同吗?

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我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合(图1-1(1)).用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩(Venn)图.

1-1

如果集合A是集合B的真子集,那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(图1-1(2)).

根据子集、真子集的定义可以推知:

对于集合A,B,C,如果AB,BC,则AC;

对于集合A,B,C,如果AB,BC,则AC.

2.集合的相等

考察集合

A={x|(x+1)(x+2)=0}, B={-1,-2}.

可以看出,集合A和集合B的元素完全相同,只是表达形式不同.

一般地,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就说集合A等于集合B,记作

A=B.

由相等的定义,可得:

如果AB,又BA,则A=B;反之,如果A=B,则AB,且BA.

集合的相等与集合的特征性质有关系吗?

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3.集合关系与其特征性质之间的关系

已知Q={x|x是有理数},R={x|x是实数},容易判断Q是R的子集,即QR.

如果再考虑它们的特征性质之间的关系,也容易判断命题

如果x是有理数,则x是实数

是正确的命题.

这个命题,还可以表述为

x是有理数推出x是实数.

推出一词用符号表示,读作推出.于是上述命题可以表述为

x是有理数x是实数.

反过来,如果上述命题正确,那么有理数集Q也一定是实数集R的子集.

由此可见,我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系.或用集合特征性质之间的关系,判断集合之间的关系.

例如,

北京市居民构成的集合一定是中国居民构成的集合的子集.

由此,我们一定可以判断:

如果我是北京市的居民,则我是中国居民是正确的命题.

反过来,如果上述命题正确,则北京市居民的集合一定是中国居民集合的子集.

一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.如果AB,则

x∈Ax∈B.

于是x具有性质p(x)x具有性质q(x),即

p(x)q(x).

反之,如果p(x)q(x),则A一定是B的子集.

如果命题p(x)q(x)和命题q(x)p(x),都是正确的命题,这时我们常说,一个命题的条件和结论可以互相推出.互相推出可用符号表示.于是,上述两个正确的互逆命题可表示为

p(x)q(x).

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显然,如果p(x)q(x),则A=B;反之,如果A=B,则p(x)q(x).

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1.2.2 集合的运算

两个集合能进行运算吗?

过去我们只对数或式进行算术运算或代数运算,这里集合运算的含义是,由两个已知的集合,按照某种指定的法则,构造出一个新的集合.

1.交集

已知

A={1, 2, 3, 4, 5}, B={3, 4, 5, 6, 8},

由这两个集合的所有公共元素构成一个新的集合

{3, 4, 5}.

一般地,对于两个给定的集合A,B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫做A,B的交集,记作

A∩B,

读作A交B.例如,

{1, 2, 3, 4,5}∩{3, 4, 5, 6,8}={3, 4, 5}.

又如,直线l与⊙O相交于两点A,B(图1-2),用集合语言可表示为

l∩⊙O={A, B}.

图1-2

图1-3

两个集合A,B的交集可用图1-3中的阴影部分表示.

由交集的定义可知,对于任意两个集合A,B,都有

A∩B=B∩A;

A∩A=A;

A∩=∩A=

如果AB,则A∩B=A.

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2.并集

已知

A={1, 3, 5}, B={2, 3, 4, 6},

由这两个集合的所有元素构成一个新的集合

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{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

一般地,对于两个给定的集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做A与B的并集,记作

A∪B,

读作A并B.例如,

{1, 3, 5}∪{2, 3, 4, 6}={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

集合A与B的并集,可用图1-4(1)或(2)中的阴影表示.

在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次.

图1-4

由并集的定义可知,对于任意两个集合A,B,有

A∪B=B∪A;

A∪A=A;

A∪=∪A=A;

如果AB,则A∪B=B.

例5可直接应用并集的性质给出:因为ZQ,所以Q∪Z=Q.

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3.补集

在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.

例如,我们在研究数集时,常常把实数集R作为全集.如果我们讨论的数仅限为自然数,我们可取自然数集N为全集.

如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作

UA,读作A在U中的补集.

全集通常用矩形区域表示.全集与它的任意一个真子集之间的关系,可用维恩图表示,如图1-5.

图1-5

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由补集定义可知,对于任意集合A,有

A∪UA=U, A∩UA=UUA)=A.

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本章小结

Ⅰ 知识结构

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阅读与欣赏

聪明在于学习,天才由于积累——自学成才的华罗庚

华罗庚是国际著名的数学家,又是一位伟大的爱国主义者.1950年,他响应祖国的召唤,毅然从美国回到北京,投身于社会主义建设事业并作出了重大贡献.1979年他光荣加入了中国共产党.1985年6月12日在访日作学术报告的讲台上,不幸逝世.党和国家对他的一生作了高度的评价.

华罗庚1910年11月12日出生于江苏金坛一个贫苦家庭.1924年,他初中毕业因家境贫寒而辍学.为学点本事养家糊口,他考取了上海中华职业学校学习会计,又因交不起学费,只上了一年就离开了学校,在其父经营的小杂货铺里帮工当学徒.渴望学习的他,只能利用业余时间刻苦自学数学.1929年,他在金坛中学任庶务主任,并开始在上海《科学》杂志发表论文.1930年他19岁时写的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》一文,受到清华大学数学系主任熊庆来先生的赞赏,邀请他到清华大学边工作边进修.到清华大学后,他更加勤奋学习数学,四年中打下了坚实的数学基础,并自学了英文、法文和德文.同期,仅数论这一分支他就写了十几篇高水平的论文,成为一名优秀的青年数学家.这时他从管理员升为助教,继而晋升为讲师.1936~1938年他作为访问学者,到英国剑桥大学工作并深造.抗日战争爆发后回国.因成绩卓著,他于1938~1946年受聘为西南联合大学教授.当时,他生活条件极为艰苦,白天教学,晚上在柴油灯下孜孜不倦地从事研究工作.著名的《堆垒素数论》就是在这样的条件下写成的.1945年,他应苏联科学院的邀请赴苏旅行和讲学,受到热烈欢迎.1946年,他应美国普林斯顿高等研究院的邀请任研究员,在普林斯顿大学执教,后被伊利诺伊大学聘任为终身教授.1950年回国后,他担任我国科学界诸多重要职务.回顾他的一生,只有一张初中文凭,却成为蜚声中外的杰出数学家.靠什么呢?华罗庚从不迷信天才,他说:聪明在于学习,天才由于积累.他就靠刻苦自学、靠勤奋钻研,给人类留下了近300篇学术论文和多种学术专著,写了10多种科普读物.他在晚年已有很高的声望和地位,但仍手不释卷,顽强地读和写,他说:树老易空,人老易松,科学之道,戒之以空,戒之以松,我愿一辈子从实而终.发白才知智叟呆,埋头苦干向未来.勤能补拙是良训,一分辛苦一分才.这是他留给我们的多么宝贵的精神财富啊!

 第二章 函数

第二章 函数

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2.1 函数

2.2 一次函数和二次函数

2.3 函数的应用(I)

2.4 函数与方程

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在本章深入学习函数概念之前,首先让我们看看物理学家是如何用函数语言来刻画自由落体运动的.自由落体运动涉及距离和时间两个变量.在伽利略时代,物理学家们通过实验和数学推理后发现:初速度为0的自由落体运动,物体下落的距离(s)与所用的时间(t)的平方成正比.这个规律用数学式子可描述为

s=kt^(2),

其中k=1/2g,g=9.8 m/s^(2).

现在我们可以用计算机来模拟自由落体运动,观察物体下落的距离与时间的关系.右图是通过计算机模拟得到的一组数据.

从这组数据可以验证:物体下落的距离(s)与所用的时间(t)的平方的比值接近一个常数.

科学家们通常都是通过实验、观察,搜集并整理数据来发现变量之间的变化规律,并用含有变量的等式来描述这些量之间的变化规律.科学家们为了研究事物的变化规律,创造了函数语言.为了更确切地表达函数关系,数学家们又用集合语言来刻画函数,并用函数语言表达不同集合之间的关系.近代数学本质上可以说是变量数学.

函数语言与集合语言一样,都是数学中的通用语言.函数是描述变量之间依赖关系和集合之间关系的一个基本的数学模型,是研究客观世界变化规律和集合之间关系的一个最基本的数学工具.几乎所有的科学研究领域都使用函数语言,大到宇宙起源、天体的运动,小到原子、分子的运动,以及研究人口的增长,金融市场的变化,国民经济的发展,工程技术的创新等,都需要使用函数语言来描述.我们日常生活中碰到的各种各样的问题,也需要用变量的观点去思考.由此可见,我们学习函数的有关知识是多么的重要.

本章我们将进一步体会、理解函数概念,学习函数的基本性质,学习函数的表示方法.通过研究一次函数和二次函数的性质,学习研究函数性质的一些基本方法,理解函数与方程之间的联系,为下一章学习指数函数、对数函数、幂函数和进一步学习打下基础.

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2.1 函数

2.1.1 函数

1.变量与函数的概念

在初中,同学们已学习了变量与函数的概念.在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地就确定唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.

在数学发展的过程中,函数的含义也在不断地发展变化着.科学家当初引入函数概念就是用来描述变量之间的依赖关系的.例如,在引言中所讨论的自由落体运动,是用关系式

s=1/2gt^(2

来描述的(图2-1).这里时间t为自变量,距离s为因变量,时间t在某个范围内变化,距离s也相应地在某个范围内变化,距离s是时间t的函数.

用变量的观点来描述函数,可以形象生动地描述事物的变化规律,但有一定的局限性.下面我们举例对函数关系作进一步的分析,以便引入更为确切的语言来表达函数概念.

(1)在研究学生好奇心指标随年龄增长的变化规律时,通过某次实验得到的数据如图2-2所示.

图2-1

图2-2

在这个图象中,给定10~15岁的每一个年龄(以岁为单位),就对应一个好奇心指标.你能从这个图象中了解到哪些信息?

(2)农业科学家研究玉米的生长过程,把生长过程分为31个时间段,通过实验得到

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了各时间段与植株高度之间的相关数据,如图2-3所示.

图2-3

在玉米生长的31个时间段内,给定生长的某个时间段,就可从这张图中查到与这个时间段相应的玉米植株的高度.

(3)下表列出了我国从1998年到2002年,每年的国内生产总值.

年份 生产总值/亿元
1998 78345
1999 82067
2000 89442
2001 95933
2002 102398

给定1998—2002年中的任一年,都可从上表中查到当年的国内生产总值.

(4)电路中的电压U=220 V,电流I与电阻R之间的变化规律,用欧姆定律表示,即

I=220/R(R〉0).

这个公式表明,在电路中,电压(U)不变,电流(I)与电阻(R)的变化成反比例关系.只要测出电路中的电阻值,就可由上述公式计算出唯一的电流值.

在上述的每个例子中,都指出了自变量的变化范围、由自变量确定因变量的对应法则,以及由此确定的因变量的取值范围.这就是说,一个函数关系必须涉及两个数集(自变量和函数的取值集合)和一个对应法则.由此可见,函数关系实质上是表达两个数集的元素之间,按照某种法则确定的一种对应关系.这种对应关系反映了函数的本质.因此,我们可以用集合语言来更确切地刻画函数.

图2-4

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定义 设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作

y=f(x), x∈A.

其中x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.

如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作

y=f(a)或y|x=a.

所有函数值构成的集合

{y|y=f(x), x∈A}

叫做这个函数的值域.

函数y=f(x)也经常写作函数f或函数f(x).

因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,所以确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应法则.

根据以上定义,我们要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:

(1)定义域和对应法则是否给出;

(2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.

在函数关系式的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.例如,函数

y=

没有指出它的定义域,则它的定义域是x≥-3,并且x≠0的全体实数,即

{x∈R|x≥-3, x≠0}.

在实际问题中,函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.

函数的定义域和值域通常用区间表示,下面介绍区间的概念.

设a,b∈R,且a〈b.

满足a≤x≤b的全体实数x的集合,叫做闭区间,记作[a,b](图2-5(1));

满足a〈x〈b的全体实数x的集合,叫做开区间,记作(a,b)(图2-5(2));

满足a≤x〈b或a〈x≤b的全体实数x的集合,都叫做半开半闭区间,分别记作

[a,b)或(a,b](图2-5(3)(4));

分别满足x≥a,x〉a,x≤a,x〈a的全体实数的集合分别记作

[a,+∞),(a,+∞),(-∞,a],(一∞,a)(图2-5(5)(6)(7)(8)).

a与b叫做区间的端点,在数轴上表示区间时,属于这个区间端点的实数,用实心点表示,不属于这个区间端点的实数,用空心点表示.

f出自英语单词function(函数).

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实数集R,也可用区间(-∞,+∞)表示,符号+∞读作正无穷大,-∞读作负无穷大.

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2.映射与函数

在现实生活和科学研究中,不仅是数集之间存在着某种对应关系,很多集合之间也存在着某种对应关系.下面看几个例子:

为了研究两个集合的对应关系,我们引入映射的概念.

定义 设A,B是两个非家集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.这时,称y是x在映射f的作用下的,记作f(x).于是

y=f(x),

x称作y的原象.映射f也可记为:

f:A→B

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x→f(x)

其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所冇象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A).

由以上定义,我们可以看到,上面考察的三个例子都是一个集合到另一个集合的映射?

例4是5名同学构成的集合到5名同学的数学测试成绩构成的集合的映射.

例5是数轴上的点集到实数集R的映射.

例6是直角坐标平面内的点集到有序实数对(x,y)集合的映射?

如果映射f是集合A到集合B的映射,并且对于集合B中的任意一个元素,在集合A中都有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.容易看出,例5、例6都是一一映射,例4就不是一一映射.(为什么?)

在引入映射概念后,我们再来看两个变量之间的函数关系.

对定义域内每个自变量的值,根据确定的法则对应唯一的函数值,函数值也在一个数

集内变化.于是函数也就是数集到数集的映射.例如,

一次函数

y=kx+b (k≠O)

就是在对应法则:V= Ax+6 G乒0)的作用下,实数集R到实数集R的映射,映射的定义域是R,值域也是R.

二次函数

就是在对应法则y=x^(2)的作用下,实数集R到非负实数集的映射.映射的定义域是实数集R,值域是非负实数集.

由上述分析可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射.

函数是数学中的一个基础概念,随着它在数学中的广泛应用,它的含义也在不断地扩展.在初中,我们把函数理解为两个变量之间的依赖关系,前面我们用集合语言刻画函数,现在又可把它理解为数集到数集的映射.随着学习的深入,我们还会不断地加深对函数概念的理解.

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从上例我们可以看到:

从集合A到集合B的映射,允许多个元素对应一个元素,而不允许一个元素对应多个元素.

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3.用Scilab语言求函数值的方法(选学)

Scilab语言在书后附录中有简单的介绍.有计算机的同学可以自学.有条件的学校可进行适当的教学.

已知函数的表达式,用Scilab语言求函数值的步骤为:

(1)在函数的定义域内给变量x赋值(取值);

(2)给定函数表达式;

(3)计算函数值,并在屏幕上输出.

例如,已知函数y=x^(2)+3x-1,求f(3.1).

在Scilab工作界面的命令行输入(∥及后面的文字不需要输入):

——〉x=3.1; ∥给变量x赋值,按Enter键确认.

——〉y=x^2+3*x-1 ∥给定函数表达式,按Enter键确认并计算f(3.1).

y=

17.91 ∥输出显示函数值.

上面的计算步骤,实际上是对计算机发出的一串指令,让计算机去计算(每条指令都能给出唯一的结果).用Scilab语言计算函数值是十分简单的事.如果你要计算较为复杂的函数值或对自己计算的结果没有把握,不妨让Scilab帮你计算或验证.计算机之所以能按你输入的函数式和自变量的值计算出函数值,是因为软件工程师已为一些常用函数编写了算法程序.算法是什么,将在本书2.4.2节的《二分法》和数学3的《算法初步》一章中介绍.

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2.1.2 函数的表示方法

1.函数的表示方法

如何表示一个函数呢?我们已经看到,一个函数y=f(x)除直接用自然语言来表述外,常用的方法还有列表法、解析法和图象法三种.下面对这三种表示方法作一小结,并举例说明.

列表法

通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.

例如,新中国成立后共进行了五次人口普查,各次普查得到的人口数据表中人口数据来源于《2002年中国统计年鉴》,其中未包括香港、澳门特别行政区及台湾省数据.如下表所示.这张表清楚地表示了年份与当年普查总人口(单位:亿)的函数关系.从这张表,我们可从年份查出当年普查的人口总数.

年份 1953 1964 1982 1990 2000
总人口数/亿 5.9 6.9 10.1 11.3 12.7

从这张表中,我们能清楚地看出这个函数的定义域和值域:

定义域:{1953,1964,1982,1990,2000};

值域:{5.9,6.9,10.1,11.3,12.7}.

图象法

用图象表示函数关系,同学们在初中已很熟悉了,这里我们用集合语言对函数的图象概念进行较精确完整的描述.

我们知道,对于函数y=f(x)(x∈A)定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象,即

F={P(x, y)|y=f(x), x∈A}.

这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图象F上.

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这种用图形表示函数的方法叫做图象法,如图2-9.

从列表法和图象法可以看到,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表(图),由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.

图2-9

解析法

如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来,则这种表示函数的方法叫做解析法.(也称为公式法.)

例如,

y=3x+2,y=x^(2),y=,y=x-1/x+1,….

下面举例说明这三种表示方法的运用.

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应当指出,如果计算出更多的函数对应值,就可画出更多的点,从而使得作出的函数图象更准确,但工作量也将随着增大.如果你用计算机作图,即使作出成千上万个点,也并非难事.下一节将向大家介绍计算机的作图功能.

函数的图象能够帮助我们全面了解函数的性质.特别是我们可以应用计算机技术进行研究,根据公式和数据作出函数的图象,使得我们很容易通过函数的图象发现并研究函数的性质.

数形结合是我们研究函数的重要方法,画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能.同学们在学习中要养成画图的习惯,并会利用函数的图象来理解函数的性质.

例2中的函数通常称作取整函数.

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例3中的函数定义所用到的运算,通常叫做递归运算.这种定义函数的方法在计算机语言中经常使用.

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2.分段函数

下面我们通过具体实例,了解简单的分段函数及其简单应用.

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像例4这样的函数,在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.

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2.1.3 函数的单调性

考察函数

y=2x, y=-2x, y=x^(2)+1的图象(图2-15).

图2-15

我们可以看到,当自变量在实数集内由小变大时,函数y=2x的值也随着逐渐增大,函数y=-2x的值反而减小,而函数y=x^(2)+1,在区间(-∞,0]上,它的函数值逐渐减小,在区间[0,+∞)上又逐渐增大.为了刻画函数的这种增、减性质,我们引入增函数和减函数的概念.

在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),记

△x=x2-x1,△y=f(x2)-f(x1)=y2-y1.

△x表示自变量x的改变量,△y表示因变量y的改变量,其中△为希腊字母,读作delta.

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA.

如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量△x=x2-x1〉0,则

当△y=f(x2)-f(x1)〉0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图2-16(1);

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当△y=f(x2)-f(x1)〈0时,就称函数y=f(x)在区问M上是减函数,如图2-16(2).

2-16

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性.(区间M称为单调区间.)

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2.1.4 函数的奇偶性

考察函数

f(x)=1/4x^(3),g(x)=x^(2

在x和-x处的函数值:

f(x)=1/4x^(3),f(-x)=1/4(-x)^(3)=-1/4x^(3);

g(x)=x^(2),g(-x)=(-x)^(2)=x^(2).

可以发现,函数f(x)对两个互为相反数的自变量x和-x,它们的函数值也互为相反数,即

f(-x)=-f(x).

而函数g(x)在x处的函数值与在-x处的函数值相等,即

g(-x)=g(x).

由这两个例子,我们引出奇函数和偶函数的定义.

设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且

f(-x)=-f(x),

则这个函数叫做奇函数.

设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且

g(-x)=g(x),

则这个函数叫做偶函数.

考察奇函数y=f(x)的图象(图2-19),依奇函数的定义可知,

点P(x,f(x))与点P′(-x,-f(x))都在这个奇函数的图象上.直观上容易发现,点P绕原点O旋转180°后与点P′重合.这说明这两点关于坐标原点对称,所以它的图象关于坐标原点对称;反之亦然.于是我们得到:

如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.

图2-19

图2-20

再考察偶函数y=g(x)的图象(图2-20),依偶函数

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的定义可知,

点(x,g(x))与点(-x,g(-x))

都在这个偶函数的图象上,这两点关于y轴对称;反之,如果函数y=g(x)的图象关于y轴对称,则g(x)=g(-x),g(x)是偶函数.于是可以得到:

如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.

研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,得出函数在其中一部分上的性质和图象,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象.

在奇函数与偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说,一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域都一定关于坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件,即这个函数既不是奇函数也不是偶函数.

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2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)

打开计算机,你就会从屏幕上看到丰富多彩的计算机图形或动画,这些生动的视觉效果会向你传递各种各样的信息,使你增强对各种信息的记忆和思考.用图形表示的信息与其他的表示方式相比,生动、直观、并富有想象力.

屏幕上所以能够显示图形,是基于计算机图形技术.由于计算机技术的迅速发展和普及,计算机的图形技术已广泛地应用到工程制图、建筑设计、卫星发射、益智游戏、广告和天气预报等各个领域.现在适用于各行各业的画图软件也都相继开发出来.使用计算机处理图形要比手工和机械方法快速和精确得多.基于计算机图形的上述优点,在学习高中数学的过程中,大家应初步掌握用计算机作图的技能.

如何使用计算机图形技术作函数的图象呢?下面我们向大家作一简单的介绍.

我们把显示屏幕想象为一张纸.向计算机依次发出以下指令(这里先用语言叙述):

(1)给自变量x赋值;

(2)给出计算法则,求对应的y值;

(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;

(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;

(5)通过这些点集描出函数的图象.

例如,作函数y=x^(2)的图象.

打开Scilab4.1,使用plot2d()作图命令,依次输入以下指令,并按Enter键执行.

——〉x=-3:0.5:3;∥给x赋值,由-3每间隔0.5取一个值,一直取到3.输入分号

;,不显示结果.

——〉y=x2; ∥给出函数表达式,并计算y的值.

——〉[x;y] ∥列x,y对应值表.显示结果.

!-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3!

!9  6.25 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9!

——〉plot2d(x,y,style=[0],strf="045")

∥建立坐标系,描点.

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∥style为描点指令,其参数为[0].

∥确定点形状.st rf"045"使y轴居中.

——〉xgrid(6) ∥在坐标系中画网格,参数6表示画粉红色.

——〉plot2d(x, y, strf="045")

∥作更多的点画出图象.

函数的图象如图2-22所示.坐标轴刻度自动生成,每次生成的坐标轴的刻度可能不同.

使用打印机,还可以在纸上打印出上述函数的图象.

以上作图,只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.

同学们可以看到,这里用计算机作函数图象的步骤与我们用手工和工具作图的程序基本相同.用手工作图,函数图形上选择的点越多,图画得就越精确.但随着点的增多,工作量也会越来越大.当点转换为用数字(点的坐标)表示后,让计算机去计算、画图,100个点、1000个点或更多,都是很容易的事.

爱思考的同学可能会问,计算机是如何根据指令去计算和作图的呢?要了解其中的原理,还需要更多的数学和编写程序的知识.这里,你可把指令所做的工作,当成圆规、直尺等画图工具,至于圆规、直尺是如何制造出来的,随着学习的深入,大家就会逐渐明白其中的奥秘.

图2-22

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2.2 一次函数和二次函数

在初中,我们学过一次函数和二次函数,现在重温这两类函数,整理它们的性质与应用.从而进一步学习研究函数和利用函数解决实际问题的一般方法.

2.2.1 一次函数的性质与图象

函数

y=kx+b(k≠0)叫做一次函数.它的定义域为R,值域为R.

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,以后简写为直线y=kx+b,其中k叫做该直线的斜率,b叫做该直线在y轴上的截距.

一次函数又叫做线性函数.

一次函数具有如下一些主要性质:

(1)函数值的改变量△y=y2-y1与自变量的改变量△x=x2-x1的比值等于常数k.k的大小表示直线与x轴的倾斜程度.

事实上,在直线y=kx+b上任取两点P(x1,y1),Q(x2,y2)(图2-23),则

y1=kx1+b,

y2=kx2+b,

两式相减,得

y2-y1=k(x2-x1),

==k或△y=k△x(x2≠x1).

这就是说它的平均变化率为常数k,即对任意点x1,相应函数值的改变量与自变量的改变量成正比.

(2)当k〉0时,一次函数是增函数;当k〈0时,一次函数是减函数.

(3)当b=0时,一次函数变为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,它既不是奇函数,也不是偶函数.

图2-23

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(4)直线y=kx+b与x轴的交点为(-b/k,0),与y轴的交点为(0,b).

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2.2.2 二次函数的性质与图象

函数

y=ax^(2)+bx+c(a≠0)

叫做二次函数,它的定义域是R.

特别地,当b=c=0,则二次函数变为

y=ax^(2)(a≠0).

我们知道,它的图象是一条顶点为原点的抛物线(图2-24),a〉0时,抛物线开口向上,a〈0时,抛物线开口向下.这个函数为偶函数,y轴为它的图象的对称轴.

对任意一个特殊的二次函数y=ax^(2)(如y=x^(2)),当x的绝对值无限地逐渐变小时,函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小,其图象就从x轴的上方(或下方)无限逼近x轴.

在同一坐标系中,作出

y=-3x^(2),y=-2x^(2),y=-x^(2),y=-0.5x^(2),

y=0.5x^(2),y=x^(2),y=2x^(2),y=3x^(2)的图象(图2-24),可以看出,函数y=ax^(2)中的系数a对函数图象的影响.当a从-3逐渐变化到0时,抛物线开口向下并逐渐变大;当a=0时,y=0,抛物线变为x轴;当a由0(不包括0)变到+3时,抛物线开口向上并逐渐变小.

下面举例说明研究二次函数的一般方法.

2-24

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配方法是研究二次函数的主要方法.熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键.对一个具体的二次函数,通过配方就能知道这个二次函数的主要性质.

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2.2.3 待定系数法

在解应用问题时,我们常用一个字母,如x,y,z,…来表示未知数,然后根据问题的条件列方程求解.在解决某些问题中,有时要根据条件确定一个未知函数.

例如,已知一个正比例函数的图象通过点(-3,4),求这个函数的解析表达式.

为此,我们可设所求的正比例函数为

y=kx,

其中k待定.根据已知条件,将点(-3,4)代入可得

4=-3k,

从而解得k=-4/3.

因此,这个未知函数也就求出来了,即y=-4/3x.

如果已知函数是二次函数,则可设所求的函数为

y=ax^(2)+bx+c,

其中a,b,c待定.

一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确

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定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.

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2.3 函数的应用(Ⅰ)

现举例说明一次和二次函数模型的应用.

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这里是同学们第一次学习数学建模,问题虽然简单,但体现了数学建模的主要思路.顺此思路,同学们不妨取两点(0,8.2067),(2,9.5933)去求例4的函数关系式,进一步体会数学建模的思想.

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2.4 函数与方程

这一节,我们通过二次函数和简单的三次函数说明函数与方程的联系.

2.4.1 函数的零点

请你先想一个问题.

已知二次函数:y=x^(2)-x-6,试问x取哪些值时,y=0?

求使y=0的x值,也就是求二次方程

x^(2)-x-6=0的所有根.

解此方程得x1=-2,x2=3.

这就是说,当x=-2或x=3时,这个函数的函数值y=0.

画出这个函数的简图(图2-28).从图象上可以看出,它与x轴相交于两点

(-2,0),(3,0).

这两点把x轴分成3个区间:

(-∞,-2),(-2,3),(3,+∞).

当x∈(-2,3)时,y〈0;

当x∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,y〉0.

二次方程x^(2)-x-6=0的根-2,3常称作函数y=x^(2)-x-6的零点,在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(-2,0),(3,0).

图2-28

一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即

f(α)=0,

则α叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α,0)点.

这里只讨论零点为实数的情况,说到零点指的都是实零点.

我们知道,对于二次函数y=ax^(2)+bx+c:

当△=b^(2)-4ac〉0时,方程ax^(2)+bx+c=0有两个不相等的实数根,这时说二次函数

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y=ax^(2)+bx+c有两个零点;

当△=b^(2)-4ac=0时,方程ax^(2)+bx+c=0有两个相等的实数根(重根),这时说二次函数y=ax^(2)+bx+c有一个二重的零点或说有二阶零点;

当△=b^(2)-4ac〈0时,方程ax^(2)+bx+c=0没有实数根,这时二次函数y=a x^(2)+bx+c没有零点.

考虑函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步.例如,求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标,就能确定二次函数的一些主要性质,并能粗略地画出函数的简图.

另外,我们还能从二次函数的图象看到二次函数零点的性质:

(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时,函数值变号.如上例,函数

y=x^(2)-x-6的图象在零点-2的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-2时,函数值由正变为负,再通过第二个零点3时,函数值又由负变正.

(2)两个零点把x轴分为三个区间:

(-∞,-2),(-2,3),(3,+∞),在每个区间上所有函数值保持同号.

由此可见,我们可以通过方程研究函数的一些性质.

图2-29

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2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

由于解决实际问题的需要,人们经常需要寻求函数y=f(x)的零点(也就是方程f(x)=0的根).求一次函数或二次函数的零点,我们可以用熟知的公式解法.

在16世纪,人们找到了三次函数和四次函数的求根公式,但对于高于四次的函数,类似的努力却一直没有成功.到了19世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于四次的函数(即高于四次的代数方程)不存在求根公式,也就是说,不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,对于三次和四次的代数方程,由于公式解的表示相当复杂,一般来讲并不适宜用作具体计算.因此对于高次多项式函数及其他的一些函数,有必要寻求求零点的近似解的方法,这在计算数学中是一个十分重要的课题.

在分析函数零点的性质时,我们已经看到,如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号(见图2-30),即f(a)f(b)〈0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0.如果函数图象通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点,如图2-30中的x0,x2.如果没

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有穿过x轴,则称这样的零点为不变号零点,如图2-30中的x1.

依据这个性质,下面我们介绍求函数零点的近似值的一种计算方法:二分法.

已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.

下面我们分步写出,用二分法求函数零点的一般步骤.

图2-30

第一步 在D内取一个闭区间[a0,b0]D,使f(a0)与f(b0)异号,即f(a0)·f(b0)〈0.零点位于区间[a0,b0]中.

第二步 取区间[a0,b0]的中点(图2-31),则此中点对应的坐标为

x0=a0+1/2(b0-a0)=1/2(a0+b0).

计算f(x0)和f(a0),并判断:

(1)如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;

(2)如果f(a0)·f(x0)〈0,则零点位于区间[a0,x0]中,令a1=a0,b1=x0

(3)如果f(a0)·f(x0)〉0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.

第三步 取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的坐标为

x1=a1+1/2(b1-a1)=1/2(a1+b1).

计算f(x1)和f(a1),并判断:

(1)如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;

(2)如果f(a1)·f(x1)〈0,则零点位于区间[a1,x1]上,令a2=a1,b2=x1

(3)如果f(a1)·f(x1)〉0,则零点位于区间[x1,b1]上,令a2=x1,b2=b1.

……

继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间[an,bn]中的任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.

图2-31

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图2-32

以上求函数零点的二分法,对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效.如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效,计算可以一步一步地进行,每一步都能得到唯一的结果,我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法.算法是刻板的、机械的,有时要进行大量的重复计算,算法的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总会算出结果.算法更大的优点是,它可以让计算机来实现.例如,我们可以编写程序,快速地求出一个函数的零点.有兴趣的同学,可以在Scilab界面上调用二分法程序,对上例进行计算,求出精确度更高的近似值.本套书的一个重要特点是,引导同学们认识算法思想的重要性,并希望同学们在学习前人算法的基础上,去寻求解决各类问题的算法.在数学3中,我们还要系统地学习算法.

想想看,你还能找到计算函数零点的另一种算法吗?

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本章小结

Ⅰ 知识结构

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阅读与欣赏

函数概念的形成与发展

17世纪是工业生产和科学技术飞速发展的时代.天文学、航海业及机械工业的发展,促进了数学的进一步研究与发展.当时人们把函数理解为变化的数量关系,把曲线理解为几何形象.法国哲学家、数学家笛卡儿(R. Descartes,1596—1650)引入了坐标系,创立了解析几何.他把几何问题转化为代数问题.对此,恩格斯给予了很高的评价,他说:数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学.

英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿(I. Newton,1643—1727),以流数来定义描述连续量——流量(fluxion)的变化率,用以表示变量之间的关系.因此曲线是当时研究考察的主要模型,这是那个时代函数的概念.

函数(function)一词首先是由德国哲学家莱布尼茨(G. W. Leibniz,1646—1716)引入的.他用函数一词来表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量,并引入了常量、变量、参变量等概念.瑞士数学家欧拉(L Euler,1707—1783)于1734年引入了函数符号f(x),并称变量的函数是一个解析表达式,认为函数是由一个公式确定的数量关系.他于1775年在《微分学》中写道:如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面的变量也随之变化,则称前面的变量为后面变量的函数.

直到1837年,德国数学家狄利克雷(P. G. L. Dirichlet,1805—1859)放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点,提出了y=f(x)是x与y之间的一种对应的现代数学观点.在分析学方面,他是最早倡导严格化方法的数学家之一.狄利克雷关于函数的定义沿用至今,他抓住了函数概念的本质——对应规律,摆脱了隐于这一概念之中的有关时间、运动等其他非本质的因素.

1859年我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰(1811—1882)第一次将function译成函数,这一名词一直沿用至今.

  1. 表中人口数据来源于《2002年中国统计年鉴》,其中未包括香港、澳门特别行政区及台湾省数据.
 第三章 基本初等函数(Ⅰ)

第三章 基本初等函数(Ⅰ)

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3.1 指数与指数函数

3.2 对数与对数函数

3.3 幂函数

3.4 函数的应用(Ⅱ)

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我们先讲一个有趣的故事:

一个叫杰米的百万富翁,一天,他碰上一件奇怪的事.一个叫韦伯的人对他说:我想和你订个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我一分钱,以后每天给我的钱是前一天的两倍.杰米说:真的?!你说话算数?

合同开始生效了,杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元;第四天,杰米支出8分钱,收入10万元……到了第十天,杰米共得到100万元,而总共才付出10元2角3分.到了第20天,杰米共得到200万元,而韦伯才得到1048575分,共10000元多点.杰米想:要是合同订两个月、三个月该多好!可从第21天起,情况发生了变化.

第21天杰米支出1万多元,收入10万元.到第28天,杰米支出134万多元,收入10万元.结果杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时,共付给韦伯2147483647分,也就是2000多万元!杰米破产了.

这个故事一定会让你吃惊,开始微不足道的数字,两倍两倍地增长,会变得这么巨大!事实的确如此,因为杰米碰到了指数爆炸.一种事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…),则它是以指数形式增大,这种增大的速度就像大爆炸一样,非常惊人.在科学领域中,常常需要研究这一类问题.

例如,生物学中研究某种细胞的分裂问题:

某个细胞第一次分裂,1个分裂为2个;第二次分裂,2个分裂为4个……这样下去,问第8次、第10次、第20次……分裂后分别共有多少个细胞?

有时,还要求解上述问题的逆问题:经过多少次分裂,细胞总数为512个,或为4096个?……这样我们就要研究指数运算的逆运算.

这一章我们要学习指数运算和指数运算的逆运算:对数运算.在此基础上,我们分别从实际问题中抽象出指数函数和对数函数模型,并分别研究它们的性质.

指数函数和对数函数在工程、生物、社会科学中有着重要的应用.

最后我们还归纳了幂函数y=x^(α)(α∈R)的性质.

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3.1 指数与指数函数

3.1.1 实数指数幂及其运算

我们先复习初中学过的整数指数幂概念及其运算,然后推广到分数指数幂和无理指数幂及其运算.

1.整数指数

在初中我们学习了正整数指数.知道

a2=a·a, a^(3)=a·a·a,

a^(n)=.

由此可见,a^(n)不过是n个相同因子a的连乘积的缩写.

a^(n)叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数.并规定

a1=a.

在上述定义中,n必须是正整数,所以这样的幂叫做正整指数幂.容易验证,正整指数幂的运算满足如下法则:

(1)am·a^(n)=a^(m+n);

(2)(a^(m))^(n)=a^(mn);

(3)=a^(m-n)(m〉n, a≠0);

(4)(ab)m=a^(m)b^(m).

在初中我们还学习过:如果取消法则(3)中m〉n的限制,则正整指数幂就推广到整数幂.例如,当a≠0时,有

=a^(3-3)=a^(0),=a^(3-5)=a^(-2),

这些结果不能用正整指数幂的定义来解释.但我们知道,

=1,=.

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这就启示我们,如果规定

a^(0)=1, a^(-2)=

则上述运算就合理了.于是,我们规定

a^(0)=1(a≠0),

a^(-n)=(a≠0, n∈N).

如此规定的零指数幂和负整指数幂,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.例如,

8^(0)=1;(-8)^(0)=1;(a-b)^(0)=1(a≠b);

10^(-3)==0.001;

(-1/2)^(-6)===64;

(2x)^(-3)=2^(-3)x^(-3)=(x≠0);

)^(-2)==;0.0001=10^(-4);=a^(2)b^(-2)c^(-1).

2.分数指数

在初中我们还学习过平方根和立方根的概念.

如果x^(2)=a,则x叫做a的平方根(或二次方根).

当a〉0时,有两个平方根,它们互为相反数,正平方根为,负平方根为-

当a=0时,=0;

当a〈0时,在实数范围内没有平方根.

如果x^(3)=a,则x叫做a的立方根(或三次方根),在实数范围内a只有一个立方根,记作.

方根的概念可进一步推广如下:

如果存在实数x,使得x^(n)=a(a∈R,n〉1,n∈N),则x叫做a的n次方根.求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算.

正数a的偶次方根有两个,它们互为相反数,分别表示为

,-(a〉0,n为偶数);

负数的偶次方根在实数范围内不存在;

正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,都表示为

(n为奇数).

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正数a的正n次方根叫做a的n次算术根.

有意义的时候,叫做根式,n叫做根指数.

根据n次方根的定义,根式具有性质:

(1)()^(n)=a(n〉1,且n∈N+);

(2)=

例如,

)^(4)=5,()^(3)=-5,()^(5)=2^(3)=8;

=5,==3.

我们还可以把整数指数幂的运算法则推广到正分数指数幂.例如,

)^(3)==a,

(a^(3==a^(2).

显然,这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定

==

则上述分数指数幂的运算就能像整数指数幂那样运算了.

应注意,不一定等于a.

为避免讨论,如不特别说明,我们约定底数a〉0.于是,正分数指数幂可定义为

=(a〉0);

=()^(m)=(a〉0,n,m∈N+,且m/n为既约分数).

负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,同样可定义为

a^(-=(a〉0,n,m∈N,且m/n为既约分数).

至此,我们已把整数指数幂推广到有理指数幂.设a〉0,b〉0,对任意有理数α,β,有理指数幂有如下三条运算法则:

a^(α)a^(β)=a^(α+β),

(a^(α))^(β)=a^(αβ),

(ab)^(α)=a^(α)b^(α).

例如,

×==8^(1)=8;

=()^(2)=2^(2)=4;

3××=3×××==3^(2)=9;

)^(3)=(a)^(3)(b)^(3)=a^(2)b

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)()=()^(2)-()^(2)=a-b;

)^(2)=a+b+2.

3.无理指数幂

有理指数幂还可以推广到无理指数幂.我们在这里不能给出无理指数幂严格的定义,而是通过一个例子来描述其中的思想.

例如,是一个什么样的数呢?

首先我们按照要求的精确度,取无理数的不足近似值或过剩近似值:

1.4,1.41,1.414,…(的不足近似值);

1.5,1.42,1.415,…(的过剩近似值).

其次,我们相应地可用有理指数幂的序列

3^(1.4),3^(1.41),3^(1.414),…或3^(1.5),3^(1.42),3^(1.415),…来近似地计算无理指数幂的不足或过剩近似值.如果的任一个有理数不足近似值记作an,其相应的有理数过剩近似值记作bn,那么当n无限增大时,an,bn就逼近于一个实数,因而3^(an),3^(bn)也就逼近于一个实数.这就是说,两个有理指数幂的序列3^(an),3^(bn)无限逼近一个实数.

一般地,当a〉0,α为任意实数值时,实数指数幂a^(α)都是有意义的.

可以证明,对任意实数值α,β,上述有理指数幂的运算法则仍然成立.

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3.1.2 指数函数

先看两个具体的例子,研究问题中两个变量之间的依赖关系.

(1)细胞分裂问题.

细胞分裂,每个细胞每次分裂为2个,则1个这样的细胞第一次分裂后变为2个细胞,第2次分裂后就得到4个细胞,第3次分裂后就得到8个细胞……

在这个问题中,分裂的次数是一个变量,我们把它看作自变量,用x表示.每次分裂后,细胞的个数也是一个变量,显然这个变量是自变量x的函数,用y表示.如何由x来计算y呢?

x=0, y=2^(0)=1;

x=1, y=2^(1)=2;

x=2, y=2^(1)×2=2^(2)=4;

x=3, y=2^(2)×2=2^(3)=8;

这样,我们可归纳出,第x次分裂后,细胞的个数

y=2^(x).

这个函数的定义域是非负整数集.由上式,任给一个x值,我们就可求出对应的y值.

(2)一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.

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求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.

设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示,则

经过1年,y=1×84%=0.84^(1);

经过2年,y=1×0.84×0.84=0.84^(2);

……

这样,我们可归纳出,经过x年,

y=0.84^(x).

这个函数的定义域是正整数集.由上式,任意给一个x值,我们就可求出对应的y值.

从这两个实例中,我们得到两个同类的函数,自变量都出现在指数位置上.

一般地,函数

y=a^(x)(a〉0, a≠1, x∈R)

叫做指数函数.

下面研究指数函数的图象和性质.

画出指数函数

y=2^(x),y=(1/2)^(x)的图象.

列出x,y的对应值表:

X -3 -2 -1 0 1 2 3
y=2^(x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
y=(1/2)^(x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

用描点法画出图象(图3-1).

从函数的对应值表和图象,可以看到:

y=2^(x)在(-∞,+∞)上是增函数,当x逐渐增大时,函数值y增大得越来越快,当x逐渐减小时,函数值y逐渐减小,函数的图象从x轴的上方逐渐逼近x轴;

y=(1/2)^(x)在(-∞,+∞)上是减函数,当x逐渐增大时,函数值y逐渐减小,函数的图象从x轴的上方逐渐逼近x轴,当x逐渐减小时,函数值y增大得越来越快.

图3-1

这两个函数的图象都在x轴的上方,它们的函数值y都大于0,且它们的图象都通过点(0,1).

由以上实例,我们可以归纳出指数函数

y=a^(x)(a〉0, a≠1, x∈R)

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具有下列性质:

(1)定义域是实数集R,对任意实数x,都有y〉0,即值域是(0,+∞);

(2)函数图象在x轴的上方且都通过点(0,1);

(3)当a〉1时,这个函数是增函数;

当0〈a〈1时,这个函数是减函数.

指数函数y=a^(x)(a〉0,且a≠1),a〉1时,x取何值,y〉1?x取何值,0〈y〈1?0〈a〈1时呢?

由指数函数的定义可知,指数函数的定义域是实数集,但在实际问题中不都如此.例如,开始引进的两个函数的例子,第1个例子,函数y=2^(x)的定义域是非负整数集,第2个例子,函数y=0.84^(x)的定义域是正整数集,它们的定义域都是指数函数定义域的子集,而且它们在其定义域内分别与指数函数y=2^(x),y=0.84^(x)取相同的值.通常,我们把这类函数称为指数函数的限制函数.

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3.2 对数与对数函数

3.2.1 对数及其运算

1.对数概念

在上一节,我们研究细胞分裂时,曾归纳出,第x次分裂后,细胞的个数

y=2^(x).

给定分裂次数x,可求出细胞个数y.在实际问题中,又常常需要由细胞分裂若干次后的个数y,计算分裂的次数x.为解决这类问题,我们引入一个新的概念——对数.

在指数函数y=a^(x)(a〉0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应(图3-2).幂指数x,又叫做以a为底y的对数.例如:

因为4^(2)=16,所以2是以4为底16的对数;

因为4^(1)=4,所以1是以4为底4的对数;

因为=2,所以1/2是以4为底2的对数;

因为4^(-1)=1/4,所以-1是以4为底1/4的对数;

因为=1/2,所以-1/2是以4为底1/2的对数.

图3-2

我们常用符号log(拉丁字logarithm的缩写)表示对数.那么,2是以4为底16的对数,就可写成

2=log416.

一般地,对于指数式a^(b)=N,我们把以a为底N的对数b记作loga N,即

b=1ogaN(a〉0,且a≠1).

其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作b等于以a为底N的对数.

实质上,上述对数表达式,不过是指数式N=a^(b)的另一种表达形式.

例如,

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3^(4)=81与4=log381,

是同一关系的两种表达形式.

根据对数的定义,可以得到下面的对数恒等式:

a^(logaN=N.

例如,2^(log232)=32,10^(log10100)=100.

根据对数的定义,对数logaN(a〉0,且a≠1)具有下列性质:

(1)0和负数没有对数,即N〉0;

(2)1的对数为0,即loga l=0;

(3)底的对数等于1.即logaa=1.

2.常用对数

以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,通常把底10略去不写,并把log写成lg,即把1og10N记作lg N.以后如果没有指出对数的底,都是指常用对数.例如,100的对数是2,就是100的常用对数是2.

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3.积、商、幂的对数

现在研究对数的运算.

已知logaM,logaN(M,N〉0),求loga(MN),loga M/N,logaM^(α).

设logaM=p,logaN=q,根据对数的定义,可得

M=a^(p),N=a^(q).

因为MN=a^(p)a^(q)=a^(p+q),

所以loga(MN)=p+q=1ogaM+logaN.

同样地,因为M/N==a^(p-q),

所以loga M/N=p-q=logaM-logaN.

因为M^(α)=(a^(p))^(α)=a^(pα),

所以1ogaM^(α)=αp=αlogaM.

总结以上论证,我们得到下面的对数运算法则:

(1)loga(MN)=logaM+logaN

因为同底数的幂相乘,不论有多少因数,都是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的积:

loga(N1N2…Nk)=logaN1+loga N2+…+logaNk.

正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.

(2)loga M/N=logaM-logaN

两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.

(3)logaM^(α)=α1ogaM

正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数.

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4.换底公式与自然对数

在实际应用中,常常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数呢?例如,如何求1og35?

我们可以根据对数的性质,利用常用对数来计算.

设log35=x,写成指数形式,得

3^(x)=5.

两边取常用对数,得

x1g 3=1g 5.

所以x=lg5/lg3≈0.6990/0.4771≈1.465,

即log35≈1.465.

上面求解的关键是将以3为底的对数用以10为底的对数来表示.

一般地,下面的换底公式成立:

logbN=.

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证明:设logbN=x,则

b^(x)=N.

两边取以a为底的对数,得

xlogab=1oga N.

所以x=.

即logbN=.

在科学技术中,常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数.1ogeN通常记作ln N.根据对数的换底公式,可以得到自然对数与常用对数的关系:

ln N=lgN/lge≈lgN/0.4343,

即ln N≈2.3026lg N.

实际上,用科学计算器可直接求自然对数.例如,求ln 34(精确到0.0001),可用科学计算器计算如下:

按键 显示

ln 34 = 3.526360525

所以ln 34≈3.5264.

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3.2.2 对数函数

根据对数式

x=1ogay(a〉0, a≠1),

对于y在正实数集内的每一个确定的值,在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应.根据函数的定义,这个式子确定了正实数集上的一个函数关系,其中y是自变量,x是因变量.函数

x=logay(a〉0, a≠1, y〉0)

叫做对数函数.它的定义域是正实数集,值域是实数集R.

由对数函数的定义可知,在指数函数y=a^(x)和对数函数x=logay中,x,y两个变量之间的关系是一样的.所不同的只是在指数函数y=a^(x)里,x当作自变量,y当作因变量,而在对数函数x=1ogay中,y当作自变量,x是因变量.习惯上,常用x表示自变量,y表示因变量,因此对数函数通常写成

y=logax(a〉0, a≠1, x〉0).

作下面两个对数函数的图象:

(1)y=log2x;(2)y=lox.

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首先作x,y的对应值表.简便的作法是把3.1.2节的两个指数函数

y=2^(x),y=(1/2)^(x)的对应值表里x和y的数值对调,就可得到下面的两个表:

表1 y=log2x

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
y -3 -2 -1 0 1 2 3

表2 y=logx

x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
y -3 -2 -1 0 1 2 3

在同一坐标系里,用描点法画出图象(图3-3).从这两个函数的对应值表和图象可看到,y=log2x在区间(0,+∞)上是增函数,而y=logx在区间(0,+∞)上是减函数.这两个函数的定义域都是(0,+∞),并且它们的图象都通过点(1,0).

一般地,由对数函数

y=logax(a〉0, a≠1)

的定义可知,它的定义域是正实数集,即x∈(0,+∞).

对数函数还具有下列性质:

(1)值域是实数集R;

(2)在定义域内,当a〉1时是增函数,当0〈a〈1时是减函数;

(3)图象都通过点(1,0).

图3-3

对数函数y=1ogax(a〉0且a≠1),当a〉1,x取何值时,y〉0?x取何值时,y〈0?0〈a〈1呢?

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3.2.3 指数函数与对数函数的关系

由对数函数的定义可知,对数函数y=1og2x是把指数函数y=2^(x)中的自变量与因变量对调位置而得出的.在列表画y=log2x的图象时,也是把指数函数y=2^(x)的对应值表里的x和y的数值对换,而得到对数函数y=log2x的对应值表,如下:

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表1 y=2^(x

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

表2 y=log2x

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
y -3 -2 -1 0 1 2 3

在同一坐标系里,用描点法画出图象(图3-4).

当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.

图3-4可知,对数函数y=logax与指数函数y=a^(x)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.

又如,函数y=5x,x∈R.如果把y作为自变量,x作为y的函数,则x=y/5,y∈R.通常自变量用x表示,函数用y表示,则

y=x/5, x∈R.

我们就说函数y=x/5,x∈R与函数y=5x,x∈R互为反函数.

函数y=f(x)的反函数通常用y=f^(-1)(x)表示.

从反函数的概念可知,如果函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x),那么函数y=f^(-1)(x)的反函数就是y=f(x).这就是说,函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数.

上面我们已分别研究了指数函数与对数函数的性质.现在我们来比较这两个函数增长的差异.

观察图3-4,我们可以看到,当x〉1时,对相同的自变量的增量,指数函数的增量与对数函数的增量存在着很大的差异.

指数函数y=2^(x),当x由x1=2增加到x2=3时,△x=1,△y=2^(3)-2^(2)=4;

对数函数y=1og2x,当x由x1=2增加到x2=3时,△x=1,而△y=log23-log22≈0.5850.

由此可知,在区间[1,+∞)内,指数函数y=2^(x)随着x的增长函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y=log2x的增长速度逐渐变得很缓慢.

3-4

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3.3 幂函数

考察已经学过的函数

y=x, y=x^(2),y=1/x,…,

可以发现这些函数的表达式有着共同的特征:幂的底数是自变量,指数是常数.

一般地,形如

y=x^(α)(α∈R)的函数称为幂函数,其中α为常数.

下面我们通过举例来研究这类函数的一些性质.

作出下列函数的图象:

(1)y=x; (2)y=; (3)y=x^(2);

(4)y=x^(-1); (5)y=x^(3).

解:列各函数的对应值表:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x^((1/2)         0 1 1.41 1.73
y=x^(2 9 4 1 0 1 4 9
y=x^(-1 -1/3 -1/2 -1   1 1/2 1/3
y=x^(3 -27 -8 -1 0 1 8 27

它们的图象如图3-5所示.

从这些函数的图象大家可以看到,幂函数随着α的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同.但它们也有一些共同的性质:

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(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);

(2)如果α〉0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;

(3)如果α〈0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.

图3-5

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3.4 函数的应用(Ⅱ)

指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中有着广泛的应用.下面举例说明:

①复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.

我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算的储蓄.

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①剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期.

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本章小结

Ⅰ 知识结构

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阅读与欣赏

对数的发明

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J. Napier, 1550—1617).他对数字计算很有研究,他发明的球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔算筹在当时都很有名,而贡献最大的发明是对数.

1614年,纳皮尔出版了《奇妙的对数》.在前言里,纳皮尔告诉我们他发明对数的动机:

没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者了.这不仅浪费时间,而且容易出错.因此,我开始考虑怎样消除这些障碍.经过长时间的思索,我终于找到了一些漂亮的简短法则……

奇怪的是,纳皮尔发明对数是在指数的书写方法发明之前完成的.一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,1707—1783)才发现指数与对数的联系,他指出对数源于指数,这个见解很快被人们接受.如今,人们大都先学指数再学对数,但这并不符合它们发展的历史顺序.

对数的功绩

对数b=logam是实数,其中b,a,m的关系是m=a^(b).对数具有一种奇妙的性质:可以把高一级的乘、除、乘方、开方运算分别转化为低一级的加、减、乘、除运算.进行大量的计算时,对数的这种功能可使计算的效率成倍地提高.

比如计算2^(64)的近似值,若用64个2连乘,其繁难与费时可以想象,如果利用lg 2^(64)=64·1g 2=64×0.3010,求出对数值,再查反对数表就可求出2^(64)的近似值,就可以体会到对数在数字计算上的优越性.

早在公元前200多年,阿基米德就注意到1,10,10^(2),10^(3),10^(4),…与0,1,2,3,4,…之间的对应关系.这是关于对数的原始思想.到17世纪初叶,商业、工业的兴起促进了天文学、力学等学科的发展,在航海、天文观测、透镜设计和抛物体运动等实际工作中,出现了大量极繁杂的计算,耗去了工作人员的大量时间.提高计算效率成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在1594年产生了把乘、除计算归结为加减运算的想法.经过研究他发现了对数,揭示了对数的理论,并认识到对数的广泛应用在于提供对数表.以后20年间,他埋头于对数的计算,于1614年造出了以1/e为底的八位对数表.与此同时,瑞士人比尔吉(J. Burgi,1552—1632)也做了类似的工作.1615年英国人布里格斯(H. Briggs,1561—1630)着手编造以10为底的常用对数表,他尽毕生努力拿

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出了分段的十四位常用对数表,余下的一大段常用对数表是由荷兰人佛朗哥(16001667)在1628年完成的.

编造对数表有如此之难吗?是的,当时只能使用初等数学的方法,一个人进行笔算,仅求5的对数就需完成22次开方运算.要拿出完整的对数表,其难度之大是可想而知的.

后来有了高等数学,利用级数理论中的公式ln(1+x)=x-+…

(-1〈x≤1),求对数值就容易多了.

三百年来,世界科技界一直把对数作为不可缺少的工具,它把科学家们从繁杂的计算里解放出来,等于延长了科学家的生命.对数为人类劳动生产率的提高作出了巨大的贡献.

现在科学技术又发展到一个新的阶段,随着计算机科学的快速发展,计算机功能越来越强大.求一个数的对数,进行一些繁难的计算,简单到只要按一下计算器上的按键就可以了.如求x=lg 964的近似值,只要在计算器上按顺序按键:

ON log 9 6 4 =

显示屏上就可给出答案:2.984077034.

反之,要求10^(2.98408)的近似值,只要按顺序按键:

ON 1 0 X^(y 2 . 9 8 4 0 8 =

显示屏上就可给出答案:964.0065838.

 第一章 立体几何初步

第一章 立体几何初步

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1.1 空间几何体

1.2 点、线、面之间的位置关系

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我们经常观察周围各种各样的物体,并且不断地学着区分物体形状之间的差异.从儿童时代起,我们就通过观察、玩各种玩具,通过父母和老师的启蒙教育,认识了各种各样的物体的形状,它们有些是长方体形的物体,有些是球形的物体等.然后离开具体的实物,开始辨认画在纸上的物体,例如汽车、飞机、床、桌子、房屋的图片等.后来又通过学习几何知识,认识了许多几何图形,如长方形、长方体、圆、球等.同学们有没有想过,为什么画在纸上的各种各样的物体,你一看就能认出它是某种物体呢?

人类从能区分各种各样的物体到把这些物体画在纸上表达它们,直到现代利用计算机画出复杂物体的图形,经历了漫长的年代.不过,你只要通过短时间的学习,就能初步学会人类几千年所积累到的立体几何知识.

在小学和初中,我们已经学习了一些简单的几何体.你还记得图1-1中一些几何体的名称吗?在图1-2的照片中,我们看到的各种各样的建筑物,大都是由图1-1中的几何体组成的.

1-1

图1-2

这一章我们先从分析常见立体图形的几何结构开始,建立空间概念,学习描述简单立体图形的结构,从而学习如何在平面上表示这些立体图形,然后分析这些知识的逻辑结构,认识有关图形的基本性质,培养空间想象能力和逻辑思维能力.

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1.1 空间几何体

观察我们生活的空间,一切物体都占据着空间的一部分.如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体.例如,一个长方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体.我们知道这个几何体叫做长方体(图1-3).

同学们可以通过折纸练习,自己制作一些几何体的模型,帮助学习本节内容.

1-3

1.1.1 构成空间几何体的基本元素

让我们以长方体为例,分析构成几何体的基本元素以及它们之间的关系.

图1-3所示,长方体由六个矩形(包括它的内部)围成,围成长方体的各个矩形,叫做长方体的面;相邻两个面的公共边,叫做长方体的棱;棱和棱的公共点,叫做长方体的顶点.长方体有6个面,12条棱,8个顶点.观察长方体和各种几何体的构成可以发现,任意一个几何体都是由点、线、面构成的.点、线、面是构成几何体的基本元素.

线有直线(段)和曲线(段)之分,面有平面(部分)和曲面(部分)之分.工程人员为了检查一个物体的表面是不是平的,通常把直尺放在物体表面的各个方向上,看看直尺的边缘与物体表面有没有缝隙,如果都不出现缝隙,就判断这个物体表面是平的.由此可见,平面是处处平直的面,而曲面就不是处处平直的.

图1-4

在立体几何中,平面是无限延展的,通常画一个平行四边形表示一个平面(图1-4),并把它想象成无限延展的.

平面一般用希腊字母α,β,γ,…来命名,还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名,例如,图1-4中的平面α、平面β、平面ABCD或平面AC等.

我们还可以从运动的观点,来理解空间基本图形之间的关系.流星划过夜空,给我们一种点动成线的视觉感受.在

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几何中,可以把线看成点运动的轨迹,如果点运动的方向始终不变,那么它的轨迹就是一条直线或线段;如果点运动的方向时刻在变化,则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段.同样,一条线运动的轨迹可以是一个面,面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体(图1-5).

图1-5

图1-6所示,直线平行移动,可以形成平面或曲面.固定射线的端点,让其绕着一个圆弧转动,可以形成锥面.

图1-6

图1-7所示的水平放置的长方体,通常记作长方体ABCD-A'B'C'D'.这个长方体,可看成矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A'B'C'D'所形成的几何体.

让我们通过长方体的顶点、棱和面之间的位置关系来直观认识一下空间点、直线和平面之间的位置关系.在下一节,我们还要对它们之间的位置关系和性质作进一步的探讨.

17

设想长方体的棱可延伸为直线,面可延伸为平面.容易看到,在长方体的棱所在直线中,有些相交,有些平行,另外还可观察到直线AA'和直线BC,它们既不相交也不平行.空间中,两条直线的这种关系比比皆是,如交叉走向的高压线等.

观察长方体中棱所在直线及面所在平面的位置关系,容易看到,除直线在平面内或直线与平面相交外,直线和平面还有可能没有公共点,这时,我们说直线和平面平行.如图1-7中,直线AB和平面A'C'平行,记作AB∥平面A'C'.

图1-7中,观察直线AA'和平面ABCD,我们看到直线AA'和平面内的两条直线AB,AD都垂直,可以想象,当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时,都会和AA'垂直.直线AA'给我们与平面AC垂直的形象,这时我们说直线AA'与平面AC垂直,

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A为垂足.记作直线AA'⊥平面AC.直线AA'称作平面AC的垂线.平面AC称作直线AA'的垂面.容易验证,线段AA'为点A'到平面AC内的点所连线段中最短的一条.线段AA'的长称作点A′到平面AC的距离.

图1-7中,再观察平面与平面的位置关系.可以想象,长方体ABCD-A'B'C'D'两个相对面所在的平面没有公共点.如果两个平面没有公共点,则说这两个平面平行.如果面ABCD和面A'B'C'D'分别作为长方体的底面,则棱AA',BB',CC',DD'都与底面垂直且等长.我们知道它们都是这个底面上的高,它们的长度称作两底面间的距离.

容易看到,两个平面会相交于一条直线,此时,我们说这两个平面相交.如果两个平面相交,并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线,这两个平面就给我们互相垂直的形象,这时,我们说这两个平面互相垂直.

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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

1.多面体

观察图1-8中的几何体,这些几何体都是多面体.

1-8

我们来研究所有多面体构成的集合.现在要问:

多面体集合的哪些性质可以作为它的特征性质(多面体具有,而不是多面体的几何体都不具有的性质)?

建议同学们通过思考或讨论,回答上面的问题.

多面体的每个面都是多边形(围成多面体的多边形都包含它内部的平面部分),而圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质.

由此得出多面体的结构特征:

多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.

图1-9,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如面ABCD、面BCC'B';相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱,如棱AB、棱AA';棱和棱的公共点叫做多面体的顶点,如顶点A、顶点A';连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线,如对角线BD'.

把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则这样的多面体就叫做凸多面体.如图1-8中的(1)(2)(3)都是凸多面体,而(4)不是.

本书中说到多面体,如果没有特别说明,指的都是凸多面体.

多面体至少有4个面.多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体……

一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫做这个几何体的截面,在图1-9中画出了多面体的一个截面EAC.

在小学和初中,同学们已经学习过一些特殊的多面体,如棱柱、棱锥和棱台,对这些几何体,大家都能直观地区分它们,这是因为它们各自具有自己的结构特征.这一节,我们要通过实验、观察,进一步研究它们的特征性质.

1-9

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2.棱柱

当你观察图1-10中的一些多面体时,根据小学和初中学过的几何知识,你可能会判定这些多面体是一些棱柱.为什么你会判定它们是棱柱呢?

1-10

图1-11

请你通过自己思考或与同学讨论,回答下面的问题:

棱柱有哪些性质?哪些性质可以作为棱柱集合的特征性质?

如果我们以运动的观点来观察,棱柱可以看成一个多边形(包括图形围成的平面部分)上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.

观察这个移动过程,我们可以得到棱柱的主要特征性质:

棱柱有两个互相平行的面,而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行(图1-10).

棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

棱柱两底面之间的距离,叫做棱柱的高.

显然棱柱集合是多面体集合的一个子集.

棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示.例如,图1-10(3)中的五棱柱可表示为棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'或棱柱AC'.

棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.

侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱(图1-10(1)).

侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱(图1-10(2)(3)).

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(图1-10(3)).

下面研究一些特殊的四棱柱.

底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体图1-11(1)(3)(4)).侧棱与底面垂直的平

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行六面体叫做直平行六面体(图1-11(3)(4)).底面是矩形的直平行六面体是长方体(图1-11(3)(4)).棱长都相等的长方体是正方体(图1-11(4)).

3.棱锥和棱台

棱锥

观察图1-12中的几何体,你可能会判定它们是一些棱锥.为什么你会判定它们是棱锥呢?

请你通过自己思考或与同学讨论,回答下面的问题:

棱锥有哪些性质?哪些性质可以作为棱锥集合的特征性质?

通过观察,我们可以得到棱锥的主要特征性质:

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图1-12

棱锥有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形.

棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;多边形叫做棱锥的底面;顶点到底面的距离,叫做棱锥的高.

棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示.例如,图1-13中棱锥可表示为棱锥S-ABCDE或者棱锥S-AC.

棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥(图1-13).

容易验证:正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高图1-13).

1-13

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棱台

图1-16所示,棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面;其他各面叫做棱台的侧面;相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱;两底面间的距离叫做棱台的高.

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.

棱台可用表示上下底面的字母来命名.如图1-17中的棱台,记作棱台ABCD-A'B'C'D',或记作棱台AC'.棱台的下底面为ABCD、上底面为A'B'C'D'、高为OO'.

图1-16

图1-17

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1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

1.圆柱、圆锥、圆台

观察图1-18中的几何体,你可能会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台.为什么你会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台呢?

图1-18

请你通过自己思考或与同学讨论,回答下面的问题:

圆柱、圆锥、圆台分别具有哪些性质?哪些性质可以分别作为圆柱、圆锥和圆台集合

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的特征性质?

通过观察可以看出,圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(图1-19).

1-19

其中,旋转轴叫做所围成的几何体的;在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做侧面的母线.如图1-19中,直线O'O,SO是轴,线段O'O,SO是高,A'A,SA是母线.

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2.球

球是大家非常熟悉的几何体,请你通过思考或与同学讨论回答下面的问题:

球具有哪些性质?哪些性质可作为球集合的特征性质?

让我们做一个试验:

一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周,研究半圆运动的轨迹是怎样的空间图形.

通过观察可以发现,球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面,球面围成的几何体,叫做球图1-21).

形成球的半圆的圆心叫球心;连接球面上一点和球心的线段叫球的半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径.如图1-21中点O为球心,OA为球的半径,AB为球O的直径.

一个球用表示它的球心的字母来表示,例如球O.

球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.

1-21

用一个平面α去截半径为R的球O(图1-22),不妨设平面α水平放置且不过球心,OO'为平面α的垂线,并与平面α交于点O',O0'=d,则对于平面α与球面的交线上任意

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点P,都有O'P=,是一个定值.这说明截面与球面的交线是在平面α内,并且到定点O′的距离等于定长的点的集合.因此平面α截球面所得到的交线是以O'为圆心,以

r=(R是球的半径)为半径的一个圆.也就是说,截面是一个圆面(圆及其内部).

如果平面α过球心,则d=0,r=R.截面是半径等于球的半径的一个圆面.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆叫做球

当我们把地球看作一个球时,经线就是球面上从北极到南极的半个大圆;赤道是一个大圆,其余的纬线都是小圆(图1-23).

图1-22

图1-23

在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.事实上,人们把这个弧长叫做两点的球面距离.例如,图1-24中劣弧的长度就是P,Q两点的球面距离.飞机、轮船都是尽可能地以大圆弧(劣弧)为航线航行的.

图1-24

圆柱、圆锥、圆台、球等几何体,都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体,这类几何体叫做旋转体,这条直线叫做旋转体的.操作课件旋转体生成本书提到的课件都可从人教网(http://www. pep.com.cn)的高中数学B版栏目中下载.,可以自己动手生成一些旋转体.

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3.组合体

我们观察周围的物体,除了柱、锥、台、球等基本几何体外,还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的.这些几何体叫做组合体.如图1-26中所展示的机械可以看成是由一些基本几何体构成的组合体.对组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究.

可结合课件旋转体生成设计生成组合体.

图1-26

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1.1.4 投影与直观图

可结合课件平行投影学习平行投影的性质.

1-27

1.平行投影与直观图

观察图1-27,太阳光线(可看成平行的)可以把一个矩形的窗框投射到地板上,影子是平行四边形,在影子中,框边的长度以及框边之间的夹角有所改变,但框边

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的平行性没有改变.另外我们还看到,平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有改变.例如,一条线段中点的投影仍是这条线段投影的中点.正是根据这些不变性质,使我们能够从一个空间图形在平面上的投影来获得原来图形的大致形象.

在立体几何中,一般都是根据平行投影的性质,用平面图形来表示空间图形.下面我们来研究平行投影的概念及其性质.

已知图形F,直线l与平面α相交(图1-28).过F上任意一点M作直线MM'平行于l,交平面α于点M',则点M'叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影(或象).如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F',则F'叫做图形F在α内关于直线l的平行投影.平面α叫做投射面,l叫做投射线.

观察图1-27中窗户的影子(或打开课件平行投影)观看平行投影的演示,容易观察到,当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有下述性质:

1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段;

2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线;

3.平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;

图1-29中,A'B'AB,C'D'CD.

4.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等;

5.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比图1-30).

事实上,如果线段AB在平面α内关于直线l的平行投影是A'B'(图1-30),点M在AB上,且AM:MB=m:n,则点M的平行投影M′在A'B'上,由初中所学的知识可以得出A'M':M'B'=m:n.

当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时,一个空间图形在投射面上的平行投影(平面图形)可以形象地表示这个空间图形.像这样用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.

依据平行投影的性质画直观图的方法,国家规定了统一的标准.一种较为简单的画图标准是斜二测画法.这种画法的投射线与人的视线的方向不同,下面举例说明斜二测画法.

斜二测画法的规则是(以一个正方体的模型为例):

(1)在已知模型所在的空间中取水平平面ABCD(图1-31(1)),以A为原点O,以AB,AD分别为互相垂直的轴Ox,Oy,以AA′为Oz轴,则∠xOz=90°,且∠yOz=90°.

(2)画直观图时(图1-31(2)),把Ox,Oy,Oz画成对应的轴O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°. x'O'y'所确定的平面表示水平平面.

图1-28

图1-29

1-30

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1-31

(3)已知图形中,平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.并使它们和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.

(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

(5)画图完成后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图(图1-31(3)).

下面举例说明.

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通过以上的例子,我们介绍了空间图形直观图的画法。为了简便,在不作严格要求时,画图时长度和角度可适当的选取,只要符合平行投影的要求,有一定的立体感就可以了,例如,三角形的投影一般还是三角形,长方形的投影一般为平行四边形(图1-36)。

图1-36

2.中心投影

图1-37所示,一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.

下页中的两幅照片都是物体在平面上的中心投影.

图1-37

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从图中可以看到,空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线,如照片中由近到远,物体之间的距离越来越近,最后相交于一点.中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多,但直观性强,看起来与人的视觉效果一致,最像原来的物体,所以在绘画时,经常使用这种方法.但在立体几何中很少用中心投影原理来画图.

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1.1.5 三视图

在物体的平行投影中,如果投射线与投射面垂直(图1-38),则称这样的平行投影为正投影.

容易知道,正投影除具有平行投影的性质外,还有如下性质:

(1)垂直于投射面的直线或线段的正投影是点;

(2)垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.

为了使空间图形的直观图更准确地反映空间图形的大小和形状,往往需要把图形向几个不同的平面分别作正投影,然后把这些投影图放在同一个平面内,并有机地结合起来表示物体的形状和大小.

图1-38

通常,总是选取三个两两互相垂直的平面作为投射面,如图1-39所示:

一个投射面水平放置,叫做水平投射面,投射到这个平面内的图形叫做俯视图;

一个投射面放置在正前方,这个投射面叫做直立投射面,投射到这个平面内的图形叫做主视图

和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个平面放在直立投射面的右面,投射到这个平面内的图形叫做左视图.

将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面

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内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图图1-39右图).

例如,一个长方体ABCD-A'B'C'D',它的侧面分别平行于三个投射面(图1-40),把它向三个投射面投影:

1-39

1-40

它的主视图是一个矩形,它表示长方体的高度和长度;

它的俯视图也是一个矩形,它表示长方体的长度和宽度;

它的左视图,同样是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度.

把这三个投影图放在一个平面内,并按一定的布局排列,如图1-40所示.这个图就是长方体的三视图.

从以上对三视图的描述可知,三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形.

任意一个物体的长、宽、高,一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离.一个物体的三视图的排列规则是,俯视图放在主视图的下面,长度与主视图一样,左视图放在主视图的右面,高度与主视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆,通常说:

长对正、高平齐、宽相等或说主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽.

对简单的几何体,如一块砖,向两个互相垂直的平面作正投影,就能真实地反映它的

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大小和形状.一般只画出它的主视图和俯视图(二视图).对于复杂的几何体,三视图可能还不足以反映它的大小和形状,还需要更多的投射平面,这里就不作介绍了.

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根据以上分析,画出奖杯的直观图,如图1-42(2)所示。

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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1.直棱柱和正棱锥的表面积

我们来探讨直棱柱和正棱锥侧面积和表面积的计算方法.

图1-44分别是直六棱柱和正四棱锥的展开图.不难发现,直棱柱的侧面展开图是矩形,而正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形.对此,我们在剪纸折叠几何体时也有所体会.由矩形和三角形面积的计算公式,不难得到它们的侧面面积的计算公式.

图1-44

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设直棱柱高为h,底面多边形的周长为c,则得到直棱柱侧面面积计算公式

S直棱柱侧面积=ch.

即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.

正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形.底面是正多边形,如果设它的底面边长为a,底面周长为c,斜高为h',容易得到正n棱锥的侧面积的计算公式

S=1/2nah'=1/2ch'.

即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半.

棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和.

2.正棱台的表面积

图1-45是正四棱台的展开图.棱台的展开图是由棱台的各个侧面和上下底组成的.

图1-45

正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形.设棱台下底面边长为a、周长为c,上底面边长为a'、周长为c',斜高为h',可以得出正n棱台的侧面积公式

S=n·1/2(a+a')h'=1/2(na+na')h'=1/2(c+c')h',

s正棱台侧=1/2n(a+a')h'-1/2(c+c')h'.

这一结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出.

棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和.

想想看,能否从圆柱和圆锥的展开图,得到计算圆柱和圆锥侧面积的公式

S圆柱侧=2πRh,S圆锥侧=πRl.

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3.球的表面积

柱、锥的表面都可展开放在平面内,这样我们就可以根据平面图形的性质,求它们的表面积.但球面不能展平成平面,我们要用其他方法求它的面积(具体算法请看选修系列2中的微积分内容).这里我们给出由球的半径R计算球表面积的公式

S=4πR^(2).

即球面面积等于它的大圆面积的四倍.

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1.1.7 柱、锥、台和球的体积

我们在小学和初中已经知道求长方体体积V的公式

V长方体=abc=Sh.

其中a,b,c分别是长方体的长、宽和高,S,h分别是长方体的底面积和高.

由长方体体积的算法,可以推出求其他几何体体积的算法.

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我国古代对几何体的体积研究,取得了光辉的成就,并建立了完整的理论体系.这个理论的基础是:

祖暅原理:幂势既同,则积不容异.

这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等(图1-48).

这个原理是非常浅显易懂的.例如,取一摞纸张堆放在桌面上,将它们如图1-49中的右图那样改变一下形状,这时高度没有改变,每页纸的面积也没有改变,因而这摞纸的体积与变形前相等.

可利用课件祖暅原理探索几何体的体积的计算方法.

祖暅是我国古代南北朝时期(5世纪)的数学家,他在总结前人研究的基础上,总结出这个原理.在欧洲直到17世纪,才由意大利的卡瓦列里提出这个事实.

图1-48

图1-49

应用祖暅原理可以说明:

等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.

1.棱柱和圆柱的体积

图1-50所示,设有一个棱柱、一个圆柱和一个长方体,它们的底面积都等于S,高都等于h,它们的下底面都在同一平面上.因为它们的上底面和下底面平行,并且高都相等,所以它们的上底面都在和下底面平行的同一个平面内(图1-50).

用与底面平行的任意平面去截它们时,所得的截面面积都等于S,根据祖暅原理,它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积,于是我们得到柱体体积的计算方法:

柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积.即

V柱体=Sh.

底面半径是r,高是h的圆柱体的体积的计算公式是

V圆柱=πr^(2)h.

1-50

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2.棱锥和圆锥的体积

在小学我们就通过比较容积的方法,验证了圆锥的体积是等底面积、等高的圆柱体积的三分之一.如图1-51所示,用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三棱柱,这说明三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的三分之一(图1-51).

对三棱锥体积公式的推,导感兴趣的同学可结合课件三棱锥的体积进行研究.

1-51

在此基础上,可以推出锥体体积的计算公式.

如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S,高是h,那么它的体积是

V锥体=1/3Sh.

特别地,如果圆锥的底面半径是r,高是h,则它的体积是

V=1/3πr^(2)h.

3.棱台和圆台的体积

我们知道,棱台和圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的.因此,台体的体积可以用两个锥体体积的差来计算(图1-52),计算过程从略.下面给出台体体积的计算公式

V=1/3h(S++S').

其中S',S分别是台体上、下底面的面积,h是台体的高.

特别地,如果圆台的上、下底面的半径分别是r',r,高是h,则它的体积是

V=1/3πh(r^(2)+rr'+r'^(2)).

4.球的体积

应用圆柱和圆锥的体积公式,根据祖暅原理可以得到球的体积公式

V=4/3πR^(3).

图1-52

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其中R为球的半径.

关于球体积的推导过程,可参看选修2-2中的导数及其应用一章.

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实习作业

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1.2 点、线、面之间的位置关系

点、直线(线段)和平面是我们最常见的基本图形.用它们可以构成各种各样的图形.本节将深入探讨它们之间的逻辑关系,进行必要的说理论证,进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.

1.2.1 平面的基本性质与推论

1.平面的基本性质

在几何学中,我们用点标记位置.在日常生活中,一位同学从一个位置走到另一个位置,他经过的路径,就用一条线来表示.在初中几何中,大家通过实验、观察得到了如下的点和直线的基本性质:

连接两点的线中,线段最短;

过两点有一条直线,并且只有一条直线.

几何中的点、直线都是抽象的概念,在现实世界中可以说是不存在的.画出的点,我们不考虑它们的大小,画出的线也不考虑它们的粗细.基于这种抽象的思考,我们才能总结出上述点与直线的性质.大家学完初中几何后,已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用.

现在我们通过观察、想象来探讨几何中平面的概念.

在日常生活中,我们对平面的认识是直观的.大家都会判断什么样的物体表面是平的,什么样的面是凹凸不平的.物体平的表面使我们认识了平面的形象,现在我们来研究平面的特征性质.

基本性质这里的基本性质也可以看作是公理.1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内(图1-55).

这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.

图1-55

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这一性质是平面的主要特征.弯曲的面就不是处处具有这种性质.

利用这一性质,可以判断一条直线是否在一个平面内.

从基本性质1出发,再进一步探讨平面的其他基本性质.

在空间给定不共线的三点A,B,C(图1-56),作直线AB,BC,CA,再在直线BC,CA,AB上分别取动点P,Q,R,作直线AP,BQ,CR,让P,Q,R分别在直线BC,CA,AB上运动,我们可以想象,这些直线编织成一个平面.

由以上试验可以得到平面的另一个基本性质:

基本性质2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

这也可以简单地说成,不共线的三点确定一个平面.

例如,照相机需用三条腿的架子才能支撑在地面上,就是根据这个性质.

过不共线的三点A,B,C的平面,通常记作平面ABC(图1-57).

回顾第1.1节的内容,我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段,由此我们总结出以下性质:

基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线(图1-58).

为了简便,以后说到两个平面,如不特别说明,都是指不重合的两个平面.

如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交.这条公共直线叫做这两个平面的交线.如图1-58,平面α与β相交,交线是a;平面δ与γ相交,交线是b.

图1-56

图1-57

1-58

在画两个平面相交时,如果其中一个平面被另一个平面遮住,应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画.

2.平面基本性质的推论

由平面的基本性质,可以得到下面的推论:

推论1 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面(图1-59(1)).

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事实上,如图1-59(1)所示,直线BC外一点A和直线BC上的两点B,C不共线,根据基本性质2,A,B,C三点确定一个平面ABC.并且,点A和直线BC都在平面ABC内.

推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面(图1-59(2)).

事实上,如图1-59(2)所示,两条相交直线AB,AC相交于点A,三点A,B,C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面.

推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面(图1-59(3)).

事实上,根据平行线的定义,这两条平行线在同一平面内,又如图1-59(3)所示,这个平面含有一条直线上的点A和另一条线上的两点B,C,由基本性质2可知,这个平面是确定的.

图1-59

3.共面与异面直线

空间中的几个点或几条直线,如果都在同一平面内,我们就说它们共面.如果两条直线共面,那么它们平行或者相交.

在空间,两条直线还可能有既不相交也不平行的情况.如图1-60所示,直线AB与平面α相交于点B,点A在α外,直线l在α内,但不过点B.这时直线l与直线AB,既不相交也不平行,它们不可能在同一平面内,否则点A在α内.这与点A在α外矛盾.因此我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线.

由以上分析,我们可以得到判断两条直线为异面直线的一种方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.

我们把空间看作点的集合,这就是说,点是空间的基本元素,直线和平面都是空间的子集,直线是它所在平面的子集.于是,我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.例如:

点A在平面α内,记作A∈α;点A不在α内,记作Aα;

直线l在平面α内,记作lα;直线l不在平面α内,记作lα;

图1-60

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平面α与平面β相交于直线a,记作α∩β=a;

直线l和直线,n相交于点A,记作l∩m={A},简记作l∩m=A.

基本性质1可以用集合语言描述为:

如果点A∈α,点B∈α,那么直线ABα.

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1.2.2 空间中的平行关系

1.平行直线

在初中几何中,我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线,还学过平行公理:

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

在初中几何中,我们还学过平行线的另一条重要性质:

在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

这一性质同样可以推广到空间,作为空间中平行直线的基本性质:

基本性质4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

即,如果直线a∥b,c∥b,那么a∥c(图1-61).

上述基本性质通常又叫做空间平行线的传递性.

定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.

已知:如图1-62所示,∠BAC和∠B'A'C'的边AB∥A'B',AC∥A'C',且射线AB与A'B'同向,射线AC与A'C'同向.

求证:∠BAC=∠B′A'C'.

证明:对于∠BAC和∠B′A'C'在同一平面内的情形,用初中所学的知识容易证明.下面证明两个角不在同一平面内的情形.

分别在∠BAC的两边和∠B'A'C'的两边上截取线段AD,AE和A'D',A'E',使AD=A'D',AE=A'E'.

因为ADA'D',

所以AA'D'D是平行四边形.

可得AA'DD'.

同理可得AA'EE'.

于是DD'EE'.

因此DD'E'E是平行四边形.

可得DE=D'E'.

于是△ADE≌△A'D'E'.

因此∠BAC=∠B'A'C'.

图1-61

图1-62

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如图1-63(1)所示,顺次连接不共面的四点A,B,C,D所构成的图形,叫做空间四边形.这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表示.例如,〉图1-63(2)中的四边形可以表示为空间四边形ABCD,线段AC,BD是它的对角线.

图1-63

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2.直线与平面平行

我们知道,如果一条直线和一个平面有两个公共点,那么这条直线就在这个平面内(图1-66(1)).在空间中,一条直线和一个平面的位置关系,除了直线在平面内,还有另外两种情况.

直线a和平面α只有一个公共点A,叫做直线与平面相交,这个公共点A叫做直线与平面的交点(图1-66(2)),并记作a∩α=A.

直线a与平面α没有公共点,叫做直线与平面平行.并记作a∥α(图1-66(3)).

图1-66

从以上分析可知,如果直线不在平面内,则直线与平面的位置关系不是平行就是相交.

让我们进行以下的操作与思考,来说明与一个确定的平面α没有公共点的直线是存在的.

如果一条直线m在平面α内(即mα),一条与m重合的动直线l沿着一个方向平移(保持与m平行),当直线l离开平面到任意一个位置时,我们知道,直线l不可能与直线m相交.同样也使我们认识到,直线l也不会和平面α相交.这个直观感知的结论是否正确,下面再作分析.

从正面思考这个问题,有一定的难度,不妨从反面想一想.

如果直线l和平面α相交,则l和α一定有公共点,可设l∩α=P(图1-67).再设l与m确定的平面为β,则依据平面的基本性质3,点P一定在平面α与平面β的交线m上,于是l和m相交,这和l∥m矛盾.所以可以断定l和α不可能有公共点,即l∥α.

由以上的操作与说理,我们可以归纳出直线与平面平行的判定定理:

定理 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

根据上述定理,画一条直线与已知平面平行,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行(图1-68).

1-67

图1-68

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我们从上面的分析过程中可以看到(图1-67),由l∥m可以推断出/∥α;反过来,由l∥α,且β∩α=m也可得到l∥m.由此可见,直线和平面平行具有如下性质:

定理 如果一条直线和一个平面平行.经过这条直线的平面和这个平面相交.那么这条直线就和两平面的交线平行.

已知:l∥α,lβ,α∩β=m(图1-69).

求证:l∥m.

证明:因为l∥α,

所以l和α没有公共点.

又因为m在α内,

所以l和m也没有公共点.

因为l和m都在平面β内,且没有公共点,

所以l∥m.

在空间中,经常应用这条定理,由线、面平行去判断线、线平行.

图1-69

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3.平面与平面平行

两个不重合的平面的位置关系除相交外,还有一种情况:

如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.平面α平行于平面β,记作α∥β.

由于平面是无限延展的,从直观上很难判定是否存在两个没有公共点的平面.下面我们仍像探究直线与平面平行的问题那样进行操作与说理,归纳出平面与平面平行的判定定理.

1-72

我们知道,两条相交直线确定唯一一个平面.这启发我们尝试用两条相交直线来讨论平面的平行问题.

图1-72,在平面α内,作两条直线a,b,并且a∩b=P,平移这两条相交的直线a,b到直线a',b'的位置,设a'∩b'=P',

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由直线与平面平行的判定定理可知

a'∥α, b'∥α.

想必同学们已经认识到,由相交直线a',b'所确定的平面β与平面α不会有公共点.否则,如图1-72,如果两平面相交,交线为c,于是a',b'都平行于这两个平面的交线c,这时,过点P'有两条直线平行于交线c,根据平行公理,这是不可能的.

由此,我们可以归纳出两个平面平行的判定定理:

定理 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

利用直线与平面平行的判定定理,我们可以得到:

推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.

根据上述定理和推论,在画两个平面平行时,通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线(图1-73).

图1-73

图1-74

观察长方体形的教室,天花板面与地面是平行的.直观上能感觉到,墙面分别与天花板面、地面相交所得到的两条交线也是平行的.一般来说,两个平面平行有如下性质:

定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.

事实上,由于两条交线分别在两个平行平面内,所以它们不相交,它们又都在同一平面内,由平行线的定义可知它们是平行的(图1-74).

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想一想,应用本节判定定理的推论,可以怎样证明例4。本例通常可叙述为:

本例通常可叙述为:

两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.

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1.2.3 空间中的垂直关系

1.直线与平面垂直

图1-77中的灯塔与地平面的位置关系,给我们直线与平面垂直的形象.在第一大节,我们通过对长方体以及周围物体的观察,已经初步了解了空间中的直线与平面垂直的概念.这一节我们将进一步研讨直线与平面垂直的判定与性质.

在平面内,如果两条直线互相垂直,则它们一定相交.在空间中,两条互相垂直相交的直线中,如果固定其中一条,让另一条平移到空间的某一个位置,就可能与固定的直线没有公共点,这时两条直线为异面直线,我们同样称它们互相垂直.下面我们给出空间中任意两条直线互相垂直的定义.

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如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.

在初中我们学习过:如果A,B是一个平面内两个定点,那么这个平面内到这两个定点距离相等的点的轨迹是连接这两点线段的垂直平分线.

设l是线段AB的垂直平分线,垂足为O.这时,我们说A,B两点关于直线l成轴对称(图1-78(1)).

想想看,如果A,B是空间中的两点,那么在空间中线段AB的垂直平分线有多少条?AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形(图1-78(2))?固定线段AB,让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转,l的轨迹是怎样的图形?

图1-77

图1-78

容易发现,空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面.

由此可以归纳出空间直线与平面垂直的定义:

如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O,并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.

图1-79,如果l⊥α,垂足为O,直线m是平面α内不过点O的任意一条直线,那么在α内过点O,可引直线m∥a,根据空间直线与平面垂直的定义,由l⊥a可得l⊥m.这就是说:

如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.

画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直,如图1-79所示.

直线l和平面α互相垂直,记作l⊥α.

用直线与平面垂直的定义,直接检验直线是否与平面垂直是困难的.想想看,判定直线与平面垂直是否有容易操作又比较简单的方法?

什么是棱锥、圆锥的高及顶点到底面的距离?

1-79

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我们已经知道,一个平面被它所含的两条相交直线完全确定.实际上只要检验这条直线与平面内的两条相交直线是否垂直就可以了,如果都垂直,则这条直线就与平面垂直.当这两条相交直线不都经过这条直线与平面的交点时,可以把它们平行移动到交点处后进行研究.

由以上分析,我们归纳出直线与平面垂直的判定定理:

定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.

我们知道两条平行直线确定唯一一个平面,试问:如果一条直线垂直于平面内的两条平行直线,这条直线一定垂直于这个平面吗?

推论1 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.

图1-81,如果直线l平行于直线m,且直线l垂直于平面α,则直线l垂直于平面α内任意两条相交直线,如a,b.根据空间两条直线垂直的定义,易知,m与直线a和b也垂直,所以m与平面α垂直.

下面我们来研究直线与平面垂直的性质.

试问,如果两条直线l,m都垂直于平面α,这两条直线平行吗?

从直观感知,我们会得出结论:直线l和m平行.要说出平行的理由,并不简单.不看下面的证明,自己先想想看,能否说出理由.

推论2 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.

已知:直线l⊥平面α,直线m⊥平面α,垂足分别为A,B(图1-82).

求证:l∥m.

证明:假设直线m不与直线l平行.过直线m与平面α的交点B,作直线

m'∥l,

由直线与平面垂直的判定定理的推论可知

m'⊥α.

图1-81

图1-82

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设m和m'确定的平面为β,α与β的交线为a.

因为 直线m和m'都垂直于平面α,

所以 直线m和m'都垂直于交线a.

因为 在同一平面内,通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条,

所以 直线m和m'必重合,即有l∥m.

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2.平面与平面垂直

在第一大节,我们曾直观地看到,当一个平面通过另一个平面的垂线时,就给我们两个平面互相垂直的形象.这一小节我们将进一步研究平面与平面垂直的判定与性质.

图1-87,两个平面α,β相交,交线为CD,在CD上任取一点B,过点B分别在α,β内作直线BA和BE,使

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BA⊥CD, BE⊥CD.

于是,直线CD⊥平面ABE.

容易看到,当∠ABE为直角时,给我们两平面互相垂直的印象.由此可以给出两平面垂直的一个定义:

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.

平面α,β互相垂直,记作α⊥β

图1-87中,由于∠ABE为直角,可知BA⊥BE.又BA⊥CD,所以BA⊥β

这就是说平面α过平面β的垂线BA.现在要问,如果平面α过平面β的垂线BA,那么这两个平面是否相互垂直呢?

答案是肯定的.事实上,只要在平面β内作BE⊥CD,由于BA⊥β,所以BA⊥BE,因此∠ABE为直角.

依两个平面垂直的定义,就可以推出α⊥β.

由以上观察和分析,我们可以得到平面与平面垂直的判定定理:

定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面互相垂直.

建筑工人在砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直(图1-88),实际上就是依据这个定理.

下面我们再来研究两平面垂直的性质.

再观察图1-87,设平面α与平面β垂直,α∩β=CD,如果平面α内的直线BA⊥CD,这时,BA是否垂直平面β?

定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

已知:(图1-89)平面α⊥平面β,α∩β=CD,BAα,BA⊥CD,B为垂足.

求证:BA⊥β.

证明:在平面β内过点B作BE⊥CD.

因为 α⊥β,

所以 BA⊥BE.

又因为 BA⊥CD,CD∩BE=B,

所以 BA⊥β

1-87

图1-88

图1-89

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本章小结

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阅读与欣赏

散发着数学芳香的碑文

在几位古代数学家的墓碑上,人们根据他们的遗愿,有的刻着图形,有的写着数字,用图形和数字表达他们一生的追求和业绩.下面举出几例,以学习他们的敬业精神.

图1-92是古希腊数学家阿基米德的墓碑图案.墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现:图中圆柱的体积是球体积的3/2,圆柱的表面积也是球表面积的3/2.

古希腊数学家丢番图的墓碑文,用独特的方式介绍他的生平:

过路人,这座墓里安葬着丢番图.他生命的1/6是幸福的童年,生命的1/12是青少年时期,又过了生命的1/7他才结婚.婚后5年有了一个孩子,孩子活到父亲的一半年纪就死去了.孩子死后,丢番图在深深的悲哀中活了4年,也结束了尘世生涯.过路人,你知道丢番图的年纪吗?

丢番图(246-330)是古希腊最后一位数学家.他的碑文写得多么妙!多么奇特!这是用未知的方式写出了他已知的一生.谁想知道丢番图的年纪,谁就得解这个一元一次方程

x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x.

解得x=84,即丢番图享年84岁.碑文是一个方程应用题,丢番图写这个碑文的目的是,提醒前来瞻仰的人们,不要忘记他所献身的事业.

图1-93是德国数学家鲁道夫(1540-1610)的墓碑文.1610年鲁道夫把π的近似值算到了小数点后35位,是当年的世界纪录.

鲁道夫的一生献给了圆周率的研究,德国为尊敬他的功绩,至今还把π称作鲁道夫数.

我们从上述的碑文中可以领悟到,这些数学家生前酷爱数学,到死也不忘数学.热爱是最好的老师.

图1-92

图1-93

  1. 本书提到的课件都可从人教网(http://www. pep.com.cn)的高中数学B版栏目中下载.
  2. 这里的基本性质也可以看作是公理.
 第二章 平面解析几何初步

第二章 平面解析几何初步

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2.1 平面直角坐标系中的基本公式

2.2 直线的方程

2.3 圆的方程

2.4 空间直角坐标系

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我国神舟五号载人航天飞船在2003年10月15日发射成功并进入预定的轨道.航天科学家是如何计算出飞船的轨道(路线)的?如果要回答这个问题,就必须把几何图形转化为用数字或符号表达的语言,并能借助数字来确定空间点的位置.

在学习地理时,我们已经知道,用经度和纬度这两个数字可以确定地球表面上一点的位置.

为了表示空间中任意一点的位置,只用两个数字就不够了,而是需要三个数字.例如,为了确定一架正在飞行的飞机的位置,我们不仅需要经度和纬度,还需要确定它距离地球表面的高度.

用数字或其符号来确定一个点或一个物体位置的方法叫做坐标方法.相关的符号和数称为点的坐标.

在实际生活中,也离不开用数来确定位置.

例如,你去看电影,进电影院后根据电影票上标出的几排几号,就可找到自己的座位.

用数可以确定火车在铁路上的位置:一个以km为单位的数,就可表示火车离开出发站后行驶的距离.

在本章的学习中,大家会看到,我们能用数来表示空间、平面和直线上任意一点的位置,并能用字母和数字来表达各种图形.

坐标方法非常重要,它使得现代计算机不仅可以进行各种数值计算,还能解决几何问题,研究几何体的性质和它们之间的关系.

这一章,我们主要学习如何用数和代数方程表达图形,并用代数方法研究图形的性质,还要了解用计算机画图的一些原理.有计算机的同学还可以学着使用计算机画图.

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2.1 平面直角坐标系中的基本公式

这一大节,我们首先系统地复习一下坐标系的有关概念,然后导出解析几何中常用的基本公式.这一大节是学习解析几何的基础.

2.1.1 数轴上的基本公式

我们知道,一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴,或者说在这条直线上建立了直线坐标系( 图2-1).

如不特别说明,我们约定数轴水平放置,正方向从左到右.

2-1

在数轴上,点P与实数x的对应法则是:如果点P在原点朝正向的一侧,则x为正数,且等于点P到原点的距离;如果点P在原点朝负向的一侧,则x为负数,其绝对值等于点P到原点的距离.原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系.即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应;反之,对于任何一个实数,数轴上也存在一个确定的点与之对应.

如果点P与实数x对应,则称点P的坐标为x,记作P(x).

如果数轴上的单位长取作1cm,你能在数轴上标出数0.001,0.0001和对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?

图2-1所示.数轴x上的点M的坐标为3,记作M(3),点N的坐标为-2,记作N(-2).

我们再来研究如何用数来表示数轴上的点的位移(图2-2).

如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B,则说点在轴上作了一次位移,点不动则说点作了零位移.位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,本书简称为向量.

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2-2

从点A到点B的向量,记作.点A叫做向量的起点,点B叫做向量的终点,线段AB的长叫做向量的长度,记作.

数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量.

例如图2-2中的=.

我们可用实数表示数轴上的一个向量.例如,图2-2中的向量,即从点A沿x轴的正向移动3个单位到达点B,可用正数3表示;反之,用-3表示B为起点A为终点的向量,3和-3分别叫做向量坐标或数量.

一般地,轴上向量的坐标是一个实数,实数的绝对值为线段AB的长度,如果起点指向终点的方向与轴同方向,则这个实数取正数;反之取负数.向量坐标的绝对值等于向量的长度.

起点和终点重合的向量是零向量,它没有确定的方向,它的坐标为0

向量的坐标,在本书中用AB表示.

例如,在图2-3中,AB=4,BA=-4,|AB|=4,|BA|=4.显然AB=-BA或AB+BA=0.

2-3

容易推断,相等的向量,它们的坐标相等;反之,如果数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量相等.如果把相等的所有向量看作一个整体,作为同一个向量,则实数与数轴上的向量之间是一一对应的.

在数轴上,如果点A作一次位移到点B,接着由点B再作一次位移到点C,则位移叫做位移与位移的和.记作

=

由数轴上向量坐标的定义和有理数的运算法则,容易归纳出,对数轴上任意三点A,B,C,都具有关系

AC=AB+BC.①

图2-3所示,已知AB=4,BC=-5,则

AC=AB+BC=4+(-5)=-1;

AB=AC+CB=-1+5=4;

BC=BA+AC=-4+(-1)=-5.

上述关系等式①是我们学习解析几何的基础.

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下面我们来研究,对于数轴上的任意一个向量,怎样用它的起点坐标和终点的坐标来计算它的坐标.

是数轴上的任意一个向量,例如图2-4,O是原点,点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则

OB=OA+AB,或

AB=OB-OA.

依轴上点的坐标的定义,OB=x2,OA=x1,所以

AB=x2-x1.

用d(A,B)表示A,B两点的距离,根据这个公式可以得到,数轴上两点A,B的距离公式是

d(A, B)=|AB|=|x2-x1|.

图2-4

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2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

我们知道,在平面直角坐标系中,有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系.如图2-5所示,有序数对(x,y)与点P对应,这时(x,y)称作点P的坐标,并记为P(x,y),x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标.

1.两点的距离公式

在平面直角坐标系中,已知两点的坐标,我们来讨论如何计算这两点的距离.

可能有的同学会问,既然两点已知,取一把尺子量出它们的距离就可以了,由两点的坐标来计算它们的距离有何意义?

我们知道,计算机在软件的支持下能高速地进行计算.计算再麻烦,对计算机来说都是非常简单的事.如果我们能根据两点的坐标找出计算两点距离的一些规则,并根据这些规则向计算机发出一条条指令,这样我们就能用计算机算出两点的距离.

我们先寻求原点O(0,0)与任意一点A(x,y)之间距离的计算方法(图2-6),O,A两点间的距离通常用d(O,A)表示.

当点A不在坐标轴上时,从点A(x,y)作x轴的垂线段AA1,垂足为A1.这时,同学们只要想到勾股定理,会马上写出计算d(O,A)的公式

d(O,A)=.

图2-5

图2-6

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显然,当点A在坐标轴上时,这一公式也成立.

如何求任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离呢(图2-7)?

当AB不平行于坐标轴,也不在坐标轴上时,从点A和点B分别向x轴,y轴作垂线AA1,AA2和BB1,BB2,垂足分别为

A1(x1, 0), A2(0, y1), B1(x2,0), B2(0, y2),其中直线BB1和AA2相交于点C.

在直角△ACB中,

|AC|=|A1B1|=|x2-x1|,

|BC|=|A2B2|=|y2-y1|.

由勾股定理,得

|AB|^(2)=|AC|^(2)+|BC|^(2)=|x2-x1|^(2)+|y2-y1|^(2).

由此得到计算A(x1,y1),B(x2,y2)两点之间的距离公式

d(A, B)=|AB|=.

显然,当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时,公式仍然成立.

已知两点的坐标,为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离,我们可分步骤计算:

(1)给两点的坐标赋值:

x1=?, y1=?, x2=?, y2=?;

(2)计算两个坐标的差,并赋值给另外两个变量,即

△x=x2-x1,△y=y2-y1;

(3)计算d=

(4)给出两点的距离d.

通过以上步骤,对任意两点,只要给出两点的坐标,就可一步步地求值,最后算出两点的距离.

通过数学1的学习,我们已经知道,如果对一类问题能够一步步地求解,每一步都能算出结果,那么这个计算过程就是解这一类问题的一个算法.求解一类问题的算法是非常重要的,它可以使这一类的所有问题,都能按相同的步骤进行简单机械的计算,对每一步的计算结果,都可以检验它是对还是错.这种计算方法能很方便地编出计算机程序,并上机运算.

图2-7

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例3证明了一个重要的定理:平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和.从中我们看到,几何问题可以转化为代数问题,通过一步步地计算来解决.这种解决问题的方法叫做坐标法.同学们在整章的学习中,都将体会到坐标法在研究几何问题中的作用和威力.

2.中点公式

已知A(x1,y1),B(x2,y2),设点M(x,y)是线段AB的中点(图2-9).过点A,B,M分别向x轴、y轴作垂线AA1,AA2,BB1,BB2,MM1,MM2,垂足分别为A1(x1,0),A2(0, y1), B1(x2,0), B2(0, y2), M1(x,0), M2(0, y).

因为M是线段AB的中点,所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点,即

图2-9

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A1M1=M1 B1,A2M2=M2B2.

所以x-x1=x2-x,y-y1=y2-y.即

x=,y=

这就是线段中点坐标的计算公式,简称中点公式.

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2.2 直线的方程

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

1.直线方程的概念

我们已经学习过一元一次函数

y=kx+b (k≠0),知道所有一元一次函数的图象是一条直线.例如函数

y=2x+1的图象是通过点(0,1)和点(1,3)的一条直线l(图2-11).

直线l是函数y=2x+1的图象,所表达的意义是:

如果点P在l上,则它的坐标(x,y)满足关系

y=2x+1,①

反之,如果点P的坐标(x,y)满足①式,则点P一定在l上.

于是,函数式y=2x+1,可作为描述直线l的特征性质,因此

l={(x, y)|y=2x+1}.

我们再来看k=0的特殊情况.

例如方程y=2,无论x取何值,y始终等于2,虽然它已不是一次函数,但方程y=2(常值函数)的图象是一条通过点(0,2)且平行于x轴的直线.

一元函数的解析式,仅是方程的特例.在函数关系式中,我们已经指出,哪一个字母是自变量,哪一个字母是因变量.但方程表达的是两个变量之间的某种关系,它们之间并不一定存在函数关系,例如方程x^(2)+y^(2)=1所表达的变量x与y之间的关系,在实数范围内,就不是函数关系.

由于函数y=kx+b(k≠0)或y=b都是二元一次方程,因此,我们也可以说,方程y=kx+b的解与其图象上的点存在一一对应关系.

如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.

由于方程y=kx+b的图象是一条直线,因此我们今后常说直线y=kx+b.

图2-11

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2.直线的斜率

直线y=kx+b被其上的任意两个不同的点所唯一确定(图2-12).如果点A(x1,y1),点B(x2,y2)是这条直线上任意两点,其中x1≠x2,则由这两点的坐标可以计算出k的值.

由于x1,y1和x2,y2是直线方程的两组解,方程

y1=kx1+b,

y2=kx2+b

两式相减,得y2-y1=kx2-kx1=k(x2-x1).因此

k=(x1≠x2).

图2-12

所以由直线上两点的坐标,可以求出k的值,且它与这两点在直线上的顺序无关,即

k=(x1≠x2).

如果令△x=x2-x1,△y=y2-y1,则△x表示变量x的改变量,△y表示相应的y的改变量.于是

k=(△x≠0).

通常,我们把直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率.垂直于x轴的直线,人们常说它的斜率不存在.

方程y=kx+b(k≠0)的图象是通过点(0,b)且斜率为k的直线.

对一次函数所确定的直线,它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值.直观上可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度.

x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.我们规定,与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.

由斜率k的定义可知:

k=0时,直线平行于x轴或与x轴重合;

k〉0时,直线的倾斜角为锐角,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着增大;

k〈0时,直线的倾斜角为钝角,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着增大.

垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.

关于直线的斜率与倾斜角之间的关系,我们将在数学4中再次进行讨论.

由以上的求解过程,我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤,以便应用计算机进行计算:

(1)给直线上两点的坐标赋值:x1=?,x2=?,y1=?,y2=?;

(2)计算△x=x2-x1,△y=y2-y1

(3)如果△x=0,则判定斜率k不存在;

(4)如果△x≠0,计算k=

(5)输出斜率k.

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2.2.2 直线方程的几种形式

1.直线的点斜式方程和两点式方程

已知直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k(图2-14),我们来求直线l的方程.

设点P(x,y)为直线l上不同于P0(x0,y0)的任意一点,则直线l的斜率k可由P和P0两点的坐标表示为

k=.

y-y0=k(x-x0).①

方程①就是点P(x,y)在直线l上的条件.在l上的点的坐标都满足这个方程,坐标满足方程①的点也一定在直线l上.

方程①是由直线上一点P0(x0,y0)和斜率k所确定的直线方程,我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.

特别地,当k=0时,直线方程变为

y=y0.

这时,直线平行于x轴或与x轴重合.

如果一条直线通过点(0,b),且斜率为k(图2-15),则直线的点斜式方程为

y-b=k(x-0).

整理,得

y=kx+b.

这个方程叫做直线的斜截式方程.其中k为斜率,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称为直线的截距.

这种形式的方程,当k不等于0时,就是我们熟知的一次函数的解析式.

函数y=kx+b与方程y=kx+b,这两种说法的含义相同吗?

图2-14

图2-15

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为了统一答案的形式,如没有特别要求,直线方程都化为ax+by+c=0的形式.

经过讨论,我们可得到上述直线AB的方程为

=(x1≠x2,y1≠y2

这种形式的方程叫做直线的两点式方程.

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2.直线方程的一般式

我们在前面学习了直线方程的几种形式,它们都是二元一次方程,下面我们进一步研究直线与二元一次方程的关系.

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我们知道,在坐标平面内,除垂直于x轴的直线外,其他直线都有斜率,它的方程都可以写成

y=kx+b的形式.

垂直于x轴的直线(即y轴和平行于y轴的直线),其上所有点的横坐标是一个定值(设为x1),纵坐标可取遍所有实数,它的方程可写成

x=x1的形式.这也是关于x,y的一次方程,其中y的系数是0.

这样,对于每一条直线都可求出它的方程,而且是二元一次方程.这也就是说:

直线的方程都是关于x,y的二元一次方程.

反过来要问,是否关于x,y的任何一个二元一次方程都表示一条直线?

关于x,y的二元一次方程的一般形式是

Ax+By+C=0,①

其中A,B不同时为0.下面分B≠0和B=0两种情况加以讨论:

(1)当B≠0时,方程①可化为

y=-A/Bx-C/B.

这是直线的斜截式方程.它表示斜率为-A/B,在y轴上的截距为-C/B的直线.

(2)当B=0时,由于A,B不同时为0,必有A≠0,于是方程①可化为

x=-C/A.

它表示一条与y轴平行或重合的直线.

根据以上讨论,我们又得到下面的结论:

关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.

我们把方程

Ax+By+C=0(A^(2)+B^(2)≠0).

叫做直线的一般式方程.

A^(2)+B^(2)≠0意味着A,B不同时为0.

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2.2.3 两条直线的位置关系

1.两条直线相交、平行与重合的条件

已知两条直线的方程为

l1:A1x+B1y+C1=0,

l2:A2x+B2y+C2=0.

现在我们来研究这两条直线相交、平行、重合的条件.

为此,我们解方程组

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①×B2-②×B1,得

(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0.

当A1 B2-A2B1≠0时,得

x=

再由①×A2-②×A1,当A1B2-A2B1≠0时,得

y=.

因此,当A1B2-A2B1≠0时,方程组有唯一一组解.

这时,两条直线相交,交点的坐标就是(x,y).

当A1B2-A2B1=0,而B1C2-C1B2≠0或A2C1-A1C2≠0时,方程组无解.又知方程①,②为直线方程,A1与B1,A2与B2不能同时为0,由此可推知这两条直线没有公共点,即这两条直线平行.

如果A2,B2,C2全不为0,则上述两条直线平行的条件可转化为

=.

如果A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2,其中λ≠0,则方程①,②中未知数的对应的系数成比例,直线l1的方程变为

λ(A2x+B2y+C2)=0,

由此可知,两个方程的解集相同.可知两个方程表示同一条直线,即直线l1与l2重合.

总结以上分析,我们得到

l1与l2相交A1B2-A2B1≠0或(A2B2≠0).

l1与l2平行A1B2-A2B1=0,而B1C2-C1B2≠0或A2C1-A1C2≠0;或=(A2B2C2≠0).

l1与l2重合A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0);或==(A2B2C2≠0).

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经过思考与讨论,同学们会得出

l1∥l2k1=k2且b1≠b2

l1与l2重合k1=k2且b1=b2.

由例1所证结论,我们可以把与直线Ax+By+C=0平行的直线的方程,表示成Ax+By+D=0(D≠C)

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2.两条直线垂直的条件

已知两条直线

l1:A1x+B1y+C1=0,

l2:A2x+B2y+C2=0.

下面我们来研究l1与l2垂直的条件.

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由于直线l1与直线A1x+B1y=0平行或重合,直线l2与直线A2x+B2y=0平行或重合,因此我们研究l1和l2垂直的条件时,可转化为研究直线

l1':A1x+B1y=0和l2':A2x+B2y=0垂直的条件.

假定l1,l2都不与坐标轴平行或重合.

当l1⊥l2时(图2-16),通过坐标原点作直线l1'∥l1和l2'∥l2,则l1'和l2'互相垂直.

在直线l1',l2'上,分别取两点A(x1,y1),B(x2,y2)(都不是原点).由勾股定理,得

x12)+y12)+x22)+y22)=(x1-x2)^(2)+(y1-y2)^(2).

化简,得

x1x2+y1y2=0.

由假定可知B1≠0,B2≠0,因此y1=-x1,y2=-x2.代入上式,得

x1x2(1+)=0.

因为A,B都不在y轴上,所以x1x2≠0,因此

1+=0,①即

A1A2+B1B2=0.②

由于上面推导的每一步都是可逆的,因此,由②式可以证明两条直线l1'与l2'垂直.从而也就证明了l1与l2垂直.

假定l1,l2中有一条直线与坐标轴平行或重合.

当l1⊥l2时,可以推出l1,l2中的另一条也与坐标轴平行或重合,因此同样有

A1A2+B1B2=0.

反过来,由条件A1A2+B1B2=0也可以推出l1⊥l2.

总结以上讨论,我们得到对坐标平面内的任意两条直线l和l2,有

l1⊥l2A1A2十B1B2=0.

如果B1B2≠0,则l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=-.

由上面的①式,又可以得出

l1⊥l2k112=-1.

根据上述结论,我们可以写出判断直线l1和l2是否互相垂直的计算步骤:

(1)给A1,B1,C1,A2,B2,C2赋值;

(2)计算M=A1A2+B1B2

图2-16

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(3)若M=0,则l1⊥l2;若M≠0,则l1与l2不垂直.

此题也可以直接看出直线2x=7平行于y轴,直线3y-5=0平行于x轴,从而可以判断这两条直线垂直.

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2.2.4 点到直线的距离

设坐标平面上(图2-17),有点P(x1,y1)和直线

l:Ax+By+C=0(A^(2)+B^(2)≠0).

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我们来寻求点P到直线l距离的求法.

作直线m通过点P(x1,y1),并且与直线l垂直,设垂足为P0(x0,y0).则问题可转化为求P和P0两点之间的距离的问题.由距离公式,只要列出关于x1-x0,y1-y0的两个方程,就可求出这两点的距离.

由m⊥l可求得直线m的方程为

B(x-x1)-A(y-y1)=0,由P0∈m得

B(x0-x1)-A(y0-y1)=0.①

因为点P0又在直线l上,可知Ax0+By0+C=0,因此

C=-Ax0-By0.

所以Ax1+By1+C=Ax1+By1-Ax0-By0,即

A(x1-x0)+B(y1-y0)=Ax1+By1+C.②

由①和②两式可以求出x1-x0和y1-y0.但我们只需求(x1-x0)^(2)+(y1-y0)^(2),因此把等式①和②两边平方后相加,整理就可得

(A^(2)+B^(2))[(x1-x0)^(2)+(y1-y0)^(2)]=(Ax1+By1+C)^(2),即(x1-x0)^(2)+(y1-y0)^(2)=

容易看出,等式左边即为点P(x1,y1)到直线l的距离的平方.由此我们就可以得到点P(x1,y1)到直线l的距离d的计算公式

d=.

我们可写出求点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离的计算步骤:

(1)给点的坐标赋值:x1=?,y1=?;

(2)给A,B,C赋值:A=?,B=?,C=?;

(3)计算d=

(4)给出d的值.

图2-17

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2.3 圆的方程

2.3.1 圆的标准方程

我们知道,平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点是圆心,定长是圆的半径.

现在我们来求以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程(图2-20).

图2-20

设M(x,y)是⊙C上的任意一点.

点M在⊙C上的条件是

|CM|=r.

也就是说,如果点M在⊙C上,则|CM|=r,反之,如果|CM|=r,则点M在⊙C上.

由两点间的距离公式,所说条件可转化为方程表示

=r.

两边平方,得

(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2).①

显然,⊙C上任意一点M的坐标(x,y)适合方程①;如果平面上一点M的坐标(x,y)适合方程①,可得|CM|=r,则点M在⊙C上.因此方程①是以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程,叫做圆的标准方程.

图2-21

特别地,如果圆心在坐标原点(图2-21),这时a=0,b=0,圆的标准方程就是

x^(2)+y^(2)=r^(2).

容易看出,如果点M1(x1,y1)在圆外,则点到圆心的距离大于圆的半径r,即

(x1-a)^(2)+(y1-b)^(2)〉r^(2).

如果点M2(x2,y2)在圆内,则点到圆心的距离小于圆的半

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径r,即

(x2-a)^(2)+(y2-b)^(2)〈r^(2).

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赵州桥,位于河北省赵县,净跨37.02m,是世界上著名的单孔空腹式石拱桥,建于395~605年.

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2.3.2 圆的一般方程

把圆的标准方程

(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2)的左边展开,整理得

x^(2)+y^(2)-2ax-2by+a^(2)+b^(2)-r^(2)=0.

在这个方程中,如果令D=-2a,E=-2b,F=a^(2)+b^(2)-r^(2),则这个方程可以表示成

x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0.①

其中D,E,F为常数.

这是一个二元二次方程.如果方程①同一般的二元二次方程

Ax^(2)+Bxy+Cy^(2)+Dx+Ey+F=0 ②作比较,就会发现方程①具有两个特点:

(1)x^(2)和y^(2)项的系数相等且不为0;(x^(2)和y^(2)项的系数如果为不是1的非零常数,只需在方程两边除以这个数,就可得到方程①的形式.)

(2)没有xy这样的二次项.

因为所有圆的方程都可表示成①的形式,所以方程①的以上两个特点就成为二元二次方程表示圆的必须具备的条件.利用这两个条件,我们可以判定哪些二元二次方程的曲线肯定不是圆.例如,可以断定方程

x^(2)+2y^(2)-2x-3y+7=0和x^(2)+xy+y^(2)-3x-4y+5=0

所表示的曲线都不是圆.这是因为在第一个方程中,x^(2),y^(2)的系数不相等;在第二个方程中,有xy项.

那么,具备这两个条件的二元二次方程是否一定表示圆呢?

我们将方程①左边配方,得

(x+D/2)^(2)+(y+E/2)^(2)=.③

(1)当D^(2)+E^(2)-4F〉0时,将方程③与圆的标准方程比较,可以看出方程①表示以(-D/2,-E/2)为圆心,1/2为半径的圆;

(2)当D^(2)+E^(2)-4F=0时,方程③只有实数解x=-D/2,y=-E/2,所以方程①表示一个点(-D/2,-E/2);

(3)当D^(2)+E^(2)-4F〈0时,方程③没有实数解,因而方程①不表示任何图形.

因此,只有当D^(2)+E^(2)-4F〉0时,二元二次方程

x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0才表示一个圆,这时这个方程叫做圆的一般方程.

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圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径,而圆的一般方程表明了方程形式上的特点.

要给出圆的标准方程,需要确定圆心坐标和半径;而要给出圆的一般方程,则需要确定一般方程中的三个系数D,E,F.

注:我们也可以设圆的方程为(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2)。同样,根据已知条件可以列出三个未知数的方程组。通过解方程组,求出a,b,r。

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2.3.3 直线与圆的位置关系

在初中,我们已学过直线和圆的位置关系.现在直线和圆都可以用方程来表示.下面,我们通过具体的例子来学习如何用代数方法研究直线和圆的位置关系.

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以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况(图2-25

图2-25

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通过上面的例子可以看到,有关直线与圆之间的位置关系问题,可以应用坐标法转化为你数方程来求解。

2.3.4 圆与圆的位置关系

设⊙O1的半径为r1,⊙O2的半径为r2.两圆的圆心距为d.

在初中我们知道:

当|r1-r2|〈d1+r2时,两圆相交;

当r1+r2=d时,两圆外切;当|r1-r2|=d时,两圆内切;

当r1+r2〈d时,两圆外离;当|r1-r2|〉d时,两圆内含.

因此,只要由两圆的方程,求出两圆的半径和圆心的坐标,就可根据上面的结论判断两圆的位置关系.下面我们举例说明.

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2.4 空间直角坐标系

2.4.1 空间直角坐标系

在数轴上,一个实数就能确定一点的位置;在坐标平面上,需要一对有序实数才能确定一点的位置.为了确定空间任意点的位置,需要几个实数呢?

本章前言中曾说过,要确定一架飞机在空中的位置,我们不仅要指出地面上的经度和纬度,还需要指出飞机距离地面的高度.这说明要确定空间一点的位置,需要三个实数.

为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直(图2-29),这样它们中的任意两条都互相垂直;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合.这时,我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.

有了空间直角坐标系,我们就能够建立空间内的任意一点P与三个实数的有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.其对应法则如下:

2-29

图2-29所示,过点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面同样垂直于x轴),这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x(图中为2),这个数x就叫做点P的x坐标.

过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴),这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y(图中为3),这个数y就叫做点P的y坐标.

过点P作一个平面平行于坐标平面xOy(垂直于z轴),这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z(图中为5),这个数z就叫做点P的z坐标.

这样,我们对空间中的一个点,定义了三个实数的有序数组作为它的坐标,记作P(x,y,z)(图中为P(2,3,5)).其中x,y,z也可称为点P的坐标分量.

反之,任意给定三个实数的有序数组(x,y,z),就能够确定空间一个点的位置与之

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对应.为此,按照刚才作图的相反顺序,在坐标轴上分别作出点Px,Py,Pz,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x,y,z.再分别通过这些点作平面平行于平面yOz,xOz,xOy,这三个平面的交点,就是所求的点P.

这样,在空间任意一点与三个实数的有序数组(点的坐标)之间,我们就建立起一一对应关系

P(x, y, z)

每两条坐标轴分别确定的平面yOz,xOz,xOy,叫做坐标平面.

容易看出:

xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集,其中x,y为任意的实数;

xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集,其中x,z为任意的实数;

yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集,其中y,z为任意的数;

x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集,其中x为任意实数;

y轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集,其中y为任意实数;

z轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集,其中z为任意实数.

通过点P作平行于坐标平面的平面与坐标轴的交点Px,Py,Pz,其过程也就是作点P在坐标轴上的投影.即,从点P向坐标轴引垂线,它们的垂足分别为Px,Py,Pz.

所以点P的空间坐标为点P在坐标轴上的投影在这些坐标轴上的坐标.

三个坐标平面把空间分为八部分,每一部分都称为一个卦限.在坐标平面xOy上方,分别对应该坐标平面上四个象限的卦限,称为第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限;在下方的卦限称为第V卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限(图2-30).

在每个卦限内,点的坐标各分量的符号是不变的.例如在第Ⅰ卦限,三个坐标分量x,y,z都为正数;在第Ⅱ卦限,x为负数,y,z都为正数……

图2-30

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2.4.2 空间两点的距离公式

在平面直角坐标系中,已知两点的坐标,我们会求它们的距离.你会推出计算空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)距离的公式吗?

推导空间两点的距离公式与推导平面上两点的距离公式类似.

计算空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离公式是

d(A, B)=|AB|=

特别地,点A(x,y,z)到原点O的距离公式为

d(O, A)=|OA|=.

推导空间两点距离公式的思路是:

过两点分别作三个坐标面的平行平面(图2-31),则这六个平面围成一个长方体.我们知道,长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.于是,只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式,就能导出两点的距离公式.

你还可以作线段AB在三个坐标平面上的正投影,把空间问题转化为平面问题加以解决(图2-31).

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2-31

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本章小结

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阅读与欣赏

笛卡儿

笛卡儿(1596-1650)是法国伟大的数学家、哲学家和物理学家.1596年3月31日出生于法国都兰的贵族家庭,自幼丧母,体弱多病.8岁入拉弗来什公学读书.教师考虑他的特殊情况,允许他每天早上可以晚起床多休息.但笛卡儿利用这段时间进行晨读,并养成了善于思考的习惯.传说笛卡儿躺在床上观察虫子在天花板上爬行的位置,激发了灵感,使他产生了坐标的概念.

笛卡儿博览群书,曾自述:别人学的,我都学了.我并不以此为满足,那些认为最奇怪,最不寻常的有关各种学科的书,凡是我能搞到的,我都要把它们读完.他有好的思考习惯,每当读书时,总是把书拿来先弄清作者的主要意图,读完开头的部分就细细品味,并力求得出下面的结论.

1612年他入普瓦界大学攻读法学,四年后获博士学位,后去巴黎当律师.1618年参军,部队到荷兰南部的小城市布勒达时,一次巧遇街头小报上征解数学难题,笛卡儿成功应解,这使他对数学发生兴趣,并坚定了他终生研究数学的决心.1619年11月部队到达多瑙河上的一个小村镇时,他不断地思考数学、哲学上的新方法——怎样把代数应用到几何中去.他曾说:我想去寻求一种新的,包含这两门学科的好处,而又没有它们缺点的方法.他致力于研究数学中这一完全崭新的领域,这个领域后来被牛顿称之为解析几何.

1621年他退伍去荷兰、瑞士、意大利旅行.1625年返回巴黎.1628年定居荷兰进行研究和写作.这时他研究哥白尼学说,1634年写成《论世界》一书.1637年出版了《折光学》、《气象学》和《几何学》.

1644年笛卡儿出版了《哲学原理》、1646年出版了《论心灵的各种感情》等重要著作.同年冬,笛卡儿应瑞典女王克利斯蒂娜的邀请移居斯德哥尔摩为女王讲授哲学课,后因患感冒得肺炎,于1650年2月11日去世.笛卡儿研究的解析几何,使用的是坐标法.这种方法是在平面上建立点的坐标(x,y),用坐标(x,y)表示点的位置.于是一条曲线就可用两个变数的代数方程来表示.这样,笛卡儿把一个几何问题通过坐标归结为代数方程式,用代数方法研究方程的性质,然后再翻译成几何语言,得出图形的几何性质.笛卡儿用这种方法研究了含有两个变数的二次方程,指出根据方程的次数可.将曲线分类,并得出一般二次方程可分别表示椭圆、双曲线、抛物线等曲线的结论.

坐标法使代数学和几何学结合起来,开创了数学发展的一个崭新时代.恩格斯说:数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.这段话正确地评价了坐标法的历史功绩.

 第一章 常用逻辑用语

第一章 常用逻辑用语

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1.1 命题与量词

1.2 基本逻辑联结词

1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式

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你已经学习了不少数学知识,是否觉得数学是很美的学科,数学学习能使你准确、严格地思考,数学精神能使你一丝不苟、追求完满.但是在学习过程中,有时也会发生一些似乎同数学思想格格不入的事情.例如,考察以下推导:

设a=b,则有

a^(2)=ab

a^(2)-b^(2)=ab-b^(2

(a+b)(a-b)=b(a-b)

a+b=b

2b=b

2=1.

这是怎么回事?哪儿出错了?是数学失灵了吗?你要找出问题及其原因,就要学习逻辑,学会用正确的逻辑规则去检验推导过程,去分析导出结论.

本章将以你已有的数学知识为基础,学习常用的逻辑用语及其符号化表达方式,以提高你的逻辑分析、数学表达和逻辑思维能力.

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1.1 命题与量词

1.1.1 命题

在数学中,我们常常碰到许多用语言、符号或式子表达的语句.例如:

(1)lg 100=2;

(2)所有无理数都是实数;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;

(4)函数y=2x+1是单调增函数;

(5)设a,b,c,d是任意实数,如果a〉b,c〉d,则ac〉bd;

(6)sin(α+β)=sin α+sinβ(α,β是任意角).

这些语句都可以判断真假,其中(1)(2)(3)(4)都是真(正确的),(5)(6)都是假(不正确的).

像这样一些能判断真假的语句就是我们初中已学习过的命题.

一个命题要么是真,要么是假,但不能既真又假,也不能模棱两可、无法判断其真假.

应该指出:(1)并不是任何语句都是命题,只有那些能够判断真假的语句才是命题.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题,如三角函数是周期函数吗?但愿每一个三次方程都有三个实数根!指数函数的图象真漂亮!等,都不是命题;(2)在数学或其他科学技术中,还有一类陈述句也经常出现,如每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和.(哥德巴赫猜想)在2020年前,将有人登上火星.等,虽然目前还不能确定这些语句的真假,但是随着科学技术的发展与时间的推移,总能确定它们的真假,人们把这一类猜想仍算为命题.

一个命题,一般可以用一个小写英文字母表示,如p,q,r,….

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1.1.2 量词

在数学中,我们经常见到一些含有变量x的语句,如x^(2)-1=05x-1是整数等,可用符号p(x),q(x)等表示.由于不知道x代表什么数,无法判断它们的真假,因而它们不是命题.然而,当赋予变量x某个值或一定的条件时,这些含有变量的语句又变成可以判定真假的语句,从而成为命题.例如

p(x):x^(2)-1=0,不是命题;

q(x):5x-1是整数,也不是命题.

如果赋予变量x某个数值,如x=5,可以分别得出

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p(5):5^(2)-1=0;

q(5):5×5-1是一个整数.

想一想,p(5),q(5)是命题吗?为什么?

如果在语句p(x)或q(x)前面加上对所有整数x的条件,又可以得出

p1:对所有整数x,x^(2)-1=0;

q1:对所有整数x,5x-1是整数.

这里,短语所有在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.

事实上,全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题,用符号表示上述两个全称命题为

p1x∈Z,x^(2)-1=0;(假)

q1x∈Z,5x-1是整数.(真)

一般地,设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质,那么全称命题就是形如对M中的所有x,p(x)的命题.用符号简记为

x∈M,p(x).

如果在语句p(x)或q(x)前面加上有一个整数x的条件,还可以得到命题

p2:有一个整数x,x^(2)-1=0;(真)

q2:至少有一个整数x,5x-1是整数.(真)

短语有一个有些至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题.

事实上,存在性命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某性质的命题,用符号表示上述两个存在性命题为

p2x∈Z,x^(2)-1=0;(真)

q2x∈Z,5x-1是整数.(真)

一般地,设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质,那么存在性命题就是形如存在集合M中的元素x,q(x)的命题,用符号简记为

x∈M, q(x).

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一个全称命题,可以包含多个变量,例如:

a,b∈R, (a+b)(a^(2)-ab+b^(2))=a^(3)+b^(3

全称命题真,意味着对限定集合中的每一个元素都具有某性质,使所给语句真.因此,当给出限定集合中的任意一个特殊的元素时,自然应导出这个特殊元素具有这个性质(这类似于代入思想).例如,因为

a, b∈R, (a+b)(a^(2)-ab+b^(2))=a^(3)+6^(3)真,

所以,当a=3,b=5时,

(3+5)(9-15+25)=3^(3)+5^(3

自然是正确的.

用以上思想去分析本章引言中2=1的错误,就可以说清道理了.由a二6命题真,可以导出以下三个命题真:a^(2)-b^(2)=ab-b^(2), (a+b)(a-b)=b(a-b).但下一步导出a+b=b是错误的,由于它引用了一个不真的全称命题VJ6R,等式两边可以同时除以d,等式仍然成立.同样的锚误县由2b=b异出2=1.

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1.2 基本逻辑联结词

1.2.1 且与或

在自然语言中,我们经常使用联结词且或非等,但是它们在不同的句子中有着不同的含义.在逻辑或数学中使用这些词,是用来联结两个命题,构成一个新命题的,它有着精确的含义.这些词在使用中,不能多义或引起歧义.下面介绍数学或逻辑中使用联结词且或非的精确含义.

1.且

逻辑联结词且与日常语言中的并且及和相当.在日常语言中常用且联结两个语句.例如,他是共青团员,且学习成绩全班第一,这个语句表达的意义是,这个同学既是共青团员,他的学习成绩又是全班第一.显然,这个语句只有在以上两层意思都真时,它表达的意思才是真实的.否则,只要有一层意思为假,它表达的意思就不是真实的.

设命题

p:2是质数; q:2是偶数.

用且联结可构成新命题

2是质数且是偶数.

一般地,用逻辑联结词且把命题p和q联结起来,就得到一个新命题,记作

p∧q,

读作p且q.

现在的问题是,如何由命题p,q的真假,来确定新命题p∧q的真假.

联想自然语言中并且的含义,我们可以得出:

如果p,q都是真命题,则p∧q是真命题;如果p,q两个命题中,至少有一个是假命题,则p∧q是假命题.反过来,如果p∧q是真命题,则p,q一定都是真命题;如果p∧q为假命题,则p,q两个命题中,至少有一个是假命题,即以下三种情况一定有一种情况出现

(1)p真,q假;(2)p假,q真;(3)p假,q假.

由且的含义,我们可以用且来定义集合A和集合B的交集

A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}.

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注 在数理逻辑的书中,通常把如何由p,q的真假判定p∧q真假总结成表Ⅰ.

表Ⅰ

p q P∧q

想一想,这张表是不是完整地表达了,如何由p,q的真假来确定p∧q的真假.

2.或

逻辑联结词或的意义和日常语言中的或者是相当的.但是日常语言中的或者有两类用法:其一是不可兼的或,如向东或向西走,这里不可能同时向东又向西;其二是可兼的或,如要苹果或要香蕉,这里可以理解为要香蕉不要苹果,也可以理解为不要香蕉要苹果,还可以理解为香蕉、苹果两者都要.不可兼的或的含义,在程序设计语言中被抽象为异或概念,这里暂不学习;这里仅研究可兼的或在数学中的含义.

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设命题

p:24是8的倍数; q:24是9的倍数.

用或联结,可得新命题

24是8的倍数或24是9的倍数.

一般地,用逻辑联结词或把命题p,q联结起来,就得到一个新命题,记作

p∨q,

读作p或q.

如何由命题p和命题q的真假,来确定新命题p∨q的真假呢?由于这里的或有可兼的含义,因此,我们规定:

如果p,q两个命题中,至少有一个是真命题,则p∨q是真命题;只有当两个命题都为假时,p∨q是假命题.反过来,如果p∨q是真命题,则p,q两个命题中,至少有一个是真命题,即以下三种情况必有一种出现:(1)p真,q真;(2)p真,q假;(3)p假,q真.如果p∨q是假命题,则p,q一定都是假命题.

由于命题p:24是8的倍数为真,命题q:24是9的倍数为假,因此新命题p∨q为真.

由或的含义,我们可以用或来定义集合A和集合B的并集

A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}.

 在数理逻辑的书中,通常把如何由p,q的真假判定p∨q的真假总结成表Ⅱ.

表Ⅱ

p q P∨q

想一想,这张表是不是完整地表达了,如何由p,q的真假来确定p∨q的真假.

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1.2.2 非(否定)

逻辑联结词非(也称为否定)的意义是由日常语言中的不是全盘否定问题的反面等抽象而来的.

例如,把命题

函数y=cos x的最小正周期是2π

加以否定,就构成了新的命题

函数y=cos x的最小正周期不是2π.

由此可见,如果原命题是真命题,则它的否定就应该是假命题.

一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作

p,

读作非p或p的否定.

显然,p与p不能同真或同假,其中一个为真,另一个必定为假.它们是互为否定的,从而有

p)=p.

由非的含义,我们可以用非来定义集合A在全集U中的补集

UA={x∈U|(x∈A)}={x∈U|xA}.

 一般把如何由p的真假判定p的真假总结成表Ⅲ.

表Ⅲ

p p
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下面,我们来研究如何对含有量词的全称命题和存在性命题进行否定.

先看含有一个变量的存在性命题如何加以否定.例如,

P:有些三角形是直角三角形.

这是一个存在性命题,用符号可以表示为

x∈{三角形},x是直角三角形.

这个命题的否定应该是没有一个三角形是直角三角形,也就是说

所有的三角形都不是直角三角形.

这样,可以用符号表示为P:x∈{三角形},x不是直角三角形.

一般地,可以得出结论:

存在性命题 P:x∈A, P(x).

它的否定是P:x∈A,P(x).

再考察含有一个变量的全称命题如何加以否定.例如,

q:所有的质数都是奇数.

这是一个全称命题,用符号可表示为

x∈{质数},x是奇数.

否定它只要能举出一个反例就行了.因而它的否定就可以表示为q:x∈{质数},x不是奇数.

一般地,可以得出结论:

全称命题 q:x∈A, q(x).

它的否定是 q:x∈A, q(x).

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我们已经学习了 且 或 非三个主要的逻辑联结词.这三个联结词同样可用来联结含有变量的语句?在用联结词联结含有变量的语句时,得到的新语句一般仍为含有变量的语句,它的真假要根据语句中变量的取值来确定.例如:

(1)x=2或x=3;

(2)x+y=9且x-y=-1.

对于(1),x至少取2,3中的一个值时,语句表达才是真的,而x取其他任何值(1)都是假的;

对于(2),只有x取值4,且:y取值5时,语句表达才是真的,而x,y取其他任何值时,语句(2)都是假的.

含有变量的语句,通常称为开句或条件命题.

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1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式

1.3.1 推出与充分条件、必要条件

在数学和日常语言中,我们经常遇到如果p,则(那么)q形式的命题,其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.

有些命题的真假,要通过推理证明来断定.经过证明为真的命题,在数学中常称为定理.

我们知道,当命题如果p,则q经过推理证明断定是真命题时,我们就说由p可以推出q,记作

pq,

读作p推出q.

如果p可推出q,则称

p是q的充分条件;q是p的必要条件.

这就告诉我们,

命题如果p,则q真;

pq;

p是q的充分条件;

q是p的必要条件.

这四种形式的表达,讲的是同一个逻辑关系,只是说法不同而已.

下面我们再举例说明.

(1)命题如果x=-y,则x^(2)=y^(2)是真命题;

x=-yx^(2)=y^(2);

x=-y是x^(2)=y^(2)的充分条件;

x^(2)=y^(2)是x=-y的必要条件.

以上不同形式的叙述,表达的都是同一个逻辑关系.

(2)命题若A∩B≠,则A≠是真命题;

A∩B≠A≠

A∩B≠是A≠的充分条件;

A≠是A∩B≠的必要条件.

以上不同形式的叙述,表达了同一个意义的逻辑关系.

(3)平面几何中学习过的定理:在三角形中,等角对等边,以及它的逆定理:在三角形中,等边对等角,就是说:

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命题在△ABC中,如果∠B=∠C,则AC=AB是真命题;

在△ABC中,∠B=∠CAC=AB;

在△ABC中,∠B=∠C是AC=AB的充分条件;

在△ABC中,AC=AB是∠B=∠C的必要条件.

以上叙述同样表达了意义相同的逻辑关系.

同时,我们还知道,命题在△ABC中,如果AB=AC,则∠B=∠C也是真命题.

这就是说,∠B=∠C不仅是AB=AC的充分条件,也是AB=AC的必要条件.

一般地,如果pq,且qp,则称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作

pq.

显然,当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.

p是q的充要条件,又常说成

q当且仅当p,或pq等价.

例如:

(1)如果一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的判别式△=b^(2)-4ac≥0,则这个方程有实数根;反之,如果一元二次方程ax^(2)+bx+c=0有实数根,则△≥0.由于这两个命题都是真命题,所以这两个命题合起来可用充要条件表述为

方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)有实数根的充要条件是△≥0.

(2)在△ABC中,如果∠C=90°,则AC^(2)+BC^(2)=AB^(2);反之如果AC^(2)+BC^(2)=AB^(2),

则∠C=90°.由于这两个命题都是真命题,所以这两个命题合起来可用充要条件表述为

在△ABC中,∠C=90°的充分必要条件是AC^(2)+BC^(2)=AB^(2).

(3)如果四边形是平行四边形,则它的一组对边平行且相等;反之,如果四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形.由于这两个命题都是真命题,所以这两个命题合起来可用充要条件表述为

一个四边形是平行四边形的充要条件是它的一组对边平行且相等.

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1.3.2 命题的四种形式

命题如果p,则(那么)q是由条件p和结论q组成的,对p,q进行换位和换质后,一共可以构成四种不同形式的命题.

(1)原命题:如果p,则q;

(2)条件和结论换位得

如果q,则p,

这称为原命题的逆命题

(3)条件和结论换质(分别否定)得

如果非p,则非q,

这称为原命题的否命题

(4)条件和结论换位又换质得

如果非q,则非p,

这称为原命题的逆否命题.

可以看出,原命题如果p,则q和它的逆命题如果q,则p是互逆的命题.同样,否命题如果非p,则非q和逆否命题如果非q,则非p也是互逆命题;

命题如果p,则q与如果非p,则非q,如果q,则p与如果非q,则非p分别是互否的命题;

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命题如果p,则q与如果非q,则非p,如果q,则p与如果非p,则非q分别都是互为逆否的命题(图1-4).

图1-4

由以上例题可以发现:原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题真假之间的关系是不定的,而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假值上是始终保持一致的:同真或同假.

一般来说,命题如果p,则q的四种形式之间有如下关系:

(1)互为逆否的两个命题等价(同真或同假).因此,要证明原命题也可以只证明它的逆否命题.

(2)互逆或互否的两个命题不等价.

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本章小结

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阅读与欣赏

什么是数理逻辑

数理逻辑是用数学方法研究推理过程的科学.所谓数学方法就是用一套表意符号(即有确定意义的人工符号语言)表达思维规律与逻辑结构的方法.

三百多年前,德国数学家莱布尼兹就想发明一种语言符号用作推理,他认为逻辑语言就是用一些表意符号去分别代表一些简单的概念,然后用符号的各种不同组合来表达思维.继莱布尼兹后对数理逻辑作出重大贡献的是英国数学家布尔,他指出逻辑学应像代数那样,能够借助一些有确定意义的符号按照一定的运算法则进行演算,从而把思维规律的研究转化为符号运算规律的研究.布尔成功地定义了逻辑加法和逻辑乘法.例如,在本章中给定了两个命题,就可用联结词或且分别构造出新的命题.用或联结两个命题通常就叫做逻辑加,用且联结两个命题通常叫做逻辑乘,并且容易验证这些逻辑加法和逻辑乘法满足交换律、结合律和分配律,这样就把逻辑中语言推理转化为代数运算.应用数学方法研究逻辑,使数学的应用大大地扩大,所谓数学在生物学和社会学中的应用等于零的说法就完全不成立了.现代数理逻辑在数学、计算机科学、自动化控制、哲学、语言学、经济学等科学中有着广泛的应用.

同学们学点数理逻辑知识是完全必要的.这有助于提高我们的逻辑思维能力,为我们今后能正确使用数学语言打下基础.应当指出,近代数学语言已有了显著的变化,集合和数理逻辑语言已成了数学表述的通用语言.十多年来,数理逻辑在我国大学、中学已逐步普及.如果你不懂得一点数理逻辑知识,你就很难读懂数学书了.

现代数理逻辑的发展异常迅速,已取得了许多重大成果.数理逻辑基础知识一般包括:集合代数、命题代数和谓词演算等部分.

 第二章 圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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2.1 曲线与方程

2.2 椭圆

2.3 双曲线

2.4 抛物线

2.5 直线与圆锥曲线

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我们知道,古希腊的几何学家对几何学作出过杰出的贡献,他们不仅对平面图形以及柱、锥、球进行过详细的研究,而且还对许多曲线进行过研究,并且取得杰出的成果,如获得椭圆、双曲线和抛物线等各种曲线的特征性质.

古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面,当平面与圆锥面的轴线所成的角α变化时,获得不同的截线(图2-1).

图2-1

设圆锥面的轴线与母线的夹角为θ,轴线与轴线在平面内正投影的夹角为α,则:

(1)当轴线垂直于平面时,截线是一个圆;

(2)当θ〈α〈π/2时,截线叫做椭圆;

(3)当α=θ时,截线叫做抛物线;

(4)当0≤α〈θ且平面不过圆锥面的顶点时,截线叫做双曲线.

人们通常把上述曲线叫做圆锥曲线.

圆锥曲线在数学和其他科学技术领域中,有着大量的应用.向太空发射人造地球卫星,机器制造、建筑以及各种工程建设中都需要应用圆锥曲线的性质.

在数学2平面解析几何初步一章的学习中,我们已经指出用数字表示点和用方程表示曲线的重要意义.用坐标方法研究曲线,可以充分有效地使用现代的计算机技术.这一章,我们将用坐标方法来讨论圆锥曲线的性质.

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2.1 曲线与方程

2.1.1 曲线与方程的概念

通过数学2平面解析几何初步一章的学习,我们初步掌握了在直角坐标系中确定直线和圆的方程,并用方程研究直线和圆的几何性质的方法.我们称这种研究几何的方法为坐标法.现在我们以此为基础,进一步明确曲线与方程的概念.

用坐标法研究图形性质的基本思路是,借助于坐标系,把点与坐标、曲线与方程联系起来,从而达到形与数的结合;再通过方程对曲线的几何性质进行研究,把几何问题转化为代数问题来解决.

让我们先回顾一下圆及其方程的意义.

图2-2,以点O为圆心,半径为r(r〉0)的圆,记作⊙(O,r).以O为原点建立直角坐标系xOy,我们可以得到圆的方程为

x^(2)+y^(2)=r^(2).①

上述圆的方程表示的意义是:

(1)设M(x0,y0)是⊙(O,r)上任意一点,则它到圆心O的距离等于r,因而满足方程=r,即x02)+y02)=r^(2),这就是说,(x0,y0)是方程①的解;如果点(x0,y0)不在⊙(O,r)上,则必有≠r,即有x02)+y02)≠r^(2),(x0,y0)就不会是方程①的解.

(2)如果(x0,y0)是方程①的解,则可以推得=r,即点M(x0,y0)到圆心O的距离等于r,点M在⊙(O,r)上;如果(x0,y0)不是方程①的解,则可以推出≠r,即点M(x0,y0)不在⊙(O,r)上.

以上两点说明了⊙(O,r)上的点与方程x^(2)+y^(2)=r^(2)的解之间有一一对应关系.

我们知道,⊙(O,r)可以看成是一个动点M运动的轨迹.于是在坐标平面上,当⊙(O,r)上一个动点M沿该圆周运动时,点M的坐标(x,y)随着点M的运动而变化,点M运动的轨迹可以用方程x^(2)+y^(2)=r^(2)来表达.

一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.

一个二元方程总可以通过移项写成F(x,y)=0的形式,其中F(x,y)是关于x,y的解析式.例如,y=x^(2)可以写成x^(2)-y=0.

在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:

图2-2

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(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;

(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.

那么,曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程.

这就是说,如果曲线C的方程是F(x,y)=0,则

M(x, y)∈CF(x, y)=0.

因此,方程F(x,y)=0可作为描述曲线C的特征性质.曲线C用集合的特征性质描述法,可以描述为

C={M(x, y)|F(x, y)=0}.

在坐标系选定以后,曲线被它的方程所唯一确定.但曲线的方程不是唯一的,除与我们选取的坐标系有关外,在同一坐标系下,还会有同解方程.

由两条曲线的方程,可求出这两条曲线的交点的坐标.

已知两条曲线C1和C2的方程分别为

F(x, y)=0, G(x, y)=0.

则交点的坐标必须满足上面的两个方程.反之,如果(x0,y0)是上面两个方程的公共解,则以(x0,y0)为坐标的点必定是两条曲线的交点.因此,求两条曲线C1和C2的交点坐标,只要求方程组

的实数解就可以得到.

注 在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知AB,由关系(2)可知BA;同时具有关系(1)和(2),就有A=B.

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2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

在研究直线与圆的方程时,我们已经看到解析几何主要讨论下面的两个基本问题:

(1)由曲线求它的方程;

(2)利用方程研究曲线的性质.

下面让我们通过实例,进一步体会如何建立曲线的方程,以及如何利用方程研究曲线的性质.

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2.2 椭圆

2.2.1 椭圆的标准方程

椭圆是常见的图形.例如,汽车油罐横截面的轮廓;天体中一些行星和卫星运行的轨道.又如在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水,将杯体倾斜一个角度,水面的边界是椭圆;灯光斜照在圆形桌面上,地面上的影子也是椭圆形.

在画板上取两个定点F1和F2,把一条长度为定值且大于|F1F2|的细绳的两端固定在F1,F2两点(如图2-7).用铅笔尖把细绳拉紧,并使笔尖在画板上慢慢移动一周,画出的图形是一个椭圆.

图2-7

图2-8

从上面的画图过程,我们可以得出椭圆的定义:

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于

F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

现在我们根据椭圆的定义来求椭圆的方程.

设椭圆的焦距|F1F2|=2c,椭圆上任意一点与F1,F2的距离的和等于常数2a,其中a〉c〉0.

以过焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图2-8所示.这时,焦点F1,F2的坐标分别为(一c,0),(c,0).

设M(x,y)是椭圆上的任意一点,根据椭圆的定义可知,点M在椭圆上的充分必要条件是

|MF1|+|MF2|=2a.

因为|MF1|=,|MF2|=,所以上述条件转化为坐标表示,就是

+=2a.①

当x≠0时,,由①得

=2a,

整理得

=a,

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=.②

①+②,整理得

=a+c/ax.③

将③式平方,再整理得

x^(2)+y^(2)=a^(2)-c^(2).④

因为a〉c〉0,所以a^(2)-c^(2)〉0.

设a^(2)-c^(2)=b^(2),b〉0,则④式化为

=1(a〉b〉0).⑤

当x=0时,|MF1|=|MF2|=a.由=a,得y^(2)=a^(2)-c^(2)=b^(2),点M的坐标为(0,±b),此时M的坐标适合⑤.

因此,方程⑤是给定的椭圆的方程.通常把这个方程叫做椭圆的标准方程.焦点是F1(-c,0),F2(c,0),且c^(2)=a^(2)-b^(2).

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本例用待定系数法求出了椭圆的标准方程.要注意焦点在x轴上的椭圆与焦点在y轴上的椭圆,其标准方程有不同的形式.

解题(2)时,也可以根据椭圆的定义,由点(,-)与焦点F1,F2的距离的和等于2a,求出a的值;然后由b2=a2-c2,确定b2的值,请同学们试一试.

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2.2.2 椭圆的几何性质

已知椭圆C的标准方程是

=1(a〉b〉0),①

我们利用方程①来研究椭圆的一些几何性质.

1.范围

由方程①可得,椭圆C上任意一点的坐标(x,y)都适合不等式

≤1,≤1,

-a≤x≤a,-b≤y≤b.

这说明,椭圆C位于直线x=±a和y=±b围成的矩形内(如图2-11).

2.对称性

在方程①中,把x换成-x,这个方程不变.可知如果M1(x,y)是椭圆C上任意一点,则与点M1关于y轴对称的点M2(-x,y)也在椭圆C上,即这个椭圆关于y轴对称.同样地,把y换成-y,或把x和y同时相应换成-x和-y,方程①都不变,可知这个椭圆关于x轴对称,又关于坐标原点对称.

因此椭圆C既是分别以y轴,x轴为对称轴的轴对称图形,又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

图2-11

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3.顶点

在方程①中,令y=0,得x=±a,可知椭圆C与x轴有两个交点,分别是A1(-a,0)和A2(a,0);如果令x=0,则得y=±b,可知椭圆C与y轴也有两个交点,分别是B1(0,-b)和B2(0,b).

因此,椭圆C与它的对称轴共有四个交点,即A1,A2和B1,B2(如图2-12),这四个点叫做椭圆的顶点.

在a〉b〉0的条件下,线段A1A2叫做椭圆的长轴,它的长等于2a;线段B1B2叫做椭圆的短轴,它的长等于2b.显然,椭圆的两个焦点在它的长轴上.

于是,在椭圆的方程①中,a,b分别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长.又设椭圆的焦距为2c,则c是椭圆的半焦距.由a,b,c满足关系式

a^(2)=b^(2)+c^(2),

可知长度分别为a,b,c的三条线段构成一个直角三角形,长度为a的线段是斜边.

图2-12中,F1,F2是椭圆的焦点,A1,A2,B1,B2是椭圆的顶点.可知

|OA1|=|OA2|=a,|OB1|=|OB2|=b,

|OF1|=|OF2|=c,|B2F1|=|B2F2|=a.

因此,直角三角形F2OB2(或F1OB2)直观地显示出a,b,c三者之间的关系.

4.离心率

椭圆的焦距与长轴长的比e=c/a叫做椭圆的离心率.

因为a〉c〉0,所以0〈e〈1. e越趋近于1,则c越趋近于a,从而b=越小,因此椭圆越扁;反之,e越趋近于0,c越趋近于0,从而b越趋近于a,这时椭圆就越趋近于圆.

如果a=b,则c=0,两个焦点重合,这时椭圆的标准方程就变为圆的方程

x^(2)+y^(2)=a^(2).

图2-12

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2.3 双曲线

2.3.1 双曲线的标准方程

我们已经知道,平面内与两个定点的距离的和为常数的点的轨迹可能是椭圆,那么与两个定点的距离差为非零常数的点的轨迹可能是怎样的曲线呢?

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

以过焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(图2-15).

图2-15

设M(x,y)是双曲线上的任意一点,双曲线的焦距是2c(c〉0),那么F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0).又设点M与F1和F2的距离的差的绝对值等于常数2a(0〈a〈c).则点M在双曲线上的充分必要条件是

︳|MF1|-|MF2|︳=2a,即|MF1|-|MF2|=±2a.

因为|MF1|=,|MF2|=,所以上述条件转化为坐标表示,就是

=±2a,①

=±a.

+=±2c/ax.②

上面①,②两式中的右边同取+号或同取-号.

由①+②,得

=±(c/ax+a).③

将③式两边平方,再整理得

x^(2)-y^(2)=c^(2)-a^(2).

因为c〉a〉0,所以c^(2)-a^(2)〉0.设c^(2)-a^(2)=b^(2),b〉0,则上式化为

=1(a>0,b〉0).④

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因此,方程④是双曲线的方程,通常把这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的双曲线,两焦点在x轴上,焦点坐标分别为(-c,0),(c,0),这里c^(2)=a^(2)+b^(2).

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2.3.2 双曲线的几何性质

我们利用双曲线C的标准方程

=1(a〉0, b〉0)①来研究双曲线的一些几何性质.

1.范围

由方程①可知,双曲线C上任意一点的坐标(x,y)都适合不等式

≥1,

即x^(2)≥a^(2),得x≥a或x≤-a.

因此双曲线C位于两直线x=a和x=-a所夹平面区域的外侧,如图2-18所示.

图2-18

2.对称性

类似于对椭圆对称性的讨论,可知双曲线C是以x轴,y轴为对称轴的轴对称图形;也是以原点为对称中心的中心对称图形.这个对称中心叫做双曲线的中心.

3.顶点

在方程①中,令y=0,得x=±a,可知双曲线C与x轴有两个交点,分别是A1(-a,0)和A2(a,0).令x=0,得y^(2)=-b^(2),这个方程没有实数根,说明双曲线C与y轴没有公共点.

双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.如图2-19所示,双曲线C的顶点是A1(-a,0),A2(a,0),这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点.线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a.同时,在y轴上作点B1(0,-b),B2(0,b),线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b.相应地,a,b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长.

2-19

4.渐近线

观察图2-19中方程①所表示的双曲线C.在直线x=a的右侧,当x逐渐增大时,双曲线的右支向右上和右下逐渐延伸;在直线x=-a的左侧,当x逐渐减小时,双曲线的左支向左上和左下逐渐延伸.

我们再进一步分析双曲线的这一变化趋势,不妨先考虑它在第一象限内的那一部分,这一部分曲线的方程可表示为

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y=b/a=(x〉a)。

由于x〉a〉0,可知〈x;又因为b〉0,所以

y〈b/ax.

这说明在第一象限内,双曲线C上的任意一点M(x,y)总是位于直线y=b/ax的下方.

图2-19所示,过点M作直线y=b/ax的垂线MP,则M到直线y=b/ax的距离

|MP|=

=

=|x-|

=·.

因为当x〉a时,x+随着x增大而增大,所以随着x增大而减小,可知当x越来越大时,|MP|越来越接近于0.这说明当点M从双曲线C的顶点A2开始在第一象限沿此双曲线移动,并越来越远离点A2时,点M和直线y=b/ax就越来越接近.

由此可见,此双曲线右支向右上方无限延伸时,它总在直线y=b/ax下方,且与直线y=b/ax越来越接近,但不会相交.

根据双曲线的对称性可知,双曲线C向外无限延伸时,总是局限在由直线y=b/ax和直线y=-b/ax相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内,并与这两条直线无限接近,但永远不会与这两条直线相交,如图2-19所示.

直线y=b/ax和直线y=-b/ax叫做双曲线的渐近线.

注 双曲线=1的渐近线方程为y=±a/bx.

5.离心率

双曲线的焦距与实轴的比e=c/a,叫做双曲线的离心率.因为c>a〉0,所以双曲线的

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离心率e〉1.

由等式c^(2)-a^(2)=b^(2)可得

b/a===.

因此e越大,b/a也越大,即渐近线y=±b/ax的斜率的绝对值越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔.

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2.4 抛物线

2.4.1 抛物线的标准方程

我们在操场上投掷铅球,或者进行排球比赛时向对方抛发球,看到的铅球、排球运行的轨道是抛物线的形象.抛物线是一种常见的曲线,它的应用也很广泛.例如太阳灶、探照灯、雷达天线、射电望远镜等,都是利用抛物线的原理制成的.

在画板上画一条直线l,使l与画板左侧的边线平行;再在直线l外画一个定点F(如图2-21).取一把丁字尺靠紧画板左侧外沿,丁字尺和直线l垂直相交于点P,在丁字尺的另一端取一点Q.将一条长度等于|PQ|的细绳,一端固定在点Q,另一端固定在点F.用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳,然后上下平移丁字尺,笔尖滑动画出的曲线是部分抛物线.

平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.

下面我们根据抛物线的定义来探求它的方程.

过点F作直线l的垂线,垂足为K.以直线KF为x轴,线段KF的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图2-22所示.

设|KF|=p(p〉0),则焦点F的坐标为(p/2,0),准线l的方程为x=-p/2.

再设M(x,y)是抛物线上的任意一点,点M到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点M在抛物线上的充要条件是

|MF|=d.

因为|MF|=,d=|x+p/2|,所以上述条件转化为坐标表示,就是

=|x+p/2|.

图2-21

图2-22

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将上式两边平方并化简,得

y^(2)=2px(p〉0).①

方程①叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是(p/2,0);它的准线方程是x=-p/2,其中p是焦点到准线的距离.

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2.4.2 抛物线的几何性质

我们根据抛物线的标准方程

y^(2)=2px(p〉0)①来研究它的一些几何性质.

1.范围

因为p〉0,由方程①可知,这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,它开口向右.

2.对称性

以-y代y,方程①不变,因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

3.顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中,当y=0时,x=0,因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.

4.离心率

抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.按照抛物线的定义,e=1.

图2-23

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在直角坐标平面上,顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况,因此拋物线的方程相应地有四种形式,它们都叫做拋物线的标准方程,它们的推导过程类同.

设拋物线的焦点到准线的距离为P(P>0),上述拋物线方程的四种形式列表如下:

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图形
标准方程 y^(2)=2px
(p>0)
y^(2)=-2px
(p>0)
x^(2)=2py
(p>0)
x^(2)=-2py
(p>0)
对称轴 x轴 y轴
顶点 原点
焦点坐标 (p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2) (0,-p/2)
准线方程 x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2
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2.5 直线与圆锥曲线

我们知道,直线与圆的位置关系有相交、相切或相离三种情况,可以分别由直线与圆有两个不同的公共点、有且只有一个公共点或没有公共点来确定.直线与圆的公共点问题,可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题,从而用代数方法来判断直线与圆的位置关系.现在,我们采用同样的方法来研究直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.下面举例说明.

直线与椭圆的公共点个数存在三种可能:有两个不同的公共点,有且只有一个公共点(其实是两个公共点重合为一点),没有公共点;相应地就说直线与椭圆相交,相切,相离.

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直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦,线段的长就是弦长.简单地说,圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.

在例2中所设直线l的方程为点斜式,已认定直线的斜率存在,这时要注意相线l的斜率不存在的情况.

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本章小结

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阅读与欣赏

圆锥面与圆锥曲线

圆锥曲线在科学研究以及生产和生活中具有广泛的应用.关于圆锥曲线的基本理论,成熟于古希腊.当法国数学家笛卡儿(Deacartes,1596-1650)和费马(Fermat,1601-1665)创立了解析几何时,人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段,对圆锥曲线的研究方法开始朝着解析几何的方向发展.到了18世纪,人们对解析几何广泛地进行探讨,表示圆锥曲线的二元二次方程也被化为几种标准形式,或者用参数方程来表示.1748年欧拉(Euler,1707-1783)出版了《无穷小分析引论》,在这部著作中,给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述,并从一般二元二次方程

ax^(2)+bxy+cy^(2)+dx+ey+f=0出发,指出圆锥曲线的各种情形,经过适当的坐标变换,总可以化为几种标准形式之一.

有意思的是,在进行坐标旋转变换和伸缩变换时,△=b^(2)-4ac的值是不会变的.而且,我们有如下结论:

若△〈0,则上述方程可以化成椭圆方程或类似于椭圆方程的形式;

若△〉0,则上述方程可以化成双曲线方程或类似于双曲线方程的形式;

若△=0,则上述方程可以化成抛物线方程或类似于抛物线方程的形式.

圆锥曲线是描述天体运行轨道时常用的曲线,也是我们日常生活中常见的曲线,圆锥曲线的光学性质在现实生活中的应用相当普遍.

下面我们不加证明直接列出圆锥曲线的一些光学性质:

(1)从椭圆的一个焦点处发出光线照射到椭圆上,经反射后都通过另一个焦点(如图2-29);

图2-29

(2)从双曲线的一个焦点处发出光线照射到双曲线上,经反射后会使光线散开,如同光线是从另一个焦点发出来的一样(如图2-30);

图2-30

(3)从抛物线焦点处发出的光线照射到抛物线上,经反射后都平行于抛物线的轴(如图2-31).

图2-31

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反之,平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上,经反射后都通过焦点(如图2-32).

图2-32

圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中.例如电影放映机的聚光灯的反射镜的形状是旋转椭圆面;手电筒、探照灯、太阳灶的反光镜都是旋转抛物面.

 第三章 空间向量与立体几何

第三章 空间向量与立体几何

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3.1 空间向量及其运算

3.2 空间向量在立体几何中的应用

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在平面向量的学习中,我们已看到平面内与某个非零向量共线的全体向量构成的集合,可以由该集合内的任意一个非零向量生成,即任给这个集合中的一个非零向量e,该集合内的任意一个向量p,都存在唯一一个实数x,使

p=xe.

一个平面内全体向量构成的集合可由该平面内的任意两个不共线的向量生成,即任给这个集合中的两个不共线的向量e1,e2,该集合内的任意一个向量p,都存在唯一一对有序实数(x,y),使

p=xe1+ye2.

这样,就可使我们用向量确定平面内任意一点的位置.由于向量具有一套优良的代数运算通性,我们就可用代数方法研究平面图形的性质,使数与形更好地结合在一起.

在空间中,具有大小和方向的量,仍叫做向量.由于我们生活的空间是立体的,所以我们会处处感受到空间向量的存在.空间中点的位移、风速、力等都是具有大小和方向的量.事实上,我们生活的空间就处处受到地球磁场力的作用.

容易想到平面向量集合只是空间向量集合的子集.平面向量有哪些性质可以推广到空间向量?空间向量本身又有哪些特有的性质呢?这是自然会引起我们思考的问题.

这一章,我们首先把平面向量的概念与运算推广到空间,接着研究空间向量的性质,并讨论向量在立体几何中的应用.

空间向量不仅是进一步学习数学的基础,同样它在物理学、工程、经济学及其他科学技术中都有着广泛的应用.

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3.1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量的线性运算

1.空间向量的概念

在空间中,同样把具有大小和方向的量叫做向量.例如,空间中点的一个位移就是一个向量.

与平面向量一样,空间向量也是用有向线段来表示,并且用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

例如,图3-1中的位移向量a,可以分别用同向且等长的有向线段来表示,即

====a.

在空间中,用有向线段表示向量时,我们同样说向量,A为向量的起点,B为向量的终点.起点与终点重合的向量叫做零向量,记为0.应注意,在手写向量时,仍要在字母上方加箭头.

与平面向量一样,表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作|a|.有向线段的方向表示向量的方向.有向线段所在的直线叫做向量的基线.

如果空间中一些向量的基线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.如图3-2所示,a平行于b,记作a∥b.我们规定零向量与任意向量共线.

图3-1

图3-2

2.空间向量的加法、减法和数乘向量运算

由于空间中任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量,我们可把平面向量的线性运算,推广到空间中,用来定义空间向量的加法、减法和数乘向量运算.

例如,已知两个不平行的向量a,b,作=a,=b.这时,O,A,B三点不共线,于是这三点确定一个平面.如图3-3,我们有以下结论:

a+b===

a-b=a+(-b)====

注 应注意,平行向量的基线可能重合.

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当λ〉0时,λa=

当λ=0时,λa=0;

当λ〈0时,λa=.

想一想,以上运算结果,与向量起点的选择有没有关系.

由此可见,平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则,对空间向量也同样成立.

同样,我们也能把平面内多个向量的加法推广到空间.如图3-4所示

=.

这就是说,表示相加向量的有向线段依次首尾相接,构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和.为了便于记忆,常把这个和向量叫做封口向量.

空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样,满足如下运算律:

(1)加法交换律 a+b=b+a;

(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c);

(3)分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.

请同学们根据图3-5中的空间四边形各边以及对角线表示的向量验证加法结合律.

由向量加法的交换律和结合律可以推知:

有限个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变.

图3-3

图3-4

图3-5

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从上面例题的(1)我们可以得到下面的结论:

三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。

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3.1.2 空间向量的基本定理

1.共线向量定理

两个平面向量共线的判定与性质,对于空间向量仍成立:

共线向量定理 两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数x,使

a=xb.

定理的证明在平面向量中已经给出.

2.共面向量定理

已知向量a,作=a,如果a的基线OA平行于平面α或在α内,则就说向量a平行于平面α,记作a∥α(图3-8).

通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

任意两个空间向量总是共面的,但任意三个空间向量就不一定共面了.例如,在图3-9所示的长方体中,向量,无论怎样平移都不能使它们在同一平面内.

下面我们研究向量共面的判定与性质.

共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数x,y,使c=xa+yb.

图3-8

图3-9

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证明:(1)必要性:如果向量c与向量a,b共面,我们总可以通过平移,使它们位于同一平面内.由平面向量的基本定理可知,一定存在唯一的实数对x,y,使

c=xa+yb.

(2)充分性:如果c满足关系式

c=xa+yb,

则可选定一点O(图3-10),作=xa,==yb,于是

==xa+yb=c.

显然,都在平面OAB内,这就说明c与a,b共面.

注 三个向量共面,又称这三个向量线性相关;反之,如果三个向量不共面,则称这三个向量线性无关.

图3-10

3.空间向量分解定理

空间向量分解定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使

p=xa+yb+zc.

证明:如图3-12所示,过点O作

=a,=b,=c,=p.

过点P作直线PP′平行于OC,交平面OAB于点P′,在平面OAB内,过P′作直线P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线OA,OB相交于点A',B',于是存在三个实数x,y,z,使

=x=xa,

=y=yb,

=z=zc,

图3-12

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这就证明了表达式①是唯一的.

表达式xa+yb+zc,叫做向量a,b,c的线性表示式线性组合.

由上述定理可知,如果三个向量a,b,c是三个不共面的向量,则a,b,c的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量,这时a,b,c叫做空间的一个基底,记作{a,b,c},其中a,b,c都叫做基向量.

由上述定理可知,任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底.

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3.1.3 两个向量的数量积

1.两个向量的夹角

已知两个非零向量a,b(图3-15),在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉.

通常规定

0≤〈a, b〉≤π.

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在这个规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且

〈a, b〉=〈b, a〉.

如果〈a,b〉=90°,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.

我们知道,两个向量一定共面.但在作有向线段分别表示向量a,b时,它们的基线可能不在同一平面内,我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.把异面直线平移到一个平面内,这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.

注 一条直线在空间有自己固定的位置,而一个向量在空间可平行移动,没有固定的位置.

图3-15

2.两个向量的数量积

在平面向量中,我们通过力做功和向量在轴上的投影的计算,引入了两个向量数量积的定义.平面向量的数量积可推广到空间向量.

已知空间两个向量a,b,总可以把它们平移到一个平面内,把平面向量的数量积

a·b=|a||b|cos〈a,b〉,叫做两个空间向量a,b的数量积(或内积).

由这个定义可知,两个向量的数量积是一个实数.

与平面上两个向量的数量积一样,两个空间向量的数量积也具有如下性质:

(1)a·e=|a|cos〈a,e〉;(2)a⊥ba·b=0;

(3)|a|^(2)=a·a;(4)|a·b|≤|a||b|.

图3-17

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两个空间向量的数量积同样满足如下运算律:

(1)(λa)·b=λ(a·b);

(2)a·b=b·a;(交换律)

(3)(a+b)·c=a·c+b·c.(分配律)

下面我们来证明数量积的分配律.

已知向量a,b,c,如果这三个已知向量共面,在平面向量中我们已经证明分配律成立.现假设这三个向量不共面(图3-18).

作轴l∥c,设轴的单位向量为c0.

在l上任取一点O,作=a,作=b,连OB,则=a+b.过点A作AA′垂直l于点A′,过点B作BB′垂直l于点B′,则

(a+b)·c0=·c0=OB′,

a·c0=·c0=OA′,

b·c0=.c0=A′B′.

因为OB′=OA′+A′B′,所以

(a+b)·c0=a·c0+b·c0.

上式两边同乘以|c|,即可证明

(a+b)·c=a·c+b·c.

图3-18

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3.1.4 空间向量的直角坐标运算

1.空间向量的直角坐标运算

建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k},这个基底叫做单位正交基底(图3-21).单位向量i,j,k都叫做坐标向量.

空间直角坐标系Oxyz,也常说成空间直角坐标系[O;i, j, k].

在空间直角坐标系中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一实数组(a1,a2,a3),使

a=a1i+a2j+a3k,

a1i,a2j,a3k分别为向量a在i,j,k方向上的分向量,有序实数组(a1,a2,a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标.上式可简记作

a=(a1,a2,a3).

于是,我们在空间向量集合的元素与三元有序实数组集合的元素之间建立了一一对应关系,即

a(a1,a2,a3).

设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则容易得到

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),

a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),

λa=(λa1,λa2,λa3),

a·b=a1b1+a2b2+a3b3.

以上向量坐标运算法则,留给同学们自己证明.

在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点P,相对于原点确定了一个向量图3-22).设

图3-21

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=xi+yj+zk,

则(x,y,z)也就是点P的坐标,即P(x,y,z).

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

==(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

2.空间向量平行和垂直的条件

我们知道

a∥b(b≠0)a=λb,

换用坐标表示,得

当b与三个坐标平面都不平行时,

a∥b==.

我们还知道

a⊥ba·b=0.

换用坐标表示,得

a⊥ba1b1+a2b2+a3b3=0.

图3-22

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3.两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式

设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

|a|==

|b|==

cos〈a, b〉==

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

||=.

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3.2 空间向量在立体几何中的应用

在学习平面向量时我们已经知道,可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合(轨迹).同样,我们可以利用空间向量确定空间中一点的位置或点的集合.

已知向量a,在空间中固定一个基点O,再作向量=a,则点A在空间中的位置就被向量a所唯一确定了.这时,我们称这个向量为位置向量.当在空间中给定一点时,就可以用不同的向量确定空间中不同点的位置.这就使我们能够用向量和向量运算研究空间图形的性质.

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

1.用向量表示直线或点在直线上的位置

给定一个定点A和一个向量a(图3-24),再任给一个实数t,以A为起点作向量

=ta,①

这时点P的位置被t的值完全确定.容易看到,当t在实数集R中取遍所有值时,点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之,在直线l上任取一点P,一定存在一个实数t,使=ta.

向量方程①通常称作直线l以t为参数的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.

直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(图3-25),点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t,满足等式

=+ta.②

如果在l上取=a,则②式可化为

=+t=+t(),

=(1-t)+t.③

①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程,它们都与平面的直线向量参数方程相同.

在③中,当t=1/2时,我们就可以得到线段中点的向量表示式.设点M是线段AB的中点,则

=1/2().

图3-24

图3-25

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这就是线段AB中点的向量表达式.

下面我们举例说明,如何利用直线的方向向量和向量运算确定直线上任一点的位置.

在例1中,可以直接用直线的向量参数方程求解:根据条件求出l,直接代入方程.

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2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行

设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2图3-27(1)),则由向量共线的条件,得

l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2.

3-27

已知两个不共线向量v1,v2与平面α共面(图3-27(2)),一条直线l的一个方向向量为v,则由共面向量定理,可得

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l∥α或l在α内存在两个实数x,y,

使v=xv1+yv2.

由共面向量定理,我们还可以得到:

如果A,B,C三点不共线,则点M在平面ABC内的充分必要条件是,存在一对实数x,y,使向量表达式

=x+y成立.

已知两个不共线的向量v1,v2与平面α共面,则由两平面平行的判定与性质,得

α∥β或α与β重合v1∥β且v2∥β.

请用综合法证明例2,从中体会向量运算的几何意义.

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3.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

如果知道两条直线的方向向量,我们就可以利用两个方向向量是否平行(或重合)、垂直来判定直线是否平行、垂直.

设两条直线所成的角为θ,则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补.

图3-29所示,设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则有

l1⊥l2v1⊥v2

cosθ=|cos〈v1,v2〉|.

图3-29

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 从以上几个例子,可以看到,用向量方法解几何题的一般步骤是:把线段转化为向量来表示,并通过已知向量表示未知向量,或选用基向量表示其他向量,然后通过向量运算去计算或证明.

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3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示

已知平面α(图3-32),如果向量n的基线与平面α垂直,则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交.

由平面法向量的定义可知,平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.

由于同时垂直于同一平面的两条直线平行,可以推知,一个平面的所有法向量互相平行.

由平面法向量的性质,很容易通过向量运算证明直线与平面垂直的判定定理.

如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

已知a,b是平面α内的两条相交直线,且直线n⊥a,n⊥b(图3-33).

求证:n⊥α.

证明:设m是α内的任一条直线.在n,a,b,m上分别取非零向量n,a,b,m.因

图3-32

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为a与b相交,由共面向量定理可知,存在唯一的数对(x,y),使

m=xa+yb,

n·m=xn·a+yn·b.

由已知条件,可推知

n·a=0, n·b=0.

因此n·m=0,得n⊥m.

因为直线n垂直于平面α内的任一直线,所以直线n垂直于平面α.

现在我们来研究问题:

设A是空间任一点(图3-34),n为空间内任一非零向量,适合条件

·n=0①的点M的集合构成什么样的图形?

容易看出,如果任取两点M1,M2(其中M1,M2和A三点不共线),且

·n=0,·n=0,

则n⊥平面AM1M2.

图3-33

图3-34

由直线与平面垂直的判定定理,就可以推知,在平面AM1M2内的任一点M都满足条件①式.又知满足条件①的所有点M都在平面AM1M2内.

这就说明,我们可以用①式表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面.①式通常称为一个平面的向量表示式.

设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则容易得到

α∥β或α与β重合n1∥n2

α⊥βn1⊥n2n1·n2=0.

于是我们就可利用向量的平行或垂直的条件,来讨论平面的平行或垂直.

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已知平面a和一点A,过点A作a的垂线l与a相交于点A',则A'就是点A在平面a内的正射影,以下简称射影.由上述定义可知,平面a内的任一点在a内的射影都是它自身.

图形F上所有的点在平面a内的射影所成的集合叫F,做图形F在平面a内的射影(图3-36).

如果一条直线AB和平面a相交于点B(图3-37),但不和a垂直,那么直线AB叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点B叫做斜足,斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB.

图3-36

图3-37

本例证明所得的结论,通常称为三垂线定理.

三垂线定理 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.

类似地可以证明:

三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

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想一想,如果在三垂线定理中,已知条件改为:直线l//平面a,并且直线l垂直于斜AC在平面a内的射影BC,直线l是否还垂直于斜线AC?

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3.2.3 直线与平面的夹角

如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角为90°.

如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为0°.

平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢?

我们先研究如何计算平面的斜线与该平面内任一条直线的夹角.

图3-40,已知OA是平面α的斜线段,O是斜足,线段AB垂直于α,B为垂足,则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影.设OM是α内通过点O的任一条直线,OA与OB所成的角为θ1,OB与OM所成的角θ2,OA与OM所成的角为θ.下面我们用向量的运算来研究θ,θ1,θ2之间的关系.

在直线OM上取单位向量m,则⊥m,即·m=0.

因为=,所以

·m=.m+.m,

因此·m=·m,即

||cosθ=||cosθ2

cosθ=cosθ2.

图3-40

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又因为=cosθ1,所以

cosθ=cosθ1cosθ2.①

在上述公式中,因为0≤cosθ2≤1,所以

cosθ≤cosθ1.

因为θ1和θ都是锐角或直角,所以θ1≤θ.

由此我们得到:

斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).

图3-41,设向量在平面α内的射影为,且直线AB与平面α夹角为θ,则〈〉=θ.易证

||=||cosθ.

在公式①中,如果θ2=90°,你能得出什么结论?

图3-41

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3.2.4 二面角及其度量

平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作α-l-β.如图,A∈α,B∈β,二面角也可以记作A-l-B,也可记作^(2)∠l(图3-43).

在二面角α-l-β的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角图3-43).显然,这个平面角与点O在l上的位置无关(为什么?).

3-43

二面角的大小可以用它的平面角来度量.二面角的平面角是几度,就说这个二面角是

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几度.我国发射的第一颗人造卫星的倾角是68.5°,这个倾角指的就是人造卫星的轨道平面和地球赤道平面所成的角(图3-44).

本书中,我们约定,二面角不小于0°,不大于180°.

平面角是直角的二面角叫做直二面角图3-45).互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面.

我们可用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量.

如图3-46所示,分别在二面角α-l-β的面α,β内,作向量n1⊥l,n2⊥l,则我们可以用向量n1与n2的夹角来度量这个二面角.

图3-46,设m1⊥α,m2⊥β,则角〈m1,m2〉与该二面角大小相等或互补.

图3-44

图3-45

3-46

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在例2中,把△ABC换为a内的多边形可其他任意图形,所证公式仍然成立.设S是a内的任一平面图形的面积,它在平面β内正射影的面积为S',则S'=Scosθ.

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3.2.5 距离(选学)

1.距离的概念

在几何学中,我们经常碰到要计算两个图形之间的距离.一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值,叫做图形与图形的距离图3-50).

图3-50

图3-51

计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题.计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.下面举例说明如何用向量运算求两点之间的距离.

注 同样,例1可以通过构造三角形,再解三角形来求解.解法留给同学作为练习,并比较两种解法的内在联系.

2.点到平面的距离

我们知道,过平面α外一点P有唯一的一条直线PA垂直α(图3-52).设A是垂足,B是α内异于A的任一点,由△PAB是直角三角形可得

PA〈PB.

这就是说,连接平面α外一点P与α内任意一点的所有线段

图3-52

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中,垂线段PA最短.

一点到它在一个平面内正射影的距离,叫做点到这个平面的距离

3.直线与它的平行平面的距离

我们知道,如果一条直线平行于平面α,则直线上的各点到平面所作的垂线段相等,即各点到α的距离相等(图3-53).

一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做直线与这个平面的距离.

图3-53

4.两个平行平面的距离

和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分,叫做两个平面的公垂线段.

图3-54,平面α∥平面β,直线AA′,BB′都是它们的公垂线段,由四边形AA′B′B是矩形可知,两平行平面的公垂线段都相等.

两平行平面的公垂线段的长度,叫做两平行平面的距离.

计算以上图形之间的距离,我们可以用勾股定理、三角函数和向量的内积运算求解得.下面我们举例说明,如何用向量运算来求点到平面的距离.

图3-54

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本章小结

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阅读与欣赏

向量的叉积及其性质

大家已经知道,向量是解决空间中平行、长度和角度的度量等问题的锐利武器.下面我们介绍向量的叉积运算,它在求平面之间的夹角、面积和体积问题时,有广泛应用.

给定空间中不共面的三个向量a,b,c,假设它们的始点都是O.如图1所示,如果此时a,b,c的位置关系和右手的拇指,食指,中指的位置关系相同,我们就称a,b,c构成右手系.

图1

图2所示,给定两个不共线的空间向量a,b,它们的叉积是满足下列条件的向量c:

(1)c同时垂直于a和b;

(2)a,b,c构成右手系;

(3)|c|=|a||b|sin〈a,b〉.

向量a与b的叉积,记作a×b,读作a叉乘b.值得注意的是,

a||b|sin〈a,b〉就是以向量a,b为邻边的平行四边形的面积(如图2).

2

如果向量a,b共线,我们规定a×b=0.

两个向量的叉积运算,满足以下运算律.

对任意三个向量a,b,c和实数λ,有:

(1)a×b=-b×a;

(2)(λa)×b=λ(a×b);

(3)(a+b)×c=a×c+b×c.

下面介绍,如何在空间直角坐标系中,用向量的坐标来进行向量的叉积运算.

如果a,b,c,d都是实数,我们规定

.

设e1,e2,e3为单位正交基底,而且它们构成右手系.则显然

e1×e1=e2×e2=e3×e3=0,

e1×e2=e3,e2×e3=e1,e3×e1=e2.

如果a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

a×b=(a1e1+a2e2+a3e3)×

(b1 e1+b2e2+b3e3

=(a2b3-a3b2)e1+(a3b1-a1b3)e2

(a1b2-a2b1)e3

=.

.

由此可知,空间向量a,b所张成的平行四边形(如图2)的面积为

S=.

 第一章 导数及其应用

第一章 导数及其应用

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1.1 导数

1.2 导数的运算

1.3 导数的应用

1.4 定积分与微积分基本定理

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同学们,你会求函数曲线的切线吗?你会求曲线形的面积吗?本章将引进一对新的运算——求导数和求积分.它们同加法与减法、乘法与除法一样,互为逆运算.这两种新的运算将帮助你解决上述两个问题。

当你看到导数积分这两个名词时,你也许感到生疏,其实它们不过是初中数学概念的延伸.这两种运算的对象是函数(曲线).求导数和求积分的基本思想是以直代曲.用高倍放大镜观察,一条曲线的微小片段,看上去像一条很短很短的线段.这样曲线可以近似地看成折线,再用处理直线的方法来研究函数曲线.可见导数与积分来源于同学们所熟悉的知识。

导数和积分是微积分学中最重要的两个概念.它们是研究函数和解决众多实际问题的重要工具.本章的重点是导数及其应用,以及定积分和微积分基本定理。

在本章的学习中,同学们将通过实际问题理解导数与积分概念,并学习求一些初等函数的导数与积分,用它们去解决一些实际问题,为今后进一步学习微积分学打下良好的基础.同时,通过本章的学习,体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法,领略微积分学的文化价值。

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1.1 导数

1.1.1 函数的平均变化率

在爬山过程中,我们都有这样的感觉:当山坡平缓时,步履轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁.怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢?下面我们用函数变化的观点来研究这个问题.

假设图1-1是一座山的剖面示意图,并在上面建立平面直角坐标系.A是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.

自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度.想想看,如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢?

图1-1

某旅游者从点A爬到点B,假定这段山路是平直的.设点A的坐标为(x0,y0),点B的坐标为(x1,y1),自变量x的改变量为x1-x0,记作△x,函数值的改变量为y1-y0,记作△y,即

△x=x1-x0,△y=y1-y0.

于是,此人从点A爬到点B的位移可用向量

=(△x,△y)

来表示.假设向量对x轴的倾斜角为θ,直线AB的斜率为k,从图1-2容易看出

k=tanθ==.

显然,线段所在直线的斜率的绝对值越大,山坡越陡.这就是说,竖直位移与水平位移之比的绝对值越大,山坡越陡;反之,山坡越平缓.

现在摆在我们面前的问题是:山路是弯曲的,怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢?

图1-2

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一个很自然的想法是将弯曲山路分成许多小段,每一小段山坡可视为平直的.例如,山坡DE可近似地看作线段DE,再用对平直山坡AB分析的方法,得到此段山坡的陡峭程度可以用比值=近似地刻画.注意各小段的是不尽相同的.但不管是哪一小段山坡,高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值

=

来度量.由此,我们引出函数平均变化率的概念.

一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记△x=x1-x0,△y=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)①,则当△x≠0时,商

=

称作函数y=f(x)在区间[x0,x0+△x](或[x0+△x,x0])的平均变化率.

①这里△x,△y可为正值,也可为负值.但△x≠0,△y可以为0.

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1.1.2 瞬时速度与导数

物体作匀速直线运动,速度是路程与时间之比:v=s/t.如果物体作变速直线运动,那幺它的速度如何刻画呢?例如,自由落体、竖直向上发射火箭都是变速直线运动,这类运动路程随时间变化,速度也随时间变化,速度与路程、时间有什幺样的关系呢?

设物体运动路程与时间的关系是s=f(t)(图1-4).从t0到t0+△t这段时间内,物体运动的平均速度是

v0==.

可见平均速度v0就是函数f(t)在区间[t0,t0+△t]的平均变化率.那幺在某一时刻t0,运动的速度(瞬时速度)是什幺呢?我们从平均速度出发讨论这个问题.

当|△t|取一系列越来越小的值时,平均速度v0取一系列数值,这一系列数值有什幺特点呢?下面我们以10米跳台跳水运动为例来分析这个问题①.

设在10米跳台上,运动员跳离跳台时竖直向上的速度为6.5 m/s.运动员在时刻t距离水面的高度

h(t)=10+6.5t-1/2gt^(2),

其中g为重力加速度,g≈9.8 m/s^(2).于是,

h(t)=10+6.5t-4.9t^(2).

现在我们来探讨运动员在t=2 s时竖直向上的(瞬时)速度.容易算出,该运动员在2 s至2.1 s(记为[2,2.1])这段时间内的平均速度为

==-13.59(m/s).

运用计算器可以得到下列平均速度表:

时间区间/s 时间间隔/s 平均速度/(m·s^(-1))
[2,2.1] 0.1 -13.59
[2,2.01] 0.01 -13.149
[2,2.001] 0.001 -13.1049
[2,2.0001] 0.0001 -13.10049
[2,2.00001] 0.00001 -13.100049
…… …… ……

①跳水运动在竖直方向上是匀加速运动,匀加速运动的运动方程是

s=v0 t+1/2at^(2),其中v0为初始速度,a为加速度,t为运动时间.

(图1-4)

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时间区间/s 时间间隔/s 平均速度/(m·s^(-1))
[1.9,2] 0.1 -12.61
[1.99,2] 0.01 -13.051
[1.999,2] 0.001 -13.0951
[1.9999,2] 0.0001 -13.09951
[1.99999,2] 0.00001 -13.099951
…… …… ……

由此表可以看出,当时间间隔越来越小时,平均速度趋于常数-13.1,这个常数被视为该运动员在2 s时的瞬时速度,即

v(2)=-13.1(m/s),

这里-号表示这个运动员在2 s时的瞬时速度的方向是竖直向下的.我们把上述关于2 s时的瞬时速度用函数平均变化率的变化趋势描述如下:

当△t趋近于0时,趋近于-13.1.

我们也可以直接由看出这种变化趋势:

=

=

=-13.1-4.9△t.

当△t趋近于0时,上式右端趋近于常数-13.1.这与前面取具体值计算的结果一致.

一般地,对任一时刻t0,也可以计算出瞬时速度:

=

=

=-9.8t0+6.5-4.9△t.(*)

当△t趋近于0时,上式右端趋近于-9.8t0+6.5.①这就是说,在t0时刻,运动员的瞬时速度是-9.8t0+6.5(m/s).

以上分析表明,当△t趋近于0时,函数h(t)在t0到t0+△t之间的平均变化率

趋近于常数

①△t趋近于0时,△t乘上任何常数仍然趋于0.

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-9.8t0+6.5,

我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度.

这时,同学们可能会问,常数-9.8t0+6.5可以在上面(*)式的最后结果中,令△t=0而得到.为什幺要用趋近于0来表述?这里,先向同学们说明两点:

(1)在上面的例子中,我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程,在这个变化过程中,时间间隔△t越来越短,能越过任意小的时间间隔,但始终不能为0.

(2)当△t趋近于0时,存在着一个数l与商无限地接近.

应当注意,我们这里研究的问题与以前学过的数学有质的不同.这里研究的是两个变量△y与△x比值变化的性质与状态.尽管△x,△y在变化中都趋近于0,但是它们的比值却趋近于一个确定的常数.

由以上分析,我们给出函数瞬时变化率的概念.

设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,当自变量在x=x0附近改变量为△x时,函数值相应地改变

△y=f(x0+△x)-f(x0).

如果当△x趋近于0时,平均变化率

=趋近于一个常数l,那幺常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率.这样,运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.

当△x趋近于0时,趋近于常数l可以用符号→(读作趋近于)记作

当△x→0时,→l,

上述过程,通常也记作

函数y=f(x)在点x0瞬时变化率,通常称为f(x)在点x0处的导数,并记作f′(x0).

这时又称f(x)在点x0处是可导的.于是上述变化过程,可以记作

当△x→0时,→f′(x0

=f′(x0).

如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f′(x).于是,在区间(a,b)内,f′(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数.记为f′(x)或y′(或).

导函数通常简称为导数.本书中,如果不特别指明求某一点的导数,那幺求导数指的

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就是求导函数.

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1.1.3 导数的几何意义

设函数y=f(x)的图象如图1-6所示.AB是过点A(x0,f(x0))与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线.由此割线的斜率是

=,可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A的切线.于是,当Δx→0时,割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即

=切线AD的斜率.

由导数意义可知,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率等于f′(x0).

图1-6

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1.2 导数的运算

1.2.1 常数函数与幂函数的导数

(1)常数函数的导数.

设y=f(x)≡C,C是常数.

C′==,即C′=0.

(2)函数y=x的导数.

设y=f(x)=x.

x′===1,即x′=1.

(3)函数y=x2的导数.

设y=f(x)=x^(2).

(x^(2))′=

=

=(2x+△x)=2x,即(x2)′=2x.

(4)函数y=x^(3)的导数.

设y=f(x)=x^(3).

(x^(3))′=

=

=(3x^(2)+3x△x+△x^(2))=3x^(2),即(x^(3))′=3x^(2).

(5)函数y=1/x的导数.

设y=f(x)=1/x,x≠0.

(1/x)′=

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=

=①),即(1/x)′=-(x≠0).

(6)函数y=的导数.

设y=f(x)=(x>0).

)′=

=

=

=,即()′=(x>0).

①在求导数时,当△x→0时,x是不变的,应视为常数,常数的极限是其本身.这里还用到求极限的四则运算法则:

=

=

=

=.

至此,除常数函数外,我们已经导出了5个常见幂函数的求导公式.你有没有发现求幂函数的导函数的规律?

我们把这些幂函数的求导结果的形式改写一下,有

(x^(1))′=1=1·x^(1-1),

(x^(2))′=2x=2x^(2-1),

(x^(3))′=3x^(2)=3x^(3-1),

(x^(-1))′=(1/x)′=-1/x=-x^(-1-1),

)′=()′==1/2.

由此我们推测,对任意幂函数y=x^(a),当a∈Q时,都有

(x^(a))′=ax^(a-1).

例如:

如果y=x^(8),则y′=(x^(8))′=8x^(7);

如果y=x^(12),则y′=(x^(12))′=12x^(11);

如果y-x,则y′=(x)′=4/3x.

事实上,可以证明上面幂函数的求导公式,对任意实数幂都成立.现在,我们要证明它还有困难.只要求会使用它求幂函数的导数就可以了.但对上面几个常见的幂函数的求导公式要理解它们的推导过程.

我们约定,本章所涉及的函数,如果没有特别说明,指的都是初等函数.

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1.2.2 导数公式表及数学软件的应用

1.基本初等函数导数公式表

在科学研究和工程计算中,经常要使用一些初等函数的导数.为了方便并减少重复的劳动,数学工作者制作出常用函数的求导公式表,供大家使用.这里仅列出基本初等函数的求导公式表,供同学们做练习时查用.

基本初等函数的导数公式表

y=f(x) y′=f′(x)
y=c y′=0
y=x^(n)(n∈N+) y′=nx^(n-1),n为正整数
y=x^(μ)(x>0,μ≠0且μ∈Q) y′=μx^(μ-1),μ为有理数
y=a^(x)(a>0,a≠l) y′=a^(x)lna
y=logax(a>0,a≠1,x>0) y′=1/(xlna)
y=sinx y′=cosx
y=cosx y′=-sinx

①ln a=logea,称为a的自然对数,其底为e,e是一个和π一样重要的无理数:

e=2.718281 8284….

注意(e^(x))′=e^(x),(ln x)′=1/x.

2.数学软件的应用

查表求函数的导数,现在科研人员甚至大学生都很少使用了.由于计算机性能的提高和广泛普及,人们可以使用数学应用软件进行导数的计算.再复杂的函数,使用数学软件进行计算,只是瞬间的事.现在广泛使用的数学软件很多,如Maple、Matlab、Mathcad等.下面举例说明.

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1.2.3 导数的四则运算法则

初等函数是由基本初等函数经过四则运算、乘方、开方和各种复合运算构成.初等函数的导数可以经过基本初等函数导数的运算而求得.我们在知道基本初等函数的导数公式的前提下,可以求得许多较为复杂的函数的导数.

1.函数和(或差)的求导法则

设f(x),g(x)是可导的,则

即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数和(或差).

证明:设y=f(x)+g(x),则

△y=f(x+△x)+g(x+△x)-[f(x)+g(x)]

=[f(x+△x)-f(x)]+[g(x+△x)-g(x)]

=△f+△g.

=

==

即y′=(f+g)′=f′+g′,同理可证(f-g)′=f′-g′.

这个法则可推广到任意有限个函数,即

(f1±f2±…±fn)′=f1′±f2′±…±fn′.

根据函数导数的定义,同样可以证明两个函数之积与商的求导法则.

2.函数积的求导法则

设f(x),g(x)是可导的,则

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即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第二个函数的导数.

由上述法则立即可以得出

[Cf(x)]′=Cf′(x).

即,常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数.

3.函数的商的求导法则

设f(x),g(x)是可导的,g(x)≠0,则

特别是当f(x)≡1时,有

[]′=.

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=.

=u′(x)=a,

所以dy/dx=a[f(u)]u′.

再将u=ax+b代入上式便得到dy/dx

由例5的结论,我们可更方便地求出一些函数的导数,例如:

[(5x+3)5]′=5(u^(5))u′=5×5u^(4)=25(5x+3)^(4);

(sin 2x)′=2(sin u)u′=2cos u=2cos 2x;

[sin(2x+π/3)]’=2(sin u)u′=2cos(2x+π/3).

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1.3 导数的应用

1.3.1 利用导数判断函数的单调性

竖直上抛一个小沙袋,沙袋高度h是时间t的函数.设

h=h(t),

其图象如图1-7所示.横轴表示时间,纵轴表示沙袋的高度,设沙袋的最高点为A,其横坐标为t=t0.

先考察沙袋在区间(a,t0)的运动情况:

根据生活经验,我们知道,在这个区间内,沙袋向上运动,其竖直向上的瞬时速度大于0.即,在区间(a,t0),

=h′(t)>0.

我们说在此区间内,函数h=h(t)是增函数.

再考察沙袋在区间(t0,b)的运动情况:

在这个区间内,沙袋向下运动,其竖直向上的瞬时速度小于0.即,在区间(t0,b),

h′(t)<0.

我们说在此区间内,函数h=h(t)是减函数.

从以上实例能够看出,可以通过函数的导数来判断函数的单调性.我们进而得出用函数导数判断函数单调性的法则:

1.如果在(a,b)内,f′(x)>0,则f(x)在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的单调增区间;

2.如果在(a,b)内,f′(x)<0,则f(x)在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的单调减区间.

我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说明这个法则的正确性:

当v(t)=s′(t)>0时,s(t)是增函数;当v(t)=s′(t)<0时,s(t)是减函数.

我们还可以用函数曲线的切线的斜率来理解这个法则:

当切线斜率为正时,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈上升状态.当切线斜率为负时,函数曲线呈下降状态(图1-8).

如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总有f′(x)>0,则f(x)在这个区间上是增函数;如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总有f′(x)<0,则f(x)在这个区间上是减函数.

图1-7

(图1-8)

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1.3.2 利用导数研究函数的极值

在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点.同样,各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处,但它却是附近的最低点.群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部,群山中的最低处是所有谷底的最低者的底部.

由此启发我们引出极值的概念,并经由极值求函数的最大(小)值.

已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有

f(x)<f(x0),

则称函数f(x)在点x0处取极大值.记作y=f(x0).并把x0称为函数f(x)的一个极大值点.如果在x0附近都有

f(x)>f(x0),

则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0).并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.

极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.

函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间的最大(小)的值.

应注意,极值与最值不同,极值只是对一点附近而言,是局部最值;而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言.

下面,我们研究如何利用导数求函数的极值.

观察图1-12,我们可以看到曲线y=f(x)在极值点x1,x2,x3处的切线与x轴平行

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或重合,即在这些极值点处,

f′(x1)=0, f′(x2)=0, f′(x3)=0.

我们有如下结论:设x=x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x=x0是可导的,则必有f′(x0)=0.

再观察一下在极大值点与极小值点附近函数及其导数的取值情况:

(1)在x=x1处,f′(x1)=0,在x1左侧,f′(x)>0,函数是增加的;在x1右侧,f′(x)<0,函数是减少的.x1是f(x)的极大值点.

(2)在x=x2处,f′(x2)=0,在x2左侧,f′(x)<0,函数是减少的;在x2右侧,f′(x)>0,函数是增加的.x2是f(x)的极小值点.

(3)在x=x3处,f′(x3)=0,在x3左侧,f′(x)>0,函数是增加的;在x3右侧,f′(x)<0,函数是减少的.x3是f(x)的极大值点.

综合以上分析,我们得到求函数y=f(x)极值的如下方法:

第1步 求导数f′(x);

第2步 求方程f′(x)=0的所有实数根;

第3步 考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f′(x)的符号如何变化.如果f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值.

如果在f′(x)=0的根x=x0的左、右侧,f′(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.例如函数f(x)=x^(3(图1~13),有f′(0)=0,但x=0不是极值点.这就是说,f′(x)=0的根不一定都是函数的极值点.由此可见,可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧,f′(x)的符号不同.很明显,f′(x0)=0是x0为极值点的必要条件,并非充分条件.

如何求函数的最大(小)值呢?假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a,b]一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点或区间端点取得.由于可导函数在区间(a,b)内的极值只可能在使f′(x)=0的点取得,因此把函数在区间端点的值与区间内使f′(x)=0的点的值作比较,最大者必为函数在[a,b]上的最大值,最小者必为最小值.

例如,函数y=f(x)的图象如图1-14所示,函数在x=x0处取得最小值f(x0),在端点x=b取得最大值f(b).

求函数y=f(x)在[a,b]的最大(小)值步骤如下:

第1步 求f(x)在开区间(a,b)内所有使f′(x)=0的点;

第2步 计算函数f(x)在区间内使f′(x)=0的所有

图1-12

(图1~13)

图1-14

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点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

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1.3.3 导数的实际应用

在经济生活中,人们经常遇到最优化问题.例如,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.现在,我们研究几个典型的

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实际问题.

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1.4 定积分与微积分基本定理

1.4.1 曲边梯形面积与定积分

我们知道,任一多边形都可以分割成一些三角形,通过计算这些三角形面积的和就可以得出这个多边形的面积.是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积呢?下面我们举例来研究这个问题.

图1-20

①曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形,通常称为曲边梯形.图1-20是一个特殊的曲边梯形,它是一个曲边三角形.

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以上两个实际问,一个是求曲边三角形的面积,一个是求变力所做的功,虽然实际意义不同,但是解决问题的方法和步骤是完全相同的,都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题:

曲边三角形或曲边梯形的面积 S=f(xi)△x;

克服弹簧拉力的变力所做的功 W=f(xi)△x.

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类似的问题还有很多,它们都可以归结为这种和式的极限,牛顿等数学家经过苦心研究,得到了解决这类问题的一般方法,求函数的定积分,

下面给出一般函数定积分的定义,

设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上(图1-21)用分点

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b

把区间[a,b]分为n个小区间,其长度依次为

△xi=xi+1-xi,i=0,1,2,…,n-1

记λ为这些小区间长度最大者,当λ趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0,在每个小区间内任取一点ξi,作和式

In=.

当λ→0时,如果和式的极限存在,我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作

f(x)dx,

f(x)dx=.

其中f(x)叫做被积函数,a叫积分下限,b叫积分上限,f(x)dx叫做被积式,此时称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

根据定积分的定义,曲边梯形面积S等于其曲边所对应的函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积即

S=f(x)dx.

于是,例1的结果可以定为

S=x2dx=1/3.

例2中将弹簧从平衡位置拉长到b所做的功可以写成

W=kxdx=

如果函数y=f(x)在[a,b]的图象是一条连续的曲线,它与直线y=0,x=a,x=b所围成的曲边梯形面积客观存在,则f(x)在[a,b]一定是可积的。

图1-21

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1.4.2 微积分基本定理

如果总是用定义来求定积分,那将非常麻烦,有时甚至无法计算.而求导数比求定积分容易得多.17世纪,牛顿和莱布尼茨找到了两者之间的关系.

我们还是从爬山说起.

图1-22(1)

图1-22(1),把地平线取作横坐标轴,y=F(x)是爬山路线,并假定曲线y=F(x)与x轴都在同一平面内.A是出发点,点B为山顶.

在爬山路线上每一点(x,F(x)),山坡的斜率为F′(x).

将区间[a,b]n等分,记△x=b-a/n.我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线的斜率的关系.不妨以[xk,xk1]为例(如图1-22(2)). EF是曲线过点E的切线,其斜率为F′(xk),于是,GF=F′(xk)△x.在此段所爬高度hk为GH,GH=F(xk1)-F(xk).当△x很小时(即当n很大时),

hk=GH≈GF,

F(xk1)-F(xk)≈F′(xk)△x.

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这样,我们得到了一系列近似等式:

h1=F(a+△x)-F(a)≈F′(a)△x,

h2=F(a+2△x)-F(a+△x)≈F′(a+△x)△x,

h3=F(a+3△x)-F(a+2△x)≈F′(a+2△x)△x,

hn1=F[a+(n-1)△x]-F[a+(n-2)△x]

≈F′[a+(n-2)△x]△x,

hn=F(b)-F[a+(n-1)△x]≈F′[a+(n-1)△x]△x.

将上列n个近似等式相加,得到从A到B所爬总高度

h=h1+h2+…+hn=F(b)-F(a)≈F′(a+i△x)△x

由定积分定义可知:当△x→0时,

F′(a+i△x)△x→F′(x)dx.

由此可见

F′(x)dx=F(b)-F(a).

这一公式告诉我们:

F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差.

通过以上直观分析可得到如下定理:

微积分基本定理 如果

F′(x)=f(x),且f(x)在[a,b]上可积,则

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.由于[F(x)+c]′=f(x),F(x)+c也是f(x)的原函数,其中c为常数.

一般地,原函数在[a,b]上的改变量F(b)-F(a)简记作

F(x)

因此,微积分基本定理可以写成形式:

f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).

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本章小结

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阅读与欣赏

微积分与极限思想

微积分思想雏形出现得很早,公元前两百多年,希腊科学泰斗阿基米德就用圆的内接正多边形无限逼近圆周,求得圆周率π的近似值.阿基米德还用原始的积分观念得到球体积公式V=4/3πr^(3).他是用球体薄片的叠加,并运用杠杆原理得到球的薄片相当于球的外切圆柱挖去一个正圆锥相应的薄片,从而得出了球体积公式(图1-25).

(图1-25)

这是积分的雏形.公元5世纪,中国数学家祖冲之、祖暅父子,得出了

缘幂势既同,则积不容异的原理,现在我们称它为祖暅原理.祖暅原理是说:

如果两物体在等高处的截面积都相等,则两者体积相同,或者

如果两个平面的封闭图形在等高处截线段都相等,则两者面积相等图1-26).这也是一种朴素的积分思想.

微积分思想中的微分思想产生比较晚.公元16世纪,伽利略发现了自由落体运动的规律:

(图1-26)

s=1/2gt^(2).

这个变速运动的瞬时速度是s对t的平均变化率=

=gt0+1/2g△t.

当△t→0时,平均变化率趋向常数gt0.这是导数概念的启蒙.

10世纪初,笛卡儿建立了坐标系,使几何图形能够用函数表示.函数也可以用几何图形直观地表示.人们在探求曲线y=f(x)的切线的时候,发现切线可由割线逼近而来.当△x→0时,割线的斜率

=

所趋近的常数就是切线的斜率.

求变速运动的瞬时速度和求曲线切线的斜率是产生导数概念的直接动因.

下面,我们应用祖暅原理求球体的体积公式.

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 第二章 推理与证明

第二章 推理与证明

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2.1 合情推理与演绎推理

2.2 直接证明与间接证明

2.3 数学归纳法

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同学们,你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗?现在,请你们阅读这本小说中描写推理的一个片段:

……我曾经设法从爪印的大小描画出这个动物的形象.这是它站着不动时的四个爪印.你看,从前爪到后爪的距离,至少有十五英寸.再加上头和颈部的长度,你就可以得出这动物至少长二英尺,如果有尾巴,那也可能还要长些.不过现在再来看看另外的尺寸.这个动物曾经走动过,我们量出了它走一步的距离,每一步只有三英寸左右.你就可以知道,这东西身体很长,腿很短.这东西虽没有留下什幺毛来,但它的大致形状,一定和我所说的一样,它能爬上窗帘,它是一种食肉动物.

你是怎幺推断出来的呢?

因为窗户上挂着一只金丝雀笼子,它爬到窗帘上,似乎是要攫取那只鸟.

通过阅读上述文字,同学们可以初步感受到推理的意义和价值.事实上,推理是人的一种思维方式,它不仅在数学中有着不可替代的重要作用,而且在物理、化学、生物、医学、政治、经济、军事、历史等各个领域都有着广泛的应用.

在本章中同学们将学习合情推理与演绎推理.合情推理是一种含有较多猜想成分的推理,它有助于发现新的规律和事实.在数学中,通过合情推理得到的命题的真实性需要通过证明来确立.数学证明实际上是由一系列的演绎推理所组成的.在实际问题的解决过程中,合情推理和演绎推理紧密联系、相辅相成.

学习数学和研究数学最令人感到困惑也是最引人入胜的环节之一,就是如何发现新的规律和事实与怎样证明规律和事实.发现新的规律和事实我们更多地使用合情推理,而证明规律和事实一般运用演绎推理.本章我们将结合已经学过的数学实例,学习分析法、综合法和反证法.同时,我们还将了解数学归纳法的基本原理,学习用数学归纳法证明一些简单的数学命题,以进一步掌握演绎推理的基本方法.

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2.1 合情推理与演绎推理

在日常生活中,我们经常会自觉或不自觉地根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断.例如,当我们看到天空乌云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现象时,会得出即将

下雨的判断.这种思维方式就是推理.

从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设),叫做前提;一部分是由已知推出的判断,叫做结论.例如,推理

中的a∥b,b∥c是前提,a∥c是结论.推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接,常用的连接词有:因为……所以……;根据……可知……;如果……那幺……;等等.

推理一般分为合情推理与演绎推理.

推理形式中,横线上面的判断是前提,横线下面的判断是结论.

2.1.1 合情推理

考察以下事例中的推理:

(1)1856年,法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因,接着,通过对蚕病的研究,他发现细菌是引起蚕病的原因,据此,巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的;

(2)我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油;

(3)因为三角形的内角和是180°×(3-2),四边形的内角和是180°×(4-2),五边形的内角和是180°×(5-2)……所以n边形的内角和是180°×(n-2).

从上述事例可以发现,其中的推理所得结论都是可能为真的判断,像这种前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.

物理学家的实验归纳、历史学家的典籍论证和经济学家的统计推断是合情推理吗?为什幺?

1.归纳推理

在学习等差数列时,我们是这样推导首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式的:

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a1=a1+0d,

a2=a1+d=a1+1d,

a3=a2+d=a1+2d,

a4=a3+d=a1+3d,

等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d.

这种根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳).归纳是从特殊到一般的过程.

下面,我们通过一个例子来得出归纳推理的一般步骤.

例如,当你看到这样的几个关系式

10=3+7,20=3+17,30=13+17

时,你会发现:3,7,13和17这些数字都是奇质数,偶数10,20和30都可以表示为两个奇质数的和.其他的偶数又怎幺样呢?它们也有类似的性质吗?显然,第一个等于两个奇质数之和的偶数是

6=3+3,

接下去,还有

8=3+5,

10=3+7=5+5,

12=5+7,

14=3+11=7+7,

16=3+13=5+11.

这样下去总是对的吗?无论如何,所观察到的个别情况,可以启发我们提出一个一般性的命题:任何一个大于4的偶数都是两个质数之和①.

①这个命题叫做哥德巴赫猜想,是由数学家哥德巴赫首先提出的.简称一加一,简记为1+1.这个猜想至今没有得到证明.我国数学家陈景润对证明此猜想作出了重大的阶段性成果,证明了1+2,即大偶数N都可表示为N=p1+p2或N=p1+p2p3,其中p1,p2,p3都是质数.

归纳推理的一般步骤:

1.通过观察个别情况发现某些相同性质;

2.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).

一般地,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那幺推广的一般性命题就越可能为真.

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2.类比推理

在学习空间向量时,我们是这样推测空间向量基本定理的:

由于平面向量与空间向量都是既有人小又有方向的量,并且两者具有类似(或一致)的运算性质(如都具有加法的交换律和结合律等),因此根据平面向量基本定理,我们推测空间向量也具有类似的性质:

如果三个向量a,b,c不共面,那幺对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使

p=xa+yb+zc,

这种根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比).类比属于合情推理①.

下面我们通过一个例子来得出类比的一般步骤.

三角形与四面体有如下类似性质:

(1)三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形.

(2)三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形;四面体可以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形.

根据三角形的性质,可以推测空间四面体的性质如下:

三角形 四面体
三角形两边之和大于第三边. 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.
三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心. 四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心.
三角形的中位线等于第三边的一半,且平行于第三边. 四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的1/4,且平行于第四个面.

①事物的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互联系和相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或类似,那幺它们在另一些性质上也可能相同或类似.类比的结论可能是真的,因此,类比属于合情推理.

类比推理的一般步骤:

1.找出两类事物之间的相似性或一致性;

2.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).

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一般地,如果类比的相似性越多,相似的性质推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可能为真。

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2.1.2 演绎推理

我们先看一个简单的例子.

命题:等腰三角形的两底角相等.

已知:如图2-3,在△ABC中,AB=AC.

求证:∠B=∠C.

证明:作∠A的角平分线AD,则∠BAD=∠CAD.

又因为 AB=AC,AD=AD,

所以 △ABD≌△ACD.(SAS)

因此 ∠B=∠C.

分析上述推理过程,若记

p1:∠BAD=∠CAD,

p2:AB=AC,

p3:AD=AD,

p4:△ABD≌△ACD,

q:∠B=∠C,

则可以看出,我们是根据p1,p2,p3三个条件为真,依据三角形全等的判定定理推出p4为真,进而又根据三角形全等的定义,得到q为真.这种由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理.

图2-3

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与合情推理不同的是,演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.

演绎推理中经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理.例如

所有平行四边形对角线互相平分

菱形是平行四边形

所以,菱形的对角线互相平分

就是一个典型的三段论推理,其中大前提是所有平行四边形对角线互相平分,小前提是菱形是平行四边形,结论是菱形的对角线互相平分.

一般地,三段论可表示为

M是P

S是M

所以,S是P

其中大前提M是P提供一般性原理,小前提S是M指出一个特殊的对象,大前提和小前提结合,得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系,从而得出结论S是P.

在实际使用三段论推理时,为了简洁起见,大家经常略去大前提或者小前提,有时甚至这两者都略去,例如25能被5整除这个推理,就省略了大前提末位数字为5的整数能被5整除和小前提25是末位数字为5的整数.

在数学中,证明命题的正确性,都是使用演绎推理.而合情推理不能用作证明.

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2.2 直接证明与间接证明

2.2.1 综合法与分析法

直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性.常用的直接证明方法有综合法与分析法.

综合法是从原因推导到结果的思维方法,而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.具体地说,综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论.分析法则是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.

先看两个综合法证明的例子.

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从前面的例子可以看出,分析法的特点是:从未知看需知,逐步靠拢已知,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件.综合法的特点是:从已知看可知,逐步推向未知,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法各有其特点.有些具体的待证命题,用综合法或分析法都可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种.

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2.2.2 反证法

证明命题设p为正整数,如果p2是偶数,则p也是偶数,我们可以不去直接证明p是偶数,而是否定p是偶数,然后得到矛盾,从而肯定p是偶数.具体证明步骤如下:

假设p不是偶数,可令

p=2k+1,k为非负整数.

可得p2=(2k+1)2=4k2+4k+1,此式表明,p2是奇数,这与已知矛盾.因此假设p不是偶数不成立,从而证明p为偶数.

一般地,由证明pq转向证明:

qrt,

t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.

应用反证法证明命题的真实性最经典的事例是,两千多年前,古希腊人用反证法证明了不是有理数以及质数有无穷多个.

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应用反证法证明数学命题的一般步骤:

1.分清命题的条件和结论;

2.做出与命题结论相矛盾的假设;

3.由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果;

4.断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.

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2.3 数学归纳法

2.3.1 数学归纳法

归纳推理是合情推理,它可以帮助我们发现规律,但是它不能用来证明数学结论.数学归纳法是一种证明方法,专门用来证明与自然数相关的命题.

例如,在本章2.1节的练习中,同学们用归纳推理猜想到

1^(3)+2^(3)+3^(3)+…+n^(3)=,(*)

这个猜想是一个与自然数相关的命题,其正确性有待证明.要证明公式(*)成立,原则上需要对每一个正整数n实施证明.但是这个证明的步骤是无限的,无法实施,需要另寻方法.数学归纳法可以用有限的步骤,完成这个命题的证明.其步骤如下:

(1)当n=1时,(*)式左端等于1,右端也等于1.因此(*)式对n=1成立;

(2)假设当n=k时,(*)式成立,即假设

1^(3)+2^(3)+3^(3)+…+k^(3)=

在此前提下,可推出

1^(3)+2^(3)+3^(3)+…+k^(3)+(k+1)^(3)=+(k+1)^(3),

+(k+1)^(3)=(k+1)^(2)[+(k+1)]

=

由此可见,在假设(*)式对n=k成立的前提下,推出(*)式对n=k+1成立.

于是,我们可以断定(*)式对一切正整数n成立.

同学们会问,为什幺在完成了上述两个证明步骤后,就断定(*)式对一切正整数n成立呢?现作如下说明:

由步骤(1),可知(*)式对n=1成立;由(*)式对n=1成立及步骤(2),可知对n=1+1=2,(*)式成立;再由(*)式对n=2成立及步骤(2),可知(*)式对n=2+1=3成立.继续上述步骤,可知(*)式对n=3+1=4,n=4+1=5,n=5+1=6,…,n=(k-1)+1=k,…都成立.于是,(*)式对一切正整数n都成立.

我们把上述证明方法一般化,叙述如下:

数学归纳法 一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0时命题成立;(2)在假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立,那幺可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.

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2.3.2 数学归纳法应用举例

我们再来研究几个用数学归纳法证明的例子.

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本章小结

Ⅰ 知识结构

Ⅱ 思考与交流

1.试举例说明归纳推理与类比推理的区别.

2.演绎推理的特征是怎样的?试举例说明.

3.合情推理与演绎推理各有怎样的特点?合情推理与演绎推理在数学中各起着怎样的作用,试举例说明.

4.综合法与分析法各有怎样x的特点?试举例说明.

5.反证法的逻辑根据是什幺?

6.数学归纳法与归纳推理有什幺区别?运用数学归纳法时应注意些什幺?与同学交流并回答.

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阅读与欣赏

《原本》与公理化思想

《原本》是古希腊数学家欧几里得(Euclid,约前330-前275)用公理建立起来的演绎体系的最早典范.在此之前,人们所积累下来的数学知识是片断的、零散的.欧几里得借助于逻辑方法,把这些知识组织起来,整理在一个比较严格的演绎体系之中.《原本》的出现对整个数学的发展产生了深远的影响,现代数学和各门科学中广泛使用的公理化方法就是从《原本》发展而来的.

《原本》共分13卷,其中第1卷首先给出23个定义、5个公设和5条公理,近代数学不分公设与公理,凡是基本假定都叫做公理.《原本》后面各卷不再列出公理.这一卷在给出的定义、公设和公理的基础上利用逻辑推理证明了48个命题.其余各卷与第1卷类似,首先给出定义,之后是命题的证明.欧几里得从119个定义、5个公设和5条公理出发,推出了465个命题.

《原本》中所体现的从尽可能少的基本概念和尽可能少的不加证明的公设和公理出发,应用逻辑推理,推导出其他命题,以使数学知识系统化的思想(或方法),就是公理化思想(或方法).一个公理化系统(如欧氏几何、非欧几何、自然数系统、牛顿力学,乃至政治经济学领域的马克思资本论等)的基本结构是:不加定义的对象、定义、公理,推出其他定理.

但在《原本》面世后,人们感到欧氏的第5公设(平行公设)不像一条公理,而像一条定理,人们试图用欧氏的其他公设去证明平行公理,但都无功而返.19世纪,三位伟大的数学家罗巴切夫斯基(N. I.Lobachevsky,1792-1856)、高斯(C. F.Gauss,1777-1855)和波约(J. Bolyai,1802-1860)独立得到结论:平行公理是不可证明的,否定或者肯定平行公理都可以建立一套几何体系,从而引发了数学的一次深刻革命.年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基保留其他公设去掉第五公设,引入了一个与第五公设完全相反的公设:过平面上已知直线外的一点至少可以引出两条直线与该已知直线平行.在此基础上,罗巴切夫斯基构造出了一种全新的几何体系.1854年数学家黎曼(G. F. B. Riemann,1826-1866)又发表了一种与《原本》不同的几何体系,他用平面上任意两条直线都相交取代平行公设.从此非欧几何开始被人们所承认.非欧几何的建立使人们对数学的本质有了崭新的认识.

1899年希尔伯特《几何基础》一书发表,公理化方法进入到了完全形式化的阶段,形式化的公理化方法得到了全面的发展,并进入了数学领域的各个分支.同时,希尔伯特提出将数学全盘公理化的计划,使各门数学成为一个以公理为基础的完备的理论系统.1931年,奥地利数学家哥德尔(K Godel,1906-1978)严格证明了不完备性定理.大意是说,任何一个理论系统,都存在不可判断的命题,同时系统的无矛盾性不可

欧几里得

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能在本系统获得证明,哥德尔的结论彻底摧毁了希尔伯特计划,断绝了企图证明任何一个系统内部无矛盾的全部希望.这使人们对公理化方法的认识提高到一个新的阶段,公理化方法和其他思想方法一样都有局限性.

数学证明的机械化——机器证明

机器证明是用机器证明数学命题,也称为机械证明或自动证明.电子计算机(电脑)具有推理的某些功能.机器证明是人工智能领域研究的重要课题.从传统的手工证明发展到机器证明,是数学思想方法的重大飞跃.

德国数学家希尔伯特在1899年出版的《几何基础》中指出,初等几何中只涉及从属与平行关系的定理可以实现证明的机械化.1950年,波兰数理逻辑学家塔尔斯基进一步从理论上证明,初等代数和初等几何的定理可以实现证明的机械化.

20世纪初完善的数理逻辑为机器证明提供了理论和方法.1956年纽厄尔、西蒙等人建立了机器证明定理的启发式搜索法,编制了一个逻辑理论家程序,用计算机证明了罗素的名着《数学原理》第二章的所有定理.人们认为这是机器证明的开端.50年代末美籍华人王浩发明了王浩算法,把机器证明过程规则化,1959年,他只用了9分钟的机器时间,就在计算机上证明了罗素等着的《数学原理》中的几百条定理,引起数学界的轰动.

1977年,我国数学家吴文俊发表了题为初等几何判定问题与机械化证明的论文,提出了一个证明等式型初等几何定理的新的代数方法.这个方法虽然不能证明几何不等式,但在证明等式型几何定理时的效率比以前的方法高得多.

国际上把这个方法叫做吴方法(Wu Method),吴方法在国际自动推理研究领域广为传播,为机器证明的发展做出了巨大的贡献.

吴方法分为三个主要步骤:

第一步,从几何的公理系统出发,引进数系统与坐标系统,使任意几何定理的证明问题成为纯代数问题.

第二步,将几何定理假设部分的代数关系式进行整理,然后依据确定步骤验证定理终结部分的代数关系式是否可以从假设部分已整理有序的代数关系式中推出.

第三步,依据第二步中的确定步骤编成程序,并在计算机上实施,以得出定理是否成立的最后结论.

人们注意到,机械化证明不可能完全取代人工证明.更何况人工证明是培训人们思维能力的重要手段.

吴文俊

 第三章 数系的扩充与复数

第三章 数系的扩充与复数

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3.1 数系的扩充与复数的概念

3.2 复数的运算

从16世纪开始,解高于一次方程的需要导致复数的形成.高斯把复数和平面上的点一一对应,引进了复数这个名词。现在复数已成为科学技术中普遍应用的一种数学工具。

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随着人类社会的不断发展,数的范围也不断扩大.经过漫长的岁月,数系从自然数逐步扩充到有理数.两千多年前,人类发现了无理数,数的范围扩充到实数.四百年前,人们在求解方程x2+1=0时,引进了虚无缥渺的虚数,从而把数的范围从实数系扩大到复数系.

数系扩充的动力在两个方面.一方面是现实的需要,另一方面是人类理性思维的驱动.数系的每一步扩充,都是人类文明的一次飞跃.

本章将通过介绍数系扩充的简要进程,使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用,体会数与现实世界的联系.本章还将简述复数的概念、复数的几何意义和运算法则,使同学们对复数有一些初步认识,能够解决一些简单的理论与实际问题.

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3.1 数系的扩充与复数的概念

3.1.1 实数系

远古的人类,为了适应统计捕获的猎物和采集的野果等方面的需要,用手指、石子或刻痕数个数.经历了漫长的岁月,创造了自然数1,2,3,4,5,….后来人们把表示无的0也归入自然数,形成了自然数集,自然数集也称作自然数系.自然数系是产生其他一切数的源泉.所有其他数系都是由其扩充得到的.

大约在四千年前,在公平分配物质的时候,人们发现自然数不够用.例如,三人平分一个西瓜,把西瓜切成相同的三份,每人得到其中的一份.怎样用数表示这一份呢?诸如此类的问题很多.

设m,n(n≠0)是自然数,如果数量a满足条件

a×n=m,则称a为分数①,记作m/n.于是,m/n×n=m.根据除法是乘法的逆运算可知m/n=m÷n.这样,分数是两个自然数之比.

两千年前,中国人发现,具有相反意义的两种量,例如收入与支出、上升与下降、入库与出库等等,可用相反数表示,引进了与分数相反的负数.

从解方程的角度,负数是这样引进的:设a是分数(两个自然数之比),且a≠0,方程x+a=0在分数范围内无解.为了解决这个矛盾,数的范围必须扩充.我们把方程x+a=0的解叫做a的相反数,并记作-a.这样,x=-a便是方程x+a=0的解:

(-a)+a=a+(-a)=0.

a(两个自然数之比,a≠0)称作正数,其相反数-a称作负数.从此,数的范围扩大到包括分数和它们的相反数的新数集——有理数集.有理数集也称作有理数系.有理数实际上是两个整数之比.

有理数具有良好的性质:

(1)有理数对四则运算是封闭的,即两个有理数进行四则运算的结果仍然是有理数;

(2)0与1的性质:a+0=0+a=a,1·a=a·1=a;

①这时的分数集是自然数集的扩充.包括自然数和两个自然数之比.

结绳计数

殷墟甲骨上的数字

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(3)加法和乘法都满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律.

两千多年前,富于理性思维的希腊人,感悟到两个同类量并不总是可以公度的①.换言之,仅用有理数表示事物的数量是不够的.他们发现正方形和正五边形的边长和对角线是不可公度的.这意味着,边长为1的正方形和正五边形的对角线不能用有理数表示.这个发现如石破天惊,震撼了当时的科学界.从此人类引进了无理数(不是两个整数之比的数).这样,数系从有理数扩大到包括有理数和无理数的实数系.

有理数和开方开不尽的数的集合并不等同于实数集.它只是实数集的真子集.例如,e和π,它们是无理数,但不是由有理数经过开方运算得到的数.那幺实数到底是什幺?由于实数是从有理数集扩充而来,只能从有理数那里找依据.我们可以这样理解:实数就是小数,而小数包括有限小数(含整数)、无限循环小数和无限不循环小数.

至此,数系扩充的脉络是

自然数系→有理数系→实数系,

用集合符号表示是

NQR,

前者是后者的真子集.

实数系不仅具有有理数系所具有的性质(1)(2)(3),而且和数轴上的点可以建立一一对应的关系.换言之,实数所对应的点充满了整个数轴而没有任何空隙.这为研究函数与微积分奠定了坚实的基础.

①存在一个单位量,去度量两个同类量,都得到整数倍,则称这两个量是可公度的.例如,用一个长度l0作单位,去度量两条直线段l1,l2,得到

l1=n1l0

l2=n2 l0,其中n1,n2为自然数,则称l1与l2是可公度的.这时

=是分数.

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3.1.2 复数的概念

同学们知道,当a,b为正分数时,方程ax+b=0在正分数范围内没有解.当我们把数的范围扩充到有理数系以后,这个方程在有理数范围内,恰有一个解:x=-b/a.

方程x^(2)-2=0在有理数系没有解,但是当把数的范围扩充到实数系以后,这个二次方程恰有两个解:x=±.

同学们在解一元二次方程ax2+bx+c=0的时候,会遇到判别式△=b^(2)-4ac<0的情况.这时在实数范围内方程无解.其根本原因是任何实数的平方都不可能是负数.这样一元二次方程有的有两个实数解,有的没有实数解.

进而考虑一元三次方程,如x^(3)-x=0有三个解:x=-1,0,1.而x^(3)-1=0只有一个实数解:x=1.

如此看来,在实数范围内,方程解的个数与方程次数的关系并不确定.一个自然的想法是把实数系扩大,可否使二次方程都有两个解,三次方程都有三个解……

为了解决这个问题,人们引进了一个新数.当时人们认为这个新数是一个虚幻的数,便以虚数(imaginary number)命名,并以英文名称的字首i记之.虚数i满足i^(2)=-1.

引进了虚数i以后,一元二次方程ax2+bx+c=0总有两个根:

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一般地说,三次方程可化为一个一次方程和一个二次方程,例如三次方程x^(3)-1=0可化为

(x-1)(x^(2)+x+1)=0,

即x-1=0,x^(2)+x+1=0.

解这两个方程得x1=1,x23==.这样三次方程恰有三个根.

以上方程的根可以统一表示为

a+bi(a,b为实数)的形式.由此引出复数的概念.复数的引进,实现了人们的一个理想:复系数的一元n次方程在复数范围内恰有n个根①.

设a,b都是实数,形如a+bi的数叫做复数,复数通常用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部,i称作虚数单位.

例如,3+4i是复数,实部是3,虚部是4;-0.5i是复数,实部是0,虚部是-0.5;3是复数,实部是3,虚部是0.

显然,当b=0时,复数就成为实数;除了实数以外的数,即当b≠0时,a+bi叫做虚数.而当b≠0且a=0时,bi叫做纯虚数.

例如,3+4i,-0.5i都是虚数;而3i,-0.5i都是纯虚数.0+0i表示数0.

全体复数所构成的集合叫做复数集.也称复数系.复数集通常用大写字母C表示,即

C={z|z=a+bi, a∈R, b∈R}.显然,实数集R是复数集C的真子集,即RC.

因此,复数z=a+bi可以这样分类:

由此可见,复数集是实数集的扩充.

①复系数的一元n次方程在复数系至少有一个根叫做代数基本定理,此定理由高斯所证明.根据代数基本定理,可以导出复系数的一元n次方程在复数系恰有n个根.

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3.1.3 复数的几何意义

根据复数相等的定义,复数z=a+bi被一个有序实数对(a,b)所唯一确定,而每一个有序实数对(a,b),在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z(a,b)(或一个向量).这就是说,每一个复数,对应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量);反过来,平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量),也对应着唯一的一个有序实数对.这样我们通过有序实数对,可以建立复数z=a+bi和点Z(a,b)(或向量)之间的一一对应关系.点Z(a,b)或向量是复数z的几何表示(图3-1).

复数z=a+bi有序实数对(a,b)点Z(a,b).

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.x轴的单位是1,y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点,原点(0,0)对应复数0.

显然,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.即,任意一个实数a与x轴上的点(a,0)一一对应,任意一个纯虚数bi(b≠0)与y轴上的点(0,b)一一对应.

例如,复平面内的原点(0,0)表示实数0,实轴上的点(3,0)表示实数3,虚轴上的点(0,-2)表示纯虚数-2i,实轴上的点都表示实数,实轴以外的点都表示虚数.

图3-1

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设复数a+bi(a,b,∈R)对应的向量为,则向量的长度叫做复数a+bi的模(或绝对值),记作|a+bi|,如果b=0,则|a+bi|=|a|,这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广,由向量长度的计算公式得

|a+bi|=

如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数用表示。即当z=a+bi时,则=a-bi。当复数z=a+bi的虚部b=0时,有z=,也就是说,任一实数的共轭复数仍是它本身。

显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称(图3-3),并且它们的模相等。

(图3-3)

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3.2 复数的运算

建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,所以建立复数运算时,应当遵循的一个原则是,作为复数的实数,在复数集里的运算和在实数集里的运算应当是一致的.

3.2.1 复数的加法与减法

设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,定义

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

显然,两个复数的和仍然是复数.

容易证明,复数的加法运算满足交换律、结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有

z1+z2=z2+z1

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

已知复数a+bi,根据加法的定义,存在唯一的复数-a-bi,使

(a+bi)+(-a-bi)=0.

-a-bi叫做a+bi的相反数.-a-bi=-(a+bi).在复平面内,互为相反数的两个复数关于原点对称.根据相反数的概念,我们规定两个复数的减法法则如下:

(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-c-di)

=(a-c)+(b-d)i,

即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

可见,两个复数的差也是复数.

总之,两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).

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3.2.2 复数的乘法

设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,定义

z1 z2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

显然,两个复数的积仍为复数.由此定义出发,复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施:

z1z2=(a+bi)(c+di)

=(ac-bd)+(ad+bc)i

=ac+adi+bci+bdi2,

其中将-1换成i^(2).

容易验证,复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律,即对任意复数z1,z2,z3,有

Z1·z2=z2·z1,

(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),

z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3.

例2表明,两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方。

复数的乘方也就是相同复数的乘积。根据乘法的运算律,实数范围内正整指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和自然数m,n,有

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z^(m)·z^(n)=z^(m+n),

(z^(m))^(n)=z^(mn),

(z1·z2)^(n)=·

此外,实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立。

在复数的乘方运算中,经常要计算i的方幂,因此我们要记住以下结果:

i^(1)=1,i^(2)=-1,i^(3)=-i,i^(4)=1;

i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-1,i^(4n)=1

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3.2.3 复数的除法

已知z=a+bi,如果存在一个复数z′,使

z·z′=1,

则z′叫做z的倒数,记作1/z.设1/z=x+yi,则

(a+bi)(x+yi)=1,

两边同乘(a-bi),得

(a-bi)(a+bi)(x+yi)=a-bi,

(a2+b2)(x+yi)=a-bi.

因此x+yi==

即1/z=.

显然,1/z=.

有了倒数的概念,我们就可以规定两个复数除法的运算法则如下:

(a+bi)÷(c+di)==(a+bi)(

=(a+bi)

=

=.

上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时,我们把商看作分数,分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,把分母变为实数,化简后,就可以得到运算结果,即

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=

=

=.

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本章小结

Ⅰ 知识结构

Ⅱ 思考与交流

1.虚数单位i的特征性质是什幺?

2.什幺是复数?实数集与复数集的关系是什幺?

3.复数集中,哪些数之间能比较大小?哪些数之间不能?

4.如何进行复数的代数形式的四则运算?

5.什幺是复平面?在复平面内,复数的几何意义是什幺?

6.什幺是复数的绝对值?什幺是共轭复数?

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阅读与欣赏

复平面与高斯

历史上,人们对虚数的认识与对负数、无理数的认识一样,经历了一个漫长的过程.

众所周知,在实数范围内负数的偶次方根不存在.公元1545年,意大利人卡尔丹(Car-dan)讨论这样一个问题:把10分成两部分,使它们的积为40,他找到的答案是5+和5-.即

(5+)+(5-)=10,

(5+)(5-)=40.卡尔丹没有因为5+有违前人负数不能开平方的原则而予以否定,笛卡儿给这个还找不到合理解释的数起了个名字——虚数.由理论思维得出的数5+能表示自然界中哪些量呢?从此虚数这个令人不解的怪物困扰数学界达几百年之久.即使在1730年棣莫弗得到公式(cosθ±isinθ)^(n)=cos nθ±isin nθ,1748年欧拉发现关系式e^(ix)=cos x+isin x的情况下,这种困扰仍没有澄清.

伴随着科学技术的发展,1831年德国人高斯创立了虚数的几何表示,它被理解为平面上的点或向量,即复数z=a+bi与平面直角坐标系内的点Z(a,b)和向量相互对应,从而与物理学上的各种矢量相沟通,使复数成为研究力、位移、速度、电场强度等量的强有力的工具.比如在电工学中,交流电的电动势、电流都可以用复数表示:

ε=εm[cos(ωt+φ)+isin(ωt+φ)],

i=im[cos(ω′t+φ′)+isin(ω′t+φ′)],由它们的模和辐角完全确定了电压和电流的变化规律.从此复数才被普遍接受.

高斯是历史上最伟大的数学家之一.他不仅以少年时代对1+2+3+4+…+98+99+100=?的巧妙算法倾倒众人,而且在他探索过的众多科学领域,都留有重要的贡献:

在数学领域,他发现了素数定理;发现并证明了数论中的二次互反律;首次严格证明了代数基本定理:复系数的一元n次方程在复数集上至少有一个根.他还解决了两千年来古希腊人的遗留问题,找到了用直尺和圆规作正17边形的方法……

在物理学领域,他定出地磁南、北极的位置;给出了第一张地磁场图;建立了电磁学的高斯单位制……

在天文学领域,高斯创立计算行星轨道的方法;算出小行星谷神星的轨道,发现小行星智神星的位置;发表有关天体运动的重要着作《天体运动理论》……

卡尔丹

高斯

 第一章 计数原理

第一章 计数原理

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1.1 基本计数原理

1.2 排列与组合

1.3 二项式定理

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张、黄、李、赵四位好朋友约定在寒假中要互寄贺年片一张,他们一共寄了多少张贺年片?

问题跟顺序是有关的.例如,对张、黄两人来说,张要寄给黄一张贺年片,黄要寄给张一张贺年片,这是从4个不同元素中取出2个元素的排列问题.如下图所示,一共要寄12张贺年片.

如果他们约定在寒假中每两人通话一次,以祝贺新年,那么,他们的通话次数一共有多少呢?

问题跟顺序无关.这句话的意思是,如果对张、黄两人来说,通话一次即可,这是从4个不同元素中任取2个元素的组合问题.如下图所示,一共通话6次.

当然,很多计数问题要比上述问题复杂,这也就是本章要解决的主要问题.本章将要学习两个计数原理,排列、组合的概念,排列数公式、组合数公式以及运用它们来解决一些简单的实际问题.

本章还要讨论二项式定理,同学们要了解其证明和一些简单的应用问题,这里还会涉及我国古代数学的光辉成就——杨辉三角.

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1.1 基本计数原理

排列、组合的计算常常要求数一下所有可能出现的情况的个数.当问题很简单时,可以用一个一个地去数的办法解决,但对于较复杂的问题,可就数不过来了.为此我们需要掌握两个基本的计数原理:分类加法计数原理与分步乘法计数原理.

先考虑这样一个问题:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.假定火车每日1班,汽车每日3班,轮船每日2班,那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢?

从甲地到乙地,可乘坐三类交通工具:火车、汽车或轮船,每类交通工具又各有若干班次.显然,选择其中任何一个班次都可以从甲地到达乙地,因此,一天中不同的走法有1+3+2=6种.

把上述例子推广到一般情况,就是分类加法计数原理.

分类加法计数原理 做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m1+m2+…+mn

种不同的方法.

再考虑另一种形式的问题:某中学的阅览室有50本不同的科技书,80本不同的文艺书.王华同学想借1本科技书和1本文艺书,共有多少种不同的借法?

借科技书和文艺书各一本,可以分成两个步骤完成:第一步借1本科技书,有50种借法;第二步借1本文艺书,有80种借法.对于50种科技书借法中的每一种来说,又各有80种文艺书借法,所以他共有50×80=4000

种借1本科技书和1本文艺书的方法.

一般地说,有下面的分步乘法计数原理.

分步乘法计数原理 做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一个步骤有m1种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法.

以上两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论依据.它们分别给出了用两种不同方式(分类和分步)完成一件事的方法总数的不同计算方法.

请举出用分类形式完成工作的一个实例.

请举出用分步形式完成工作的一个实例.

两个基本计数原理有什么不同?

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在分类问题中,各类方法中的任何一种都可以把这件事做完;在分步问题中,每一个步骤中的任何一种方法都不能把这件事做完,只有把各个步骤依次全部完成,才能把这件事做完.

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1.2 排列与组合

1.2.1 排列

我们看下面的问题:

有红球、黄球、白球各一个,现从这三个小球中任取两个,分别放入甲、乙盒子里,有多少种不同的放法?

完成上述这件事,需要分成两个步骤:

第一步 从三个小球中任取一个放入甲盒子中,有3种不同的方法;

第二步 从剩下两个小球中任取一个放入乙盒子中,有2种不同的方法.

根据分步乘法计数原理,不同的放法共有3×2=6种,如图1-1所示:

1-1

我们称写出所有排列的图示(图1-1)为树形图.

我们把被取的对象(如上面问题中的三个小球中的任何一个)叫做元素.于是上述问题就抽象为:从3个不同元素中,任取2个分别占据两个位置中的一个位置,其中,选定的位置也可以理解成已知的顺序.取出的元素占据了选定的位置后,就得到了取出元素按已知顺序排成的一列,如红球、黄球,我们称它为该问题的一个排列,也就是完成这件事的一种方法.上述问题共有6个排列:红球、黄球红球、白球黄球、红球黄球、白球白球、红球白球、黄球,因此完成选放小球这件事,共有6种不同的方法.

一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列.

根据一个排列的定义,两个排列相同的含义为:组成排列的元素相同,并且元素的排列顺序也相同.

一个排列就是完成一件事的一种方法;不同的排列就是完成一件事的不同方法。

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从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号(A是英文Arrangement(排列)的第一个字母)表示。

现在我们来研究计算排列数的公式.

一般情况下,求的值,可以分成m个步骤完成:

第一步 从n个不同元素中任取一个占据第一个位置,有n种不同的方法;

第二步 从余下的(n-1)个元素中任取一个占据第二个位置,有(n-1)种不同的方法;

第三步 从余下的(n-2)个元素中任取一个占据第三个位置,有(n-2)种不同的方法;

依此类推……

所取元素不允许重复.

第m步是从前一步余下的[n-(m-1)]个元素中任取一个占据第m个位置,有(n-m+1)种不同的方法.

根据分步乘法计数原理,得到公式

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).

这里n,m∈N+,并且m≤n.这个公式叫做排列数公式.公式右边是m个由大到小排列的连续正整数之积,其中最大的因数是n,最小因数是(n-m+1).

例1中的排列是将a,b,c这3个元素全部取出的排列问题,其中一个排列bac叫做这3个元素的一个全排列。

一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列,这时在排列数公式中m=n,则有

A=n·(n-1)·n_2)·…·3·2·1.

这个公式的右边是由1到n,连续n个正整数的乘积。我们把正整数由1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成

A=n!.

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我们可以将排列数公式进行下面的变形,=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

=

=.

因此,排列数公式还有下面的另一种形式

A=.

由于=n!,为了使上面的公式在m=n时也能成立,我们规定

0!=1

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同学们想一想:例7(2)求解时,若采用排除法,从中减去不符合条件的排列数,什么样的排法不符合题中的条件呢?请你用这种方法求解后,再与例题中的解法比较,你觉得用哪种方法解更为简便?为什么?

求解排列问题时,正确地理解题意是最关键的一步,要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语.正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的.分类时,要注意各类之间不重复,不遗漏.分步时,要注意依次作完各个步骤后,事情才能完成.如果不符合条件的情况较少时,也可以采用排除法.

一道题目,常常有多种解法,经过这种一题多解的练习,帮助同学们学会从不同的角度分析问题、解决问题.

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1.2.2 组合

1.组合及组合数公式

看下面的问题:

有红球、黄球、白球各一个,从这三个小球中,任意取出两个小球,共有多少种不同的取法?

与排列一节提出的问题的不同之处是,取出的两个小球不再放人盒子中.我们可以一把抓出两个小球,则从三个不同的小球中,任意取出两个小球这件事便告完成,即取出的两个小球并无顺序关系.上述问题中要完成的事可以抽象为:从3个不同元素中任取2个元素,不管顺序并成一组,求一共可以组成多少组?这就是本节所要研究的组合问题.组合问题与排列问题的不同之处是:组合与取出元素的顺序无关,而排列与取出元素的顺序有关.

组合问题与排列问题最根本的不同点是什么?

一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.

一个组合就是完成事情的一种方法.在上面的问题中,红球、黄球是该组合问题的一个组合.红球、白球是另一个组合.根据一个组合的定义,两个组合相同的含义

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为:组成组合的元素完全相同,而不管元素的顺序如何.故红球、黄球和黄球、红球是同一个组合,但不是同一个排列.

我们可以用图1-3的方法,写出从红、黄、白三个小球中,任意取出两个小球的所有组合:

故所有组合为:红球、黄球红球、白球黄球、白球.

图1-3

所以此题的答案为:共有3种不同的取法.

从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号(C是英文字母Combination(组合)的第一个字母)表示.

例如上面的问题:从3个不同元素中任取2个元素的组合数表示为.

在原有知识的基础上研究新问题,是解决数学问题常用的方法.

现在我们从研究组合数与排列数的关系入手,去寻找组合数的计算公式.

以从红、黄、白三个小球中,任取两个小球的组合与排列之间的关系为例,列出图1-4.

1-4

图1-4中可以看出,每一个从红、黄、白三个小球中,任取两个小球的组合,都对应两个从红、黄、白三个小球中,任取两个小球的排列.因此有

=·.

这个等式表明,从3个不同元素中任取2个元素的排列,可以分两步完成:

第一步 选取元素从3个不同元素中任取2个元素的组合,共有种方法;

第二步 排位置选出的2个不同元素的全排列,有种方法.

一般地,从n个不同元素中,任取m个元素的排列,可以分两步完成:

第一步 选取元素从n个不同元素中,任取m个元素的组合,有种方法;

第二步 排位置选出的m个不同元素的全排列,有种方法.

根据分步乘法计数原理,得

=·.

这个公式不仅揭示了组合数与排列数之间的关系,也表明解某些排列问题时,常常分选元素和排位置两个步骤完成.

计算公式和

=

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得出组合数计算公式为

在组合数计算公式②中,当m=n时,由于0!=1,故有

当m=0时,组合数公式仍有意义,将m=0代入组合数计算公式②中,得==1.

所以=1.对于组合数,应有m∈N,n∈N+,且m≤n.

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2.组合数的两个性质

在例1中,我们计算得=35,=35,故=,也可以表示为

=-3).

在一般的情况下,下面的性质成立:

性质1

这个等式为什么会成立呢?

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一般地,从(n+1)个不同元素中任取m个元素的组合,可以分为两类:第一类取出的m个元素中不含某个元素a的组合,只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个,有个;第二类取出的m个元素中含有某个元素a的组合,只需在除去元素a的其余n个元素中任取(m-1)个后再取出元素a,有-1)个.

根据分类加法计数原理,得出组合数的另一个性质:

性质2

=.

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1.3 二项式定理

1.3.1 二项式定理

同学们在初中代数中学过乘法公式

(a+b)^(2)=a^(2)+2ab+b^(2).

可以由(a+b)^(3)=(a+b)^(2)(a+b),计算得

(a+b)^(3)=a^(3)+3a^(2)b+3ab^(2)+b^(3).同样,可以由(a+b)^(4)=(a+b)^(3)(a+b),计算得(a+b)^(4)的展开式

(a+b)^(4)=a^(4)+4a^(3)b+6a^(2)b^(2)+4ab^(3)+b^(4).

为了便于应用,需要研究(a+b)^(n)的展开式中各项是怎样组成的?

先以(a+b)^(4)的展开式为例进行分析,由于

(a+b)^(4)=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),

右式展开后的每一项是从每个括号里任取一个字母的乘积,因此(a+b)4展开后各项都是4次式,分别为

a^(4),a^(3)b, a^(2)b^(2),ab^(3),b^(4).

以组合的观点来看,组成(a+b)4的展开式中的每一项,都需要分两个步骤完成,即第一步取b;第二步取a.

a^(4)项:从四个因式中都不取b,而全部取a,共有个a^(4),所以(a+b)^(4)的展开式的第1项为a^(4);

a^(3)b项:从四个因式中取出一个因式中的b,再从其余三个因式中全部取a,共有个a^(3)b,所以(a+b)^(4)的展开式的第2项为a^(3)b;

a^(2) b^(2)项:从四个因式中取出两个因式中的b,再从其余两个因式中全部取a,共有个a^(2)b^(2),所以(a+b)^(4)的展开式的第3项为a^(2)b^(2);

ab^(3)项:从四个因式中取出三个因式中的b,再从其余一个因式中取a,共有个ab^(3),所以(a+b)^(4)的展开式的第4项为ab^(3);

b^(4)项:从四个因式中全部取b,而不取a,共有个b4,所以(a+b)^(4)的展开式的第5项为b^(4).

因此,(a+b)^(4)=a^(4)+a^(3)b+a^(2)b^(2)+ab^(3)+b^(4).

一般地,我们可以把(a+b)^(n)表示为

(a+b)^(n)=.

本节知识是初中所学乘法公式的扩展。公式是数学知识的一个重要的组成部分,应用它可以简化计算.

你会用类似的方法求(x-2y+z)^(5)展开式中x^(2)y^(2)z项的系数吗?

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由前面的分析可知,n个(a+b)相乘,乘得的每一项,是从每个(a+b)里任取一个字母a或b的乘积,所以(a+b)^(n)的展开式中每一项都是a^(n-r)b^(r)的形式(r=0,1,…,n).对于每一项a^(n-r)b^(r),是由r个(a+b)选了b,n-r个(a+b)选了a得到的,它出现的次数(也就是这一项的系数)相当于从n个(a+b)中取r个b的组合数,即为,由此得到下面的公式:

这个公式所表示的规律叫做二项式定理,等式右边的多项式叫做(a+b)^(n)的二项展开式,它一共有n+1项,其中各项系数(r=0,1,…,n)叫做展开式的二项式系数.展开式中的a^(n-r)b^(r)项叫做二项展开式的通项,通项是展开式的第r+1项,即

我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式.

在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式

(1+x)^(n)=1+x+x^(2)+…+x^(r)+…+x^(n).

为什么不把展开式中的第r项Tr定为二项展开式的通项呢?

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1.3.2 杨辉三角

(a+b)^(n)展开式的二项式系数,当n取正整数时可以单独列成下表的形式:

(a+b)1…………………1 1

(a+b)2………………1 2 1

(a+b)3……………1 3 3 1

(a+b)4…………1 4 6 4 1

(a+b)5………1 5 10 10 5 1

(a+b)6……1 6 15 20 15 6 1

……

上面的二项式系数表称为杨辉三角或贾宪三角.杨辉是我国宋朝数学家,他于1261年著《详解九章算法》,在其中详细列出了这样一张图表(图1-5),并且指出这个方法出于更早期贾宪的著作《黄帝九章算法细草》.在欧洲一般认为这是帕斯卡(Pasca1)于1654年发现的,称这个图形为帕斯卡三角.

图1-5

观察杨辉三角,可以看出二项式系数具有下面3条性质:

1.每一行的两端都是1,其余每个数都等于它肩上两个数的和.

性质1实际上反映了组合数的下列性质:

=1,=1,

1=-1)+.

2.每一行中,与首末两端等距离的两个数相等.

这就是说,二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等,实际上反映了组合数的性质

=-m).

3.如果二项式的幂指数n是偶数,那么其展开式中间一项的二项式系数最大;如果n是奇数,那么其展开式中间两项的二项式系数相等且最大.

此外,容易推出二项式系数满足的第4条性质.

4.二项展开式的二项式系数的和等于2^(n).

在(1+x)^(n)=x^(n)+x^(n-1)+x^(n-2)+…+x^(0)中,令x=1,则

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本章小结

Ⅰ 知识结构

Ⅱ 思考与交流

1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的根本区别是什么?在应用中各应该注意什么问题?学习完排列组合后,你是否已经体会到了两个基本原理所起的重要作用?请谈谈你的体会.

2.排列问题与组合问题有何不同?它们之间的相互关系如何?排列与组合的不同点以及相互之间的联系,在公式=·中是怎样体现的?

3.请你小结排列组合应用题的类型和解题方法.

4.(a+b)^(n)展开式中的系数为什么能以组合数的形式表示?二项式系数=f(r)(0≤r≤n,r∈N)是r的函数,请以函数的语言叙述的性质.

5.在应用二项展开式的通项公式解题时,需要注意什么问题?常犯的错误有哪些?

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阅读与欣赏 x1+x2+…+xr=n非负整数解的个数

排列、组合问题和下面这个代数问题是有联系的:求满足方程

x1+x2+…+xr=n

的非负整数解(x1,x2,…,xr)的个数.

考虑由n个1与(r-1)个0组成的排列。将每一个这样的排列与方程的一个解(x1,x2,…,xr)按如下方式对应起来:使x1等于排列中第一个0左边1的个数,x2等于第一个0与第二个0之间1的个数,x3等于第二个0与第三个0之间1的个数,如此继续直到xr,它等于最后一个0右边1的个数.例如,若n=6,r=4,则排列(1,1,0,0,1,1,1,0,1)对应着解x1=2,x2=0,x3=3,x4=1.显然在n个1与(r-1)个0组成的所有排列与方程的全体解之间的这种对应是一一对应.由于n个1与(r-1)个0组成的排列共有r1个,所以方程共有r1个非负整数解(x1,x2,…,xr).

把8个相同的篮球任意分发给甲、乙、丙、丁4所中学,试问不同的分法共有多少种?

设甲、乙、丙、丁4所中学分到的篮球数分别为x1,x2,x3,x4.问题就是求方程

x1+x2+x3+x4=8

的非负整数解的个数.

由上所述,这些非负整数解的个数是

41====165,它也就是问题所求的分法种数.

进一步问,每所中学至少分到1个篮球的不同分法有多少种?

我们可以先把4个篮球平分给这4所中学,然后把余下的4个篮球任意分发,类似于上面的讨论,容易得到每所中学至少分到1个篮球的分法种数是

41====35.

如果同学们去直接罗列8个篮球分给4所中学的各种情况,很快就会发现,这绝不是一件轻松的事情.

 第二章 概率

第二章 概率

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2.1 离散型随机变量及其分布列

2.2 条件概率与事件的独立性

2.3 随机变量的数字特征

2.4 正态分布

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我们已学过概率的初步知识,对现实世界中随机现象的不确定性有了初步认识,但要描述随机现象在大量试验中的统计规律性,还需要进一步学习一些概率知识.让我们先看几个实际问题.

快讯:雅典时间8月14日11点,中国选手杜丽在雅典奥运会女子10米气步枪决赛中技压群雄,总成绩502环,打破奥运会记录.夺得了第28届雅典奥运会的首枚金牌.同时这也是中国代表团在本届奥运会上夺得的首枚金牌,中国奥运代表团取得开门红……(新华网8月14日电)

读完快讯,我们也许会问:射击运动员的射击水平应如何描述?

新华网华盛顿4月6日电(记者单磊)美国哥伦比亚广播电台网站根据自己的统计,将本赛季NBA的新秀进行排名……姚明本赛季为休斯顿火箭队打了76场比赛,平均每场比赛上场29.2分钟,得分13.8分,篮板球8.2个,助攻1.7次,投篮命中率50.7%,罚篮命中率80.9%.姚明的综合得分是74.9分.

看了报道,你可能会想到一些技术性问题:如果姚明在某节比赛中得到4次罚球机会,并假定每次投篮都互不影响,那么他恰好投中3次的可能性有多大?4罚投中3次以上的可能性又有多大?

甲、乙、丙三个同学得到一张电影票,为了公平起见,三个人通过抓阄决定谁去看电影,甲先抓,乙其次,剩下的阄归丙,丙同学提出疑问,这样抓阄对自己公平吗?

上面提出的一些问题你能回答吗?试着给出你的答案.

本章将从实例中引入随机变量及其分布的概念,超几何分布的实际应用.在讲述条件概率与事件独立性的基础上,介绍二项分布及其应用.研究离散型随机变量的两个数字特征:期望与方差。最后简单介绍概率论中极其重要的分布——正态分布.

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2.1 离散型随机变量及其分布列

2.1.1 离散型随机变量

选手每次射击时,可能击中靶心,也可能击中靶心周围的区域,所以这是一个随机现象.在射击比赛中,选手击中靶上的圆形或环形区域内得分,得分值由靶心往外依次可记为:10环,9环,8环,…,1环,选手击中靶上最大圆以外区域或脱靶的分值都记为0环.

我们以前研究过的许多随机现象的每一个可能的结果,如抛掷骰子所得到的点数,体育彩票开奖得出的号码,气象台对明天天气最高温度的预报,都是一些数量,都可以用一个变量来表示.

有些随机现象的结果虽然不是数量,但可以将它数量化.例如抛一枚硬币,所有可能的结果是:

A1=正面向上与A2=反面向上.为了在数学上描述这些可能的结果,可以用1代表正面向上,用0代表反面向上.

在这些试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验的结果的不同而变化的,我们把这样的变量X叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母X,Y,…表示.①

①也可用希腊字母ξ,η,…表示.

例如,设某射击选手每次射击所得的环数是X,那么X是一个随机变量.X的取值范围是

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.则X=0,表示射中0环;X=1,表示射中1环……X=10,表示射中10环.

又如,100件产品中,含有5件次品,从中取出4件,那么可能出现的次品件数X是一个随机变量,X的取值范围是{0,1,2,3,4}.

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X为离散型随机变量.上面所举出的都是离散型随机变量的例子.我们本章也主要来学习离散型随机变量.

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2.1.2 离散型随机变量的分布列

对于一个离散型随机变量来说,我们不仅要知道它可能取哪些值,更重要的是要知道它取各个值的概率分别有多大,这样才能对这个离散型随机变量有较深入的了解.例如,在射击问题里,我们只有知道命中环数为0,1,2,…,10的概率分别是多少,才能了解选手的射击水平有多高.根据某个选手在一段时间里的成绩,可以得到下表:

命中环数X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
概率P 0 0 0.01 0.01 0.02 0.02 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

上面的表格,使我们对选手的射击水平有了一个比较全面的了解.这个例子表明,要掌握一个离散型随机变量X的取值规律,必须知道:

(1)X所有可能取的值x1,x2,…,xn

(2)X取每一个值xi的概率p1,p2,…,pn.

这就是说,需要列出下表:

X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn

我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布,或称为离散型随机变量X的分布列.由

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分布列能一目了然地看出随机变量X的取值范围及取这些值的概率.

例如,通过上面射击选手的命中环数X的分布列,可以全面了解这名选手的射击成绩的概率分布情况.这名选手命中10环的概率为P(X=10)=0.22;没有命中10环的概率是多少呢?它是命中10环的对立事件,因此,P(X≠10)=1-P(X=10)=0.78;事件命中9环和事件命中10环不可能同时发生,为互斥事件,所以命中的环数大于8环的概率为P[(X=9)U(X=10)]=P(X=9)+P(X=10)=0.29+0.22=0.51.

计算一下上面表中选手命中环数对应的概率值的和,不难发现各pi值的和等于1.在一般情况下,因为基本事件空间

Ω=(X=x1)U(X=x2)U…U(X=xi)U…U(X=xn)是一个必然事件,上面右式各项彼此互斥,根据互斥事件的概率加法公式有

1=P(Ω)=P[(X=x1)U(X=x2)U…U(X=xi)U…U(X=xn)]

=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi)+…+P(X=xn

=p1+p2+…+pi+…+pn

所以离散型随机变量的分布列有下面两条性质:

(1)pi≥0, i=1, 2, 3,…, n;

(2)p1+p2+…+pn=1.

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2.1.3 超几何分布

某校组织一次认识大自然夏令营活动,有10名同学参加,其中有6名男生、4名女生,为了活动的需要,要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本,那么其中恰有1名女生的概率有多大?

从10名同学中随机抽取3名同学,考察所有可能的结果,这是一个随机试验.由于是随机抽取,任意3名同学被选中的可能性相等,所以这个试验是一个古典概型问题,基本事件空间是所有可能的抽取结果.根据组合数知识,从10名同学中任意选出3名同学,共有=120种不同的选法,所以基本事件空间包含的基本事件总数为120个.其中恰好有1名女生就意味着选出1名女生和2名男生.由分步乘法计数原理得到恰有1名女生的基本事件为=60个,因此其中恰有1名女生的概率为

P(恰有1名女生)==60/120=1/2.

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采集标本的同学都是女生的概率有多大呢?类似可得到恰有3名女生的基本事件个数为=4个,因此恰有3名女生的概率为

P(恰有3名女生)==4/120=1/30,

可见结果全部是女生的概率要小得多.其他抽取结果概率的计算也与上面两式类似.

实际生活中有很多像上面例子这样的问题.一般地,设有总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n件(n≤N),这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,它取值为m时的概率为

P(X=m)=(0≤m≤l,l为n和M中较小的一个).①

我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X服从参数为N,M,n的超几何分布.

在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式①求出X取不同m值时的概率P(X=m),从而列出X的分布列.

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2.2 条件概率与事件的独立性

2.2.1 条件概率

在很多实际问题中,需要考虑一个事件在某事件已发生这个附加条件下的概率.我们来看下面的问题.

抛掷红、蓝两颗骰子.设

事件A=蓝色骰子的点数为3或6,

事件B=两颗骰子的点数之和大于8.

我们用x代表抛掷红骰子所得到的点数,用y代表抛掷蓝骰子所得到的点数,则这个试验的基本事件空间为S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤6,1≤y≤6}.作图2-2,容易看出,基本事件空间的元素与图中的点一一对应.所以抛掷红、蓝两颗骰子这一试验的基本事件总数为36.事件B所包含的基本事件对应图中三角实线所包围的点,个数为10.所以,事件B发生的概率P(B)=10/36.

当已知蓝色骰子的点数为3或6时,事件B发生的概率是多少呢?也就是说,要求事件B在事件A已发生这个附加条件下的概率是多少.事件A已发生的所有可能的结果对应图中长条虚线所包围的12个点,其中阴影部分的5个点的点数之和大于8.所以事件B在事件A已发生条件下的概率是5/12.

从这个例子中看到,事件B在事件A已发生这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的.对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示.

图2-2中阴影部分的5个点对应的事件为事件A发生并且事件B也发生,我们把由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的(或),记做D=A∩B(或D=AB).

容易得到上面的例子中P(A)=12/36,P(A∩B)=5/36,而

P(B|A)=5/12==

2-2

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一般地,我们有条件概率公式

P(B|A)=,P(A)>0.②

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2.2.2 事件的独立性

我们知道,当事件A的发生对事件B的发生有影响时,条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的,但有时事件A的发生看上去对事件B的发生没有影响,比如依次抛掷两枚硬币,抛掷第一枚硬币的结果(事件A)应该对第二枚硬币的结果(事件B)没有影响,这时P(B|A)与P(B)相等吗?

让我们先来看一个例子.

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在例1中,事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即

这时,我们称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.

在实际问题中,常常通过对事件本质进行分析就可知道它们是否相互独立,而不需要进行类似上面的计算去验证.比如,依次抛掷两枚硬币,抛掷第一枚硬币的结果对第二枚硬币的结果没有影响.又如,将一枚骰子连续抛掷2次,第一次抛得的点数对第二次抛得的点数也不会有影响,所以两次抛掷事件相互独立.在例1中,我们还可通过计算得到

即第一次取到白皮蛋对第二次取到红皮蛋也没有影响.

一般地,当事件A,B相互独立时,A与与B,也相互独立.

由条件概率公式和相互独立事件A,B的定义,可以得到

即P(AB)=P(A)×P(B)③

这就是说,两个相互独立事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积.

对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.

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在实际问题中,对于n个事件,通常是考察这些事件的含义,用日常生活或生产中得到的经验来分析它们之间有没有影响,如果没有影响,或者影响可以忽略不计,就可以判断这n个事件是相互独立的.

如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即

P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)×P(A2)×…×P(An),③并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立.

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2.2.3 独立重复试验与二项分布

本小节涉及的每次试验,只考虑有两个可能的结果A及A,并且事件A发生的概率相同.在相同的条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n次独立重复试验.

雅各布·伯努利

例如,对一批产品进行抽样检验,每次取一件,有放回地抽取n次,就是一个n次独立重复试验.又如,某位篮球运动员进行n次投篮,如果每次投篮时的条件都相同,而且每次投中的概率相同,那么这也是一个n次独立重复试验.‘在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率问题叫做伯努利概型.这是由于瑞士数学家雅各布·伯努利(1654-1705)对这方面的研究做了大量的工作.

本章章前语中提到,篮球运动员姚明在某一赛季罚篮命中率是80.9%.我们把姚明在这一赛季罚篮的命中率当作他罚球得分的概率,则他每次罚球的得分服从p=0.809的二点分布,即罚球一次得1分的可能性是0.809,得0分的可能性是0.191.如果姚明在某场比赛中得到4次罚球机会,假设每次投篮都互不影响,那么他投中3次的可能性有多大呢?

如果用⊙代表投中,用×代表未投中,那么投球4次、投中3次有以下4种可能的情况(括号内为相应的概率):

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⊙⊙⊙×,(0.809×0.809×0.809×(1-0.809))

⊙⊙×⊙,(0.809×0.809×(1-0.809)×0.809)

⊙×⊙⊙,(0.809×(1-0.809)×0.809×0.809)

×⊙⊙⊙,((1-0.809)×0.809×0.809×0.809)它们可以看成是从4个位置中任取3个填上⊙,最后的一个填上×,所有的取法为种.

这就是说,在上面投篮4次、投中3次的4种情况中,每一种发生的概率都是

0.809^(3)×(1-0.809)^(4-3).

因为这4种情况彼此互斥,根据概率加法公式,投篮4次、恰好投中3次的概率为

P(⊙⊙⊙×)+P(⊙⊙×⊙)+P(⊙×⊙⊙)+P(×⊙⊙⊙)

=×0.809^(3)×(1-0.809)^(4-3

=4×0.8093×0.191≈0.405.

也就是说,姚明罚球4投3中的概率还不到0.5,这个结果与我们的感觉可能有些差距.实际上,还有别的结果尚未计算概率。类似地还可算出4投4中的概率为0.428,于是,可以看出姚明4次罚球投中3次以上的概率很大,为0.405+0.428,即0.833.

在上面的例子中,4次投篮是4次独立重复试验,也可以看成是进行4次独立的二点分布试验.

一般地,事件A在n次试验中发生k次,共有种情形,由试验的独立性知A在k次试验中发生,而在其余n-k次试验中不发生的概率都是p^(k)(1-p)^(n-k),所以由概率加法公式知,如果在一次试验中事件A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

Pn(k)=p^(k)(1-p)^(n-k)(k=0, 1, 2,…, n).④

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2.3 随机变量的数字特征

由超几何分布和二项分布等离散型随机变量的分布,我们知道离散型随机变量的分布列能够完全描述随机变量取值的概率规律。但是,在许多实际问题中,还需要了解离散型随机变量的某种特征,例如离散型随机变量的平均取值大小和取值的集中程度.我们把这种反映概率分布的某种特征的数值,叫做离散型随机变量的数字特征.下面我们来介绍两个最基本的离散型随机变量的数字特征.

2.3.1 离散型随机变量的数学期望

某学校为了解交通拥堵对同学们上学迟到的影响情况,每天记录由于交通问题迟到的同学人数.下表是在100天中每天由于交通原因迟到人数的情况:

人数 0 1 2 3
天数 30 30 20 20

那么这所学校每天平均有多少人由于交通原因迟到呢?通过计算可得100天中记录的迟到次数的总和是

0×30+1×30+2×20+3×20=130,

那么平均每天迟到人数为

=130/100=1.3.

上式可改写成

0×30/100+1×30/100+2×20/100+3×20/100

=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2

=1.3.

这种方法是用迟到人数乘以各自的频率,然后求和得到的.我们可把迟到人数和对应的频率列表为

迟到人数 0 1 2 3
频率 0.3 0.3 0.2 0.2

由频率与概率的关系可知,概率可以理解为频率的稳定值,所以如果这所学校在一天中由于交通原因迟到人数为X,则X的概率分布为

X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
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那么平均每天迟到人数为

0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3(人).

一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,…,xn,这些值对应的概率是p1,p2,…,pn,则

E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn

叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.

思考:怎样理解平均每天迟到人数为1.3人这句话的意义.

由数学期望的定义可以知道,若随机变量X服从参数为p的二点分布,则

E(X)=1×p+0×(1-p)=p,

这表明在一次二点分布试验中,离散型随机变量X的期望取值为p.

例如,某篮球运动员罚篮命中率是0.7,他平均说来一次罚篮期望得到的分数就是0.7分.那么平均来看,他10次罚篮能够期望得到多少分呢?我们猜想他会得到10×0.7=7分,下面来证明这一猜想.

设离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布,由X的分布列

P(X=k)=p^(k)q^(n-k),k=0, 1, 2,…, n

和数学期望的定义式得到

E(X)=0×p^(0)q^(n)+1×p^(1)q^(n-1)+2×p^(2)q^(n-2)+…+

p^(k)q^(n-k)+…+n×p^(n)q^(0

=np(p^(0)q^(n-1)+p^(1)q^(n-2)+…+

p^(k-1)q^((n-1)-(k-1))+…+p^(n-1)q^(0))①

=np(p+q)^(n-1)=np.

所以,

E(X)=np.

①这是由于k=n,证明见本章附录.

由于上面提到的篮球运动员10次罚篮得到的分数X~B(10,0.7),所以10次罚篮能够期望得到的分数E(X)=np=10×0.7=7(分).

若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则

E(X)=nM/N.②

②证明过程见本章附录.

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2.3.2 离散型随机变量的方差

在实际问题中,我们除了要知道一个离散型随机变量取值的平均水平,还经常要知道离散型随机变量取值波动的大小.

我们知道,样本方差可以表示样本数据的波动情况.例如,10个学生在一次数学考试中的成绩如下表所示:

分数 100 90 80 70
人数 2 4 3 1

对于由这10个学生的成绩组成的样本来说,可以算出样本的平均数是87,因而样本方差是

1/10[2×(100-87)2+4×(90-87)2+3×(80-87)2+(70-87)2]

=(100-87)2×2/10+(90-87)2×4/10+(80-87)2×3/10+(70-87)2×1/10.

从随机变量的角度来看,如果从这10个学生的成绩中任取一个学生的成绩,把它看作是离散型随机变量X,那么X取值100,90,80,70的概率分别是2/10,4/10,3/10,1/10,数学期望值E(X)是87,则上式就描述了离散型随机变量X围绕E(X)波动的平均大小.

一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,…,xn,这些值对应的概率是p1,p2,…,pn,则

D(X)=(x1-E(X))^(2)p1+(x2-E(X))^(2)p2+…+(xn-E(X))^(2)pn

叫做这个离散型随机变量X的方差

离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度).

D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差,它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量.

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2.4 正态分布

看下面的例子.

某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下:

25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39

25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48

25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40

25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43

25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40

25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32

25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45

25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37

25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39

25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36

25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37

25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39

25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40

25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47

25.38 25.39

把这批产品的内径尺寸看作一个总体,那么这100件产品的实际尺寸就是一个容量为100的样本,由数学3中2.2.1节知识可得到这组样本数据的频率分布直方图(图2-4).

图2-4

当样本容量n越来越大时,分组越来越细.频率直方图上面的折线越接近于图2-5中的曲线.

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从随机变量的角度来看,如果把样本中的任一个产品尺寸看作随机变量X,则这条曲线通常称为X的概率密度曲线.这条曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X落在指定的两个数a,b之间的概率,就是图中带斜线部分的面积。在我们这里就是指产品尺寸落在区间(a,b)内的概率,由于a,b是在产品尺寸范围内任意取值的,所以这条概率曲线就能精确地反映X取值的规律.概率密度曲线反映变化规律所起的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的.

在生产、科研和日常生活中,经常会遇到这样一类随机现象,它们是由一些互相独立的偶然因素所引起的,而每一个这种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用.例如,钢铁加工厂生产钢管时,加工零件的机器的磨损程度、使用的材料的差异、工人操作的习惯、周围的环境的温度等因素都可能会对钢管内径的尺寸起微小的影响,导致产品内径尺寸的波动.表示这类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布.服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量.正态分布是自然界中最常见的一种分布,在理论研究和实际应用中都有非常重要的作用.

正态变量概率密度曲线的函数表达式为

f(x)=,x∈R,⑤其中μ,σ是参数,且σ>0,-∞<μ<+∞.

式⑤中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作N(μ,σ2).正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.图2-6画出了参数μ和σ取不同值的正态曲线,其中,(1)μ=-1,σ=0.5,(2)μ=1,σ=0.5,(3)μ都等于0,而参数σ分别等于0.5,1,2.我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布.

图2-6可以看出,正态曲线具有以下性质:

图2-5

图2-6

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(1)曲线在x轴的上方,并且关于直线x=μ对称;

(2)曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现中间高,两边低的形状;

(3)曲线的形状由参数σ确定,σ越大,曲线越矮胖;σ越小,曲线越高瘦.

从理论上可以证明,正态变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内,取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%,如图2-7所示.

图2-7

例如,当μ=0,σ=1时,正态变量(这时称它为标准正态变量)在区间(-1,1),(-2,2),(-3,3)内取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%.若已知本节开头的钢铁加工厂生产的钢管内径尺寸X~N(25.40,0.052),例如,对于该厂的1000个产品,则利用正态分布可估计出其中产品内径尺寸在25.40-0.05~25.40+0.05范围内的产品个数约为683,在25.40-2×0.05~25.40+2×0.05范围内的产品个数约为954,在25.40-3×0.05~25.40+3×0.05范围内的产品个数约为997.

由于正态变量在(-∞,+∞)内取值的概率是1,由上所述,容易推出,它在区间(μ-2σ,μ+2σ)之外取值的概率是4.6%,在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率是0.3%.于是,正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.

例如,在工业生产中,工人操作车床在稳定的状态下加工出的零件尺寸一般服从正态分布,我们可以用正态分布的3σ原则来对加工出来的零件进行质量控制,在下面的3.2节中,还要讨论这一问题.

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本章小结

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阅读与欣赏 关于玛丽莲问题的争论

玛丽莲问题是某电视台娱乐节目决策中提出的一系列问题.其中最著名的是Behind Monty Ha11’s Doors.问题如下:台上有三个关闭的门,一个后边有汽车,其余两个后边是山羊.主持人让参加者任意选择其中一个门,然后她打开其余两个门中的一个,参加者看到的是山羊.这时,她让参加者可以重选,也就是说参加者可以换选另一个剩下的门.那么,参加者应该换还是不换?玛丽莲的答案是应该换,但是很多读者不同意.玛丽莲在下一期专栏给出一个表格说明她的道理,但反对声更多更大了.在几千封读者来信中,反对者达九成.其中有全国健康机构的统计学家、国防情报中心的副主任,甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗·埃尔笛希(Paul Erdos)也是反对者之一.

那么到底应该换还是不换呢?我们先来考虑3个人通过抽签分一张演唱会票这一问题.3个人按排定的顺序从分别写有有票无票无票的3个纸团中各抽一个来决定谁能得到演唱会票,每个人得票的概率是多少呢?

对第一个人来说,从3个纸团中任取一个,得票的概率为1/3.为了求出第二个人得票的概率,我们来分析一下前两个人抽取纸团的情况.从3个纸团中先后抽出2个,可以看成从3个元素中取出2个进行排列,它的种数是,而其中第二个人得票的情况有种,因此第一个人未得票,而第二个人得票的概率为

=1/3,

通过类似的分析,可知第三个人得票的概率为

=1/3,

由此看出,不管抽取纸团的次序如何,每个人得到演唱会票的概率都是1/3.

玛丽莲问题也可以看作是一个分票问题,如果用写有汽车的纸团代表汽车,写有山羊的纸团代表山羊.三次决定可以看作三个人各抽取一个纸团,第一个决定是参加者作出的,相当于第一个人抽取一个纸团,得到汽车的概率是1/3,第二个决定是主持人作出的,如果主持人是随机作出的决定,那么他得到汽车的概率也是1/3,第三个决定仍由参加者作出,如果他换选剩下的另一个门,就相当于第三个人抽取纸团,由上面分票的结果知得到汽车的概率仍是1/3,这样换与不换得到汽车的概率相等.

但是,由前面知道主持人的决定并不是随机的,她知道哪一个门后面有汽车.所以主持人打开的门后面总是山羊.仍从分票来考虑,这相当于第一个人抽取纸团后,第二个人抽取的总是写有山羊的纸团.即第一个人获得汽车的概率是1/3,第二个人获得汽车的概率是0,第三个人获得汽车的概率为1-1/3-0=2/3,所以换选后得到汽车的概率为2/3,参加者应该改变自己的选择.

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附录

1.超几何分布的数学期望

我们先来证明一个公式

m=n.①

证明:根据组合数公式,

左式=m×m!=!,

右式=n×=!,

左式=右式,公式得证.

由公式①立刻可以得到

=N/M.②

下面我们来求超几何分布的期望,设随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则X的分布列为

P(X=m)=(m=0,1,…,l,l为n和M中较小的一个).

同二项分布类比,我们猜想它的期望可能是n·M/N.由数学期望的定义式得

E(X)=m·P(X=m)==

=·M/N·(由公式①②)

=n·M/N··(令m-1=i)

=n·M/N··

=n·M/N.

上式中·可以看作N-1件产品中有n-1件次品,从中任取M-1件(M≤N),其中恰有i件次品的概率,所以对于i=0,1,…,l-1求和得1.

2.二项分布的方差

设随机变量X~B(n,p),则X的分布列是

P(X=k)=p^(k)q^(n-k),k=0,1,…,n,

P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=n)=p^(k)q^(n-k)=1,

E(X)=p^(k)q^(n-k)=np.

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由方差的公式得

D(X)=[xr-E(X)]2·pk=(k-np)^(2)·p^(k)q^(n-k

=k^(2)·p^(k)q^(n-k)+-2npk·p^(k)q^(n-k)+n^(2)p^(2)·p^(k)q^(n-k

=(k-1)·k·p^(k)q^(n-k)+p^(k)q^(n-k)-2npp^(k)q^(n-k

+n^(2)p^(2p^(k)q^(n-k

=(k-1)·k·p^(k)q^(n-k)+np-2np·np+n^(2)p^(2

=n(k-1)·p^(k)q^(n-k)+np-n^(2)p^(2)(公式①)

=n(n-1)p^(2p^(k-2)q^((n-2)-(k-2))+np-n^(2)p^(2)(令k-2=i)

=n(n-1)p^(2p^(i)q^((n-2)-i)+np-n^(2)p^(2

=n(n-1)p^(2)+np-n^(2)p^(2

=npq.

 第三章 统计案例

第三章 统计案例

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3.1 独立性检验

3.2 回归分析

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我们在必修模块数学3中,学习过一些统计知识,接触到诸如随机抽样、用样本估计总体、线性回归分析等方法.实际上,统计知识的应用远不止于此.在一个逐步实现现代化的社会里,统计信息将越来越多,这促使我们去学习对一些统计信息进行分析、推断的本领.这里,先举两个例子.

有人对一老年烟民劝道:你快戒烟吧,否则一定会患慢性气管炎的.他的话有没有道理?老年人患慢性气管炎与吸烟习惯有没有关系?

从一些纪实电视片或推理小说中常常看到这样的情节:刑警在案发现场仔细地搜寻罪犯的脚印,其理由之一是,我们可以根据一个人的脚印长度来预测他的身高,上述理由的根据是什么呢?

独立性检验和回归分析是解决这些问题的统计方法,它们在国民经济和日常生活的很多方面有着广泛的应用.线性回归分析的部分内容同学们在必修模块数学3中有所接触,本章将进一步讨论线性回归分析的一些问题,并介绍非线性回归分析的初步知识.

本章分2节,每节讨论一种统计方法.各节的编写特点是,把一个个的案例直接呈现在同学们面前,通过探究案例,解决问题,使同学们了解这两种统计方法的基本思想、解题步骤及其初步应用.

独立性检验和回归分析只是丰富多彩的统计世界的两个部分,我们欢迎同学们进入这个世界,并希望你们能喜爱这个世界.

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3.1 独立性检验

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注意 使用x^(2)统计量作2×2列联表的独立性检验时,要求表中的4个数据都要大于5,为此,在选取样本的容量时一定要注意这一点.本例的4个数据24,31,8,26都大于5,是满足这一要求的.

注意 本例和例1类似,我们所说每一晚都打鼾与患心脏病有关或患慢性气管炎与吸烟习惯有关指的是统计上的关系,不要误以为这里是因果关系.具体到某一个每一晚都打鼾的人,并不能说他患心脏病.其实从2×2列联表中也可看出,每一晚都打鼾的人群中,患心脏病的概率也只有30/254,稍微超过十分之一,至于他患不患心脏病,应该由医学检查来确定,已经不是统计学的事了.

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本节通过对5个例子的探究来讨论两个事件是否独立,在2×2列联表的独立性检验中,我们选用了X2统计量,可以用它的取值大小来推断独立性是否成立.独立性检验在生物统计、医学统计等学科的应用很广泛,在处理调查社会问题得到的数据时,也常常使用独立性检验.

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3.2 回归分析

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注意 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块数学1中学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数.函数、logistic模型的S形曲线函数等)图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后像例4那样,采用适当的变量置换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决.

我们在必修模块数学3中已经初步讨论过一元线性回归分析问题。由于回归分析在生产实际和日常生活中的应用很广泛,本节通过4个例子的探究,使同学们进一步了解回归分析(包括非线性回归分析)的基本思想、方法及其初步应用,具体做题时应尽量借用力计算器。

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本章小结

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阅读与欣赏回归一词的由来

在3.2节的例2中,通过对10对母女身高的探究,我们求出了女儿身高对母亲身高的回归直线方程,从中可以看出,一般说来,母亲身材较高者,其女儿的身材也较高.但为什么要称这样的直线方程为回归直线方程呢?总觉得与回归两字有点沾不上边.

原来问题并非如此简单.回归作为统计学的一个术语,最早来自英国人类学家兼统计学家高尔顿(Galton)的普用回归定律概念.他的学生、现代统计学的奠基者之一皮尔逊(Pearson)曾收集了1078对父亲及其一个成年儿子的身高数据。若用x表示父亲身高,Y表示儿子身高,单位用英寸(1英寸约为2.54cm).高尔顿把这1078对数据标在直角坐标纸上,发现散点图大致呈直线状.也就是说,总的趋势是父亲身材较高者,其儿子的身材也较高,这和上面母女身高的情况类似,也和我们的常识一致.

经过高尔顿对数据的深入分析,发现这1078个xi的平均值是68英寸,1078个yi的平均值是69英寸.这就是说,子代身高平均增加了1英寸.人们自然会想,若父亲身高为x,那么他儿子的身高平均来说大致是x+1,但高尔顿的研究结果却与上述想法大相径庭.他发现,当父亲身高为72英寸时,他们的儿子平均身高仅为71英寸,并没有达到预期的73英寸.若父亲身高只有64英寸,他们的儿子平均身高为67英寸,竟比预期的65英寸高了2英寸.这一事实反映出子代身高有向平均值69英寸回归的倾向.

高尔顿对此的解释是:大自然具有一种约束力,使人类身高的分布在一定时期内相对稳定而不产生两极分化,这就是所谓的回归效应.通过这一例子,高尔顿引入了回归一词.用这1078对数据,可以算出x与Y之间存在线性关系:

y=33.73+0.516x,

它在几何上代表一条直线,人们通常就把它称为回归直线方程了.

随着时代的发展,回归分析的应用越来越广泛,事实上,对于大多数实际问题来说,两个有着线性相关关系的变量并不具备回归效应,回归分析有点名不符实.但是,由于回归一词沿用已久,今天实在没有必要对3.2节讨论的这种统计分析方法另外取一个名字了.

 第一章 算法初步

第一章 算法初步

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在数学1中,我们学习过求函数零点的二分法算法,在数学2的解析几何初步中,我们又把利用公式计算的几何问题进行分步求解.这些计算方法都有一个共同的特点,就是对一类问题(不是个别问题)都有效,计算可以一步一步地进行,每一步都能得到唯一的结果.通常我们把这一类问题的求解过程,叫做解决这一类问题的算法.算法一般是机械的,有时要进行大量重复的计算,它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能算出结果.通常把算法过程称为数学机械化.数学机械化最大的优点,是它可以让计算机来完成.

在数学发展的历程中,寻求对一类问题的算法一直是数学发展的一个重要特点.在现代,算法已是数学及其应用科学中的重要组成部分,并成为计算科学的重要基础.随着现代信息技术的飞速发展,算法在科学技术和社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面.算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养.

我们还要特别向同学们指出,我国古代数学发展的主导思想,就是构造算法解决实际问题.在这种思想的主导下,我国古代直到宋、元时期,数学的发展一直处于世界的领先地位.这一章的最后一节,我们要举例说明我国古代数学中蕴含的丰富的算法思想,以此引导同学们能沿着中国数学机械化的道路,学习数学,研究数学.

在用数学方法求解问题的过程中,提出问题、构造算法和使用计算工具,这三项工作始终紧密地联系在一起.从结绳计数、算筹到计算机的产生,计算工具的发展大大加快了研究算法的进程.现在我国高级中学大都拥有计算机,为学习算法提供了有力的工具.在这一章,我们将通过数学语言叙述、画程序框图和使用程序语言,学习基本算法语句的结构.

我们选用Scilab语言来实现算法.这种语言简单、容易学习,我们相信Scilab会成为同学们学习数值算法的好帮手.同学们可以使用Scilab,将自己设计的算法在计算机上运行.你一定能获得成功的喜悦,做许多你用笔和纸不敢做的数学题,为你今后在数学的学习中使用计算机技术打下良好的基础.

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1.1 算法与程序框图

1.1.1 算法的概念

在前面的学习中,同学们已经接触到算法的概念,这一章我们专门来学习算法的知识.算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.

描述算法可以有不同的方式.例如,可以用自然语言和数学语言加以叙述,也可以借助形式语言(算法语言)给出精确的说明,也可以用框图直观地显示算法的全貌.

怎样才能设计出一个名副其实的算法呢?下面先从大家耳熟能详的鸡兔同笼问题谈起.

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上述两种算法,都可以用来求解鸡兔同笼这类问题.只要给出总头数和总腿数,就可以算出鸡和兔的数量.

前面解决鸡兔同笼问题的代数解法,本质上是消元.代数解法是利用方程组(I)中的第一个方程来消去第二个方程中的未知数x,从而使该方程组(I)化为与其等价的方程组(Ⅱ),进而通过(Ⅱ)的第二个方程确定y,再通过第一个方程确定x.算术解法是先假设都是鸡,本质上也是消元.

在实际中,很多问题都可以归结到求解二元一次方程组.下面我们用消元法来解一般的二元一次方程组

a11x1+a12x2=b1

a21x1+a22x2=b2

因为是二元一次方程组,所以方程组中a11,a21不能同时为0.

第一步,假定a11≠0(如果a11=0,可将第一个方程与第二个方程互换),①×(-)+②,得到

(a22-)x2=b2-.于是方程组可化为a11x1+a12x2=b1

(a11a22-a21a12)x2=a11b2-a21b1

第二步,如果a11a22-a21a12≠0,解方程④得到

x2=.⑤

第三步,将⑤代入③,整理得到

x1=a22b1-a12b2.⑥

a11a22-a21a12

这里方程组的写法与以前学到的不同。方程组的未知数用x1和x2表示,a11表示方程组中的第一个方程第一个未知数x1的系数……a22表示第二个方程中第二个未知数x2的系数,b1表示第一个方程的常数项,b2表示第二个方程的常数项。

第四步,输出结果x1,x2.

如果a11a22-a21a12=0,则从④可以看出,方程组无解或有无穷多组解.

以上解二元一次方程组的算法,叫做高斯消去法.

以后,我们在描述算法时,用英文Step1,Step2,…来表示第一步,第二步,…,也可以简写为:S1,S2,….

从以上计算可以看出,a11 a22-a21 a12是一个很重要的值,它决定了方程组是否有唯一解.

上面得到的结果⑤⑥,叫做求解二元一次方程组两个未知数的公式.利用这组公式,我们可写出解二元一次方程组的另一算法.算法步骤如下:

S1 计算D=a11a22-a21a12

S2 如果D=0,则原方程组无解或者有无穷多组解;否则(D≠0),

x1=

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x2=

S3 输出计算的结果x1,x2或者无法求解信息.

从解二元一次方程组的算法可以知道,求解某个问题的算法不一定是唯一的.我们现在学习的算法不同于求解一个具体问题的方法,它有如下的要求:

(1)写出的算法,必须能解决一类问题(例如解任意一个二元一次方程组),并且能重复使用;

(2)算法过程要能一步一步执行,每一步执行的操作,必须确切,不能含混不清,而且经过有限步后能得出结果.

通过求解二元一次方程组的算法,我们大家已初步理解了算法的含义和要求,与你开始时的理解是否有些不同了.下面再举个例子加以说明.

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有了算法,就可编写程序.同学们现在可能还不会编程序,没关系,大部分数学计算都已由科学家编制成应用程序.大家不妨先来感受一下这些应用程序的威力,并加深对算法作用的理解.

不论给出的是多少个未知数的线性方程组,只要按上面的格式,在Scilab界面上输入给定的数据,瞬间就会输出解答.

在计算机上能够求解方程组,是由于计算机安装有计算软件,而软件的核心是算法.只要有了解决问题的算法,不管借助的工具是纸笔、计算器,还是计算机,都能按照算法步骤求得相同的结果.

思考与讨论

说出你过去和现在对算法一词的理解.

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练习A

练习B

1.1.2 程序框图

1.程序框图的概念

通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法.这种图称做程序框图(简称框图).上一小节中,用公式法解二元一次方程组的算法可用框图形象地描述如图 1-1.

由此我们可以看到用框图表示算法直观、形象,容易理解.通常说一图胜万言,就是说用框图能够清楚地展现算法的逻辑结构.

图 1-1的框图中有许多图形符号和连接线,这些符号表示特定的含义,被大家普遍采用.下面列表给出一些常用的表示算法步骤的图形符号.

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1-1

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下面对图形符号再作一些说明:

起、止框是任何流程不可少的,表明程序的开始和结束.输入和输出可用在算法中任 何需要输入、输出例位置.例如求解方程组的框图(图1-1)中,算法开始后第一步需要输 入(给定)未知数的系数和常数项,就可把给定的数值写在输入框内,最后要给出运算的结 果,把算出的两个未知数的值,写在输出框内.算法中间要处理数据或计算,可分别写在 不同的处理框内,例如此例的计算D可写在处理框内.当算法要求你对两个不同的结果进行判断时,例如此题的判断条件为D=0,要写在判断框内.

一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接.如果一个框图需要分开来画,要在断开处画上连接点,并标出连接的号码(图 1-2).

图 1-2

2.画程序框图的规则

为了使大家彼此之间能够读懂各自画出的框图,必须遵守一些共同的规则,下面对一些常用的规则作一简单的介绍.

(1)使用标准的框图的符号.

(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画.

(3)除判断框外,其他框图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框是具有超过一 个退出点的唯一符号.

(4)一种判断框是二择一形式的判断,有且仅有两个可能结果;另一种是多分支判 断,可能有几种不同的结果.

(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.

练习A

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练习B

1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示

我们写出的算法或画出的程序框图,一定要使大家一步步地看得清楚、明白,容易阅读.不然,写的算法乱无头绪,就很难让人阅读和理解.这就要求算法或程序框图有一个良好的结构.通过对各种各样的算法和框图进行分析和研究,证明只须用顺序结构、条件分支结构和循环结构就可表示任何一个算法.用这三种基本结构表述的算法和画出的框图,整齐美观,容易阅读和理解.下面我们分别介绍这三种基本逻辑结构.

1.顺序结构

顺序结构描述的是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间按从上到下的顺序进行.下面举例说明.

图 1-3

2.条件分支结构

从上面的介绍来看,一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法描述要求进行逻辑判断,并根据判断结果进行不同处理的情况.因此,需要另一种逻辑结构来处理这类问题.这种结构叫做条件分支结构.它是依据指定条件选择执行不同指令的控制

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结构.下面举例说明.

图 1-4

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图 1-5

练习A

练习B

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3.循环结构

在科学计算中,会遇到许多有规律的重复运算.例如:人口预测.已经知道现有的人口总数是P,人口的年增长率是R,预测第T年后人口总数将是多少?

问题的分析:

(1)第一年后的人口总数是P+P×R=P(1+R);

(2)第二年后的人口总数是P(1+R)+P(1+R)×R=P(1+R)^(2);

……

以此类推,得第T年后的人口总数是P(1+R)^(T).

这就是说,如果要计算第10年后的人口总数,乘(1+R)的运算要重复10次.如果一个计算过程,要重复一系列的计算步骤若干次,每次重复的计算步骤完全相同,则这种算法过程称为循环过程.循环过程非常适合计算机处理,因为计算机的运算速度非常快,执行成千上万次的重复计算,只不过是一瞬间的事,且能保证每次的结果都正确.由此引出算法的第三种结构:

根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构.

通过以上的分析,预测人口的算法中包含循环结构,它可用图 1-6中的程序框图来描述.

画出这张框图的关键,是要理解

计算增量I=P×R,P=P+I及t=t+1这三个处理框的工作.每重复(循环)一次,I,P,t三个变量都发生变化,这三步要重复计算T次.它是如何工作的,大家一定要清楚.在计算增量这个处理框中,第一次算出的是第一年的人口增量,第二年人口计算的基数发生了变化,它已不是初始值P,它应是P+I,因此在下一个处理框中,用P+I代替P,这时输出的应是P+I,可输出框中仍写的是P,这可能使你有点糊涂,但只要你想到P是一个变化着的量也就容易理解了.开始是初始值,每年后都用新的人口值替代上一年的人口值,再送回计算增量的处理框,计算新的一年的人口增量.你不妨把P=P+I这个处理框看成一个储存数据的单元,新的数据进入就把旧的数据赶走.增长时间变量t的变化类似,每循环一次增长1,用它来对循环次数进行计数.

图 1-6

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分析 表达式an=an2+an1的意义是表示在这个数序列中的第n个数,可由它前面的两个数计算出来,如果给出这个数序列的第一和第二个数,则这个数序列的所有项都可计算出来.即

由a1=1,a2=1,可求出

a3=a1+a2=1+1=2,

a4=a2+a3=1+2=3,

a5=a3+a4=2+3=5,

ak=ak2+ak1.(*)

解:由(*)式,我们可看到,ak,ak2,ak1都是k的函数,数值随k而变,(*)式中的计算要反复进行,因此在框图中要引入三个变量,分别用C,A,B表示ak,ak2,ak1.框图中首先要输入正整数n(n≥3)及给A与B分别输入值1,1,然后循环计算.它的程序框图如图 1-7所示.

大家看到,在这张框图中,除引入变量A,B,C外,又引入了一个变量k,在进行循环操作前,用这个变量控制是否达到给定的正整数n.

图 1-7

练习A

练习B

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习题 1-1 A

习题 1-1 B

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1.2 基本算法语句

在上一节,我们学习算法和程序框图时,就已经指出,用顺序结构、条件分支结构和循环结构就可表示任何算法.如何将算法的这些控制结构,转变成计算机能够理解的程序语言和能在计算机上实现的程序呢?现在计算机能够直接或间接理解的程序语言有很多种,这些程序语言都包含一些基本的语句结构:

输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句

本节我们将用算法的观点对这些基本语句进行分析,然后再结合Scilab的程序语言,帮助大家更好地理解这些语句的结构以及在解数学问题中的应用.在必修模块数学1中,我们已经介绍了数学应用软件Scilab,它的界面已是我们的演算板.它是完全免费自由使用的数学软件,同学们可以在我们介绍的网站上下载.在Scilab中,你可以进行各种数值计算,这是因为台后有强大的程序在支持它.你想知道如何编出如此强大的程序吗?你想把自己的算法也编成程序,在计算机上运行吗?那就请你认真学习这一节的内容.这里,我们通过Scilab自带的编程语言,来演示实现算法的三种基本结构.这个编程语言不仅简单易用而且功能还很强.当然,你也可结合你在信息技术课上学到的任一种程序语言来学习.

下面分两个小节介绍基本算法语句结构.

1.2.1 赋值、输入和输出语句

1.赋值语句

在表述一个算法时,经常要引入变量,并赋给该变量一个值.用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句.在算法语句中,赋值语句是最基本的语句.

赋值语句的一般格式为:变量名=表达式.

赋值语句中的=号,称做赋值号.赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值,然后把该值赋给赋值号左边的变量,使该变量的值等于表达式的值.例如,在Scilab界面窗口中输入:

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a=3;b=4;c=5;①

s=(a+b+c)/2;

A=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));②

都是赋值语句.

关于赋值语句,有以下几点需要注意:

(1)赋值号左边只能是变量名字,而不是表达式.例如3.6=X是错误的.

(2)赋值号左右不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量,例如Y=X,表示用X的值替代变量Y原先的取值,不能改写为X=Y.因为后者表示用Y的值替代变量X的值.

(3)不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等),例如

y=x^(2)-1=(x+1)(x-1),这是不能实现的.在赋值语句中的赋值号右边的表达式中的每一个变量都必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值.不能出现两个或多个=.

(4)赋值号与数学中的等号的意义不同.赋值号左边的变量如果原来没有值,则在执行赋值语句后,获得一个值.如果原已有值,则执行该语句后,以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值,即将原值冲掉.如:

N=N+1

在数学中是不成立的,但在赋值语句中,意思是将变量N的原值加1后再赋值给变量N,结果使变量N的值增加了1.

①Scilab命令一般以分号;作为结尾,每输完一行都要按回车键Enter确认输入内容.

②sqrt为平方根函数.本章末附录2给出了Scilab部分函数指令表.

在一些应用程序中,可以在界面窗口中直接赋值.如在Scilab界面窗口内赋值并计算三个数的平均数,可在窗口中输入:

→a=5;b=7;c=9;

→aver=(a+b+c)/3③

aver=

7

这个语句系列一共4行,前2行都是给变量赋值.后面2行显示了变量aver的值.

③赋值语句后没有分号;结尾时,界面窗口内显示变量赋值后的结果;有分号;结尾时,则不显示结果.

2.输入语句

在某些算法中,变量的初值要根据情况经常地改变.一般我们把程序和初始数据分开,每次算题时,即使初始数据改变,也不必改变程序部分,只要每次程序运行时,输入相应的数据即可.这个过程在程序语言中,用输入语句来控制.不同的程序语言都有自己的输入指令和方法.下面主要介绍键盘输入语句,并看看在Scilab中用什么语句来控制输入.

在Scilab中的输入语句之一是input.下面介绍它的使用方法.

先看一个例子.

假如我们要计算任一个学生的语文、数学、外语三门课的平均成绩,就要输入这个学

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生三门课的成绩.在Scilab程序中是用input输入语句来控制在屏幕上输入.在Scilab的文本编辑器①中写出如下程序:

注:

①点击Scilab界面中的Editor菜单,就可进入文本编辑器界面.

②//后面是注释内容,对程序运行不起作用.

把程序保存在一个文件中,例如c:\gaobook\aver.sci.

点击Scilab的文本编辑器界面内Execute菜单中的Load into Scilab按钮,立即会在Scilab界面内运行:

→exec(’c:\gaobook\aver.sci’);

chinese→

这时,你可从键盘输入一个学生的语文成绩(分),例如,90.再按Enter键,程序继续运行,界面出现

math→

这时,你可从键盘输入一个学生的数学成绩(分),例如,80.再按Enter键,程序继续运行,界面出现

foreign language→

这时,你可从键盘输入一个学生的外语成绩(分),例如,79.再按Enter键,程序继续运行,界面出现

aver=83.

input在计算机程序中,通常称为键盘输入语句.从这个例子我们可以体会到输入语句在程序中的作用.

下面再来看我国古算术中的鸡兔同笼问题,我们写出它的算法、框图和程序,从中体会一下算法的意义以及输入语句的作用.

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S4 兔的数量B=M-A.程序框图如图 1-8所示.

在Scilab的文本编辑器中编写如下程序:

把上述程序保存成一个文件,然后在Scilab界面内执行该程序,屏幕出现以下提示:

Howmanyheads→(键入头数,例如9)

M=9.

Howmanylegs→(键入腿数,例如26)

N=26.

结果:

A=5.

B=4.

在Scilab中,还有其他输入语句,如read输入语句.在其他各种程序语言中,一般都有自己的输入控制语句,它们的作用是相同的,只是每种程序语言的控制代码和表现形式不同.这里,我们只是帮你理解程序语句的含义,减少你今后深入学习程序设计的困难.

图 1-8

3.输出语句

任何求解问题的算法,都要把求解的结果输出.由此可知,任何程序语言也必须有输出语句来控制输出.不同的程序语言都有自己的输出语句和表现形式,但功能是一样的,就是以某种形式把求解结果输出出来.下面,我们以Scilab为例,主要介绍屏幕显示输出.

在Scilab中,有各种输出语句,如print,write,format,printf,disp.下面我们仅对print语句举例加以说明.

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练习A

练习B

1.2.2 条件语句

处理条件分支逻辑结构的算法语句,叫做条件语句.我们仍以Scilab自带的程序设计

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语言,对条件语句加以说明.

计算机通常是按照程序中语句出现的先后顺序依次往下执行的.但有时需要根据某个给定条件是否满足而决定所要执行的语句,这时就需要条件语句.Scilab语言中的条件语句分为if语句和select-case语句.下面我们只举例说明if语句的用法.

在1.1.3节,我们写出了求一元二次方程ax^(2)+bx+c=0根的算法和程序框图,这里用Scilab程序语言写出如下程序.

disp也是Scilab的输出语句,运行后在界面窗口上显示双引号中间的文字.

这个程序运行后,第一步,要求你输入方程中的常数a,b,c.第二步,计算d.第三步,用if语句对d进行判断,如果d〈0,用语句disp输出方程无解信息.第四步,否则(else)也就是d≥0,则计算并输出x1和x2.

从这个程序可以看到,if语句的一般格式是:

该语句的功能为,如果表达式结果为真,则执行表达式后面的语句序列1;如果表达式结果为假,则执行else后面的语句序列2.

其实,if语句最简单的格式是:

这就是说,如果表达式结果为真,则执行表达式后面的语句序列1,否则跳过语句序列1.

从上例我们可知道条件语句在程序语句中的作用.Scilab中的if语句很简单,

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不妨用它编点程序,解决你学过的一些需要条件判断的数学问题,从中体会条件语句的作用和使用方法.

练习A

练习B

1.2.3 循环语句

在算法程序语言中一般通过循环语句来处理算法中的循环结构.我们知道,在实际问题中会遇到许多有规律的重复运算,或者在程序中需要对某些语句进行重复的执行,这样就需要用到循环语句进行控制.Scilab程序语言中提供了两种循环语句:for循环和while循环.下面我们举例说明这两种循环语句的作用.

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这个程序一共四步:

第一步是选择一个变量S表示和,并赋给初值0.

第二步开始进入for循环语句,首先设i为循环变量,分别设定其初值、步长、终值.这里初值为1,步长为1(步长是指循环变量i每次增加的值.步长为1,可以省略不写,若为其它值,则不可省略),终值为1000.

第三步为循环表达式(循环体).

第四步用end控制结束一次循环,开始一次新的循环.

理解for循环的关键是理解第三步S=S+i计算机是如何执行的.下面写出几步循环,大家可能就会理解.

i=1 S=S+i是S=S+1,并把0+1赋值给S,第一次循环结束S为1,此时S记录了第一个数的值,遇到end开始第二次循环;

i=2 S=S+i是S=S+2,并把1+2赋值给S,第二次循环结束S为1+2=3,此时S记录了前两个数的和,遇到end开始第三次循环;

i=3 S=S+i是S=S+3,并把(1+2)+3赋值给S,第三次循环结束S变为1+2+3=6,此时S记录的是前3个数的和,遇到end开始第四次循环;

把上述程序存到一个文件中(C:/gao/intsum.sci),点击Execute菜单中的Loadinto Scilab按钮,就会在Scilab中执行你写的程序:

→exec(C:/gao/intsum. sci);

S=

500500.

如果在程序的第三行语句后,去掉分号,再运行程序,可在屏幕上显示每一步循环输出的结果,如前5步的循环的结果为:

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15.

for循环的格式为

Scilab中的第二种循环语句是while语句.它的格式为

这种循环结构,首先要求对表达式进行判断,如果表达式为真,则执行循环体部分,每次开始执行循环体前,都要判断表达式是否为真.这样重复执行,一直到表达式值为假时,就跳过循环体部分,结束循环.

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到第10次落地时,共经过了h1+2h2+…+2 h10(m).

由以上分析,可写出Scilab程序如下:

练习A

练习B

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习题 1-2 A

习题 1-2 B

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1.3 中国古代数学中的算法案例

同学们是否知道,我们在小学、中学学到的算术、代数,从记数到多元一次联立方程组以及方程的求根方法,都是我国古代数学家最先创造的,有的比其他国家早几百年甚至上千年.我国人民在长期的生活、生产和劳动过程中,创造了整数、分数、小数、正负数及其计算,以及无限逼近任一实数的方法.在代数学、几何学方面,我国在宋、元之前也都处于世界的前列.更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色,走着与西方完全不同的道路,在今天看来这条道路仍然有很大的优越性.这条道路的一个重要特色就是寓理于算,也就是本节中所讲的要把解决的问题算法化.下面我们举一些我国古代数学中算法的例子,让同学们更进一步体会算法的概念,看一看中国古代数学的伟大成就和显著特色.

1.求两个正整数最大公约数的算法

我们知道,如果整数a能被整数b整除,则b称为a的一个约数.一个整数可能有好几个约数.例如,12能被1,2,3,4,6,12整除,这6个数都是12的约数.16有1,2,4,8,16这5个约数.我们看到2和4,既是12的约数又是16的约数,2和4叫做12和16的公约数,公约数2和4中,4最大,4称做12和16的最大公约数.如何找到一种算法,对任意两个正整数都能求出它们的最大公约数呢?下面给出我国古代数学家的一个算法,这个算法被称做更相减损之术.我们以求16,12这两个数的最大公约数为例加以说明.用两数中较大的数减去较小的数,即16-12=4,用差数4和较小的数12构成新的一对数,对这一对数再用大数减小数,以同样的操作一直做下去,直到产生一对相等的数,这个数就是最大公约数.整个操作如下:

(16,12)→(4,12)→(4,8)→(4,4).

4是12和16的最大公约数.

这种算法的道理何在呢?不难看出,对任意两个数,每次操作后所得的两数与前两数具有相同的最大公约数,而两数的值逐渐减小,经过有限步地操作后,总能得到相等的两个数,即求得两数的最大公约数.

例如,求78和36的最大公约数,操作如下:

(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→

(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6).

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这种算法,只做简单的减法,操作方便、易懂,也完全符合算法的要求,它完全是机械的运算,据此很容易编出程序,在计算机上运算.把这个算法与我们下面探索与研究中介绍的欧几里得算法比较,看看这个算法的优越性.下面是我们用Scilab编出的程序,供大家参考.实际上,你可用你在信息技术课上学到的任一种程序设计语言编出程序,从中体会一下这个算法的优越性.为了方便叙述,我们称这种算法为等值算法.

用等值算法求最大公约数的程序:

把这个程序保存成文件,可随时调入Scilab界面运行,求任意两个正整数的最大公约数.

探索与研究

古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法(即欧几里得算法):用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数,继续做上面的除法,直到大数被小数除尽,这个较小的数就是最大公约数.以求288和123的最大公约数为例,操作如下:

(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39).

想一想这种算法的道理.试着编写程序在计算机上实现.

2.割圆术

我国魏晋时期的数学家刘徽,他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π,用刘徽自己的原话就是割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展,计算出圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位.

刘徽从圆内接正六边形开始,让边数逐次加倍,逐个算出这些圆内接正多边形的面积,从而得到一系列逐渐递增的数值,来一步一步地逼近圆面积,最后求出圆周率的近似

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值.可以想象,在当时需要付出多么艰辛的劳动.现在让我们用刘徽的思想,使用计算机求圆周率的近似值.计算机最大的特点是运算速度快,只要我们将运算规律告诉计算机,计算机会迅速得到所求的答案.

我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析,找出它们之间的递增规律.

图 1-9所示.假设圆的半径为1,面积为S,圆内接正n边形面积为Sn,边长为xn,边心距为hn.根据勾股定理,hn=.

正2n边形的面积为正n边形的面积Sn再加上n个等腰三角形(A D B)的面积和,即

S2n=Sn+n·1/2·xn(1-hn).①

正2n边形的边长为x2n=.

刘徽割圆术还注意到,如果在内接n边形的每一边上,作一高为CD的矩形,就可得到

S2n〈S2n+(S2n-Sn).

这样,我们就不仅可计算出圆周率的不足近似值,还可计算出圆周率的过剩近似值.

从正六边形的面积开始计算,即n=6,则正六边形的面积S6=6×.用上面的公式①重复计算,就可得到正十二边形、正二十四边形……的面积.因为圆的半径为1,所以随着n的增大,S2n的值不断趋近于圆周率,这样不断计算下去,就可以得到越来越精密的圆周率近似值.下面我们根据刘徽割圆术的算法思想,用Scilab语言写出求π的不足近似值的程序:

刘徽割圆的弧田图

图 1-9

①此处i的终值为5,当i的终值为1,2,…时,程序分别算出正十二边形、正二十四边形……的面积.

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运行程序,当边数为192时,就可以得到刘徽求得的圆周率的近似值3.14,当边数为24576时,就得到了祖冲之计算的结果3.1415926.由于是用圆内接正多边形逼近圆,因而得到的圆周率总是小于π的实际值.作为练习,请同学编出程序求

S2n+(S2n-Sn)(n=6,12,…)

作为π的过剩近似值.

探索与研究

同学们可以用同样的思想用圆外切正多边形的周长逼近圆的周长的方法求出圆周率的近似值.请你试着写出程序,并想一想怎样来给出π的一个较准确的范围.

3.秦九韶算法

已知一个一元n次多项式函数

P(x)=anx^(n)+an-1x^(n-1)+…+a1x+a0.

当x=x0,我们可按顺序一项一项地计算,然后相加,求得P(x0).下面看看我国宋代(约13世纪)大数学家秦九韶是如何计算多项式函数值的.

让我们以5次多项式函数为例加以说明.设

f(x)=a5x^(5)+a4x^(4)+a3x^(3)+a2x^(2)+a1 x+a0.

首先,我们把这个多项式一步步地进行改写:

f(x)=(a5x^(4)+a4x^(3)+a3x^(2)+a2 x+a2)x+a0

=((a5x^(3)+a4x^(2)+a3 x+a2)x+a1)x+a0

=(((a5 x^(2)+a4 x+a3)x+a2)x+a1)x+a0

=((((a5x+a4)x+a3)x+a2)x+a1)x+a0.

上面的分层计算,只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由内向外逐层计算,直到最外层的一个括号,然后加上常数项.

这种算法与直接计算比较,有什么优越性呢?首先,这种算法一共做了5次乘法,5次加法,与直接计算相比大大节省了乘法的次数,使计算量减少,并且逻辑结构简单.大家是否知道,在计算机上做一次乘法所需要的时间是做加法、减法的几倍到十几倍,减少做乘法的次数也就加快了计算的速度.另外这种算法还避免了对自变量x单独做幂的计算,而是与系数一起逐次增长幂次,从而可提高计算的精度.

对任意一元n次多项式,类似地叙述如下:

首先将多项式改写为

P(x)=anx^(n)+an-1x^(n-1)+…+a1x+a0

=(anx^(n-1)+an-1x^(n-2)+…+a1)x+a0

=((anx^(n-2)+an-1x^(n-3)+…+a2)x+a1)x+a0

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=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.

令vk=(…(anx+an-1)x+…+an-k-1)x+an-k

则递推公式为:

v0=an

其中k=1,2,…,n

vk=vk-1 x+an-k

所谓递推,就是在一系列数中已知第一个数,则其后的每一个数都可由前面的数求出.根据上面的递推公式,我们可由v0依次求出所有的vk

v1=v0 x+an-1,v2=v1 x+an-2,v3=v2x+an-3

vk=vk-1x+an-k

Vn=Vn-1x+a0.

上面的方法,现在大家称它为秦九韶方法.直到今天,这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的算法.

这种方法的计算量仅为:乘法n次,加法n次.我们看看其他算法的计算量.

用直接求和法,直接计算多项式anx^(n)+an-1x^(n-1)+…+a1 x+a0各项的值,然后把它们相加.可知乘法的次数为

1+2+3+…+n=

加法次数为n.

逐项求和法在直接求和法的基础上作了改进,先把多项式写成

an·x^(n)+an-1·x^(n-1)+…+a1·x^(1)+a0的形式.这样多项式的每一含x的幂的项都是ak与x^(k)的乘积(k=1,2,…,n).在计算ak.x^(k)项时把x^(k)的值保存在变量c中.求ak1·x^(k+1)项时只须计算ak1·x·c,同时把x.c=x^(k+1)的值存入c中,继续下一项的运算,然后把这n+1项的值相加.

容易看出逐项求和法所用乘法的次数为2n-1,加法次数为n.当n≥3时,

n〈2n-1〈.

通过上面的比较,我们可看到秦九韶算法比其他算法优越得多.

探索与研究

怎样根据上面逐项求和法的算法描述写出算法步骤.

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秦九韶用上述多项式求值的算法,并通过减根变换,给出了求高次代数方程根的完整算法.这一成就要比西方同样的算法早五六百年.这样的算法很容易在计算器或计算机上实现.

下面介绍依据我国古代算法思想在计算机上求函数(图 1-10

f(x)=anx^(n)+an-1x^(n-1)+…+a1x+a0的近似根(设根的精确度为d).

这里我们用数学语言写出算法:

S1 给定自变量的一个初值x0,给定自变量的初始增量c(c〉0).

S2 用秦九韶方法计算出f(x0).

S3 若f(x0)〈0,

计算f(xi+c),i=0,1,2,…;

(1)若f(xi+c)〈0,则xi1=xi+c;

(2)若f(xi+c)〉0,则c=0.1c;

直到f(xi+c)=0或c〈d.这时

x=xi+c

为方程的一个根.

图 1-10

思考与讨论

如果初值使f(x0)〉0,那么上面的算法应做怎样的修改?试着给出不同的初值,看看得到的根是否相同.

习题 1-3 A

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习题 1-3 B

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本章小结

Ⅰ 知识结构

Ⅱ 思考与交流

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Ⅲ 巩固与提高

Ⅳ 自测与评估

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阅读与欣赏

我国古代数学家秦九韶

秦九韶,现四川省安岳人.他生活的年代大约在1202-1261年,处于南宋时代.他自幼聪敏,多才多艺,喜爱数学、天文、文学和工程问题.他擅长骑马、射箭,青年时期当过军官.他的父亲是南宋管理工程的官员,这使他有机会接触天文历法、数学和工程学等方面的书籍以及研究人员,从中学习天文和数学知识.他勤奋好学,在数学研究方面,取得了巨大的成绩.他的代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表作之一.书中的一次同余式(大衍求一术)和高次方程的解法(正负开方术)比西方欧拉和霍纳等数学家的解法要早500多年.由于他和他同时代的其他数学家的贡献,使我国数学在当时处于世界领先地位.他是中国人的骄傲.

《数书九章》是一部有二十多万字的科学巨著.书中共分九大类,列出81道题.有趣的是,从作者的名字、书名到题目共四个九,即九韶、九章、九类、九题.这部书的每一题都有术,即都有解题的原理和解题步骤.它继承了我国数学发展的突出特色:算法化.这部书的另一重要特色是理论联系实际.书中大多数问题都是来自实际.秦九韶对当时的生产和生活的各种问题进行了深刻的思考.并将它们抽象为数学问题,研究这些问题的算法.这部书凝聚着秦九韶艰辛的劳动,它在中国和世界数学史中都占有重要的地位.最值得称赞的是,秦九韶创造的一些算法(例如,多项式求值的方法)至今仍是世界上最好的算法.

东方数学的使命

中国科学院院士 吴文俊①

一提到科学或者数学,脑子里想到的就是以欧美为代表的西方科学和数学.我要讲的是,除了以西方为代表的科学和数学之外,事实上还有跟它们完全不同的所谓东方科学与数学.这个意见也不是我第一次这样讲,在《中国科学技术史》这一宏篇巨著里面就已经介绍了这一点.李约瑟在著作里讲,东方不仅有科学和数学,而且跟西方走的是完全不同的道路,有不同的思想方法.究竟怎么不一样呢?

所谓东方数学,就是中国的古代数学及印度的古代数学.东西方数学的异同,也就是现在欧美的数学跟东方数学(主要是古代的中国数学)有什么异同.我们学现代数学

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(也就是西方数学),主要内容是证明定理;而中国的古代数学根本不考虑定理不定理,没有这个概念,它的主要内容是解方程.我们着重解方程,解决各式各样的问题,着重计算,要把计算的过程、方法、步骤说出来.这个方法步骤,用现在的话来讲,就相当于所谓算法.美国一位计算机数学大师说,计算机数学即是算法的数学.中国的古代数学是一种算法的数学,也就是一种计算机的数学.进入到计算机时代,这种计算机数学或者是算法的数学,刚巧是符合时代要求,符合时代精神的.从这个意义上来讲,我们最古老的数学也是计算机时代最适合、最现代的数学.这是我个人的一种看法.

我们再来说一下东方数学,也就是中国古代数学的精神实质是什么.我们古代数学的精髓就是从问题出发的精神,和西方的从公理出发完全不一样.为了从问题出发,解决各式各样的问题,就带动了理论和方法的发展.从问题出发,以问题带动学科的发展,这是整个数学发展的总的面貌.

为什么解决问题要解方程呢?原因很简单:一个问题有原始的数据,要求解决这个问题得出答案,这个答案也应是以某种数据的形式来表示的.在原始数据和要求数据之间,有某种形式的关系,这种由已知数和未知数建立起来的关系就是一种方程.为了解决形形色色的问题,就要解决形形色色的方程.因此,解方程变成中国两千多年历史发展中主要的目标所在.

我想特别提到一点,就是我们经常跟着外国人的脚步走.我们往往花很大的力气从事某种猜测的研究,希望能够解决或者至少推进一步.可是不管你对这个猜测证明也好,推进也好,提出这个猜测的人,就好比老师出了一个题目,即使你把它解决了,也无非是把老师的题目做出来,还是低人一等,出题目的老师还是高你一等.在计算机时代,这个问题值得思考.当然,不管谁提出来这样的问题,我们都应想办法对其有所贡献,可是不能止步于此,我们应该出题目给人家做,这个性质是完全不一样的.

我们正在进入计算机时代,计算机只能处理有限的问题,所以相应的数学应该是一种处理有限事物的数学,在数学上叫组合数学.历史上,组合数学创始于中国,以贾宪为首,一系列的成就不断涌现.我们在数学方面得到许多这样的成就绝不是偶然的.东方的数学有一定的思考方法,是有计划、有步骤、有思想地进行的.具体地讲,它有一个基本的模式,就是从实际问题出发,形成一些新的概念,产生一些新的方法,再提高到理论上,建立一般的原理(就像牛顿有关的定理),用这样的原理解决形形色色更复杂、更重要、更艰深的实际问题,这样数学就不断地上升和发展.这就是古代数学发展的大致理论体系.

我们现在拥有计算机这样的便捷武器,又拥有切合计算机时代使用的古代数学.怎样进行工作,才能对得起古代的前辈,建立起我们新时代的新数学,并在不远的将来,使东方的数学超过西方的数学,不断地出题目给西方做,我想,这是值得我们大家思考和需要努力的方面.

(本文摘编自中国科学家人文论坛)

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附录 1

解三元一次方程组的算法、框图和程序

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图 1-11

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附录 2

scilab部分函数指令表

本指令表只收集了部分常用指令,有关全部指令请参照文档文件.

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 第二章 统计

第二章 统计

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同学们在小学和初中已经学习过统计知识,知道它的一些应用.这一章我们要进一步学习统计的有关内容.为了让大家了解统计在科学研究中的应用,我们先讲一个统计学用于二次世界大战时期军事情报的一个例子.

当时盟军情报作战机构根据间谍活动收集的情报估计出德军大约有坦克18000辆.德军真的有这么多的坦克吗?盟军的科学家不太相信这个数字,他们从统计学知识的角度来考虑这个问题.从缴获的德军坦克知道,德军的每一辆坦克都有编号,而且这些编号是从1开始连续编排的,这样,编号就指出了制造坦克的顺序.如何从缴获坦克的编号来估计德军生产坦克的总数N呢?在这个问题中,我们考虑的总体是:1号坦克,2号坦克……N号坦克.样本是被缴获的坦克,例如,可设为5号坦克,13号坦克,95号坦克……n号坦克.在统计学中一个估计总数的办法是求被缴获坦克编号的平均数,并认为这个值是全部编号的中点.因此样本平均数乘以2就是总数的一个估计.用类似的统计方法估计出的结果是,1942年德军的坦克生产量约为3400辆,后来知道这个估计与实际生产量相去不远.显然情报机构估计的数字大大超过了实际生产量.

从这个例子,我们可以看到统计学在军事科学研究中的巨大作用.统计学不光用于军事领域,还大量用于生产、生活领域.事实上,在我们日常生活中也经常要用到统计知识.例如,学期考试后,你帮助老师计算各科成绩的平均分.从平均分你能得到什么信息,平均分的信息对你有什么用处?在看电视的时候,电视节目的收视率代表什么含义?在街头,你有没有被邀请过填写一份调查表?在日常生活与学习中我们常常要知道这样那样的数据,供我们推断与决策.怎样收集和整理你需要的数据?如何从这些数据中得到有用的信息?说到这里,你大概知道我们要学习统计知识的作用和意义了吧!

统计学是用科学方法收集、整理、描述和分析所得数据资料,并由此进行推断或决策的学科.如何收集数据,根据所获得的数据提取有用的信息,作出合理的决策,这就是本章所要学习的主要内容.

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2.1 随机抽样

让我们研究下面的具体问题.

问题 某校高中学生有900人,校医务室想对全校高中学生的身高情况作一次调查,为了不影响正常教学,准备抽取50名学生作为调查对象.你能帮助医务室设计一个抽取方案吗?

这个问题涉及调查对象的总体是某校全体高中学生的身高,其中每一名学生的身高是个体.问题要求从总体中抽取容量为50的样本来做调查.

由问题可知,要统计的变量是某校全体高中学生的身高,变量的一个取值就是某一特定学生的身高.在具体问题中,我们往往研究总体的某项数值指标,如上面某校全体高中学生的身高.因此,我们一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体,构成总体的每一个元素作为个体.从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本.

在这个问题中,要得到全校高中学生的身高情况,最好的办法是对全校高中学生的身高逐一进行测量、记录.但这样做费时费力,还有可能干扰正常的教学.在更多的情况下,很难做到对所有考察的对象作全面的观测,有时根本无法施行.例如测试灯泡的寿命,了解中央电视台春节文艺晚会的收视率,判断山东省的成年人平均身高是否为全国之最等,这些试验有的是破坏性的,有的由于测试的总体包含的成员数量很大,如果逐一测试,要消耗大量的时间、人力、物力,得不偿失.一个行之有效的方法是从总体中选取部分个体(这部分个体就是总体的一个样本),并记录下来,并从这组数据来推断总体的情况.

测量同学的身高

测试灯泡的寿命

在上述问题中,应当如何选出50名学生的身高作为样本呢?能否从高一年级选出50名学生的身高,作为样本来估计全校高中学生的身高呢?由于学生的身高会随着年龄的增长而增高,这样的抽样方案有很大的局限性.我们希望从样本的身高值去推断全体高中学生的身高状况,使样本能充分地代表总体.如何抽取样本,直接关系到对总体估计的准确程度,因此在抽样时要保证每一个个体都

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可能被抽到,每一个个体被抽到的机会是均等的,满足这样的条件的抽样是随机抽样.在进行抽样时,如何做才能满足抽样的随机性和个体被抽取机会的均等性,统计工作者设计了许多方法.下面介绍几种经常采用的随机抽样方法.

2.1.1 简单随机抽样

我们先来看一个例子,一个布袋中有6个同样质地的小球,从中不放回地抽取3个小球,第1次抽取时,6个小球中的每一个被抽到的机会是均等的,所以每个小球都有1/6的可能性被抽到,第2次抽取时,余下的5个小球中的每一个都有1/5的可能性被抽到,第3次抽取时,余下的4个小球中的每一个都有1/4的可能性被抽到,也就是说,每次抽取时各个小球有相同的可能性被抽到.

一般地,从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本,如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样本,叫做简单随机样本.

常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法,下面我们分别介绍用这两种方法如何抽出简单随机样本.

1.抽签法

从一个100支日光灯管寿命的总体中,用不放回的方法抽取10支日光灯管寿命构成一个简单随机样本.我们可以给这100支日光灯管寿命编号,每一支日光灯管寿命对应1到100中的唯一一个数,再把这100个号分别写在相同的100张纸片(或小球、竹块)上,然后把它们放在一个容器里搅拌均匀,就可以抽样了.抽出一张纸片,记下上面的号码,然后再搅拌均匀,继续抽取第2张纸片,记下号码.重复这个过程直到取得10个号码时终止.于是,和这10个号码对应的日光灯管寿命就构成了一个简单随机样本.

抽签法的优点是简单易行.缺点是,当总体的容量非常大时,费时、费力又不方便.况且,如果标号的纸片或小球搅拌得不均匀,可能导致抽样的不公平.

2.随机数表法

随机数表是由0,1,2,…,9这10个数字组成的数表,并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同.通过随机数生成器,例如使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能,可以生成一张随机数表(表2-1),通常根据实际需要和方便使用的原则,将几个数组合成一组,如5个数一组,然后通过随机数表抽取样本.

要考察某种品牌的850颗种子的发芽率,从中抽取50颗种子进行实验.用随机数表抽取的步骤如下:

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(1)对850颗种子进行编号,可编为001,002,…,850.

(2)给出的随机数表中是5个数一组,使用各个5位数组的前3位,从各组数中任选一个前3位小于或等于850的数作为起始号码.例如从第1行第7组数开始,取出530作为抽取的50颗种子中的第1个的代号.

(3)继续向右读,由于987大于850,跳过这组数不取,继续向右读,得到415作为第2个的代号.数组的前3位数不大于850且不与前面取出的数重复,就把它取出,否则就跳过不取,取到一行末尾时转到下一行从左到右继续读数.如此下去直到得出在001~850之间的50个三位数.

上面我们是从左到右读数,也可以用从上到下读数或其他有规则的读数方法.

目前,计算器和许多计算机数学软件都能很方便地生成随机数序列,大家可使用它们抽取随机样本.

探索与研究

练习A

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练习B

2.1.2 系统抽样

实际抽样中往往要考察容量很大的总体,例如某省农村家庭的年平均收入状况,某电视机厂生产的某种型号的电视机的质量是否合格.这时样本容量越大越能更好地反映总体特征,但工作量也随之增大.当总体元素个数很大时,样本容量就不宜太小,采用简单随机抽样,就显得费事.这时,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样.

为了了解某地区今年高一学生期末考试数学科的成绩,拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本.对全体学生的数学成绩进行编号,号码为从1~15000.样本容量与总体容量的比为150∶15000=1∶100,我们可将总体平均分为150个部分,其中每一部分包含100个号码,然后对1~100号进行简单随机抽样,抽取一个号码,比如说是56,接下来每隔100个号码抽取一个,顺次取出号码为156,256,…,14956的学生.这样就可得到容量为150的一个样本.

从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本,如果总体容量能被样本容量整除,设k=N/n,可先由数字1到k中随机地抽取一个数s作为起始数,然后顺次抽取第s+k,s+2k,…,s+(n-1)k个数,这样就得到容量为n的样本.如果总体容量不能被样本容量整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样方法进行抽样.

在进行大规模的抽样调查时,系统抽样比简单随机抽样要方便很多,因而应用的范围很广.由于抽样的间隔相等,因此系统抽样也被称作等距抽样.

练习A

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练习B

2.1.3 分层抽样

当总体由有明显差别的几部分组成时,为了使抽取的样本更好地反映总体的情况,常采用分层抽样.将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分,每一部分叫做层,在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样,这种抽样方法叫做分层抽样.

例如,某中学高中学生有900名.为了考察他们的体重状况,打算抽取容量为45的一个样本.已知高一有400名学生,高二有300名学生,高三有200名学生.采用分层抽样,样本容量与总体容量的比为45∶900=1∶20,所以在高一、高二、高三3个层面上取的学生数分别为400/20,300/20,200/20,即分别抽取20,15,10名学生.当有些层面上抽取的学生数用除法算出的结果不是整数时,可作适当的细微调整,使抽取的学生数为整数.假如上例中高一、高二、高三的学生数分别为402,296,202,则这三个层面上取的学生数用除法计算分别为402/20=20.1;296/20=14.8;202/20=10.1,每层还是分别按20,15,10名学生抽取.在3个层面上抽样时,可以采用简单随机抽样方法.

分层抽样的优点是,使样本具有较强的代表性,而且在各层抽样时,又可灵活地选用不同的抽样法.因此,分层抽样应用比较广泛.

练习A

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练习B

2.1.4 数据的收集

在实际统计调查时,一般先要确定调查的目的、对象,也就是统计调查要解决的问题和需要调查的总体;还要确定好调查的项目,也就是要统计的变量.接下来就可以开始收集数据了.收集数据通常有下面一些方式.

1.做试验

根据调查项目的要求来设计一些合适的试验,能够直接地获得样本数据.例如要统计一颗骰子各个点数出现的频率,就可做抛掷骰子的试验,记下每次抛掷骰子出现的点数,得到样本数据.试验时要注意准备好试验的用具(或组织好观测的对象)、指定专门的记录人员等.做试验通常能得到可靠的数据资料,但需花费的人力、物力、时间较多.

2.查阅资料

有些数据资料不容易直接调查得到,这时可以通过查阅统计年鉴、图书馆文献等办法获得所需或相关的数据,比如全国历次人口普查的数据都可以在统计年鉴中查阅到.还可以通过因特网上的资源得到数据资料.

3.设计调查问卷

做实际调查时往往要设计调查问卷.调查问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成.问题由调查人员根据调查的目的、项目进行设计.设计题目时要注意符合下面的要求:

(1)问题要具体,有针对性,使受调查者能够容易作答.

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在因特网上查找需要的数据

问卷中要避免一般性或不具体的问题.例如,调查消费者对某型号电视机满意程度应包含外观、功能、价格三个方面,如果问题设计成为:

则可能有消费者对外观满意而对功能不满意而不知怎样去选择.应将问题细化为三个方面:

这样才能了解消费者的真正想法,达到调查的目的.

(2)语言简单、准确,含义清楚,避免出现有歧义或意思含混的句子.

所问内容的定义要明确,便于受调查者能够准确地回答.例如了解家庭情况时提问您家里有几个孩子.对于孩子的界定,不同年龄的受调查者可能会有不同的理解,提问时就应明确孩子的定义.

(3)题目不能出现引导受调查者答题倾向的语句.

不应出现对答题选项有倾向性的话语.例如调查问题是大家都认为国家足球队肯

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定能小组出线,您的意见为____.这种问法可能导致答卷者选择小组出线的答案.

调查问卷可以通过邮寄、打电话、派专人调查、网络调查等方式得到答卷.

实际调查时会遇到很多具体问题,收集数据的方式也要灵活使用.通过这几种方式收集的数据,还要经过汇总,最后写成调查分析报告.

练习A

练习B

习题 2-1 A

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习题 2-1 B

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2.2 用样本估计总体

用随机抽样的方法在总体中抽取样本,我们就得到一组数据.在初中学过的统计知识基础上,还可以画出这些数据的频率分布直方图,可以算出这些数据的平均数和标准差.这些信息和原来的总体有什么关系呢?理论研究表明,我们可以用样本的频率分布估计总体的分布,可以用样本的数字特征(如平均数、标准差)估计总体的数字特征.

2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布

从一个总体得到一个包含大量数据的样本时,我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息.如果把这些数据形成频数分布或频率分布,就可以比较清楚地看出样本数据的特征,从而估计总体的分布情况.

看下面的例子.

某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了掌握产品的生产状况,需要定期对产品进行检测.又由于产品的数量巨大,不可能一一检测所有的钢管,因而通常采用随机抽样的办法.如果把这些钢管的内径看成总体,我们可以从中随机抽取100件钢管进行检测,把这100件钢管的质量分布情况作为总体的质量分布情况来看待.根据规定,钢管内径的尺寸在区间25.325~25.475内为优等品,我们特别希望知道所有生产的钢管中优等品所占的比例,这时就可以用样本的分布情况估计总体的分布情况.

下面的数据是一次抽样中的100件钢管的内径尺寸:

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上面的100个数据有点散乱,从中很难看出产品质量的分布情况,必须对样本数据用统计的方法加以概括和整理.我们在初中已经学习过把样本数据表示成频数分布表和频数分布直方图这样的表、图形式.从表、图中可以直观地看出样本数据的分布情况.下面我们进一步列出这组样本数据的频率分布表、频率分布直方图,步骤如下:

(1)计算极差

极差是一组数据的最大值与最小值的差,它反映了一组数据变化的幅度,极差又叫全距.因此计算极差时,需要找出这组数据的最大值和最小值.当数据很多时,怎样求出一组数据的最大值呢?

找出这组数据最大值的算法:

S1 把这100个数据命名为A(1),A(2),A(3),…,A(100);

S2 设变量x=A(1);

S3 把A(i)(i=2,…,100)逐个与x比较,如果A(i)〉x,则x=A(i).

想一想,怎样求出这组数据的最小值?

运用上面的算法得出这组样本数据的最大值是25.56,用类似的算法可以得出最小值是25.24,它们的差=25.56-25.24=0.32,所以极差等于0.32.

(2)决定组数与组距

样本数据有100个,可以把它们分为8~12组,我们这里取11组.上面算得极差为0.32,因此组距为

极差/组数=0.32/11≈0.03.

(3)决定分点

将第一组的起点定为25.235,组距为0.03,这样所分的11个组是:

第1组:25.235~25.265第2组:25.265~25.295

第3组:25.295~25.325第4组:25.325~25.355

第5组:25.355~25.385第6组:25.385~25.415

第7组:25.415~25.445第8组:25.445~25.475

第9组:25.475~25.505第10组:25.505~25.535

第11组:25.535~25.565

(4)列频率分布表

通过下面的算法,对落在各个小组内数据的个数进行累计,这个累计数叫做各个小组的频数,各小组的频数除以样本容量,得各小组的频率.

求各个小组频数的算法:

S1 设B(j)为落在第j个小组内的数据个数,且B(j)=0(j=1,2,…,11);

S2 逐一判断A(i)(i=1,2,…,100)落入哪一个小组,若落入第j个小组,则B(j)=B(j)+1.

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(5)绘制频率分布直方图

在直角坐标系中,用横轴表示产品内径尺寸,纵轴表示频率与组距的比值,得到频率分布直方图(图 2-1).

2-1

容易看出

小长方形面积=组距×频率/组距=频率.

这就是说,各个小长方形的面积等于相应各组的频率,显然,所有长方形面积之和等

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于1.

为了了解全部产品中优等品所占比例,可以统计出内径尺寸在区间25.325~25.475内的个体数在样本容量中所占的比例,也就是它的频率.从表2-2或图2-1容易看出,这个频率值等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84.于是可以估计出所有生产的钢管中有84%的优等品.工厂可以根据质量规范,看看是否达到优等品率的要求,如果没有达到,就需要进一步分析原因,解决问题.

当然,用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好的反映总体的特性,必须随机抽取样本.由于抽样的随机性,可以想到(参考本节练习A第3题),如果随机抽取另外一个容量为100的样本,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.

从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体态势,但是从直方图本身得不出原始的数据内容.所以,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.

把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来,就得到频率分布折线图(图 2-2).为了方便看图,一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连,所以横轴上的左右两端点没有实际的意义.

图 2-2

图 2-1中各个小长方形的面积,表明了所抽取的100件产品内径尺寸落在各个小组内的产品个数与100的比值的大小.如果样本容量越大,所分组数越多,图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小.设想如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布,它可以用一条光滑曲线y=f(x)来描绘,这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律.产品尺寸落在(a,b)内的百分率就是图中带斜线部分的面积(图 2-3).对本例来说,总体密度曲线呈中间高两边低的钟形分布,总体的数据大致呈对称分布,并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内.

抽样后的样本数据汇总,还可以借助计算机来准确、迅速地作出.图 2-4就是运用前面所讲的画直方图的步骤,在工作表中对样本数据汇总得出的结果.

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图 2-3

图 2-4

常用的统计图表还有茎叶图,下面我们通过一个例子来学习用茎叶图表示数据.

工作表是Open Office软件的一个组件,它是一种开放源码并可以免费自由使用的软件.

上面的数据可以用图 2-5来表示,它的中间部分像一棵植物的茎,两边部分像这棵植物茎上生长出来的叶子,用中间的数字表示两位运动员得分的十位数,两边的数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数.例如,用3|389就表示了33,38,39这3个数据,通常把这样的图叫做茎叶图.根据上图可以对两名运动员的成绩进行比较.

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图 2-5

从上面这个茎叶图上可以看出,甲运动员的得分情况是大致对称的,中位数是36;乙运动员的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是26.

用茎叶图表示数据有两个突出的优点,一是从统计图上没有原始信息的损失,所有的数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示.

练习A

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练习B

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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

在日常生活的很多情况下,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征.比如购买灯泡时,消费者希望知道的是这批灯泡的平均使用寿命.我们怎样来了解这批灯泡的平均使用寿命呢?当然不可能把所有灯泡逐一测试,因为测试后灯泡就报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征(如平均数等)来估计总体的数字特征.

1.用样本平均数估计总体平均数

我们在初中学过,平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.那么,怎样用样本的平均数估计总体的平均数呢?

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假设你去这家企业应聘职位,月平均工资水平应是你要考虑的重要因素.一般来讲,月平均工资水平可以用来与同类企业的工资待遇作比较.

同样,再随机抽取50名员工的工资,计算所得的样本平均数一般会与例1中的样本平均数不同.所以,用样本的平均数估计总体的平均数时,样本的平均数只是总体的平均数的近似.

我们知道,n个样本数据x1,x2,…,xn的平均数=,则有n=x1+x2+…+xn.也就是把每个xi(i=1,2,…,n)都用代替后,数据总和保持不变.所以平均数对数据有取齐的作用,代表了一组数据的数值平均水平.

在例1中,可能有人会猜测,应有50%的员工工资超过平均数,而50%低于平均数.

我们用前面学习的方法画出例1中月工资的频率分布直方图(图 2-6),并标出样本平均数.由数据可以得出,只有30%的员工工资超过平均数,其余70%在平均数以下.想一想什么原因导致了这个结果.

图 2-6

2.用样本标准差估计总体标准差

数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.我们知道,样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常要求出样本方差的算术平方根.一般地,设样本的元素为x1,x2,…,xn,样本的平均数为,定义

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计算样本数据x1,x2,…,xn的标准差的算法是:

S1 算出样本数据的平均数

S2 算出每个样本数据与样本平均数的差

xi(i=1,2,…, n);

S3 算出S2中xi(i=1,2,…,n)的平方;

S4 算出S3中n个平方数的平均数,即为样本方差;

S5 算出S4中平均数的算术平方根,即为样本标准差.

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这里,我们更关心的是这批灯泡寿命的情况.我们可以用算出的样本标准差s=78.7309342来估计这批灯泡寿命的变化幅度的大小,也就是说用样本的标准差可以估计总体的标准差.如果再抽取10只,算得的标准差一般会与例3的标准差不同.这就表明样本标准差具有随机性.

探索与研究

当数据很多时,用工作表软件和Scilab软件可以更方便、快捷地求出一组数据的标准差,你可以尝试使用这些软件来计算样本的数字特征.

样本标准差和频率分布直方图有什么关系呢?从标准差的定义可知,如果样本各数据

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值都相等,则标准差得0,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性;若个体的值与平均数的差的绝对值较大,则标准差也较大,表明数据的波动幅度也很大,数据离散程度很高.因此标准差描述了数据对平均数的离散程度(表2-3).

表 2-3

再来看钢管内径尺寸的例子,它的样本平均数为25.401,样本标准差为0.056.在直方图中用虚线标出平均数所在的位置,并画出距平均数两侧各一倍标准差和两倍标准差的区间.可以看到有大约70%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各一倍标准差的区间内,即区间(-s,+s),大约有95%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各两倍标准差的区间内,即区间(-2s,+2 s).由此我们估计总体中也有大致比率的产品尺寸落入到相应的区间内.实际生产、生活中有大量的例子符合这样的统计规律,比如同一年龄段的人群的身高、体重,同一生产线生产的袋装洗衣粉的质量等.

图 2-7

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练习A

练习B

习题 2-2 A

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习题 2-2 B

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2.3 变量的相关性

2.3.1 变量间的相关关系

变量与变量之间的关系常见的有两类:一类是确定性的函数关系,像正方形的边长a和面积S的关系.另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,人的身高并不能确定体重,但一般说来身高者,体也重。我们说身高与体重这两个变量具有相关关系.

怎样判断两个变量有没有相关关系,我们来看下面的例子.

由表中数据可以看出,y有随x增加而增加的趋势,并且增加的趋势变缓,为了更清楚地看出x与y是否有相关关系,我们以年收入x的取值作横坐标,把年饮食支出y的相应取值作为纵坐标,在直角坐标系中描点(xi,yi)(i=1,2,…,10),如图 2-8所示.这样的图形叫做散点图.从图中可以直观地看出家庭年收入和年饮食支出之间具有相关关系,并且当年收入的值由小变大时,年支出的值也在由小变大,这种相关称为正相关.反之,如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.

图 2-8

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练习A

练习B

2.3.2 两个变量的线性相关

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(3)如果近似成线性关系的话,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.

解:(1)画出的散点图如图 2-9.

(2)从图中可以发现温度和杯数具有相关关系.当温度的值由小到大变化时,杯数的值由大变小,所以温度和杯数成负相关.图中的数据点大致分布在一条直线的附近,因此温度和杯数近似成线性相关关系.

(3)根据不同的标准,可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系.比如可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线(图 2-10),或者让画出的直线上方的点和下方的点数目相等(图 2-11).

图 2-9

2-10

2-11

同学们也可以自己尝试制定标准来画出近似直线,关键在于这一标准是否合理,是否能够得到最佳的近似直线(最优拟合直线).

思考与讨论

图 2-10图 2-11中画出直线的标准合理吗?怎样判别拟合的优劣程度呢?

图 2-11可见,所有数据点都分布在一条直线附近.显然这样的直线还可以画出许多条,而我们希望找出其中的一条,它能最好地反映x与Y之间的关系.换言之,我们要找出一条直线,使这条直线最贴近已知的数据点.记此直线方程为

=a+bx.①

这里在y的上方加记号^,是为了区分Y的实际值y,表示当x取值xi(i=1,2,…,6)时,Y相应的观察值为yi,而直线上对应于xi的纵坐标是i=a+bxi.①式叫做Y对x的回归直线方程,b叫做回归系数.要确定回归直线方程①,只要确定a与回归系数b.

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下面我们来研究回归直线方程的求法,设x,Y的一组观察值为

(xi,yi)i=1,2,…, n,

且回归直线方程为

=a+bx.

当x取值xi(i=1,2,…,n)时,Y的观察值为yi,差yi-i(i=1,2,…,n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度(图 2-12).我们希望这n个离差构成的总离差越小越好,才能使所找的直线很贴近已知点.

一个自然的想法是把各个离差加起来作为总离差.可是,由于离差有正有负,直接相加会相互抵消,这样就无法反映这些数据点的贴近程度,即这个总离差不能用n个离差之和(yii)来表示,通常是用离差的平方和,即

Q=(yi-a-bxi2

作为总离差,并使之达到最小.这样,回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方,所以这种使离差平方和为最小的方法,叫做最小二乘法.

用最小二乘法求回归直线方程中的a,b有下面的公式:

其中a,b的上方加^,表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值,也叫回归系数.求出后,回归直线方程就建立起来了.

图 2-12

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图 2-13

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探索与研究

学习使用工作表软件计算回归直线方程.

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练习A

练习B

习题 2-3 A

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习题 2-3 B

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实习作业

前面我们学习了统计学的一些基本知识,怎样把理论知识运用到实践中呢?为了研究、解决某些实际问题,通常要去调查情况,收集数据,然后根据统计知识对所得的数据进行整理、分析和计算,得出一定的结论.

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本章小结

Ⅰ 知识结构

Ⅱ 思考与交流

1.统计学有两方面的工作,一方面是收集数据,另一方面是分析数据.学完这一章,你对统计已经有了基本的认识,试结合生活实际提出并解决一个统计问题.

2.样本数据的取得要求有随机性,通过观察一些统计案例,说明随机抽样的必要性与作用.

3.随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等等.这几种抽样方法有什么联系,它们分别适用于哪些场合.

4.做实验、查阅资料、设计调查问卷等是收集数据的常用方法,除此之外你还能想到别的方法吗?使用这些办法时要注意符合哪些要求?

5.统计的一个特征是通过部分的数据来推测全体数据的性质.由样本数据可以

(1)列出频率分布表、画出频率分布直方图、频率折线图;

(2)求出样本数据的平均数、标准差等数字特征.

通过样本数据的统计图表和数字特征我们能够估计总体哪些有用的信息?当样本数据变化时,总体的这些信息也会变化吗?应怎样理解样本频率分布和数字特征的随机性.把你的理解与同学们进行交流.

6.借助散点图可以直观地看出两个变量之间是否有相关关系.用最小二乘法思想建立的

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线性回归方程,能定量的描述两个变量的关系.接受高等教育能得到更多的收入吗?

一个人的身高和体重有怎样的关系?用你学到的知识来解释这样一些有趣的问题.

Ⅲ 巩固与提高

Ⅳ 自测与评估

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阅读与欣赏

蚂蚁和大象谁的力气更大

在小时候你可能听过关于蚂蚁和大象谁的力气更大的故事,论搬起的物体的重量,蚂蚁与大象的力气不可同日而语,但是这样比较显然对蚂蚁并不公平.换个标准来比,如果按搬起自身重量的倍数的大小来比较,则蚂蚁的力气远远超过大象.

在统计中也常常会遇到这样不同变量之间的比较,这时就需要有一个合理的标准.我们知道,标准差是样本数据相对于平均数的平均波动幅度的度量,它能够描述样本数据中各数据同平均数的离差的大小,有时也可用作比较的标准.拿同一科目的不同次的考试来说,由于试卷的难易程度很难一致,我们还可以用标准分数来考查学习成绩.假设一次考试中,全班平均分=80,标准差s=10,小明的成绩X=70分,说明小明的成绩比平均分低一个标准差.如果定义标准分数为样本数据比平均数高多少个标准差,则小明的标准分数===-1.如果另外一次考试中小明的成绩X=80分,而全班平均分=85,标准差s=5,可算出小明的标准分数仍然为-1.这样,与通常的考试分数相比,小明的标准分数更能反映出他与全班平均水平的差别大小.

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附录

随机数表

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 第三章 概率

第三章 概率

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五千万幸运儿横空出世

记者梁红英报道

本报讯2月3日晚6时19分,一彩民购买的江浙沪大乐透彩票,同时投中10注一等奖,独揽48571620元巨额奖金,创下中国彩票史上个人一次性奖额之最.

……据有关人士介绍,该彩民当时花了200元买下100注江浙沪大乐透彩票,分成10组,每组10注,每组的自选号码相同.结果,其中1组所选号码与前晚江浙沪大乐透2004015期开奖号码完全一致.

记者江世亮报道

本报讯……对这种似乎不可能发生事件的发生,从数学概率论上将作何解释?为此记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家……博士说,以他现在不完全掌握的情况来分析,像这位幸运者同时获得10个大奖的概率,可称得上一次万亿分之一的事件,通俗讲就是接近于0.……国外的中奖者完全是基于运气,很多人往往是因为找不出零钱,而在加油站等处随手买一张而中的奖.

上面是文汇报2004年2月5日登载的两条消息,对其中提到的一次万亿分之一的事件,我们该作何理解呢?

天气预报说明天降雨的概率是80%,我们明天出门要不要带伞?收音机里广播报道今冬某地流行性感冒的发病率为10%,我们这里要不要采取预防措施?……对这些在传播媒体上出现的数字80%,10%等,我们该作何理解呢?

本章介绍概率的概念和计算概率的一些初步知识,学过本章以后,可以较好地把握上述概率10^(-12)(万亿分之一),80%,10%的含义,从而正确对待现实生活中遇到的买彩票中大奖出门带不带伞要不要预防流感等问题.

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3.1 事件与概率

3.1.1 随机现象

在自然界和人类社会里,经常会遇到两类不同的现象:必然现象和随机现象.

我们知道,把一石块抛向空中,它会掉到地面上来;我们生活的地球,每天都在绕太阳转动;一个人随着岁月的消逝,一定会衰老、死亡……这类现象称为必然现象.必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象.

另一类现象称为随机现象,它们具有这样的特点:当在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同,事先很难预料哪一种结果会出现.

下面举4个例子.

为了探索随机现象的规律性,需要对随机现象进行观察。我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,把观察结果或实验结果称为试验的结果。为了讨

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论问题方便,在本章中我们赋予试验这一词较广泛的含义.例1的掷硬币,例2的中学生投篮,例3的观察交通信号灯颜色,例4的产品抽样检验等都是试验.此外,像战士打靶,明天会不会下雨,本地的足球队明天比赛会不会进球,甚至小孩在做掷骰子游戏……都可以看成试验.

练习A

练习B

请举出你遇到的三个随机现象的例子.

3.1.2 事件与基本事件空间

当我们在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不可能事件;有的结果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件.在试验中可能发生,也可能不发生的结果称为随机事件.

如果某个练习投篮的中学生决定投篮5次,那么他投进6次是不可能事件,他投进的次数比6小是必然事件,他投进3次是随机事件.

在上一小节例4中,也可以列出一些不可能事件、必然事件、随机事件.例如,抽到3个次品是不可能事件,至少抽到1个正品是必然事件,没有抽到次品是随机事件……

通常用大写英文字母A,B,C,…来表示随机事件,随机事件可以简称为事件.为了叙述起来文字简洁些,我们有时讲到事件时,其中可能包含不可能事件和必然事件的意思,一般都不另作说明了.

在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再

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分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为基本事件,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.

例如,掷一枚硬币,观察硬币落地后哪一面向上.这个试验的基本事件空间就是集合{正面向上,反面向上},即

Ω={正面向上,反面向上},

或简记为Ω={正,反}.这个试验有两个基本事件:正面向上和反面向上.

掷一颗骰子,观察掷出的点数,这个试验的基本事件空间

Ω={1,2,3,4,5,6},

其中1,2,3,4,5,6分别代表骰子掷出点数为1,2,3,4,5,6这6个基本事件.

一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的情况,基本事件空间

Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},

它有4个基本事件.(正,正)代表第1和第2枚硬币都出现正面,(正,反)代表第1枚硬币出现正面而第2枚硬币出现反面,(反,正)代表第1枚硬币出现反面而第2枚硬币出现正面,(反,反)代表第1和第2枚硬币都出现反面.

对于有些问题,除了要知道试验可能出现的每一个结果外,我们还要了解与这些可能出现的结果有关的一些事件.例如,在一先一后掷两次硬币的试验中,我们要了解至少有一次出现正面这个事件.通过观察,我们不难发现至少有一次出现正面这个事件可以看成是由基本事件

(正,正),(正,反),(反,正)

组成的集合,若设事件A=至少有一次出现正面,那么

A={(正,正),(正,反),(反,正)}.

假如掷出了(正,正),显然可以说,至少有一次出现正面发生了,或者说事件A发生了;假如掷出了(反,反),就说事件A没有发生.一般地说,如果在一次试验中,出现的结果是集合A中的某个基本事件,我们就说事件A发生了,否则就说事件A没有发生.

我们可以把随机事件理解为基本事件空间的子集.例如,在上面掷一颗骰子观察掷出点数的试验中,基本事件空间

Ω={1,2,3,4,5,6}.

如果设A={2,4,6},那么AΩ,A是Ω的一个子集,事件A就是表示掷出偶数点这一结果.如果再设B={5,6},那么BΩ,B也是Ω的一个子集,事件B表示掷出点数大于4.

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练习A

练习B

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3.1.3 频率与概率

随机事件在试验中可能发生,自然产生发生的可能性有多大的问题.我们还是从最简单的试验——掷硬币谈起.虽然我们不能预先判断出现正面向上,还是反面向上,但是假如硬币均匀,直观上可以认为出现正面与反面的机会相等,即在大量试验中出现正面的频率应接近于0.5.

我们可以设想有1000个人投掷硬币,如果每人投5次,计算每个人投出正面的频 率,在这1000个频率中,一般说,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1都会有,而且会有不少是 0或1;如果要求每个人投20次,这时频率为0,0.05,0.95,1的将会变少,多数频率 在0.35〜0.65之间,甚至比较集中在0.4〜0.6之间;如果要求每个人投掷1000次,这时绝大多数的频率会集中在0.5的附近,和0.5有较大差距的频率值也会有,但这样的频率值很少.而且随着投掷次数的增多,频率越来越明显地集中在0.5附近.当然,即使投掷的次数再多,也不能绝对排除出现与0.5差距较大的频率值,只不过这种情形极少.

人们经过大量试验和实际经验的积累逐渐认识到:在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动,而且随着试验次数的增加,一般摆动幅度越小,而且观察到的大偏差也越少,频率呈现一定的稳定性.频率的稳定性揭示出随机事件发生的可能性有一定的大小. 事件的频率稳定在某一数值附近,我们就用这一数值表示事件发生的可能

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性大小.

一般地,在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率m/n,当n很大时,总是在某个常数附近摆动,随着n的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).

从概率的定义中,我们可以看出随机事件A的概率P(A)满足

0≤P(A)≤1.

这是因为在n次试验中,事件A发生的频数m满足0≤m≤n,所以0≤m/n≤1.当A是必然事件时,P(A)=1,当A是不可能事件时,P(A)=0.

从定义中,我们还可以看出,概率是可以通过频率来测量的,或者说频率是概率的一个近似.在前述掷硬币的例子中,经过前人的反复多次试验,出现正面的频率逐渐稳定到0.5,那么我们就得到出现正面的概率是0.5.这件事情其实质与测量长度一样平常.给定一根木棒,谁都不怀疑它有客观的长度,长度是多少?我们可以用尺或仪器去测量,不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的长度值的附近.事实上,人们也是把测量所得的值当作真实的长度值.这个类比有助于我们理解概率和频率之间的内在关系.

概率的这种定义叫做概率的统计定义.在实践中很多时候采用这种方法求事件的概率.

有了概率的统计定义,我们就可以比较不同事件发生的可能性大小了.

思考与讨论

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练习A

练习B

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3.1.4 概率的加法公式

概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式,根据它可以计算一些较为复杂事件的概率.我们先通过实例引入两个关于事件的概念:互斥事件与事件的并.

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练习A

练习B

习题 3-1 A

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习题 3-1 B

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3.2 古典概型

3.2.1 古典概型

前面我们用随机事件发生的频率来近似概率.对于一些特殊类型的随机试验,我们并不需要去做大量重复的试验就可以得到随机事件的概率.先看下面的例子.

1.掷一枚均匀的硬币,观察硬币落地后哪一面朝上.这个试验的基本事件空间

Ω={正,反}.

它只有两个基本事件.由于硬币的质地是均匀的,因而直观上可以认为出现正面向上与反面向上的机会是均等的,所以掷得正面向上和反面向上的可能性都是1/2.

2.掷一颗骰子,观察出现的点数.这个试验的基本事件空间

Ω={1,2,3,4,5,6}.

它有6个基本事件.由于骰子的构造是均匀的,因而出现这6种结果的机会是均等的,于是我们可以断言:掷一颗骰子,每种结果出现的可能性都是1/6.

3.一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的情况,这个试验的基本事件空间

Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},

它有4个基本事件.因为每一枚硬币出现正面与出现反面机会是均等的,所以可以认为这4个基本事件的出现是等可能的.因而我们说每一个基本事件发生的可能性都是1/4.

以上3个试验有两个共同的特征:

(1)有限性在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;

(2)等可能性每个基本事件发生的可能性是均等的.我们称这样的试验为古典概型.上述3个例子均为古典概型.

一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和

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等可能性,并不是所有的试验都是古典概型.例如,在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽,这个试验的基本事件空间为{发芽,不发芽},而发芽或不发芽这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如,从规格直径为300±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径d,测量值可能是从299.4~300.6mm之间的任何一个值,所有可能的结果有无限多个.这两个试验都不属于古典概型.

一般地,对于古典概型,如果试验的n个基本事件为A1,A2,…,An,由于基本事件是两两互斥的,则由互斥事件的概率加法公式得

P(A1)+P(A2)+…+P(An)=P(A1∪A2∪…∪An)=P(Ω)=1.又因为每个基本事件发生的可能性相等,即P(A1)=P(A2)=…=P(An),代人上式得

n·P(A1)=1,即P(A1)=1/n.所以在基本事件总数为n的古典概型中,每个基本事件发生的概率为1/n.

如果随机事件A包含的基本事件数为m,同样地,由互斥事件的概率加法公式可得P(A)=m/n.所以在古典概型中,

P(A)=事件A包含的基本事件数/试验的基本事件总数.这一定义称为概率的古典定义.

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3.2.2 概率的一般加法公式(选学)

在概率的加法公式中,如果A,B不是互斥事件,那么公式是否成立呢?我们看下面的例子.

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习题 3-2 A

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习题 3-2 B

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3.3 随机数的含义与应用

3.3.1 几何概型

在古典概型中利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率.不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.人们希望能把这种做法推广到无限多结果而又有某种等可能性的场合,得到随机事件的概率.

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3.3.2 随机数的含义与应用

随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样.它有很广阔的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复的试验.

很自然的一个问题是如何产生随机数呢?下面我们介绍一下如何使用计算器和计算机产生随机数.

现在大部分计算器都能产生0~1之间的均匀随机数(实数),例如,用函数型计算器产生随机数的方法如下:

每次按SHIFT Ran#键都会产生一个0~1之间的随机数,而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的.

也可以使用计算软件来产生随机数,这里介绍Scilab中产生随机数的方法.

Scilab中用rand()函数来产生0~1的均匀随机数.每调用一次rand()函数,就产生一个随机数.

如果要产生a~b之间的随机数,可以使用变换rand()*(b-a)+a得到,请同学们

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想一想其中的道理.

在2.1.1中,我们已经介绍过利用随机数表从850颗种子中抽取50颗种子做试验的例子.这里再举一个利用随机模拟掷硬币的试验.

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探索与研究

现在很多城市的中考或高考都采取产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.有条件的学生,可以实际调查一下本城市的中考或高考用什么办法产生随机数,又是如何应用随机数把考生分配到各考场去的.

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类似例2的方法,我们现在来设计一个算法使得用计算机或计算器能模拟这个撒豆子试验.

S1 用计数器n记录做了多少次撒豆子试验,用计数器m记录其中有多少颗豆子落入圆中.首先置n=0,m=0.

S2 用变换rand()*2-1产生两个-1~1之间的随机数x和y,用它们来表示豆子的横坐标与纵坐标.

S3 判断豆子(x,y)是否落在圆中,即是否满足x^(2)+y^(2)≤1.如果是,则计数器m的值加1,即m=m+1.如果不是,m的值保持不变.

S4 表示试验次数的计数器n值加1,即n=n+1.如果还需要继续试验,则返回步骤S2继续执行,否则,程序结束.

程序结束后算出4m/n作为π的近似值.

本书用Scilab编制了一个模拟程序,模拟的结果如下,供大家参考.

可结合Scilab样例演示菜单中的撒豆子程序,自己动手通过随机模拟的方法估计圆周率π.

通过试验,我们可以看出随着试验次数的增加,得到的圆周率π的近似值精度越来越高.

例2和例3采用的基本方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如例2的概率值、例3的常数π)有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗(Monte Carlo)方法.现在,随着计算机科学与技术的飞速发展,用计算机来模拟所设计的试验已经变得

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越来越普遍.特别是对于一些费用昂贵或耗时很长的试验,计算机模拟法的优势就更加明显.

习题 3-3 A

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习题 3-3 B

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3.4 概率的应用

概率在我们的现实生活中有很多应用.比如说,利用投硬币出现正面和反面的概率一样来决定足球比赛两队谁先开球或谁先选场地,用摇号的方法决定中奖号码,等等.实际上,概率的应用已经涉及很多领域,本节将介绍下面4个例子.

从表中我们可以看出,空格的使用频率最高.有鉴于此,人们在设计键盘时,空格键不仅最大,而且放在使用方便的位置.

近年来对汉语的统计研究有了很大的发展.关于汉字的使用频率已有初步统计资料,对汉语常用词也作了一些统计研究.这些信息对汉字输入方案等的研制有很大帮助.使用过汉字拼音输入法的同学可能有体会.如图3-15,当输入拼音Shu,则提示有以下几种可供选择1.数,2.书,3.树,4.属,5.署…….这个显示顺序基本上就是按照拼音为Shu的汉字出现频率从大到小排列的.

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习题 3-4

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本章小结

Ⅰ 知识结构

Ⅱ 思考与交流

Ⅲ 巩固与提高

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Ⅳ 自测与评估

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阅读与欣赏

概率论的起源

1494年,意大利的帕奇欧里在一本有关计算技术的教科书中,提出了一个问题是,一场赌赛,胜六局才算赢,当两个赌徒一个胜五局,另一个胜两局时,中止赌赛,赌金该怎样分配才合理?帕奇欧里给出的答案是按5∶2分.后来人们一直对这种分配原则表示怀疑,但没有一个人提得出更合适的办法来.

时间过去了半个世纪,另一名意大利数学家卡当(1501-1576),潜心研究赌博不输的方法,出版了一本《赌博之书》.在书里提出了这样一个问题:掷两颗骰子,以两颗骰子的点数和作赌赛,那么押几点最有利?卡当认为7最好.卡当还对帕奇欧里提出的问题进行过研究,提出过疑义,指出需要分析的不是已经赌过的次数,而是剩下的次数.卡当对问题的解决,虽然有了正确的思路,但没有得到正确的答案.

时间又过了一个世纪,1651年法国著名数学家帕斯卡(1623-1662)收到了法国大贵族德·美黑的一封信,在信中向帕斯卡请教分赌金的问题:两个赌徒规定谁先赢s局就算赢了.如果一个人赢a(a〈s)局,另一人赢b(b〈s)局时,赌博中止,应该怎样分配赌本才算公平合理?

这个问题把帕斯卡给难住了.帕斯卡苦思冥想了3年才悟出了满意的解法.于1654年7月29日把这个问题连同解答寄给了法国数学家费马(1601-1665).不久,费马在回信中给出另一解法,他们两人频繁通信,深入探讨这类问题.这个信息,后来被荷兰数学家惠更斯获悉,惠更斯对这类问题备感兴趣,很快地加入了对这类问题的探讨,并把对这类问题的探讨的结果载入1657年出版的《论骰子游戏中的推理》一书中.这本书引入了数学期望的概念,是概率论的第一部著作.这样,数学的一个新分支——概率论诞生了.至此,延续了一个半世纪分赌金的疑难问题,在概率论的诞生与发展中得到解决.

赌博历来是各民族不齿的行为,但它又是很典型的随机试验,其数学模型干净利落,极具代表性.数学家们从中获取数学思想与方法,用以解决其他实际问题.

18~19世纪,随着社会的进步,人口理论、保险业、误差理论等方面的发展,不仅使概率论得到了实际应用,而且刺激了概率论的发展.20世纪初,俄罗斯数学家科尔莫戈罗夫建立了严谨的概率论理论体系.由此,概率论不仅成为一门重要的数学学科,而且已渗透到自然科学、社会科学、人文科学等各个领域,发挥着越来越重要的作用.

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附录

部分中英文词汇对照表

 第一章 基本初等函数(Ⅱ)

第一章 基本初等函数(Ⅱ)

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1.1 任意角的概念与弧度制

1.2 任意角的三角函数

1.3 三角函数的图象与性质

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在日常生活中,只要我们用心去观察,又勤于思考,就会发现许多与数学有关的事情.游乐园是人们爱去的地方,各种神奇的游戏器械吸引着人们去玩耍,那高大的观览车绕轴转动着,边缘上悬挂的座椅,带着游人在空中旋转,给游人带来乐趣!你想过吗?观览车在周而复始的转动中,就包含着许多数学问题.用你学过的数学知识能回答下列问题吗?

1.从你的座位开始转动的时刻到某个时刻,你的座位转了多少角度?这时你的座位离地面的高度是多少?

2.你能用学过的数学知识描述观览车周而复始的运动吗?

为了回答这两个问题,你可能会想到用我们学过的锐角三角函数知识,可是你会发现只用锐角三角函数的知识是不够的.要回答座位转过了多少角度,必须把角的概念加以推广.为了研究观览车的转动,必须研究任意角的三角函数.学完这一章你就能完整地回答这两个问题了.

这一章,我们要学习任意角的三角函数,把你带入三角函数的全新领域,那里有许多问题等待着你去探索、领悟、认知.

三角函数来源于测量,在现代科学中,三角函数已经成为研究自然界中周期变化现象的重要数学工具,它在力学、工程学以及无线电学中有着广泛的应用.

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1.1 任意角的概念与弧度制

1.1.1 角的概念的推广

在小学和初中,我们把有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边.同时我们还知道,角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(图1-1),射线旋转时经过的平面部分为角的内部.当时,不考虑旋转方向,不论从OA旋转到OB还是从OB旋转到OA,它们旋转的绝对量都是一样的,而且旋转的绝对量不超过一个周角.

在实际生活中还会遇到角的旋转量超过一个周角的情况.例如,父母让孩子独自乘坐观览车,而父母分别站在观览车的两侧,当观览车转动起来后,父亲看到的转动方向与母亲看到的转动方向是相反的,如果父亲看到的是顺时针转动,则母亲看到的就是逆时针转动,一圈又一圈地转动着.这就是说,角度可以不限于0°~360°的范围本书中,角α在0°~360°范围内是指0°≤α〈360°.    <span class=注" id="note_1"/>,而且角度还应该考虑到方向.为了描述这种现实状况,我们把角的概念加以推广.

在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向:顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角.当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时,旋转的绝对量可以是任意的.在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角,又常叫做转角.

角的概念经过以上的推广以后,就应该包括正角、负角、零角.也就是说,可以形成任意大小的角.

1-1

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图1-1中,射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角,记作∠AOB,其中OA叫做∠AOB的始边,OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边,OA为终边的角记作∠BOA.由图1-1中带箭头的弧和所标数值知

∠AOB=120°,∠BOA=-120°.

图1-2中,射线OA绕端点O旋转时,旋转的绝对量超过了周角,按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数,可知

α=450°,β=-630°.

图1-2

图1-3中,射线OA绕端点O旋转90°到射线OB位置,接着再旋转-30°到OC位置,则

∠AOC=∠AOB+∠BOC

=90°+(-30°)=90°-30°=60°.

引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α-β可以化为

α+(-β).

这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和.

图1-3

图1-4

请同学通过作图验证运算结果.

图1-4可以看出,以Ox为始边旋转30°,接着再旋转360°,则得到390°的转角与30°转角的终边相同;如果以Ox为始边旋转30°,接着旋转-360°,则得到-330°的转角也与30°角的终边相同,即

390°=30°+360°,

-330°=30°+(-360°).

一般地,记

β=30°+k·360°, k∈Z,

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则无论其中的k取何整数,角β都与30°角的终边相同,当k=0时,β角就是30°角本身.

设α表示任意角,所有与α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可记为

S={β|β=α+k·360°, k∈Z}.

集合S的每一个元素都与α的终边相同,当k=0时,对应元素为α.

今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角.平面内任意一个角都可以通过移动,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合.这时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角,如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.图1-5(1)中的45°,-315°,405°角都是第一象限的角.图1-5(2)中的124°角是第二象限的角,210°角是第三象限的角,-45°角是第四象限的角.

1-5

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1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

以前我们是使用角度制来度量角的.把圆周360等分,则其中1份所对的圆心角是1度,这种用度作单位来度量角的制度叫做角度制.角度制规定60分等于1度,60秒等于1分.

下面我们来介绍在数学和其他科学研究中另一种常用的度量角的制度——弧度制.

弧度制是根据圆心角、弧长和半径之间的某种关系而引入的.

角是由射线绕它的端点旋转而形成的,在旋转的过程中.射线上的任意一点(端点除外)必然形成一条圆弧,不同的点所形成的圆弧的长度是不同的,如弧、弧……但都对应同一个圆心角α,如图1-6.

容易发现,在这些同心圆中,同一圆心角α所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个

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常数,即

==…=定值.

事实上,设α=n°,弧长为l,半径OA=r,则

l=n·2πr/360,

l/r=n·2π/360.

这个等式右端不包含半径,这表示弧长与半径的比值与半径无关,而只与α的大小有关.当α为定值时,这个比值也是定值.

这就启示我们,可以用圆的半径作单位去度量弧.

我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图1-7的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角.弧度记作rad.

如前所述,这样规定出来的1弧度角的大小是完全确定的,与所用圆的大小无关.这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.

在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对圆心角为αrad,则

α=l/r.

这个公式有广泛的应用.

今后我们在用弧度制表示角的时候,弧度二字或rad可以略去不写,而只写这个角对应的弧度数.例如,∠α=2表示α是2 rad的角;sinπ/3表示π/3 rad的角的正弦.

用角度制和弧度制度量角,零角既是0°角,又是0 rad角,除此以外,同一个非零角的度数和弧度数是不同的.下面讨论角度与弧度的换算.

因为半径为r的圆周长为2πr,所以周角的弧度数是

2πr/r=2π,

于是

360°=2πrad,

因此

180°=πrad.

从这个关系式出发,可以得到

1°=π/180 rad≈0.01745 rad,

度量角为什么要引入弧度制?

图1-6

图1-7

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1 rad=(180/π)°≈57.30°=57°18′

使用以上关系式就可以进行角度与弧度的换算.

由此容易得到,弧度制与角度制的换算公式.

设一个角的弧度数为α,角度数为n,则

αrad=(180α/π)°,

n°=n·π/180 rad.

下面是一些特殊角的角度数与弧度数的对应表:

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 225° 270° 315° 360°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2/3π 3/4π 5/6π π 5/4π 3/2π 7/4π

角的概念推广以后,无论用角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角和它对应.在理解以上的对应关系时,应该注意角度制是60进位制,遇到35°6′这样的角,应该把它化为10进制的数值35.1°.但是弧度数不存在这个问题,因为弧度数是十进制的实数.这是角度制与弧度制的一个重要区别.

弧度制和角度制的主要区别是什么?

这里,我们写出把角度值n换算为弧度值的一个算法:

(1)给变量n和圆周率π的近似值赋值;

(2)如果角度值n是以度、分、秒形式给出,先把n化为以度为单位的10进制表示;

(3)计算π/180(把1°换算为弧度值),得出的结果赋给变量a;

(4)计算na,赋值给变量α.

α就是这个角的弧度值.

利用上面的步骤,我们可以把任意角的角度值换算为它的弧度值.只要每步计算出准确值(按照要求的精确度),最后总能算出结果.这种算法虽然机械,但计算步骤清楚,便于检查.更重要的是,它有利于我们编写程序,以便使用计算器或计算机进行计算.同学们不妨用电子工作表中的公式功能,设计一个换算区域,你只要输入角度值,其他的步骤就可以让计算机替你代劳了.

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1.2 任意角的三角函数

1.2.1 三角函数的定义

1.三角函数的定义

我们已经推广了角的概念,现在利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数.

图1-10所示,以角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为x轴的正方向,建立直角坐标系xOy,并且使∠xOy=90°.

1-10

图1-10(1),α为锐角,记∠MOP=α,P(x,y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点,MP⊥Ox于点M,则

OM=x, MP=y, r=OP=〉0,根据锐角三角函数的定义知

sinα=y/r, cosα=x/r, tanα=y/x, cotα=x/y.

下面我们来定义任意角的三角函数.

在任意角α的终边上取点A(图1-10(2)),使OA=1,设点A的坐标为(l,m),再任取一点P(x,y),设OP=r(r≠0),由相似三角形对应边成比例,得

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|x|/r=|l|,|y|/r=|m|,|y|/|x|=|m|/|l|.

因为A,P在同一象限内,所以它们的坐标符号相同.因此得

x/r=l, y/r=m, y/x=m/l.

不论点P在终边上的位置如何,它们都是定值,它们只依赖于α的大小,与点P在α终边上的位置无关.即当点P在α的终边上变化时,这三个比值始终等于定值.因此我们可定义

x/r叫做角α的余弦,记作cosα,即cosα=x/r;

y/r叫做角α的正弦,记作sinα,即sinα=y/r;

y/x叫做角α的正切,记作tanα,即tanα=y/x.

依照上述定义,对于每一个确定的角α,都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应;当α≠kπ+π/2(k∈Z)时,它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数,分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数.

由图1-10(1)可以看出,当α为锐角时,上述所定义的三角函数与在直角三角形中所定义的三角函数是一致的.

有时我们还用到下面三个函数

角α的正割:secα=1/cosα=r/x;

角α的余割:cscα=1/sinα=r/y;

角α的余切:cotα=1/tanα=x/y.

这就是说,secα,cscα,cotα分别是α的余弦、正弦和正切的倒数.

由上述定义可知,当α的终边在y轴上,即α=kπ+π/2(k∈Z)时,tanα,secα没有意义;当α的终边在x轴上,即α=kπ(k∈Z)时,cotα,cscα没有意义.

在本书中,将重点学习正弦函数、余弦函数和正切函数.现将它们的定义域列表如下:

三角函数 定义域
sin a R
cos a R
tan a {a|a≠kπ+π/2,k∈Z}
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2.三角函数在各象限的符号

由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.

sinα=y/r,其中r〉0,于是sinα的符号与y的符号相同.因此,当α是第一、二象限的角时,sinα〉0;当α是第三、四象限的角时,sinα〈0.

cosα=x/r,其中r〉0,于是cosα的符号与x的符号相同.因此,当α是第一、四象限的角时,cosα〉0;当α是第二、三象限的角时,cosα〈0.

tanα=y/x,当x与y同号时,它们的比值为正,当x与y异号时,它们的比值为负.因此,当α为第一、三象限的角时,tanα〉0;当α为第二、四象限的角时,tanα〈0.

以上结果如图1-12所示.

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图1-12

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1.2.2 单位圆与三角函数线

我们是否想过,观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?

我们首先建立下面的坐标系:在观览车转轮圆面所在的平面内,以观览车转轮中心为原点,以水平线为x轴,以转轮半径为单位长建立直角坐标系(如图1-13).设P点为转轮边缘上一点,它表示座椅的位置,记∠xOP为α,则由正弦函数的定义可知

MP=sinα.

一般地,我们把半径为1的圆叫做单位圆图1-14).设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0),A'(-1,0),而与y轴的交点分别为B(0,1),B'(0,一1).

图1-13

1-14

设角α的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(图1-14(1)),过点P作PM垂直x轴于M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).由三角函数的定义可知,点P的坐标为

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(cosα,sinα),即

P(c0sα, sinα).

其中cosα=OM,sinα=ON.

这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.

以A为原点建立y'轴与y轴同向,y'轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T')(图1-14(2)),则tanα=AT(或AT').

我们把轴上向量(或)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.

当角α的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们的数量为零,而余弦线OM=1或-1.

当角α的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切线不存在.

关于座椅离地面高度的问题,在本章的习题中,留给同学们自己解决.在这里应注意的是:在以单位长为半径的圆中,可以用一条线段来表示三角函数.

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1.2.3 同角三角函数的基本关系式

在单位圆中(图1-16),由三角函数的定义和勾股定理,可得

sin^(2)α+cos^(2)α=1,

tanα=sinα/cosα.

这两个关系式是三角函数两个最基本的关系式.当我们知道一个角的某一三角函数值时,利用这两个关系式和三角函数的定义,就可以求出这个角的其余三角函数值.此外,还可以用它们化简三角函数式和证明三角恒等式.

图1-16

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从例6可以看出:

证明一个三角恒等式,可以从它的任意一边开始,推出它等于另一边;也可以用作差法,证明等式两边之差等于零;还可以先证得另一个等式成立,并由此推出需要证明的等式成立.

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1.2.4 诱导公式

在初中,我们已经会求锐角的三角函数值.这一节我们将研究任意角三角函数值之间的某些关系,以及如何求任意角的三角函数值.

1.角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系

在直角坐标系中,α与α+k·2π的终边相同,根据三角函数的定义,它们的三角函数值相等.即

cos(α+k·2π)=cosα,

sin(α+k·2π)=sinα,(一)

tan(α+k·2π)=tanα.

利用上述公式(一),我们可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题.

2.角α与-α的三角函数间的关系

图1-17所示.设单位圆与角α和角-α的终边的交点分别为P和P'.容易看出,点P和点P'关于x轴对称.已知点P的坐标是(cosα,sinα),则P'的坐标是(cosα,-sinα).于是,得

cos(-α)=cosα,

sin(-α)=-sinα,(二)

tan(-α)=-tanα.

利用公式(二),我们可以用正角的三角函数表示负角的三角函数.

图1-17

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3.角α与α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数间的关系

设角α与α+π的终边与单位圆分别交于点P和P'(图1-18).

图1-18

易知,α+π与α-π,α+3π,α-3π,…,α+(2k+1)π(k∈Z)的终边相同,因此它们的三角函数值也相等.由点P与点P'关于原点对称,它们的对应坐标互为相反数,所以

cos[α+(2k+1)π]=-cosα,

sin[α+(2k+1)π]=一sinα,(三)

tan[α+(2k+1)π]=tanα.

由公式(一)和(三)可以看出,角α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等;角α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数;角α与α加上π的整数倍的正切值相等.即

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tan(α+nπ)=tanα, n∈Z.

因为任意角都可化为α+kπ的形式,并使|α|≤π/2,所以利用公式(一)(二)(三),我们可以把任意角的三角函数求值问题转化为0至π/2之间的角的三角函数求值问题.

公式(一)(二)(三)都叫做诱导公式.

利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式.

图1-19,设角α与π-α和单位圆分别相交于点P,P'.由诱导公式(二)(三)或点P,P'关于y轴对称,可以得到角α与π-α之间的三角函数的关系

sin(π-α)=sinα,

cos(π-α)=-cosα.

例如,

sin 5π/6=sinπ/6=1/2;

cos 5π/6=-cosπ/6=-

cos 3π/4=-cosπ/4=-·

图1-19

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4.α与α+π/2的三角函数间的关系

图1-20所示.设α的终边与单位圆相交于点P(cosα,sinα),点P关于直线y=x的轴对称点M的坐标为(sinα,cosα),点M关于y轴的对称点N的坐标为(-sinα,cosα).

点P经过以上两次轴对称变换到达点N,等同于点P沿单位圆旋转到N,而且旋转角的大小为(图1-20

∠PON=2(∠AOM+∠MOB)=2×π/4=π/2,因此,点N的坐标又为

(cos(α+π/2), sin(α+π/2)),

所以

cos(α+π/2)=-sinα,

(四)

sin(α+π/2)=cosα.

在公式(四)中,以-α替代α,可得另一组公式

cos(-α+π/2)=sinα,

sin(-α+π/2)=cosα.

由三角函数之间的关系又可得

tan(α+π/2)=-cotα, cot(α+π/2)=-tanα;

1-20

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tan(-α+π/2)=cotα, cot(-α+π/2)=tanα.

我们知道,任意一个角都可表示为k·π/2+α(其中|α|≤π/4)的形式.这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到π/4之间角的三角函数求值问题.

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1.3 三角函数的图象与性质

1.3.1 正弦函数的图象与性质

1.正弦函数的图象

在研究三角函数的图象和性质时,我们通常采用弧度制来度量角,记为x,表示自变量,用y表示函数值.于是,正弦函数表示为

y=sin x,

由正弦函数的定义,函数y=sin x的定义域是实数集R.

下面我们用单位圆中的正弦线,作出函数y=sin x的图象,并研究它的性质.

1-21

在直角坐标系的x轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆(图1-21),从这个圆与x轴的交点A起,把圆O1分为12等份(等份越多,作出的图象越精确).过圆上各分点分别作x轴的垂线,可以得到弧度为0,π/6,π/3,π/2,…,2π的角的正弦线(例如O1 B对应于角π/2的正弦线).相应地,再把x轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份,每个分点分别对应于x=0,π/6,π/3,π/2,2π/3,…,2π,分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线,再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数

y=sin x, x∈[0, 2π]的图象.

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因为sin(x+k·2π)=sin x,k∈Z,所以正弦函数y=sin x在x∈[-2π,0],x∈[2π,4π],x∈[4π,6π]……时的图象与x∈[0,2π]的形状完全一样,只是位置不同.因此我们把y=sin x在x∈[0,2π]的图象,沿x轴平移±2π,±4π,…就可以得到y=sin x,x∈R的图象(图1-22).

图1-22

正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫做正弦曲线.

图1-21,可以看出下面五点:

(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,-1),(2π,0),

在确定图象形状时起着关键的作用.这五点描出后,正弦函数

y=sin x, x∈[0, 2π]的图象的形状就基本上确定了.

今后,我们作正弦函数的简图,一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点,然后在描点作图时要注意到,被这五个点分隔的区间上函数变化情况,在x=0,π,2π附近函数增加或下降快一些,曲线陡一些,在x=π/2,3π/2附近,函数变化慢一些,曲线变得平缓.这种作图方法叫做五点法.在精确度要求不高的情况下,我们常用五点法作y=sin x在[0,2π]上的近似曲线.

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2.正弦函数的性质

由上一小节正弦函数的作图过程以及正弦函数的定义,容易得出正弦函数y=sin x还有以下重要性质:

(1)值域:从正弦线可以看出,正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度;从正弦曲线可以看出,正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=-1之间,这都表明

|sin x|≤1,也就是说,正弦函数的值域是[-1,1].

当且仅当x=2kπ+π/2(k∈Z)时,正弦函数取得最大值1;当且仅当x=2kπ-π/2(k∈Z)时,正弦函数取得最小值-1.

想想看,你自己能发现正弦函数的哪些性质?

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(2)周期性:由诱导公式

sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可知,当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时,正弦函数的值重复出现.在单位圆中,当角的终边绕原点转动回到原处时,正弦线的数量(长度和符号)不发生变化,以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示.这种性质称为三角函数的周期性.

一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足

f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.

根据这个定义,正弦函数y=sin x是一个周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期.

对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.

在2kπ(k∈Z,且k≠0)中,最小的正数为2π,因此正弦函数y=sin x有最小正周期2π.今后本书所涉及到的周期,如果不加特殊说明,均指最小正周期.

(3)奇偶性:由诱导公式

sin(-x)=-sin x

可知,正弦函数y=sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称.

(4)单调性:在正弦函数的一个周期中,如[-π/2,3π/2],由正弦线或正弦曲线都可以看出,当x由-π/2增加到π/2时,sinx由-1增加到1;当x由π/2增大到3π/2时,sinx由1减小到-1.这种变化情况如下表所示:

x -π/2 0 π/2 π 3π/2
sin x -1 0 1 0 -1

由正弦函数的周期性可知:

正弦函数y=sin x在每一个闭区间

[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上,都从-1增大到1,是增函数;在每一个闭区间

[π/2+2kπ, 3π/2+2kπ](k∈Z)上,都从1减小到-1,是减函数.

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一般地,函数

y=Asin(ωx+φ)(其中A≠0,ω〉0,x∈R)的周期T=2π/ω.下一节我们还将进一步研究这类函数的性质.

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3.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)

我们继续考虑观览车问题.

图1-24是大观览车的示意图.设观览车转轮半径长为R,转动的角速度为ωrad/s.点P0表示座椅的初始位置.此时∠xOP0=φ当转轮转动t秒后,点P0到达点P位置,射线OP的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为

y=Rsin(ωt+φ).

在函数y=Rsin(ωt+φ)中,点P旋转一周所需要的时间T=2π/ω,叫做点P的转动周期.

在一秒内,点P旋转的周数f=1/T=ω/2π,叫做转动的频率.

OP0与x轴正方向的夹角φ叫做初相.

例如一动点以角速度4πrad/s作匀速圆周运动,则

T=2π/4π=1/2 s,

f=1/T=2 Hz.

形如

y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ都是常数)的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数通常叫做正弦型函数.下面我们来讨论这类函数的作图方法和有关性质.

图1-24

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一般地,函数y=Asin x的值域是[-|A|,|A|],最大值是|A I,最小值是-|AI.由此可知,|A|的大小,反映曲线y=Asin x波动幅度的大小.因此,|A|也称为振幅.

类似于用五点法作函数y=sin x的简图的方法,选出关键的五点,我们可以作出函数y=Asin x的简图.

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一般地,把函数y=sin x的图象上所有的点(当φ〉0时)向左或(当φ〈0时)向右平行移动|φ|个单位长度,就得到函数y=sin(x+φ)的图象.

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一般地,函数y=sinωx(x∈R)(其中ω〉0且ω≠1)的图象,可以看作是把y=sin x(x∈R)上所有的点的横坐标缩短(当ω〉1时)或伸长(当0〈ω〈1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的.

函数y=sinωx的周期T=2π/ω,这就是说,ω值决定了函数的周期.ω越大,在一定的区间内曲线波动的次数就越多,反之就越少.

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1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质

1.余弦函数的图象与性质

我们知道

y=cos x=sin(π/2+x), x∈R,由此可知,余弦函数y=cos x图象与正弦函数y=sin(x+π/2)的图象相同.

于是把正弦曲线向左平移π/2个单位就可以得到余弦函数的图象(图1-30).余弦函数y=cos x的图象叫做余弦曲线.

图1-30可以看出,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是

(0, 1),(π/2, 0),(π,-1),(3π/2, 0),(2π, 1).

我们可以利用这五个点画出余弦函数的简图.

由余弦函数的图象或单位圆中的余弦线,可以得到余弦函数一些重要性质:

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1-30

(1)定义域:余弦函数的定义域是实数集R.

(2)值域:[-1,1],即-1≤cos x≤1.

当且仅当自变量x=2kπ(k∈Z)时,余弦函数y=cos x取得最大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时,余弦函数取得最小值-1.

(3)周期:2π.

(4)奇偶性:由诱导公式

cos(-x)=cos x可知,余弦函数是偶函数,它的图象关于y轴对称.

(5)单调性:由单位圆中的余弦线和余弦曲线都可以看出,当x由0增大到π时,余弦函数的值由1逐渐减小到-1;当x由π增大到2π时,余弦函数的值由-1逐渐增大到1.

由函数的周期性可知:

余弦函数在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,它的值由1减小到-1;在每一个闭区间[(2k+1)π,2(k+1)π](k∈Z)上都是增函数,它的值由-1增大到1.

以上这两类闭区间中的每一个区间都是余弦函数的单调区间.

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一般地,函数y=Acos(ωx+φ)(x∈R)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω〉0)的周期为T=2π/ω.今后,可以使用这个公式直接求这类函数的周期.

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2。正切函数的图象与性质

由诱导公式

tan(x+π)=tan x,x∈R,且x≠kπ+π/2,k∈Z,知道正切函数是周期函数,并且π是它的一个周期,又可以证明π是它的最小正周期.

用单位圆上的正切线可作正切函数y=tan x在开区间(-π/2,π/2)内的图象(图1-31).

图1-31

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根据正切函数的周期性,我们可以把图象向左、向右连续平移,得出y=tan x,x∈(-π/2+kπ,π/2+kπ),k∈Z的图象——正切曲线图1-32),可以看出,正切曲线是由通过点(π/2+kπ,0)(k∈Z)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成.

1-32

正切函数y=tan x有以下主要性质:

(1)定义域:

{x|x≠π/2+kπ, k∈Z}.

(2)值域:

图1-32或正切线可以看出,在区间(-π/2,π/2)内,当x小于π/2,并且无限接近π/2时,tanx可无限地增大,且它的值可比指定的任何正数都大.我们把这种情况,记作

tanx→+∞.

读作tan x趋向于正无穷大;当x大于-π/2,并且无限接近-π/2时,tanx可无限地减小,且它的绝对值可比指定的任何正数都大,我们把这种情况,记作

tanx→—∞.

读作tan x趋向于负无穷大.这就是说,tan x可以取任意实数值,没有最大值,也没有最小值.

因此,函数y=tan x的值域是实数集R.

(3)周期性:周期是π.

(4)奇偶性:由tan(-x)=-tan x,知正切函数是奇函数,它的图象关于原点成中心对称.

(5)单调性:正切函数在每一个开区间

(-π/2+kπ,π/2+kπ), k∈Z内都是增函数.

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1.3.3 已知三角函数值求角

我们已经知道,任意给定一个角,只要这个角的三角函数值存在,就可以求出这个三角函数值;反过来,已知一个三角函数值,也可以求出与它对应的角.

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1.已知正弦值,求角

由例1可知,在函数y=sin x的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,如在[0,2π]上有两个角π/4和3π/4的正弦值都为,在R上有无穷多个角的正弦值为.但是,在y=sin x的单调区间上,只有一个角和已知正弦值对应,比如在单调区间[-π/2,π/2]上,只有π/4的正弦值等于.

一般地,对于正弦函数y=sin x,如果已知函数值y(y∈[-1,1]),那么在[π/2,π/2]上有唯一的x值和它对应.记为

x=arcsin y^(本书只要求同学们会用arcsin x,arccos x,arctan x这三个符号表示角,对于这三个符号的其他知识不作全面探讨.(其中-1≤y≤1,-π/2≤x≤π/2).即arcsin y(|y|≤1)表示[-π/2,π/2]上正弦等于y的那个角.例如:

如果sin x=1/2,x∈[-π/2,π/2],则x=arcsin 1/2=π/6;

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如果sin x=-,x∈[-π/2,π/2],则x=arcsin(-)=-π/3;

如果sin x=0,x∈[-π/2,π/2],则x=arcsin 0=0;

如果sin x=0.3458,x∈[-π/2,π/2],在不要求求出具体的x值时,其中的x可记作arcsin 0.345 8,即

x=arcsin 0.345 8.

2.已知余弦值或正切值,求角

下面举例说明,如何用符号,由一个角的余弦值或正切值来表示这个角.

图1-34

由例2可以看到,函数y=cos x在区间[0,2π)上,对y∈(-1,1)的任意一个值,有两个角x与之对应.如果考察自变量x在整个定义域(-∞,∞)上取值,那么对区间[-1,1]上的任意一个值y,有无穷多个x值与之对应,如果我们限定x在区间[0,π]内取值,那么对区间[-1,1]上的任意一个值y,x只有唯一值与之对应.

在区间[0,π]上符合条件cos x=y(-1≤y≤1)的角x,记为

x=arccos y.例如,

arccos 1/2=π/3, arccos=π/4, arccos(-1/2)=2π/3.

使用以上记号,例2方程的解集可以写成

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图1-35

一般地,如果tan x=y(y∈R),且x∈(-π/2,π/2),那么对每一个正切值y,在开区间(-π/2,π/2)内,有且只有一个角x,使tan x=y.

符合上述条件的角x,记为

x=arctan y, x∈(-π/2,π/2).

例如,

arctan=π/6, arctan=π/3, arctan(-1)=-π/4

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数学建模活动

数学建模是数学学习的一种新的方式,它为我们提供了自主学习的空间,把学到的知识应用于实践,使我们体验到数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,逐步提高创新意识和实践能力.

本章以大观览车作为导例,引入了正角、负角、一般角的概念,引入了单位圆中的三角函数线的概念,引入了正弦型函数y=Asin(ωx+φ).在练习题中提出了如何计算观览车吊舱离地面高度问题,以及如何用函数解析式来描述观览车轮上一点运动规律的问题,把观览车问题变成了一个数学问题.这就是说,我们经历了一个数学建模的过程.

一般来说,数学建模过程可以用下面的框图表示:

下面的数学建模问题.请同学们在老师指导下自己完成.

海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:

时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0

(1)选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值;

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(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?

(3)某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减小,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

提示和要求:

1.提示:建立适当坐标系,把本题所给的每一对数据作为一个点的坐标,在坐标系中描出这些点,并用光滑曲线把这些点依次连接起来,观察所画曲线,选用适当函数解析式,设法求出解析式中各参数,并将各对已知数据代入你求得的解析式进行检验,如果等式不成立,则需修改解析式,如果等式成立,则该函数解析式就是本题的数学模型.你就可以利用这个数学模型解决本题的其他问题.

2.要求:根据题目的要求写出数学建模报告.要求过程简明,理由充分,结论明确.

如果有条件,同学们可以深入实际,发现问题,提出问题,独立思考,分工合作,交流讨论,寻求帮助,探求合理的解决方案,写出数学建模小论文.

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本章小结

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阅读与欣赏

三角学的发展

航海、历法推算以及天文观测的需要,推动了三角学的发展.早期三角学总是与天文学密不可分,这样在1450年以前,三角学主要是球面三角,后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角.

15、16世纪德国人开始对三角学作出新的推进,他们从意大利获得了阿拉伯天文学著作中的三角学知识.游学意大利、后来定居维也纳的波伊尔巴赫(G. Peurbach,1423—1461)曾经把托勒密的《天文大成》译成拉丁文,并且编制了十分精确的正弦表.

在欧洲,第一部脱离天文学的三角学专著是波伊尔巴赫的学生雷格蒙塔努斯(J. Regiomontanus,1436—1476)的《论各种三角形》.雷格蒙塔努斯原名叫缪勒(J. Mül1er),生于德国,曾经游历于意大利,他搜集、译注了托勒密的《天文大成》,还翻译过阿波罗尼奥斯、海伦、阿基米德等希腊数学家的著作.1464年他撰写了自己的著作《论各种三角形》,该书主要从纳西尔丁的著作中吸取养分,全书分五卷,前两卷论平面三角,后三卷论球面三角,给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理.雷格蒙塔努斯在其另一部著作《方位表》中,制定了多达5位的三角函数表,除正弦和余弦表外,还有正切表.在1450年以前,希腊、阿拉伯人著作中的三角方法很不严谨,雷格蒙塔努斯首次对三角学作出完整、独立的阐述,使其开始在欧洲广泛传播.

随后,维尔纳(J. Werner,1468—1528)著《论球面三角》(1514),改进并发展了雷格蒙塔努斯的思想.不过此时的三角学存在一个最大的困难,就是缺少一批公式,使用仅知的几个公式,计算十分困难,这主要由于雷格蒙塔努斯只采用正弦和余弦函数,而且其函数值限定为正数所致.哥白尼的学生雷提库斯(G. J. Rhaeticus,1514—1576)将传统的弧与弦的关系,改进为角的三角函数关系,并采用了六个函数(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割),而且还编制了间隔为10″的10位和15位正弦表.

三角学的进一步发展,是法国数学家韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作.他在《标准数学》(1579)和《斜截面》(1615)这两本书中,把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起,其中包括他自己得到的正切公式

a-b/a+b=他还给出了解球面直角三角形的方法和一套公式,以及帮助记忆这些公式的今天所谓的纳皮尔法则.这些球面三角公式大都是托勒密建立的,但也有韦达自己提出的公式,如cos A=-cos Bcos C+sin Bsin C(A为钝角),sin A-sin B=2cos A+B/2sin A-B/2,尤为重要的是韦达将这套三角恒等式表示成了代数形式,尽管他所用的并不是现代符号.

在16世纪,三角学已从天文学中分离出来,成为一个独立的数学分支.

韦达

  1. 本书中,角α在0°~360°范围内是指0°≤α〈360°.
  2. 本书只要求同学们会用arcsin x,arccos x,arctan x这三个符号表示角,对于这三个符号的其他知识不作全面探讨.
 第二章 平面向量

第二章 平面向量

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2.1 向量的线性运算

2.2 向量的分解与向量的坐标运算

2.3 平面向量的数量积

2.4 向量的应用

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在我们学习过的量中,很多量用一个实数(加上单位)就能确切地表达.例如,房间的面积,一个储藏室的容积,一个人的身高,一个人的年龄等等.但还有些量,仅仅用一个实数还不能确切地表达它们,例如,物体的位移、物体运动的速度、作用在物体上的力等.这些量除了要知道它们的大小外,还必须知道它们的方向,才能确切地描述它们.这些量,可能要用两个、三个甚至更多的实数才能确切地表达.在数学中对这些量进行研究,已经被抽象成叫做向量的数学模型.

你参加过拔河或划船比赛吗?你在逆风中骑过自行车吗?当你迷路时,你如何走向目的地?可以说,在日常生活中,你会经常碰到向量,你会发现向量是很有用的知识.向量除了在日常生活中应用外,在数学的各分支,例如三角、几何等中都有着重要的应用;向量也是研究运动学、力学、电学、宇航学、经济学等许多学科不可缺少的数学工具.近代向量的发展正在帮助科学家去正确地解释许多物理现象.

其实物理学家,很早就在自己的研究中使用向量概念,并早已发现这些量之间可以进行某种运算.数学家在物理学家使用向量的基础上,对向量又进行了深入的研究,使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.这一章,我们将引导同学们从实例出发,一步一步地把这些既有大小又有方向的量,初步抽象为数学中的向量概念,并探究如何用数学语言确切地去描述这些向量,再探究向量的性质和应用.

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2.1 向量的线性运算

2.1.1 向量的概念

在引言中我们已经指出,在自然界中,很多量都是既具有大小又具有方向的量.这一章我们要对这种量即向量进行深入细致的探讨.这一章,我们学习的向量为平面向量,即涉及的向量都在一个平面内.为了减少学习难度,我们从物理学中的位移概念出发,一步步地学习数学中较为抽象的向量概念.

1.位移的概念

在物理学中,研究物体在平面内的位置和运动规律时,一般忽略它的大小,把它看作一个质点,用点表示它在平面内的位置.如图2-1所示,一个质点从点A运动到点A',这时点A'相对于点A的位置是

北偏东30°,3个单位.

如果我们不考虑质点运动的路线,只考虑点A'相对点A的方向和直线距离,这时,我们就说质点在平面上作了一次位移,直线距离叫做位移距离.这就是说,位移被方向和距离唯一确定,位移只表示质点位置的变化,起、终点间位置关系,而与质点实际运动的路线无关.

从两个不同点出发的位移,只要方向相同,距离相等,我们都把它们看成相同的位移或相等的位移.一个质点从点B运动到点B'(图2-1),如果点B'相对于点B的位置也是北偏东30°,3个单位,这时我们说这个位移与点A到A'的位移相等.我们在上体育课时,老师下达口令向前三步走,全班同学都进行了同一个位移.

2-1

2.向量的概念

在高中阶段,我们暂且把具有大小和方向的量称为向量.更具体些,我们先把一个向量理解为一个位移或表达一点相对于另一点位置的量.随着学习的深入,我们会不断地加深对向量概念的理解.

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有些向量不仅有大小和方向,而且还有作用点.例如,力就是既有大小和方向,又有作用点的向量.有些量只有大小和方向,而无特定的位置.例如,位移、速度等.通常把后一类向量叫做自由向量.本章学习的主要是自由向量,以后我们说到向量,如无特别说明,指的都是自由向量.这就是说,本章所学的向量只有大小、方向两个要素.如果两个向量的大小、方向都相同,则说这两个向量相等.

现在让我们想想,如何直观地描述向量.

从点A位移到点B,用线段AB的长度表示位移的距离,在点B处画上箭头表示位移的方向,这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段,叫做有向线段.点A叫做有向线段的始点,点B叫做有向线段的终点.显然,有向线段就是向量的直观形象.有向线段的方向表示向量的方向,线段的长度表示位移的距离,位移的距离叫做向量的长度.

以A为始点,以B为终点的有向线段记作图2-2).应注意,始点一定要写在终点的前面.的长度记作||.

如果有向线段表示一个向量,通常我们就说向量.

向量除了用上面的符号表示外,通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母…由于我们所研究的向量只含有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与它的始点的位置无关,即:

同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等的向量.

图2-3中,有向线段…都表示同一向量a,这时可记作

===…=a.

由以上分析,一个平面向量的直观形象是平面上·同向且等长的有向线段的集合.

如果=a,那么的长度表示向量a的大小,也叫做a的长(或模),记作|a|.

两个向量a和b同向且等长,即a和b相等,记作a=b.

通过有向线段的直线,叫做向量基线图2-4).如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行.这就是说,共线向量的方向相同或相反.向量a平行于b,记作a∥b.

长度等于零的向量,叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定,在处理平行问题时,通常规定零向量与任意向量平行.

图2-2

图2-3

图2-4

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方向是大家非常熟知的概念,上面我们没有给它更多的描述.在一个平面内,方向从西到东,可以在该平面内任画一条从左到右的直线,再给出一个向东的指向来表示,从不同点画出具有同一方向的直线互相平行.由此可见,方向和平行有着深刻的内在联系.我们在用有向线段表示向量时,用箭头标出的方向,也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向.

3.用向量表示点的位置

任给一定点O和向量a(图2-7),过点O作有向线段=a,则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定,这时向量,又常叫做点A相对于点O的位置向量.

例如,在谈到天津相对于北京的位置时(图2-8),我们说,天津位于北京东偏南50°,114km.如图2-8,点O表示北京的位置,点A表示天津的位置,那么向量

=东偏南50°,114km就表示了天津相对于北京的位置.

有了向量概念,我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置.

图2-7

图2-8

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2.1.2 向量的加法

我们通过位移和两点的相对位置学习了向量概念.现在要问,向量之间能否像数与式那样进行运算?如果可以进行某种运算,那么这些运算又将遵循什么样的运算法则?这一小节,我们要探索这些问题.

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1.向量加法的三角形法则

如果一个动点由点A位移到点B,又由点B位移到点C,那么一定存在一个从点A到点C的位移与两次连续位移的结果相同(图2-9).这时我们就说,动点从A到C的位移是动点A到B,再由B到C两次位移的和.

从位移求和,我们可以引出下述向量的加法法则:

已知向量a,b(图2-10(1)),在平面上任取一点A,作=a,=b,再作向量,则向量叫做a与b的和(或和向量),记作a+b,即

a+b==.

上述求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.图2-10(2)表示求两个平行向量和的特殊情况.对于零向量与任一向量a的和有

图2-9

2-10

a+0=0+a=a.向量加法运算能否像整数、分数的加法运算那样具有交换律和结合律呢?先看看,求两个向量和,两个向量相加的次序能否交换.已知向量a,b.如图2-11,作=a,=b.如果A,B,C不共线,则

=a+b.

2-11

再看看b+a等于什么.

=b,连接D,C,如果我们能证明=a,那么也就证明了加法交换律成立.

由作图可知,==b,因此四边形ABCD是平行四边形(为什么?),这就证明了=a,即加法交换律成立.

对于A,B,C共线的情况,请同学们自己验证.于是得到

a+b=b+a.

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向量加法的交换律,在常识上是很显然的.你从点A出发先位移向量a,接着再位移向量b,与先位移向量b再位移向量a,一定会达到同一终点C.这也就说明了向量加法交换律成立.

2.向量求和的平行四边形法则

从上面我们探索向量加法交换律是否成立的过程中,我们可以得到两个不共线向量求和的另一法则.

已知两个不共线向量a,b(图2-11),作=a,=b,则A,B,D三点不共线,以为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量

=a+b.

这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

容易验证,向量加法也满足结合律,即

(a+b)+c=a+(b+c).

结合律的证明请同学们根据图2-12自己完成.

图2-12

3.向量求和的多边形法则

由两个向量加法的定义可知,两个向量的和仍是一个向量.这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加.现以四个向量为例说明如下(图2-13).

图2-13

已知向量a,b,c,d.在平面上任选一点O,作=a,=b,=c,=d,则

=

=a+b+c+d.

已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.

这个法则叫做向量求和的多边形法则.

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2.1.3 向量的减法

在数的运算中,我们知道减法是加法的逆运算.与数的减法一样,向量减法同样作为向量加法的逆运算引入.

已知向量a,b(图2-16),作=a,作=b,则

b+=a,①向量叫做向量a与b的差,并记作a—b,即

=a—b=.②由此可见,如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量.

由②式还可以推知,一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量,或简记终点向量减始点向量.

与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量,记作-a(图2-17).显然

a+(-a)=0.

由①式两边同加(-b),得

=a+(-b).

这就是说,从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量图2-18).

图2-16

图2-17

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在上面等式的右边,省略加号,就是a—b.这就是说,我们可像数的代数和那样,把减式看成和式.

图2-18

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2.1.4 数乘向量

同学们已经看到,平面几何中的全等与平行的问题,与向量加法及其运算律有着密切的联系.在几何中,一个重要问题是,研讨图形的放大、缩小和相似性质.我们是否也能用向量的某种运算去研究?答案是肯定的.我们知道数的乘法运算是从相同加数的加法运算引入的.这里,我们作类似的思考,引入向量的另一种运算:数乘向量.

2-21

图2-21所示,已知向量a,可作出:(1)a+a+a;

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(2)(-a)+(-a)+(-a).

3个a连加,记作3a;3个(-a)连加,记作-3a.由图2-21我们可以看到,3个a连加仍是一个向量,它的长等于3|a|,方向与a相同;3个(-a)连加仍是一个向量,它的长等于3|a|,方向与a相反.

已知图2-22),把线段AB三等分,分点为P,Q,则

=1/3=2/3=-2/3.

由上述分析,我们引出数乘向量的一般定义:

定义实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且λa的长

λa|=|λ||a|.

λa(a≠0)的方向当λ〉0时,与a同方向;当λ〈0时,与a反方向.

图2-22

当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0(图2-23).

λa中的实数λ,叫做向量a的系数.数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.

数乘向量运算满足下列运算律:

设λ,μ为实数,则

(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;

(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).

图2-23

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2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算

1.向量共线的条件

在学习向量概念时,我们已给出向量共线的概念,即:

如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行(图2-25).

应注意,这里说向量平行,包含向量基线重合的情形,与两条直线平行的概念有点不同.事实上,在高等数学中,重合直线是平行直线的特殊情形.

由于零向量的方向不定,在处理平行问题时,零向量与任何一个向量平行.

由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知:

平行向量基本定理 如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使a=λb.

图2-26,如果a=2b,则a∥b;如果c=-2b,则c∥b;

如果d∥b,d的长度是b的长度的一半,并且方向相反,则d=-1/2b.

给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量,叫做向量a的单位向量.如果a的单位向量记作a0图2-27),由数乘向量的定义可知

a=|a|a0或a0=a/|a|.

图2-25

图2-26

图2-27

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2.轴上向量的坐标及其运算

规定了方向和长度单位的直线叫做轴(图2-29).

图2-29

已知轴l.取单位向量e,使e的方向与l同方向.根据向量平行的条件,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x,使

a=xe.

反过来,任意给定一个实数x,我们总能作一个向量a=xe,使它的长度等于这个实数x的绝对值,方向与实数的符号一致.

给定单位向量e,能生成与它平行的所有向量的集合{xe|x∈R}.

这里的单位向量e叫做轴l的基向量,x叫做a在l上的坐标(或数量). x的绝对值等于a的长,当a与e同方向时,x是正数,当a与e反方向时,x是负数.

例如,=3e,=-2e,则在l上的坐标是3,在l上的坐标是-2.

于是,在一条轴上,实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系.至此,我们就可用数值来表示向量.这一点特别重要,我们在解析几何初步中已经指出,如果点的位置不能用数值来表示,要使用现代的计算机技术研究图形的性质是不可能的.这里,我们奠定了向量的数量化基础,以后我们还要把平面向量、空间向量都数量化、代数化.这样,我们就可以用计算器、计算机等现代计算技术进行向量运算了.

设a=x1e,b=x2e,于是:

如果a=b,则x1=x2

反之,如果x1=x2,则a=b;

另外,a+b=(x1+x2)e.

这就是说,轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.

设e是轴l上的一个基向量(图2-30).的坐标又常用AB表示,这时

=ABe.

显然=BAe,AB与BA绝对值相同,符号相反,即

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AB+BA=0.

由于e是l上的一单位向量(图2-30),在l上任取三点A,B,C,则

=

ABe+BCe=ACe,

(AB+BC)e=ACe.

2-30

因为e≠0,所以

AB+BC=AC.①

公式①在解析几何初步一章中已经得到,尽管形式非常简单,我们已经看到它是我们研讨解析几何、三角的基础.这里我们应用向量计算精确方便地得到了这个公式.

下面,我们用向量的观点,重新认识一下我们在初中学过的数轴.

在轴x上选一定点O作为原点,就成为我们学过的数轴(图2-31).

图2-31

设e是轴x的基向量,向量a平行于x轴,以原点O为始点作=a,则点P的位置被向量a所唯一确定,由平行向量基本定理知道,存在唯一的实数x,使

=xe.

数值x是点P的位置向量在x轴上的坐标,也就是点P在数轴x上的坐标;反之亦然.

图2-32,如果点P的坐标为3,则点P的位置向量的坐标也为3.

在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2图2-32),于是由公式①,得

AB=AO+OB

=-OA+OB=x2-x1.

AB=x2-x1.②

这就是说,轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.

根据公式②,又可以得到数轴上两点的距离公式

|AB|=|x2-x1|.③

2-32

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2.2 向量的分解与向量的坐标运算

2.2.1 平面向量基本定理

图2-34,e1,e2是两个不平行的向量,容易看出

=2e1+3e2=-e1+4e2

=4e1—4e2=-2e1+5e2.

图2-34

事实上,平面内任何向量都能用两个不平行的向量来表示.

平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使

a=a1e1+a2e2.

证明选学在平面内任取一点O(图2-35),作=e1=e2=a.

由于e1与e2不平行,可以进行如下作图:

过点A作OE2的平行(或重合)直线,交直线OE1于点M,过点A作OE1的平行(或重合)直线,交直线OE2于点N,于是依据平行向量基本定理,存在两个唯一的实数a1,a2分别有

=a1e1=a2e2,所以

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a===a1 e1+a2e2.

证明表示的唯一性:如果存在另一对实数x,y使

=xe1+ye2

则a1 e1+a2e2=xe1+ye2,即

(x-a1)e1+(y-a2)e2=0.

由于e1与e2不平行,如果x-a1,y-a2中有一个不等于0,不妨设y-a2≠0,则e2=-x-a1/y-a2e1,由平行向量基本定理,得e1与e2平行.这与假设矛盾,因此

x-a1=0, y-a2=0,即x=a1,y=a2.

我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e1,e2}.a1 e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.

图2-35

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图2-37

由例2所证可知,对直线l上任意一点P,一定存在唯一的实数t满足向量等式①;反之,对每一个实数t,在直线l上都有唯一的一个点P与之对应.向量等式①叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数.

在①中,令t=1/2,点M是AB的中点,则

=1/2().这是线段AB的中点的向量表达式.

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2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算

1.向量的直角坐标

如果两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直.

如果基底的两个基向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量,叫做正交分解.以后同学们会看到,在正交基底下进行向量分解,许多有关度量问题变得较为简单.这一节我们讨论向量的正交分解及向量在直角坐标系中的坐标运算.

现在,让我们用向量的观点重新认识一下我们学过的直角坐标系.

在直角坐标系xOy内(图2-38),分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1,e2.这时,我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1,e2}. e1和e2分别是与x轴和y轴同方向的单位向量.这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底.

在坐标平面xOy内(图2-38),任作一向量a(用有向线段表示),由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(a1,a2),使得

2-38

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a=a1e1+a2e2,①(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标.即

a=(a1,a2).②其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量,a2叫做a在y轴上的坐标分量.分别过向量的始点、终点作x轴和y轴的垂线,设垂足分别为A1,B1和A2,B2.坐标分量a1为向量在x轴上的坐标,坐标分量a2为向量在y轴上的坐标.显然

0=(0, 0), e1=(1, 0), e2=(0, 1).

设向量a=(a1,a2),a的方向相对于x轴正向的转角为θ,由三角函数的定义可知

a1=|a|cosθ, a2=|a|sinθ.

在直角坐标系中(图2-39),一点A的位置被点A的位置向量所唯一确定.设点A的坐标为(x,y),容易看出

=xe1+ye2=(x, y),即点A的位置向量的坐标(x,y),也就是点A的坐标;反之,点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标.

由上面的分析,符号(x,y)在直角坐标系中就有了双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量(x,y).

图2-39

2.向量的直角坐标运算

设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则

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a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2

=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2,即

a+b=(a1+b1,a2+b2).

用同样的方法可以证明

a-b=(a1一b1,a2-b2),

λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2).

这两个式子请同学们自证.

上述向量的坐标运算公式,也可以用语言分别表述为:

两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差;

数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.

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2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件

观察图2-45,a=(1,2),b=(2,4),这两个向量的坐标成比例,试问这两个向量平行吗?向量c与向量a平行,它们的坐标之间有些什么关系?

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我们知道,当b≠0时,如果a∥b,则存在唯一实数λ使a=λb;反之,如果存在一个实数λ,使a=λb,则a∥b.

选择基底{e1,e2},如果a=(a1,a2),b=(b1,b2),则条件a=λb可化为

(a1,a2)=λ(b1,b2)=(λb1,λb2),即

a1=λb1,①

a2=λb2.②

①②两式的两边分别乘以b2,b1,得

a1b2=λb1b2,③

a2b1=λb2 b1.④

③-④得

a1b2-a2b1=0.⑤

⑤式就是两个向量平行的条件.

⑤式成立,可判断两个向量平行;反之两个向量平行,它们的坐标满足⑤式.⑤式表示的条件,是在假设b≠0的条件下推出的.事实上,如果在讨论平行问题时,规定零向量可以与任一向量平行,在⑤式中可以去掉b≠0的假设.

如果向量b不平行于坐标轴,即b1≠0,b2≠0,⑤式可以化为

=.⑥

⑥式用语言可以表述为:

两个向量平行的条件是,相应坐标成比例.

图2-45

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2.3 平面向量的数量积

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义

1.力做功的计算

图2-46所示,一个力F作用于一个物体,使该物体位移s,如何计算这个力所做的功?由于图示的力F的方向与位移方向有一个夹角θ,真正使物体前进的力是F在物体位移方向上的分力,这个分力的数量与物体位移距离的乘积才是力F做的功.即力F使物体位移s所做的功W可以用

W=|s||F|cosθ计算.

其中|F|cosθ就是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正射影的数量.

以计算力做功为背景,我们引入向量的数量积运算.

力做功的计算,涉及到两个向量夹角和向量在轴上射影的概念.下面对这两个概念给予较精确的阐述.

图2-46

2.两个向量的夹角

已知两个非零向量a,b(图2-47),作=a,=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉,并规定

0≤(a, b〉≤π,

在这个规定下,两个向量的夹角被唯一确定了,并且有

〈a, b〉=〈b, a〉.

当〈a,b〉=π/2时,我们说向量a和向量b互相垂直.记作a⊥b.

在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直.

图2-47

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3.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l(图2-48).作=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.

=a在轴l上正射影的坐标记作a l,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则由三角函数中的余弦定义有

al=|a|cosθ.

图2-48

4.向量的数量积(内积)定义

定义|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即

a·b=|a||b|cos〈a, b〉.

由上述定义可知,两个向量a与b的内积是一个实数,可以等于正数、负数、零(图2-50).

图2-50

根据向量内积的定义,可以得到两个向量内积有如下重要性质:

(1)如果e是单位向量,则

a·e=e·a=|a|cos〈a, e〉;

(2)a⊥ba·b=0,且a·b=0a⊥b;

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(3)a·a=|a|^(2),即|a|=a·a;

(4)cos〈a, b〉=a·b/|a|b||(|a||b|≠0);

(5)|a·b|≤|a||b|.

以上性质的证明留给同学作为练习.

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2.3.2 向量数量积的运算律

从数学的角度考虑,我们希望向量的数量积运算,也能像数量乘法那样满足某些运算律,这样数量积运算才更有意义.现在我们探索一下,看看它会有哪些运算律.

首先看看它有没有交换律a·b=b·a.

由向量数量积的定义,可以直接推出交换律成立.

另外,容易验证数乘以向量的数量积,可以与任意一个向量交换结合,即对任意实数λ,有

λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).

在数量乘法中,最重要的运算律,要算分配律了.向量的数量积是否具有分配律

(a+b)·c=a·c+b·c?

直观上,不太容易看出它是否成立.让我们从向量数量积的几何意义出发,看看分配律是否成立.

我们知道,一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正投影的数量.如果分配律中的向量c换成它的单位向量c0,则分配律变为

(a+b)·c0=a·c0+b·c0.①

证明分配律就变为证明:两个向量和在一个方向上的正投影的数量等于各个向量在这个方向上的投影的数量和.

为此,我们画出①式两边的几何图形(图2-51),看看能否推出①式两边相等.

作轴l与向量c的单位向量c0平行.

=a,=b,则=a+b.

设点O,A,B在轴l上的射影为O,A',B',根据向量的数量积的定义有

OA'=·c0=a.c0

A'B'=·c0=b·c0

OB'=·c0=(a+b)·c0,但对轴上任意三点O,A',B',都有

OB'=OA'+A'B',

(a+b)·c0=a·c0+b·c0.

这就证明了①式成立.

①式两边同乘以|c|,得

(a+b)·c=a·c+b·c.

至此,我们完成了分配律的探索与证明.

图2-51

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2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

1.向量内积的坐标运算

建立正交基底{e1,e2}.已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则

a·b=(a1e1+a2e2)·(b1e1+b2e2

=a1b1 e1·e1+a1b2e1·e2+a2b1 e2·e1+a2b2 e2·e2.因为e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0,所以我们得到数量积的坐标表达式

a·b=a1b1+a2b2.

2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

如果a⊥b,则a·b=0;反之,如果a·b=0,则a⊥b.

上述两个向量垂直的条件,换用两向量的数量积坐标表示,即为:

如果a⊥b,则a1 b1+a2b2=0;如果a1b1+a2b2=0,则a⊥b.因此

a⊥ba1b1+a2b2=0.

当b1b2≠0时,条件a1b1+a2b2=0,可以写成==k.

这就是说,如果a⊥b,则向量(a1,a2)与(-b2,b1)平行,上式中的k是比例系数.于是得到:

对任意实数k,向量k(-b2,b1)与向量(b1,b2)垂直.

例如,向量(3,4)与向量(-4,3),(-8,6),(12,-9)…垂直.

3.向量的长度、距离和夹角公式

如图2-53,已知a=(a1,a2),则

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|a|^(2)=a·a=(a1,a2)·(a1,a2)=a12+a22).

因此

|a|=.①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式.

这个公式用语言可以表述为:

向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.

如果A(x1,y1),B(x2,y2),则

=(x2-x1,y2-y1),从而

||=.②

的长就是A,B两点之间的距离,因此②式也就是求两点的距离公式.这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样.

由向量数量积的坐标表达式和向量长度计算公式,以及向量数量积的定义,就可以直接推得求两个向量夹角余弦的坐标表达式

cos〈a, b〉=.

图2-53

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2.4 向量的应用

2.4.1 向量在几何中的应用

1.向量在平面几何中的应用

在学习向量及其运算时,我们已经看到向量加法运算和全等、平行,数乘向量和相似,距离、夹角和向量的数量积之间的密切联系.这里,我们再举几个例子,体会一下向量在平面几何解题中的应用.

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从例2的证明可以看到,证明方法与代数学中的解应用题方法(设未知数,列方程)基本一致.这里,也是先设未知数,由题中给出的条件,列出向量表达式,再选基底向量,列出同一向量的两个分解式,由向量分解的唯一性转化为方程组求解.

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2.向量在解析几何中的应用

我们已用向量分解的观点重新认识了直角坐标系.下面举例说明向量在解析几何中的应用.

在解析几何初步中,我们用一条直线的倾斜角或斜率确定直线的方向.现在看一看直线的倾斜角、斜率与平行于这条直线的向量之间的关系.

设直线l的倾斜角为a(图2-58),斜率为k,A(x1,y1)∈l,P(x,y)∈l,向量a=(a1,a2)平行于l,由直线斜率和正切函数的定义,可得

k=y-y1/x-x1=a2/a1=tan a.

如果知道直线的斜率k=a2/a1,则向量(a1,a2)一定与该直线平行·

如果表示向量的基线与一条直线垂直,则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的法向量.

例5所证结论,使我们得到直线一般方程Ax+By+C=0中,变量x,y的系数构成向量(A,B)的几何解释.即向量(A,B)与直线l垂直,向量(-B,A)与l平行.这样,直线间的位置关系,即平行、垂直、夹角,就可转化为向量问题来处理.

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2.4.2 向量在物理中的应用

1.力向量

力向量与前面学过的自由向量有些不同,它不仅包括大小、方向两个要素,而且还有作用点.大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.但力是具有大小和方向的量,在不考虑作用点的情况下,可利用向量运算法则进行计算.例如,求作用于同一点的两个力的合力,可用向量求和的平行四边形法则(图2-61).

图2-61

图2-62

同一平面上,作用于同一点的两个力F1,F2或三个力F1,F2,F3处于平衡状态(图2-62),可分别用等式来表示

F1+F2=0,

F1+F2+F3=0.

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2.速度向量

一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量.例如,东北风30 m/s可用图2-64中的有向线段表示.

图2-64

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本章小结

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阅读与欣赏

向量概念的推广与应用

学习了平面向量,我们知道在平面上建立了坐标系后,坐标平面上的任一向量,都可以用一个有序实数对(a1,a2)表示.以后我们还将学习空间向量.空间向量可用一个三元有序实数组(a1,a2,a3)来表示.平面向量、空间向量我们都称之为几何向量.

在实际问题中,往往会遇到一些量,需要用更多的实数来表示.比如:

期末进行了五门考试,每个学生的考试成绩情况可用顺序排列的五科成绩来表示.

在汽车生产线上,如果对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、每千米油耗量、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标的测试,那么每辆新车质量可用六元有序实数组表示.

n元有序实数组(a1,a2,…,an),被称为n维向量,它是几何向量的推广.所有n维向量的全体构成的集合,称作n维向量空间,它的一个元素可看成n维向量空间的一点.

设a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),则

a+b=(a1+b1,a2+b2,…, an+bn),

λa=(λa1,λa2,…,λan),λ∈R,

|a|=.

n维空间中,点A(a1,a2,…,an)与B(b1,b2,…,bn)的距离dA,B=.

利用向量的运算可解决许多实际问题.

为研究某种商品的销售量是否随季节的变化而出现规律性的变化,采集了5年该种商品每月销售量的数据.每年该商品的销售量可用12个月的销售量所形成的12维向量表示.不妨设5年的销售向量分别为

a1=(a11,a12,…, a122);

a2=(a21,a22,…, a222);

a3=(a31,a32,…, a312);

a4=(a41,a42,…, a412);

a5=(a51,a52,…, a512).计算这5年的月平均销售向量

1/5(a1+a2+a3+a4+a5),观察这一向量的12个分量,就可看出这5年月平均销售量是否与季节的变化有关.

上面是一个应用向量线性运算的例子.下面我们再来看用距离概念解决实际问题的例子.

某企业要为一万名职工制作工作服,测量每人身高、胸围、腰围三个指标.每个人的身材用三维向量表示,并把它看作三维空间中的一个点.现准备制作五种型号的服装,需要测量每种型号的服装制作多少套.用数学语言来描述,就是如何将一万个点分成五类.一种常用的分类方法是依据距离来分类.五种标准型号为五个点,用两点距离的计算公式,计算每个人的身材点与五个标准点的距离,与哪个标准点的距离最近就归哪一类.最后,计算出属于每一类的点数,就是这一类服装所需要的套数(实际计算中应将数据标准化).如今是计算机的世界,上述计算不再令人生畏,向计算机输入数据,计算机能在很短时间内完成计算任务.

如果同学们留意的话,会发现有关向量应用的例子比比皆是.

从以上两个例子可以看出,有序实数组构成的向量,比几何向量的应用更加广泛.在日常生活和科学研究中,有许多量都可由实数组构成的向量来表示,并可用向量理论研究这些量的性质.

  1. 选学
 第三章 三角恒等变换

第三章 三角恒等变换

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3.1 和角公式

3.2 倍角公式和半角公式

3.3 三角函数的积化和差与和差化积

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我们已经学过诱导公式,如

sin(α+π/2)=cosα, cos(α+π/2)=-sinα,

sin(α+π)=-sinα, cos(α+π)=-cosα.

可以这样来认识以上公式:把角α的终边转动π/2,则所得角α+π/2的正弦、余弦分别等于cosα和-sinα.把角α的终边转动π,则所得角α+π的正弦、余弦分别等于-sinα和-cosα.

由此使我们想到一个一般性的问题:如果把角α的终边转动β(度或弧度),那么所得角α+β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示?

让我们再来考察观览车问题.

右图是观览车的示意图.我们考察观览车转轮上的两个座椅P,Q的转动.设转轮静止时,OP平行于地面.现在的问题是,当座椅P转动角α后,如果知道座椅P到地面的距离,如何计算座椅Q到地面的距离?

以转轮的中心O为坐标原点建立直角坐标系xOy,不妨设观览车的转轮半径为单位长.由于转轮中心O到地面的距离为定值,则上述问题就可转化为如下的数学问题:

已知单位圆上两点P,Q,记∠xOP=α,∠POQ=β,则点P的纵坐标为sinα,点Q的纵坐标为sin(α+β).

由问题的已知条件,容易求出sinα,cosβ.现在要问,能否由α,β的正弦和余弦值求出sin(a+β)?

事实上,我们在研究三角函数的变形或计算时,经常提出这样的问题:能否用α,β的三角函数去表示α±β的三角函数?为了解决这类问题,本章首先用向量方法推证α—β的余弦与α,β的正弦、余弦的关系式,进而研究α±β的正弦、正切公式.在此基础上推证倍角公式、半角公式以及积化和差、和差化积公式.这些公式是进行三角恒等变换的基础,有着广泛的应用.

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3.1 和角公式

3.1.1 两角和与差的余弦

在这一节我们来研究,如果知道了α,β的三角函数,如何计算α+β,α-β的三角函数.

让我们来证明关系式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.这两个公式分别记作Cαβ,Caβ.

证明:以坐标原点为中心作单位圆(图3-1),以Ox为始边作角α与β,它们终边分别与单位圆相交于点P,Q,则

P(cosα, sinα), Q(cosβ, sinβ),||=||=1.因此存在k∈Z,使得α-β=〈〉+2kπ或α-β=-〈〉+2kπ成立.因为

·=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)

=cosαcosβ+sinαsinβ,

·=||||cos〈

=cos(α-β).所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.于是

cos(α+β)=cos[α-(-β)]

=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)

=cosαcosβ-sinαsinβ.

图3-1

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3.1.2 两角和与差的正弦

求证:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(Sα+β)

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(Sαβ

证明:sin(α+β)=cos[-(α+β)+π/2]

=cos[(-α+π/2)-β]

=cos(-α+π/2)cosβ+sin(-α+π/2)sinβ

=sinαcosβ+cosαsinβ;

sin(α-β)=sin[α+(-β)]

=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)

=sinαcosβ-cosαsinβ.

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由例5可知:几个振幅和初相不同,但频率相同的正弦波之和,总是等于另一个具有相同频率的正弦波,同时可求得这个正弦波的振幅和初相.

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3.1.3 两角和与差的正切

我们知道,

tan(α+β)=

=

把后面一个分式的分子、分母分别除以cosαcosβ(cosαcosβ≠0),得

tan(α+β)=.(Tαβ

把公式中的β换为-β,得

tan(α-β)=.(Tαβ

在两角和与差的正切公式中,α和β的取值应使分母不为零.

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3.2 倍角公式和半角公式

3.2.1 倍角公式

在公式Sαβ,Caβ,Taβ中,令α=β,就可得出相应的二倍角的三角函数公式

sin2α=2sinαcosα,(S2a

cos 2α=cos^(2)α-sin^(2)α

=2cos^(2)α-1

=1一2sin^(2)α,(C2a

tan 2α=.(T2a)上面三个公式,称作倍角公式.

有了二倍角的三角函数公式,就可以用单角的三角函数表达二倍角的三角函数.

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3.2.2 半角的正弦、余弦和正切

由二倍角公式,可得

cosα=cos(2×α/2)=1-2sin^(2)α/2=2cos^(2)α/2-1,即

2sin^(2)α/2=1-cosα;

2cos^(2)α/2=1+cosα.所以

cosα/2=±;(

sinα/2=±.()把两式的两边分别相除,得

tanα/2=±.(

上面三个公式,称作半角公式.

在半角公式中,根号前的正负号,由角α2所在象限确定.

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3.3 三角函数的积化和差与和差化积

在求解三角函数的有关问题中,有时需要把三角函数的积化为和或者差,有时又需要把和或者差化成积的形式.

考察公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

sin(α-β)=sinαcosβ—cosαsinβ.请同学自己导出下面的积化和差的公式

cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)];

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)];

sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];

cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)].

从上面这四个公式,又可以得出

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ;

sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ;

cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ;

cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ.

设α+β=x,α-β=y,则α=x+y/2,β=x-y/2

这样,上面得出的四个式子可以写成

sin x+sin y=2sin x+y/2cos x-y/2;

sin x-sin y=2cos x+y/2sin x-y/2;

cos x+cos y=2cos x+y/2cos x-y/2;

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cos x—cos y=-2sin x+y/2sin x-y/2.

利用这四个公式和其他三角函数关系式,我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式.

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本章小结

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阅读与欣赏

和角公式与旋转对称

图3-7,考察正三角形ABC,点()是它的中心,则

∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

如果∠ABC绕点O旋转120°,即A→B→C→A,则∠ABC与自身重合,这时我们说正三角形是关于120°角的旋转对称图形.

图3-7

一般地,如果一个平面图形绕定点旋转θ角,仍与自身重合,则这个图形叫做θ角旋转对称图形.例如任一个正方形都是90°角的旋转对称图形.

图3-8

定理:设直线l1,l2相交于点O,〈l1,l2〉=θ,则关于l1,l2连续作轴对称变换,等效于绕点O作2θ角的一个旋转变换.

图3-8所示,P,Q关于l1对称,Q,R关于l2对称.容易看出∠POR=2θ.

这个定理表明,任意旋转变换都可以分解为两个轴对称变换的乘积.

在第一章证明π/2+α的诱导公式时,我们就应用了上述轴对称与旋转对称的性质.如图3-9所示.

图3-9

α终边作π/2旋转到达α+π/2等于两次轴对称变换的复合:作轴y=x的对称变换,再作关于y轴的对称变换.

设P(cosα,sinα),则

R(-sinα, cosα),

cos(α+π/2)=-sinα,

sin(α+π/2)=cosα.

这样,如果我们知道平面上任意一点P的坐标(a,b),点P绕原点O转π/2角后到达点R,设点R的坐标为(x,y),则由上述关系我们可证

x=-b,

y=a.

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图3-10

在本章,我们又用向量的数量积证明了和角公式.作为和角公式的应用,我们证明了点的旋转公式(如图3-10):

如果点P(x,y)与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到P'(x',y'),则

这样,我们就可用数学方法研究平面图形旋转的性质.

由本文的分析,我们可看到旋转对称、和角公式、点的旋转公式与向量的内积存在着深刻的联系.

 第一章 相似三角形定理与圆幂定理

第一章 相似三角形定理与圆幂定理

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本章采取我国古代数学家研究几何使用的寓理于算和综合推理的方法,学习相似形和圆的相关性质.我们以长度与面积的理论为基础,由三角形和梯形的面积公式证明相似形判定定理,并证明相似三角形的一些重要性质,进而探索直角三角形相似与锐角三角函数之间的内在联系,从中体会这些图形之间的逻辑关系.在第二大节应用相似三角形的性质研究与圆有关的角和成比例的线段.通过这一章的学习与训练,进一步提高大家对数学命题论证的能力和逻辑思维能力.

《周髀算经》

1.1 相似三角形

1.1.1 相似三角形判定定理

我们知道,形状相同的图形叫做相似形.在初中我们通过直观探索,得出了相似三角形的特征性质,这一节我们对相似三角形的判定方法和性质作一简要的回顾,并揭示它们之间的逻辑关系.

如果在两个三角形中,对应角相等、对应边成比例,则这两个三角形叫做相似三角形(similar triangle).

图1-1

图1-1,在△ABC与△A'B'C'中,如果

∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',

===k,

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则△ABC与△A'B'C'是相似三角形.记作△ABC∽△A'B'C',读作:△ABC相似于△A'B'C'.

设相似三角形对应边的比值为k,则k叫做相似比(或相似系数).

我们已经知道,判定两个三角形是否相似,并不需要对定义中的条件逐一验证.在初中,已通过观察、实验,归纳出三个相似三角形判定定理:

判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似.

判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似.

判定定理3 两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似.

下面我们用面积公式证明第一个判定定理.

已知:在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'(图1-2).

求证:△ABC∽△A'B'C'.

证明:由已知可推知∠C=∠C'.

如果AB=A'B',则△ABC≌△A'B'C',这时定理显然成立.

设AB〉A'B',在△ABC的AB和AC边上分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE,得

△ADE≌△A'B'C'.

于是∠B=∠ADE,所以DE∥BC.作BC边上的高AG,交DE于点F,则AF⊥DE.用S表示图形的面积,则

S△ABC=S△ADE+S梯形DBCE.

1/2BC×AG=1/2DE×AF+1/2(DE+BC)×(AG-AF).

展开合并,整理得=.因此

==

=·

=()^(2)=()^(2).①

同理可证=()^(2)=()^(2).所以

==.

又因为∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',所以

△ABC∽△A'B'C'.

图1-2

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下面我们证明判定定理2.

已知:在△ABC和△A'B'C'中,==.

求证:△ABC∽△A'B'C'.

证明:如果AB=A'B',则两个三角形全等,定理显然成立.不妨设AB〉A'B'.

在AB上截取线段AD=A'B',过D作DE∥BC交边AC于点E,则

∠ADE=∠B,∠AED=∠C.

由判定定理1,可得△ADE∽△ABC.故

==.

又已知====.由于AD=A'B',所以

==

所以B'C'=DE,A'C'=AE.因此△ADE≌△A'B'C'.所以

△ABC∽△A'B'C'.

用类似的方法可以证明判定定理3,留给同学们作为练习.

图1-3

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1.1.2 相似三角形的性质

性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比.

已知:△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,AD,AM分别是△ABC的BC边上的高、中线,A'D',A'M'分别是△A'B'C'的B'C'边上的高、中线.求证:

(1)==k;

(2)=k.

证明:(1)先证=k.如图1-6.

因为△ABC∽△A'B'C',所以∠B=∠B'.

又因AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以

△ABD∽△A'B'D'.

所以==k.

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另一个等式,请同学们自己证明.

(2)因为△ABC∽△A'B'C',所以可设

===k,

即AB=kA'B',BC=kB'C',CA=kC'A',由此得

AB+BC+CA=k(A'B'+B'C'+C'A'),

=k.

性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方.

已知:△ABC∽△A'B'C',且相似比为k(图1-6).

求证:=k^(2).

证明:==·=k·k=k^(2).

1-6

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这使我们再一次证明了勾股定理。

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1.1.3 平行截割定理

平行截割定理 三条平行线截任两条直线,所截出的对应线成比例.

已知:l1∥l2∥l3,两条直线与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C与D,E,F(图1-9).

求证:=.

证明:过点B作DF的平行线分别与l1,l3相交于G, H.

由于l1∥l3,得

∠GAB=∠BCH,∠BGA=∠BHC,

所以△BCH∽△BAG.(相似三角形判定定理1)

因此=.

又因四边形GBED和BHFE都是平行四边形,由此可得

GB=DE, BH=EF,

因此=.

图1-9

推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.

想想看,经过三角形一边中点并且与另一边平行的直线,是否必平分第三边(图1-10)?

图1-10

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图1-11

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1.1.4 锐角三角函数与射影定理

由直角三角形相似的条件可知,含有相等锐角α的所有直角三角形都相似(图1-13),由此我们定义了锐角三角函数(或三角比):

sinα=α的对边/斜边,cosα=α的邻边/斜边,tanα=对边/邻边.

这就是说,在一个锐角等于α的所有直角三角形中,对边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边的比值分别都相等.

由以上分析可知,锐角三角比不过是相似直角三角形性质的另一种表达形式.这种表达方式更加精炼地表述了相似直角三角形的性质.

下面我们用锐角三角比,进一步研究直角三角形的一些重要性质.

已知:CD是Rt△ABC的斜边AB上的高(图1-14).求证:

(1)AC^(2)=AD·AB;

(2)BC^(2)=BD·AB;

(3)CD^(2)=AD·BD.

证明:(1)在图1-14中,含有∠A的直角三角形有两个,Rt△ACD和Rt△ABC,于是

cos A==.

因此AC^(2)=AD·AB.

图1-13

1-14

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(2)含有∠B的直角三角形有两个,Rt△CBD和Rt△ABC,于是

cos B==.因此BC^(2)=BD·AB.

(3)在Rt△ACD和Rt△CBD中,∠A=∠BCD,于是tan∠A=tan∠BCD,由此可得

=,即CD^(2)=AD·BD.

AD,BD是直角边AC,BC在斜边AB上的正射影.所以上面得到的两个结论,通常叫做射影定理.射影定理可用自然语言叙述如下:

射影定理 直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项.

目前,可以查到的证明勾股定理的方法有很多,你能用射影定理的结论证明勾股定理吗?

图1-15

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1.2 圆周角与弦切角

1.2.1 圆的切线

图1-16所示,任给一个圆和一条直线.让我们考察圆心到直线的距离.

如果直线AB和⊙O的圆心O的距离OD大于圆的半径OC,则点D在圆外.在直线AB上任取一点M,则

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OM〉OD〉OC.

由此我们可以推知点M一定在⊙O外,所以AB上任一点都在⊙O外,于是⊙O和直线AB便没有公共点.这种情况,我们说直线和圆相离.

容易证明,如果圆心到一条直线的距离小于半径,则这条直线和该圆一定相交于两点.这时我们说直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线.

图1-17,设⊙O的一条割线与⊙O相交于A,B两点,让AB以点A为中心旋转,则另一交点B沿圆周向点A移动,同时圆心O到AB的距离OD逐渐增大,当点B与点A重合时,直线AB变为直线AT,这时弦心距离OD长变为OA.即,圆心O到直线AT的距离等于圆的半径,同时应有OA⊥AT.直观上可以看到直线AT与圆只有一个公共点A.

定义:如果一条直线与一圆只有一个公共点,则这条直线叫做这个圆的切线,公共点叫做切点.

图1-16

图1-17

在生产实践和日常生活中,常常会遇到直线与圆相切的问题.例如,火车的车轮与铁轨、传动带与转轮等.

下面我们来研究直线与圆相切的判定与性质.

圆的切线判定定理 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线,是圆的切线.

已知:OA是⊙O的一条半径(图1-18),直线l过点A,并且l⊥OA.

求证:l是⊙O的切线.

证明:设点B是l上不同于点A的任一点,则

OB〉OA.

于是点B必在圆外,所以l和⊙O只有一个公共点,即l与⊙O相切.

圆的切线的性质定理 圆的切线垂直过切点的半径.

已知:直线l是⊙O的切线,A为切点(图1-19).

求证:OA⊥l.

证明:用反证法.

假如l不与OA垂直.自圆心O引OB垂直l于点B,则以OB为对称轴,点A应有一个对称点A'在l上,由圆关于任一条直径成轴对称可知点A'也应当在圆上,这样l就和⊙O有两个公共点了,这与已知l与⊙O相切矛盾.

所以OA⊥l.

图1-18

图1-19

注:这一定理和必修课程数学2中立体几何初步一章中的一些定理的证明应用了反证法:先设要证结论的反面成立;再由所设推出与已知矛盾,或与某个真命题矛盾,

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或自相矛盾;从而否定所设,证出要证的结论.这种证题的方法叫做反证法.

注:根据已知条件,使用允许的作图方法,经过有限步作图步骤,作出满足这些条件的图形,在几何中叫做作图题.在古希腊的几何作图中,作图工具也作了限制.常常限制只使用圆规和无刻度的直尺作图.这种限制对揭示图形性质、挑战人类的智慧以及训练初学者的逻辑思维能力方面起到过一定的作用.在练习中我们提供一些作图题供有兴趣的同学练习.

作为练习,请同学们自己证明切线的判定定理和性质定理的几个推论.

推论1 从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等.

推论2 经过圆外的一个已知点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.

图1-21

过圆外一点能作圆的几条切线?

定义:与一三角形三边都相切的圆,叫做这个三角形的内切圆.与三角形的一边和其他两边的延长线都相切的圆,叫做三角形的旁切圆(图1-21(2)).

显然一个三角形有三个旁切圆.

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1.2.2 圆周角定理

在初中我们已学过圆心角,如图1-22所示,∠AOB为圆O的一个圆心角.为∠AOB所对的弧,并规定与∠AOB具有相同的度数.例如,∠AOB等于45°,则也等于45°.

这一节,我们研究另两类与圆有关的角:圆周角和弦切角及其度量.

从⊙O上任一点P引两条分别与该圆相交于点A和B的射线PA,PB,叫做∠APB所对的弧,∠APB叫做所对的圆周角.

不看下文,先想想看,上的圆周角的度数与所对圆心角的度数有什么关系?然后思考能否证明你的结论.

圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.

已知:⊙O中,所对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC(图1-23).

求证:∠BAC的度数=1/2的度数该式也可写成∠BAC=1/2<img class="tp-zz" src="images/cs010032t0014001zh.jpg" alt=""/>°..

分析:圆心与圆周角的位置关系有且仅有以下三种情况:

(1)圆心在∠BAC的一条边上,如图1-23(1);

(2)圆心在∠BAC的内部,如图1-23(2);

(3)圆心在∠BAC的外部,如图1-23(3).

应用计算机软件(如几何画版)在屏幕上作一个圆,如图1-22,使P点可以拖动.

1.结合拖动P点,认识什么是圆心角,什么是圆周角.

2.在拖动的过程中观察∠APB度数的变化.及其与∠AOB、∠AEB的大小有什么关系.

通过第2步的观察,你可以提出什么猜想?

1-22

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图1-23

容易看出,只要证明情况(1),对其他两种情况,只要作出直径AD,就分别可把它们转化为情况(1)来证明.

证明:分三种情况讨论.

(1)图1-23(1)中,圆心O在∠BAC的一条边AB上.

作半径OC,在△AOC中,因为OA=OC,所以

∠C=∠BAC.

又因为∠BOC是△AOC的外角,所以

∠BOC=∠BAC+∠C=2∠BAC.

∠BAC=1/2∠BOC.

又知∠BOC的度数=的度数,所以

∠BAC的度数=1/2的度数.

(2)〉图1-23(2)中,圆心O在∠BAC的内部,作直径AD,由结论(1)可得

∠BAD的度数=1/2的度数,

∠DAC的度数=1/2的度数.

又因为∠BAC=∠BAD+∠DAC,所以

∠BAC=1/2的度数+1/2的度数

=1/2的度数.

(3)图1-23(3)中,圆心O在∠BAC的外部,作直径AD,由结论(1)可得

∠BAD的度数=1/2的度数,

∠DAC的度数=1/2的度数.

又因为∠BAC=∠DAC-∠BAD,所以

∠BAC=1/2的度数-1/2的度数

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=1/2的度数.

因为圆心与圆周角的位置关系有且仅有以上三种情况,因而定理获证.

根据圆周角定理,请同学们自己证明下面的推论.

推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角.

推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等.

推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径.

图1-24

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图1-27

注:在证明圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径上的圆周角,以便利用直径上的圆周角是直角这一性质.

1.2.3 弦切角定理

图1-28所示,PA为⊙O的弦,射线PC交⊙O于B.让我们考察圆周角∠APB,顶点P不动,点B沿圆周向点P移动,当射线PC变为圆的切线时,终止移动.这时,∠APC的顶点在圆周上,一边和圆相交,另一边和圆相切于顶点P,这样的角叫做弦切角.图中叫做弦切角∠APC所夹的弧.

从上面的考察和弦切角的定义,你是否能够猜出,弦切角与它所夹弧的度数之间有什么关系吗?

弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.

已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,是弦切角∠BAC所夹的弧,∠P是所对的圆周角(图1-29).

求证:∠BAC的度数=1/2的度数.

分析:因为圆心与弦切角有且仅有如下三种位置关系:

(1)圆心在弦切角的边AC上,如图1-29(1);

(2)圆心在弦切角的外部,如图1-29(2);

图1-28

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(3)圆心在弦切角的内部,如图1-29(3).

因而,我们就分三种情况给予证明.因为第一种情况较特殊,并且由直径所对的圆周角是直角易证得∠BAC=∠P.其他两种情况只要过点A作直径AQ,再借助其与直角的关系即可证明.

证明:分三种情况讨论.

(1)圆心O在∠BAC的边AC上(图1-29(1)).

因为AB是⊙O的切线,所以

∠BAC=90°.

又因为是半圆,所以

∠P=90°.

所以∠BAC=∠P.

(2)圆心O在∠BAC的外部(图1-29(2)).

作⊙O的直径AQ,连接CQ.

因为∠BAQ=∠ACQ=90°,所以

∠BAC=90°-∠1,∠Q=90°-∠1.

所以∠BAC=∠Q.

又因为∠Q=∠P,所以

∠BAC=∠P.

(3)圆心O在∠BAC的内部(图1-29(3)).

作⊙O的直径AQ,连接QP.

图1-29

因为

∠BAC=90°+∠QAC,∠APC=90°+∠QPC,

∠QAC=∠QPC,所以∠BAC=∠P.

因为圆心与弦切角有且仅有上述三种位置关系,所以

∠BAC的度数=1/2的度数.

用计算机软件作图1-28,拖动射线PC让点B在圆周上移动.观察∠APC与度数的关系,当PC与⊙0相切,B与P重合时,会出现什么情况?

由此你可以得出什么猜想?

弦切角定理及前面圆周角定理的证明,都是分几种情况进行的,由此应体会和注意对问题进行分类讨论的方法.

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推论 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.

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1.3 圆幂定理与圆内接四边形

1.3.1 圆幂定理

图1-32,如果弦AB和CD交于⊙O内一点P,则图中相等的角有哪些?由此能得到哪两个三角形相似?并推出哪些线段成比例?

由上面的探讨,我们可得以下结论:

相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.

已知:弦AB和CD交于⊙O内一点P(图1-32).

求证:PA·PB=PC·PD.

证明:连接AC,BD.由圆周角定理可得

△PAC∽△PDB

PA:PD=PC:PB

PA·PB=PC·PD.

切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

已知:如图1-33,点P是⊙O外一点,PT是切线,T是切点,割线PBA与⊙O分别相交于点B,A.

求证:PT^(2)=PA·PB.

证明:连接TA,TB.

△BPT∽△TPAPB:PT=PT:PA.

因此PT^(2)=PA·PB.

用计算机作图1-32,使P点可以在平面上拖动:(1)研究相交弦定理中的结论是否还成立?(2)当拖动P点到圆外且使直线PAB与圆相切时情况如何?

1-32

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让我们对相交弦定理与切割线定理作进一步的分析.

观察图1-34的(1)和(2),由切割线定理和相交弦定理不难看出,不论点P在圆内或圆外,通过圆的任一条割线交圆于A,B两点,只要点P的位置定了,则PA·PB都是定值.设定值为k,则:

当点P在圆外时,由切割线定理,可得

k=PA·PB=PT^(2)=PO^(2)-r^(2)(r表示⊙O的半径).

当点P在圆内时,过点P作AB垂直OP,则

k=PA·PB=PA^(2)=r^(2)-PO^(2).

如果点P在圆上,显然k=0.

总结以上分析,我们得到:

圆幂定理通常把这里的定值k称做点P对⊙O的幂,因此这一定理被称为圆幂定理. 已知⊙(O,r),通过一定点P,作⊙O的任一条割线交圆于A,B两点,则:

当点P在圆外时,k=PO^(2)-r^(2);

当点P在圆内时,k=r^(2)-OP^(2);

当点P在⊙O上时,k=0.

图1-33

图1-34

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1.3.2 圆内接四边形的性质与判定

1.圆内接四边形的性质

我们知道,圆的内接四边形的四个顶点都在同一个圆上,所以它的四个内角都是圆周角.这样,我们就可以利用圆周角定理,来研究圆的内接四边形.

图1-38,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形.∠A称为∠DCB的对角,同时又称为外角∠DCE的内对角.

请同学们自己证明下面的圆内接四边形的性质定理.

定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.

图1-38

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2.圆内接四边形的判定

我们知道,不在同一直线上的三个点确定一个圆.那么在同一平面内,过不在同一直线上的四个点能否画一个圆?让我们一起探索四个点共圆的条件.

从圆的定义可得到:在平面内四个点A,B,C,D,只要它们与某定点O的距离相等,即AO=BO=CO=DO,就可得出这四个点在同一个圆上.

除此之外还有没有办法判定四点共圆呢?这就要先从圆内接四边形的性质定理的逆命题进行研究.

实际上,圆的内接四边形的性质定理有下面的逆定理:

定理 如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.

已知:四边形ABCD中,∠B+∠D=180°(图1-41).

求证:四边形ABCD内接于圆.

图1-41

分析:要证明四边形ABCD内接于圆,即证明A,B,C,D四点在同一个圆上,因为A,B,C三点不在同一直线上,可以确定一个圆,所以只要证明第四点D也在这个圆上就可以了,但直接证明点D在圆上比较困难,现在我们采用一种间接证明的方法(反证法).

证明:经过四边形三个顶点A,B,C作⊙O.

假设点D不在圆上,那么只有两种情况:(1)点D在圆外;(2)点D在圆内.

(1)假设点D在圆外(图1-41(1)),连接BD交⊙O于点D',连接AD',CD'.

因为∠AD'B,∠BD'C分别是△AD'D,△CD'D的外角,所以

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∠AD'B〉∠ADB,

∠BD'C〉∠BDC,所以∠AD'B+∠BD'C〉∠ADB+∠BDC,即

∠AD'C〉∠ADC.

又因为∠ADC+∠ABC=180°,所以

∠AD'C+∠ABC〉180°.

这与圆内接四边形性质定理矛盾.

所以点D不能在圆外.

(2)同(1)类似可证明点D不能在圆内(图1-41(2)).

所以点D在⊙O上.

即四边形ABCD是⊙O的内接四边形.

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本章小结

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阅读与欣赏

欧几里得

欧几里得(Eu-clid,约前330-前275)是古希腊最伟大的数学家之一.早年在雅典受教育,熟知柏拉图的学说.公元前300年左右,受托勒密王(前364-前283)之邀,到埃及统治下的亚历山大城工作,长期从事教学、研究和著述.他写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作,而以巨著《原本》最闻名于世.《原本》原有13卷,后人又补充2卷.这本著作的原稿早已失传,现存的是公元4世纪末西翁的修订本和18世纪在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄原本.这部西方世界现存最古老的数学著作,为两千年来用公理法建立演绎的数学体系树立了最早的典范.德摩根曾说,除了《圣经》,再没有任何一种书像《原本》这样拥有如此众多的读者,被译成如此多种语言.从1482年到19世纪末,《原本》的各种版本竟用各种语言出了1000版以上.明朝万历年间(1607),徐光启和意大利传教士利玛窦把前6卷译成中文出版,定名为几何原本.几何这个数学名词就是这样来的.《几何原本》是中国近代翻译的第一部西方数学著作.

在《几何原本》中,欧几里得首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义,接着给出了关于几何和关于量的十条公理,如凡直角都相等、整体大于部分以及后来引起许多纷争的平行线公理等等.公理后面是一个一个的命题及其证明,内容十分丰富.比如有平面作图,勾股定理,余弦定理,圆的各种性质,空间中平面和直线的垂直、平行和相交等关系,平行六面体、棱锥、棱柱、圆锥、圆柱,球等问题,此外还有比例的理论,正整数的性质与分类,无理量等等.公理化结构是近代数学的主要特征,而《几何原本》则是公理化结构的最早典范,它产生于两千多年前,这是难能可贵的.欧几里得完成巨著《几何原本》并不是偶然的.除了他自己的天分和勤奋外,在他之前已有许多希腊数学家作了大量的开拓性工作,积累起了许多数学知识.不过这些知识是零碎的、不连贯的,可以比作砖瓦、木石.欧几里得的伟大贡献在于他创造性地吸收并发展了前人的研究成果,用公理化方法建立起了一套完善的演绎体系,把这些零碎的、不连贯的数学知识进行分类、比较,揭示彼此间的内在联系,组织在一个严密的系统之中.就好像一位高明的建筑师把木石、砖瓦建成巍峨的大厦一样.

古籍中记述的两则故事说明了欧几里得的治学态度.一个故事说:托勒密国王问欧几里得,除了他的《几何原本》之外,有没有其他学习几何的捷径.欧几里得回答道:几何无王者之道.意思是在几何学里,没有专门为国王铺设的大路.这句话后来被引申为求知无坦途,成为千古传诵的箴言.另一个故事说:一个学生才开始学习第一个

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命题,就问学了几何之后将得到些什么.欧几里得说:给他三个钱币,因为他想在学习中获取实利.从古籍记载的这两则故事可知,欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研,不赞成投机取巧、急功近利的作风,也反对狭隘的实用观点.

除《几何原本》外,欧几里得还有不少著作,如《已知数》、《图形的分割》、《纠错集》、《圆锥曲线》、《曲面轨迹》、《观测天文学》等,可惜大都失传.不过,经过两千多年历史的考验,影响最大的仍然是《几何原本》.

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附录

不可公度线段的发现与逼近法

在几何学的发展中,人们对两条线段的比的认识经历了非常艰辛的历史过程.回顾这一段历史对我们现在学习数学也有着重要的意义.

公元前六、五世纪,古希腊几何学家曾经论断:

任意两个线段的比都是可公度的.

这就是说,对任意两条线段a,b总可以找到适当的线段u,使得a,b的长度都是u的整数倍,即存在实数m,n,使

a=mu, b=nu,于是a/b=m/n.

即这两条线段的比是一个分数.

古希腊几何学家以上述论断为基础,对许多重要的几何定理给出了证明.例如长方形面积等于长乘宽;相似三角形的判定定理等.大家肯定会记得在小学学习长方形面积公式时,先对长和宽都是整数的情形进行验证,如果是一位小数我们就把单位化小,取其单位长十分之一进行度量,这样就把要度量的长方形分割为更小的正方形去进行度量,从而再一次的验证了长方形的面积等于长乘宽.大家当时不知是否想过,是否存在这样的线段,无论用多么小的单位去量,都会量不尽?这个问题如果用实践的办法是很难回答的.

古希腊的几何学家,经过了一段时期的思考和研究,最后推翻了上述结论.

公元前五世纪中期,古希腊几何学家希伯斯发现并证明五边形的边长和对角线长是不可同时公度的.它们的比值不能用分数来表示.随后几何学家又证明了正方形的对角线与边长的比也不能用分数来表示.这些发现在数学发展史中是划时代的,这说明基于两条线段的比是一个分数所证明的定理都是不完全的.这就动摇了古希腊整个几何理论的基础,给古希腊的推理几何学带来了空前的危机和挑战.

如何来解决这个危机?古希腊几何学家大约经过半个世纪的努力研究,终于建立了一套理论,克服了不可公度的障碍.这套理论的核心思想是逼近法.下面说明,用逼近法证明长方形面积公式的主要思路,从而领略一下逼近法的思想.

设长方形的边长分别为a,b,如果用单位长u能整量a和b,即存在l和w使

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a/u=l, b/u=w.

即a,b的长都可用分数来表示.对这种情形,我们总可通过平行分割的办法,加以证明.证明留给同学作为练习.下面我们来证明l和w不是分数的情况.

已知长方形ABCD.如图,我们可以取适当的单位长u,作两个长方形序列,一组在长方形的内部,其他的长和宽都小于原长方形长和宽,记为{ABnCnDn},另一组长和宽都大于原长方形长和宽,记为{ABn'Cn'Dn'}.存在序列{ln},{wn},{ln'},{wn'},使

长方形ABnC。Dn的边长ABn=lnu,ADn=wnu,

长方形ABn'Cn'Dn'的边长ABn'=ln'u,ADn'=wn'u.

于是有

长方形ABnCnDn的面积≤长方形ABCD的面积≤长方形ABn'Cn'Dn'的面积.

上面的不等式左右两个长方形的边长都可用分数表示,所以

lnwn≤lw≤ln'wn'.

我们可通过单位逐渐变小,使ln,wn逐渐增大,ln',wn逐渐变小.于是夹逼原长形的两个长方形的面积差ln'wn'-lnwn逐渐变小,可以想像,它们最后必然相等.当然被夹在中间的数lw也必然与它们相等.

这说明,长方形的面积在任何情况下都等于长乘宽.

长方形面积公式是我们推导其他图形面积的基础.本章的相似三角形第一个判定定理也是由三角形面积和梯形面积公式推出的.只有完全的证明了长方形的面积公式,才能说明我们在本章的一些证明是正确的.

请同学们再一次想一想,弄清楚两条线段比值的意义何在.

理性证明是数学的本质所在.

  1. 该式也可写成∠BAC=1/2</li>
<li>通常把这里的定值k称做点P对⊙O的幂,因此这一定理被称为圆幂定理.</li>
</ol>
<html xmlns= 第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线

    第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线

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    本章第一大节是论证平行投影的性质,然后通过平行投影变换在圆柱面内探索圆与椭圆之间的关系.第二大节,用圆柱或圆锥面的内切球探索圆锥曲线的特征性质,各自给出椭圆、双曲线、抛物线的定义,以及它们的统一定义,揭示它们之间的内在联系.

    Dandelin双球

    2.1 平行投影与圆柱面的平面截线

    2.1.1 平行投影的性质

    在数学2的立体几何初步中,我们学习了平行投影的有关概念和性质.我们知道:

    如果直线l与平面α相交(图2-1).过任一个图形F上任一点M作直线平行于l,交平面α于点M',则点M'叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影(或象).如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F',则F'叫做图形F在α内关于直线l的平行投影.平面α叫做投射面,l叫做投射线.

    另外还通过实验和观察,归纳出平行投影具有下述性质(直线与投影线不平行):

    1。直线或线段的平行投影仍是直线或线段;

    2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线(图2-2(1));

    3.平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;

    4.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等(图2-22);

    5.在同一直线或平行直线上.两条线段平行投影的比等于这两条线段的比(图2-2).

    我们来证明(1)和(5),其他作为练习,请同学们自己证明.

    如图2-2(2),设线段AB的两个端点A,B在平面α内的投影为A',B'.

    因为AA'∥BB',所以它们确定一平面ABA',并且A'B'为平面ABA'和平面α的交线.

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    在AB上任取一点M,设M'是M的平行投影,则M'既在平面α内,又在平面ABA'内,所以它一定在交线A'B'上;反之对A'B'上任一点M',可求得一点M与M'对应.因此可证,直线或线段的平行射影仍是直线或线段.如果线段AB在平面α内关于直线l的平行投影是A'B'(图2-2),点M在AB上,且AM:MB=m:n,则点M的平行投影M'在A'B'上,由平行线分线段成比例定理得

    A'M':M'B'=m:n.

    2.1.2 圆柱面的平面截线

    我们知道,如果一个平面垂直于一圆柱的轴,截圆柱所得的截线为一圆.现在我们来考察,如果一个平面与圆柱的轴所成角为锐角,截圆柱所得的截线的形状是什么样的.

    图2-3,设⊙O为垂直于圆柱轴线所截得的圆.一平面σ与圆柱的轴线所成的角为锐角α,它与圆柱所截得的曲线,记为m.让我们来研究⊙O与曲线m的关系.

    显然,曲线m是⊙O在平面σ内的平行射影,同样⊙O为曲线m在⊙O所在平面(记为δ)内的平行射影(正射影).由平行射影的性质,圆心O在平面σ内的射影O'为曲线m的对称中心(平行投影后线段的中点仍为中点).

    设平面σ与⊙O所在平面δ的交线为l.在平面δ内,过圆心O作l的垂线交⊙O于A,B两点,设A,B在平面σ投影为A',B',作与⊙O直径AB垂直的直径CD,设直径在平面σ内的射影为C'D',则C'D'∥l.

    因此,由平行投影的性质可得

    CDC'D'.

    由以上分析可看到,⊙O内与CD平行的弦在平面σ内的平行射影,其长度不变,平行于AB的弦在平面σ内的平行射影,其长度发生了变化(拉长).例如

    AB=A'B'sinα,即A'B'=.

    下面,我们证明曲线m是一个椭圆.

    图2-3,分别以⊙O,⊙O'的圆心为两个坐标原点,AB,A'B'为横轴,CD,C'D'为纵轴建立两个直角坐标系xOy和x'O'y'.

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    设M(x,y)为⊙O上任一点,点M在曲线m上的平行投影为点M',在坐标系x'O'y'中的坐标为(x',y'),根据平行投影的性质和线段在平面内投影的计算公式,可得

    x'=,y'=y.①

    设⊙O的半径为r,则得⊙O的方程为x^(2)+y^(2)=r^(2).

    由①式,解出x,y,代入⊙O的方程,整理可得

    =1.

    这个方程表示一个椭圆,所以曲线m是一个椭圆.

    2.2 用内切球探索圆锥曲线的性质

    2.2.1 球的切线与切平面

    1.球的切线

    以点O为球心,r半径的球记为球O(O,r).

    图2-4所示.给定一个球O(O,r),过该球的任一条半径OM的外端M,作OM的垂线MN,容易证明直线MN与球O只有唯一的公共点M(请同学类比圆的切线性质,自己证明).

    定义 与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线.

    与圆的切线类似,球的切线具有下述性质:

    球的切线垂直于过切点的半径.

    如果球的切线通过一点P(图2-4),切点为A,则称线段PA的长为从点P引的球的切线长.

    与圆的切线长类似,球的切线长具有下述性质:

    从球外任一点引该球的所有切线长相等.

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    2.球的切平面

    图2-5所示,过球O的一条半径OM的外端M,作与OM垂直的平面δ,则容易证明平面δ与球O只有唯一的公共点M(请同学自己证明).

    定义 与球只有唯一公共点的平面叫做球的切平面.

    可以证明:

    一个球的切平面。垂直于过切点的半径.

    事实上,如果在切平面内,过切点任意作两条直线,则这两条直线都是球的切线.根据球的切线的性质,这两条直线垂直于过切点的半径,所以切平面垂直于过切点的半径.

    2.2.2 圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线

    图2-6所示,在圆柱面一条直线绕着与它平行的一条直线旋转一周,形成的曲面叫做圆柱面.这条直线叫做圆柱面的母线,平行直线叫做圆柱面的轴.的轴上任取一点C,过C作垂直于轴的平面δ,则平面δ在圆柱面上的截线是⊙(C,r).以C为球心,r为半径作球,则⊙(C,r)也是球与圆柱面所有公共点的集合.

    在⊙(C,r)上任取一点H,则CH与过点H的母线垂直.过球半径的外端与该球半径垂直的直线,都是球的切线,于是圆柱面的每一条母线都与球相切,易证,所有切点的集合是半径为r的圆,此圆称做切点圆.这时,我们说圆柱面与球面相切,该球叫做圆柱面的内切球.

    如果平面δ与圆柱面的轴线垂直,则平面δ截圆柱面所得的截线是一个圆,此时称δ平面为圆柱面的直截面.

    如果平面δ与圆柱面的轴线所成的角为锐角,此时称平面σ为斜截面,下面我们用圆

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    柱面的内切球去探求椭圆的特征性质.

    图2-7所示,设一平面σ与圆柱面轴线所成的角为α(0°〈α〈90°).截得的曲线记为m.如图2-7所示,取半径等于圆柱面内切球半径r的两个球,从平面σ的上方或下方放入圆柱面内(这两个球为圆柱面的两个内切球),并使它们分别与平面σ相切,设切点分别为F1和F2(这样的两个球存在吗?如果不存在,下面的证明,将无意义).

    在截线m上任取一点M,连接MF1和MF2;过点M作圆柱面的母线,分别与两个球相切于点P1和P2.MP1和MF1,MP2和MF2分别都是同一点引同一球的两条切线,所以

    MP1=MF1,MP2=MF2

    MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2.

    由于P1P2的长与点M的选择无关,所以对曲线m上任一点M,到两个切点的距离和等于定长(P1P2的长).

    还可证明,在平面δ内,除曲线m上的点外,其他各点都不具有上述性质.由此可见,上述性质是椭圆的一个特征性质.因此我们可用这个性质来定义椭圆.即

    在一个平面内,到两个定点距离和等于定长(大于两定点的距离)的点的轨迹,叫做椭圆.

    上面作出的圆柱面的两个内切球,叫做DandelinDandelin是比利时的数学家双球

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    2.2.3 圆锥面及其内切球

    1.圆锥面

    一条直线绕着与它相交成定角θ(0〈θ〈π/2)的另一条直线旋转一周,形成的曲面叫做圆锥面.这条直线叫做圆锥面的母线,另一条直线叫做圆锥面的轴.

    母线与轴的交点叫做圆锥面的顶点,如图2-8.顶点为S的圆锥面通常记作圆锥面S.通过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面.

    圆锥面有以下一些基本性质.证明留给同学们作为练习.

    性质1 圆锥面的轴线和每一母线的夹角相等.

    性质2 如果一平面垂直于圆锥面的轴线,则其截圆锥面所得的截线是圆.

    2.圆锥面的内切球及性质

    图2-9所示,设圆锥面S的母线与轴线的夹角为α,在圆锥面S的轴线上任取一个与顶点S不同的点O,设SA为任一条母线,作OH⊥SA于点H,则

    OH=SOsinα.

    由此可知,点O到圆锥面S每一条母线的距离都相等.以O为球心,OH为球的半径作球O,则每一条母线都与球O相切.于是,从S出发的每一条切线长相等,切点在轴上的正投影都落在同一点C,所有切点与点C的距离相等,并且在通过点C且垂直于轴线的同一平面上,所以圆锥面S的每一条母线与球O相切的切点的轨迹是一个圆.这个圆通常称做切点圆,球O叫做圆锥面S的内切球.

    由以上分析可知,圆锥面与内切球的交线是一个圆,并且该圆所在平面垂直于该圆锥面的轴线.

    例 已知一圆锥面S,其轴为Sx,一平面σ不过顶点S并与圆锥面S的轴线相交于点M(图2-10).求证存在圆锥面的内切球与平面σ相切.

    证明:过顶点S作直线垂直平面σ于点H,则平面SMH⊥平面σ,MH为这两个平面的交线.由于平面SMH过圆锥面的轴线Sx,所以圆锥面S关于这个平面成镜面对称.设平面SMH和锥面分别相交于母线SA,SB,则A,B在直线MH上.

    作∠SBM的平分线交轴线Sx于点O,作OF1⊥AB于F1,以O为球心,OF1为球的半径作球O,则球O与平面σ相切于

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    点F1.

    由于BO是∠SBA的平分线,所以点O到SB的距离等于球O的半径OF1,因此球O与母线SB相切.

    因为圆锥的所有母线与其轴线的夹角相等,所以球O与所有的母线相切.

    总结以上讨论,可知球O既与圆锥面S相切,又与平面σ相切.

    同理可以证明,在平面σ的下方仍然存在一个球,既是圆锥面S的内切球,又与平面σ相切(图2-10).

    3.圆锥面的平面截线

    图2-11所示,已知圆锥面S,其轴线与母线成α角:用一个不通过顶点S并且与S的轴线成β角的平面σ去截圆锥面S,对

    β〉α,β=α,β〈α

    这三种不同的情况,所截得的曲线具有不同的性状.下面我们对每一种情况进行研究.

    (Ⅰ)β〉α(图2-12).设平面σ与圆锥面S截得的曲线为m.

    在平面σ的上、下,分别作圆锥面S的两个内切球,并且与平面σ分别相切于点F1,F2(参见上一小节例),连接MF1和MF2.在m上任取一点M,作圆锥面的母线SM,并与内切球分别相切于点P1,P2.

    因为MP1和MF1,MP2和MF2分别都是同一点引同一球的两条切线,所以

    MF1=MP1,MF2=MP2(切线长相等).

    因此MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2.

    由于P1P2的长与点M在截线m上的选取无关,因此,它是一个常数.还可证明,截线m外的点到两个切点的距离之和不等于这个常数.因此,在平面σ内的截线m为到两定点距离之和等于定长点的轨迹.满足这个条件的点轨迹是一个椭圆.

    (Ⅱ)β〈α(图2-13).设平面σ与圆锥面S截得的曲线为m.

    不难发现,截线m被分为上下两个分支,截线m叫做双曲线.

    与用两个内切球研究截线为椭圆的情况类似,我们用内切球研究双曲线的特征性质.

    在由顶点S分开的锥面的上下两部分内,并在截平面σ的同一侧,分别作圆锥面S的两个内切球与平面σ分别相切于点F1,F2(你能证明这两个内切球存在吗?这两个球也称为Dandelin双球),在m上任取一点M,连接MF1和MF2.作圆锥面的母线SM,并与内切球分别相切于点Q1,Q2.

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    因为MQ1和MF1,MQ2和MF2分别都是同一点引同一球的两条切线,所以

    MF1=MQ1,MF2=MQ2(切线长相等).

    图2-13容易看出,

    MF1-MF2=MQ1-MQ2=Q1Q2.

    由于Q1Q2的长与点M的选取无关,因此,它是一个常数.

    因此,在平面σ内,截线m上任一点到两定点距离之差等于常数.还可证明,在平面σ内,截线m外的点与F1和F2的距离之差不等于这一常数.

    由上面的分析,上述截线的特征性质可作为双曲线的定义,即:

    到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹,叫做双曲线.两个定点叫做双曲线的焦点.

    (Ⅲ)α=β(图2-14).设平面σ与圆锥面S截得的曲线为m.

    不难发现,当α=β时,平面σ只与圆锥面S开口向上或向下的一部分相交.这时曲线m叫做抛物线.

    我们仍用圆锥面的内切球,寻求抛物线的特征性质.

    设一圆锥面的内切球O与平面σ相切于点F(这个内切球是存在的,请同学们自己证明),内切球O与圆锥面相切于⊙C,设⊙C所在平面为δ.于是平面δ与圆锥面的轴线垂直.

    设平面σ和平面δ的交线为直线l.

    在截线m上任取一点M,作MH垂直于交线l于点H,再作母线SM交⊙C于点A.

    因为α=β,所以平面δ的两条斜线段MA,MH与圆锥面的轴线所成的角相等,因此

    MA=MF,(切线长相等)

    又知MA=MH,所以

    MH=MF.

    这就是说,曲线m上的任一点M到定直线l与到定点F的距离相等.

    可以证明,平面σ内,不在曲线m上的点M,都有MH≠MF.

    由此可知,抛物线是平面内到定点与到定直线距离相等的点的轨迹.这个定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.

    由于椭圆、双曲线和抛物线都可通过平面截圆锥面而得到,所以这三种曲线通常叫做圆锥曲线

    上述三种圆锥曲线的分析与证明结果,可归纳为如下定理:

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    定理 在空间给定一个圆锥面S,轴线与母线的夹角为α,任取一个不通过S的顶点的平面σ,设其与轴线的夹角为β(β与轴线平行时,规定β=0),则:

    (1)当β〉α时,平面δ与圆锥面的交线为椭圆;

    (2)当β=α时,平面δ与圆锥面的交线为抛物线;

    (3)当β〈α时,平面δ与圆锥面的交线为双曲线.

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    2.2.4 圆锥曲线的统一定义

    上面我们曾用Dandelin双球,得出抛物线的特征性质:平面上到定点F(焦点)的距离等于到一定直线l(准线)的距离的动点的轨迹.事实上,椭圆和双曲线也有类似的性质.

    定理 除了圆之外,每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹.

    其中点F叫做圆锥曲线的焦点,直线叫做圆锥曲线的准线.

    证明:假定曲线c是平面截一圆锥面所得到的截线(图2-16),作一圆锥面的内切球,并且与平面σ相切于点F.设切点圆所在的平面为δ,并且σ与平面δ相交于直线l.

    在曲线c上任取一点M,过M引锥线的母线,并与平面σ相交于点A,再由点M作l的垂线MH,H为垂足.

    作MD垂直于平面δ于点D,在Rt△MDH和Rt△MDA中,设∠HMD=β和∠AMD=α,则

    MD=MAcosα, MD=MHcosβ,即=

    又因为MF和MA是同一球的两条切线段,所以MA=MF.因此

    =.

    因为α,β分别是平面δ与圆锥面的轴线及平面σ所成的角,它们都是定值,与点M的选取无关,所以比值与点M在曲线c上的选取无关.定理得证.

    令e=,e叫做圆锥曲线的离心率.

    由上一节,对椭圆和双曲线性质的讨论可知:

    当β〉α时,cosβ〈cosα,0〈e〈1,截出的圆锥曲线为椭圆.

    当α=β时,cosα=cosβ,e=1,截出的圆锥曲线为抛物线.

    当β〈α时,cosβ〉cosα,e〉1,截出的圆锥曲线为双曲线.

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    本章小结

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    阅读与欣赏

    吉米拉·丹迪林

    吉米拉·丹迪林(Dandelin)的父亲是一位法国官员,他的母亲来自现在位于比利时的埃诺市.1813年,丹迪林考入巴黎综合工科大学,然而他的生涯受到了当时一系列动荡的政治事件的巨大影响.同年他就自愿入伍去抗击英军.

    1814年三月,丹迪林加入到奥地利、俄罗斯、普鲁士、不列颠联军共同抗击拿破仑的战争中,并在那场战争中负伤.在拿破仑兵败滑铁卢之后,丹迪林回到了比利时.1817年,他加入了荷兰国籍.

    丹迪林在数学上受到的影响最早来自于比他小两岁的凯特勒,他著名的定理(丹迪林双球)在1822年问世.丹迪林在圆锥面内的上下各塞进内切球,球面与切平面的切点就是焦点,利用点对球的切线等长以及子线(锥面上通过锥顶点的直线)在两等高水平面间距离固定的性质,可以得到椭圆和双曲线的轨迹性质.

    这种手法很特别,谁会想到在锥面内塞刚刚好卡住的球进去,还上下各一个?那个卡住的点还刚好是焦点?抛物线只能塞一个球进去.丹迪林想到了添设辅助球的方法,巧妙地解决了这个问题.

    丹迪林在立体投影、静力学、代数和概率论方面都有很深的造诣,他还给出了求代数方程的近似根的一种方法,现在称为丹迪林-格拉非方法.1825年他被选为布鲁塞尔皇家科学院院士.

    1. 一条直线绕着与它平行的一条直线旋转一周,形成的曲面叫做圆柱面.这条直线叫做圆柱面的母线,平行直线叫做圆柱面的轴.
    2. Dandelin是比利时的数学家
     第一章 二阶矩阵与平面图形的变换

    第一章 二阶矩阵与平面图形的变换

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    矩阵是数学中一个极其重要而又应用广泛的概念,很多实际问题都可以归结成矩阵来解决.这一章我们主要学习二阶矩阵的定义以及二阶矩阵的简单运算,体会数学知识形成、发展的过程.

    矩阵是数学中一个极其重要而又应用广泛的概念,很多实际问题都可以归结成矩阵来解决.这一章我们主要学习二阶矩阵的定义以及二阶矩阵的简单运算,体会数学知识形成、发展的过程.

    1.1 二阶矩阵

    在以前的学习中,大家经常遇到一些图表.比如,历史中的年代表,地理中的矿产分布表,物理和化学中的试验数据表,等等.那么,同学们有没有想过这些表格的优点呢?仔细想一想,我们会发现这些图表能够既直观又确切地反映出所研究对象的信息!其实,在数学中我们也有很多这样的例子.

    习惯上,我们称上述关系式为坐标变换公式.容易看出,上述坐标变换公式完全由式中的系数及其排列顺序所确定.于是,我们可将上述坐标变换公式中的系数按其顺序简记为数表:

    (1)

    定义1 形如

    通常,用大写的拉丁字母A,B,…来表示二阶矩阵.

    注:除非特别声明,本书中的数都是实数.

    需要明确两个二阶矩阵相等的充要条件是:它们的对应元素都相等.

    设A=,B=,则

    A=Ba=e, b=f, c=g, d=h.

    元素全为0的二阶矩阵称为零矩阵,记为0.

    定义2 设矩阵

    A=,B=

    则矩阵称为A与B的和,记为A+B.

    定义3 设矩阵A=,λ为一常数,则称为数λ乘矩阵A的积,记为λA.

    page0003

    1.2 二阶矩阵与平面向量的乘法

    在现代数学中,矩阵已经成为很多研究领域的基本工具.本节我们将通过对具体实例的分析,引入二阶矩阵与平面向量乘法的定义,学习二阶矩阵表示的平面变换(称为矩阵变换),并讨论几种基本的矩阵变换.

    1.2.1 二阶矩阵与平面向量的乘法

    1.平面向量的表示

    同学们知道,平面向量就是平面中的一条有向线段.当我们把平面向量的始点都放到坐标原点时,向量就与它们的终点形成了一一对应,从而也和终点的坐标形成了一一对应.于是,平面向量可以用有序数对来表示(类似于数轴上的点可以用数来表示).

    图1-2所示,给定平面向量,则有序数对(a1,a2)表示终点P的坐标.为便于区别,我们用有序数对表示向量.

    定义 形如的有序数对称为列向量.

    回顾数学4中关于平面向量加法、减法以及数乘向量运算的定义,我们可以很自然地给出列向量的运算规则.事实上,平面向量与列向量可以互相表示,并且平面向量的运算与列向量的运算相互对应.

    定义 设是两个列向量,λ是一个数,则±=,λ=.

    2.二阶矩阵与平面向量的乘法

    在1.1的例1中,我们看到坐标变换公式

    page0004

    (1)

    可以用二阶矩阵来表示.如果我们把点用列向量来表示,则二阶矩阵就把列向量变成了列向量,即

    .

    类似于函数的记法,我们把上述关系写成

    =.(2)

    显然,(2)式只是利用二阶矩阵表达(1)式的另一种形式,由于列向量要依(1)式通过计算来确定.因此,我们定义一种新的运算如下:

    定义 设A=,X=,则 Y=称为二阶矩阵A与平面向量X的乘积,记为AX=Y.

    这就是说,二阶矩阵A与平面列向量X的乘积是一个平面列向量,它的第一个元素就是A的第一行与X中对应元素乘积的和,第二个元素就是A的第二行与X中对应元素乘积的和.

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    根据二阶矩阵与平面向量乘法的定义,容易证明下面的性质.

    性质 设A=,X=,Y=,λ是一个常数,则

    A(X+Y)=AX+AY,

    A(λX)=λ(AX).

    1.2.2 矩阵变换

    1.矩阵变换的定义

    从前面的讨论可以看到,一个二阶矩阵完全确定平面内的一个坐标变换.因此,二阶矩阵可以用来表示平面变换.然而,就像并不是所有的函数都有解析式一样,很多平面变换不能用二阶矩阵表示.事实上,二阶矩阵所表示的变换只是所有平面变换中最简单、最基本的一类.

    定义 给定一个二阶矩阵,则=表示平面上的一个变换.习

    page0006
    惯上,我们把=称为一个二阶矩阵变换,简称矩阵变换.把称为的象,把称为的原象.

    为了方便,我们常用Y=AX,Y=BX等表示矩阵变换,其中Y=,X=;A,B是二阶矩阵.

    从例1、例2可以看出,矩阵变换把平面内的向量变成平面内的向量

    page0007

    2.矩阵变换的性质

    性质1 矩阵变换把零向量变成零向量.

    证明:设Y=AX是一个矩阵变换,其中

    A=,X=,则Y=.

    性质2 矩阵变换保持向量的线性运算.即,若Y=AX是一个矩阵变换,α,β是两个列向量,λ是一个常数,则有

    A(α+β)=Aα+Aβ, A(λα)=λ(Aα).

    证明:设A=,α=,β=,则有

    α+β=,λα=.

    直接计算可得

    A(α+β)=

    Aα=

    Aβ=

    A(λα)=.

    于是,可得A(α+β)=Aα+Aβ,A(λα)=λ(Aα).

    推论 设Y=AX是一个矩阵变换,α,β是两个列向量,λ1,λ2是两个数,则有

    A(λ1α+λ2β)=λ1(Aα)+λ2(Aβ).

    我们知道,当把平面向量的始点都放在坐标原点时,点与向量之间就形成了一一对应.如图1-4所示,直线l由A,B两点所确定,α,β是分别与点A,B相对应的列向量.若设P为直线l上任意一点,且与其相对应的向量为γ,则由于共线,从而

    page0008
    存在数t容易看出,点P在线段AB上当且仅当0≤t≤1.    *这两个矩阵表示的变换也是反射变换.使得=t,即

    =l().

    于是,γ-α=t(β-α),

    即γ=(1-t)α+tβ.

    这就是直线l的向量参数方程.

    设Y=AX是一个矩阵变换,根据上面的推论可知,

    Aγ=(1-t)(Aα)+t(Aβ),

    即Aγ-Aα=t(Aβ-Aα).

    于是,当Aα与Aβ对应的点不相同时,Aγ在由Aα与Aβ对应的点所确定的直线上.因此,我们有下面的结论:

    性质3 矩阵变换把平面内的直线变成直线(或退化为一个点).

    page0009

    1.2.3 几类特殊的矩阵变换

    前面我们通过学习矩阵变换的基本性质,对矩阵变换有了一个初步的认识.接下来我们将通过具体的平面图形的变换来研究几种特殊的矩阵变换,以进一步加深对矩阵变换的认识.

    1.恒等变换

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    事实上,能使平面上任一点都保持不变的矩阵变换,叫做平面上的恒等变换.例1中的矩阵变换就是平面上的恒等变换.

    因此,恒等变换可以用矩阵来表示.

    2.反射变换

    可见,P、Q两点在矩阵变换Y=AX下的象P'、Q'分别与它们关于x轴对称,如图1-7所示.

    其次,设R(x0,y0)为线段PQ上任一点,则它对应的列向量在矩阵变换Y=AX下的象为

    A==.

    显然点R(x0,y0)与点R'(x0,-y0)关于x轴对称.这说明,线段PQ与它在矩阵变换Y=AX下的象P'Q'关于x轴对称.

    page0011

    事实上,能使平面上任一点变成关于直线轴对称的点的矩阵变换,叫做反射变换.

    从上面的两个例子可以看出,关于x轴的反射变换和关于直线y=x的反射变换分别可以用二阶矩阵表示.

    3.伸压变换

    page0012

    事实上,能把平面上的每个向量变成它的k倍(其中k〉0且k≠1)的矩阵变换称为伸压变换.

    在例4中的伸压变换Y=AX,就是用二阶矩阵(k〉0,且k≠1)表示的.

    4.旋转变换

    在1.1的例3中,我们看到把一个点P(x,y)绕原点沿逆时针方向旋转30°得到点P'(x',y'),其坐标变换公式为

    用矩阵表示即为=.

    一般地,设点P(x,y)为平面直角坐标系中任一点,把它绕原点沿逆时针方向旋转θ角,得到点P'(x',y'),如图1-10所示,则其坐标变换公式为

    用矩阵表示即为

    =.

    因此,旋转变换可以用二阶矩阵来表示.

    page0013

    5.投影变换

    page0014

    事实上,能把平面上任一点变成这点在x(或y)轴上的投影的矩阵变换,称为投影变换.在例6及其讨论中的投影变换,分别用二阶矩阵表示.

    1.3 二阶方阵的乘法

    对于平面内的一个点A,经过某个矩阵变换后,它变为另外一个点A'.有时为了需要,我们还要对点A'再做一次矩阵变换,这就是矩阵变换的复合.相对于两个矩阵变换的复合,两个矩阵之间有一种很自然的运算,即矩阵的乘法.本节主要学习二阶方阵的乘法及其运算规律.

    page0015

    1.3.1 二阶方阵的乘法

    设A=,B=,已知正方形EFGH如图1-15所示.如果正方形上任意一点P(x0,y0)在矩阵变换Y=AX下的象为P'(x0',y0'),则有

    =

    于是,可得正方形EFGH在矩阵变换Y=AX下的象E'F'G'H',如图1-15所示.

    如果再继续实施一次变换,设点P'(x0',y0')在矩阵变换Z=BY下的象为P"(x0",y0"),则有

    =

    于是,又可得四边形E'F'G'H'在矩阵变换Z=BY下的象E″F″G″H″,如图1-15所示.

    显然,上述过程实质上是对正方形EFGH连续实施了两次矩阵变换.容易看出,连续实施的两次变换作为一个整体仍然是一个变换,我们称为两个变换的复合.下面我们就来研究矩阵变换Y=AX与Z=BY的复合.

    利用两个坐标变换公式,可得

    x0″=1/2x0′-y0′=1/2(x0+2y0)-(-2x0-y0

    =y0

    y0″=x0′+1/2y0′=(x0+2y0)+1/2(-2x0-y0

    =x0y0.

    用矩阵表示即为

    page0016
    =.

    因此,两个矩阵变换Y=AXZ=BY的复合仍然是一个矩阵变换.为了方便,我们记为Z=CX.两变换的复合过程是有序的.如:    <img class="tp-zz" src="images/cs010033t0016001zl.jpg" alt=""/>

    另一方面,直接从两个矩阵变换出发,可得==.

    类似于复合函数的表示方法,我们让C=BA,即

    =

    定义 设A=,B=,矩阵A与矩阵B的积记作AB,则

    AB=.

    这就是说,两个矩阵的积仍是一个二阶矩阵:

    积矩阵中,位于第一行第一列的元素等于第一个矩阵(A)的第一行的各元素与第二个矩阵的第一列相应元素乘积的和(ae+bg);

    同样,位于第一行第二列的元素等于第一个矩阵(A)的第一行的各元素与第二个矩阵(B)的第二列相应元素乘积的和(af+bh);

    位于第二行第一列的元素等于第一个矩阵(A)的第二行的各元素与第二个矩阵(B)的第一列相应元素乘积的和(ce+dg);

    page0017

    位于第二行第二列的元素等于第一个矩阵(A)的第二行的各元素与第二个矩阵(B)第二列的相应元素乘积的和(cf+dh).

    定义 二阶方阵称为单位矩阵,通常记为E.

    容易验证,对任意的二阶方阵A,都有

    AE=EA=A.

    因此,单位矩阵E在二阶方阵乘法中的作用,相当于1在数的乘法中的作用.

    page0018

    1.3.2 矩阵乘法的运算律

    前面我们学习了二阶矩阵乘法的定义,那么矩阵乘法是否也具有和数的乘法一样的运算律呢?以下举例说明.

    1.结合律

    一般地,二阶矩阵的乘法满足结合律:

    设A,B,C都是任意的二阶矩阵,则有

    A(BC)=(AB)C

    2.交换律

    page0019

    从上例可知,矩阵变换的复合不满足交换律,因此二阶矩阵的乘法不满足交换律.事实上,对上例中的二阶矩阵A和B,直接计算可得

    AB=BA=,即AB≠BA.

    3.消去律

    page0020

    由此可见,矩阵变换Y=(BA)X与Y=(CA)X完全相同.

    这就是说,在例3中BA=CA,但是显然B≠C

    一般地,矩阵变换的复合不满足消去律,从而二阶矩阵的乘法不满足消去律.

    page0021

    本章小结

    Ⅰ 知识结构

    page0022
    page0023

    阅读与欣赏

    凯莱与矩阵论

    凯莱(Arthur Cayley),1821年8月16日生于英国的萨里郡里士满.1839年凯莱进入剑桥大学的三一学院学习,在剑桥他是数学荣誉会考的一等第一名,并获得史密斯(Smith)奖.1842年毕业,曾担任14年的律师,其间他用了可观的时间研究数学,并发表了近200篇文章.1863年,他被任命为剑桥大学设立的第一个萨德勒(Sadler)教授,一直到1895年逝世.

    凯莱是个极丰产的数学家.他在n维解析几何、行列式理论、线性变换、斜曲面和矩阵论等方面都作出了重要贡献.

    1855年,凯莱提出把矩阵作为一个独立的数学概念,使之成为数学研究的基本对象.1858年,他发表了《矩阵论的研究报告》一文,指出矩阵的乘法是可结合的,但一般不可交换.

    由于对矩阵建立了系统的理论,凯莱被公认为矩阵论的创始人.现在,矩阵理论已经发展出很多分支,内容十分丰富,正从矩阵代数走向矩阵分析;同时,矩阵论在很多领域都有着广泛的应用,已经成为物理、化学和管理科学的主要数学工具之一.

    1. 事实上,平面向量与列向量可以互相表示,并且平面向量的运算与列向量的运算相互对应.
    2. 容易看出,点P在线段AB上当且仅当0≤t≤1. *这两个矩阵表示的变换也是反射变换.
    3. 两变换的复合过程是有序的.如: </li>
</ol>
<html xmlns= 第二章 逆矩阵及其应用

      第二章 逆矩阵及其应用

      page0024

      2.1 逆矩阵

      在上一章中,我们已经学习了二阶矩阵的乘法,并且知道它在某些方面有不同于数的乘法的性质.很自然地,同学们会想到矩阵乘法是否也有逆运算,本节我们主要学习二阶矩阵的逆矩阵的定义、性质及求法.

      2.1.1 逆矩阵的定义

      考虑平面上的旋转变换Y=AX,其中A=,它把平面内的EFGH绕原点沿逆时针方向旋转60°,得到E'F'G'H',如图2-1所示.当我们再把E'F'G'H'绕原点沿顺时针方向旋转60°时,它又变回到EFGH.容易看出,此时所做的旋转变换为Y=BX,其中B=.

      也就是说,如果P(x0,y0)为平面上任意一点,则它在旋转变换Y=AX下的象P'(x'0,y'0)对应的列向量为

      =A=.

      进一步,点P'(x'0,y'0)在旋转变换Y=BX下的象对应的列向量为B==.因此,复合变换Y=BAX是恒等变换,其相应的矩阵乘积BA=E,即

      page0025

      ==E.

      类似地可以验证,复合变换Y=ABX也是恒等变换,其相应矩阵的乘积,直接计算可得AB=BA=E.此时,我们称B是A的逆矩阵.

      定义 设A为二阶矩阵,若存在某个二阶矩阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.

      根据定义容易验证,逆矩阵和逆变换之间有下列关系:

      如果BA的逆矩阵,则Y=BXY=AX的逆变换.

      应该指出,由于矩阵变换把平面内的线段变成线段或点,因此在例2中不存在矩阵变换把线段PQ变回到正方形EFGH.这就是说,不存在矩阵变换Y=BX,使得Y=AX与它的复合Y=BAX为恒等变换,从而例2中的矩阵变换Y=AX不可逆.

      一般地,对于二阶矩阵A,如果不存在二阶矩阵B,使它们的乘积BA为单位矩阵,

      page0026
      则A不可逆.

      注:我们可以直接从逆矩阵的定义出发,证明例2中的A不可逆.事实上,假设A为可逆矩阵,则存在二阶矩阵X=使得AX=E,于是有=,这是不可能的.

      2.1.2 逆矩阵的性质

      1.逆矩阵的唯一性

      我们知道,对于任意一个非零实数a,它的倒数是唯一的.对于一个函数y=f(x),如果它有反函数,则其反函数也是唯一的.那么,对于平面上由二阶矩阵表示的变换,是否也有类似的结果呢?

      事实上,对于一个可逆的二阶矩阵A,假若它有两个不同的逆矩阵BC,则矩阵变换Y=AX就有两个不同的逆变换Y=BXY=CX.于是,存在点P(x0,y0)使得B≠C,如图2-3所示.记点P经过变换Y=BX后变成点P1,点P经过变换Y=CX后变成点P2,则从图2-3所示可知,点P2经变换Y=AX后变为点P,点P经变换Y=BX后变成点P1.于是点P2经变换Y=BAX后变成点P1,这与Y=BAX是恒等变换相矛盾!

      性质1 设A为二阶可逆矩阵,则它的逆矩阵是唯一的.

      证明:设BC是二阶矩阵A的不相等的逆矩阵,则有

      AB=BA=E, AC=CA=E.

      于是,有

      page0027

      B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.

      这与B≠C是矛盾的,因此,A的逆矩阵唯一.

      注:由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的,今后我们就把一个可逆矩阵A的逆矩阵记为A^(-1).

      2.矩阵乘积的逆

      A是一个二阶可逆矩阵,k是一个非零实数,则容易看出kA的逆矩阵为k^(-1)A^(-1).然而,对于两个可逆矩阵的乘积,情况就不那么简单了.我们仍然从矩阵变换的角度来考察这一问题,看下面的例子.

      已知,A=,B=,正方形EFGH如图2-4所示,这个正方形在复合变换Y=ABX下的象E″F″G″H″可以分两步得到:首先对正方形EFGH做矩阵变换Y=BX,得到正方形E'F'G'H';再对正方形E'F'G'H'做矩阵变换Y=AX,即可得到正方形E″F″G″H″.

      由于矩阵变换Y=AX是可逆的,我们可以利用其逆变换Y=A^(-1)X把正方形E″F″G″H″变回到正方形E'F'G'H';又矩阵变换Y=BX也是可逆的,我们可以利用其逆变换Y=B^(-1)X把正方形E'F'G'H'变回到正方形EFGH.因此,复合变换Y=B^(-1)A^(-1)X就把正方形E″F″G″H″变回到正方形EFGH.事实上,容易验证对于平面中的任意一点P,若Y=ABX把点P变成点P″,则变换Y=B^(-1)A^(-1)X就把点P″变成点P.因此,矩阵变换Y=ABX是可逆的,并且其逆变换为Y=B^(-1)A^(-1)X.

      相应于上述复合变换的结果,对于两个可逆矩阵A和B,它们的乘积AB也是可逆的,并且其逆矩阵为B^(-1)A^(-1).

      性质2 设二阶矩阵A和B都是可逆矩阵,则AB也是可逆矩阵,并且(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

      证明:因为

      (AB)(B^(-1)A^(-1))=A(BB^(-1))A^(-1)=AEA^(-1)=AA^(-1)=E,

      (B^(-1)A^(-1))(AB)=B^(-1)(A^(-1)A)B=B^(-1)EB=B^(-1)B=E,

      所以有(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

      page0028

      3.逆矩阵的逆

      设A=,正方形EFGH如图2-5所示,它在矩阵变换Y=AX下的象为正方形E'F'G'H'.

      显然,矩阵变换Y=AX是可逆的,并且在其逆变换Y=A^(-1)X下正方形E'F'G'H'变回到正方形EFGH.现在,我们再对正方形EFGH做矩阵变换Y=AX,则它又变为正方形E'F'G'H'.于是,Y=AX是矩阵变换Y=A^(-1)X的逆变换,即矩阵变换Y=AX是它的逆变换Y=A^(-1)X的逆变换.

      一般地,相应于矩阵变换的结果,对于可逆矩阵A,我们有:A是它的逆矩阵A^(-1)的逆.

      性质3 设二阶矩阵A是可逆的,则有

      (A^(-1))^(-1)=A.

      证明:因为A^(-1)A=AA^(-1)=E,所以(A^(-1))^(-1)=A.

      2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵

      前面我们学习了逆矩阵的一般性质,接下来我们主要解决两个问题:一、什么样的二阶矩阵可逆?二、若某个二阶矩阵可逆,怎样求出它的逆矩阵?

      page0029

      1.二阶矩阵的行列式

      对某些特殊的二阶矩阵,我们可以借助于它所表示的变换的特点来求出其逆矩阵.

      定义 设二阶矩阵A=,则ad-bc称为它的行列式,记为det(A),即

      page0030

      det=ad-bc.

      从上面的讨论可得:

      定理1 二阶矩阵A可逆的充要条件是它的行列式det(A)≠0.

      定理2 二阶矩阵A=的行列式等于0的充要条件是它的一行(列)是另一行(列)的倍数.

      证明:若一行是另一行的倍数,根据行列式的定义,知ad-bc=0.充分条件成立.

      若det(A)=0,即ad-bc=0,则当a=b=0时,A的第1行是第2行的0倍;当a和b都不是0时,有c/a=d/b,即第2行是第1行的倍数;当a≠0,b=0时,可推出d=0,于是第二行是第一行的c/a倍;当a=0,b≠0时,可推出c=0,于是第二行是第一行的d/b倍.必要条件成立.

      对列也可以进行类似的证明.

      从定理2可以看出,要判断一个二阶矩阵的行列式是否为0,只要看它的两行(列)

      page0031
      是否成比例就可以了.

      2.用二阶行列式求逆矩阵

      从上一部分的分析中已经看到,若二阶矩阵A=可逆,可设其行列式det(A)=ad-bc,其逆矩阵为X=,则有xdet(A)=d,ydet(A)=-b,zdet(A)=-c,ωdet(A)=a.从而

      X=

      即A^(-1)=.

      定理3 设二阶矩阵A=可逆,则其逆矩阵A^(-1)=.

      page0032
      page0033

      2.2 二元一次方程组的矩阵解法

      在2.1节中,通过解二元一次方程组,我们找到了一种求逆矩阵的方法.反过来,利用逆矩阵我们可以给出二元一次方程组的一种新的解法.本节我们主要学习二元一次方程组的矩阵解法,并讨论其解的存在性和唯一性.

      2.2.1 二元一次方程组解的含义

      设二元一次方程组

      (1)

      其中x1,x2为未知量,a,b,c,d称为方程组的系数,e,f称为常数项.所谓方程组(1)的一个解就是指由两个数k1,k2构成的有序数组(k1,k2),当x1,x2分别用k1,k2代替后,方程组(1)中的每个等式都变成恒等式.解方程组(1)实际上就是找出它的全部解.

      容易看出利用二阶矩阵与向量的乘法,二元一次方程组(1)可以用矩阵表示为

      =.(2)

      如果令A=,X=,B=,则有

      page0034

      AX=B.(3)

      矩阵A是由方程组(1)的系数构成的,习惯上称为方程组(1)的系数矩阵.等式(2)和(3)是利用矩阵以整体的方式来表示二元一次方程组(1),我们称之为矩阵方程.

      解线性方程组(1)等价于解矩阵方程(2)或(3).

      page0035

      2.2.2 二元一次方程组的矩阵解法

      由于二元一次方程组

      (1)等价于矩阵方程

      AX=B,(3)

      其中A=,X=,B=,因此,解方程组(1)也可以通过解矩阵方程(3)来实现.

      对于同学们来说,解二元一次方程组当然不成问题!现在的问题是能否找到一个直接解矩阵方程(3)的办法,考虑到矩阵与矩阵变换的关系,我们仍然从矩阵变换的角度来研究这一问题.

      这里我们只考虑A可逆的情况.此时Y=AX是可逆变换,并且其逆变换为Y=A^(-1)X.若X0是(3)的解,则Y=AX把X0变为B,即AX0=B,如图2-8所示.相应地,矩阵变换Y=A^(-1)X就把B变成X0,即A^(-1)B=X0.至此,我们发现:A^(-1)B就是(3)的一个解.

      定理 设二阶矩阵A可逆,则A^(-1)B是矩阵方程AX=B的一个解.

      证明: 显然,有A(A^(-1)B)=(AA^(-1))B=EB=B.

      page0036
      page0037

      2.2.3 解的存在性与唯一性

      上节我们利用矩阵变换找到了二元一次方程组的矩阵解法,并感受到矩阵变换所发挥的重要作用.接下来,我们继续从矩阵变换的角度讨论二元一次方程组解的存在性和唯一性.

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      从例3可以看出,当二元一次方程组的系数矩阵可逆时,方程组有且只有一个解.

      一般地,我们有下面的结论:

      定理 设二元一次方程组的系数矩阵A可逆,则它有且只有一个解.

      证明:由于方程组与矩阵方程AX=B等价,其中A=,X=,B=,我们只要证明方程AX=B有且只有一个解.

      由A(A^(-1)B)=(AA^(-1))B=EB=B可知,X=A^(-1)B是方程AX=B的一个解.

      又设C为方程AX=B的任意一个解,则有AC=B,于是可得A^(-1)(AC)=A^(-1)B,即C=A^(-1)B.所以,方程AX=B只有一个解.

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      本章小结

      I 知识结构

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       第三章 变换的不变量

      第三章 变换的不变量

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      3.1 平面变换的不变量

      设A是一个二阶矩阵,则矩阵变换Y=AX建立了平面内向量与向量之间的一个对应.在第一章中,我们学习了几类具体的矩阵变换,比如恒等变换、反射变换等;在第二章中,我们又重点讨论了可逆的矩阵变换,这些内容从不同的角度反映了矩阵变换的外部特征.本节我们将主要研究矩阵变换的内部特征,即所谓变换的不变量.

      3.1.1 特征值与特征向量

      在研究平面变换的问题时,我们常常会遇到一些有意思的现象.比如,已知△EFG如图3-1所示,则在由A=确定的平面变换Y=AX的作用下,有A=,A=,A=,所以三点E、F、G在矩阵变换Y=AX下的象为E'(3,3),F'(-1,-2),G'(-1,1),从而△EFG的象为△E'F'G'.

      容易看出,向量经过变换Y=AX后只改变了大小,没有改变方向;而向量经过变换Y=AX后虽然改变了方向,但仍与向量在同一直线上.事实上,这一现象不是偶然的,我们可以作进一步的观察:

      A=,A=……

      A=,A=,A=……

      对于向量,…,它们满足等式Aα=3α,即这些向量的象方向不变,大小都变成原来的3倍;对于向量,…,它们满足等式Aα=-1·α,即这些向量的象方向相反,大小都是原来的1倍.因此,对于矩阵变换Y=AX来说,3和-1是两个很特别的数.在后面的讨论中我们将会看到,这两个数是由变换Y=AX所唯一确定的,它们反映了矩阵变换Y=AX的内在本质.

      page0043

      定义 设Y=AX是一个矩阵变换,λ0是一个数,ξ是一个非零列向量.若Aξ=λ0ξ,则称λ0是变换Y=AX的一个特征值,ξ为变换Y=AX的属于特征值λ0的一个特征向量.

      从前面的讨论可以看出,特征向量有以下两个特点:

      1.特征向量的方向经过变换后,保持与原方向在同一直线上.并且当λ0〉0时方向不变,当λ0〈0时方向相反.

      2.若ξ是变换Y=AX的属于特征值λ0的一个特征向量,则ξ的任一非零常数倍kξ也是该变换的属于特征值λ0的特征向量.

      page0044

      3.1.2 特征值与特征向量的求法

      特征值与特征向量是平面变换内在本质的具体反映,通过它们可以更清楚地认识平面变换的特点.因此,对于平面变换,我们有必要来系统地研究如何求其特征值和特征向量.本节我们主要研究矩阵变换的特征值和特征向量的求法.

      设Y=AX是一个矩阵变换,其中A=.若λ0是变换Y=AX的一个特征值,ξ=是属于λ0的一个特征向量,则有Aξ=λ0ξ,或0=.

      上式等价于

      这说明,特征向量ξ=是方程组

      (1)的一个非零解.所以,应有det=0,即λ0是方程

      det=0(2)的根.

      反过来,若λ0是方程(2)的根,则有det=0,从而方程组(1)的解不唯一,求出方程组(1)的一个非零解,不妨设为ξ=,则有用矩阵表示即为0.

      这说明,λ0是矩阵变换Y=AX的一个特征值,ξ是属于λ0的一个特征向量.

      综上所述,我们可以看出:λ0是矩阵变换Y=AX的特征值当且仅当它是方程det=0的根.

      定义 设二阶矩阵A=,λ是一个数,称二阶行列式det为矩阵变换Y=AX的特征多项式.

      注:由于二阶矩阵A与平面上的矩阵变换Y=AX相互唯一确定,我们也把矩阵变换

      page0045
      Y=AX的特征多项式称为矩阵A的特征多项式.

      从上述的分析可知,对于一个矩阵变换Y=AX,其中A=,求它的特征值和特征向量可以分成以下两步:

      (1)求出矩阵A的特征多项式det=0的全部根,它们就是矩阵变换Y=AX的全部特征值.

      (2)对于每个特征值λ0,解二元一次方程组

      其所有非零解就是属于λ0的特征向量.

      page0046

      3.1.3 特征值的不变性

      不变量是数学理论和应用中一个非常重要的研究对象,它能够更深刻地反映客观事物的内在本质和规律性.本节我们主要通过对特征值的讨论让大家对不变量有一个较初步的感受.

      设矩阵变换Y=AX,ξi(i=1,2)是属于特征值λi(i=1,2)的特征向量,则有

      11ξ1,Aξ22ξ2(如图3-2所示).对于任意一个可逆矩阵B,我们得到一个矩阵变换

      Y=(BAB^(-1))X.

      由于(BAB^(-1))(Bξ1)=(BAB^(-1)B)ξ1=(BA)ξ1=B(Aξ1)=B(λ1ξ1)=λ1(Bξ1),因而有(BAB^(-1))(Bξ1)=λ1(Bξ1).

      同理,可得(BAB^(-1))(Bξ2)=λ2(Bξ2).

      容易看出,1≠0,Bξ2≠0.因此,1和Bξ2分别是矩阵变换Y=(BAB^(-1))X的属于λ1和λ2的特征向量.

      这说明,λ1和λ2是所有矩阵变换Y=(BAB^(-1))X的特征值,其中B为可逆二阶矩阵.即当矩阵变换Y=AX按某种规则变为另一个矩阵变换时,特征值保持不变!

      定义 设A、B是两个二阶矩阵,若存在某个可逆的二阶矩阵T使得B=TAT^(-1),则称AB相似.它们所对应的变换Y=AXY=BX称为相似变换.

      根据前面的讨论立即可得:

      定理 相似的矩阵变换有相同的特征值.

       从定理可知,在相似意义下矩阵变换的特征值保持不变.因此,人们就把矩阵变换的特征值称为相似不变量,简称不变量.

      page0047

      上例说明,尽管相似矩阵有相同的特征值,但逆命题并不成立,即有相同特征值的两个二阶矩阵不一定相似.

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      3.2 A^(n)α的简单表示

      在实际应用中,我们经常遇到矩阵方幂与列向量乘积的问题.显然,当幂次较高时,直接计算很不方便.如果矩阵的特征多项式有两个不同的根,我们可以利用特征值和特征向量来简化计算.

      定理1 设ξ1=与ξ2=是平面内两个不平行的向量,则对平面内任意的向量α=,都存在两个数s0、t0,使得

      α=s0ξ1+t0ξ2.

      证明:我们用待定系数法求证.设α=sξ1+tξ2,则有

      =.

      因为ξ1与ξ2不平行,所以det≠0,矩阵方程有唯一解,不妨设为.于是,有α=s0ξ1+t0ξ2.

      为进一步研究简化二阶矩阵的方幂与向量的乘积的问题,我们首先考虑一个具体的例子.对于二阶矩阵A=,容易求得它有两个不同的特征值λ1=-3,λ2=4,并且ξ1=是属于λ1=-3的一个特征向量,ξ2=是属于λ2=4的一个特征向量.于是,有

      1=-3ξ1,Aξ2=4ξ2.

      对于平面上的任意一个向量α,根据上面的定理1可知,存在两个数s和t使得α=sξ1+tξ2.于是,有

      Aα=A(sξ1)+A(tξ2)=s(Aξ1)+t(Aξ2)=sλ1ξ1+tλ2ξ2.

      =-3s+4t.

      进一步可得

      A^(2)α=A(Aα)=A(-3s+4t

      =-3s+4t

      =(-3)^(2)s+4^(2)t.

      page0049

      依此类推,我们有

      A^(n)α=(-3)^(n)s+4^(n)t.

      上述过程显然具有一般性,为此我们得到A^(n)α的一种简单表示.

      定理2 设二阶矩阵A有两个不同的特征值λ1,λ2,并且ξ1和ξ2是分别属于λ1和λ2的两个特征向量.对任意的平面向量α,必存在两个数s和t使得

      A^(n)α=sξ1+tξ2.

      page0050
      page0051

      现在让我们回顾一下矩阵特征值与特征向量的意义和在研究变换中的作用.

      设Y=BX是平面上的一个矩阵变换,其中A=,ξ=,且ξ≠0,λ为实数,且有

      Aξ=λξ,

      则λ,ξ分别称为这个变换(或矩阵A)的特征值和属于这个特征值的特征向量.变换的几何意义是显然的,这个变换把向量ξ伸缩|λ|倍.

      问题是,对于这样的变换,如何求出它的特征值和特征向量.显然,只要解

      Aξ=λξ,

      就能求出λ,这个方程组有非零解的充要条件是

      (a-λ)(d-λ)-bc=0.

      问题转化为求这个关于λ的二次方程的根,如果这个方程存在两个实数根λ1,λ2,就可求出属于它们的特征向量.例如,在例1中,属于λ1=2的特征向量ξ=,当k取不等于零的任意实数值时,生成平面向量集合的一个子集合,这个子集合的全体向量共线.上述变换,使这个子集合的每一个向量仍变为这个子集合中的一个向量.

      在属于λ1的特征向量组成的子集合和属于λ2的特征向量组成的子集合中,分别取非零向量ξ1,ξ2,这两个向量不平行,它们就可构成平面向量集合的一个基底.于是任一个平面向量ξ,都可表示为两个基向量的线性组合,即存在两个实数a1,a2,使

      ξ=a1ξ1+a2ξ2.

      这样,我们就可以利用上述变换的性质研究平面内矩阵变换Y=AX.例如,利用上述变换的性质化简A^(n)α的计算和解决例2中这种类型的实际问题.

      从本节的实例中,我们可以看到在研究变换Y=BX时,研究在它的子集合中,变换(Aξ=λξ)性质的重要意义.

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      本章小结

      Ⅰ 知识结构

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      阅读与欣赏

      西尔维斯特与不变量

      西尔维斯特(James Joseph Sylvester),1814年9月3日生于英国伦敦,出身犹太家庭.1841~1845年,他到美国弗吉尼亚(Virginia)大学任教授.后来他又回到伦敦,先后担任律师和较低的教授职位.19世纪70年代应邀去美国霍普金斯(Hop-kins)大学任教授,在那里从1876年起讲授不变量理论.他开创了美国的纯数学研究,并创办了《美国数学杂志》. 1884年他回到英国,成为牛津(Oxford)大学教授,直到1897年去世.

      他同凯莱(Cayley)一起,是不变量理论的创始人.所谓不变量,就是指在一类变换下保持不变的量.比如,多项式的次数在线性变换下是不变的,矩阵的特征值在相似变换下是不变的,拓扑空间的维数在同胚变换下是不变的,等等.

      一个较经典的例子就是所谓二次曲线的不变量.由曲线方程的系数确定的函数,如果经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值保持不变,则称这个函数为曲线的一个不变量.设二次曲线的方程为F(x,y)=ax^(2)+2bxy+cy^(2)+2dx+2ey+f,则I1=a+c,I2=det都是它的不变量.另外,该二次曲线的特征方程λ^(2)-I1λ+I2=0及其特征值也是不变量.

      自从不变量理论创立以来,数学家越来越深刻地认识到不变量在数学理论和数学应用中的重要性.比如,利用拓扑不变量可以对曲面进行分类,利用微分不变量可以研究物理学中的规范场论,等等.迄今为止,数学家已经在数学的许多领域找到各式各样的不变量,其中除了上面提到的不变量外还包括代数不变量、几何不变量、积分不变量、同伦不变量等.

       第一章 坐标系

      第一章 坐标系

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      在生产实践中,随着活动范围的扩大和对精度要求的提高,特别是适应描写和掌握运动规律的要求,人们就需要比较精确地刻画一个物体的位置.刻画一个物体位置的方法就是选取几个物体作参考,按一定的方法来标明这一物体与它们的相互位置关系.在有了一定的度量单位后,相互位置关系通常是用数来表示的.例如,由于航海的需要而产生的地理坐标(经纬度).又如,为了掌握天体运行的规律或标明天体的位置而产生的各种天文坐标.在日常生活中我们也常常按这样的方法来确定某个地点的位置.这就是数学上引入各种坐标的实际背景.

      直角坐标系是最自然、最常用的一种坐标系,但它并不是用数来刻画点的位置的唯一方法,用哪种方法最方便,要按具体情况而定.例如,描述射击目标可以用目标的方向角和距离这两个数,这就是点的极坐标形式.

      本章主要讨论平面上的极坐标系,给出一些常见曲线的极坐标方程.通过具体问题,说明极坐标方法及它的应用过程.还要介绍空间中的柱坐标系和球坐标系.

      1.1 直角坐标系,平面上的伸缩变换

      1.1.1 直角坐标系

      (1)直线上点的坐标

      在直线上取定一点O,取定一个方向,再取一个长度单位.于是对于直线上任一点P(设P点不同于O点),可以按下面的方法来标明它的位置:

      先按长度单位量出线段OP的长度,|OP|=x.按照从O到P的方向与选定的方向相同或相反,分别以正数+x或负数-x来标明P点的位置.这个数就称为P点的坐标.而O点的坐标为0.反之,给定任一实数,直线上有唯一的点以这个数为坐标.于是就给出了直线上的点与全体实数之间的一一对应关系.点O,长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系,简称数轴.

      (2)平面直角坐标系

      在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线,一条称为x轴,一条称为y轴,交点O称为原点.取定长度单位,则平面上任一点M的位置可用下面的方法确定:

      由点M向x轴和y轴分别作垂线,点P和点Q分别是它们的垂足,即P为点M在x轴上的投影点,Q为点M在y轴上的投影点.设x为点P在x轴上的坐标,y为点Q在y轴上的坐标,则点M的位置可以用有序数组(x,y)来表示.如此取定的两条互相垂直

      page0002
      的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系,记为xOy,有序数组(x,y)为点M的坐标.

      在平面上建立了直角坐标系后,平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系.也就是说,在给定坐标系下,平面上的任一点唯一地确定一对有序实数.反之,任意给定一对有序实数,它也唯一地确定平面上的一个点.

      平面直角坐标系按x轴和y轴的选取方向可以分成两大类:把x轴按逆时针方向绕原点O转π/2,而与y轴重合时,如果它们的方向一致,则称这样的坐标系为右手系(如图1-1所示).否则,称为左手系(如图1-2所示).以后我们一般都用右手系.

      (3)空间直角坐标系

      过空间中一个定点O,作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴,就构成了空间直角坐标系.点O称为坐标原点,三条数轴分别称为x轴、y轴、z轴.取定了空间直角坐标系,就可以建立空间的点与三个有序实数之间的对应关系:设M为空间中的一个点,它在三条坐标轴上的投影点分别为P,Q,R,若三个点在数轴上的相应坐标分别为x,y,z,则有序数组(x,y,z)就称为点M的坐标.反之,任意给定一个有序数组(x,y,z),在空间中有唯一的一个点以(x,y,z)为坐标.这样,在空间中的点和有序数组(x,y,z)之间建立了一一对应关系(如图1-3所示).

      1.1.2 平面上的伸缩变换

      图1-4中,作出正弦函数y=sin x的图象.设点P(x,y)为正弦曲线y=sin x上的任意一点,如果保持横坐标不变,把纵坐标变为原来的3倍,则点P(x,y)变为平面上新的点Q(X,Y),其中坐标间的关系式为

      page0003

      (1-1)

      坐标变换公式(1-1)适用于正弦曲线y=sin x上的所有点,因此原来的正弦曲线变为新的曲线

      Y/3=sin X,

      即Y=3sin X.

      此曲线把原来正弦曲线的振幅增大到它的3倍,即振幅为3.坐标变换公式(1-1)表示平面上的一种伸缩变换.

      图1-5所示,设P(x,y)为正弦曲线y=sin x上的任意一点,如果保持纵坐标不变,把横坐标变为原来的1/2,则点P(x,y)变为平面上新的点Q(X,Y),坐标变换公式为

      它也表示平面上的一种伸缩变换.它把原来的正弦曲线变为新的曲线

      Y=sin 2X.

      此曲线把原来正弦曲线的周期缩小为它的1/2,即周期为π.

      图1-6所示,设P(x,y)为正弦曲线y=sin x上的任意一点,按下面坐标变换公式

      page0004
      把点P(x,y)变为平面上新的点Q(X,Y):

      平面上的这一坐标变换把正弦曲线y=sin x变为新的曲线

      Y/3=sin 2X,

      即Y=3sin 2X.

      此曲线把正弦曲线y=sin x的振幅增大到3,同时周期变为π.

      此变换可看作上述两个变换的复合:先保持y不变,把横坐标变为原来的1/2;在此基础上,再把纵坐标变为原来的3倍.

      把上述坐标变换一般化,有

      (1-2)

      其中a>0,b>0.式(1-2)是平面上伸缩变换的坐标表达式.

      平面上伸缩变换的一个典型实例是圆在平行压缩(或拉伸)下变为椭圆,如图1-7所示.

      page0005

      有一圆形的弹性物体,圆的方程为

      x^(2)+y^(2)=a^(2).

      设物体受均匀的平行于y轴的外力F的压缩,而保持x轴上的直径不动(如图1-8所示). P(x,y)为圆上一点,在压缩后变到点M(X,Y).由于力F平行于y轴,因此Y-ky(0<k<1),而X=x.把x=X,y=Y/k代入上面圆的方程,得

      X^(2)+=a^(2),

      =1.

      这是椭圆的方程.这表明,圆被压缩后变为椭圆.

      page0006

      1.2 极坐标系

      直角坐标系是最常用的坐标系,但它并不是用数来刻画点的位置的唯一方法.用哪种方法最方便,要对具体问题作具体分析.

      图1-9所示.缉私观测站位于点O处,看到位于点A处的走私船正在逃跑.现停泊于点O处的缉私船追击走私船,随时需要观测站提供走私船所在的位置P.对船舶来说,最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标(x,y),而是它的方位角,即夹角θ.在航空和航海中的情况都是这样.

      当用炮兵指挥仪指示射击目标时,输出的是目标的方位,即方向和距离.在日常生活中,我们也经常用距离和角度指示位置.用距离和方向刻画点的位置,这是建立极坐标系的基本思路.

      1.2.1 平面上点的极坐标

      在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.O点称为极点,Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图1-10所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径,θ称为极角.

      page0007

      由此例可得关于对称点的一般结论:点(ρ,θ)关于极轴的对称点是(ρ,-θ),关于上述直线l的对称点是(ρ,π-θ),关于极点O的对称点是(ρ,π+θ).

      在极坐标(ρ,θ)中,一般限定ρ≥0.当ρ=0时,就与极点重合,此时θ不确定.给定点的极坐标(ρ,θ),就唯一地确定了平面上的一个点.但是,平面上的一个点的极坐标并不是唯一的,它有无穷多种表示形式.事实上,(ρ,θ)和(ρ,θ+2kπ)代表同一个点,其中k为整数.由此可见,平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定ρ≥0,0≤θ<2π,则除极点外,平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系.

      我们也可以允许ρ<0,此时极坐标(ρ,θ)对应的点M的位置按下面规则确定:点M在与极轴成θ角的射线的反向延长线上,它到极点O的距离为|ρ|,即规定当ρ<0时,点M(ρ,θ)就是点M(-ρ,θ+π)(如图1-13所示).

      应该指出,在通常情况下总认为ρ≥0,只在事先说明的条件下,才允许取ρ<0.

      极坐标的应用范围极为广泛,如在力学中对行星运动的研究和机械中凸轮的设计、波的传播、温度分布等问题.

      图1-12

      page0008

      1.2.2 极坐标与直角坐标的关系

      极坐标系和直角坐标系是平面上的两种不同的坐标系.平面上的点可以表示为极坐标,也可以表示为直角坐标,以后在讨论问题时经常要作这两种坐标的变换.

      设在平面上取定了一个极坐标系,以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴,以θ=π/2的射线作为y轴的正半轴,以极点为坐标原点,长度单位不变,建立一个直角坐标系(如图1-14所示).

      设M为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图1-14可知下面的关系式成立:

      (1-3)

      (1-4)

      顺便指出,上式对ρ<0也成立.

      在本书中,若不特别说明,则极坐标和直角坐标的变换都指公式(1-3),(1-4).

      page0009
      page0010

      1.3 曲线的极坐标方程

      在数学2中我们学习过直线和圆的方程,在选修系列1或系列2中学习了圆锥曲线与

      page0011
      方程.现在可以回顾这些曲线与方程,给出曲线的直角坐标方程的定义.

      在给定的平面直角坐标系下,如果二元方程

      F(x, y)=0

      满足下面两个条件,则称它为曲线C的方程:

      (1)曲线C上任一点的坐标(x,y)都满足方程;

      (2)所有适合方程的(x,y)所对应的点都在曲线C上.

      实际上,曲线C是坐标(x,y)满足方程F(x,y)=0的所有点的集合.以后我们把直角坐标方程常称为曲线的普通方程.

      建立了直角坐标系后,一个有序数对表示平面上的一个点,而一个二元方程表示一条平面曲线.这样就使数与形结合起来,使我们可以通过对数量关系的讨论来研究图形;另一方面也可以利用几何图形直观地演示函数方程中两变量之间的关系,有时还能从几何图形中提示解决问题的途径.

      和上述曲线的普通方程类似,给出曲线的极坐标方程的概念.

      在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程

      F(ρ,θ)=0.

      如果曲线C是由极坐标(ρ,θ)满足方程的所有点组成的,则称此二元方程F(ρ,θ)=0为曲线C的极坐标方程.

      此处要注意,由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多组表示形式,这里要求至少有一组能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.例如,对极坐标方程ρ=θ,点M(π/4,π/4)可以表示为(π/4,π/4+2π)或(π/4,π/4-2π)等多种形式,其中只有(π/4,π/4)的形式满足方程,而其他表示形式都不满足方程.

      今后我们遇到的极坐标方程多是ρ=ρ(θ)的形式,即ρ为θ的一个函数.

      由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ=π/2所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.

      显然,坐标(1,θ)满足方程,以(1,θ)为坐标的点在此圆上.而在此圆上的点的坐标也满足方程ρ=1.

      解此题时,也可以把极坐标变换为直角坐标.由ρ=,知方程ρ=1可以化为普通方程=1,即x^(2)+y^(2)=1.这是圆心在原点的单位圆.

      圆心在极点,半径为R的圆的极坐标方程为ρ=R.由此可见,这种圆的极坐标方程比直角坐标方程简单得多.

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      由此可见,直线的极坐标方程形式比普通方程复杂,因此只在特殊情况下才用直线的

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      极坐标方程.

      在此例中,当α=0时,直线l与极轴垂直,此时方程变为ρcosθ=d;当α=π/2时,直线l与极轴平行,此时方程变为ρsinθ=d,见图1-18的(1)和(2).

      若d=0,则直线过极点.设此时直线与极轴的夹角为θ0,则直线的方程为

      θ=θ0和θ=π+θ0

      图1-18的(3).若允许ρ取负值,则方程为

      θ=θ0.

      1.4 圆的极坐标方程

      在直角坐标系和极坐标系中,表示圆的方程形式是不同的.在有些情况下,用极坐标方程表示更简单,如上节描述的圆心在极点的圆,还有本节要讨论的过极点的圆.

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      1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆

      圆心在极轴上的点(a,0)处,且圆过极点O(如图1-19所示). P为圆与极轴的另一交点,M(ρ,θ)为圆上的动点,连接OM和MP,由平面几何知识知OM⊥MP.在直角三角形OMP中,由三角知识可得

      ρ=2acosθ,-π/2≤θ≤π/2. (1-7)

      坐标(ρ,θ)满足此方程的点也在该圆上.因此,得该圆的方程ρ=2acosθ.

      也可以先写出该圆的直角坐标方程,再化为极坐标方程.

      图1-20所示,建立直角坐标系.在直角坐标系中,该圆的圆心为(a,0),半径为a,故圆的直角坐标方程为

      (x-a)^(2)+y^(2)=a^(2),

      即x^(2)+y^(2)=2ax.

      由坐标变换公式得

      ρ^(2)=2aρcosθ,

      即ρ=2acosθ.

      这样就得到前面推导出的极坐标方程.

      上节曾用描点法作过此方程的图形,这是以后常用的圆的方程.

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      1.4.2 圆心在点(a,π/2)处且过极点的圆

      图1-22所示,圆与射线θ=π/2的交点为P(2a,π/2).在圆上任取一点M(ρ,θ),连接OM和MP,则OM⊥MP.在直角三角形OMP中,由三角知识可得

      ρ=2acos(π/2-θ)=2asinθ.

      上式对π/2<θ≤π也成立(请同学们作图后再说明).易知,只要坐标(ρ,θ)满足上面的方程,相应的点一定在该圆上,因此得该圆的方程

      ρ=2asinθ,0≤θ≤π.(1-8)

      该圆的极坐标方程也可以由它的直角坐标方程

      x^(2)+(y-a)^(2)=a^(2)变换得出.

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      这里要指出,当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要建立圆的极坐标方程,通常把极点放置在圆心处,极轴与x轴同向.这样,圆的极坐标方程十分简单,为ρ=R.而极坐标与直角坐标的变换公式用(1-5).

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      1.5 柱坐标系和球坐标系

      在天气预报中常有热带风暴的预告,比如说某热带风暴位于北纬15度,东经125度.这些描述位置的数字也是在空间中刻画点的位置的一种坐标,它不同于已学过的直角坐标.又如描述卫星、飞船的位置或其他天体的位置,往往也不用直角坐标.由于不同的实际需要,就产生了描述空间点的位置的不同参照系,即不同的坐标系.本节讨论两种坐标系:柱坐标系和球坐标系.

      先回顾平面上的两种坐标系.在平面直角坐标系中,描述点的位置的参照系是两根互相垂直的数轴,点的坐标是由两个有序数构成的数组,描述的是它相对于数轴的位置.在极坐标系中,参照系是一个极点和一条极轴,点的坐标也是由两个有序数构成的数组,描述的是它到极点的距离和相对于极轴的角度.按照实际需要,可以方便地选取其中一种坐标,而且在分析问题时可以把坐标互相变换.

      在空间直角坐标系中,描述空间中一点的位置,选取的参照系是三个互相垂直的平面,点的坐标是由三个有序数构成的数组,描述的是它相对于三个坐标面的位置.当然,空间点的直角坐标也可以看作是点相对于三根坐标轴的位置.

      本节介绍的描述空间点的两种坐标,也是由三个有序数构成的数组,只是选取的参照系不同.

      1.5.1 柱坐标系

      设空间中一点M的直角坐标为(x,y,z),M点在xOy坐标面上的投影点为M0,M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ,θ),如图1-27所示,则三个有序数ρ,θ,z构成的数组(ρ,θ,z)称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中,限定ρ≥0,0≤θ<2π,z为任意实数.由此可见,柱坐标就是平面上的极坐标,加上与平面垂直的一个直角坐标.因此,由平面上极坐标和直角坐标的变换公式,容易得到空间直角坐标与柱坐标的变换公式

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      (1-11)

      在平面极坐标中,方程ρ=ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点,半径为ρ0的圆,方程θ=θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线.而在空间的柱坐标系中,方程ρ=ρ0表示中心轴为z轴,底半径为ρ0的圆柱面,它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的.方程θ=θ0表示与z0x坐标面成θ0角的半平面.方程z=z0表示平行于xOy坐标面的平面(如图1-28所示).常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.

      1.5.2 球坐标系

      设空间中一点M的直角坐标为(x,y,z),点M在xOy坐标面上的投影点为M0,连接OM和OM0.

      图1-29所示,设z轴的正向与向量的夹角为φ,x轴的正向与的夹角为θ,M点到原点O的距离为r,则由三个数r,θ,φ构成的有序数组(r,θ,φ)称为空间中点

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      M的球坐标.若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为(ρ,θ),则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r≥0,0≤θ<2π,0≤φ≤π.

      下面给出点M的直角坐标与球坐标的变换公式.

      图1-29可知

      z=rcosφ,

      ρ=rsinφ,

      x=ρcosθ=rsinφcosθ,

      y=ρsinθ=rsinφsinθ,

      由此得坐标变换公式

      (1-12)

      在空间的球坐标系中,方程

      r=r0(r0为正常数)

      表示球心在原点,半径为r0的球面;方程

      θ=θ0(0≤θ0<2π)

      表示过z轴的半平面,它与zOx坐标面的夹角为θ0;方程

      φ=φ0(0≤φ0≤π)

      表示顶点在原点,半顶角为φ0的圆锥面,它的中心轴是z轴,φ0<π/2时它在上半空间,φ0>π/2时它在下半空间,φ0=π/2时它是xOy平面,如图1-30所示.

      地球的纬度、经度和球坐标的φ,θ类似,只是计算起点略有不同.

      以地球中心为坐标原点,地球赤道所在的平面为xOy坐标面,由原点指向北极点的连线方向为z轴正向,本初子午线所在的平面为zOx坐标面.本初子午线是由地球的两

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      个极点和位于伦敦东南郊的格林尼治天文台原址所在点确定的地球的一个大圆.这样就建立了直角坐标系.xOy平面把地球分为南北两半球,以此为起点分为南北纬度各90度.zOx平面把地球分为东西两半球,以此为起点分为东西经度各180度,如图1-31所示.

      把某地记为空间中的一点M,若地处北半球,设与z轴正向的夹角为(90-φ)度,则称此地的纬度是北纬φ度,如北京处于北纬40度;若地处南半球,设与z轴负向的夹角为(90-φ)度,则称南纬φ度,如巴西利亚处于南纬16度.

      点M与z轴生成一个半平面,设它与zOx坐标面的夹角为θ度(以zOx的前半平面为计算起点).若地处东半球(图中与y轴正半轴相对应),则称此地的经度是东经θ度,如北京处于东经118度;若地处西半球(图中与y轴负半轴对应),则称此地的经度是西经θ度,如巴西利亚处于西经48度.

      [图形演示](见课件)球坐标系.

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      本章小结

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      阅读与欣赏

      常见曲线的极坐标方程

      在今后的学习和研究中,常见到一些用极坐标方程表示的平面曲线.下面简单介绍这些曲线的极坐标方程及它们的图形.

      1.阿基米德螺线

      阿基米德螺线的极坐标方程为

      ρ=aθ, a>0. (1-13)

      当θ=0时,ρ=0,对应极点O.当θ增加时,ρ按比例增加.当θ增加2π时,ρ增加2πa.用描点法可作出该螺线的图形.图1-32的(1)对应ρ=θ,θ≥0;而(2)对应ρ=θ,θ≤0.

      由螺线的图形可见,过极点O的每一条射线被曲线截成无穷多线段,各线段的长皆为2πa.

      阿基米德螺线可以看作质点的运动轨迹.设运动开始时质点M位于一射线l的始端O,射线绕固定点O作匀角速转动,质点从O点出发沿射线l作匀速运动,则质点M的运动轨迹是阿基米德螺线.

      可以想象一只小虫在唱片上由中心沿半径匀速向外爬行,而唱片匀角速旋转,则小虫的运动路线为该螺线.

      阿基米德螺线可应用于机械设计.把凸轮的轮廓线作成阿基米德螺线的形状,可以把匀角速转动转换为匀速直线运动.因此常称阿基米德螺线为等速螺线.有时把等速螺线写成ρ=ρ0+aθ的形式,其中ρ0为常数.

      回顾直角坐标方程y=ax,它表示平面上的一条直线.而极坐标方程ρ=aθ表示螺线.以方程观点看问题,两个方程的形式相同,只是表示变量的字母不同而已.但是由于坐标系不同,它们表示的曲线完全不同.

      [图形演示](见课件)阿基米德螺线.

      2.心形线

      心形线的极坐标方程为

      ρ=a(1-cosθ), a>0, 0≤θ≤2π.(1-14)

      用描点法作方程的图形,如图1-33所示.图形和心脏的截面轮廓线相似,故称为心形线.它对称于极轴所在的直线.θ的

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      取值范围也可以是[-π,π],由于函数是θ的偶函数,因此曲线关于极轴所在的直线对称.

      用不同的方法可生成心形线.在相应的图形演示课件中,就展示了生成心形线的过程.在第二章的阅读与欣赏中,详细叙述并推导了心形线的方程.下面的例也是一种生成心形线的方法.

      心形线的方程也可以写成下面的形式

      ρ=a(1+cosθ), a>0,0≤θ≤2π.

      (1-15)

      它的图形如图1-34所示.

       设O为直径等于a的圆上的一点,过O点任意作直线交圆于P点.在射线OP上取一点M,使|PM|=a.当P点在圆上移动一周时,求相应的点M的轨迹方程.

      :如图1-35所示,以点O为极点,从点O开始过圆心的射线为极轴,建立极坐标系.设圆上动点P的极坐标为(r,φ),点M的极坐标为(ρ,θ),则圆的方程为

      r=acosφ.

      由|PM|=a,得ρ=r+a.又θ=φ,把r=ρ-a和φ=θ代入圆的方程,得

      ρ-a=acosθ,

      ρ=a(1+cosθ).

      这正是心形线的极坐标方程.因此,上述动点M的轨迹是心形线.这是由圆生成心形线的一种方法.

      [图形演示](见课件)心形线的一种生成过程.

      3.双纽线

      双纽线的极坐标方程为

      ρ^(2)=a^(2)cos 2θ,

      或ρ=a(a>0),-π/4≤θ≤π/4与3/4π≤θ≤5/4π. (1-16)

      用描点法先作出当0≤θ≤π/4时的方程的图形,如图1-36所示.因为ρ为θ的偶函数,所以图形对称于极轴.由此可作出-π/4≤θ≤0的图形.

      又由

      cos 2(π-θ)=cos 2θ,

      知方程ρ=ρ(θ)=a满足关系式

      ρ(π-θ)=ρ(θ).

      因此图形关于射线θ=π/2所在的直线对称.由此可以作出方程的全部图形,如图1-37所示.

      双纽线方程的另一形式为

      ρ^(2)=a^(2)sin 2θ,

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      ρ=a. (1-17)

      它的图形如图1-38所示.

      顺便指出,如果按方程

      ρ^(2)=a^(2)cos 2θ

      作双纽线的图形,并且允许ρ取负值,则有

      ρ=±a

      此时θ的取值范围为-π/4≤θ≤π/4.

      [图形演示](见课件)双纽线.

       第二章 参数方程

      第二章 参数方程

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      在平面上建立直角坐标系后,就可以用一个有序数对(x,y)来表示平面上的一个点.当平面上的点按一定规则运动时就形成一条平面曲线.描述点的运动规则就是曲线上点M的两个坐标x和y之间的一个制约关系,它可以表示为变量x,y的一个二元方程F(x,y)=0,称此二元方程为曲线的方程,它是直角坐标方程.借助于曲线的方程可以用代数方法分析曲线的某些重要性质,讨论曲线的各种应用.

      常见的许多曲线往往是物体在实际运动中的轨迹.这时运动的规律经常不是直接反映为物体位置的坐标x和y之间的相互关系,而表现为物体的位置随时间改变的规律,也就是位置的坐标x和y对时间t的依赖关系.例如,一抛射体在重力作用下的运动轨道是抛物线,为了研究抛射体的运动,先要建立它的轨道曲线.要想建立它的直角坐标方程,就要找到运动中物体所在位置的坐标x和y的直接关系.由于抛射体运动在这方面的特征不很明显,因此直接建立轨道曲线的直角坐标方程不方便.但是物体的运动直接和时间相关联,以时间t为中介,运用物理学知识分别建立直角坐标x,y与t的关系式,就唯一确定了物体的运动轨迹,也就间接建立了x和y的关系.这就是本章要介绍的曲线的参数方程.

      顺便指出,参数方程也是函数的重要表达形式,在高等数学深入研究函数的过程中,参数方程是常用的函数形式.在本章的学习中,要了解常见曲线的参数方程与相应的图形,逐步掌握用向量知识推导某些轨迹曲线的参数方程的基本方法.

      2.1 曲线的参数方程

      2.1.1 抛射体的运动

      先看一个实例.

      火炮发射炮弹后,炮弹在空中形成一条轨道曲线.为了简单起见,给出下面的假设条件:

      (1)炮弹在空中的一个铅直平面上运动,即轨道曲线为一平面曲线;

      (2)炮弹在运动中仅受重力作用,不计空气阻力,也不受其他环境的影响;

      (3)炮弹的初速度为v0,发射角(仰角)为α.

      为了描述这一运动,就要建立轨道曲线的方程.为此先在轨道曲线所在的平面上建立直角坐标系.以火炮所在位置(炮口)为原点,地平线(水平方向)为x轴,y轴竖直向上,如图2-1所示.把时间记为t,开始发射时,记t=0.

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      设时刻t时炮弹所在位置为点M(x,y),它是轨道曲线上的动点.下面分别讨论坐标x,y与时间t之间的关系.

      用向量知识,在x轴、y轴方向上分解炮弹的速度向量v0,可得

      v=vx+vy.

      其中vx,vy分别表示速度向量v0在x轴、y轴上的分向量.

      记u0,ux,uy分别为向量v0,vx,vy的大小,则

      ux=u0cos α, uy=u0sin α.

      由物理学知识可知,炮弹在水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作竖直上抛运动,因此得

       (2-1)

      其中u0,α为常数,g是重力加速度(一般g≈9.8 m/s^(2)).

      (2-1)式是描述炮弹轨道曲线的参数方程,其中t称为参数.用方程(2-1)分析炮弹的运动十分方便,比如可以随时算出炮弹所在位置M(x,y).用计算机适时输出坐标x和y,它就是炮弹飞行的水平距离和高度.火炮指挥仪的基本数学模型就是方程(2-1).当然,实际中必须考虑空气阻力和风力、气温等各种环境条件及其他因素,这样就在方程(2-1)的基础上形成了复杂的弹道方程组.

      参数方程(2-1)可以通过消去参数t,变换为直角坐标方程.把t=代入y的表达式,得

      y=tanα·x-x^(2). (2-2)

      由此可见,轨道曲线为一抛物线.

      在(2-2)中,令y=0,解得x1=0,x2=.由此可知,炮弹的水平射程为

      把方程(2-2)变形为

      y-=-(x-)^(2),

      易知,当x0=时,y0=.此时,炮弹处于轨道曲线的最高点(x0,y0),即炮弹的最大高度为.

      page0032

      2.1.2 曲线的参数方程

      上一节抛射体运动的分析过程可以推广到一般的质点运动问题.

      设质点的运动规律为

       a≤t≤b.

      其中f(t),g(t)为时间t的函数.对任一时刻t,由上式得到一对数x和y,点M(x,y)就是质点在时刻t的位置,质点在每一时刻的位置都在运动曲线上.反之,运动曲线上的每一点必定是质点在某一时刻t按上式得出的位置M(x,y).

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      根据上述运动规律和曲线的关系,下面给出一般曲线的参数方程的概念.

      定义 设在平面上取定了一个直角坐标系xOy,把坐标x,y表示为第三个变量t的函数

       a≤t≤b.(2-3)

      如果对于t的每一个值(a≤t≤b),(2-3)式所确定的点M(x,y)都在一条曲线上;而这条曲线上的任一点M(x,y),都可由t的某个值通过(2-3)式得到,则称(2-3)式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数.

      简单地说,若t在a≤t≤b内变动时,由(2-3)式确定的点M(x,y)描出一条曲线,则称(2-3)式为该曲线的参数方程.

      曲线的参数方程是通过曲线上点的坐标x和y与t的关系来反映x和y之间的联系的.如果能从方程中消去参数t,就得到联系x和y的方程F(x,y)=0,而且这个方程的每一组解(x,y)都可从t的某个值通过(2-3)式得到,则方程F(x,y)=0就是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程).上述抛射体运动曲线的参数方程可以转化为曲线的普通方程,它是一条抛物线.

      一条曲线是用直角坐标方程表示还是用参数方程表示,要根据具体情况确定.

      曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程,转化的关键是找到一个适当的参数.曲线的普通方程和参数方程之间有些容易转化,有些则较困难,有些无法转化.

      应该指出,对一般的参数方程,参数可能有物理意义,如抛射体运动曲线的参数方程中,参数t表示运动时间.参数也可能有几何意义,如例2表示圆的方程

       0≤θ≤2π中,θ可作为参数,它的几何意义是相应的圆心角.参数可能既无物理意义,也无几何意义.这都要视具体情况而定.

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      由此可见,曲线的普通方和可化成不同形式的参数方程。

      2.2 直线和圆的参数方程

      在数学2和选修课中已学习过直线和圆的直角坐标方程,把它们转化为参数方程形式很容易.直线和圆的参数方程对进一步学习数学十分重要,它有广泛的应用.

      page0035

      2.2.1 直线的参数方程

      本节用几种思路讨论直线的参数方程:一是把直线看作质点的匀速运动曲线;二是从直线的普通方程转化为参数方程;三是用向量方法推导直线的参数方程.

      设质点从点M0(x0,y0)出发,沿着与x轴成α角的方向作匀速直线运动,其速率为u0.把速度向量在x轴、y轴上分解,其大小为

      图2-4所示,设M(x,y)为t时刻质点所在位置,则有

       t≥0.

      当t变化时,动点M(x,y)的轨迹是一条过点M0,倾斜角为α的射线,若不顾及t的物理意义,允许t取负值,则上式是直线的一种参数方程形式,t为参数.

      直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为

      y-y0=k(x-x0).

      其中k=tanα,α为直线的倾斜角,代入上式,得

      y-y0=(x-x0),α≠π/2,

      =.

      记上式的比值为t,整理后得

       (2-4)

      这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.如图2-5所示,在直角三角形M0AM中,|M0A|=|x-x0|,

      MA|=|y-y0|,|M0M|=|t|,即|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离.

      下面给出用向量法推导直线参数方程的过程.

      设直线过点M0(x0,y0),且与平面向量a=(l,m)平行(或称直线与a共线,其中l,m都不为0),在直线上任取一点M(x,y),则向量与a共线,即∥a.由两向量共线的充分必要条件以及=(x-x0,y-y0),可得

      =.

      记上式的比值为t,整理后得

      page0036

      t∈R.(2-5)

      这是直线的参数方程的一般形式.

      上述平面直线的参数方程的推导方法可以推广到空间直线,而且空间直线参数方程的形式与(2-5)类似.

      page0037
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      2.2.2 圆的参数方程

      质点以匀角速度ω作圆周运动,圆心在原点,半径为R.下面建立运动的轨迹方程.

      图2-9所示,记t为时间,运动开始时t=0,质点位于点A处,在时刻t,质点位于点M(x,y)处.由物理学知识,θ=ωt,θ为Ox轴正向到向径所成的角,因此得

       t≥0.

      这是圆周运动的轨迹方程,t为参数,也可以写成

       (2-6)

      θ为参数,若限制0≤θ≤2π,则(2-6)式为圆的参数方程,θ有明显的几何意义.

      (2-6)式可以直接由圆的普通方程转化得出.

      设方程

      x^(2)+y^(2)=R^(2),

      (x/R)^(2)+(y/R)^(2)=1.

      令x/R=cosθ,则(y/R)^(2)=1-cos^(2)θ=sin^(2)θ.取y/R=sinθ,则得参数方程(2-6).

      若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为

       0≤θ≤2π. (2-7)

      这只要用平移的坐标变换公式,就可由(2-6)式得出.

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      2.3 圆锥曲线的参数方程

      圆锥曲线指椭圆、抛物线和双曲线,在某些研究领域中,它们的参数方程用起来较方便.椭圆的参数方程应用广泛.

      2.3.1 椭圆的参数方程

      设椭圆的普通方程为

      =1,

      (x/a)^(2)+(y/b)^(2)=1.

      令x/a=cos t,则(y/b)^(2)=1-cos^(2)t=sin^(2)t.取y/b=sin t,则得椭圆的参数方程

       0≤t≤2π. (2-8)

      若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆的参数方程为

       0≤t≤2π. (2-9)

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      page0043
      page0044

      2.3.2 抛物线的参数方程

      设抛物线的普通方程为

      y^(2)=2px.

      要选一个参数把它化为参数方程十分简单,例如,可选y自身为参数t,则x=,得抛物线的参数方程

      通常令t=1/2py,则x==2pt^(2),此时抛物线的参数方程为

       (2-10)

      在2.1节讨论的抛射体的轨迹方程就是抛物线参数方程的一个具体形式.

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      2.3.3 双曲线的参数方程

      设双曲线的普通方程为

      =1,

      (x/a)^(2)-(y/b)^(2)=1.

      令x/a=secθ,由三角公式sec^(2)θ-tan^(2)θ=1,得

      (y/b)^(2)=(x/a)^(2)-1=sec^(2)θ-1=tan^(2)θ.

      取y/b=tanθ,得双曲线的参数方程

       (2-11)

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      2.4 一些常见曲线的参数方程

      在生产实践和科学研究中,常会见到某些装置的轮廓线及一些物体在运动中的轨迹是一些特殊的曲线,如翻土机的犁铧运动的轨迹为长幅摆线,某些机器上齿轮的轮廓线为圆的渐开线等.

      这些曲线大多是用参数方程表示的,本节主要讨论摆线和圆的渐开线的参数方程.关于星形线的讨论放在阅读与欣赏中.

      2.4.1 摆线的参数方程

      设想你的自行车外胎上粘了一点白色的油漆,当你骑车向前直行时,这个油漆白点就在空中描绘出一条曲线,这条曲线就是摆线,也称为旋轮线.

      用数学语言描述如下:

      一圆周沿一直线作无滑动滚动时,圆周上的一定点M的轨迹称为摆线(如图2-15所示).

      下面建立摆线的参数方程.

      图2-16所示,设半径为a的圆在x轴上滚动,开始时定点M在原点O处.取圆滚动时转过的角度t(以弧度为单位)为参数.当圆滚过t角时,圆心为点B,圆与x轴的切点为A,定点M的位置如图所示,∠ABM=t.

      由于圆在滚动时不滑动,因此线段OA的长和圆弧的长相等,它们的长都等于at,从而得B点的坐标为(at,a),向量

      =(at, a),

      向量

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      =(asin t, acos t),

      =(-asin t,-acos t),

      因此

      =

      =(at-asin t, a-acos t)

      =(a(t-sin t), a(1-cos t)).

      设动点M的坐标为(x,y),则向量

      =(x, y),

      所以

       (2-12)

      这就是摆线的参数方程.当点M的位置与图2-16不同时,可导出同样的表达式.

      如果从方程(2-12)中消去参数t,可得摆线的直角坐标方程,此时方程中含有反三角函数,不便于讨论.因此,直接用参数方程讨论摆线的性质.

      根据参数方程描绘曲线的图形也可用描点法.给定一个参数t的值,按参数方程计算出相应的x,y值,描出点M(x,y),它是曲线上的一点.取适当多的t值,逐一描点就得到相应曲线的图形.摆线的图形如图2-17所示,图中取a=2,0≤t≤2π,在[0,2π]内取t的13个值,描出曲线的相应点.我们称这段曲线为摆线的一拱.按照摆线生成的过程,这一拱相应于圆向前滚动一周.圆再向前滚动一周,相应于t由2π变到4π.此时,点M描出摆线的第二拱,第二拱的形状和前一拱完全相同.圆继续向前滚动,可得第三拱、第四拱……

      若取-∞<t<+∞,相应的图形如图2-18所示.

      在方程(2-12)中,任取两个参数值t和t+2π,相应点的纵坐标相等,横坐标相差2πa.因此,把相应于0≤t≤2π的摆线的一拱向右平移2πa,刚好与相应于2π≤t≤4π的那一拱重合.依次类推,摆线的任一拱都可以由相应于0≤t≤2π的那一拱经左右平移得

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      到.这就是摆线的周期性.

      摆线的每一拱都是左右对称的,比如0≤t≤2π上的这一拱对称于直线x=πa,如图2-18所示.任取一参数值t,对应点A1的纵坐标为

      y1=a(1-cos t),

      而参数2π-t对应点A2的纵坐标为

      y2=a[1-cos(2π-t)]=a(1-cos t).

      这表明A1和A2的纵坐标相等.

      A1的横坐标为

      x1=a(t-sin t),

      A2的横坐标为

      x2=a[(2π-t)-sin(2π-t)]

      =2πa-a(t-sin t).

      由x1+x2=2πa,知A1和A2中点的横坐标为

      x=x1+x2/2=πa.

      因此,摆线上的两点A1和A2关于直线x=πa对称.由于t值的任意性,知点A1为摆线这一拱上的任意一点,因此这一拱摆线关于直线x=πa对称.

      摆线有些重要性质.例如,质点在重力作用下,从固定点A滑动到固定点B,沿什么形状的轨道曲线所用的时间最短呢?是沿直线AB滑动用时最少吗?答案是:上述的最速降线是一条翻转的摆线(如图2-19所示).

      普通单摆的摆动周期与摆幅不是绝对无关的.为了使摆动周期与摆幅完全无关,可以在摆动平面内做两个摆线形状的挡板(如图2-20),此时单摆的运动轨迹也是一条摆线.

      如果把本节开始提出的问题略作变动,则得出不同类型的曲线.设想在自行车车轮的一根辐条上安装了一个小的红灯泡,当夜晚骑车行进时,灯泡将描绘出一条什么曲线呢?这就是下面探索与研究的问题.

      [图形演示](见课件)摆线的生成过程.

      page0050

      2.4.2 圆的渐开线的参数方程

      当你到工厂参观时,会看到许多机械加工设备.有些机械零件的轮廓线是一些特殊的曲线.例如齿轮的形态多种多样,有不少齿轮采用圆的渐开线齿形(如图2-21所示).这种齿轮的齿形磨损小,传动平稳.

      和摆线的情形类似,用参数方程表示圆的渐开线比较方便.

      把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上,把绳拉紧逐渐展开,绳的外端点随之移动,且绳的拉直部分始终和圆相切.绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线,固定的圆称为渐开线的基

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      圆,如图2-22所示.

      下面就按照给出的渐开线的直观定义用初等方法推导圆的渐开线的参数方程.

      设基圆的半径为a,以圆心为原点O,绳端点的初始位置为M0,向量的方向为x轴正方向,建立坐标系(如图2-23所示).设渐开线上的任意点M(x,y),绳拉直时和圆的切点为A,故OA⊥AM.按渐开线定义,弧的长和线段AM的长相等,记和x轴正向所成的角为t(以弧度为单位),则

      |AM|-=at.

      作AB垂直于x轴,过M点作AB的垂线.

      由三角及向量知识,得

      =(acos t, asin t).

      由几何知识知∠MAB=t,而且

      =(atsin t,-atcos t),

      =

      =(acos t+atsin t, asin t-atcos t)

      =(a(cos t+tsin t), a(sin t-tcos t)).

      =(x,y),因此有

      (2-13)

      这就是圆的渐开线的参数方程.

      [图形演示](见课件)圆的渐开线.

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      本章小结

      Ⅰ 知识结构

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      阅读与欣赏

      星形线和内摆线

      1.星形线的参数方程

      一轴承的剖面如图2-24所示,小圆表示滚珠,半径为r,大圆表示轴瓦,半径为a=4r.设想大圆固定,而小圆在大圆内无滑动地滚动.小圆上的一定点M在运动中的轨迹为一条曲线,称为星形线.下面推导它的参数方程.

      取大圆圆心为坐标原点.设小圆的定点M开始时位于点A处,x轴正方向为向量的方向.小圆滚动a角后,圆心在C点,与大圆的切点为B,小圆上的定点M的位置如图2-24所示.

      因为是无滑动的滚动,所以=.记θ=∠AOB,由=rα,=aθ=4rθ得

      rα=4rθ.

      由此知

      α=4θ.

      作CD平行于x轴,则∠BCD=θ,得

      ∠DCM=∠BCM-∠BCD=α-θ=3θ.

      由此知CM与x轴正向形成的任意角为-3θ.由

      |OC|=a一r=3r,

      用向量的坐标表达式,得

      =(3rcosθ, 3rsinθ),

      =(rcos(-3θ), rsin(-3θ))

      =(rcos 3θ,-rsin 3θ).

      因此有

      =

      =(3rcosθ+rcos 3θ, 3rsinθ-rsin 3θ).

      用三角函数的三倍角公式

      cos 3θ=4cos^(3)θ-3cosθ,

      sin3θ=3sinθ-4sin^(3)θ,

      =(4rcos^(3)θ, 4rsin^(3)θ)

      =(ac0s^(3)θ, asin^(3)θ).

      另一方面

      =(x, y).

      因此得星形线的参数方程

       0≤θ≤2π. (2-14)

      用描点法画出曲线,如图2-25所示.星形线关于x轴、y轴都对称.

      方程(2-14)易于化为直角坐标方程.

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      二式两端分别相加,得

      =.(2-15)

      至此已讨论了三种常见曲线(摆线、圆的渐开线、星形线)的参数方程,它们的推导过程类似:

      (1)建立合适的坐标系;

      (2)取定某个角度(以弧度为单位)为参数;

      (3)用三角知识写出相关向量的坐标表达式;

      (4)用向量运算得到的坐标表达式,就得到了曲线的参数方程.

      2.内摆线

      把上面描述的星形线的生成过程推广,就可得到新的曲线.

      设半径为r的动圆在半径为a(a>r)的定圆内无滑动地滚动,则动圆圆周上一定点M将描绘出一条曲线,称为内摆线.特别地,当a=4r时,它就是星形线.

      推导内摆线的参数方程的过程和星形线类似.

      仍然用图2-24,注意到

      α=a/rθ,|OC|=a-r,

      CM和x轴正向形成的角度为-(a/r-1)θ,得

      =((a-r)cosθ,(a-r)sinθ),

      =(rcos(a/r-1)θ,-rsin(a/r-1)θ),

      =((a-r)cosθ+rcos(a/r-1)θ,

      (a-r)sinθ-rsin(a/r-1)θ).

      内摆线的参数方程为

      令r/a=k(0<k<1),得

      当k=1/2时,方程为

      这是大圆的一条直径(如图2-26所示),即当大圆半径恰为小圆半径的2倍时,动圆上一定点的轨迹是一直线,这相当于把旋转运动转换为直线运动.这一原理可用于机械设计.

      当k=2/5和k=2/3时,内摆线的图形如图2-27所示.

      3.变幅内摆线

      在一般情况下,我们讨论动圆在定圆内滚动时,动圆所在平面内与动圆固定在一起的一点M,将描绘出一条什么样的曲线?

      如果M点在动圆圆周上,则M点的运

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      动轨迹就是上面讨论过的内摆线;如果M点在动圆内,则M点的运动轨迹称为短幅内摆线;如果M点在动圆外,则M点的运动轨迹称为长幅内摆线.这两种曲线统称为变幅内摆线,推导它的参数方程的过程和内摆线类似,不同之处仅在于图2-24中的

      CM|的长不是r,而是d,d表示M点到动圆圆心的距离.变幅内摆线的参数方程为

      当k=1/4时,短幅内摆线和长幅内摆线的图形如图2-28所示.

      下面看一个特殊情况.

      设动圆半径为r,定圆半径为a=2r,圆内一点M,它到动圆圆心的距离为d,在此情形下,M点的运动轨迹是我们熟悉的椭圆.

      在上面变幅内摆线的参数方程中,令k=1/2,则方程变为

      这是长半轴为r+d,短半轴为r-d的椭圆,这一运动原理可用于一些特殊设备的设计,如卡丹转盘.

      当M点在动圆外时,相应长幅内摆线还是椭圆,它的长半轴为d+r,短半轴为d-r.

      [图形演示](见课件)星形线的生成过程.

      变幅摆线

      一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时,求圆平面上圆内一定点M的轨迹方程.

      M点的运动轨迹称为短幅摆线,建立它的参数方程的过程和摆线类似.

      图2-29所示,设圆半径为a,点M到圆心的距离为d(d<a).开始时定点位于M0,滚动t角后处于图中位置,此时=at,得

      |OA|=at,

      =(at, a).

      又α=3/2π-t,得

      =(dcosα, dsinα)

      =(dcos(3/2π-t), dsin(3/2π-t))

      =(-dsin t,-dcos t).

      由此得

      =

      =(at-dsin t, a-dcos t).

      =(x,y),得短幅摆线的参数方程

      此方程与摆线的参数方程类似,只要把此方

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      程中的d改为a.

      与此类似,当圆在直线上滚动时,圆所在平面上圆外一定点M的轨迹称为长幅摆线,它的参数方程和短幅摆线相同,只是此时d>a,即M点到原心的距离大于半径,长幅摆线的图形如图2-30所示.

      长幅摆线可用于农业机械设计中.例如,卧式翻土机的每把刀片划出的就是长幅摆线织成的面,此时绕扣部分较大,设计中要使刀片在绕扣最宽处切入土中,翻松绕扣下半截的泥土后再露出地面,四把刀片依次排开,使相应绕扣部分互相衔接不致漏翻土地,如图2-31所示.

      心形线和外摆线

      设有两个半径相同的圆,其中一个圆固定不动,另一个圆绕定圆无滑动地滚动,在动圆的圆周上有一定点M,求滚动过程中点M的轨迹方程.

      M点的轨迹为心形线,就是在第一章的阅读与欣赏中讨论过的曲线.下面推导心形线的方程,先建立参数方程,再转化为极坐标方程.

      设圆半径为a,取定圆的圆心为坐标原点,开始时两圆相切于A点,射线OA为x轴的正半轴,建立坐标系(如图2-32所示).当滚动角度θ(以弧度为单位)后,两圆切于B点,动圆圆心为C,定点M的位置如图所示.记射线CM与x轴正向形成的任意角为α(图中为负值).由于无滑动,得=,因为两圆的半径相等,所以∠AOB=θ,从而得α=-(π-2θ).向量的坐标表达式为

      =(acosα, asinα)

      =(-acos 2θ,-asin 2θ),

      =(2acosθ,2asinθ),得

      =

      =(2acosθ-acos 2θ, 2asinθ-asin 2θ).

      用倍角公式,变形为

      x=2acosθ-a(2cos^(2)θ-1),

      x-a=2acosθ-2acos^(2)θ

      =2acosθ(1-cosθ),

      y=2asinθ(1-cosθ),

      (x-a)^(2)+y^(2)=4a^(2)(1-cosθ)^(2),

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      =2a(1-cosθ).

      若以A为极点,x轴为极轴,则|AM|=ρ,由于极点A不是直角坐标系的原点,因此要用坐标变换公式(1-5).由此可得

      ρ=

      由几何知识易知∠MAx=θ,从而把方程化为极坐标形式

      ρ=2a(1-cosθ).

      这就是心形线的极坐标方程,图形如图2-33所示.

      在一般情况下,当定圆半径为a,动圆半径为r,动圆在定圆外滚动时,动圆圆周上一定点M的轨迹称为外摆线.推导外摆线的参数方程的过程和上述情况类似,它的参数方程为

      类似于内摆线的情况,若M点位于动圆内或动圆外,则运动过程中M点的轨迹为变幅外摆线.

      思考与讨论

      回顾阅读与欣赏,思考下面的问题.

      1.摆线是如何生成的?短幅摆线和长幅摆线是如何生成的?推导它们的参数方程的过程有何异同?

      2.星形线是如何生成的?内摆线是如何生成的?短幅内摆线和长幅内摆线如何生成?

      3.心形线是如何生成的?外摆线及短幅外摆线、长幅外摆线如何生成?

      4.比较摆线和星形线的参数方程的推导过程,分析总结方程推导过程的异同点.

      贝努利兄弟

      雅科布·贝努利(Ja-cob Bernoulli)是瑞士数学家,1654年12月27日生于巴塞尔,1705年8月16日卒于巴塞尔.

      雅科布·贝努利最初按父亲的意愿学习神学,雅科布·贝努利但当他读了笛卡儿(Descartes)、沃利斯(Wallis)等人的著作后,对数学产生了浓厚的兴趣.他的数学几乎是无师自通的,他在荷兰和英国旅行期间,结识了一些知名的数学家,并成了莱布尼兹(Leibnitz)的好友,从此便和莱布尼兹有频繁的书信往来,共同探讨微积分等问题.雅科布·贝努利从33岁到逝世的18年时间,一直是巴塞尔大学的教授,开始是实验物理学教授,后来成为数学教授.

      雅科布·贝努利在数学领域里作出了卓越的贡献,他是用微积分方法求解常微分方程的先驱者之一,在微分方程中有以他命名的贝努利方程.他研究过无穷级数,独立地发现了调和级数的发散性,给出了系数中包含贝努利数的tan x的幂级数展开式,他写的《关于无穷级数及其有限和的算术应用》被认为是级数理论方面的第一部教科书.在数论中,他提出了很有影响的贝努利数和贝努利多项式.

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      雅科布·贝努利的名著《推测术》的出版是概率论发展史中的一件大事.此书是把概率论建立在稳固的理论基础之上的首次尝试,其中给出了著名的大数定律,从而使贝努利的名字载入数学史册.他自己也为发现这个定理而感到自豪,他曾说:这个问题我已经压了20年没有发表,现在打算把它公诸于世了,它又难又新奇,但它有极大的用处,以致在这门学科的所有其他分支中都有很高的价值和位置.为了纪念他的这个发现,人们把它命名为贝努利定理.

      雅科布·贝努利提出并讨论了等周问题,也是研究变分学的数学家之一.他给出了直角坐标和极坐标的曲率半径公式,指出某些高次曲线用极坐标表示比较简单,且便于研究,这也是系统地使用极坐标的开始.他研究过许多特殊曲线,例如,把悬链线的研究扩展到密度可变的链和在有心力作用下的链.他对等时曲线作过深入的研究,弄清楚原来就是尖点处有垂直切线的半三次抛物线.他发现和研究了双纽线——到两定点(焦点)距离之积等于常量a^(2)的曲线.特别是他对对数螺线进行了极为深入的研究,发现这种曲线经过多种变换后仍是对数螺线.例如,对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线;从极点引切线的垂线,其垂足的轨迹也是对数螺线;以极点为发光点经对数螺线反射后得到无数根反射线,和所有这些反射线相切的曲线还是对数螺线.从而他非常赞叹这种曲线的美妙特性,以致他在遗嘱里要求把对数螺线刻在他的墓碑上并题颂词虽经沦桑,依然故我.

      约翰·贝努利(Jo-hann Bernoulli)1667年8月6日生于巴塞尔,1748年1月1日卒于巴塞尔.他是雅科布·贝努利之弟.年轻时经商,后在其兄雅科布的指导下研究数学和医学.27岁时获得巴塞尔大学博士学位,其论文是关于肌肉的收缩问题.不久他迷上了微积分学,并且很快掌握了它.28岁时任荷兰格罗宁根大学数学物理教授,当其兄雅科布去世后,他继任巴塞尔大学数学教授达43年之久,并被选为彼得堡科学院名誉院士.

      约翰·贝努利是莱布尼兹的好友和热烈拥护者,他为维护莱布尼兹的学术思想参加了辩论并发挥了极大作用.通过这场辩论大大地充实和丰富了微积分学.例如,他在研究分子分母同时趋于零的分式的极限时,发现了一个重要法则,这就是微积分教材上的洛比塔法则,他于1694年写信告诉了洛比塔(L’Hospital).他在求曲线长度和计算积分时,利用某些几何性质,完善和发展了计算积分的一套方法,如有理分式积分法.他还研究了齐次微分方程的解法、常系数微分方程的解法.他写的《积分法数学讲义》是微积分发展中的重要著作,他也因此成为数学界最有影响的人物之一.

      约翰·贝努利是一位多产的数学家.在几何上给出了空间坐标的定义,研究过多种特殊曲线.在力学上提出了虚拟速度原理.他曾以级数为工具计算曲线的长度和区域的面积,特别是在1696年,他曾向欧洲数学家提出一个挑战性的数学问题:设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑到较低点,不计摩擦,问沿什么曲线用时最短.——这就是数学史上有名的最速降线问题.当时许多数学家都被这个问题的新颖所吸引.牛顿(Newton)、莱布尼兹、洛比塔及贝努利兄弟分别给出了正确答案(是过两点的摆线的一段弧).稍后,欧拉(Euler)和拉格朗日(Lagrange)进一步找到这类问题的普遍解法,由此引出一个数学新分支——变分学.

      约翰·贝努利是一位教育大师,在培养人才方面业绩斐然.18世纪首屈一指的数学家欧拉和法国著名数学家洛比塔都是他的得意门生.他的三个儿子和两个孙子都是数学家.贝努利家庭是数学史上最有名的数学家族,为建立和发展近代数学、物理和力学创立了不朽的功勋.

      约翰·贝努利

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      得意门生.他的三个儿子和两个孙子都是数学家.贝努利家庭是数学史上最有名的数学家族,为建立和发展近代数学、物理和力学创立了不朽的功勋.参考文献

      (1)高级中学实验课本.数学IV(下册).北京:人民教育出版社,1989.

      (2)王敬庚.解析几何方法漫谈.郑州:河南科学技术出版社,1997.

      (3)李心灿编.微积分的创立者及其先驱.北京:高等教育出版社,2002.

      参考文献

      (1)高级中学实验课本.数学IV(下册).北京:人民教育出版社,1989.

      (2)王敬庚.解析几何方法漫谈.郑州:河南科学技术出版社,1997.

      (3)李心灿编.微积分的创立者及其先驱.北京:高等教育出版社,2002.

       第一章 整数的整除性

      第一章 整数的整除性

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      在日常生活中,我们经常遇到整数的整除问题.例如,一箱苹果有48个,按个数分给7个人,能否分配公平?你马上知道,这不可能,原因是7不能整除48.又如,本年级105人参加团体操,要求队形呈长方形(不能排成一行或一列),问排列的行数如何选择?你会立即给出答案:行数可为3,5,7,15,21,35.这是因为除1和105之外,只有这六个正整数能整除105.

      研究整除问题,不仅是现实的需要,而且饶有兴味.研究整数的整除不仅是数论的开端,而且所形成的方法与理论是数论的基础.同学们与整除打交道有丰富的经验,本章不过是将你的经验与知识加以整理,使之更具普遍性和系统性.

      1.1 整除

      同学们在做整数除法的时候,都知道三件事:(1)除数切忌为0;(2)除法是乘法的逆运算,例如,3×7=21,那么21÷7=3;(3)如果a÷b商为整数,余数为0,则说b整除a,否则就说b不能整除a.由此引出

      定义 设a,b是整数,b≠0.如果有整数q,使a=qb,则称b整除a,记作b|a.并称b是a的约数(或因数),a是b的倍数.否则称b不能整除a,记作b|a.

      例如,7|105,105是7的倍数;7|48,48不是7的倍数;1,3,5,7,15,21,35,105都是105的约数;1和11是11的约数等等.

      注意,0不是任何整数的约数,但0是任何整数的倍数.符号b|a本身包含了条件b≠0. a,b可以是负整数.

      整除具有如下性质,请同学们自己验证.

      (1)若b|a,c|b,则c|a.

      (2)若c|a,c|b,则对任意整数x,y,必有c|(ax+by).

      (3)若b|a,a≠0,则|b|≤|a|.

      (4)若b|a,a≠0,则a/b|a.

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      1.2 素数与合数

      同学们知道,2,3,5,7,11,13,17,19,…除去1和自身外,不能被其他正整数整除,这类大于1,而且正约数只有1和自身的整数叫做素数.素数也称为质数.要特别

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      注意,1不是素数.如果大于1的整数不是素数,则称其为合数.研究素数是数论的核心内容之一.

      素数在自然数中的分布很不规律,有时隔一个数就有一个素数,如3,5;有时隔三个数有一个素数,如19,23.有的相邻两素数相隔很远,寻找素数和判别一个数是否为素数是很艰难的.下面的定理给出了一个寻找素数的有效算法.

      定理1 设a是任一大于1的整数,则a的除1以外的最小正约数q必是素数.当a是合数时,q≤.

      证明:用反证法.设q不是素数,由q〉1知q是合数.由此可知存在q的正约数q1,使1〈q1〈q.由q1|q,q|a,可得q1|a,这与q是a除1以外的最小正约数矛盾.

      当a是合数时,设a=a1q,其中q是a的大于1的最小正约数.则a1≥q,故q^(2)≤a,即q≤.

      由定理1知,对于每一个合数n,存在素数p,使p|n,且p≤.由此可得到找出不超过N的全体素数的方法:

      先找出不超过的全体素数,且按大小顺序排列

      2=P1〈P2〈…S≤,然后把大于1,且不超过N的自然数按从小到大顺序排列

      2,3,…, N.①

      在①中留下P1=2,而把P1的倍数全部划掉.再留下P2=3,而把P2的倍数全部划掉.继续这一手续,直到最后留下PS,而把PS的倍数全部划掉.留下的就是不超过N的全体素数.这种寻找素数的方法,称为厄拉多塞筛法.

      例如,为寻求100以内的全体素数,先找出不超过=10的全体素数

      2, 3, 5, 7,

      把从2到100的数按从小到大排列,把2,3,5,7留下,再先后划掉2,3,5,7这四个数的倍数,剩下的就是100以内的全部素数.

      判断一个正整数a是否为素数,原则上要用不超过的素数逐个试除.对较小的数a,工作量不是很大.例如,a=97,你会一眼看出它是素数,因为97不是2,3,5,7的倍数.又如a=191,〈14,容易看出,191不是2,3,5,7,11,13的倍数,因此191是素数.

      现在提出一个问题,素数究竟只是有限多个呢?还是有无穷多个?

      定理2 素数有无穷多个.

      证明:用反证法.假设自然数中只有有限多个素数,不妨记为P1,P2,…,Pk.考虑整数N=P1P2…Pk+1.由N〉1及定理1知存在素数P|N.此时必有P≠Pi,1≤i≤k(否则P|1).所以P是上述k个素数以外的素数.这导出矛盾.所以素数有无穷多个.

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      1.3 带余除法

      同学们都会做整数除法,例如201÷13,得到整数商15,余数6.我们可以用除数、商和余数还原被除数,如上例201=13×15+6.这就是带余除法,一般地,带余除法表述为如下定理.

      定理1 设a,b是两个整数,其中b〉0,则存在唯一的一对整数q及r,使

      a=bq+r,0≤r〈b.①

      证明:存在性.作整数序列

      …,-3b,-2b,-b, 0, b, 2b, 3b,….

      则a或者等于这个序列的某一项,或者在某相邻两项之间,即存在整数q,使

      qb≤a〈(q+1)b.

      令r=a-qb,则0≤r〈b,a=qb+r.

      唯一性.设q1,r1是满足①式的另一对整数,则有

      bq1+r1=bq+r,于是有

      b(q-q1)=r1-r及

      b|q-q1|=|r1-r|.

      因为r和r1都是小于b的非负整数,所以0≤|r1-r|〈b.但b︳|r1-r|,故有|r1-r|=0.因此r=r1,q=q1.

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      注意,虽然-81=15×(-5)-6,-81=15×(-7)+24也成立,但它们都不是带余除法表达式,因为不满足余数条件:0≤r〈b.

      同学们知道,十进制数

      anan1…a1a0=an×10^(n)+an1×10^(n-1)+…a1×10+a0.其中an,an1,…,a1,a0在0,1,2,…,9中取值(an≠0,n〉0).例如

      4376=4×10^(3)+3×10^(2)+7×10^(1)+6.

      我们平常所用的数都是十进制的,现在计算机上用的数是二、八及十六进制的,下述结论表明自然数可以表示成任意q(〉1)进制数.

      设q是大于1的整数,则任意自然数n可表示为

      n=cmq^(m)+…+c1q+c0,②

      其中m≥0,0≤ci〈q,0≤i≤m,cm≠0.对于给定的q,这种表示方法是唯一的.

      ②式称为n的q进制表示.

      例如,运用带余除法,可将十进制数101分别表为二进制数和八进制数:

      101=2^(6)+2^(5)+2^(2)+1=(1100101)2

      101=8^(2)+4×8+5=(145)8.

      在十进制中,数字符号有10个:0,1,2,…,9.在二进制中,数字符号只有2个:0,1.在q进制中,数字符号有q个:0,1,2,…,q-1.

      将q进制数化为十进制数,可按公式②直接计算.将十进制数化为q进制数的方法如下:设a为十进制数,用q去除a,余数就是右起第一位数.将商除以q的余数,得到右起第二位数.如此继续,直到商小于q为止.

      1.4 辗转相除法与最大公约数

      本节讲述辗转相除法,此方法在本书中有重要的应用.在我国古代的著名数学著作《九章算术》里就有了辗转相除法,书中把此方法叫做更相减损术.

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      对整数a〉0,b〉0反复运用带余除法,可得下列等式

      a=bq1+r1,0〈r1〈b,

      b=r1 q2+r2,0〈r2〈r1

      …,①

      rn2=rn1 qn+rn,0〈rn〈rn1

      rn1=rnqn1+rn1,rn1=0.

      由于b〉r1〉r2〉…,故经过有限次带余除法后,最终总可以得到一个余数是零的带余除法表达式,即①中最后一式的rn1=0.

      ①式所指出的计算方法叫辗转相除法,也称欧几里得算法.

      例如,a=361,b=93,做辗转相除

      361=93×3+82,

      93=82×1+11,

      82=11×7+5,

      11=5×2+1,

      5=1×5.

      又如,a=-360,b=93,做辗转相除

      -360=93×(-4)+12,

      93=12×7+9,

      12=9×1+3,

      9=3×3.

      由①式可知

      r1=a-q1b,

      r2=b-r1q2=b-(a-q1b)q2

      =-q2a+(1+q1q2)b.

      一步一步计算下去,总可以得到rn关于a,b的表达式

      rn=pa+qb,

      其中p,q为整数.如何求出p,q呢?下面的定理给出了一个递推算法.

      定理1 设a,b是任意两个正整数,并进行了辗转相除法①式,则有

      Qka-Pkb=(-1)^(k-1)rk,1≤k≤n.②

      其中 而且2≤k≤n.

      证明:对k使用数学归纳法.由①式知a=bq1+r1,可写成Q1a-P1b=(-1)^(1-1)r1.

      同样由①式可得

      b=r1q2+r2

      =(a-bq1)q2+r2

      即q2a-(q1q2+1)b=-r2,可写成

      Q2a-P2b=(-1)^(2-1)r2.

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      故当k=1,2时,②式成立.以下可设n≥3.

      现在设定理对(k-1),k(2≤k≤n-1)成立.下面证明定理对(k+1)成立.

      由r1k11=rkqk1+rk1和归纳假设可得

      rk1=rk1-rkqk1

      =(-1)^(k-2)(Qk1a-Pk1b)-(-1)^(k-1)(Qka-Pkb)qk1

      于是有

      (-1)^(k)rk1=Qk1a-Pk1b+qk1Qka-qk1Pkb

      =(qk1Qk+Qk1)a-(qk1Pk+Pk1)b

      =Qk1a-Pk1 b.

      注:在定理1的证明中使用了下述形式的数学归纳法:

      设f(n)是关于自然数n的一个命题,如果(1)当n=1,2时,f(1),f(2)成立;(2)设k≥2.由假设f(k-1),f(k)成立,能推出f(k+1)成立.那么,f(n)对所有正整数n成立.

      下面我们用辗转相除法求最大公约数.先考虑两个实际问题:

      (1)一个地面面积为3.6 m×5.6 m的房间,假设不计缝隙和不剪裁地板砖,问能用边长最大是多少厘米的正方形地板砖铺地?

      不难想出所需边长就是360cm与560cm的公有约数中的最大数.

      (2)某超市销售某种货物,去年总收入为36963元,今年每件货物的售价不变,总收入为59570元.如果单价(元)是大于1的整数,问今年和去年至少各售出这种货物多少件?

      回答这个问题,关键要知道货物可能的最高单价,它就是36963元与59570元的公有约数中的最大数.

      定义 设a1,a2,…,ak是不全为零的整数.如整数d是每一个ai(1≤i≤k)的约数,则称d为a1,a2,…,ak的公约数.a1,a2,…,ak的公约数中最大的一个,称为这k个数的最大公约数,记为(a1,a2,…,ak).当(a1,a2,…,ak)=1时,称a1,a2,…,ak为互素.特别地,当a1,a2,…,ak中的任何两个数都互素时,称a1,a2,…,ak为两两互素.

      由于整数a与|a|的约数相同,故有

      (a1,a2,…,ak)=(|a1|,|a2|,…,|ak|).

      因此在以下讨论中可设ai(1≤i≤k)是正整数.

      首先讨论k=2的情况.

      设a,b是任意两个整数,其中b〉0,由带余除法知,存在唯一的一对整数q,r,使a=bq+r,0≤r〈b,此时有

      定理1 (a,b)=(b,r).

      证明:设d1=(a,b),d2=(b,r).由d1|a,d1|b及r=a-bq知d1|r,故d1是b,r的公约数.因此有d1≤d2.同理可证d2是a,b的公约数,故有d2≤d1.于是得到d1=d2.

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      对a,b使用辗转相除法,不妨设算式为§1.4节的①式为了方便,以下凡对a,b使用辗转相除法,都假设算式为§1.4节的①式.,则有

      定理2 (a,b)=rn.

      证明:由定理1和算式①即得

      rn=(0,rn)=(rn,rn1)=…=(r2,r1)=(r1,b)=(a,b).

      定理2给出了求(a,b)的一个具体算法.

      使用辗转相除法不仅可以实际算出(a,b),而且可以导出下述的在理论证明中极为重要的裴蜀恒等式.

      定理3 (裴蜀恒等式)任给整数a〉0,b〉0,存在整数m,n,使

      (a, b)=ma+nb.

      证明:在1.4节定理1中取k=n,即得

      (-1)^(n-1)rn=Qna-Pnb,

      因此

      (a,b)=[(-1)^(n-1)Qn]a+[(-1)^(n)Pn]b.

      例如

      (6,15)=3×6-1×15,

      (36,8)=1×36-4×8.

      推论 a,b的任一公约数是其最大公约数的约数.

      定理4 设d|ab,且(d,a)=1,则d|b.

      证明:由定理3知,使用辗转相除法可求得一对整数x0,y0,使

      dx0+ay0=1,

      从而

      (db)x0+(ab)y0=b.

      由d|db,d|ab及上式得d|b.

      定理5 当m〉0时,有(am,bm)=(a,b)m.

      证明:对a,b使用辗转相除法,再乘m,则有

      am=(bm)q1+r1m,

      bm=(r1m)q2+r2m,

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      …,

      rn1m=(rnm)qn1.

      因此

      (am, bm)=rnm=(a, b)m.

      现在讨论一般情况.

      下述的定理表明求k个数a1,a2,…,ak(k≥3)的最大公约数可以由求两个数的最大公约数而逐步求出.

      定理6 设(a1,a2)=d2,(d2,a3)=d3,…,(dk1,ak)=dk,则

      (a1,a2,…, ak)=dk.

      证明:记(a1,a2,…,ak)=d.由dk|ak,dk|dk1,dk1|ak1,dk1|dk2即得

      dk|ak1,dk|dk2.

      由此类推,最后可得

      dk|ak,dk|ak1,…, dk|a1.由dk是a1,a2,…,ak的公约数知dk≤d.

      另一方面,由d|a1,d|a2可得d|d2.由此类推,最后可得d|dk,因此有d≤dk.于是得到d=dk.

      1.5 最小公倍数

      先考虑两个实际问题:

      (1)金星和地球在某一时刻相对于太阳处于某一确定位置.已知金星绕太阳一周为225天,地球绕太阳一周为365天,问这两个行星至少要经过多少天才同时回到原来位置?

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      不难想到所要天数就是225与365的公有倍数中的最小数.

      (2)排练团体操时,要使队伍排成10行,15行,18行,24行,队形都成矩形,问最少需要多少人参加排练?

      易知所需人数就是10,15,18,24这四个数的公有倍数中的最小者.

      定义 设b1,b2,…,bk是都不为零的整数,如果整数d是每一个bj(1≤j≤k)的倍数,则称d为b1,b2,…,bk的公倍数.b1,b2,…,bk的公倍数中的最小正数,称为这k个数的最小公倍数,记为[b1,b2,…,bk].

      由于整数b≠0时,b与|b|的倍数相同,故有

      [b1,b2,…, bm]=[|b1|,|b2|,…,|bm|].

      因此在以下讨论中可设bj(1≤j≤m)是正整数.

      现在讨论有关最小公倍数的重要性质.

      定理1 b1,b2,…,bk的任一公倍数必是其最小公倍数的倍数.

      证明:用反证法.记s和b分别为b1,b2,…,bk的最小公倍数和任一公倍数.如果s|b,则由带余除法可得

      b=qs+r, 0〈r〈s.

      由r=b-qs知r也是b1,b2,…,bk的公倍数.但0〈r〈s,与s是最小公倍数矛盾.

      由于最大公约数可以用辗转相除法实际算出,因此下述定理给出了最小公倍数的求法.

      定理2 设a〉0,b〉0,则

      [a, b]-.

      证明:由a|(ab),b|(ab),故[a,b]|(ab).因此可设

      ab=[a, b]s.

      由此,a=s,b=s,所以s|a,s|b.因此有s|(a,b).于是

      ab=[a, b].①

      另一方面,由(a,b)|(ab),故可设

      ab=(a, b)t.

      由此,t=b,t=a,所以b|t,a|t.因此有[a,b]|t.于是

      ab=(a, b)[a, b]m.②

      page0011

      由①式,②式即得l=m=1.

      定理3 设m〉0,则[ma1,ma2]=m[a1,a2].

      证明:由定理2及1.4节定理5可得

      [ma1,ma2]==

      =m=m[a1,a2].

      求k(〉2)个数b1,b2,…,bk的最小公倍数也可以用连续求两个数的最小公倍数去完成.

      定理4 设[b1,b2]=s2,[s2,b3]=s3,…,[ak1,bk]=ss,则

      [b1,b2,…, bk]=sk.

      证明:记[b1,b2,…,bk]=s.由si|si1,2≤i≤k-1,知si|sk,2≤i≤k-1.又因为b1|s2,bi|si,2≤i≤k,所以sk是b1,b2,…,bk的一个公倍数.因此有s|sk.

      另一方面,由b1|s,b2|s知s2|s.同样由s2|s,b3|s知s3|s.依次类推最后得到sk|s.

      于是得到s=sk.

      1.6 算术基本定理

      在本节中,我们讨论把自然数写成素数的乘积,结论就是著名的算术基本定理.此定理建立了自然数与素数之间的一个重要的关系式.在证明该定理时,要用到如下结论.

      结论1 设p是一个素数,a是任一整数,则有p|a或(p,a)=1.

      证明:由(p,a)|p知,(p,a)=1或(p,a)=p,而后者即是p|a.

      结论2 设p为素数,p|ab且pa,则p|b.

      证明:由pa及结论1,知(p,a)=1.故由1.4节定理4,即知p|b.

      结论3 设p|(a1a2…as),则p至少能整除一个ai,1≤i≤s.

      证明:如果pa1,则由结论2知p|(a2…as).如果pa2,同理可得p|(a3…as).依次类推,最终可得p至少能整除一个ai,1≤i≤s.

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      定理1 (算术基本定理)设n〉1,则n可分解成素数的乘积

      n=p1p2…pm,①

      如果不计这些素数的次序,则分解式①是唯一的.

      证明:先证n可分解成素数的乘积.

      当n是素数时,定理显然成立.当n是合数时,记p1为n的最小素因子,则有

      n=p1n1,1〈n1〈n.

      若n1是素数,则定理成立.当n1是合数时,记p2为n1的最小素因子,则有

      n=p1p2n2,1〈n2〈n1〈n.

      继续上述过程得n〉n1〉n2〉…〉1,此过程不能超过n次,所以最后必有

      n=p1p2…pm.

      下证唯一性.

      设n=p1p2…pm=q1q2…qt,p1≤p2≤…≤pm,q1≤q2≤…≤qt,pi,qj,1≤i≤m,1≤j≤t,都为素数.

      由p1|q1…qt和结论3知p1|qj,即得p1=qj≥q1.同理可得q1=pi≥p1.因此有p1=q1.重复以上论证,依次可证明p2=q2,…,pm=qt,m=t.

      把①式中相同素数写成幂的形式,即得

      n=,p1〈p2〈…r,βi≥1, 1≤i≤r.

      上式称为n的标准分解式,对给定的n,标准分解式是唯一的.

      下面是算术基本定理的两个应用.

      定理2 设n=是n的标准分解式,若用τ(n)表示n的所有正约数的个数,则有

      τ(n)=(α1+1)(α2+1)…(αs+1).

      证明:n的正约数d必形如d=,其中l1可取0至α1,共有(α1+1)种取法;l2可取0至α2,共有(α2+1)种取法;…….因此有

      τ(n)=(α1+1)(α2+1)…(αs+1).

      例如,12=2^(2)×3^(1),12的正约数有(2+1)(1+1)=6个.360=2^(3)×3^(2)×5^(1),360的正约数有(3+1)(2+1)(1+1)=24个.

      定理3 设a,b是任意两个正整数,且

      a=,αi≥0, 1≤i≤k,

      b=,βi≥0, 1≤i≤k,

      page0013

      (a, b)=,ri=min(αi,βi), 1≤i≤k,

      [a, b]=,li=max(αi,βi), 1≤i≤k.

      证明留给读者.

      1.7 二元一次不定方程

      不定方程是未知数的个数多于方程的个数且未知数受到某种限制的方程.我国对不定方程的研究很早.例如《周髀算经》中的商高定理勾三股四弦五,给出了不定方程x^(2)+y^(2)=z^(2)的一组解x=3,y=4,z=5.《九章算术》中的五家共井问题;《张丘建算经》中的百钱买百鸡问题;《孙子算经》中的物不知其数等都是中外闻名的不定方程问题.古希腊数学家丢番图曾系统地研究了某些不定方程问题,因此不定方程也称丢番图方程.

      我国古代数学家张丘建曾解答了如下一个问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?

      设x1,x2,x3分别为鸡翁,鸡母,鸡雏的数目,由问题的条件可得

      解此问题就是要求出上述不定方程组的非负整数解.

      消去x3可得

      7x1+4x2=100.

      上述方程就是二元一次不定方程的一个具体的例子,它的一般形式为

      page0014

      ax+by=c,①

      其中a,b,c是整数,且a,b都不为零.

      解不定方程①就是要求求出①式的所有整数解.

      定理1 方程①有整数解的充分必要条件是(a,b)|c.

      证明:必要性是明显的.下面证明充分性.

      由裴蜀恒等式知存在整数u0,v0,使

      au0+bv0=(a, b).

      于是x0=u0,y0=v0就是①式的一组整数解.

      若知道①式的一个特解不定方程的一个特解是指满足方程的一个具体的数(或数组),一般解是指满足方程的所有的数(或数组)的表达式.(x0,y0),则立刻就可以写出①式的全部解.

      定理2 已知(x0,y0)是①式的一个解,则①式的全部解为

       其中t=0,±1,±2,….②

      证明:易知②式给出的所有(x,y)都满足方程①.

      反之,设(x,y)是①式的任意一个解.由

      ax+by=c

      ax0+by0=c,可得

      a(x-x0)+b(y-y0)=0,进而有

      (x-x0)=-(y-y0).③

      由()=1,知|(x0-x).因此存在整数t,使

      x=x0t.

      代入③式即得

      y=y0t.

      以下说明怎样用辗转相除法具体求出①式的一个特解.

      不妨设①式中的a,b互素,不然去解方程

      x+y=即可.

      page0015

      首先画出如下的框图,然后将由辗转相除法求出的q1,q2,…,qn(参看§1.4节的①式)依次填在框图的第二行里,接着在第三行填上P0=1,P1=q1,在第四行填上Q0=0,Q1=1.最后利用1.4节定理1中的递推公式依次求出P2,Q2,P3,Q3,…,Pn,Qn.

        0 1 2 k-2 k-1 k n
      q   q1 q2   qk-2 qk-1 qk   qn
      p 1 + q1 p2   Pk-2 + Pk-1 Pk   pn
      Q 0 + 1 Q2   Qk-2 + Qk-1 Qk   Qn

      由1.4节定理1(取k=n)知

      Qna-Pnb=(-1)^(n-1),即

      a[(-1)^(n-1)Qnc]+b[(-1)^(n)Pnc]=c.

      因此将以上求得的Pn,Qn代入下式

      x0=(-1)^(n-1)Qnc/y0=(-1)^(n)Pnc④

      即得①式的一个特解.

      page0016

      虽然用以上两种方法得到的解的表达式形式上不同,但本质上是相同的.

      page0017

      本章小结

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      阅读与欣赏

      秦九韶张奠宙主编《中学教学全书(数学卷)》,上海教育出版社,1996.

      秦九韶(1202—1261)是我国南宋时期的数学家,年轻时随父亲在南宋京都(今杭州)太史局见习天文、历算.1244年和1254年曾先后两次在建康府(今南京)作官,都任职不久便离职回家.1261年左右又到梅州(今广东梅县)赴任,当年卒于住所.1247年9月著成数学名著《数学九章》18卷,提出了求解一次同余方程组的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术,是两项具有世界意义的学术成就,此外,在联立一次方程勾股测量等方面也有所创新.他提出的已知三边求三角形面积的秦九韶公式与著名的海伦公式相当.

      1. 为了方便,以下凡对a,b使用辗转相除法,都假设算式为§1.4节的①式.
      2. 不定方程的一个特解是指满足方程的一个具体的数(或数组),一般解是指满足方程的所有的数(或数组)的表达式.
      3. 张奠宙主编《中学教学全书(数学卷)》,上海教育出版社,1996.
       第二章 同余

      第二章 同余

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      当你看到一辆汽车跑过时,你思考过该车号码有什么特征吗?譬如,它是3,9,7或11的倍数吗?更普遍的是你在小学遇到的两整数相除的余数问题.为解决这些问题以及更深层次的整数问题,本章引出同余的概念及其运算.这类运算与你熟悉的运算不同.例如,通常两数之积为零,其中至少有一数为零.而同余乘法却不同,非零因子之积可能为零.这确实有点怪异.但当你进入这个领域,你会明白其中的道理,你还会发现许多新奇的数学事实.

      2.1 同余及其基本性质

      在日常生活中,常常需要考虑整数用某一固定的正整数去除的余数,比如知道某月1号是星期二,那么该月的8号,15号,29号都是星期二,因为这些号数用7去除余数都是1,又如10岁的人属牛,那么22岁,34岁,58岁的人都属牛,因为这些年龄数用12去除余数都是相同的.

      定义 给定一个正整数m,把它称为模.如果整数a和b用m去除所得的余数相同,就称a和b对模m同余对模m同余有时可说成模m同余.,记作a≡b(mod m).如果余数不同,则称a,b对模m不同余,记作ab(mod m).

      例如,8和15除以7都余1,称8和15对模7同余,记为

      8≡15(mod 7).

      又如34和58除以12余数都是10,称34和58对模12同余,记为

      34≡58(mod 12).

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      下面的定理建立了同余和整除之间的关系.

      定理1 整数a,b对模m同余的充分必要条件是m|(a-b).

      证明:必要性.设a=mq1+r,b=mq2+r,0≤r〈m,则

      a-b=m(q1-q2),即m|(a-b).

      充分性.设a=mq1+r1,0≤r1〈m,b=mq2+r2,0≤r2〈m,则

      a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).

      因为m|(a-b),所以m||r1-r2|.但|r1-r2|〈m,故必有r1=r2,即

      a≡b(mod m).

      由定理1和整除的性质可以得到下述与相等类似的性质.

      性质1 若a≡b(mod m),a1≡b1(mod m),则

      (1)a+a1≡b+b1(mod m);

      (2)aa1≡bb1(mod m).

      证明:(1)由m|(a-b),m|(a1-b1),可得m|[(a-b)+(a1-b1)],即

      m|[(a+a1)-(b+b1)].

      (2)由m|(a-b),m|(a1-b1),可得m|[a1(a-b)+b(a1-b1)],即m|(aa1-bb1).

      还可以得到与相等不类似的性质.

      性质2 若ac≡bc(mod m),且(c,m)=d,则

      a≡b(mod m/d).

      例如,由17×6≡25×6(mod 8)及(6,8)=2,可知17≡25(mod 4).

      证明:由m|c(a-b),知m/d|c/d(a-b).又由(m/d,c/d)=1,可得

      m/d|(a-b).

      对于不同模的同余式有

      性质3 若a≡b(mod mi),1≤i≤n,则

      a≡b(mod[m1,m2,…, mn]).

      证明:由mi|(a-b),1≤i≤n,知(a-b)是m1,m2,…,mn的一个公倍数,故有[m1,m2,…, mn]|(a-b).

      page0022

      2.2 特殊数的整除特征

      一个整数是否能被另一个整数整除,一般通过试除就可知,但有时这样做计算量较大.那么有没有其他较简单的方法呢?本节就讨论这个问题.

      定理1 一个整数a能被3(或9)整除的充分必要条件是它的十进制数各位数字之和能被3(或9)整除.

      证明:不妨设a〉0,把a写成十进位数的形式

      a=an10^(n)+an110^(n-1)+…+a110+a0,0≤ai〈10, 0≤i≤n, an≠0.

      因为10≡1(mod 3),所以

      a≡an+an1+…+a1+a0(m0d 3).①

      因为10≡1(mod 9),所以①式对模9也成立.

      page0023

      2.3 剩余类及其运算

      在同余式的运算中,两个同余数起的作用是一样的,可以把互相同余的这些数归于一类.由此引进剩余类的概念.

      定义1 设m为正整数,所有对m同余的整数所组成的集合称为模m的一个剩余类.

      由定义,全体整数对模m可分为m个互不相交的剩余类K0,K1,…,Km1,其中

      Kr={qm+r}, q=0,±1,±2,…, 0≤r〈m.

      例如,对模3,其剩余类有如下三个:

      K0={3q|q∈Z},

      K1={3q+1|q∈Z},

      K2={3q+2|q∈Z}.

      page0024

      在数学中,不只是整数、实数或复数可以定义运算,向量、函数、矩阵等数学对象也可以定义运算.本节对剩余类所组成的集合引入运算.

      用a表示整数a所属的模m的剩余类,Zm表示模m的所有剩余类所组成的集合,设∈Zm,定义

      =

      =.

      例如,对模5,所有剩余数所组成的集合Z5={K0,K1,K2,K3,K4},其中

      Kr={5q+r|q∈Z}, r=0, 1,2,3,4.

      可以分别用其中一个元素作代表(代表元),比如用r作代表,这样,K0=1=,K2=, K3=4=.

      由定义可知

      ===

      ·=·=·=,等等.

      模m的所有剩余类集合可表为

      Zm={,…,}.

      注意这里的加法运算对象虽然是集合,但与集合的并集运算是不同的.同样这里的乘法运算与集合的交集运算也是不同的.

      下面介绍代数学中关于环的定义.

      定义2 设在非空集合R上定义了两个代数运算,一个叫加法,记为a+b,一个叫乘法,记为ab,它们适合

      1.关于加法的以下规则:

      (1)(a+b)+c=a+(b+c);(加法结合律)

      (2)a+b=b+a;(加法交换律)

      (3)在R中有元素0,使对任意的a∈R,a+0=a;

      (4)若a∈R,则存在b∈R,使a+b=0.

      2.关于乘法的结合律:

      a(bc)=(ab)c.

      3.关于加法和乘法的分配律:

      a(b+c)=ab+ac,

      (b+c)a=ba+ca.

      这样的非空集合R连同这两个运算称为环.

      容易看出全体整数对于数的加法和乘法构成一个环,也不难验证,模m的全体剩余类Zm对于以上定义的加法和乘法也构成一环.人们可能认为剩余类环Zm和整数环在运算性质上是完全相同的,但事实并非如此.

      在代数中,如果a,b都非零,而ab=0,则称a和b为零因子.在整数环,实数环和复数环中都不存在零因子,但当m〉1是合数时,Zm中却存在零因子.事实上,当m是合数时,可设m=st,1〈s〈m,1〈t〈m.此时,但

      page0025

      ===.

      因此,都是零因子.例如,在Z6中,因为·=,所以是零因子,也是零因子①,而不是零因子.

      是Z6中零因子,因为·=0.

      2.4 剩余系和欧拉函数

      为了在下一节能够证明数论中一个著名的定理——欧拉定理,我们需要有关剩余系和欧拉函数的知识.

      定义1 设φ(1)=1,当n〉1,φ(n)表示1,2,…,n-1中与n互素的数的个数,称φ(n)为欧拉函数.

      page0026

      例如,当p为素数时,由定义即知φ(p)=p-1.又如φ(6)=2,φ(8)=4,φ(15)=8.

      定义2 若模m的某个剩余类中的数与m是互素的,则称此剩余类为模m的互素剩余类在模m的一个剩余类中,只要有一个数与m互素,则此剩余类中所有的数都与m互素..

      例如,模6的互素剩余类有1,5.

      对模m,有φ(m)个互素剩余类.

      定义3 从模m的每个剩余类中各取一个数,得到一个由m个数组成的集合,称为模m的一个完全剩余系.从模m的每个互素剩余类中各取一个数,得到一个由φ(m)个数组成的集合称为模m的一个简化剩余系.

      例如,{0,1,2,3,4,5},{12,7,14,21,10,47}是模6的完全剩余系.{1,5},{13,41}是模6的简化剩余系.

      显然,对固定的模m,有无数多个完全剩余系和简化剩余系.任意m个整数,只要它们对模m两两不同余,这m个数就是模m的一个完全剩余系.任意φ(m)个整数,只要它们对模m两两不同余并且都和m互素,这φ(m)个数就是模m的一个简化剩余系.

      定理1 设m是正整数,k,l是整数,且(k,m)=1,则:

      (1)当x遍历模x遍历某一个数集是指x能取到该数集的每一个数.m的一个完全剩余系时,kx+l也遍历模m的一个完全剩余系;

      (2)当x遍历模m的一个简化剩余系时,kx也遍历模m的一个简化剩余系.

      证明:(1)只需证明当x0,x1,…,xm1是模m的一个完全剩余系时,kx0+l,kx1+l,…,kxm1+l对模m两两不同余即可.用反证法,设

      kxi+l≡kxj+l(mod m),0≤i〈j≤m-1,则

      xi≡xj(mod m).

      这与x0,x1,…,xm1是模m的一个完全剩余系矛盾.

      (2)设x1,x2,…,xφ(m)是模m的一个简化剩余系.由(1)知kx1,kx2,…,kxφ(m)对模m两两不同余,又当1≤i≤φ(m)时,因(k,m)=1,(xi,m)=1,故得(kxi,m)=1.

      定理2 设(m1,m2)=1,则:

      (1)当x,y分别遍历模m1和模m2的一个完全剩余系时,m2x+m1y也遍历模m1m2的一个完全剩余系;

      (2)当x,y分别遍历模m1和模m2的一个简化剩余系时,m2x+m1y也遍历模m1m2

      page0027
      的一个简化剩余系.

      证明:(1)若m2x1+m1y1≡m2x2+m1y2(mod m1m2),则有

      m2x1≡m2x2(mod m1).

      由于(m1,m2)=1,故

      x1≡x2(mod m1).

      同理可得

      y1≡y2(mod m2).

      因此当x,y分别遍历模m1和模m2的一个完全剩余系时,m2x+m1y所取的m1m2个值对于模m1m2是互不同余的,从而是模m1m2的一个完全剩余系.

      (2)若(x,m1)=(y,m2)=1,则有

      (m2x+m1y, m1)=(m2x, m1)=(x, m1)=1,

      (m2x+m1y, m2)=(m1y, m2)=(y, m2)=1,从而

      (m2x+m1y, m1m2)=1.

      于是,当x,y分别遍历模m1和模m2的一个简化剩余系时,m2x+m1y所取的值和m1m2是互素的,且由(1)知这φ(m1)φ(m2)个数对模m1m2是两两不同余的.因此以下只需证明:

      当(n,m1 m2)=1时,存在整数x0,y0,使

      n≡m2x0+m1y0(mod m1m2),(x0,m1)=1,(y0,m2)=1.

      由(1)知,存在x0,y0使

      n≡m2x0+m1y0(mod m1m2).

      若(x0,m1)〉1,则有素数q,使q|x0,q|m1,由上式即得q|n,这与n和m1互素矛盾.

      同理可证(y0,m2)=1.

      推论 若(m1,m2)=1,则φ(m1m2)=φ(m1)φ(m2).

      由推论可得欧拉函数φ(n)的计算公式.

      定理3 设n〉1,且n的标准分解式为n=,则

      φ(n)=n(l-)(1-)…(l-).

      证明:由定理2推论可得

      φ(n)=φ()φ()…φ().

      以下证明φ(p^(α))=p^(α)-p^(α-1).

      因为p是素数,所以不与p^(α)互素的数都是p的倍数.1,2,3,…,p^(α)中是p的倍数的数是

      p,2p,3p,…, p^(α-1)p.

      这些数共有p^(α-1)个,其余的数都和p互素,而从1到p^(α)共有p^(α)个数.于是,从1到p^(α)有(p^(α)-p^(α-1))个数与p^(α)互素.故从1到(p^(α)-1)也有(p^(α)-p^(α-1))个数与p^(α)互素.因此由欧拉函数的定义可得

      page0028

      φ(p^(α))=p^(α)-p^(α-1).

      由此

      φ(n)=(-1))(-1))…(-1))

      =(1-)(1-)…(1-

      =n(1-)(1-)…(1-).

      page0029

      2.5 欧拉定理

      欧拉定理是数论中最重要的定理之一,有着广泛的应用.

      欧拉定理 设m〉1,(a,m)=1,则

      a^(φ(m))≡1(mod m).

      证明:设x1,x2,…,xφm是模m的一个简化剩余系,由(a,m)=1和上节定理1知ax1,ax2,…,axφm也是模m的一个简化剩余系.因此有

      (ax1)(ax2)…(axφm)≡x1x2…xφm(mod m),即

      a^(φ(m))(x1x2…xφm)≡x1x2…xφm(mod m).

      又由(xi,m)=1,1≤i≤φ(m)即得

      a^(φ(m))≡1(m0d m).

      例如,a=5,m=6,φ(6)=2.5^(φ(6))=5^(2)≡1(mod 6).

      推论 (费马小定理)设p为素数,(a,p)=1,则

      a^(p-1)≡1(mod p).

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      2.6 不定方程与同余

      对于某些较特殊的不定方程,可以利用同余知识来解决.这种方法的要点是根据所给方程的特点选取某个大于1的正整数为模来导出矛盾,否定不定方程有解.现举例说明.

      page0031
      page0032

      本章小结

      page0033
      1. 对模m同余有时可说成模m同余.
      2. 在模m的一个剩余类中,只要有一个数与m互素,则此剩余类中所有的数都与m互素.
      3. x遍历某一个数集是指x能取到该数集的每一个数.
       第三章 同余方程

      第三章 同余方程

      page0034

      大约在一千五百年前,我们的祖先创立的孙子定理在数学领域占有重要地位.国际上称之为中国剩余定理.孙子定理的光辉之处在于,它把困难复杂的问题化解为几个易解的子问题,并将子问题标准化,然后用标准的、有效的算法,求得原问题的解.这种思想方法对许多学科和实际工作都是适用的.

      本章围绕孙子定理展开.首先给出同余方程的概念和一些必要的结论,介绍解同余方程的方法;然后由孙子定理引出同余方程组,再由该定理给出标准的解法;最后用它解决数论中的一些经典问题,以及现代通讯技术中的编码问题.

      3.1 同余方程的概念

      解方程是代数的重要课题.本章讨论和解代数方程类似的问题:解同余方程.

      定义1 设n≥0,f(x)=anx^(n)+an1 x^(n-1)+…+a1x+a0是整数系数多项式,m是大于1的整数,则称

      f(x)≡0(mod m)①

      为模m的一元同余方程,简称同余方程.若man,则称同余方程①的次数为n.若整数c代入①式使①式成立,则称c为①式的解.解同余方程①就是求出①式的全部解.

      由同余的性质易知,若c是①式的解,则满足x≡c(mod m)所有整数x都是①式的解,因此我们将所有对模m同余的①式的解看成是相同的,而把对模m不同余的解才看作是不同的.

      定义2 若c是①式的解,则称x≡c(mod m)为①式的一个解.

      例如同余方程

      x^(2)-11x+18≡0(m0d 4)

      有解x=2,那么

      x=2+4p(p为整数)

      都是方程的解.但我们把这些解看作是相同的.这个解表为

      x≡2(mod 4).

      该方程还有解x≡1(mod 4),与x≡2(mod 4)是不同的解.

      page0035

      方程①的解的个数不会超过m,而且可以通过将0,1,2,…,m-1逐个代入①而求出它的全部解.

      从以上四例可以看出,同余方程①的解的个数是很不规则的.

      3.2 一次同余方程

      本节讨论最简单的模m的一次同余方程

      ax≡b(modm).①

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      先讨论判别①式有解的条件.

      定理1 设(a,m)=1,则①式有且仅有一解.

      证明:由1,2,…,m是模m的一个完全剩余系,(a,m)=1知a,2a,…,ma也是模m的一个完全剩余系.因此其中有且仅有一个整数j,1≤j≤m满足

      aj≡b(mod m).

      故x≡j(mod m)就是①式的唯一解.

      定理2 若记d=(a,m),则①式有解的充分必要条件是d|b.若①式有解,则①式的解数是d.

      证明:易见①式有解的充分必要条件是二元一次不定方程

      ax-my=b

      有解.由1.7节定理1即知①式有解的充分必要条件是d|b.

      如①式有解,则d|b,此时①式与同余方程

      1/dx≡b/d(mod m/d)②的解是相同的.

      由定理1知②式有唯一解,设为

      x≡t0(mod m/d), 0≤t0〈m/d.

      因此①式的全部解可表示为t0+km/d,k=0,±1,±2,….

      考虑d个数t0+im/d,i=0,1,2,…,d-1.③

      当0≤i≤d-1时,有0≤t0+im/d〈m,因此这d个数对模m是互不同余的.另一方面,对于①式的任一解t0+k0 m/d,用k0=qd+r,0≤r〈d代入得

      t0+k0m/d=t0+(qd+r)m/d≡t0+rm/d(mod m),

      因此①式的任一解必与③式中某一个数对模m同余.

      故①式恰有d个解.

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      现在讨论①式的具体解法.

      解一次同余方程有多种方法.下面叙述的方法称为形式分数形式分数不是真正意义上的分数,只是具有分数的某些特征.例如,分子,分母同乘一个数,将分子,分母模m,不改变同余等式.法,使用它解同余方程

      ax≡b(mod m),(a, m)=1⑤

      常常是简便的.此方法是基于同余式的恒等变形.

      首先将⑤式形式上写成x≡b/a(mod m),然后在分数b/a的分子,分母上进行变换.变换有两种:(I)用与m互素的数同时乘分子和分母,再将新的分子或分母换上它们对模m同余的数.(Ⅱ)在分子上加上m的倍数,使新分子和分母有公约数,再约去它.

      适当地使用变换(I)或(Ⅱ),经过若干次后,可使分母为1,而求得解.

      在运用变换(Ⅱ)时,必须要求(a,m)=1.

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      3.3 孙子定理

      大约在公元5~6世纪,我国南北朝时期有一部著名算术著作《孙子算经》,其下卷第26题物不知数为:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?这个问题用同余式来表示,就是下面的一次同余方程组:

      设物数为x,依题意得

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      我们的祖先用歌诀形式给出了一种解法:

      三人同行七十稀,

      五树梅花廿一支,

      七子团圆正月半,

      除百零五便得之.

      歌诀前三句给出了三组数:3,70;5,21;7,15.这三组数有共同特征,从下表可以看出.

      余数 | 除数 | 被除数 3 5 7
      70 1 0 0
      21 0 1 0
      15 0 0 1

      70,21,15分别是满足表中第一、二、三行条件的最小正整数解.容易看出

      N=2×70+3×21+2×15=233,满足原题所有三个余数条件.歌诀最后一句除百零五便得之,意即N=233模3,5,7的最小公倍数105,所得23是原题的最小正整数解.这样,

      x≡2×105/3+3×105/5+2×105/7≡23(mod 105)是同余方程①的唯一解.

      这个解法的精妙之处在于,它把余数条件标准化,然后将较难的原问题分解为三个易解的子问题,并给出了通用的解法.以下我们把《孙子算经》所述问题及其解法推广为下述定理.

      定理1 (孙子定理)设m1,m2,…,mn是两两互素的正整数,记m=m1m2…mn,Mi=m/mi,i=1,2,…,n,则一次同余方程组

      有唯一解

      x≡b1M′1M1+b2M′2M2+…+bnM′nMn(mod m),其中M′i Mi≡1(mod mi),i=1,2,…,n.

      证明:首先求出整数x0,使对每个i,i=1,2,…,n,有x0≡bi(mod mi).如能找到Li,i=1,2,…,n,满足

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      Li其中j=1,2,…,n,则可取x0=b1L1+b2L2+…+bnLn.

      令m=m1m2…mn,Mi=m/mi,i=1,2,…,n.显然Mi满足:(I)(Mi,mi)=1,(Ⅱ)Mi≡0(mod mj),1≤j≤n,j≠i.由(Ⅰ)知存在整数M′i,使M'iMi≡1(mod mi).

      不难看出可取Li=M'iMi,i=1,2,…,n.因此可取

      x0=b1M'1M1+b2M'2M2+…+bnM′nMn.

      易见满足x≡x0(mod m)的整数x都是②式的解.

      另一方面,如x1是②式的解,则

      因为(mi,mj)=1,1≤i〈j≤n,所以

      x1≡x0(mod m).

      于是②式的全部解为

      x≡x0(mod m).

      国际上称孙子定理为中国剩余定理.

      从孙子定理可以看出解一次同余方程组②的难点在于对每个Mi,求M'i,即求解一次同余方程MiM'i≡1(modmi),其中M'i是未知数.

      我国宋代大数学家秦九韶在他的杰作《数书九章》(1247年)中提出了求解同余方程

      ax≡b(mod m),(a, m)=1③的方法——大衍求一术,用现代的数学语言来叙述大致就是:由已知互素的整数a,m(〉0),去求整数k,使得

      ak≡1(mod m)成立的一种算法.

      具体做法是:(不妨设a〉0)

      对a,m使用辗转相除得到

      a=mq1+r1,0〈r1〈m,

      m=r1q2+r2,0〈r2〈r1

      rn2=rn1qn+rn,0〈rn〈rn1

      rn1=rnqn1.

      由1.4节定理3知

      1=(a, m)=[(-1)^(n-1)Qn]a+[(-1)^(n)Pn]m,

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      即得

      a[(-1)^(n-1)Qn]≡1(mod m).

      于是求得

      k=(-1)^(n-1)Qn.④

      由④式即得③式的解为

      x≡(-1)^(n-1)Qnb(mod m),其中Qn可按Q0=0,Q1=1,Qk=qkQk1+Qk2,k≥2,求出.

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      page0043

      3.4 拉格朗日插值公式

      本节我们用孙子定理的思想与方法研究插值问题.

      设想某气象站在时刻x1,x2,…,xn(x1〈x2〈…n)上记录下来的温度分别是y1,y2,…,yn.我们希望找到一个多项式函数f(x),使其满足f(xi)=yi,i=1,2,…,n.我们就用f(x)来作温度函数的某种近似,这就是所谓插值问题.

      先看一个例子.

      一般地,给定n组值(xi,yi),i=1,2,…,n,其中xi互不相等.为求多项式f(x),使f(xi)=yi,i=1,2,…,n,可先求出Li(x)满足

      Li(xj)=其中j=1,2,…,n.①

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      那么不难看出f(x)=y1L1(x)+y2L2(x)+…+ynLn(x)就是满足f(xi)=yi,i=1,2,…,n的插值多项式.

      由①式不难求出Li(x),i=1,2,…,n.

      由①式知Li(x)以x1,…,xi1,xi1,…,xn为其(n-1)个不同零点,故Li(x)=ki(x-x1)…(x-i1)(x-xi1)…(x-xn),其中ki是一个待定系数.

      由Li(xi)=1即得

      ki=,于是,

      Li(x)=,i=1, 2,…, n

      这样,

      f(x)=y1L1(x)+y2L2(x)+…+ynLn(x)

      为所求之多项式函数.这个公式叫做拉格朗日插值公式.

      3.5 公开密钥码

      密钥是通讯双方的一种秘密约定,以防密码被第三者破译.例如,双方约定,按英文字母表的顺序,把明文(要发出的真实信息)中的字母后移三格,即用它后面的第三个字母代替,得到密文(直接发出的码).后移三格就是密钥.接收者只需把密文中的字母向前移三格就得到真实信息.这是最原始的编码方法,很容易被人破译.二战时期所用的一种编码方法是用0,1两个数字编码,双方约定一个数,明文加上这个数(模2加法)便

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      得到密文.比如:

      明文 10101101110

      密钥 00100110111(约定数)

      密文 10001011001

      接收者收到密文后,加上约定数便得明文.破译这种密码虽然有一定难度,但还是常常被第三方破译.本节给出一种编码方法,使所发密码不仅难以被别人破译,而且密钥可以公开.设计者可以收到任何人按照指定方法发送的秘密信息.

      同学们知道,求两个素数之积只是举手之劳,但是相反,分解一个大的正整数为两数之积会遇到难以想象的困难.利用这个道理,可以找到如下的一种编码方法.

      设张明同学学得一种编码方法.他选择两个大素数p与q,并求得乘积N=pq.然后按如下要求选取正整数e与d:

      (1)(e,(p-1)(q-1))=1;

      (2)d=,k为整数.

      这里,条件(1)保证可以找到整数k使d为正整数.

      此时,张明可以像公布自己的电话号码一样公开数字N和e(密钥),但数字d(解钥)保密.李强同学事先没有和张明约定,想向张明发送秘密信息.设李强要发的明文(真实信息)是M(正整数,信息代码,(M,N)=1,1≤M≤N).首先他可以像翻电话本一样,查到张明的密钥(N,e),接着他不直接发M,而发密文C,C由下式给出:

      M^(e)≡C(mod N),1≤C≤N.

      张明接收到密文C后,作运算C^(d)(mod N),具体为

      C^(d)≡(M^(e))^(d)≡M^(k(p-1)(q-1)+1)≡M·M^(k(p-1)(q-1))(m0d N).

      由费马小定理可得

      M^(k(p-1)(q-1))≡(M^(k(q-1)))^(p-1)≡1(mod p),

      M^(k(p-1)(q-1))≡(M^(k(p-1)))^(q-1)≡1(mod q).

      由孙子定理知,同余方程组

      x≡1(mod q)

      有唯一解(mod N).因为M^(k(p-1)(q-1))和1都是其解,所以有

      M^(k(p-1)(q-1))≡1(m0d N),于是

      C^(d)≡M·M^(k(p-1)(q-1))≡M(mod N),这样张明同学便得到了李强同学的真实信息M.

      为什么除张明外,别人很难破译李强发给他的密码呢?原因就是张明没有公开解钥d.由公开密钥(N,e)是很难求得解钥d的.因为由d的定义可知,要求d必须要知道素数p和q,但当N很大时,把它分解成素数乘积是极其困难的分解一个上百位数字的数,即使采用最高速的电子计算机,所需时间(以年计)为天文数字..

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      为理解这种通讯模式,以下仅以较小的数字为例,说明本节的编码、译码过程.

      你选择p=5,q=11,e=3.取k=2,由(2)得d=27.将密钥(N,e)=(55,3)公开,解钥d=27保密.

      设有某人向你发送明文M=23,他可换成密文C,即

      M^(e)≡23^(3)≡12(mod 55), C=12.

      你收到密文C=12后,作运算

      C^(d)≡(12)^(27)≡(12^(3))^(9)≡(1728)^(9)≡(23)^(9)≡(23^(3))^(3

      ≡(12)^(3)≡23(mod 55).

      于是,你得到了他发给你的真实信息M=23.

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      本章小结

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      阅读与欣赏

      陈景润

      陈景润(1933—1996),中国现代数学家,1953年毕业于厦门大学数学系,同年分配到北京当中学教师,1954年回厦门大学任图书管理员,期间,从事解析数论研究.1956年,23岁的陈景润,写出一篇论文,改进了华罗庚的工作,引起了数学大师华罗庚的注意,1957年经华罗庚推荐进入中国科学院数学研究所工作,曾对圆内格点问题、球内格点问题、华林问题作过重要推进.

      1966年,陈景润发表论文摘要每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和,1973年在《中国科学》上发表了论文全文,对推进哥德巴赫猜想的证明作出重大贡献.陈景润的这个结果被国际数学界誉为陈氏定理.

      陈景润曾任中国科学院数学研究所研究员,中国科学院院士.1996年因病逝世.

      陈景润历经磨难,但他对数学的热爱与执着始终不改.他以超乎常人的毅力与刻苦精神,攻克了数论中一道又一道难题.他的光辉业绩和科学精神值得我们学习.

      1. 形式分数不是真正意义上的分数,只是具有分数的某些特征.例如,分子,分母同乘一个数,将分子,分母模m,不改变同余等式.
      2. 分解一个上百位数字的数,即使采用最高速的电子计算机,所需时间(以年计)为天文数字.
       第一章 解三角形

      第一章 解三角形

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      1.1 正弦定理和余弦定理

      1.2 应用举例

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      问题1:一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时28海里的速度航行.一个灯塔M原来在轮船的北偏东10°的方向,经过40分钟后,测得灯塔在轮船的北偏东70°的方向.求灯塔和轮船原来的距离.

      问题2:某海滨城市附近的海面上有一台风.据监测,目前台风中心位于城市O的南偏东90°-θ(θ=arccos)方向300km的海面P处(如图),并以20km/h的速度向北偏西45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当时的半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

      与上面两个问题相类似的还有下列问题:怎样测出底部不可到达的建筑物的高度?在海上航行时怎样测出船的航向和航速?怎样测出两个岛屿之间的距离?……这些问题的解决都需要用到三角形中边角关系的有关知识.

      在本章中,我们将学习正弦定理和余弦定理,并应用它们解三角形,进而借助所学的三角形边角关系的知识解决一些类似于上述问题的实际问题.

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      1.1 正弦定理和余弦定理

      1.1.1 正弦定理

      在初中,我们学习过直角三角形中的边角关系.同学们是否想过这样一个问题:在任意一个三角形中,角与它所对的边之间在数量上有什么关系?下面,我们首先研究特殊情况.

      在Rt△ABC中(如图1-1),有

      a/c=sin A, b/c=sin B,

      因此

      ==c.

      又因为sin C=1,所以

      ==.

      对于一般三角形,以上结论是否仍然成立?

      在本书中,△ABC中的三个内角∠A,∠B,∠C的对边,分别用a,b,c表示.

      先看锐角△ABC(如图1-2(1)).

      作CD⊥AB于点D,有

      =sin A,即CD=bsin A;

      =sin B,即cD=asin B,因此bsin A=asin B,即

      =.

      同理可证=,因此

      可结合课件正弦定理猜想与验证学习正弦定理.

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      ==.

      再看钝角△ABC(如图1-2(2)).

      作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则

      =sin A,即CD=bsin A;

      =sin(180°-B)=sin B,即CD=asin B,因此bsin A=asin B,即

      =.

      同理可证=,因此

      ==.

      于是,我们得到下面的定理:

      正弦定理 在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即

      ==.

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      一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

      page0006

      1.1.2 余弦定理

      如果已知一个三角形的两边及其夹角,则这个三角形完全确定.能否用正弦定理求解这个三角形呢?由于在这个三角形中找不出一条边及其对角都是已知的,因此无法直接应用正弦定理.为了解这类三角形,必须寻求其他途径.

      在△ABC中,已知边a,b,及∠C(为了方便起见,假设∠C为最大的角),求边c的长.

      如果∠C=90°,那么可以用勾股定理求c的长;

      如果∠C≠90°,那么是否仍可以用勾股定理来解呢?

      很自然的想法是构造直角三角形,以便于应用勾股定理进行计算.

      可结合课件余弦定理猜想与验证学习余弦定理.

      当∠C为锐角时(图1-5(1)),高AD把△ABC分成两个直角三角形ADB和ADC;当∠C为钝角时(图1-5(2)),作高AD,则构造了两个直角三角形ADB和ADC,算出c的关键是先算出AD和BD(或DC).

      考察向量在向量方向上的正射影数量:当∠C分别为锐角和钝角时,得到的两个数量符号相反;当∠C为直角时,其向量在直角边上的正射影的数量为零.因此,不论∠C是锐角、钝角还是直角,都有

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      AD=bsin C, BD=a-bcos C.

      在Rt△ADB中,运用勾股定理,得

      c^(2)=AD^(2)+BD^(2)=b^(2)sin^(2)C+(a-bcos C)^(2

      =a^(2)+b^(2)-2abcos C.

      同理可得

      b^(2)=a^(2)+c^(2)-2accos B,

      a^(2)=b^(2)+c^(2)-2bccos A.

      于是,我们得到三角形中边角关系的又一重要定理:

      余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即

      c^(2)=a^(2)+b^(2)-2abcos C,

      b^(2)=a^(2)+c^(2)-2accos B,

      a^(2)=b^(2)+c^(2)-2bccos A.

      显然,余弦定理表述了任意一个三角形中三边长与三个内角余弦之间的数量关系.

      在一个三角形中,如果知道两边及其夹角的值,由余弦定理就可以求出第三边.

      从以上公式中解出cos A,cos B,cos C,则可以得到余弦定理的另一种形式:

      cos A=

      cos B=

      cos c=.

      应用以上结果,由三角形的三边长,可以求出三角形的三个内角.

      在△ABC中,令=c,=b,=a,你能通过计算|a|2=a·a证明余弦定理吗?

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      1.2 应用举例

      问题1 怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度?

      如图,在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼,如何通过测量,求得角楼的高度?

      分析:如图1-11,设线段AB表示角楼的高.在宫墙外护城河畔的马路边,选位置C对角楼进行测量.设CC'为测量仪器的高,过点C'的水平面与AB相交于点B'.这时由测点C'可测得点A的仰角a的大小.在△AB'C'中,三条边的长度都无法测出,因而AB'的长无法求得.如果移动测量仪CC'至DD'(测量仪高度不变),想想看,我们能测得哪些数据,使问题得以解决?事实上,如图1-12所示,在点B',C',D'构成的三角形中,可以测出∠β和∠γ的大小,又可测得CD的长.这样,我们就可根据正弦定理求出边B'C'的长,从而求出AB'的长,使问题得到解决.

      某校学生用自制的仪器,测得

      a=20°,β=99°,γ=45°, CD=60 m.

      测量仪器的高为1.5 m,试求出故宫角楼的高度(精确到0.1 m).

      解:在△B'C'D'中,由正弦定理,得

      =

      因此B'C'==≈72.17.

      在△AB'C'中,

      AB'=B'C'tan a=72.17×tan 20°≈26.3(m),因此AB=AB'+B'B=26.3+1.5=27.8(m),

      答:故宫角楼的高约为27.8 m故宫角楼从地面到楼顶的精确高度为27.50 m..

      问题2 怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的距离?

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      设A,B是两个海岛,如何测量它们之间的距离?

      分析:如图1-13,A,B分别是两个海岛上接近海面的两处标志性设施.与问题1类似,如果只选择一个测点C,那么在△ABC中只能测得∠ACB的大小,问题不能得到解决.因此需要再选择一个测点D,构造一个能测出其一条边长的△BCD.要求出AB,还应先求出AC和BC,为此应先解△ACD和△BCD.

      解:如图1-13,在海边适当选取两个测点C,D,使A,B,C,D在一个平面内.测得

      CD=a,∠ACB=a,∠ADC=β,∠BCD=θ,∠BDC=δ.

      在△BCD中,由正弦定理,得

      =

      即BC=

      在△ACD中,∠A=180°-(a+β+θ).由正弦定理,得

      AC==.

      在△ABC中,由余弦定理,得

      AB^(2)=BC^(2)+AC^(2)-2BC·ACcos a,把BC,AC代入上式即可求出AB.

      问题3 如图1-14,墙上有一个三角形灯架OAB,灯所受重力为10 N,且OA,OB都是细杆,只受沿杆方向的力,试求杆OA,OB所受的力(精确到0.1).

      分析:点O处受到三个力的作用:灯线向下的拉力(记为F),O到A方向的拉力(记为F1),从B到O方向的支持力(记为F2),这三个力是平衡的,即

      F+F1+F2=0.

      解:如图1-15,作=F,将F沿A到O,0到B的两个方向进行分解,即作□OCED,则

      ==-F1=-F2.

      由题设条件可知,

      ||=10,∠OCE=50°,∠0EC=70°,所以∠COE=180°-50°-70°=60°.

      在△OCE中,由正弦定理,得

      ==

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      因此

      |F1|=≈11.3,

      |F2|=≈12.3

      答:灯杆AO所受拉力为11.3 N,灯杆OB所受压力为12.3 N.

      问题4 如图1-16,在海滨某城市附近海面有一台风.据监测,台风中心位于城市A的南偏东30°方向、距城市300km的海面P处,并以20km/h的速度向北偏西45°方向移动.如果台风侵袭的范围为圆形区域,半径为120km.几小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到0.1 h)?

      解:如图1-16所示.设台风的中心x小时到达位置Q时,开始侵袭该城市,在△AQP中,依题意,得

      AQ=120km, AP=300km, PQ=20x,

      ∠P=60°-45°=15°,∠A=180°-15°-∠Q=165°-∠Q.

      由正弦定理,得方程组

      由①得

      sin Q=≈0.6470,

      所以∠Q≈40.3°(不合题意,舍去),∠Q≈139.7°.

      因此∠A≈180°-15°-139.7°=25.3°,代入②得

      20x=≈198.1,

      所以

      x=198.1/20≈9.9(h).

      答:大约9.9小时后,该城市开始受到台风的侵袭.

      ∠AQP≈40.3°有什么实际意义?

      如果台风移动的方向及速度不变,那么该城市受台风侵袭的时间有多长?

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      实习作业

      请同学们选择一个有关测量的问题,进行实际测量,并写出实习报告.

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      本章小结

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      阅读与欣赏

      亚历山大时期的三角测量

      公元前332年,亚历山大征服了埃及.为了庆祝这个胜利,他在当时称为圣河的尼罗河入海处,建立了一座以他的名字命名的城市——亚历山大城,以示纪念.那时的亚历山大城是世界文化中心,有世界第一的图书馆、博物馆和大学,可惜这样宏伟的图书馆后来却毁于战火.伟大的数学家欧几里得和伟大的物理学家阿基米德都曾是活跃于亚历山大城的杰出科学家.

      利用三角知识进行天文测量和地理测量的例子,在亚历山大时期举不胜举.我们在这里只介绍那个时期的两个三角测量的例子.

      当时在亚历山大城任教的欧几里得已经完成了不朽的巨著《原本》,藏于亚历山大城的世界第一的图书馆中.图书馆的埃拉托塞尼管理员有机会接触到这些文化结晶,由此引发测量地球周长的念头.他发现地球的某一时刻在辛尼地方的一口深井底部可以见到太阳,也就是说太阳这时恰好在人的头顶上(图1-17).同时在500 nmi1e外的亚历山大城的太阳光线倾斜了大约7.5°,约是周角的1/50,这样就可以计算出地球周长大约是

      500×50=25000(n mile),这个结果与现代人测量的赤道长相差不多.

      另外一个例子是希帕克斯测量地球和月球间的距离.要知道那时没有先进的测量仪器,他假设一个人站在赤道A处看到月亮恰好在他头顶上方的C处(图1-18),另一个人站在赤道B处,看到月亮刚刚升起.这时BC和圆O相切,构成了直角三角形OBC,所对θ恰为A,B两地的经度差.希帕克斯测得θ=(891/16)°,他利用自己编制的世界第一张正弦函数值表计算,得

      sin(90°-θ)=

      OC==250000(n mile),这个数据与实际距离误差也不太大.

      1. 故宫角楼从地面到楼顶的精确高度为27.50 m.
       第二章 数列

      第二章 数列

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      2.1 数列

      2.2 等差数列

      2.3 等比数列

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      章头图中蕴含着一个很有趣的关于兔子繁殖的故事.意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci,约1170-1250)在1202年提出了一个关于兔子繁殖的问题:

      如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每一对小兔子在它出生后的第三个月里,又能生1对小兔子.在不发生死亡的情况下,由1对初生的小兔子开始,50个月后会有多少对兔子?

      根据设定的条件,从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是

      1, 1, 2, 3, 5, 8,….

      这就是有名的斐波那契数列.

      下面我们一起来进行几项活动.

      1.将1张纸对折一次,得2层;再对折一次,得4层……这样不断地对折下去,关于纸的层数可以得到一列数

      2,4,8,16,….

      如果能对折30次,你能估算出它有多厚吗(假设一张纸的厚度为0.05mm)?

      2.在平面上画1条直线,将平面分成2个部分;画2条直线,最多可以将平面分成4个部分;画3条直线,最多可以将平面分成7个部分……这样继续画下去,平面最多被分成的部分也可以得到一列数

      2,4,7,11,….

      你能发现这列数的规律吗?

      3.如果操作计算器:1 cos cos cos……可以得到这样的一列数

      1, cos 1, cos(cos 1), cos(cos(cos 1)),….

      请你试一试,会出现什么现象?你能解释这一现象吗?

      上面这些按一定次序排列的一列数叫做数列.

      在这一章中,我们将学习关于数列的一些基础知识,应用这些知识,同学们就能解决如上一些简单而又有趣的问题。

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      2.1 数列

      2.1.1 数列

      在前言中我们已经得到这样几列数

      2,4,8,16,…;①

      2,4,7,11,…;②

      1, cos 1, c0s(cos 1), cos(cos(cos 1)),….③

      再看下面的例子.

      正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数

      1,1/2,1/3,1/4,1/5.④

      π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排成一列数

      3,3.1,3.14,3.141,….⑤

      无穷多个1排成一列数

      1,1,1,1,….⑥

      当n分别等于1,2,3,4,…时,(-1)^(n)的值排成一列数

      -1,1,-1,1,….⑦

      上面例子中的每一列数,都是按照一定的次序排列起来的.像这样按照一定次序排列起来的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,….

      数列的一般形式可以写成

      a1,a2,a3,…, an,….

      其中an是数列的第n项,叫做数列的通项.我们常把一般形式的数列简记作{an}.

      如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式

      an=f(n)

      来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

      数列{an}每一项的序号n与这一项an的对应关系,实际上,可以看成序号集合到另一个数的集合的映射.例如,数列④对应的映射,可用图2-1表示.

      不是所有数列都能写出通项公式.

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      从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.

      例如,

      数列①的一个通项公式是an=2^(n);

      数列④的一个通项公式是an=1/n(n≤5);

      数列⑦的一个通项公式是an=(-1)^(n).

      数列作为一种特殊的函数,也可以用列表法和图象法表示.例如上面给出的数列②④可以用列表和图象分别表示如下:

      n 1 2 3 4
      an 2 4 7 11

      (1)数列②

      n 1 2 3 4 5
      an 1 1/2 1/3 1/4 1/5

      (2)数列④

      图2-2

      上面列举的数列中,你还能写出哪些数列的通项公式?

      由于数列是定义在正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数,因此,它们的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点.

      项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.

      从第二项起,每一项大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第二项起,每一项小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项都相等的数列叫做常数列.

      前面学习的数列中,哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?

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      为什么例2中要求写出一个通项公式?

      数列(2)的通项公式可以写成an=(-1)^(n)+1吗?

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      2.1.2 数列的递推公式(选学)

      在2.1.1节我们列举了一些数列的例子,其中数列①的通项公式是an=2^(n),只要依次用n=1,2,3,4,…代替公式中的n,就可以求出这个数列的各项.观察数列①,容易发现,从第2项开始,每一项是它的前一项的2倍,因此该数列也可以用如下方法给出

      a1=2,

      an=2an1(n=2, 3, 4,…).

      这就是说,由上面数列的第1项,以及项an与an-1间的关系式,可以写出这个数列的各项.

      再如数列③,在前言中它是由操作计算器

      1 cos cos cos……给出的,它的通项公式不易求得,但相邻两项之间的关系却非常简单,即an=cos(an1),因此数列③可以这样来确定

      a1=1,

      an=cos(an1)(n=2, 3, 4,…).

      像上面那样,如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.

      你能猜想出这个数列的通项公式吗?

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      你能比较an与an+1的大小吗?你能比较an与an+2的大小吗?

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      2.2 等差数列

      2.2.1 等差数列

      请看下面的一些数列:

      鞋的尺码,按照国家统一规定,有

      22,22.5,23,23.5,24,24.5,…;①

      某月星期日的日期为

      2,9,16,23,30;②

      一个梯子共8级,自下而上每一级的宽度(单位:cm)为

      89,83,77,71,65,59,53,47.③

      上面几个数列有什么共同的特点?

      对于数列①,从第2项起每一项与前一项的差都等于0.5;

      对于数列②,从第2项起每一项与前一项的差都等于7;

      对于数列③,从第2项起每一项与前一项的差都等于-6.

      这就是说,这些数列具有这样的共同特点:从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数.

      一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.

      通项公式为an=an-b(a,b是常数)的数列都是等差数列吗?

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      这种用叠加求通项公式的方法叫做叠加法.

      如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.

      如果A是x和y的等差中项,则A=.

      容易看出,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;反之,如果一个数列从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,那么这个数列是等差数列.

      从等差数列的通项公式

      怎么证明A=

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      an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)可以看出:当公差d=0时,该数列是常数列(即常数列是公差为0的等差数列);当公差不为0时,an是关于n的一次函数.

      设数列{an}的通项公式为

      an=an+b(a,b是常数).

      因为an-an1=(an+b)-[a(n-1)+b]=a(n≥2),所以数列{an}是等差数列,其中a是公差.

      这样,我们得到了如下结论:

      如果数列{an}是等差数列,则an=an+b(a,b是常数);反之,如果数列{an}的通项公式是an=an+b(a,b是常数),则数列{an}是等差数列.

      由于等差数列的通项公式可以表示为an=an+b,因此从图象上看,表示这个数列的各点均在一条直线上.当a≠0时,各点均在一次函数y=ax+b的图象上;当a=0时,各点均在函数y=b的图象上.

      要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件?

      相当于已知线段两断点的坐标,求线段中点坐标.

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      相当于已知直线过点(1,17),斜率为-0.6,求直线在x轴下方的点的横坐标的取值范围.

      page0039

      2.2.2 等差数列的前n项和

      图2-6堆放着一堆钢管,最上层放了4根,下面每一层比上一层多放一根,共8层,这堆钢管共有多少根?

      这堆钢管从上至下每层的数量组成首项a1=4,公差d=1的等差数列.求这堆钢管有多少根,就是求这个等差数列前8项的和.怎样求这8项的和?

      这堆钢管最下层的数量是a8=11.

      我们设想,在这堆钢管旁,如图2-7所示堆放同样数量的钢管,这时每层都有钢管(4+11)根,因此这堆钢管的总数是

      (4+11)×8÷2=4+11/2×8=60.

      上述算法对等差数列前n项和的计算具有一般性.

      设等差数列{an}的前n项和为Sn,即

      Sn=a1+a2+a3+…+an

      根据{an}的通项公式,上式可以写成

      Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n一1)d],①

      再把项的顺序反过来,Sn又可写成

      Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d],②

      把①②两边分别相加,得

      2Sn==n(a1+an),

      由此得到,求等差数列{an}的前n项和的公式

      Sn=.

      这就是说,等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.

      代入等差数列的通项公式,上面的公式还可以写成

      sn=na1d.

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      如果仅利用通项公式,能求出使得Sn最小的序号n的值吗?

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      2.3 等比数列

      2.3.1 等比数列

      本章前言中,由折纸问题得到的数列是

      2,4,8,16,….①

      此外,再来看以下两个数列:

      3,9,27,81,…;②

      -1/2,1/4,-1/8,1/16,….③

      上面这几个数列有什么共同的特点?

      对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2;

      对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于3;

      对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于-1/2.

      这就是说,这些数列具有这样的共同特点:从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数.

      一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.

      为什么q≠0?等比数列中的项有可能等于0吗?

      下面我们来探求等比数列的通项公式.

      因为在一个等比数列{an}中,从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于公比q.也就是说,从第2项起,每一项都等于它的前一项乘以公比q.于是有

      等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式?

      page0045

      a1=a1

      a2=a1q,

      a3=a2q=a1q^(2),

      a4=a3q=a1q^(3),

      ……

      由此得到等比数列的通项公式

      an=a1q^(n-1).

      其中,a1与q均不为0.

      等比数列的通项公式还可以用下面的方法得到:

      由等比数列的定义可知

      =q,=q,=q,…,=q,=q,

      将这n-1个式子的等号两边分别相乘,可以得到=q^(n-1),即

      an=a1q^(n-1).

      如果三个数x,G,y组成等比数列,则G叫做x和y的等比中项.

      如果G是x和y的等比中项,那么G/x=y/G,即

      G2=xy.

      显然,两个正数(或两个负数)的等比中项有两个,它们互为相反数,一个正数和一个负数没有等比中项.

      容易看出,在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项;反之,如果一个数列从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项,那么这个数列是等比数列.

      等比数列{an}的通项公式还可以写成

      an=a1q^(n-1

      =·q^(n)=cq^(n).

      这里c=是一个不为零的常数.当q是不为1的正数时,y=q^(x)是一个指数函数,y=cq^(x)是一个非零常数与一个指数函数的积.因此,从图象上看,表示数列{cq^(n)}的点都在函数

      y=cq^(x)的图象上.例如,当a1=1,q=2时,an=1/2·2^(n),表示这个数列各项的点就都在函数y=1/2·2^(x)的图象上(如图2-8所示).

      你能通过公比q的不同取值的讨论,对等比数列进行分类吗?

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      要确定一个等比数列的通项公式,需要知道几个独立的条件?

      page0047
      page0048

      2.3.2 等比数列的前n项和

      国际象棋起源于古印度.据说国王为了奖赏发明者,让发明者提一个要求.发明者说:请在棋盘(图2-9)的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请国王给我足够的麦子来实现上述要求.国王觉得这事不难办到,就欣然同意了.

      你认为国王有能力满足发明者的这个要求吗?

      让我们来计算一下.

      每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列

      1, 2, 22, 23,…, 263,

      于是,发明者要求的麦粒总数就是这个数列的前64项的和

      1+2+22+23+…+263.

      怎样求等比数列的前n项和呢?

      设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的定义,有

      a2=a1q,

      a3=a2q,

      a4=a3q,

      ……

      page0049

      an1=an2 q,

      an=an1 q.

      将这n-1(n≥2)个式子两边分别相加,得

      a2+a3+…+an=(a1+a2+a3+…+an1)q,

      Sn-a1=(Sn-an)q.

      整理,得

      (1-q)Sn=a1-anq.

      当q≠1时,

      Sn==(n≥2).

      当n=1时,以上等式也是成立的.

      很明显,当q=1时,Sn=na1.

      综上可以得到,等比数列的前n项和公式

      用上面的公式来解决麦粒问题按每千粒麦子的质量约为40克计算.:因为a1=1,q=2,n=64,所以

      S64==2^(64)-1.请同学们算一算,回答前面提出的问题.

      等比数列的前n项和公式还可以这样来推导

      Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q^(2)+…+a1q^(n-1),

      两边同乘q,得

      qSn=a1q+a1q^(2)+a1q^(3)+…+a1q^(n),

      两式相减,得

      (1一q)Sn=a1-a1q^(n).

      从而得出

      Sn=(q≠1).

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      等比数列的前n项和公式及通项公式涉及到5个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中3个量就可以求出另外的2个量.

      有别的解法吗?将这个数列的前8项倒过来排,试一试.

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      本章小结

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      阅读与欣赏

      级数趣题

      按照人们的传统习惯,等差数列也叫做等差级数或算术级数;等比数列也叫做等比级数或几何级数.但严格地说,级数是指用+号连接数列的各项所得的式子.

      在我国古代数学著作中,对级数作过大量的研究,很早就建立了等差级数的理论.早在《周髀算经》中就有级数的运用.例如,在天文学上曾以直径2×(19832里200步)递进七衡(日、月运行的圆周,用7个同心圆表示);二十四节气以9寸91/6分递为加减等等.在《九章算术》中,给出了等差级数问题:今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?早在庄子天下篇中就有一尺之棰,日取其半,万世不竭的论述,这些都是有名的关于数列的例子.

      古人常常把生活中的一些趣闻编成数学题目,以提高人们对数学的兴趣.下面我们来看几个这样的题目:

      一、耗子穿墙(《九章算术》)

      今有垣厚5尺,两鼠相对.大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢?各穿几何?

      九章算术的作者将这个问题变为盈不足术问题,盈为多余,亏为不足.这实际上是一个等比级数求和的问题.他的解法也很简单.答案是两天不足,三天有余.请同学自己完成.

      如果将墙厚改为100尺,答案就不是一眼就能看出的.小鼠第一天打1尺,接下去无论打多少天也超不过1尺.我们要计算的只是大鼠的情况.设等比数列{an}为

      1, 2^(1),2^(2),…,2^(n),….

      解不等式

      Sn1〈100-1≤Sn,就可以得出答案.

      二、《张邱建算经》题

      今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月,日织九匹三丈4丈为1匹,10尺为1丈,10寸为1尺..问日益几何?该题的大意是说,有一女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺,一个月后共织布390尺,问该女子织布每天增加多少?

      这是一道利用等差数列求和公式求解的题.答案是515/29寸.

      我国古代数学家在级数方面的成就是很大的,这里就不一一列举了.后面仅介绍杨辉在《详解九章算法》中给出的三个高阶等差数列的求和公式:

      1^(2)+2^(2)+3^(2)+…+n^(2)=1/6n(n+1)(2n+1);

      a2+(a+1)2+(a+2)2+…+[a+(n-1)]2

      =n/3(a^(2)++aan)(an=a+n-1);

      1+3+6+10+…+=1/6n(n+1)(n+2).

      宋代沈括对级数继续进行研究,以上这三个公式只是沈括的一个公式的特例,由此可见我国古代数学成就之大.

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      无穷与悖论

      数学家希尔伯特说:无穷是一个永恒的谜.无穷有许多与日常直观经验相悖的性质.一个著名的悖论讲的是阿喀琉斯同乌龟赛跑的故事.阿喀琉斯是希腊传说中的善跑者.悖论的提出者芝诺(Zeno,约公元前495-前430)论证说,如果阿喀琉斯让乌龟先跑出一段路程,那他就将永远追不上乌龟.

      因为阿喀琉斯如果想追上乌龟,首先必须到达乌龟开始跑的位置,但当阿喀琉斯到达乌龟起跑的位置时,乌龟已经跑到前面去了.乌龟虽然跑得慢,但它毕竟在跑.他如果想追上乌龟又面临一个同样的问题:他必须先再次跑到乌龟此刻的位置才能追上乌龟.等他跑到了,完全同样的问题又摆在阿喀琉斯的面前.这样的问题可以无限地出现.虽然阿喀琉斯跑得快,但他也只能一步步逼近乌龟,却永远追不上它.乌龟总是在他前头,他与乌龟之间总有一段距离需要跑,虽然这个距离越来越短,可总有.

      人们总觉得他是诡辩,一定可以找出毛病所在.虽然从亚里士多德开始,大多数哲学家都力图指出芝诺的论证是错误的,但是很长时期一直没能解决.

      从数学的观点看,只是在两个世纪之前才以无穷级数的和是有限的这一命题解决了这个问题.例如,无穷级数.

      1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…的和是多少,得出的答案为1.在上述悖论中,阿喀琉斯到达乌龟的起点,要花t1时间,这段时间内,乌龟向前跑了一段距离;阿喀琉斯跑这段距离要花t2时间,这段时间内,乌龟又向前跑了一段距离……如此继续下去,可以列出一个数列

      t1,t2,….

      这个数列有无穷多项,但其和并不是一个无限大的数目,而是一个有限数

      两者最初相差的距离/两者的速度差

      这是不是就可以说,造成谬论的原因是把项的无穷多与总和的无穷大混为一谈呢?还不能这样说.对芝诺来说,即使总和并非无穷大,无穷多个步骤也是难以完成的.阿喀琉斯越来越接近乌龟,距离越来越小,可是面对这无限多个步骤,尽管越来越容易完成,阿喀琉斯这个有限的人物,怎么可能完成?

      总之,这个悖论至今仍没有一个满意的答案.

      关于无穷,人们将不断探索下去,这些探索必将大大加深我们对无穷的理解,也将加深我们对运动本身的理解.

      1. 按每千粒麦子的质量约为40克计算.
      2. 4丈为1匹,10尺为1丈,10寸为1尺.
       第三章 不等式

      第三章 不等式

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      3.1 不等关系与不等式

      3.2 均值不等式

      3.3 一元二次不等式及其解法

      3.4 不等式的实际应用

      3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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      在考察事物之间的数量关系时,经常要对数量的大小进行比较.我们来看下面的例子.

      国际上常用恩格尔系数(记为n)来衡量一个国家和地区人民的生活水平的高低,它的计算公式是

      n=食品消费额/消费支出总额×100%.

      有关机构还制定了各种类型的家庭应达到的恩格尔系数的取值范围:

      家庭类型 贫穷 温饱 小康 富裕 最富裕
      n n>60% 50%<n≤60% 40%<n≤50% 30%<n≤40% n≤30%

      你在小学和初中已经学习了一些简单的不等式知识,看了这张表,你一定会理解这些不等式表达的意义.下面就是一个关于恩格尔系数的实际问题:

      根据某乡镇的抽样调查,2003年每个家庭年平均消费支出总额为1万元,其中食品消费额为0.6万元.预测2003年到2005年每个家庭年平均消费支出总额每年增加3000元,到2005年该乡镇人民生活状况达到小康水平,试问这个乡镇每个家庭食品消费额的年平均增长率至多是多少?

      你能解决这个问题吗?

      为了解决这类问题,我们要研究一元二次不等式的解法.解一元二次不等式是这一章学习的主要课题之一.

      在这一章中,我们首先对初中学过的不等式知识进行复习,然后系统地学习不等式的基本性质并学习均值不等式及其应用.在探究一元二次不等式与相应的函数、方程之间相互关系的基础上,学习一元二次不等式的解法,并使同学们在相关知识的和谐、统一中去感受数学的美.

      在生产与营销活动中,我们常常需要考虑:怎样利用现有的资源(人力、物力、资金……)取得最大的收益;或者,怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务.我们把这一类问题称为最优化问题.不等式的知识是解决最优化问题的得力工具.这一章最后,我们将借助二元一次不等式(组)的几何表示,学习最优化问题中的简单线性规划问题,从中感受不等式在解决实际问题中所起的重要作用.

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      3.1 不等关系与不等式

      3.1.1 不等关系与不等式

      我们知道,人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船,理论上它们的飞行速度(记作υkm/s)不小于第一宇宙速度(记作v1km/s),且小于第二宇宙速度(记作v2km/s). v,v1,v2之间的关系可以用数学符号表示为

      v1≤v〈v2.

      我们再看下面的问题.

      某人为自己制定的月支出的计划中,规定手机话费不超过150元.他所选用的中国电信卡的收费标准为:

      月租费 每分钟通话费
      中国电信卡 30元 0.40 元

      求这个人月通话时间(记为x分钟)的取值范围.

      同学们可以列出下面的式子

      30+0.40x≤150.

      事实上,在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的.我们用数学符号≠、〉、〈、≥、≤连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子,叫做不等式.

      在上述所有的不等号中,要特别注意≥和≤两个符号的含义.如果a,b是两个实数,那么

      a≥b即为a〉b或a=b;

      a≤b即为a〈b或a=b.

      如何比较实数的大小呢?我们知道,实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系(图3-1).容易看到,那些表示实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列.数轴上的一个动点向着数轴的正方向运动时,它所对应的实数越来越大.这就是说:

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      数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

      在数轴上.如果表示实数a和b的两个点分别为A和B,则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种:

      (1)点A和点B重合;

      (2)点A在点B的右侧;

      (3)点A在点B的左侧.

      在这三种位置关系中,有且仅有一种成立.由此可以得到结论:

      对于任意两个实数a和b.在a=b. a〉b,a〈b三种关系中有且仅有一种关系成立.

      当我们没有任何度量工具时,要确定高矮差不多的甲、乙两个同学身高之间的不等关系,所采用的方法是:让他们背靠背地站在同一高度的地面上,这两个同学身高之间的不等关系便一目了然.在数学中我们比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.

      如果a-b是正数,则a〉b;如果a〉b,则a-b为正数;

      如果a-b是负数,则a〈b;如果a〈b,则a-b为负数;

      如果a-b等于零,则a=b;如果a=b,则a-b等于零.

      通常,如果p,则q为正确的命题,则简记为

      pq,读作p推出q.

      如果pq,且qp都是正确的命题,则记为

      pq.

      读作p等价于q或q等价于p.

      于是,上述结论可以写为

      a-b〉0a〉b;

      a-b〈0a〈b;

      a-b=0a=b.

      本书中,如无特别说明,式子中的字母,均表示式子有意义的实数.

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      上述两个例题的求解,是借助因式分解和应用配方法完成的,这两种方法是式子变形时经常使用的方法,同学们应熟练掌握.

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      3.1.2 不等式的性质

      在初中我们学习了不等式的三条基本性质.事实上,不等式还具有下面的一些重要性质:

      性质1 如果a≥b,那么b〈a;如果b〈a,那么a〉b.

      性质1 表明,把不等式的左边和右边交换位置,所得不等式与原不等式异向.我们把这种性质称为不等式的对称性.

      性质2 如果a〉b,且b〉c,则a〉c.

      证明:根据两个正数之和仍为正数,得

      .

      这个性质也可以表示为

      c〈b, b〈ac〈a.

      我们把性质2所描述的不等式的性质称为不等式的传递性.

      性质3 如果a〉b,则a+c〉b+c.

      证明:因为a〉b,所以a-b〉0.

      因此(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b〉0,即

      (a+c)-(b+c)〉0.

      因此a+c〉b+c.

      性质3表明,不等式的两边都加上同一个实数,所得到的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出

      a+b〉ca+b+(-b)〉c+(-b)a〉c-b.

      由此得到:

      推论1 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边.

      我们称推论1为不等式的移项法则.

      推论2 如果a〉b,c〉d,则a+c〉b+d.

      证明:因为a〉b,所以a+c〉b+c.

      又因为c〉d,所以b+c〉b+d.

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      根据不等式的传递性,得

      a+c〉b+d.

      我们把a〉b和c〉d(或a〈b和c〈d)这类不等号方向相同的不等式,叫做同向不等式.推论2说明,两个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向.很明显,推论2可以推广为更一般的结论:

      几个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向.

      性质4 如果a〉b,c〉0,则ac〉bc;如果a〉b,c〈0,则ac〈bc.

      请同学们自己完成性质4的证明.

      推论1 如果a〉b〉0,c〉d〉0,则ac〉bd.

      证明:因为a〉b,c〉0,所以ac〉bc.

      又因为c〉d,b〉0,所以bc〉bd.

      根据不等式的传递性,得ac〉bd.

      很明显,这个推论可以推广为更一般的结论:

      几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向.

      推论2 如果a〉b〉0,则a^(n)〉b^(n)(n∈N,n〉1).

      证明:因为

      根据性质4的推论1,得a^(n)〉b^(n).

      推论3 如果a〉b〉0,则(n∈N,n〉1).

      证明:用反证法.

      假定,即

      =

      根据性质4的推论2和根式性质,得

      a〈b或a=b.

      这都与a〉b矛盾,因此

      .

      在解一元一次不等式3x-2≤5x+1的过程中,应用了不等式的哪些性质?

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      从以上几个不等式的证明过程,可以看到:应用不等式性质对已知不等式进行变形,从而得出要证的不等式,是证明不等式的常用方法之一.

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      3.2 均值不等式

      均值定理如果a,b∈R+,那么

      .

      当且仅当a=b时,等号成立.

      证明:因为a〉0,b〉0,所以

      ==≥0,即.当且仅当=,即a=b时,等号成立.

      上面所证结论通常称为均值不等式.

      对任意两个正实数d,b,数叫做d,b的算术平均值,数叫做a,b的几何平均值.

      均值定理可以表述为:

      两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.

      这个不等式,在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用,因此我们也称它为基本不等式.

      下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释,以加深同学们对均值不等式的理解.

      我们可以令正实数a,b为两条线段的长,用几何作图的方法,作出长度为的两条线段,然后比较这两条线段的长.

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      具体作图如下(图3-2):

      (1)作线段AB=a+b,使AD=a,DB=b;

      (2)以AB为直径作半圆O;

      (3)过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C;

      (4)连接AC,BC,OC,则

      CO=.

      由于CD=atan A,CD=btan B=bcot A,因此,

      CD2=ab, CD=.

      当a≠b时,在Rt△OCD中,CO〉CD,即

      当且仅当a=b时,点O与点D重合,CO=CD,即=.

      所以,当且仅当a=b时,不等式中的等号成立.

      均值不等式的几何解释,我们通常将其说成半径不小于半弦。

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      由例2的求解过程,可以总结出以下规律:

      两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;

      两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.

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      3.3 一元二次不等式及其解法

      考察下面含未知数的不等式

      15x^(2)+30x-1〉0和3x^(2)+6x-1≤0.

      这两个不等式有两个共同点:

      (1)含有一个未知数x;

      (2)未知数x的最高次数为2.

      一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.

      一元二次不等式的一般表达形式为

      ax^(2)+bx+c〉0(a≠0)或ax^(2)+bx+c〈0(a≠0),

      其中a,b,c均为常数.

      一元二次不等式一般表达形式的左边,恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式,即

      f(x)=ax^(2)+bx+c(a≠0).

      一元二次不等式

      f(x)〉0或f(x)〈0(a≠0)的解集,就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合.一元二次方程

      f(x)=0(a≠0)的解集,就是使二次函数f(x)的函数值为零时自变量x的取值的集合.因此二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间有非常密切的联系.

      下面我们通过实例,研究一元二次不等式的解法,以及它与相应的方程、函数之间的关系.

      例如解不等式:

      (1)x^(2)-x-6〉0;(2)x^(2)-x-6〈0.

      我们来考察二次函数f(x)=x^(2)-x-6=(x-1/2)^(2)-25/4的图象和性质.

      一元二次不等式的一般表达形式中,不等号也可以是≥或≤.

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      方程x^(2)-x-6=0的判别式

      △=(-1)^(2)-4×1×(-6)=25〉0,

      于是可知这个方程有两个不相等的实数根.解此方程得x1=-2,x2=3.

      建立直角坐标系xOy,画出函数f(x)的图象(图3-3).它是一条开口向上的抛物线,与x轴的交点为M(-2,0),N(3,0).观察这个图象,可以看出:

      抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零,因此这些点的横坐标的集合

      A={x|x〈-2或x〉3}是一元二次不等式x^(2)-x-6〉0的解集;

      抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零,因此这些点的横坐标的集合

      B={x|-2〈x〈3}是一元二次不等式x^(2)-x-6〈0的解集.

      事实上,当x∈A时:

      若x〈-2,则x+2〈0,且x-3〈0,由此可推知(x+2)(x-3)〉0;

      若x〉3,同样可推知(x+2)(x-3)〉0.

      当x∈B,即-2〈x〈3时,x+2〉0,且x-3〈0,由此可推知(x+2)(x-3)〈0.

      不等式(1)和(2)还可以通过下述方法求解:

      (1)因为

      x^(2)-x-6=(x+2)(x-3),

      所以解x^(2)-x-6〉0就是解(x+2)(x-3)〉0,相当于解不等式组

      解这两个不等式组,得

      x〉3或x〈-2.

      (2)解x^(2)-x-6〈0就是解(x+2)(x-3)〈0,相当于解不等式组

      解这两个不等式组,得

      -2〈x〈3.

      比较上面的两种解法,可以明显地体会到,作出相应的二次函数的图象,并由图象直接写出解集的方法更简便一些.

      由(1)和(2)的解法,你能否解不等式

      ≥0,≤0?

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      不等式x2+4x+4≥0的解集是什么?x2+4x+4≤0的解集是什么?

      page0078

      以解析式形式给出的函数的定义域,是使函数解析式有意义的自变量取值的集合.列出关于自变量的不等式(组)并求其解,是求函数定义域的最常用的方法.

      下面,我们用一个程序框图来描述求解一元二次不等式

      ax2+bx+c〉0(a〉0)的算法过程:

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      page0081

      3.4 不等式的实际应用

      许多实际问题,通过设未知数将其数学化后,便可以应用不等式的知识求解.下面举例说明.

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      由此可知,解有关不等式的应用题,首先要选用合适的字母表示题中的未知数,再由题中给出的不等量关系,列出关于未知数的不等式(组),然后解所列出的不等式(组),最后再结合问题的实际意义写出答案.

      恩格尔系数n的计算公式是n=食品消费额/消费支出总额×100%

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      page0084
      page0085

      3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

      我们看下面的不等式

      x+y〉700, 10x+12y≤8000, x≥0, y≥0.

      在这四个不等式中,前两个不等式都含有两个未知数,且未知数的最高次数为1,我们称这样的不等式为二元一次不等式.

      类似于方程组,我们把这四个不等式构成一个不等式组,并记为

      像这样的不等式组,叫做二元一次不等式组.

      这一大节,我们要研究二元一次不等式以及不等式组表示的平面区域,并在此基础上学习关于简单的线性规划问题的相关知识及其解法.

      3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域

      二元一次不等式的一般形式为

      Ax+By+C〉0或Ax+By+C〈0.

      现在我们来探求,二元一次不等式解集的几何意义.

      已知直线l:Ax+By+C=0,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面与l的并集叫做闭半平面.以不等式解(x,y)为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的区域或不等式的图象.

      我们如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域呢?

      直角坐标平面内直线l的一般形式的方程为

      Ax+By+C=0.①

      根据直线方程的意义,凡在l上的点的坐标都满足方程①,而不在直线l上的点的坐标都不满足方程①.

      可结合课件二元一次不等式与平面区域学习本节内容.

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      直线l把坐标平面内不在l上的点分为两部分,一部分在直线l的一侧,另一部分在l的另一侧.我们用下面的例子来讨论在直线的两侧点的坐标所应满足的条件.

      在平面直角坐标系xOy中(图3-5),作直线

      l:x+y-1=0.

      由直线的方程的意义可知,直线l上的点的坐标都满足l的方程,并且直线l外的点的坐标都不满足l的方程.

      在直线l的上方和下方取一些点:

      上方 (0,2),(1,3),(0,5),(2,2);

      下方 (-1,0),(0,0),(0,-2),(1,-1).

      把它们的坐标分别代入式子x+y-1中.我们发现,在l上方的点的坐标使式子的值都大于0,l下方的点的坐标使式子的值都小于0.这使我们猜想:l同侧点的坐标是否使式子x+y-1的值具有相同的符号?要么都大于0,要么都小于0?

      事实上,不仅对这个具体的例子有此性质,而且对坐标平面内的任一条直线都有此性质:

      直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分,直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符号,并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值的符号相反,一侧都大于0,另一侧都小于0.

      根据上面得出的结论,我们可以在直线l的某一侧任取一点,检测其坐标是否满足二元一次不等式.如果满足,则这点所在的这一侧区域就是所求的区域;否则l的另一侧就是所求的区域.显然,如果直线不过原点,则用原点的坐标来进行判断,比较方便.

      你能证明上面这个结论吗?感兴趣的同学请看这一节的探索与研究.

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      3.5.2 简单线性规划

      在生产与营销活动中,我们常常需要考虑:怎样利用现有的资源(人力、物力、资金……),取得最大的收益.或者,怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务.我们把这一类问题称为最优化问题.不等式的知识是解决最优化问题的得力工具.这一节,我们将借助二元一次不等式(组)的几何表示,学习最优化问题中的简单线性规划问题.

      下面我们通过实例来说明线性规划的有关问题及其求解方法.

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      在上述问题中,我们把要求最大值或最小值的函数

      f=30x+40y叫做目标函数,目标函数中的变量所要满足的不等式组②称为约束条件.如果目标函数是关于变量的一次函数,则称为线性目标函数.如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式),则称为线性约束条件.在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题,称为线性规划问题.使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标,称为问题的最优解.

      一般地,满足线性约束条件的解(x,y),叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.

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      例3是整数线性规划问题.整数线性规划问题的可行域是由满足不等式组的整点(横、纵坐标均为整数的点)组成的集合,所求的最优解必须是整数解.

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      本章小结

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       第一章 有理数

      第一章 有理数

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      在生活、生产和科研中,经常遇到数的表示和运算等问题.例如:

      (1)北京冬季里某一天的气温为-3℃~3℃.-3的含义是什么?这一天北京的温差是多少?

      (2)某年,我国花生产量比上一年增长1.8%,油菜籽产量比上一年增长-2.7%.增长-2.7%表示什么意思?

      (3)夏新同学通过捡、卖废品,既保护了环境,又积攒了零花钱.下表是他某个月的部分收支情况

      (单位:元).

      收支情况表 年 月

      日期 收入(+)或支出(一) 结余 注释
      2日 3.5 8.5 卖废品
      8日 -4.5 4.0 买圆珠笔、铅笔芯
      12日 -5.2 -1.2 买科普书,同学代付

      这里,结余-1.2是什么意思?怎么得到的?

      上面的例子涉及3-(-3)=?等新问题.本章我们将在小学认识负数的基础上,把数的范围扩充到有理数,并在这个范围内研究数的表示、大小比较和运算等.有了这些知识,上述问题就能顺利解决了.

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      1.1 正数和负数

      数的产生和发展离不开生活和生产的需要.

      图1.1-1

      本章引言中,表示温度、产量增长率、收支情况时,既要用到数3,1.8%,3.5等,还要用到数-3,-2.7%,-4.5,-1.2等,它们的实际意义分别是:零下3摄氏度,减少2.7%,支出4.5元,亏空1.2元.

      我们知道,像3,1.8%,3.5这样大于0的数叫做正数.像-3,-2.7%,-4.5,-1.2这样在正数前加上符号-(负)的数叫做负数.有时,为了明确表达意义,在正数前面也加上+(正)号.例如,+3,+2,+0.5,+1/3,…就是3,2,0.5,1/3,….一个数前面的+-号叫做它的符号.

      0既不是正数,也不是负数.

      你能说说3,1.8%,3.5等的实际意义吗?

      中国古代用算筹(表示数的工具)进行计算,红色算筹表示正数,黑色算筹表示负数.

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      归纳

      如果一个问题中出现相反意义的量,我们可以用正数和负数分别表示它们.

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      把0以外的数分为正数和负数,它们表示具有相反意义的量.随着对正数、负数意义认识的加深.正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时,需要以海平面为基准(规定海平面的海拔高度为0m),通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度,用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.例如,珠穆朗玛峰的海拔高度为8844.43 m,吐鲁番盆地的海拔高度为-155 m.记账时,通常用正数表示收入款额,用负数表示支出款额.

      0是正数与负数的分界.0℃是一个确定的温度,海拔0m表示海平面的平均高度.0的意义已不仅是表示没有.

      思考

      图1.1-2

      图1.1-3

      上面图中的正数和负数的含义是什么?你能再举一些用正数、负数表示数量的实际例子吗?

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      1.2 有理数

      1.2.1 有理数

      思考

      回想一下,我们认识了哪些数?

      我们学过的数有:

      正整数,如1,2,3,…;

      零,0;

      负整数,如-1,-2,-3,…;

      正分数,如1/2,2/3,15/7,0.1,5.32,…;

      负分数,如-0.5,-5/2,-2/3,-1/7,-150.25,….

      正整数、0、负整数统称为整数;正分数、负分数统称为分数.

      整数和分数统称为有理数(rational number).

      从小学开始,我们首先认识了正整数,后来又增加了0和正分数,在认识了负整数和负分数后,对数的认识就扩充到了有理数范围.

      所有正整数组成正整数集合,所有负整数组成负整数集合.

      因为这里的小数可以化为分数,所以我们也把它们看成分数.

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      1.2.2 数轴

      问题 在一条东西向的马路上,有一个汽车站牌,汽车站牌东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站牌西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.

      图1.2-1,画一条直线表示马路,从左到右表示从西到东的方向,在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1 m长.于是,在点O右边,与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C,分别表示柳树和杨树的位置;点O左边,与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E,分别表示槐树和电线杆的位置.

      思考

      怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系(方向、距离)?

      上面的问题中,东与西、左与右都具有相反意义.如图1.2-2,在一条直线上取一个点O为基准点,用0表示它,再用负数表示点O左边的点,用正数表示点O右边的点.这样,我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.

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      用上述方法,我们就可以把这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了.例如,-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8 m处的电线杆,等等.

      你能说说图中其他数的实际意义吗?

      思考

      图1.2-3中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线.它和图1.2-2有什么共同点,有什么不同点?

      在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴(number axis),它满足以下要求:

      (1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin);

      (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;

      (3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,…(图1.2-4).

      0是正数和负数的分界点;原点是数轴的基准点.

      分数或小数也可以用数轴上的点表示,例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5,从原点向左3/2个单位长度的点表示分数-3/2(图1.2-4).

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      归纳

      一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的____边,与原点的距离是____个单位长度;表示数-a的点在原点的____边,与原点的距离是____个单位长度.

      用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用,以它作基础,可以借助图直观地表示很多与数相关的问题.

      1.2.3 相反数

      探究

      在数轴上,与原点的距离是2的点有几个?这些点各表示哪个数?

      设a是一个正数.数轴上与原点的距离等于a的点有几个?这些点表示的数有什么关系?

      可以发现,数轴上与原点距离是2的点有两个,它们表示的数是-2和2.

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      归纳

      一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a(图1.2-5),我们说这两点关于原点对称.

      像2和-2,5和-5这样,只有符号不同的两个数叫做互为相反数(op-posite number).这就是说,2的相反数是-2,-2的相反数是2;5的相反数是-5,-5的相反数是5.

      一般地,a和-a互为相反数.特别地,0的相反数是0.这里,a表示任意一个数,可以是正数、负数,也可以是0.例如:

      当a=1时,-a=-1,1的相反数是-1;同时,一1的相反数是1.

      思考

      设a表示一个数,一a一定是负数吗?

      容易看出,在正数前面添上一号,就得到这个正数的相反数.在任意一个数前面添上-号,新的数就表示原数的相反数.例如,

      -(+5)=-5,-(-5)=+5,-0=0.

      你能借助数轴说明-(-5)=+5吗?

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      1.2.4 绝对值

      两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方向行驶10km,到达A,B两处(图1.2-6).它们的行驶路线相同吗?它们的行驶路程相等吗?

      一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|.例如,图1.2-6中A,B两点分别表示10和-10,它们与原点的距离都是10个单位长度,所以10和-10的绝对值都是10,即

      |10|=10,|-10|=10.

      显然|0|=0.

      这里的数a可以是正数、负数和0.

      由绝对值的定义可知:

      一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即

      (1)如果a>0,那么|a|=a;

      (2)如果a=0,那么|a|=0;

      (3)如果a<0,那么|a|=-a.

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      我们已知两个正数(或0)之间怎样比较大小,例如

      0<l, 1<2, 2<3,….任意两个有理数(例如-4和-3,-2和0,-1和1)怎样比较大小呢?

      思考

      图1.2-7给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温,其中最低气温是多少?最高气温呢?你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗?

      这七天中每天的最低气温按从低到高排列为

      -4,-3,-2,-1,0,1,2.

      按照这个顺序排列的温度,在温度计上所对应的点是从下到上的.按照这个顺序把这些数表示在数轴上,表示它们的各点的顺序是从左到右的(图1.2-8).

      数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.

      由这个规定可知

      -6<-5,-5<-4,-4<-3,-2<0,-1<1,….

      思考

      对于正数、0和负数这三类数,它们之间有什么大小关系?两个负数之间如何比较大小?前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗?

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      一般地,

      (1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;

      (2)两个负数,绝对值大的反而小.

      异号两数比较大小,要考虑它们的正负;同号两数比较大小,要考虑它们的绝对值.

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      1.3 有理数的加减法

      1.3.1 有理数的加法

      在小学,我们学过正数及0的加法运算.引入负数后,怎样进行加法运算呢?

      实际问题中,有时也会遇到与负数有关的加法运算.例如,在本章引言中,把收入记作正数,支出记作负数,在求结余时,需要计算8.5+(-4.5),4+(-5.2)等.

      思考

      小学学过的加法是正数与正数相加、正数与0相加.引入负数后,加法有哪几种情况?

      引入负数后,除已有的正数与正数相加、正数与0相加外,还有负数与负数相加、负数与正数相加、负数与0相加等.下面借助具体情境和数轴来讨论有理数的加法.

      看下面的问题.

      一个物体作左右方向的运动,我们规定向左为负,向右为正.向右运动5 m记作5 m,向左运动5 m记作-5 m.

      思考

      如果物体先向右运动5 m,再向右运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?

      两次运动后物体从起点向右运动了8 m.写成算式就是

      5+3=8.①

      将物体的运动起点放在原点,则这个算式可用数轴表示为图1.3-1.

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      思考

      如果物体先向左运动5 m,再向左运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?

      两次运动后物体从起点向左运动了8 m.写成算式就是

      (-5)+(-3)=-8.②

      这个运算也可以用数轴表示,其中假设原点O为运动起点(图1.3-2).

      从算式①②可以看出:符号相同的两个数相加,结果的符号不变,绝对值相加.

      探究

      (1)如果物体先向左运动3 m,再向右运动5 m,那么两次运动的最后结果怎样?如何用算式表示?

      (2)如果物体先向右运动3 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果怎样?如何用算式表示?

      (1)结果是物体从起点向右运动了2 m.写成算式就是

      (-3)+5=2.③

      (2)结果是物体从起点向左运动了2 m.写成算式就是

      3+(-5)=-2.④

      从算式③④可以看出:符号相反的两个数相加,结果的符号与绝对值较大的加数的符号相同,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

      你能用数轴表示算式③④吗?

      探究

      如果物体先向右运动5 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果如何?

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      结果是仍在起点处.写成算式就是

      5+(-5)=0.⑤

      算式⑤表明,互为相反数的两个数相加,结果为0.

      如果物体第1 s向右(或左)运动5 m,第2 s原地不动,那么2 s后物体从起点向右(或左)运动了5 m.写成算式就是

      5+0=5(或(-5)+0=-5).⑥

      思考

      从算式⑥可以得出什么结论?

      1.同号两数相加,取相同的符号、并把绝对值相加

      2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0

      3.一个数同0相加,仍得这个数。

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      我们以前学过加法交换律、结合律,在有理数的加法中它们还适用吗?

      探究

      计算

      30+(-20),(-20)+30.两次所得的和相同吗?换几个加数再试一试.

      从上述计算中,你能得出什么结论?

      有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.

      加法交换律:a+b=b+a.

      探究

      计算

      [8+(-5)]+(-4), 8+[(-5)+(-4)].两次所得的和相同吗?换几个加数再试一试.

      从上述计算中,你能得出什么结论?

      有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.

      加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

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      利用加法交换律、结合律,可以使运算简化.认识运算律对于理解运算有很重要的意义.

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      实验与探究 填幻方

      有人建议向火星发射如图1的图案.它叫做幻方,其中9个格中的点数分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9.每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15.如果火星上有智能生物,那么他们可以从这种数学语言了解到地球上也有智能生物(人).

      你能将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入图2的幻方的9个空格中,使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0吗?

      你是将0填入中央的格中吗?与同学交流一下,你们填这个幻方的方法相同吗?

      1.3.2 有理数的减法

      实际问题中有时还要涉及有理数的减法.例如,本章引言中,北京某天的气温是-3℃~3℃,这天的温差(最高气温减最低气温,单位:℃)就是3-(-3).这里遇到正数与负数的减法.

      减法是加法的逆运算,计算3-(-3),就是要求出一个数x,使得x与-3相加得3.因为6与-3相加得3,所以x应该是6,即

      3-(-3)=6.①

      另一方面,我们知道

      3+(+3)=6,②

      由①②,有

      3-(-3)=3+(+3).③

      图1.3-4,你能看出3℃比-3℃高多少摄氏度吗?

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      探究

      从③式能看出减-3相当于加哪个数吗?把3换成0,-1,-5,用上面的方法考虑0-(-3),(-1)-(-3),(-5)-(-3).这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗?

      计算

      9-8,9+(-8);15-7,15+(-7).从中又有什么新发现?

      换几个数再试一试

      可以发现,有理数的减法可以转化为加法来进行.

      有理数减法法则:

      减去一个数,等于加这个数的相反数.

      有理数减法法则也可以表示成

      a-b=a+(一b).

      思考

      在小学,只有当a大于或等于b时,我们才会做a-b(例如2-1,1-1).现在,当a小于b时,你会做a-b(例如1-2,(-1)-1)吗?

      一般地,较小的数减去较大的数,所得的差的符号是什么?

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      下面我们研究怎样进行有理数的加减混合运算.

      归纳

      引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算.

      a+b-c=a+b+(-c).

      算式

      (-20)+(+3)+(+5)+(-7)

      是-20,3,5,-7这四个数的和,为书写简单,可以省略算式中的括号和加号,把它写为

      -20+3+5-7.

      这个算式可以读作负20、正3、正5、负7的和,或读作负20加3

      page0024
      加5减7.例5的运算过程也可以简单地写为

      (-20)+(+3)-(-5)-(+7)

      =-20+3+5-7

      =-20-7+3+5

      =-27+8

      =-19.

      探究

      在数轴上,点A,B分别表示数a,b.利用有理数减法,分别计算下列情况下点A,B之间的距离:

      a=2, b=6;a=0, b=6;a=2, b=-6;a=-2, b=-6.

      你能发现点A,B之间的距离与数a,b之间的关系吗?

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      阅读与思考 中国人最先使用负数

      中国人很早就开始使用负数.著名的中国古代数学著作《九章算术》的方程一章,在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则,并给出名为正负术的算法.魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正,黑色为负).

      正负术是正负数加减法则.其中有一段话是同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.你知道它的意思吗?其实它就是减法法则,以现代算式为例,可以将这段话解释如下:

      同名相除,即同号两数相减时,括号前为被减数的符号,括号内为被减数的绝对值减去减数的绝对值.例如

      (+5)-(+3)=+(5-3),

      (-5)-(-3)=-(5-3).

      异名相益,即异号两数相减时,括号前为被减数的符号,括号内为被减数的绝对值加减数的绝对值.例如

      (+5)-(-3)=+(5+3),

      (-5)-(+3)=-(5+3).

      正无入负之,负无入正之,即0减正得负,0减负得正.例如

      0-(+3)=-3,

      0-(-3)=+3.

      史料证明:追溯到两千多年前,中国人已经开始使用负数,并应用到生产和生活中.例如,在古代商业活动中,以收入为正,支出为负;以盈余为正,亏欠为负.在古代农业活动中,以增产为正,减产为负.中国人使用负数在世界上是首创.

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      1.4 有理数的乘除法

      1.4.1 有理数的乘法

      我们已经熟悉正数及0的乘法运算.与加法类似,引入负数后,将出现3×(-3),(-3)×3,(-3)×(-3)这样的乘法.该怎样进行这一类的运算呢?

      思考

      观察下面的乘法算式,你能发现什么规律吗?

      3×3=9,

      3×2=6,

      3×1=3,

      3×0=0.

      可以发现,上述算式有如下规律:随着后一乘数逐次递减1,积逐次递减3.

      要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么应有:

      3×(-1)=-3,

      3×(-2)=____,

      3×(-3)=____.

      思考

      观察下面的算式,你又能发现什么规律?

      3×3=9,

      2×3=6,

      1×3=3,

      0×3=0.

      可以发现,上述算式有如下规律:随着前一乘数逐次递减1,积逐次递减3.

      page0029

      要使上述规律在引入负数后仍然成立,那么你认为下面的空格应填写什么数?

      (-1)×3=__,

      (-2)×3=__,

      (-3)×3=__.

      从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式,可以归纳如下:

      正数乘正数,积为正数;正数乘负数,积是负数;负数乘正数,积也是负数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积.

      思考

      利用上面归纳的结论计算下面的算式,你发现有什么规律?

      (一3)×3=__,

      (-3)×2=__,

      (-3)×1=__,

      (-3)×0=__.

      可以发现,上述算式有如下规律:随着后一乘数逐次递减1,积逐次增加3.

      按照上述规律,下面的空格可以各填什么数?从中可以归纳出什么结论?

      (-3)×(-1)=__,

      (-3)×(-2)=__,

      (-3)×(-3)=__.

      可归纳出如下结论:

      负数乘负数,积为正数,乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积.

      一般地,我们有有理数乘法法则:

      两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.

      任何数与0相乘,都得0.

      例如,(-5)×(-3),同号两数相乘

      (-5)×(-3)=+(),得正

      5×3=15,把绝对值相乘

      所以 (-5)×(-3)=15.

      page0030

      又如,(-7)×4,________

      (-7)×4=-(),________

      7×4=28,________

      所以 (-7)×4=________

      也就是:有理数相乘,可以先确定积的符号,再确定积的绝对值.

      例1(3)中,(-1/2)×(-2)=1,我们说-1/2和-2互为倒数.一般地,在有理数中仍然有:

      乘积是1的两个数互为倒数.

      page0031

      多个有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘.

      思考

      观察下列各式,它们的积是正的还是负的?

      2×3×4×(-5),

      2×3×(-4)×(-5),

      2×(-3)×(-4)×(-5),

      (-2)×(-3)×(-4)×(-5).

      几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系?

      归纳

      几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数.

      思考

      你能看出下式的结果吗?如果能,请说明理由.

      7.8×(-8.1)×0×(-19.6).

      几个数相乘,如果其中有因数为0,那么积等于0.

      page0032

      像前面那样规定有理数乘法法则后,就可以使交换律、结合律与分配律在有理数乘法中仍然成立.

      例如,

      5×(-6)=-30,

      (-6)×5=-30,即

      5×(-6)=(-6)×5.

      一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.

      乘法交换律:ab=ba.

      a×b也可以写为a·b或ab.当用字母表示乘数时,×号可以写为·或省略.

      又如,[3×(-4)]×(-5)=(-12)×(-5)=60,

      3×[(-4)×(-5)]=3×20=60,即

      [3×(-4)]×(-5)=3×[(-4)×(-5)].

      一般地,有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.

      乘法结合律:(ab)c=a(bc).

      page0033

      再如,

      5×[3+(-7)]=5×(-4)=-20,

      5×3+5×(-7)=15-35=-20,即

      5×[3+(-7)]=5×3+5×(-7).

      一般地,有理数乘法中,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。

      分配律:a(b+c)=ab+ac.

      运算律在运算中有重要作用,它是解决许多数学问题的基础.

      思考

      比较上面两种解法,它们在运算顺序上有什么区别?解法2用了什么运算律?哪种解法运算量小?

      page0034

      1.4.2 有理数的除法

      怎样计算8÷(-4)呢?

      根据除法是乘法的逆运算,就是要求一个数,使它与-4相乘得8.

      因为 (-2)×(-4)=8,

      所以 8÷(-4)=-2.①

      另一方面,我们有

      8×(-1/4)=-2.②

      于是有

      8÷(-4)=8×(-1/4).③

      ③式表明,一个数除以-4可以转化为乘-1/4来进行,即一个数除以-4,等于乘-4的倒数-1/4.

      与小学学过的除法一样,对于有理数除法,我们有如下法则:

      除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.

      这个法则也可以表示成

      a÷b=a·1/b(b≠0).

      从有理数除法法则,容易得出:

      两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.

      换其他数的除法进行类似讨论,是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘1/a?

      这是有理数除法法则的另一种说法.

      page0035

      因为有理数的除法可以化为乘法,所以可以利用乘法的运算性质简化运算.乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果.

      page0036

      有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则与小学所学的混合运算一样,按照先乘除,后加减的顺序进行.

      page0037

      计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多.

      例如,可以用计算器计算例9中的

      (-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2.

      如果计算器带符号键,只需按键

      ,就可以得到答案3.7.

      不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同,具体参见计算器的使用说明.

      page0038
      page0039
      page0040

      观察与猜想 翻牌游戏中的数学道理

      桌上有9张正面向上的扑克牌,每次翻动其中任意2张(包括已翻过的牌),使它们从一面向上变为另一面向上,这样一直做下去,观察能否使所有的牌都反面向上?

      你不妨动手试一试,看看会不会出现所有牌都反面向上.

      事实上,不论你翻多少次,都不能使9张牌都反面向上.从这个结果,你能想到其中的数学道理吗?

      如果在每张牌的正面都写1,反面都写-1,考虑所有牌朝上一面的数的积.开始9张牌都正面向上,上面的数的积是1.每次翻动2张,就是说有2张牌同时改变符号,这能改变朝上一面的数的积是1这一结果吗?9张牌都反面向上时,上面的数的积是什么数?这种现象为什么不能出现?

      你能解释为什么不会使9张牌都反面向上了吗?

      如果桌上有任意奇数张牌,猜想结果会是怎样?

      page0041

      1.5 有理数的乘方

      1.5.1 乘方

      前面学了有理数的乘法,下面研究各个乘数都相同时的乘法运算.

      我们知道,边长为2cm的正方形的面积是2×2=4(cm^(2));棱长为2cm的正方体的体积是2×2×2=8(cm^(3)).

      2×2,2×2×2都是相同因数的乘法.

      为了简便,我们将它们分别记作2^(2),2^(3).2^(2)读作2的平方(或2的二次方),2^(3)读作2的立方(或2的三次方).

      同样:

      (-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作(-2)^(4),读作-2的四次方;

      (-2/5)×(-2/5)×(-2/5)×(-2/5)×(-2/5)记作(-2/5)5,读作-2/5的五次方.

      一般地,n个相同的因数a相乘,即,记作a^(n),读作a的n次方.

      求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做(power).在a^(n)中,a叫做底数(base number),n叫做指数(exponent),当a^(n)看作a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂.

      例如,在9^(4)中,底数是9,指数是4,9^(4)读作9的4次方,或9的4次幂.

      一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51.指数1通常省略不写.

      因为a^(n)就是n个a相乘,所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.

      (-2)^(4)与-2^(4)一样吗?为什么?

      page0042

      思考

      从例1,你发现负数的幂的正负有什么规律?

      当指数是__数时,负数的幂是__数;

      当指数是__数时,负数的幂是__数.

      根据有理数的乘法法则可以得出:

      负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.

      显然,正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.

      page0043

      做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:

      1.先乘方,再乘除,最后加减;

      2.同级运算,从左到右进行;

      3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号一次进行.

      page0044

      1.5.2 科学记数法

      现实中,我们会遇到一些比较大的数.例如,太阳的半径、光的速度、目前世界人口(图1.5-1)等.读、写这样大的数有一定困难.

      观察10的乘方有如下的特点:

      10^(2)=100,10^(3)=1000,10^(4)=10000,….

      一般地,10的n次幂等于10…0(在1的后面有n个0),所以可以利用10的乘方表示一些大数,例如

      page0045

      567000000=5.67×100000000=5.67×108,读作5.67乘10的8次方(幂).

      这样不仅可以使书写简短,同时还便于读数.

      像上面这样,把一个大于10的数表示成a×10^(n)的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整数),使用的是科学记数法.

      对于小于-10的数也可以类似表示.例如

      -567000000=-5.67×108.

      思考

      上面的式子中,等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系?

      用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是__.

      1.5.3 近似数

      先看一个例子.对于参加同一个会议的人数,有两个报道.一个报道说:会议秘书处宣布,参加今天会议的有513人.这里数字513确切地反映了实际人数,它是一个准确数.另一报道说:

      page0046

      约有五百人参加了今天的会议.五百这个数只是接近实际人数,但与实际人数还有差别,它是一个近似数(approximate number).

      在许多情况下,很难取得准确数,或者不必使用准确数,而可以使用近似数.例如,宇宙现在的年龄约为200亿年,长江长约6300km,圆周率π约为3.14,这里的数都是近似数.

      近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示.例如,前面的五百是精确到百位的近似数,它与准确数513的误差为13.

      按四舍五入法对圆周率π取近似数时,有

      π≈3(精确到个位),

      π≈3.1(精确到0.1,或叫做精确到十分位),

      π≈3.14(精确到0.01,或叫做精确到百分位),

      π≈3.142(精确到______,或叫做精确到______),

      π≈3.1416(精确到______,或叫做精确到______),

      ……

      page0047
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      page0049

      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们在小学学习的基础上,进一步认识了负数,使数的范围扩充到有理数.引入负数不仅可以表示具有相反意义的量,而且还拓展了减法运算的范围.由此,类似于x+2=1的方程就可以解了.

      我们知道,有理数是整数与分数的统称.由于整数可以看成是分母为1的分数,因此有理数可以写成p/q(p,q是整数,q≠0)的形式;另一方面,形如p/q(p,q是整数,q≠0)的数都是有理数.所以,有理数可用p/q(p,q是整数,q≠0)表示.

      本章我们研究了有理数的加、减、乘、除和乘方运算.实际上,与负数有关的运算,我们都借助绝对值,将它们转化为正数之间的运算.数轴不仅能直观表示数,而且还能帮助我们理解数的运算.在运算的过程中,数形结合、转化是很重要的思想方法.

      我们从具体数的加法和乘法中,归纳出了交换律、结合律和分配律等运算律.运算律不仅能给数的运算带来方便,而且还是今后研究代数问题(如解方程、不等式等)的基础.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.你能举出一些实例,说明正数、负数在表示相反意义的量时的作用吗?

      2.你能用一个图表示有理数的分类吗?引入负数后,减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了?

      3.怎样用数轴表示有理数?数轴与普通直线有什么不同?怎样利用数轴

      page0051
      解释一个数的绝对值和相反数?

      4.有理数的加法与减法、乘法与除法各有什么关系?有理数的混合运算都能转化为加法与乘法运算吗?

      5.有理数有哪些运算律?结合例子说明运算律在有理数运算中的作用.

      page0052
       第二章 整式的加减

      第二章 整式的加减

      page0053

      青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是100km/h和120km/h,请根据这些数据回答下列问题:

      (1)列车在冻土地段行驶时,2 h行驶的路程是多少?3h呢?th呢?

      (2)在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍,如果通过冻土地段需要t h,能用含t的式子表示这段铁路的全长吗?

      (3)在格尔木到拉萨路段,列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5 h,如果通过冻土地段需要u h,则这段铁路的全长可以怎样表示?冻土地段与非冻土地段相差多少千米?

      在小学,我们学过用字母表示数,知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,这样的式子在数学中有重要作用.在本章,我们将学习整式及其加减运算,进一步认识含有字母的数学式子,并为一元一次方程等后续内容的学习打下基础.

      page0054

      2.1 整式

      我们来看本章引言中的问题(1).

      列车在冻土地段的行驶速度是100km/h,根据速度、时间和路程之间的关系

      路程=速度×时间,

      列车2 h行驶的路程(单位:km)是

      100×2=200,

      3 h行驶的路程(单位:km)是

      100×3=300,

      t h行驶的路程(单位:km)是

      100×t=100t.①

      在式子①中,我们用字母t表示时间,用含有字母t的式子100 t表示路程.

      下面,我们再来看几个用含有字母的式子表示数量关系的问题.

      在含有字母的式子中如果出现乘号,通常将乘号写作·或省略不写.例如,100×t可以写成100·t或100t.

      page0055

      从上面的例子可以看出,用字母表示数,字母和数一样可以参与运算,可以用式子把数量关系简明地表示出来.

      page0056

      思考

      我们来看引言与例1中的式子

      100t, 0.8p, mn, a^(2)h,-n,这些式子有什么特点?

      这些式子都是数或字母的积,像这样的式子叫做单项式(monomial).单独的一个数或一个字母也是单项式.

      单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(coefficient).例如,单项式100t,a^(2)h,-n的系数分别是100,1,-1.单项式表示数与字母相乘时,通常把数写在前面.

      一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(degree of a monomial).例如,在单项式100t中,字母t的指数是1,100t的次数是1;在单项式a^(2)h中,字母a与h的指数的和是3,a^(2)h的次数是3.

      对于单独一个非零的数,规定它的次数为0.

      page0057

      用字母表示数后,同一个式子可以表示不同的含义.例如,在例3的第(4)(5)小题中,0.9b既可以表示电视机的售价,又可以表示长方形的面积,当然它还可以表示更多的含义,你能赋予0.9b一个含义吗?

      思考

      我们来看例2中的式子

      v+2.5, v-2.5,3x+5y+2z, 1/2ab-πr^(2),x^(2)+2x+18,这些式子有什么特点?

      page0058

      这些式子都可以看作几个单项式的和.例如,v-2.5可以看作单项式v与-2.5的和;x^(2)+2x+18可以看作单项式x^(2),2x与18的和.

      像这样,几个单项式的和叫做多项式(polynomial).其中,每个单项式叫做多项式的(term),不含字母的项叫做常数项(constant term).例如,多项式v-2.5的项是v与-2.5,其中-2.5是常数项;多项式x^(2)+2x+18的项是x^(2),2x与18,其中18是常数项.

      多项式里,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数(degree of a polynomial).例如,多项式v-2.5中次数最高项是一次项v,这个多项式的次数是1;多项式x^(2)+2x+18中次数最高项是二次项x^(2),这个多项式的次数是2.

      单项式与多项式统称整式(integral expres-sion).例如,上面见到的单项式100t,0.8p,mn,a^(2)h,-n,以及多项式v+2.5,v-2.5,3x+5y+2z,1/2ab-πr^(2),x^(2)+2x+18等都是整式.

      v+2.5, 3x+5y+2z, 1/2 ab-πr^(2)的项分别是什么?次数分别是多少?

      page0059
      page0060
      page0061

      阅读与思考 数字1与字母X的对话

      1:数学是由数产生的,数才是数学王国的真正主人.

      X:我是字母,我虽然不是具体的数,但是可以表示各种各样的数,我可以代表你1,也可以代表其他数.

      1:由我们数组成的式子有确切的大小.例如,人们一见到1+2就知道是1与2的和,即3.你们字母能这样做吗?

      X:有我们字母的式子进行运算和推理时具有一般性.例如,x+y可以表示任何两个数的和,包括1+2. x+y=y+x能表示任何两数相加时都可以交换顺序,即加法交换律.

      1:人们解决实际问题时,必须根据已知的具体数字进行计算.而字母有什么用呢?

      X:在解决实际问题时,用字母表示未知数,把字母列入算式(方程),能更方便地表示数量关系.数和字母一起运算会使问题的解法更简单.

      1:数是人们经过长期实践创造出来的,并建立了专门研究数及其运算的学科——算术,你们字母行吗?

      X:随着实践的发展,人们发现只有算术还不够,用字母表示数会起到更大的作用,于是产生了代数这门学科.它首要研究的就是用字母表示的式子的运算法则和方程的解法.从算术发展到代数是数学的一大进步.

      1:算术几乎是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的,它有着非常悠久的历史,代数有怎样的历史呢?

      X:代数的历史可以追溯到约3800年前的古埃及和古巴比伦时期,那时就有了代数的萌芽.到了公元3世纪,代数在希腊获得显著的发展,其代表人物是被誉为代数学鼻祖的丢番图.之后,印度的代数发展很快.同时,阿拉伯地区的代数研究取得很大进展,其中著名的代表作是数学家阿尔-花拉子米于公元820年左右发表的《代数学》(这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》),这本书第一次提出了这门学科的名称.

      page0062

      2.2 整式的加减

      我们来看本章引言中的问题(2).

      在西宁到拉萨路段,如果列车通过冻土地段的时间是t h,那么它通过非冻土地段的时间是2.1t h,这段铁路的全长(单位:km)是

      100t+120×2.1t,

      100t+252t.

      类比数的运算,我们应如何化简式子100t+252t呢?

      探究

      (1)运用运算律计算:

      100×2+252×2=

      100×(-2)+252×(-2)=

      (2)根据(1)中的方法完成下面的运算,并说明其中的道理:

      100t+252t=________.

      在(1)中,我们知道,根据分配律可得

      100×2+252×2=(100+252)×2=352×2,

      100×(-2)+252×(-2)=(100+252)×(-2)=352×(-2).

      在(2)中,式子100t+252t表示100t与252t两项的和.式子

      100t+252t

      与(1)中的式子

      100×2+252×2

      100×(-2)+252×(-2)

      有相同的结构,并且字母t代表的是一个因(乘)数,因此根据分配律也应该有

      100t+252t=(100+252)t=352t.

      page0063

      探究

      填空:

      (1)100t-252t=()t;

      (2)3x^(2)+2x^(2)=()x^(2);

      (3)3ab^(2)-4ab^(2)=()ab^(2).

      上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律?

      对于上面的(1)(2)(3),利用分配律可得

      100t-252t=(100-252)t=-152t,

      3x^(2)+2x^(2)=(3+2)x^(2)=5x^(2),

      3ab^(2)-4ab^(2)=(3-4)ab^(2)=-ab^(2).

      观察(1)中的多项式的项100t和-252t,它们含有相同的字母t,并且t的指数都是1;(2)中的多项式的项3x^(2)和2x^(2),含有相同的字母x,并且x的指数都是2;(3)中的多项式的项3ab^(2)与-4ab^(2),都含有字母a,b,并且a的指数都是1,b的指数都是2.像100t与-252t,3x^(2)与2x^(2),3ab^(2)与-4ab^(2)这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.

      注意分配律的使用:

      100t-252t

      =[100+(-252)]t

      =(100-252)t.

      因为多项式中的字母表示的是数,所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.例如,

      4x^(2)+2x+7+3x-8x^(2)-2

      =4x^(2)-8x2+2x+3x+7-2(交换律)

      =(4x^(2)-8x^(2))+(2x+3x)+(7-2)(结合律)

      =(4-8)x^(2)+(2+3)x+(7—2)(分配律)

      =-4x^(2)+5x+5.

      把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.

      合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.

      通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列,如-4x^(2)+5x+5也可以写成5+5x-4x^(2).

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      现在我们来看本章引言中的问题(3).

      在格尔木到拉萨路段,如果列车通过冻土地段需要u h,那么它通过非冻土地段的时间是(u-0.5)h.于是,冻土地段的路程是100u km,非冻土地段的路程是120(u-0.5)km.因此,这段铁路的全长(单位:km)是

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      100u+120(u-0.5),①

      冻土地段与非冻土地段相差(单位:km)

      100u-120(u一0.5).②

      上面的式子①②都带有括号.类比数的运算,它们应如何化简?

      利用分配律,可以去括号,再合并同类项,得

      100u+120(u-0.5)=100u+120u-60=220u-60,

      100u一120(u-0.5)=100u-120u+60=-20u+60.

      上面两式中

      +120(u一0.5)=+120u-60,③

      -120(u一0.5)=-120u+60.④

      比较上面③④两式,你能发现去括号时符号变化的规律吗?

      如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;

      如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

      特别地,+(x-3)与-(x-3)可以分别看作1与-1分别乘(x-3).利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得

      +(x-3)=x-3,

      -(x-3)=-x+3.

      这也符合以上发现的去括号规律.

      我们可以利用上面的去括号规律进行整式化简.

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      上面研究了合并同类项、去括号等内容,它们是进行整式加减运算的基础.

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      通过上面的学习,我们可以得到整式加减的运算法则:

      一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.

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      信息技术应用 电子表格与数据计算

      用计算机可以制作电子表格(spread-sheet).电子表格(如右图)通常由一些行和列组成,行用数字1,2,3,…表示,列用字母A,B,C,…表示.行和列相交的部分叫做单元格.单元格用列号和行号表示,如A2表示A列第2行,列号在前,行号在后.单元格是电子表格的基本元素,是进行整体操作的最小单位.

      利用电子表格可以进行数据计算.例如,计算当x=163,y=235时式子2x^(2)+3y的值,我们可以在上面的电子表格中,分别在单元格A1和Bl中输入163和235(即x和y的值),然后在C1中输入=Al^2*2+B1*3(^表示乘方,*表示乘号),计算机就会算出2x^(2)+3y的值,并自动填入C1.类似地,在上面的电子表格中,在单元格A2和B2分别输入172和347,在C2输入=A2^2*2+B2*3,计算机就会算出当x=172,y=347时式子2x^(2)+3y的值,并放入C2中.

      电子表格操作简单、功能强大,可以有效地进行数据计算和数据处理.在复杂的统计问题中,电子表格的作用可以得到充分的发挥.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章学习了整式的有关概念与整式的加减运算.由具体的数到用字母表示数,可以简明地表达一些一般的数量和数量关系,给研究问题和计算带来方便,这是数学上的一个重大发展.

      从数到式,字母参与运算,得到了各种式子.其中表示数或字母的积的式子叫做单项式,几个单项式的和叫做多项式.因此,整式可以看作包含乘法或包含乘法与加法的式子.

      整式中的每个字母都表示数,因此,数的一些运算规律也适用于整式.例如,利用分配律可以合并同类项,去括号,从而可以进行整式的加减运算.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.举出一些用单项式、多项式表示数量关系的实际例子.

      2.合并同类项和去括号是整式加减的基础,举例说明合并同类项和去括号的依据.

      3.举例说明整式加减的运算法则.

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       第三章 一元一次方程

      第三章 一元一次方程

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      在小学,我们已经见过像2x=50,3x+1=4,5x-7=8这样的简单方程,其中字母x表示未知数.

      方程是含有未知数的等式,它是应用广泛的数学工具.研究许多问题时,人们经常用字母表示其中的未知数,通过分析数量关系,列出方程表示相等关系,然后解方程求出未知数.

      怎样根据问题中的数量关系列方程?怎样解方程?这是本章研究的主要问题.

      通过学习本章中丰富多彩的问题,你将进一步感受到方程的作用,并学习利用一元一次方程解决问题的方法.

      时间=路程/速度 x/60-x/70=1

        路程/km 速度/(km/h) 时间/h
      客车 x 70 x/70
      卡车 x 60 x/600
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      3.1 从算式到方程

      3.1.1 一元一次方程

      问题 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1 h经过B地.A,B两地间的路程是多少?

      你会用算术方法解决这个问题吗?列算式试试.

      如果设A,B两地相距x km,你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗?

      匀速运动中,时间=路程/速度.根据问题的条件,客车和卡车从A地到B地的行驶时间,可以分别表示为x/70h和x/60 h.

      因为客车比卡车早1 h经过B地,所以x/70比x/60小1,即

      x/60-x/70=1.①

      我们已经知道,方程是含有未知数的等式.等式①中的x是未知数,这个等式是一个方程.

      通过本章的学习,我们将能够从方程①解出未知数的值x=420,从而求出A,B两地间的路程为420km.

      想一想,如何用式子表示两车的行驶时间之间的关系?

      通常用x,y,z等字母表示未知数,法国数学家笛卡儿是最早这样做的人.我国古代用天元、地元、人元、物元等表示未知数.

      用算术方法解题时,列出的算式表示用算术方法解题的计算过程,其中只含有已知数;而方程是根据问题中的相等关系列出的等式,其中既含有已知数,又含有用字母表示的未知数.方程

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      为我们解决许多问题带来方便.通过今后的学习,你会逐步认识:从算式到方程是数学的进步.

      思考

      对于上面的问题,你还能列出其他方程吗?如果能,你依据的是哪个相等关系?

      列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含有未知数的等式——方程(equation).

      上面各方程都只含一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整数,这样的方程叫做一元一次方程(linear equation in one unknown).

      你能解释这些方程中等号两边各表示的什么意思吗?体会列方程所依据的相等关系.

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      归纳

      上面的分析过程可以表示如下:

      分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.

      列方程是解决问题的重要方法,利用方程可以求出未知数.

      可以发现,当x=6时,4x的值是24,这时方程4x=24等号左右两边相等.x=6叫做方程4x=24的解.这就是说,方程4x=24中未知数x的值应是6.同样地,当x=5时,1700+150x的值是2450,这时方程

      1700+150x=2450

      等号左右两边相等.x=5叫做方程1700+150x=2450的解.这就是说,方程

      1700+150x=2450

      中未知数x的值应是5.

      解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的(solution).

      思考

      x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解?

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      3.1.2 等式的性质

      我们可以直接看出像4x=24,x+1=3这样的简单方程的解,但是仅靠观察来解比较复杂的方程是困难的.因此,我们还要讨论怎样解方程.方程是含有未知数的等式,为了讨论解方程,我们先来看看等式有什么性质.

      像m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子,都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式.

      请看图3.1-1,由它你能发现什么规律?

      我们可以发现,如果在平衡的天平的两边都加(或减)同样的量,天平还保持平衡.

      等式就像平衡的天平,它具有与上面的事实同样的性质.

      等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.

      如果a=b,那么a±c=b±c.

      请看图3.1-2,由它你能发现什么规律?

      等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.

      如果a=b,那么ac=bc;

      如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c.

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      一般地,从方程解出未知数的值以后,可以代人原方程检验,看这个值能否使方程的两边相等.例如,

      将x=-27代入方程-1/3x-5=4的左边,得

      -1/3×(-27)-5

      =9-5=4.

      方程的左右两边相等,所以x=-27是方程-1/3x-5=4的解.

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      阅读与思考 方程史话

      我们研究许多数学问题时,可以发现其中的未知数不是孤立的,它们与一些已知数之间有确定的联系,这种联系常常表现为一定的相等关系,把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式,这种等式的数学专有名称是方程.

      人们对方程的研究可以上溯到很早以前.公元820年左右,中亚细亚的数学家阿尔-花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书,重点讨论方程的解法,这本书对后来数学的发展产生了很大影响.

      在很长时期内,方程没有专门的表达形式,而是使用一般的语言文字来叙述它们.17世纪时,法国数学家笛卡儿最早提出用x,y,z这样的字母表示未知数,把这些字母与普通数字同样看待,用运算符号和等号将字母与数字连接起来,就形成含有未知数的等式.后来经过不断的简化改进,方程逐渐演变成现在的表达形式,例如5x+7=16,x^(2)-4=0,3x+4y=5等.

      中国人对方程的研究有悠久的历史.汉语中方程一词最初源于讨论含多个未知数的问题.著名中国古代数学著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年,其中有专门以方程命名的一章,其中以一些实际应用问题为例,给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时,只用算筹表示各未知数的系数,而没有

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      使用专门的记法来表示未知数.按照这样的表示法,方程组被排列成长方形的数字阵,这与现在代数学中的矩阵非常接近.宋元时期,中国数学家创立了天元术,用天元表示未知数进而建立方程.这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》(1248年),书中所说的立天元一相当于现在的设未知数x. 1859年,中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时,开始将equation(指含有未知数的等式)一词译为方程,即将含有未知数的一个等式称为方程,而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组,至今一直这样沿用.

      随着数学的研究范围不断扩充,方程被普遍使用,它的作用越来越重要.从初等数学中的简单代数方程,到高等数学中的微分方程、积分方程,方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是,无论方程的类型如何变化,形形色色的方程都是含有未知数的等式,都表达涉及未知数的相等关系;解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.

      李善兰

      (1811—1882)

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      3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项

      我们已经知道,直接利用等式的基本性质可以解简单的方程,本节重点讨论如何利用合并同类项和移项解一元一次方程.

      约公元820年,中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.对消与还原是什么意思呢?我们先讨论下面的内容,然后再回答这个问题.

      问题1 某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机?

      设前年购买计算机x台.可以表示出:去年购买计算机2x台,今年购买计算机4x台.根据问题中的相等关系:前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台,列得方程

      x+2x+4x=140.

      把含有x的项合并同类项,得

      7x=140.

      下面的框图表示了解这个方程的流程:

      由上可知,前年这个学校购买了20台计算机.

      阿尔-花拉子米

      (约780—约850)

      回顾本题列方程的过程,可以发现:总量=各部分量的和是一个基本的相等关系.

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      思考

      上面解方程中合并同类项起了什么作用?

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      问题 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本.这个班有多少学生?

      设这个班有x名学生.

      每人分3本,共分出3x本,加上剩余的20本,这批书共(3x+20)本.

      每人分4本,需要4x本,减去缺的25本,这批书共(4x-25)本.

      这批书的总数是一个定值,表示它的两个式子应相等,根据这一相等关系列得方程

      3x+20=4x-25.

      这批书的总数有几种表示法?它们之间有什么关系?本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢?

      思考

      方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25),怎样才能使它向x=a(常数)的形式转化呢?

      为了使方程的右边没有含x的项,等号两边减4x;为了使左边没有常数项,等号两边减20.利用等式的性质1,得

      3x-4x=-25-20.

      上面方程的变形,相当于把原方程左边的20变为-20移到右边,把右边的4x变为-4x移到左边.把某项从等式一边移到另一边时有什么变化?

      像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.

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      下面的框图表示了解这个方程的流程.

      由上可知,这个班有45名学生.

      回顾本题列方程的过程,可以发现:表示同一个量的两个不同的式子相等是一个基本的相等关系.

      思考

      上面解方程中移项起了什么作用?

      解方程时经常要合并同类项和移项,前面提到的古老的代数书中的对消和还原,指出就是合并同类项和移项,早在一千多年前,数学家阿尔-花拉子米就已经对合并同类项和移项非常重视了.

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      实验与探究 无限循环小数化分数

      我们知道分数1/3写为小数形式即0.,反过来,无限循环小数0.写为分数形式即1/3.一般地,任何一个无限循环小数都可以写为分数形式吗?如果可以,应怎样写呢?

      先以无限循环小数0.为例进行讨论.

      设0.=x,由0.=0.777…可知,10x=7.777…,所以10x-x=7.解方程,得x=7/9.于是,得0.=7/9.

      想一想:如何把像0.,0.,…,0.这样的无限循环小数化为分数形式?动手试一试.

      再以无限循环小数0.为例,做进一步的讨论.

      无限循环小数0.=0.737373…,它的循环节有两位,类比上面的讨论可以想到如下的做法.

      设0.=x,由0.=0.737 373…可知,100x=73.737 3…,所以100x-x=73.解方程,得x=73/99.于是,得0.=73/99

      想一想:如何把像0.,0.,…,0.这样的无限循环小数化为分数形式?动手试一试.

      想一想:如何把无限循环小数0.3,0.23化为分数形式?动手试一试,并总结把无限循环小数化为分数形式的一般规律.

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      3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母

      当方程的形式较复杂时,解方程的步骤也相应更多些.本节重点讨论如何利用去括号和去分母解一元一次方程.

      问题1 某工厂加强节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电量减少2000 kW·h(千瓦·时),全年用电15万kW·h.这个工厂去年上半年每月平均用电是多少?

      设上半年每月平均用电x kW·h,则下半年每月平均用电(x-2000)kW. h;上半年共用电6x kW·h,下半年共用电6(x-2000)kW. h.

      根据全年用电15万kW·h,列得方程

      6x+6(x-2000)=150000.

      如果去括号,就能简化方程的形式.

      下面的框图表示了解这个方程的流程.

      由上可知,这个工厂去年上半年每月平均用电13500 kW. h.

      1 kW·h的电量即1 kW的电器1 h的用电量.

      思考

      本题还有其他列方程的方法吗?用其他方法列出的方程应怎样解?

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      方程中有带括号的式子时,去括号是常用的化简步骤.

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      英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸草书.这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作,它于公元前1700年左右写成.这部书中记载了许多有关数学的问题,下面的问题2就是书中一道著名的求未知数的问题.

      问题2 一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起来总共是33.

      这个问题可以用现在的数学符号表示.设这个数是x,根据题意得方程

      2/3x+1/2x+1/7x+x=33.

      当时的埃及人如果采用了这种形式,它一定是最早的方程.

      这样的方程中有些系数是分数,如果能化去分母,把系数化成整数,则可以使解方程中的计算更简便些.

      我们知道,等式两边乘同一个数,结果仍相等.这个方程中各分母的最小公倍数是42,方程两边乘42,得

      42×2/3x+42×1/2x+42×1/7x+42x=42×33,

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      28x+21x+6x+42x=1386.

      合并同类项,得

      97x=1 386.

      系数化为1,得

      x=1386/97.

      为更全面地讨论问题,我们再以方程3x+1/2-2=3x-2/10=2x+3/5为例,看看解有分数系数的一元一次方程的步骤.

      这个方程中各分母的最小公倍数是10,方程两边乘10,于是方程左边变为

      10×(3x+1/2-2)=10×3x+1/2-10×2=5(3x+1)-10×2,

      去了分母,方程右边变为什么?你具体算算.

      下面的框图表示了解这个方程的流程.

      方程两边的每一项都要乘10.

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      归纳

      解一元一次方程的一般步骤包括:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化,这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等.

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      在本章第一个问题中,我们根据路程、速度和时间三者的关系,列出方程x/60-x/70=1.现在你一定会解它了.去分母(方程两边乘420),得7x-6x=420,x=420.于是得出两地间的路程为420km.

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      3.4 实际问题与一元一次方程

      从前面的讨论中已经可以看出,方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具.本节我们重点讨论如何用一元一次方程解决实际问题.

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      归纳

      用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:

      这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤,即设未知数,列方程,解方程,检验所得结果,确定答案.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.

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      有些实际问题中,数量关系比较隐蔽,需要仔细分析才能列出方程.下面我们进一步探究几个这样的问题.

      探究1

      销售中的盈亏

      一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏? 分析: 两件衣服共卖了120(=60×2)元,是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少钱.如果进价大于售价就亏损,反之就盈利.

      假设一件商品的进价是40元,如果卖出后盈利25%,那么商品利润是40×25%元;如果卖出后亏损25%,商品利润是40×(-25%)元.

      本问题中,设盈利25%的那件衣服的进价是x元,它的商品利润就是0.25x元.根据进价与利润的和等于售价,列出方程

      x+0.25x=60.

      由此得

      x=48.

      类似地,可以设另一件衣服的进价为y元,它的商品利润是-0.25y元,列出方程

      y-0.25y=60.

      由此得

      y=80.

      两件衣服的进价是x+y=128元,而两件衣服的售价是60+60=120元,进价大于售价,由此可知卖这两件衣服总共亏损8元.

      列、解方程后得出的结论与你先前的估算一致吗?通过对本题的探究,你对方程在实际问题中的应用有什么新的认识?

      先大体估算盈亏,再通过准确计算检验你的判断.

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      探究2

      球赛积分表问题

      某次篮联赛积分榜
      队名 比赛场次 胜场 负场 积分
      前进 14 10 4 24
      东方 14 10 4 24
      光明 14 9 5 23
      蓝天 14 9 5 23
      雄鹰 14 7 7 21
      远大 14 7 7 21
      卫星 14 4 10 18
      钢铁 14 0 14 14

      (1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系;

      (2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?

      分析:观察积分榜,从最下面一行数据可以看出:负一场积1分.

      设胜一场积x分,从表中其他任何一行可以列方程,求出x的值.例如,从第一行得方程

      10x+1×4=24.

      由此得

      x=2.

      用积分榜中其他行可以验证,得出结论:负一场积1分,胜一场积2分.

      (1)如果一个队胜m场,则负(14-m)场,胜场积分为2m,负场积分为14-m,总积分为

      2m+(14-m)=m+14.

      (2)设一个队胜了x场,则负了(14-x)场.如果这个队的胜场总积分等于负场总积分,则得方程

      2x=14-x.

      由此得

      x=14/3.

      通过观察积分表,你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗?

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      想一想,x表示什么量?它可以是分数吗?由此你能得出什么结论?

      解决实际问题时,要考虑得到的结果是不是符合实际.x(所胜的场数)的值必须是整数,所以x=14/3不符合实际,由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.

      这个问题说明:利用方程不仅能求具体数值,而且可以进行推理判断.

      上面的问题说明,用方程解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否正确,还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.

      探究3

      电话计费问题

      下表中有两种移动电话计费方式.

        月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/min) 被叫
      方式一 58 150 0.25 免费
      方式二 88 350 0.19 免费

      考虑下列问题:

      (1)设一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数).根据上表,列表说明:当t在不同时间范围内取值时,按方式一和方式二如何计费.

      (2)观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗?通过计算验证你的看法.

      月使用费固定收;主叫不超限定时间不再收费,主叫超时部分加收超时费;被叫免费.

      分析:(1)由上表可知,计费与主叫时间相关,计费时首先要看主叫是否超过限定时间.因此,考虑t的取值时,两个主叫限定时间150min和350min是不同时间范围的划分点.

      当t在不同时间范围内取值时,方式一和方式二的计费如下页表:

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      主叫时间t/min 方式一计费/元 方式二计费/元
      t小于150 58 88
      t=150 58 88
      t大于150且小于350 58+0.25(t-150) 88
      t=350 58+0.25(350-150)=108 88
      t大于350 58+0.25(t-150) 88+0C19(t-350)

      (2)观察(1)中的表,可以发现:主叫时间超出限定时间越长,计费越多,并且随着主叫时间的变化,按哪种方式的计费少也会变化.下面比较不同时间范围内方式一和方式二的计费情况.

      ①当t小于或等于150时,按方式一的计费少.

      ②当t从150增加到350时,按方式一的计费由58元增加到108元,而按方式二的计费一直是88元.因此,当t大于150并且小于350时,可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等.列方程

      58+0.25(t-150)=88,

      解得

      t=270.

      因此,如果主叫时间恰是270min,按两种方式的计费相等,都是88元;如果主叫时间大于150min且小于270min,按方式一的计费少于按方式二的计费(88元);如果主叫时间大于270min且小于350min,按方式一的计费多于按方式二的计费(88元).

      ③当t=350时,按方式二的计费少.

      ④当t大于350时,可以看出,按方式一的计费为108元加上超过350min部分的超时费(0.25(t-350)),按方式二的计费为88元加上超过350min部分的超时费(0.19(t-350)),按方式二的计费少.

      综合以上的分析,可以发现:

      ________时,选择方案一省钱;

      ________时,选择方案二省钱.

      选一些具体数字,通过计算验证你的发现是否正确.

      当t大于350时,按方式一的计费58+0.25(t-150)可变形为108+0.25(t-350).对比按方式二的计费,你能说明此时按哪种方式的计费少吗?

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      方程是一种重要的描述现实世界的数学模型.本章中,通过一些实际问题,我们学习了最基本的方程——一元一次方程,为进一步学习方程打下了基础.

      方程是含有未知数的等式,解方程就是求出方程中的未知数.解方程的过程是使方程形式逐步化简,最终得出未知数的值(如x=a(已知数)).在此过程中,化归的思想方法起了重要作用,而等式的性质及运算律是化归的根据.

      利用方程解决实际问题,应认真分析其中的数量关系,关键是要找出相等关系,由此设未知数、列方程,从而把实际问题转化为数学问题;然后通过解方程获得数学结论;最后用数学结论解释实际问题.这是一个实际问题——数学问题——实际问题的过程,今后,我们将在不断经历这一过程中,提高应用数学解决实际问题的能力.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.举例说明方程与等式的关系以及一元一次方程的特征.

      2.回顾解一元一次方程的一般步骤,结合例子体会:解关于x的方程,就是运用等式性质和运算律,根据方程的具体特点,通过灵活变形将方程逐步化简,最后变为x=a(已知数)而得解.

      3.你能举例说明用字母表示数、列含字母的算式和列方程的区别和联

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      系吗?

      4.用方程解决实际问题,是把实际问题转化为数学问题(方程)的过程,其中要特别关注从实际问题中分析出关键性的相等关系.你能举例对此加以解释吗?

      5.请收集一些重要问题(例如气候、节能、经济等)的有关数据,经过分析后编出可以利用一元一次方程解决的问题,并正确地表述问题及其解决过程.

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       第四章 几何图形初步

      第四章 几何图形初步

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      现实世界中有形态各异、丰富多彩的图形.在小学我们学过许多关于图形的知识,在章前图的建筑中,你能找到一些熟悉的图形吗?

      千姿百态的图形美化了我们的生活空间,也给我们带来了很多问题:怎样画出一个五角星?怎样设计一个产品包装盒?怎样绘制一张校园布局平面图?不同的图形各有什么特点和性质?所有这些,都需要我们知道更多的图形知识.

      几何就是研究图形的形状、大小和位置关系的一门学科.本章我们将认识更多的几何图形,进一步探索直线、线段、角等最基本的几何图形的性质,了解它们的广泛应用,为今后进一步学习各种更复杂的几何图形及其性质作好准备.

      北京奥林匹克公园占地约1135hm^(2),总建筑面积约200万m^(2),内有可容纳9万观众的国家体育场(鸟巢)、国家游泳中心(水立方)、国家体育馆等14个比赛场馆。

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      4.1 几何图形

      从城市宏伟的建筑到乡村简朴的住宅,从四通八达的立交桥到街头巷尾的交通标志,从古老的剪纸艺术到现代的城市雕塑,从自然界形态各异的动物到北京的申奥标志(图4.1-1)……图形世界是多姿多彩的!

      各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质外,还具有形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和位置关系(如相交、垂直、平行等),物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容.

      图4.1-2(1)是一个纸盒,它有两个面是正方形,其余各面是长方形.观察纸盒的外形,从整体上看,它的形状是长方体(图4.1-2(2));看不同侧面,得到的是正方形或长方形(图4.1-2(3));只看棱、顶点等局部,得到的是线段、点(图4.1-2(4))等.类似地观察罐头、乒乓球的外形,可以得到圆柱、球、圆等.

      长方体、圆柱、球、长(正)方形、圆、线段、点等,以及小学学习过的三角形、四边形等,都是从形形色色的物体外形中得出的,它们都是几何图形

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      (geometric figure).几何图形是数学研究的主要对象之一.

      4.1.1 立体图形与平面图形

      有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形(solid figure).棱柱、棱锥也是常见的立体图形.图4.1-3(1)中的帐篷、茶叶盒等都给我们以棱柱的形象,图4.1-3(2)中的金字塔则给我们以棱锥的形象.你能再找出一些棱柱、棱锥的实例吗?

      请再举出一些立体图形的例子.

      思考

      图4.1-4中实物的形状对应哪些立体图形?把相应的实物与图形用线连起来.

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      有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是平面图形(plane figure).

      思考

      图4.1-5的各图中包含哪些简单平面图形?请再举出一些平面图形的例子.

      虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,但它们是互相联系的.立体图形中某些部分是平面图形,例如长方体的侧面是长方形.

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      对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形来研究和处理,从不同方向看立体图形,往往会得到不同形状的平面图形.在建筑、工程等设计中,也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形,如图4.1-6 (1),这是一个工件的立体图,设计师们常常画出从不同方向看它得到的平面图形来表示它(图4.1-6(2)).

      利用计算机,可以将设计图合成立体图形.

      探究

      图4.1-7是一个由9个正方体组成的立体图形,分别从正面、左面、上面观察这个图形,各能得到什么平面图形?

      有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图(developing drawing),如图4.1-8,要设计、制作一个长方体形状的墨水瓶包装盒,除了美术技术以外,还要了解它展开后的形状,根据它的展开图来裁剪纸张,自己动手把一个包装盒剪开铺平,看看它的展开图由哪些平面图形组成?再把展开的纸板复原为包装盒,体会包装盒与它的展开图的关系.

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      探究

      你还记得长方体和圆柱的展开图吗?图4.1-9是一些立体图形的展开图,用它们能围成什么样的立体图形?把它们画在一张硬纸片上,剪下来,折叠、粘贴,看看得到的图形和你想象的是否相同.

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      4.1.2 点、线、面、体

      思考

      图4.1-10是一个长方体,它有几个面?面和面相交的地方形成了几条棱?棱和棱相交成几个顶点?

      长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体.几何体也简称(solid).

      包围着体的是(surface).面有平的面和曲的面两种.平静的水面给我们以平面的形象,而一些建筑物的屋顶(图4.1-11)则给我们以曲面的形象.你能再举出一些平面与曲面的例子吗?

      夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线,节日的焰火画出的曲线组成优美的图案(图4.1-12),这些都给我们以线(line)的形象.面和面相交的地方形成线.长方体6个面相交成的12条棱(线)是直的,圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的.

      天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以(point)的形象.线和线

      笔尖可以看作一个点,这个点在纸上运动时,就形成线(图4.1-13(1)),节日的焰火也可以看

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      成由点运动形成的,这可以说点动成线.汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面(图4.1-13(2)),这可以说线动成面.长方形硬纸片绕它的一边旋转,形成一个圆柱体(图4.1-13(3)),这可以说面动成体.

      几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素.电视屏幕上的画面(图4.1-14)、大型团体操的背景图案(图4.1-15)也可以看作由点组成.

      点、线、面、体经过运动变化,就能组合成各种各样的几何图形,形成多姿多彩的图形世界.

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      阅读与思考 几何学的起源

      我们生活的世界处处存在着关于数量和空间的问题,数学中以空间形式(简称形)为研究对象的分支,叫做几何学,它有着悠久的历史.

      在古埃及,由于尼罗河经常泛滥而需要不断整修土地,由此测量土地的方法引起人们的重视.几何学的英文单词geometry就是由geo(土地)和metry(测量)组成的.我国古代对形的研究也与测量关系密切,夏禹治水时期就已有规、矩、准、绳等测量工具.约公元前1000年的西周初期,人们已经知道了直角三角形的勾三,股四,弦五(即如果直角三角形的两条直角边的长分别是3和4,那么斜边的长是5)的知识.大量事实说明,测量活动是几何学形成的直接原因.

      人类从开始制作和使用工具起,就开始研究工具的造型、体积、外表装饰等,这也对几何学的产生起了促进作用.从现存的旧石器时代的一些工具,可以看出当时的人们已能磨制出具有较复杂的几何造型的器皿.在新石器时代制作的陶器上,已出现圆、三角形、正方形等基本图形,以及更复杂的对称几何图案、等分圆周花纹等.

      随着时间的推移,人们在大量的实践中不断扩大和加深对形的认识,得到了许多关于形的知识和研究形的方法.约公元前300年,古希腊数学家欧几里得(Euclid)广泛收集和研究前人的成果,将已有的关于形和数的知识作了系统编排,写成了《原本》一书.这是数学发展史上的一个里程碑.1607年,意大利传教士利玛窦和我国学者徐光启把此书的前一部分翻译成中文,以《几何原本》为名成书,这对于介绍西方数学和科学起了积极的推动作用,在中国数学发展史上具有重要影响.

      从古埃及金字塔可以发现,当时人们已掌握精度很高的几何测量和计算方法.

      斜方格纹彩陶罐

      (1973年甘肃出土)

      欧几里得

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      4.2 直线、射线、线段

      我们在小学已经学过线段、射线和直线,你能说说它们的联系与区别吗?

      下面我们进一步对它们进行研究.

      思考

      经过一个点能画几条直线?经过两个点呢?动手试一试.

      经过思考和画图,我们可以得到一个基本事实:

      经过两点有一条直线。并且只有一条直线.

      简单说成:两点确定一条直线.

      在日常生活和生产中常常用到这个基本事实.例如,建筑工人砌墙时,经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩,然后拉一条直的参照线(图4.2-1);植树时,只要定出两个树坑的位置,就能使同一行树坑在一条直线上;等等.

      因为两点确定一条直线,所以除了用一个小写字母表示直线(如直线l)外,我们经常用一条直线上的两点来表示这条直线(图4.2-2).一个点在一条直线上,也可以说这条直线经过这个点;一个点在直线外,也可以说直线不经过这个点(图4.2-3).

      图4.2-4,当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交(intersection),这个公共点叫做它们的交点(point of intersection).

      射线和线段都是直线的一部分.类似于直线的表示,我们可以用图4.2-5

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      的方式来表示线段AB(或线段BA),其中点A、点B是线段的端点.用图4.2-6的方式来表示射线OA,其中点O是射线的端点.

      怎样由一条线段得到一条射线或一条直线?

      画一条线段等于已知线段a,可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段.在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图.如图4.2-7,我们可以用直尺画射线AC,再用圆规在射线AC上截取AB=a.这就是作一条线段等于已知线段的尺规作图.

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      思考

      怎样比较两条线段的长短呢?你能从比身高上受到一些启发吗(图4.2-8)?

      你能再举出一些比较线段长短的实例吗?

      比较两条线段的长短,我们可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较,或者把其中的一条线段移到另一条上作比较(图4.2-9).

      图4.2-9中,点A与点C重合,点B落在C,D之间,这时我们说线段AB小于线段CD,记作AB<CD.想一想,什么情况下线段AB大于线段CD,线段AB等于线段CD呢?

      在直线上作线段AB=a,再在AB的延长线上作线段BC=b,线段AC就是a与b的和,记作AC=a+b.设线段a>b(图4.2-10),如果在线段AB上作线段BD=b,那么线段AD就是a与b的差,记作AD=a-b.

      图4.2-11(1),点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点(midpoint).类似地,还有线段的三等分点、四等分点等(图4.2-11(2)(3)).

      在一张透明的纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点就是线段的中点.动手试一试.

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      思考

      图4.2-12,从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线.

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      经过比较,我们可以得到一个关于线段的基本事实:两点的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短.

      你能举出这条性质在生活中的一些应用吗?

      连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离(distance).

      这里最后一句话说明了什么是两点的距离,它是两点的距离的定义(definition).

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      阅读与思考 长度的测量

      在日常生活和生产中,人们经常要进行长度的测量.

      测量离不开测量单位.在国际单位制中,长度的基本单位是米(m),1 m最早是由地球球面上经过巴黎经线的二千万分之一(1/20000000)定出的.常用的单位还有千米(km)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)、微米(μm)等.

      科研中还经常用到更小和更大的长度单位.现在开始广泛应用的纳米科学,就是在纳米(nm)尺度上研究物质的特性和相互作用,1 nm等于十亿分之一米,人的头发的直径就相当于7万nm!在天文学上,经常用天文单位和光年计算星体间的距离.1天文单位是地球到太阳的平均距离,约等于1.5×108km,1光年是光1年走过的距离,约等于9.46×10^(12)km.

      除了国际单位制的长度单位外,有时还用到其他一些长度单位.例如,海上航行经常使用的长度单位海里(n mile,1 n mile=1852 m);人们经常提及的××英寸彩电使用的是英制长度单位等.

      查一查资料,英制长度单位包括哪些单位?它们和国际单位制的长度单位是如何换算的?你知道25英寸、29英寸彩电的屏幕对角线长度是多少厘米吗?

      测量长度的工具有很多种,常用的工具有木尺、塑料尺、卷尺、钢卡尺、游标卡尺等.如果测量精度要求不高,也可以用肘、拃、步长等来估计距离.

      保存在国际度量衡局中的米的标准尺

      约1英寸

      游标卡尺

      随着科技的发展,人们已经发明了许多测量精度很高的测距仪,例如用于测量人造卫星的激光测距仪,测量8000km远的卫星时,误差不超过2cm.

      page0132

      4.3 角

      4.3.1 角

      (angle)也是一种基本的几何图形,钟面上的时针与分针,棱锥相交的两条棱,三角尺两条相交的边线(图4.3-1),都给我们以角的形象.

      我们知道,有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.角通常用如图4.3-2的方法来表示.

      如图,能把∠α记作∠O吗?为什么?∠α还可以怎样表示呢?

      思考

      角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.如图4.3-3,射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,形成什么角?继续旋转,OB和OA重合时,又形成什么角?

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      我们常用量角器量角,度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分,每一份就是1(degree)的角,记作1°;把1度的角60等分,每一份叫做1的角,记作1′;把1分的角60等分,每一份叫做1的角,记作1″.

      角度制起源于四大文明古国之一的古代巴比伦.为什么选择60这个数作为进制的基数呢?据说是由于60这个数是许多常用的数2, 3, 4, 5, 6, 10,12,15,20,30的倍数,60=12×5,12是一年中的月数,5是一只手的手指数,所以古代巴比伦人认为60是一个特别而又重要的数.

      图4.3-4

      1周角=__°,1平角=__°,

      1°=__′,1′=__″.

      ∠α的度数是48度56分37秒,记作

      ∠α=48°56′37″.

      角的度、分、秒是60进制的,这和计量时间的时、分、秒是一样的.

      以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.此外,还有其他度量角的单位制.例如,我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制,在军事上经常使用的角的密位制等.

      除量角器外,工程测量中,还常用经纬仪(图4.3-5)来测量角的大小.你还见过其他的度量角的工具吗?

      借助三角尺,我们可以画出30°,45°,60°,90°等特殊角,借助量角器,可以画出任何给定度数(如36°,108°)的角.

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      4.3.2 角的比较与运算

      你已经知道了比较两条线段长短的方法,怎样比较两个角的大小呢?

      与线段长短的比较类似,我们可以用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小;也可以把它们的一条边叠合在一起,通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小(图4.3-6).

      思考

      图4.3-7,图中共有几个角?它们之间有什么关系?

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      图4.3-7中,∠AOC是∠AOB与∠BOC的和,记作∠AOC∠AOB∠BOC.∠AOB是∠AOC与∠BOC的差,记作∠AOB=∠AOC-∠BOC.类似地,∠AOC-∠AOB=.

      探究

      图4.3-8,借助三角尺画出15°,75°的角.用一副三角尺,你还能画出哪些度数的角?试一试.

      我们知道,线段的中点把线段分成相等的两条线段.类似地,图4.3-9中,如果∠AOB=∠BOC,那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角,这时有

      ∠AOC=2∠AOB=2_,∠AOB=∠BOC=1/2

      一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线(angular bisector).类似地,还有角的三等分线等(图4.3-10).

      探究

      仿照图4.3-11,通过折纸作角平分线.

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      4.3.3 余角和补角

      在一副三角尺中,每块都有一个角是90°,而其他两个角的和是90°(30°+60°=90°,45°+45°=90°).一般地,如图4.3-13,如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角(complementary angle),即其中每一个角是另一个角的余角.

      两个角互为余角简称为两个角互余,两个角互为补角简称为两个角互补.

      类似地,如图4.3-14,如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角(supplementary angle),即其中一个角是另一个角的补角.

      思考

      ∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2与∠3的大小有什么关系?

      ∠1与∠2,∠3都互为补角,那么∠2=180°-∠1,∠3=180°-∠1,所以∠2=∠3.由此,我们得到关于补角的一个性质:

      同角(等角)的补角相等.

      对于余角也有类似的性质:

      同角(等角)的余角相等.

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      4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒

      日常生活中,我们经常可以看到各种各样的长(正)方体形状的包装盒,如粉笔盒、文具盒、牙膏盒等(图4.4-1).

      设计这类包装盒时,要先绘制长方体的展开图,再把它剪出并折叠成长方体.此外,还会用到美术知识(图案、视觉效果、美术字)、语言知识(文字设计、广告语言、汉语拼音或英语词组)、生产常识(材料、生产成本)等.本节中,我们将通过下面的设计和制作长方体纸盒的实践活动,进一步体会立体图形与平面图形之间的相互转化.

      活动名称:设计制作长方体形状的包装纸盒

      方法:观察、讨论、动手设计制作

      材料:厚(硬)纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、胶水、彩笔等

      准备:收集一些长方体形状的包装盒,如墨水瓶盒、粉笔盒、饼干盒、牛奶包装盒、牙膏盒等,作为参考物.

      活动步骤:

      1.观察、讨论

      以5~6人为一组,各组确定所要设计制作的包装盒的类别(这里以长城牌墨水瓶纸盒为例),明确分工.

      (1)观察作为参考物的包装盒,分析其各面、各棱的大小与位置关系.

      (2)拆开盒子,把它铺平,得到展开图;观察它的形状,找出对应长方体各面的相应部分;度量各部分的尺寸,找出其中的相等关系.

      (3)把展开图复原为包装盒,观察它是如何折叠并粘到一起的.

      (4)多拆、装几个包装盒,注意它们的共同特征.

      (5)经过讨论,确定本组的设计方案(包括包装盒的形状、尺寸、外表图案、文字等).

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      2.设计、制作

      (1)先在一张软纸上画出包装盒展开图的草图,简单设计一下,裁纸、折叠,观察效果.如果发生问题,应调整原来的设计,直至达到满意的初步设计.

      (2)在硬纸板上,按照初步设计,画好包装盒的展开图(如图4.4-2,单位:mm).注意要预留出黏合处,并要适当剪去棱角.在展开图上进行图案与文字的美术设计.

      (3)裁下展开图,折叠并粘好黏合处,得到长方体包装盒(图4.4-3).

      3.交流、比较

      各组展示本组的作品,并介绍设计思想和制作过程.

      讨论各组的作品,重点探究以下几个问题:

      (1)制成的包装盒是否是长方体?如果不是,是哪个地方出了问题?如何改进?

      (2)从实用性上看,包装盒形状、尺寸是否合理?用料是否节省?是否需要改进?

      (3)包装盒的外观设计是否美观?

      (4)对平面图形与立体图形的联系有哪些新认识?

      4.评价、小结

      评价各组的活动情况,小结活动的主要收获.

      5.巩固、提高

      (1)自己设计制作一个正六棱柱形状(底面是6条边都相等、6个角都相等的六边形,6个侧面都是长方形)的包装纸盒;

      (2)自己设计制作一个圆柱形状的包装纸盒.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      几何是研究图形的形状、大小和位置关系的学科.本章我们学习了图形与几何的一些最基本的知识,如几何图形、立体图形、平面图形;点、线、面、体等.我们还学习了确定直线的基本事实,直线、射线、线段和角的表示,以及线段和角的度量和大小比较等.这些知识都是进一步学习图形与几何知识的基础.

      几何图形是从各种物体中抽象出来的,是更一般的形.另外,我们还要注意几何图形之间的联系,如点动成线、线动成面、面动成体,这种联系有助于我们理解和掌握知识.

      在研究几何图形的过程中,我们常常采用类比的方法.例如,类比线段的大小比较、线段中点研究角的大小比较、角平分线等.类比的方法既引导我们发现问题,也帮助我们找到解决问题的途径.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.下面是本章学到的一些数学名词,你能简短地描述这些数学名词吗?你能画出图形来表示它们吗?

      立体图形 平面图形 展开图 两点的距离 余角 补角

      2.你能举出几个立体图形和平面图形的实例吗?

      3.找几个简单的立体图形,分别画出它们的展开图和从不同方向看得到的平面图形.你能由此说说立体图形与平面图形的联系吗?

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      4.在本章中,关于直线和线段有哪些重要结论?

      5.本章学习了有关角的哪些知识?有哪些重要结论?

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       第五章 相交线与平行线

      第五章 相交线与平行线

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      同学们对两条直线相交、平行一定不陌生吧!纵横交错的道路,棋盘中的横线和竖线,操场上的双杠,教室中的课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线或平行线的形象.你能再举出一些相交线和平行线的实例吗?

      上一章我们认识了几何图形,并学习了一些基本的平面图形——直线、射线、线段和角.本章将研究平面内不重合的两条直线的位置关系:相交与平行.对于相交,我们要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系;对于平行,我们要借助于一条直线与另外两条直线相交所成的角,研究平行线的判定和性质.在此基础上,再学习平移的有关知识.本章我们还将学习通过简单的推理得出数学结论的方法,培养言之有据的思考习惯.

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      5.1 相交线

      5.1.1 相交线

      图5.1-1,观察剪刀剪开布片过程中有关角的变化.可以发现,握紧剪刀的把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角也相应变小,直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,这就关系到两条相交直线所成的角的问题.

      探究

      任意画两条相交的直线,形成四个角(图5.1-2),∠1和∠2有怎样的位置关系?∠1和∠3呢?

      分别量一下各个角的度数,∠1和∠2的度数有什么关系?∠1和∠3呢?在图5.1-1剪刀把手之间的角变化的过程中,这个关系还保持吗?为什么?

      ∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补),具有这种关系的两个角,互为邻补角(adjacent angles on a straight line).

      ∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角(opposite angles).

      图5.1-2中,∠1与∠2互补,∠3与∠2互补,由同角的补角相等,可以得出∠1=∠3.类似地,∠2=∠4.这样,我们得到对顶角的性质:

      对顶角相等.

      图5.1-2中还有没有其他的邻补角与对顶角?

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      上面推出对顶角相等这个结论的过程,可以写成下面的形式:

      因为∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角的定义),

      所以∠1=∠3(同角的补角相等).

      5.1.2 垂线

      在相交线的模型(上面练习插图)中,固定木条a,转动木条b.当b的位置变化时,a,b所成的∠α也会发生变化.当∠α=90°时(图5.1-4),我们说a与b互相垂直(perpendicular),记作a⊥b.

      垂直是相交的一种特殊情形,两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线(perpendicular line),它们的交点叫做垂足(foot of a per-pendicular).在图5.1-5中,AB⊥CD,垂足为O.

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      根据两条直线垂直的定义可知,如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,那么这两条直线垂直.图5.1-5中,如果直线AB,CD相交于点O,∠AOC=90°,那么AB⊥CD.这个推理过程可以写成下面的形式:

      因为∠AOC=90°,

      所以AB⊥CD(垂直的定义).

      日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的木条.你能再举出其他例子吗?

      反过来,如果AB⊥CD,那么∠AOC是多少度?

      探究

      图5.1-7.

      (1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?

      (2)经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?

      (3)经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?

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      经过一点(已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线.即

      在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

      思考

      图5.1-8,在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?

      探究

      图5.1-9,连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1,A2,A3,…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO,PA1,PA2,PA3,…的长短,这些线段中,哪一条最短?

      连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.

      简单说成:垂线段最短.

      直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.

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      现在,你知道水渠该怎么挖了吗?在图5.1-8中画出来.如果图中比例尺为1:100000,水渠大约要挖多长?

      练习

      如图,三角形ABC中,∠C=90°.

      (1)分别指出点A到直线BC,点B到直线AC的距离是哪些线段的长;

      (2)三条边AB,AC,BC中哪条边最长?为什么?

      5.1.3 同位角、内错角、同旁内角

      前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形,接下来,我们进一步研究一条直线与两条直线分别相交的情形.

      图5.1-10,直线AB,CD与EF相交(也可以说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角.我们看那些没有公共顶点的两个角的关系.

      先看图中的∠1和∠5,这两个角分别在直线AB,CD的同一方(上方),并且都在直线EF的同侧(右侧),具有这种位置关系的一对角叫做同位角(corresponding angles).

      再看∠3和∠5,这两个角都在直线AB,CD之间,并且分别在直线EF两侧(∠3在直线EF左侧,∠5在直线EF右侧),具有这种位置关系的一对角叫做内错角(alternate interior angles).图中∠3和∠6也都在直线AB,CD之间,但它们在直线EF的同一旁(左侧),具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角(interior angles on the same side).

      ∠2和∠6是同位角吗?图中还有没有其他的同位角?若有,标记出它们.

      图中还有没有其他的内错角与同旁内角?若有,标记出它们.

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      观察与猜想 看图时的错觉

      观察以下图形,并回答所提的问题.

      1.图1中的线段a与b哪一条长?

      2.图2中的圆A大还是圆B大?

      3.图3中的四边形是正方形吗?

      你对自己的结论有把握吗?利用刻度尺和三角尺量一量、测一测,这时你的答案是什么?

      要对事物作出某种判断,总是基于对这个事物的观察、实验与思考,其中观察和实验是作出判断的重要依据.所以,观察必须认真、仔细,不能粗枝大叶、马马虎虎.有时观察得出的猜想不一定正确,还要借助于实验进行检验.

      图4中的线a与b互相平行吗?如何检验?学习了后面的知识后,你的检验方法会更多.

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      5.2 平行线及其判定

      5.2.1 平行线

      思考

      图5.2-1,分别将木条a,b与木条c钉在一起,并把它们想象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线.转动a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交.想象一下,在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢?

      可以发现,在木条转动过程中,存在直线a与b不相交的情形,这时我们说直线a与b互相平行(parallel),记作a∥b.

      平行线在生活中是很常见的(图5.2-2),你还能举出其他一些例子吗?

      在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.

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      思考

      图5.2-1转动木条a的过程中,有几个位置使得直线a与b平行?如图5.2-3,过点B画直线a的平行线,能画出几条?再过点C画直线a的平行线,它和前面过点B画出的直线平行吗?

      通过观察和画图,可以发现一个基本事实(平行公理):

      经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

      由平行公理,进一步可以得到如下结论:

      如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

      也就是说:如果b∥a,c∥a,那么b∥c(图5.2-4).

      5.2.2 平行线的判定

      根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行.但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行.那么,有没有其他判定方法呢?

      思考

      我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线(图5.2-5).在这一过程中,三角尺起着什么样的作用?

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      简化图5.2-5得到图5.2-6.可以看出,画直线AB的平行线CD,实际上就是过点P画与∠2相等的∠1,而∠2和∠1正是直线AB,CD被直线EF截得的同位角.这说明,如果同位角相等,那么AB∥CD.

      一般地,有如下利用同位角判定两条直线平行的方法:

      判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

      简单说成:同位角相等,两直线平行.

      图5.2-7,你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗?

      思考

      两条直线被第三条直线所截,同时得到同位角、内错角和同旁内角.由同位角相等,可以判定两条直线平行,那么能否利用内错角,或同旁内角来判定两条直线平行呢?

      图5.2-8,如果∠2=∠3,能得出a∥b吗?

      因为∠2=∠3,而∠3=∠1(为什么?),所以∠1=∠2,即同位角相等,从而a∥b.这样,由判定方法1,可以得出利用内错角判定两条直线平行的方法:

      判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.

      简单说成:内错角相等,两直线平行.

      利用同旁内角,有判定两条直线平行的第三种方法:

      判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.

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      简单说成:同旁内角互补,两直线平行.

      探究

      遇到一个新问题时,常常把它转化为已知的(或已解决的)问题.这一节中,我们是怎样利用同位角相等,两直线平行得到内错角相等,两直线平行的?你能利用同位角相等,两直线平行或内错角相等,两直线平行得到同旁内角互补,两直线平行吗?

      你还能利用其他方法说明b∥c吗?

      此处符号∵表示因为,符号∴表示所以.

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      5.3 平行线的性质

      5.3.1 平行线的性质

      利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢?这就是我们下面要学习的平行线的性质.

      类似于研究平行线的判定,我们先来研究两条直线平行时,它们被第三条直线截得的同位角的关系.

      探究

      图5.3-1,利用坐标纸上的直线,或者用直尺和三角尺画两条平行线a∥b,然后,画一条截线c与这两条平行线相交,度量所形成的八个角的度数,把结果填入下表:

      ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
      度数        
      ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
      度数        

      ∠1,∠2,…,∠8中,哪些是同位角?它们的度数之间有什么关系?由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系.

      再任意画一条截线d,同样度量并比较各对同位角的度数,你的猜想还成立吗?

      一般地,平行线具有性质:

      性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.

      简单说成:两直线平行,同位角相等.

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      思考

      上一节,我们利用同位角相等,两直线平行推出了内错角相等,两直线平行.类似地,你能由性质1,推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗?

      图5.3-2,直线a∥b,c是截线.根据两直线平行,同位角相等,可得∠2=∠3.而∠3和∠1互为对顶角,所以∠3=∠1.所以∠1=∠2.这样,我们就得到了平行线的另一个性质:

      性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.

      简单说成:两直线平行,内错角相等.

      类似地,由两直线平行,同位角相等,我们可以推出平行线关于同旁内角的性质(请你自己完成推理过程):

      性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.

      简单说成:两直线平行,同旁内角互补.

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      5.3.2 命题、定理、证明

      前面,我们学过一些对某一件事情作出判断的语句,例如:

      (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;

      (2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补;

      (3)对顶角相等;

      (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式.

      像这样判断一件事情的语句,叫做命题(proposition).命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.

      数学中的命题常可以写成如果……那么……的形式,这时如果后接的部分是题设,那么后接的部分是结论.例如,上面命题(1)中,两条直线都与第三条直线平行是题设,这两条直线也互相平行是结论.

      有些命题的题设和结论不明显,要经过分析才能找出题设和结论,从而将它们写成如果……那么……的形式.例如,命题对顶角相等可以写成如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.

      请你将命题(2)(4)改写成如果……那么……的形式.

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      上面所举出的命题都是正确的.就是说,如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.还有一些命题,如如果两个角互补,那么它们是邻补角如果一个数能被2整除,那么它也能被4整除等,这些命题中,题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.

      在前面,我们学过的一些图形的性质,都是真命题.其中有些命题是基本事实,如两点确定一条直线经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行等.还有一些命题,如对顶角相等内错角相等,两直线平行等,它们的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题叫做定理(theo-rem).定理也可以作为继续推理的依据.

      在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫做证明(proof).下面,我们以证明命题在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条为例,来说明什么是证明.

      判断一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设,但不满足结论就可以了.

      证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定量等.

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      图5.3-4

      例如,要判定命题相等的角是对顶角是假命题,可以举出如下反例:图5.3-5中,OC是∠AOB的平分线,∠1=∠2,但它们不是对顶角.

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      信息技术应用 探索两条直线的位置关系

      利用图形计算器或计算机等信息技术工具,可以很方便、直观地探索两条直线的位置关系.下面,我们以《几何画板》软件为例说明.

      1.探索邻补角、对顶角的关系

      画两条相交直线AB,CD(图1),在它们所成的四个角中,哪些互为邻补角?哪些互为对顶角?度量这四个角的度数,它们的大小有什么关系?拖动点B或点C,改变角的大小,这个关系还保持吗?

      2.探索垂线段的性质

      图2,PO⊥l,点A在直线l上运动,度量并观察线段PO和PA的长度,你能发现什么结论?

      3.探索平行线的性质

      图3,过点C画直线AB的平行线,度量所形成的八个角的度数,其中的同位角、内错角、同旁内角有什么关系?拖动点A、点B或直线CA,这个关系还成立吗?

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      图4,再任意画两条直线以及它们的截线,它们所形成的八个角的度数还存在上述关系吗?拖动点B或点D,观察这些角的度数,什么时候直线AB和CD平行?

      利用上面的规律,你能过点C画直线AB的平行线吗(图5)?你有几种方法?利用软件的画角功能试一试.

      page0028

      5.4 平移

      仔细观察下面一些美丽的图案(图5.4-1),它们有什么共同的特点?能否根据其中的一部分绘制出整个图案?

      探究

      如何在一张半透明的纸上,画出一排形状和大小如图5.4-2的雪人呢?

      可以把半透明的纸盖在图5.4-2上,先描出一个雪人,然后按同一方向陆续移动这张纸,再描出第二个、第三个……(图5.4-3).

      思考

      图5.4-4,在所画出的相邻两个雪人中,找出三组对应点(例如,它们的鼻尖A与A′,帽顶B与B′,纽扣C与C′),连接这些对应点,观察得出的线段,它们的位置、长短有什么关系?

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      可以发现,AA′∥BB′∥CC′,并且AA′=BB′=CC′.

      再画出一些连接其他对应点的线段,它们是否仍有前面的关系?

      归纳

      1.把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.

      2.新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等.

      图形的这种移动,叫做平移(translation).

      图形平移的方向,不限于是水平的,如图5.4-5.

      平移在我们日常生活中是很常见的,利用平移也可以制作很多美丽的图案.你能举出生活中一些利用平移的例子吗?

      page0030

      类似地,你能作出点C的对应点C',并进一步得到平移后的三角形A'B'C'吗?动手试一试.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们学习了平面内不重合的两条直线的位置关系——相交与平行.当两条直线只有一个公共点时,这两条直线相交.在相交线的学习中,我们研究了两条直线相交所形成的邻补角和对顶角的位置和数量关系,这也是相交线的性质.垂直是相交的特殊情形,它在实际生产和社会生活中具有广泛的应用.当两条直线没有公共点时,这两条直线平行.借助两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角和同旁内角,我们研究了平行线的判定与性质.

      图形的判定讨论的是确定某种图形需要什么条件.例如,两条直线与第三条直线相交,具备同位角相等,就有两直线平行.图形的性质讨论的是这类图形有怎样的共同特性.例如,两条直线只要平行,它们被第三条直线所截时,就一定有同位角相等.

      学习本章时,要注意观察实物、模型和图形,通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系,从而发现图形的性质.同时,还要注意体会通过推理获得数学结论的方法,培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      page0035

      1.下面是本章学到的一些数学名词,你能用自己的语言描述它们吗?你能分别画一个图形表示它们吗?

      对顶角、邻补角、垂直、平行、同位角、内错角、同旁内角、平移.

      2.两条直线相交形成四个角,它们具有怎样的位置关系和数量关系?

      3.什么是点到直线的距离?你会度量吗?请举例说明.

      4.怎样判定两条直线是否平行?平行线有什么性质?对比平行线的性质和直线平行的判定方法,它们有什么异同?

      5.什么是命题?如何判断一个命题是真命题还是假命题?请结合具体例子说明.

      6.图形平移时,连接各对应点的线段有什么关系?你能利用平移设计一些图案吗?

      复习题5

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       第六章 实数

      第六章 实数

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      同学们,你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位:m/s)而小于第二宇宙速度v2(单位:m/s). v1,v2的大小满足v^(21=gR,v^(22=2gR,其中g是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8 m/s^(2),R是地球半径,R≈6.4×106 m.怎样求v1,v2呢?这就要用到平方根的概念.

      随着对于数的认识的不断深入,人们发现,边长为1的正方形的对角线的长不是有理数,这就需要引入一种新的数——无理数.实际上,计算第一、第二宇宙速度等也要用到无理数.本章将首先学习平方根与立方根;在此基础上引入无理数,把数的范围扩充到实数;然后类比有理数,引入实数在数轴上的表示和实数的运算,并用这些知识解决一些实际问题.

      page0040

      6.1 平方根

      问题 学校要举行美术作品比赛,小鸥想裁出一块面积为25 dm^(2)的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?

      你一定会算出边长应取5 dm.说一说,你是怎样算出来的?

      因为5^(2)=25,所以这个正方形画布的边长应取5 dm.

      填表:

      正方形的面积/dm^(2 1 9 16 36 4/25
      正方形的边长/dm          

      上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.

      一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x^(2)=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmetic square root). a的算术平方根记为,读作根号a,a叫做被开方数(radicand).

      规定:0的算术平方根是0.

      从例1可以看出:被开方数越大,对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.

      page0041

      探究

      能否用两个面积为1 dm^(2)的小正方形拼成一个面积为2 dm^(2)的大正方形?

      图6.1-1,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2 dm^(2)的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗?

      设大正方形的边长为x dm,则

      x^(2)=2.

      由算术平方根的意义可知

      x=

      所以大正方形的边长是dm.

      小正方形的对角线的长是多少呢?

      探究

      有多大呢?

      page0042

      因为1^(2)=1,2^(2)=4,

      所以1〈〈2;

      因为1.4^(2)=1.96,1.5^(2)=2.25,

      所以1.4〈〈1.5;

      因为1.41^(2)=1.9881,1.42^(2)=2.0164,

      所以1.41〈〈1.42;

      因为1.414^(2)=1.999396,1.415^(2)=2.002225,

      所以1.414〈〈1.415;

      ……

      如此进行下去,可以得到的更精确的近似值.事实上,=1.414213562373…,它是一个无限不循环小数.

      实际上,许多正有理数的算术平方根(例如等)都是无限不循环小数.

      大多数计算器都有键,用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).

      无限不循环小数是指小数位数无限,且小数部分不循环的小数.你以前见过这种数吗?

      不同品牌的计算器,按键顺序有所不同.

      计算器上显示的1.414213562是的近似值.

      page0043

      下面我们来看引言中提出的问题:

      由v^(21=gR,v^(22=2gR,得v1=,v2=,其中g≈9.8.R≈6.4×10^(6).

      用计算器求v1和v2(用科学记数法把结果写成a×10^(n)的形式,其中a保留小数点后一位),得

      v1≈7.9×10^(3),

      v2≈1.1×10^(4).

      因此,第一宇宙速度v1大约是≈7.9×10^(3)m/s,第二宇宙速度v2大约是1.1×10^(4)m/s.

      探究

      (1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?

                   

      (2)用计算器计算(精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出的近似值,你能根据的值说出是多少吗?

      在生活中,我们经常遇到估计一个数的大小的问题.请看下面的例子.

      page0044

      思考

      如果一个数的平方等于9,这个数是多少?

      从前面我们知道,这个数可以是3.除了3以外,还有没有别的数的平方也等于9呢?

      由于(-3)^(2)=9,这个数也可以是-3.

      因此,如果一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3.

      page0045

      填表:

      x^(2 1 16 36 49 4/25
      x          

      一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(square root)或二次方根.这就是说,如果x^(2)=a,那么x叫做a的平方根.

      例如,3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.

      求一个数a的平方根的运算,叫做开平方(extraction of square root).

      我们看到,±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算(图6.1-2).根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根.

      几千年前,古埃及人就已经知道了平方根.

      思考

      正数的平方根有什么特点?0的平方根是多少?负数有平方根吗?

      我们发现,正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的平方根就是这个数的算术平方根.

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      因为0^(2)=0,并且任何一个不为0的数的平方都不等于0,所以0的平方根是0.

      正数的平方是正数,0的平方是0,负数的平方也是正数,即在我们所认识的数中,任何一个数的平方都不会是负数,所以负数没有平方根.

      归纳

      正数有两个平方根,它们互为相反数;

      0的平方根是0;

      负数没有平方根.

      我们知道,正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根,可以用符号-表示,故正数a的平方根可以用符号±表示,读作正、负根号a.例如,±=±3,==±5.

      符号只有当a≥0时有意义,a〈0时无意义.你知道为什么吗?

      知道一个数的算术平方根,就可以立即写出它的负的平方根.为什么?

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      6.2 立方根

      问题 要制作一种容积为27 m^(3)的正方体形状的包装箱,这种包装箱的棱长应该是多少?

      设这种包装箱的棱长为x m,则

      x^(3)=27.

      这就是要求一个数,使它的立方等于27.

      因为3^(3)=27,所以x=3.

      因此这种包装箱的棱长应为3 m.

      一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根(cube root)或三次方根.这就是说,如果x^(3)=a,那么x叫做a的立方根.

      在上面的问题中,由于3^(3)=27,所以3是27的立方根.

      求一个数的立方根的运算,叫做开立方(extraction of cube root).正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算.我们可以根据这种关系求一个数的立方根.

      探究

      根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗?

      因为2^(3)=8,所以8的立方根是( );

      因为( )^(3)=0.064,所以0.064的立方根是( );

      因为( )^(3)=0,所以0的立方根是( );

      因为( )^(3)=-8,所以-8的立方根是( );

      因为( )^(3)=-8/27,所以-8/27的立方根是( ).

      page0050

      归纳

      正数的立方根是正数,

      负数的立方根是负数,

      0的立方根是0.

      你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗?

      类似于平方根,一个数a的立方根,用符号表示,读作三次根号a,其中a是被开方数,3是根指数(radical exponent).例如,表示8的立方根,=2;表示-8的立方根,=-2.中的根指数3不能省略.

      算术平方根的符号,实际上省略了中的根指数2.因此,也可读作二次根号a.

      探究

      因为=__,-=__,所以__-

      因为=__,-=__,所以__-.

      一般地,

      =-.

      实际上,很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.

      一些计算器设有键,用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).

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      例如,用计算器求,可以按照下面的步骤进行:

      依次按键1845,显示:12.26494081.

      这样就得到的近似值12.26494081.

      有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如用这种计算器求,可以依次按键F1845,显示:12.26494081.

      探究

      用计算器计算…,,…,你能发现什么规律?用计算器计算(精确到0.001),并利用你发现的规律求的近似值.

      page0052
      page0053

      6.3 实数

      探究

      我们知道有理数包括整数和分数,请把下列分数写成小数的形式,你有什么发现?

      5/2,-3/5,27/4,11/9,9/11.

      我们发现,上面的分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即

      5/2=2.5,-3/5=-0.6, 27/4=6.75, 11/9=1., 9/11=0..

      事实上,如果把整数看成小数点后是0的小数(例如,将3看成3.0),那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.

      通过前两节的学习,我们知道,很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫做无理数(irrational number).例如,-等都是无理数,π=3.14159265…也是无理数.

      像有理数一样,无理数也有正负之分.例如,,π是正无理数,-,-,-π是负无理数.

      有理数和无理数统称实数(real number).这样,我们学过的数可以这样分类:

      由于非0有理数和无理数都有正负之分,实数也有正负之分,所以实数还可以按大小分类如下:

      page0054

      我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢?

      探究

      图6.3-1,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O′,点O′对应的数是多少?

      从图中可以看出,OO′的长是这个圆的周长π,所以点O′对应的数是π.

      这样,无理数π可以用数轴上的点表示出来.

      又如,以单位长度为边长画一个正方形(图6.3-2),以原点为圆心,正方形的对角线为半径画弧,与正半轴的交点就表示,与负半轴的交点就表示-.(为什么?)

      事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.

      当数的范围从有理数扩充到实数后,实数与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.

      有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

      思考

      (1)的相反数是____,-π的相反数是____,0的相反数是____;

      (2)||=____,|-π|=____,|0|=____.

      page0055

      数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数.

      一个正实数的绝对值是它本身:一个负实数的绝对值是它的相反数:0的绝对值是0。即设a表示一个实数,则

      |a|=

      实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

      随着数的进一步扩充,负数将可以进行开方运算,这是我们今后要学的.

      page0056

      在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.

      page0057
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      阅读与思考 为什么说不是有理数

      公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点,即万物皆数,一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来,当这一学派中的希帕索斯(Hippasus)发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示,即不是有理数时,毕达哥拉斯学派感到惊恐不安.由此,引发了第一次数学危机.

      随着人们认识的不断深入,毕达哥拉斯学派逐渐承认不是有理数,并给出了证明.下面给出欧几里得《原本》中的证明方法.

      假设是有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得

      =p/q,

      于是 p=q.

      两边平方得 p^(2)=2q^(2).

      由2q^(2)是偶数,可得p^(2)是偶数.而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

      因此可设p=2s,代入上式,得4s^(2)=2q^(2),即

      q^(2)=2s^(2).

      所以q也是偶数.这样,p和q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾.

      这个矛盾说明,不能写成分数的形式,即不是有理数.实际上,是无限不循环小数.

      用类似的方法,你能证明不是有理数吗?

      事实上,无理数只是一种命名,并非无理,而是实际存在的不能写成分数形式的数,它和有理数一样,都是现实世界中客观存在的量的反映.

      毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580—约前500),古希腊数学家,毕达哥拉斯学派的主要代表人物.

      page0059

      数学活动

      page0060

      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们学习了平方根和立方根,并通过开平方、开立方运算认识了一些不同于有理数的数,在此基础上引入无理数,使数的范围由有理数扩充到实数.随着数的扩充,数的运算也有了新的发展.在实数范围内,不仅能进行加、减、乘、除四则运算,而且对0和任意正数能进行开平方运算,对任意实数能进行开立方运算.

      本章中,我们通过类比有理数及其运算,引入了实数的相反数、绝对值等概念,以及实数的运算和运算律,学习时应注意体会类比这种研究方法的作用.实数与数轴上的点是一一对应的,因此,我们可以利用数轴将数与形联系起来,这对理解实数的有关概念及运算很有帮助.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的?随着数的不断扩充,数的运算有什么发展?加法与乘法的运算律始终保持不变吗?

      2.回顾平方根与立方根的概念.乘方运算与开方运算有什么关系?

      3.无理数和有理数的区别是什么?

      4.实数由哪些数组成?实数与数轴上的点有什么关系?

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      复习题6

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       第七章 平面直角坐标系

      第七章 平面直角坐标系

      page0063

      在新中国成立60周年的庆典活动中,天安门广场上出现了壮观的背景图案,你知道它是怎么组成的吗?

      原来,广场上有许多同学,每人都按图案设计的要求,按排号、列号站在一个确定的位置.随着指挥员的信号,他们举起不同颜色的花束,整个方阵就组成了壮观的背景图案.

      类似于用,第几排第几列来确定位置,在数学中可以通过建立坐标系,用有顺序的两个数来刻画平面内点的位置.

      本章中,我们将学习平面直角坐标系等有关知识,由此建立图形与数量间的联系.这将为几何问题和代数问题的相互转化打下基础.

      page0064

      7.1 平面直角坐标系

      7.1.1 有序数对

      我们都有去影剧院看电影的经历.你一定知道,影剧院对观众席的所有座位都按几排几号编号,以便确定每一个座位在影剧院中的位置.这样,观众就能根据入场券上的排数和号数准确地对号入座.

      这种办法在日常生活中是常用的.比如,当发现一本书上某页有一处印刷错误时,你可以怎样告诉其他同学这一处的位置呢?又如,假设根据教室平面图(图7.1-1)写出如下通知,你知道哪些同学参加讨论吗?

      请以下座位的同学今天放学后参加数学问题讨论:

      (1,5),(2,4),(4,2),(3,3),(5,6).

      (2,4)和(4,2)在同一位置吗?

      page0065

      思考

      怎样确定教室里座位的位置?排数和列数的先后顺序对位置有影响吗?假设我们约定列数在前,排数在后,请你在图7.1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位.

      上面的问题都是通过像9排7号第1列第5排这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的含义,例如前边的表示排数,后边的表示号数.我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对(ordered pair),记作(a,b).

      利用有序数对,可以准确地表示出一个位置。生活中利用有序数对表示位置的情况是很常见的,如人们常用经纬度来表示地球上的地点等.你能再举出一些例子吗?

      7.1.2 平面直角坐标系

      图7.1-2是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标为-4,点B在数轴上的坐标为2.反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上的位置也就确定了.例如,数轴上坐标为5的点是点C.

      page0066

      思考

      类似于利用数轴确定直线上点的位置,能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(例如图7.1-3中A,B,C,D各点)?

      图7.1-4,我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系(rectangular coordinate system).水平的数轴称为x轴(x-axis)或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴(y-axis)或纵轴,取向上方向为正方向;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.

      有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序数对来表示了.例如,如图7.1-4,由点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说点A的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A的坐标(Coordinate),记作A(3,4).类似地,请你写出点B,C,D的坐标:B(_,_),C(,), D(,).

      法国数学家笛卡儿(Descartes,1596-1650),最早引入坐标系,用代数方法研究几何图形.

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      思考

      原点O的坐标是什么?x轴和y轴上的点的坐标有什么特点?

      可以看出,原点O的坐标为(0,0);x轴上的点的纵坐标为0,例如(1,0),(-1,0),…;y轴上的点的横坐标为0,例如(0,1),(0,-1),….

      建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分(图7.1-5),每个部分称为象限(quadrant),分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.

      图7.1-6

      我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的.我们还可以得出:对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y)(即点M的坐标)和它对应;反过来,对于任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M (即坐标为(x,y)的点)和它对应.也就是说,坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

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      探究

      图7.1-7,正方形ABCD的边长为6,如果以点A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,那么y轴是哪条线?写出正方形的顶点A,B,C,D的坐标.

      请另建立一个平面直角坐标系,这时正方形的顶点A,B,C,D的坐标又分别是什么?与同学们交流一下.

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      阅读与思考 用经纬度表示地理位置

      怎样表示地理位置呢?通过地球上的经度和纬度,人们可以确定一个地点在地球上的位置.

      不管在地球仪上、还是在各种地图上都布满了细线网,这就是经线和纬线.地图上水平方向的线是纬线,它们用度(°)来表示地理纬度.赤道上所有的点是0纬度,北极对应北纬90°,南极对应南纬90°.北京位于北纬39.9°,但仅用纬度确定北京的位置还是不够的,还需要第二个坐标——经度.

      地图上竖直方向的线是经线,它们也用度(°)来表示地理经度.经过英国格林尼治(Greenwich)天文台的经线是初始经线(0经度).它东面的所有点有东经度值(从0°到180°),西面的点有西经度值.例如北京位于东经116.4°,再加上北京位于北纬39.9°,就能确定北京在地球上的位置了.

      由于地球可近似地看作一个球体,所以经线和纬线在地球表面构成一个坐标网.经线沿东西方向分布,纬线沿南北方向分布.指明一点的经度和纬度,就可以确定这一点在地球上的位置.

      以下是某气象台发布的一次热带风暴的风暴中心位置的一些信息:

      9月25日16时:北纬17.9°,东经119.4°.

      9月27日11时:北纬21.4°,东经118.6°.

      右图是利用经纬度画出的地图的一部分,你能在它上面找到这次热带风暴的风暴中心在上述两个时刻的位置吗?

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      7.2 坐标方法的简单应用

      7.2.1 用坐标表示地理位置

      思考

      不管是出差办事,还是出去旅游,人们都愿意带上一幅地图,它给人们出行带来了很大方便.如图7.2-1,这是北京市地图的一部分,你知道怎样用坐标表示地理位置吗?

      探究

      根据以下条件画一幅示意图,标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置.

      小刚家:出校门向东走1500 m,再向北走2000 m.

      小强家:出校门向西走2000 m,再向北走3500 m,最后向东走500 m.

      小敏家:出校门向南走1000 m,再向东走3000 m,最后向南走750 m.

      图7.2-2,选学校所在位置为原点,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,规定一个单位长度代表1 m长.依题目所给条件,点(1500,2000)就是小刚家的位置.

      类似地,请你在图7.2-2上画出小强家、小敏家的位置,并标明它们的坐标.

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      选取学校所在位置为原点,并以正东、正北方向为x轴、y轴正方向有什么优点?

      归纳

      利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下:

      (1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;

      (2)根据具体问题确定单位长度;

      (3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.

      我们知道,通过建立平面直角坐标系,可以用坐标表示平面内点的位置.还有其他方法吗?

      思考

      图7.2-3,一艘船在A处遇险后向相距35 n mile位于B处的救生船报警,如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置?救生船接到报警后准备前往救援,如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置?

      图7.2-3可知,救生船在遇险船北偏东60°的方向上,与遇险船的距离是35 n mile,用北偏东60°,35 n mile就可以确定救生船相对于遇险船的位置.反

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      过来,用南偏西60°,35 n milc就可以确定遇险船相对于救生船的位置.

      一般地,可以建立平面直角坐标系,用坐标表示地理位置.此外,还可以用方位角和距离表示平面内物体的位置.

      7.2.2 用坐标表示平移

      在平面直角坐标系中,对一个图形进行平移,图形上点的位置发生了变化,坐标也发生了变化.

      探究

      图7.2-4,将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度,得到点A1,在图上标出这个点,并写出它的坐标.观察坐标的变化,你能从中发现什么规律吗?把点A向上平移4个单位长度呢?把点A向左或向下平移呢?

      再找几个点,对它们进行平移,观察它们的坐标是否按你发现的规律变化.

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      一般地,在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).

      探究

      图7.2-5,正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2,4),B(-2,3),C(-1,3),D(-1,4),将正方形ABCD向下平移7个单位长度,再向右平移8个单位长度,两次平移后四个顶点相应变为点E,F,G,H,它们的坐标分别是什么?如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同吗?

      可求出点E,F,G,H的坐标分别是(6,-3),(6,-4),(7,-4),(7,-3).如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同(图7.2-6).

      一般地,将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形,可以通过将原来的图形作一次平移得到.

      对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.

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      思考

      (1)如果将这个问题中的横坐标都减去6纵坐标都减去5相应地变为横坐标都加3纵坐标都加2,分别能得出什么结论?画出得到的图形.

      (2)如果将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6,同时纵坐标都减去5,能得到什么结论?画出得到的图形.

      一般地,在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们通过具体实例学习了平面直角坐标系等知识,应用坐标方法解决了一些简单问题.

      建立平面直角坐标系后,对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y)和它对应;反过来,对于任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M和它对应.这样,我们就可以数形结合地研究问题.

      坐标方法有广泛的应用.例如,我们可以利用坐标描述一些地点的分布情况;还可以通过直角坐标系中对应点的坐标之间的关系,研究图形平移等问题.这种用数和运算来研究几何问题的方法是非常重要的,今后我们将不断地看到它的应用.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.在日常生活中,我们可以用有序数对来描述物体的位置.以教室中座位位置为例,说明有序数对(x,y)和(y,x)是否相同以及为什么.

      2.平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成.请你举例说明如何建立平面直角坐标系,在直角坐标平面内描出点P(2,4)和原点的位置,并指出点P和原点的横坐标和纵坐标.

      平面直角坐标系的两条坐标轴将平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,这四个部分依次称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.请你在直角坐标平面内描出点A(2,1),B(-2,1),C(-2,-1),D(2,-1)的位置,并说明它们所在的象限.

      3.平面直角坐标系具有广泛的应用,请你举例说明它的应用.

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      复习题7

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       第八章 二元一次方程组

      第八章 二元一次方程组

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      我们看下面的问题.

      篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?

      在上面的问题中,要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决,列方程时,要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢?我们从这个想法出发开始本章的学习.

      本章我们将从实际问题出发,认识二元一次方程组,学会解二元一次方程组的方法,并运用二元一次方程组解决一些实际问题.在此基础上,学习三元一次方程组及其解法,进一步体会消元的思想方法.通过本章的学习,你将对方程(组)有新的认识.

        合计
      场数 x y 10
      积分 2x y 10
      x+y=10,
      2x+y=16.
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      8.1 二元一次方程组

      思考

      引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗?

      由问题知道,题中包含两个必须同时满足的条件:

      胜的场数+负的场数=总场数,

      胜场积分+负场积分=总积分.

      这两个条件可以用方程

      x+y=10,

      2x+y=16表示.

      上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程(linear equation in two unknowns).

      这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?

      上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y必须同时满足方程

      x+y=10 ①

      2x+y=16. ②

      把这两个方程合在一起,写成

      就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组(sys-tem of linear equations in two unknowns).

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      探究

      满足方程①,且符合问题的实际意义的x,y的值有哪些?把它们填入表中.

      x                      
      y                      

      上表中哪对x,y的值还满足方程②?

      由上表可知,x=0,y=10;x=1,y=9;…;x=10,y=0使方程x+y=10两边的值相等,它们都是方程x+y=10的解.如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系,那么x=-1,y=11;x=0.5,y=9.5;……也都是这个方程的解.

      一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

      我们还发现,x=6,y=4既满足方程①,又满足方程②.也就是说,x=6,y=4是方程①与方程②的公共解.我们把x=6,y=4叫做二元一次方程组

      的解.这个解通常记作

      联系前面的问题可知,这个队在10场比赛中胜6场、负4场.

      一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

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      8.2 消元——解二元一次方程组

      在8.1节中我们已经看到,直接设两个未知数:胜x场、负y场,可以列方程组表示本章引言中问题的数量关系.如果只设一个未知数:胜x场,那么这个问题也可以用一元一次方程

      2x+(10-x)=16

      来解.

      思考

      上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?

      我们发现,二元一次方程组中第一个方程x+y=10可以写为y=10-x.由于两个方程中的y都表示负的场数,所以,我们把第二个方程2x+y=16中的y换为10-x,这个方程就化为一元一次方程2x+(10-x)=16.解这个方程,得x=6.把x=6代人y=10-x,得y=4.从而得到这个方程组的解.

      二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.

      上面的解法,是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法(substitution method).

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      把③代入①可以吗?试试看.

      把y=-1代入①或②可以吗?

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      思考

      解这个方程组时,可以先消去x吗?试试看.

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      思考

      前面我们用代入法求出了方程组

      的解.这个方程组的两个方程中,y的系数有什么关系?利用这种关系你能发现新的消元方法吗?

      这两个方程中未知数y的系数相等,②-①可消去未知数y,得

      x=6.

      把x=6代入①,得

      y=4.

      所以这个方程组的解是

      ②-①就是用方程②的左边减去方程①的左边,方程②的右边减去方程①的右边.

      ①-②也能消去未知数y,求得x吗?

      思考

      联系上面的解法,想一想怎样解方程组

      从上面两个方程组的解法可以看出:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法(addition-subtracti0n method).

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      把x=6代入②可以解得y吗?

      如果用加减法消去x应如何解?解得的结果一样吗?

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      上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:

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      代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法,它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程,只是消元的方法不同.我们应根据方程组的具体情况,选择适合它的解法.

      思考

      (1)你怎样解下面的方程组?

       

      (2)选择你认为简便的方法解习题8.1中的第4题(鸡兔同笼问题).

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      8.3 实际问题与二元一次方程组

      前面我们讨论了二元一次方程组的解法,并用二元一次方程组解决了一些实际问题.本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题.同学们可以先独立分析问题中的数量关系。列出方程组,得出问题的解答,然后再互相交流.

      探究1

      养牛场原有30头大牛和15头小牛,1天约用饲料675kg;一周后又购进12头大牛和5头小牛,这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20kg,每头小牛1天约需饲料7~8kg.你能通过计算检验他的估计吗?

      分析:设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.

      根据两种情况的饲料用量,找出相等关系,列方程组

      解这个方程组,得

      这就是说,每头大牛1天约需饲料__kg.每头小牛1天约需饲料__kg.因此,饲养员李大叔对大牛的食量估计__,对小牛的食量估计__.

      探究2

      据统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地,分为两块小长方形土地,分别种植这两种作物.怎样划分这块土地,使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4?

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      分析: 如图8.3-1,一种种植方案为:甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BC FE.此时设AE=xm,BE=ym,根据问题中涉及长度、产量的数量关系,列方程组

      解这个方程组,得

      过长方形土地的长边上离一端_处,作这条边的垂线,把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种_种作物,较小一块土地种_种作物.

      你还能设计其他种植方案吗?

      探究3

      图8.3-2,长青化工厂与A,B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为1.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?

      分析 销售款与产品数量有关,原料费与原料数量有关.设制成x t产品,购买y t原料.根据题中数量关系填写下页表.

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        产品xt 原料yt 合计
      公路运费/元      
      铁路运费/元      
      价值/元      

      题目所求数值是____,为此需先解出_与____.

      由上表,列方程组

      解这个方程组,得

      因此,这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元.

      从以上探究可以看出,方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具.用方程组解决问题时,要根据问题中的数量关系列出方程组,求出方程组的解后,应进一步考虑它是否符合问题的实际意义.

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      本节内容为选学内容.8.4 三元一次方程组的解法

      前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题,可以列出二元一次方程组来解决.实际上,有不少问题含有更多未知数.我们看下面的问题:

      小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.

      自然的想法是,设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,根据题意,可以得到下面三个方程:

      x+y+z=12,

      x+2y+5z=22,

      x=4y.

      这个问题的解必须同时满足上面三个条件,因此,我们把这三个方程合在一起,写成

      这个方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

      怎样解三元一次方程组呢?我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么,能不能用同样的思路,用代人法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢?

      让我们看前面列出的三元一次方程组

      仿照前面学过的代入法,我们可以把③分别代人①②,得到两个只含y,

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      z的方程:

      4y+y+z=12,

      4y+2y+5z=22.

      它们组成方程组

      得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x.

      从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过代入或加减进行消元,把三元化为二元,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.

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      你还有其他解法吗?试一试,并与这种解法进行比较.

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      阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法

      我国古代很早就开始对一次方程组进行研究,其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中.《九章算术》的方程章,有许多关于一次方程组的内容.这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的:

      上等谷3束,中等谷2束,下等谷1束,可得粮食39斗;

      上等谷2束,中等谷3束,下等谷1束,可得粮食34斗;

      上等谷1束,中等谷2束,下等谷3束,可得粮食26斗.求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗.

      斗是过去的容积计量单位.

      下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法,它是什么意思呢?

      上等谷(束) 中等谷(束) 下等谷(束) 斗数

      《九章算术》中的算筹图是竖排的.为看图方便,上图改为横排,使三个横行表示三句话的含义.

      不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题.

      设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食x斗、y斗、z斗.

      根据题意,得三元一次方程组

      通过消元,可以求出各未知数.

      上图实际上就是用算筹列出的方程组(*),它省略了各未知数,只用算筹表示出未知

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      数的系数与相应的常数项.

      我国古代解方程组时,也用算筹做计算工具,具体解法是:在一个方程两边乘另一个方程中某未知数的系数,然后再累减另一个方程.例如,解方程组(*),在②的两边乘3,然后累减①两次消去x(这与②×3-①×2的结果一样);在③的两边乘3,然后减①消去x.从而得到二元一次方程组

      再用上面的方法消去y,求得z.

      用现代高等代数的符号可以将方程组(*)的系数排成一个表

      这种由数排成的表叫做矩阵.容易看出,这个矩阵与上面的算筹图是一致的,只是用阿拉伯数字替代了算筹。利用矩阵解一次方程组的方法,与前面说的算筹方法也是一致的.我们祖先掌握上述解法,比起欧洲人来,要早一千多年.这是我国古代数学的一个光辉成就.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们通过实际问题引入了二元一次方程(组),并学习了二元一次方程组的解法——代入消元法和加减消元法.在此基础上,学习了简单的三元一次方程组及其解法.

      消元是解二(三)元一次方程组的基本方法.通过消元,我们把三元转化为二元,把二元转化为一元,这一过程体现了化归思想.

      二(三)元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型,在现实中具有广泛的应用.用它解决实际问题时,要注意分析问题中的各种等量关系,引进适当的未知量,建立相应的方程组.

      请你带着下面问题,复习一下全章内容吧.

      1.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组.代入与加减的目的是什么?

      2.比较解三元一次方程组与解二元一次方程组的联系与区别.你能说说消元的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗?

      3.用二元或三元一次方程组解决一个实际问题,你能说说用方程组解决实际问题的基本思路吗?

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      复习题8

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      1. 本节内容为选学内容.
       第九章 不等式与不等式组

      第九章 不等式与不等式组

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      数量有大小之分,它们之间有相等关系,也有不等关系.现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题.例如,当两家商场推出不同的优惠方案时,到哪家商场购物花费少?这个问题就蕴含了不等关系.对于这样的问题,我们常常把要比较的对象数量化,分析其中的不等关系,列出相应的数学式子——不等式(组),并通过解不等式(组)而得出结论.这样的思路与利用方程(组)研究相等关系是类似的.

      本章我们将从什么是不等式说起,类比等式和方程,讨论不等式的性质,学习一元一次不等式(组)及其解法,并利用这些知识解决一些问题,感受不等式在研究不等关系问题中的重要作用.

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      9.1 不等式

      9.1.1 不等式及其解集

      问题 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km,要在12:00之前驶过A地,车速应满足什么条件?

      分析:设车速是x km/h.

      从时间上看,汽车要在12:00之前驶过A地,则以这个速度行驶50km所用的时间不到2/3 h,即

      50/x〈2/3. ①

      从路程上看,汽车要在12:00之前驶过A地,则以这个速度行驶2/3h的路程要超过50km,即

      2/3x〉50. ②

      式子①和②从不同角度表示了车速应满足的条件.

      像①和②这样用符号〈或〉表示大小关系的式子,叫做不等式(inequality).像a+2≠a-2这样用符号≠表示不等关系的式子也是不等式.

      有些不等式中不含未知数,例如3〈4,-1〉-2.有些不等式中含有未知数,例如①和②式中字母x表示未知数.

      虽然①和②式表示了车速应满足的条件,但是我们希望更明确地得出x应取哪些值.例如对不等式②,当x=80时,2/3x〉50;当x=78时,2/3x〉50;当x=75时,2/3x=50;当x=72时,2/3x〈50.这就是说,当x取某些值(如80,78)时,不等式2/3x〉50成立;当x取某些值(如75,72)时,不等式2/3x〉50不成立.与方程的解类似,我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

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      例如80和78是不等式2/3x〉50的解,而75和72不是不等式2/3x〉50的解.

      思考

      除了80和78,不等式2/3x〉50还有其他解吗?如果有,这些解应满足什么条件?

      可以发现,当x〉75时,不等式2/3x〉50总成立;而当x〈75或x=75时,不等式2/3x〉50不成立.这就是说,任何一个大于75的数都是不等式2/3x〉50的解,这样的解有无数个;任何一个小于或等于75的数都不是不等式2/3x〉50的解.因此,x〉75表示了能使不等式2/3x〉50成立的x的取值范围,它可以在数轴上表示(图9.1-1).

      在表示75的点上画空心圆圈,表示不包含这一点.

      由上可知,在前面问题中,汽车要在12:00之前驶过A地,车速必须大于75km/h.

      一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集(solution set).求不等式的解集的过程叫做解不等式.

      由不等式①能得出这个结果吗?

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      9.1.2 不等式的性质

      对于某些简单的不等式,我们可以直接得出它们的解集,例如不等式x+3〉6的解集是x〉3,不等式2x〈8的解集是x〈4.但是对于比较复杂的不等式,例如-2〉,直接得出解集就比较困难.因此,还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样,解不等式需要依据不等式的性质.为此,我们先来看看不等式有什么性质.

      我们知道,等式两边加或减同一个数(或式子),乘或除以同一个数(除数不为0),结果仍相等.不等式是否也有类似的性质呢?

      思考

      用〉或〈填空,并总结其中的规律:

      (1)5〉3,5+2_3+2,5-2_3-2;

      (2)-1〈3,-1+2_3+2,一1-3_3-3;

      (3)6〉2,6×5_2×5,6×(-5)_2×(-5);

      (4)一2〈3,(一2)×6_3×6,(-2)×(-6)_3×(-6).

      根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时,不等号的方向____,当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向____;而乘同一个负数时,不等号的方向)____.

      换一些其他的数,验证这个发现.

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      一般地,不等式有以下性质.

      不等式的性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子).不等号的方向不变.

      如果a>b,那么a±c〉b±c.

      不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

      如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c).

      不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

      如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a/c<b/c).

      比较上面的性质2和性质3,指出它们有什么区别.再比较等式的性质和不等式的性质,它们有什么异同?

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      不等式的解集也可以在数轴上表示,如上例中不等式x-7〉26的解集在数轴上的表示如图9.1-2所示.

      不等式3x〈2x+1的解集在数轴上的表示如图9.1-3所示.

      请你在数轴上表示例1中其他两个不等式的解集.

      像a≥b或a≤b这样的式子,也经常用来表示两个数量的大小关系.例如,为了表示2011年9月1日北京的最低气温是19℃,最高气温是28℃,我们可以用t表示这天的气温,t是随时间变化的,但是它有一定的变化范围,即t≥19℃并且t≤28℃.符号≥读作大于或等于,也可说是不小于;符号≤读作小于或等于,也可说是不大于. a≥b或a≤b形式的式子,具有与前面所说的不等式的性质类似的性质.

      符号≥与〉的意思有什么区别?≤与〈呢?

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      在表示0和105的点上画实心圆点,表示取值范围包含这两个数.

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      阅读与思考 用求差法比较大小

      制作某产品有两种用料方案,方案1用4块A型钢板,8块B型钢板;方案2用3块A型钢板,9块B型钢板.A型钢板的面积比B型钢板大.从省料角度考虑,应选哪种方案?

      设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y.于是,两种方案用料面积分别为

      4x+8y和3x+9y.

      现在需要比较上面两个数量的大小.

      两个数量的大小可以通过它们的差来判断.如果两个数a和b比较大小,那么

      当a〉b时,一定有a-b〉0;

      当a=b时,一定有a-b=0;

      当a〈b时,一定有a-b〈0.

      反过来也对,即

      当a-b〉0时,一定有a〉b;

      当a-b=0时,一定有a=b;

      当a-b〈0时,一定有a〈b.

      因此,我们经常把两个要比较的对象先数量化,再求它们的差,根据差的正负判断对象的大小.

      用求差的方法,你能回答前面的用料问题吗?

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      9.2 一元一次不等式

      我们已经知道了什么是不等式以及不等式的性质.本节我们将学习一元一次不等式及其解法,并用它解决一些实际问题.

      思考

      观察下面的不等式:

      x-7〉26, 3x〈2x+1, 2/3x〉50,-4x〉3.

      它们有哪些共同特征?

      可以发现,上述每个不等式都只含有一个未知数,并且未知数的次数是1.类似于一元一次方程,含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式(linear inequality in one unknown).

      从上节我们知道,不等式

      x-7〉26

      的解集是

      x〉33.

      这个解集是通过不等式两边都加7,不等号的方向不变而得到的,事实上,这相当于由x-7〉26得x〉26+7.这就是说,解不等式时也可以移项,即把不等式一边的某项变号后移到另一边,而不改变不等号的方向.

      一般地,利用不等式的性质,采取与解一元一次方程相类似的步骤,就可以求出一元一次不等式的解集.

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      归纳

      解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为x〈a或x〉a的形式.

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      有些实际问题中存在不等关系,用不等式来表示这样的关系,就能把实际问题转化为数学问题,从而通过解不等式得到实际问题的答案.

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      9.3 一元一次不等式组

      问题 用每分可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水超过1200 t而不足1500 t,那么将污水抽完所用时间的范围是什么?

      设用x min将污水抽完,则x同时满足不等式

      30x〉1200,①

      30x〈1500.②

      类似于方程组,把这两个不等式合起来,组成一个一元一次不等式组(system of linear inequa1ities in one unknown),记作

      怎样确定不等式组中x的可取值的范围呢?

      类比方程组的解,不等式组中的各不等式解集的公共部分,就是不等式组中x可以取值的范围.

      由不等式①,解得

      x〉40.

      由不等式②,解得

      x〈50.

      把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(图9.3-1).

      图9.3-1容易看出,x取值的范围为

      40〈x〈50.

      这就是说,将污水抽完所用时间多于40min而少于50min.

      利用数轴体会:x可取值的范围是两个不等式解集的公共部分.

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      一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.

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      归纳

      解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      不等式(组)是刻画不等关系的数学模型,它有广泛的应用.本章主要学习不等式的基础知识以及一类最简单的不等式(组)——一元一次不等式(组),并运用它们解决一些数学问题和实际问题.

      在学习不等式的性质和一元一次不等式(组)的解法时,与等式的性质和方程(组)的解法进行类比,有益于对知识的理解与掌握.

      与解方程是逐步将方程化为x=a的形式类似,解不等式是逐步将不等式化为x〉a或x〈a的形式,两者都运用了化归的思想.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.总结不等式的性质,并与等式的性质进行比较.

      2.总结一元一次不等式的解法,并与一元一次方程的解法进行比较.结合例子说明:解未知数为x的不等式,就是将不等式逐步变成x〉a或x〈a的形式,而不等式的性质是变形的重要依据.

      3.如何解一元一次不等式组?结合例子说明:解不等式组就是求有关不等式的解集的公共部分.

      4.举例说明数轴在解不等式(组)中的作用.

      5.结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程.

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      复习题9

       第十章 数据的收集、整理与描述

      第十章 数据的收集、整理与描述

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      从报纸、杂志、电视、互联网等媒体上,我们经常可以看到很多统计数据和统计图表.例如,某地义务教育的普及率达98%,某电视节目的收视率为9%,某地年人均生活用水量为36 m^(3),2010年我国国内生产总值为401202亿元,比上年增长10。4%等.这些数据可以帮助人们了解周围世界的现状和变化规律,从而为人们制定决策提供依据.你知道它们是怎样得到的吗?

      统计学(statistics)能帮我们回答上述问题.这一章我们将在小学所学统计知识的基础上,学习收集数据的一些基本方法,在此基础上进一步学习如何整理数据,并用统计图表直观形象地描述数据,从中发现数据蕴含的规律,获取我们需要的信息.

      节目类型 划记 人数 百分比
      A新闻 6 6%
      B体育 正正正正 22 22%
      C动画 正正正正正 29 29%
      D娱乐 正正正正正正正 38 38%
      E戏曲 5 5%
      合计   100 100%
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      10.1 统计调查

      问题1 如果要了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,你会怎么做?

      为解决问题1,需要进行统计调查.

      首先可以对全班同学采用问卷调查的方法收集数据.为此要设计调查问卷.

      如果想了解男、女生喜爱节目的差异,问卷中还应该包含什么内容?

      利用调查问卷,可以收集到全班每位同学最喜爱的节目的编号(字母),我们把它们称为数据.例如,某同学经调查,得到如下50个数据:

      C C A D B C A D C D

      C E A B D D B C C C

      D B D C D D D C D C

      E B B D D C C E B D

      A B D D C B C B D D

      从上面的数据中,你能看出全班同学喜爱各类节目的情况吗?

      用字母代替节目的类型,可方便统计.

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      杂乱无章的数据不利于我们发现其中的规律.为了更清楚地了解数据所蕴含的规律,需要对数据进行整理.统计中经常用表格整理数据,对前面数据的整理如表10-1所示.

      10-1 全班同学最喜爱节目的人数统计表

      节目类型 划记 人数 百分比
      A新闻 4 8%
      B体育 正正 10 20%
      C动画 正正正 15 30%
      D娱乐 正正正 18 36%
      E戏曲 3 6%
      合计 50 50 100%

      此例中,用划记法记录数据时,正字的每一划(笔画)代表一名同学.例如,编号为A的节目对应的人数是4,记为正.

      表10-1可以清楚地反映全班同学喜爱各类节目的情况.例如,最喜爱新闻节目的同学有4名,占全班同学的8%;最喜爱体育节目的同学有10名,占全班同学的20%;等等.

      为了更直观地看出表10-1中的信息,还可以用条形图和扇形图来描述数据(图10.1-1).

      圆心角越大,扇形在圆中占的百分比就越大.

      你能根据表10-1图10.1-1说出全班同学喜爱五类电视节目的情况吗?

      我们知道,扇形图用圆代表总体,每一个扇形代表总体中的一部分,通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分比.画扇形图10.1-1(2)时,首先按各类节目所占的百分比算出对应扇形的圆心角度数.例如,体育和动画对应扇形的圆心角分别为360°×20%=72°,360°×30%=

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      108°.然后在一个圆中,根据算得的各圆心角度数画出各个扇形,并注明各类节目的名称及其相应的百分比.

      在上面的调查中,我们利用调查问卷得到全班同学喜爱电视节目的数据,利用表格整理数据,并用统计图进行直观形象的描述.通过分析表和图,了解到了全班同学喜爱电视节目的情况.在这个调查中,全班同学是要考察的全体对象,我们对全体对象都进行了调查.像这样考察全体对象的调查叫做全面调查.例如,2010年我国进行的第六次人口普查,就是一次全面调查.

      问题2 某校有2000名学生,要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,怎样进行调查?

      可以用全面调查的方法对全校学生逐个进行调查,然后整理收集到的数据,统计出全校学生对五类电视节目的喜爱情况.但是,由于学生比较多,全面调查花费的时间长,消耗的人力、物力大.因此,需要寻找一种不作全面调查就能了解全校学生喜爱各类电视节目的情况的方法,达到既省时省力又能解决问题的目的.这就是我们要讨论的抽样调查.

      抽样调查(sampling survey)是这样一种方法,它只抽取一部分对象进行调查,然后根据调查数据推断全体对象的情况.在问题2中,我们只抽取一部分学生进行调查,然后通过分析被调查学生的数据来推断全校学生喜爱电视节目的情况.全校学生是要考察的全体对象,称为总体,组成总体的每一个学生称为个体,而被抽取调查的那部分学生构成总体的一个样本.

      为了强调调查目的,人们有时也把全校学生喜爱的电视节目作为总体,每一个学生喜爱的电视节目作为个体.

      page0138

      那么,抽取多少名学生进行调查比较合适?被调查的学生又如何抽取呢?

      如果抽取调查的学生很少,样本就不容易具有代表性,也就不能客观地反映总体的情况;如果抽取调查的学生很多,虽然样本容易具有代表性,但花费的时间、精力也很多,达不到省时省力的目的.因此抽取调查的学生数目要适当.例如,这个问题中可以抽取100名学生作为样本进行调查.一个样本中包含的个体的数目称为样本容量,上述抽取的样本容量为100.

      为了使样本尽可能具有代表性,除了抽取调查的学生数要合适外,抽取样本时,不能偏向某些学生,应使学校中的每一个学生都有相等的机会被抽到.例如,上学时在学校门口随意调查100名学生;在全校学生的注册学号中,随意抽取100个学号,调查这些学号对应的学生;等等.

      想了解一锅八宝粥里各种成分的比例,只要搅拌均匀后,舀一勺查看,就能对整锅的情况估计个八九不离十.你能说说这与抽取部分学生估计全校学生情况之间的相似之处吗?

      你还能想出使每个学生都有相等机会被抽到的方法吗?

      下面是某同学抽取样本容量为100的调查数据统计表.

      表10-2 抽样调查100名学生最喜爱节目的人数统计表

      节目类型 划记 人数 百分比
      A新闻 6 6%
      B体育 正正正正 22 22%
      C动画 正正正正正 29 29%
      D娱乐 正正正正正正正 38 38%
      E戏曲 5 5%
      合计   100 100%
      page0139

      表10-2可以看出,样本中喜爱娱乐节目的学生最多,为38%.据此可以估计出,这个学校的学生中,喜爱娱乐节目的最多,约为38%左右.类似地,由上表可以估计这个学校喜爱其他节目的学生的百分比,如图10.1-2所示.

      上面抽取样本的过程中,总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到,像这样的抽样方法是一种简单随机抽样(simple random sampling).

      抽样调查是实际中经常采用的收集数据的方式.除了具有花费少、省时省力的特点外,还适用于一些不宜用全面调查的情况,例如,检测某批次灯泡的使用寿命、火柴的质量等具有破坏性的调查.需要注意的是,在抽样调查中,如果抽取样本的方法得当,一般样本能客观地反映总体的情况,抽样调查的结果会比较接近总体的情况,否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况.

      归纳

      全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式.全面调查收集到的数据全面、准确,但一般花费多、耗时长,而且某些调查不宜用全面调查.抽样调查具有花费少、省时的特点,但抽取的样本是否具有代表性,直接关系到对总体估计的准确程度.

      请以小组为单位解决如下问题.

      问题3 比较你所在学校三个年级同学的平均体重:

      (1)制定调查方案,利用课余时间实施调查;

      (2)根据收集到的数据,分析出每个年级同学的平均体重,并用折线图表示平均体重随年级增加的变化趋势;

      (3)每组安排一位代表向全班介绍本组完成上述问题的情况,并进行比较和评议.

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      实验与探究 瓶子中有多少粒豆子

      一个瓶子中装有一些豆子,你能用几种方法估计出这个瓶子中豆子的数目?请同学们小组合作完成下面的活动:

      (1)从瓶子中取出一些豆子,记录这些豆子的粒数m;

      (2)给这些豆子做上记号;

      (3)把这些豆子放回瓶子中,充分摇匀;

      (4)从瓶子中再取出一些豆子,记录这些豆子的粒数p和其中带有记号的豆子的粒数n;

      (5)利用得到的数据m,p,n,估计原来瓶子中豆子的粒数q,q=_;

      (6)数出瓶子中豆子的总数,验证你的估计.

      上面的试验利用了抽样调查的方法.类似的试验在生产和科研中经常用到.例如,我们可以用这种方法估计一个养鱼池中鱼的数目.

      首先从鱼池的不同地方捞出一些鱼,在这些鱼的身上做上记号,并记录捞出的鱼的数目m,然后把鱼放回鱼池.过一段时间后,在同样的地方再捞出一些鱼,记录这些鱼的数目p,数出其中带有记号的鱼的数目n,计算n/p,并把它作为整个鱼池中带有记号的鱼在鱼的总数中所占的比值.这样就可以估计鱼池里鱼的数目q,即

      q≈p/n×m.

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      10.2 直方图

      我们学习了条形图、折线图、扇形图等描述数据的方法,下面介绍另一种常用来描述数据的统计图——直方图.

      问题 为了参加全校各年级之间的广播体操比赛,七年级准备从63名同学中挑选身高相差不多的40名同学参加比赛.为此收集到这63名同学的身高(单位:cm)如下:

      158 158 160 168 159 159 151 158 159
      168 158 154 158 154 169 158 158 158
      159 167 170 153 160 160 159 159 160
      149 163 163 162 172 161 153 156 162
      162 163 157 162 162 161 157 157 164
      155 156 165 166 156 154 166 164 165
      156 157 153 165 159 157 155 164 156

      选择身高在哪个范围的同学参加呢?

      为了使选取的参赛选手身高比较整齐,需要知道数据(身高)的分布情况,即在哪些身高范围的同学比较多,而哪些身高范围的同学比较少.为此可以通过对这些数据适当分组来进行整理.

      1.计算最大值与最小值的差

      在上面的数据中,最小值是149,最大值是172,最大值与最小值的差是23,说明身高的变化范围是23.

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      2.决定组距和组数

      把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为组距,根据问题的需要,各组的组距可以相同或不同.本问题中我们作等距分组,即令各组的组距相同.如果从最小值起每隔3作为一组,那么由于

      最大值-最小值/组距=23/3=72/3,

      所以要将数据分成8组:149≤x<152,152≤x<155,…,170≤x<173.这里组数和组距分别为8和3.

      组距和组数的确定没有固定的标准,要凭借经验和所研究的具体问题来决定.将一批数据分组,一般数据越多分的组数也越多.当数据在100个以内时,按照数据的多少,常分成5~12组.

      你能举出其他分组的例子吗?

      3.列频数分布表

      对落在各个小组内的数据进行累计,得到各个小组内的数据的个数(叫做频数(frequency)).整理可得下面的频数分布表:

      表10-3 频数分布表

      身高分组 划记 频数
      149≤x<152 2
      152≤x<155 6
      155≤x<158 正正 12
      158≤x<161 正正正 19
      161≤x<164 正正 10
      164≤x<167 8
      167≤x<170 4
      170≤x<173 2

      表10-3中可以看出,身高在155≤x〈158,158≤x〈161,161≤x〈164三个组的人数最多,一共有12+19+10=41(人).

      因此可以从身高在155cm至164cm(不含164cm)的同学中挑选参加比赛的同学.

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      探究

      上面对数据进行分组时,组距取3,把数据分成8组.如果组距取2或4,那么数据分成几个组?这样能否选出需要的40名同学呢?

      4.画频数分布直方图

      图10.2-1,为了更直观形象地看出频数分布的情况,可以根据表10-3画出频数分布直方图(histogram).

      图10.2-1中,横轴表示身高,纵轴表示频数与组距的比值.容易看出,

      小长方形面积=组距×频数/组距=频数.

      可见,频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小,小长方形的高是频数与组距的比值.

      等距分组时,各小长方形的面积(频数)与高的比是常数(组距).因此,画等距分组的频数分布直方图时,为画图与看图方便,通常直接用小长方形的高表示频数.例如,图10.2-1表示的等距分组问题通常用图10.2-2的形式表示.

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      信息技术应用 利用计算机画统计图

      在计算机上画统计图不但快捷方便,而且画出的统计图标准、美观.我们可以用电子表格画统计图.下面以画扇形图10.1-1(2)为例,简单介绍一下操作过程.

      1.打开电子表格(如Excel)软件,按列(或行)输入数据并选中它们(图1).

      2.利用软件图表功能,打开图表向导窗口(图2).

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      3.在标准类型的图表类型中选择饼图(扇形图),点击下一步,出现窗口(图3).

      4.选择列,点击下一步,出现窗口(图4).

      5.在数据标志的数据标签包括中选择百分比(P),并点击完成,就可以作出扇形图.

      利用电子表格不仅能够画扇形图,还可以画出其他类型的统计图.请利用电子表格画出条形图10.1-1(1)和直方图10.2-2.

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      10.3 课题学习从数据谈节水

      阅读下面资料.

      地球上的水包括大气水、地表水和地下水三大类.地表水可分为海洋水和陆地水.陆地水又可分为冰川、河流、湖泊等.地球上水的总体积是14.2亿km^(3).其中,海洋水约占96.53%以上,淡水约占2.53%.而在淡水中,大部分在两极的冰川、冰盖和以地下水的形式存在,其中冰川、冰盖占77.2%,地下水占22.4%,而人类可以利用的水还不到1%.

      目前,由于世界人口增长、水污染以及水资源浪费等原因,使全世界面临着淡水资源不足的问题.世界各国特别是发展中国家水资源紧缺问题越来越严重.发展中国家疾病死亡事件中80%与缺水和水资源污染有关.

      我国是世界上严重缺水的国家之一.中国年水资源总量约为2.75×104亿m^(3),居世界第六位,人均占有水量仅为2400 m^(3)左右,只相当于世界人均的1/4,居世界第110位.中国已被联合国列为13个贫水国家之一.

      随着水利事业的发展,我国的水利建设工程取得了突飞猛进的发展.但由于经济的进一步发展和人们生活用水量的日益增长,水资源供应和需求出现了日益尖锐的矛盾.缺水状况在全国范围内普遍存在.以城市供水为例,全国大约670个城市中,一半以上不同程度缺水,其中严重缺水的有110多个.20世纪80年代以来,我国北方许多大中城市因缺水致使居民定量供水,电厂、工厂停产或限产.

      我国一方面存在水资源供不应求的情况,另一方面水资源得不到合理利用.例如,2008年,全国农业用水量为3664亿m^(3),占全国总用水量的62%,但在灌溉农田时,有60%左右的水消耗于蒸发渗透;全国工业用水量为1401亿m^(3),而水的重复利用率仅为50%左右;全国生活用水量逐年上升,如下页表所示,这除了与人口增长有关,生活中浪费水的现象也不容忽视.

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      2000~2008年全国生活用水量 (单位:亿m^(3))

      年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
      用水量 577 601 616 631 651 675 694 710 729

      水资源的短缺已成为制约社会和经济发展的重要因素.合理利用水资源是人类可持续发展的当务之急.而节约用水是水资源合理利用的关键所在,是最快捷、最有效、最可行的维护水资源可持续利用的途径之一.我们每个人都应该有节约用水的意识,积极参与节水行动,这是实现水资源合理利用的前提和保证.

      一、根据阅读材料,完成下列问题.

      1.请给短文配上合适的统计图形,直观地表示地球上水资源和淡水资源的分布情况.

      2.根据国外的经验,一个国家的用水量超过其水资源总量的20%,就有可能发生水危机.依据这个标准,2008年我国是否属于可能发生水危机的行列?

      3.由表2000~2008年全国生活用水量可知,全国生活用水量逐年上升.若在平面直角坐标系中描出表中各对值所对应的点,其中横坐标表示年份,纵坐标表示年用水量(图10.3-1),可以发现,这些散点近似落在某条直线上.

      (1)如果用靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的这种发展趋势,你能试着在图10.3-1上作出这条直线吗?

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      (2)根据所作直线,估计2009年和2010年的全国生活用水量,并和自己查阅的这两年实际的用水量进行比较.你的估计准确吗?为什么?

      二、进行统计调查,完成统计报告.

      请以小组为单位,以家庭人均月生活用水量为题,在全校范围内开展一次统计调查活动,并完成一篇调查报告.

      1.给出调查目的,调查对象,调查问卷,调查方法.

      2.用表格整理收集到的数据,用直方图描述数据,并分析数据中蕴含的信息.

      3.计算或估计全校同学家庭人均月生活用水量的平均数,并与全国人均月生活用水量比较.

      4.结合我国水资源短缺的形势,谈谈节约用水的意义,以及节约用水如何从我做起.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      为了更好地了解周围世界,根据现有信息作合理推断和预测,我们经常需要有目的地收集一些数据.

      本章我们学习了两种收集数据的方法——全面调查和抽样调查.全面调查要考察全体调查对象,而抽样调查只考察部分调查对象.因为抽样调查是根据样本来推断总体,所以在设计抽样方案时,要注意样本对总体的代表性.简单随机抽样是一种基本且实用的抽样方法,它要求总体中的每一个体有相等的机会被抽到.除了抽样方法要合理外,为了使样本能比较客观地反映总体,还要考虑样本容量的大小.

      利用统计图表等整理和描述数据,有利于我们发现和探索数据中蕴含的规律,获取数据中的信息.不同的统计图从不同侧面描述了数据的特点,因此,选用合适的统计图描述数据,对发现和探索数据的特点和规律是很重要的.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.什么是全面调查和抽样调查?它们各有什么优缺点?

      2.哪些情况下宜用全面调查?哪些情况下宜用抽样调查?

      3.为什么抽样调查可以作为了解总体的方法?为了使样本对总体有较好的代表性,抽样时需要注意什么?

      4.简单随机抽样有什么特点?用简单随机抽样抽出的样本是否一定具有代表性?请举例说明.

      5.条形图、扇形图、折线图和直方图在表示数据方面各有什么特点?

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      条形图能够显示每组中的具体数据

      扇形图能够显示部分在总体中所占的百分比

      折线图能够显示数据的变化趋势

      直方图能够显示数据的分布情况

      复习题10

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       第二十一章 一元二次方程

      第二十一章 一元二次方程

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      在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感.按此比例,如果雕像的高为2 m,那么它的下部应设计为多高?

      如图,雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系:

      AC:BC=BC:2,即BC^(2)=2AC.

      设雕像下部高x m,可得方程x^(2)=2(2-x),整理得

      x^(2)+2x-4=0.

      这个方程与我们学过的一元一次方程不同,其中未知数x的最高次数是2.如何解这类方程?如何用这类方程解决一些实际问题?这就是本章要学习的主要内容.

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      21.1 一元二次方程

      方程

      x^(2)+2x-4=0①中有一个未知数x,x的最高次数是2.像这样的方程有广泛的应用,请看下面的问题.

      问题1 如图21.1-1,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm^(2),那么铁皮各角应切去多大的正方形?

      设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm^(2),得

      (100-2x)(50-2x)=3 600.

      整理,得

      4x^(2)-300x+1400=0.

      化简,得

      x^(2)-75x+350=0.②

      由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸.

      方程②中未知数的个数和最高次数各是多少?

      问题2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?

      全部比赛的场数为4×7=28.

      设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共1/2x(x-1)场.

      列方程

      1/2x(x-1)=28.

      page0003

      整理,得

      1/2x^(2)-1/2x=28.

      化简,得

      x^(2)-x=56.③

      由方程③可以得出参赛队数.

      方程③中未知数的个数和最高次数各是多少?

      思考

      方程①②③有什么共同点?

      可以发现,这些方程的两边都是整式,方程中只含有一个未知数,未知数的最高次数是2.同样地,方程4x^(2)=9,x^(2)+3x=0,3y^(2)-5y=7-y等也是这样的方程.像这样,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown).

      一元二次方程的一般形式是

      ax^(2)+bx+c=0(a≠0).

      其中ax^(2)是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.

      使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根(root).

      为什么规定a≠0?

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      21.2 解一元二次方程

      21.2.1 配方法

      问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 dm^(2),李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?

      设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为6x^(2)dm^(2).根据一桶油漆可刷的面积,列出方程

      10×6x^(2)=1500.①

      整理,得

      x^(2)=25.

      根据平方根的意义,得

      x=±5,

      x1=5, x2=-5.

      可以验证,5和-5是方程①的两个根,因为棱长不能是负值,所以盒子的棱长为5 dm.

      一般地,对于方程

      x^(2)=p,(I)

      (1)当p〉0时,根据平方根的意义,方程(I)有两个不等的实数根

      x1=-,x2=

      (2)当p=0时,方程(I)有两个相等的实数根x1=x2=0;

      (3)当p〈0时,因为对任意实数x,都有x^(2)≥0,所以方程(I)无实数根.

      用方程解决实际问题时,要考虑所得结果是否符合实际意义.

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      探究

      对照上面解方程(I)的过程,你认为应怎样解方程(x+3)^(2)=5?

      在解方程(Ⅰ)时,由方程x^(2)=25得x=±5.由此想到:由方程

      (x+3)^(2)=5,②得

      x+3=±,即

      x+3=,或x+3=-.③

      于是,方程(x+3)^(2)=5的两个根为

      x1=-3+,x2=-3-.

      上面的解法中,由方程②得到③,实质上是把一个一元二次方程,转化为两个一元一次方程,这样就把方程②转化为我们会解的方程了.

      探究

      怎样解方程x^(2)+6x+4=0?

      我们已经会解方程(x+3)^(2)=5.因为它的左边是含有x的完全平方式,右边是非负数,所以可以直接降次解方程.那么,能否将方程x^(2)+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢?

      解方程x^(2)+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示:

      page0007

      为什么在方程x^(2)+6x=-4的两边加9?加其他数行吗?

      可以验证,-3±5是方程x^(2)+6x+4=0的两个根。

      像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法。可以看出,配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

      page0008

      因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,(x-1)^(2)都是非负数,上式都不成立,即原方程无实数根.

      page0009

      一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成

      (x+n)^(2)=p(Ⅱ)的形式,那么就有:

      (1)当p〉0时,方程(Ⅱ)有两个不等的实数根

      x1=-n-,x2=-n+

      (2)当p=0时,方程(Ⅱ)有两个相等的实数根

      x1=x2=-n;

      (3)当p〈0时,因为对任意实数x,都有(x+n)^(2)≥0,所以方程(Ⅱ)无实数根.

      21.2.2 公式法

      探究

      任何一个一元二次方程都可以写成一般形式

      ax^(2)+bx+c=0(a≠0).(Ⅲ)

      能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢?

      我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题.

      移项,得

      ax^(2)+bx=-c.

      二次项系数化为1,得

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      x^(2)+b/ax=-c/a

      配方,得

      x^(2)+b/ax+(b/2a)^(2)=-c/a+(b/2a)^(2),即

      (x+b/2a)^(2)=.①

      因为a≠0,所以4a^(2)〉0.式子b^(2)-4ac的值有以下三种情况:

      (1)b^(2)-4ac〉0

      这时〉0,由①得

      x+b/2a=±

      方程有两个不等的实数根

      x1=,x2=

      (2)b^(2)-4ac=0

      这时=0,由①可知,方程有两个相等的实数根

      x1=x2=-b/2a.

      (3)b^(2)-4ac〈0

      这时〈0,由①可知(x+b/2a)^(2)〈0,而x取任何实数都不能使(x+b/2a)^(2)〈0,因此方程无实数根.

      一般地,式子b^(2)-4ac叫做一元二次方程ax^(2)+bx+c=0根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即△=b^(2)-4ac.

      归纳

      由上可知,当△〉0时,方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;当△=0时,方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;当△〈0时,方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)无实数根.

      page0011

      当△≥0时,方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为

      x=的形式,这个式子叫做一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

      确定a,b,c的值时,要注意它们的符号.

      page0012

      21.2.3 因式分解法

      问题2 根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为

      10x-4.9x^(2

      page0013

      根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?

      设物体经过x s落回地面。这时它离地面的高度为0 m.即

      10x-4.9x^(2)=0. 1

      思考

      除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?

      方程①的右边为0,左边可以因式分解,得

      x(10-4.9x)=0.

      这个方程的左边是两个一次因式的乘积,右边是0.我们知道,如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;反之,如果两个因式中任何一个为0,那么它们的积也等于0.所以

      x=0,或10-4.9x=0.②

      所以,方程①的两个根是

      x1=0, x2=100/49≈2.04.

      这两个根中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即在0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.

      如果a·b=0,那么a=0,或b=0.

      思考

      解方程①时,二次方程是如何降为一次的?

      可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法

      page0014

      可以试用多种方法解本例中的两个方程.

      归纳

      配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式解方程;因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之,解一元二次方程的基本思路是:将二次方程化为一次方程,即降次.

      page0015

      本小节内容为选学内容.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

      方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=,不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值,而且反映了根与系数之间的联系.元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?

      思考

      从因式分解法可知,方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2,将方程化为x^(2)+px+q=0的形式,你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗?

      把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开,化成一般形式,得方程

      x^(2)-(x1+x2)x+x1x2=0.

      这个方程的二次项系数为1,一次项系数p=-(x1+x2),常数项q=x1x2.

      于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:

      x1+x2=-p, x1x2=q.

      思考

      一般的一元二次方程ax^(2)+bx+c=0中,二次项系数a未必是1,它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?

      根据求根公式可知,

      x1=,x2=

      由此可得

      x1+x2=

      =

      x1x2=·

      page0016

      ==c/a.

      因此,方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:

      x1+x2=-b/a, x1x2=c/a.

      这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

      把方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a,能否得出该结论?

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      阅读与思考 黄金分割数

      本章引言中有一个关于人体雕塑的问题.要使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,这个高度比应是多少?

      把上面的问题一般化,如图1,在线段AB上找一个点C,C把AB分为AC和CB两段,其中AC是较小的一段,现要使AC:CB=CB:AB.为简单起见,设AB=1,CB=x,则AC=1-x.代入AC:CB=CB:AB,即(1-x):x=x:1,也即x^(2)+x-1=0.解方程,得x=.

      根据问题的实际意义,取x=≈0.618,这个值就是上面问题中所求的高度比.

      人们把这个数叫做黄金分割数.如果把一条线段分为两部分,使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数,那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数.

      五角星是常见的图案.如图2,在正五角星中存在黄金分割数,可以证明其中===.

      长期以来,很多人认为黄金分割数是一个很特别的数.一些美术家认为:如果人的上、下身长之比接近黄金分割数,那么可以增加美感.据说,一些名画和雕塑中的人体大都符合这个比.一位科学家曾提出:在一棵树的生长过程中,n年后的树枝数目/n+1年后的树枝数目约是黄金分割数.

      优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法,著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.同学们可以查阅资料,了解0.618法的应用.

      这是著名数学家华罗庚在日本去世前几小时做学术报告,讲解优选法的照片.华先生说过,他要工作到人生的最后一刻.他实践了自己的诺言.

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      21.3 实际问题与一元二次方程

      同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样,一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型.本节继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题.

      探究1

      有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?

      分析 设每轮传染中平均一个人传染了x个人.

      开始有一个人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有___个人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,用代数式表示,第二轮后共有___个人患了流感.

      列方程

      1+x+x(1+x)=121.

      解方程,得

      x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).

      平均一个人传染了10个人.

      通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?

      思考

      如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人患流感?

      探究2

      两年前生产1t甲种药品的成本是5000元,生产1 t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是3000元,生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大?

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      容易求出,甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元).显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).

      设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)^(2)元,于是有

      5000(1-x)^(2)=3000.

      解方程,得

      x1≈0.225, x2≈1.775.

      根据问题的实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.

      乙种药品成本的年平均下降率是多少?请比较两种药品成本的年平均下降率.

      为什么选择22.5%作为答案?

      思考

      经过计算,你能得出什么结论?成本下降额大的药品,它的成本下降率一定也大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状况?

      探究3

      图21.3-1,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?

      分析:封面的长宽之比是27:21=9:7,中央的矩形的长宽之比也应是9:7.设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是

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      1/2(27-9a):1/2(21-7a)

      =9(3-a):7(3-a)

      =9:7.

      设上、下边衬的宽均为9x cm左、右边衬的宽均为7x cm.则中央的矩形的长为(27-18 x)cm,宽为(21-14x)cm.

      要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程

      (27-18x)(21-14x)=3/4×27×21.

      整理,得

      16x^(2)-48x+9=0.

      解方程,得

      方程的哪个根符合实际意义?为什么?

      x=.

      上、下边衬的宽均为___cm,左、右边衬的宽均为___cm.

      思考

      如果换一种设未知数的方法,是否可以更简单地解决上面的问题?请你试一试.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章主要内容是一元二次方程的解法及其应用.一元二次方程是含有一个未知数的整式方程,未知数的最高次数是2.

      解一元二次方程的基本思想是降次,即通过配方、因式分解等,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.具体地,根据平方根的意义,可得出方程x^(2)=p和(x+n)^(2)=p的解;通过配方,可将一元二次方程转化为(x+n)^(2)=p的形式再解;一元二次方程的求根公式,就是对方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)配方后得出的.若能将ax^(2)+bx+c分解为两个一次因式的乘积,则可令每个因式为0来解.

      本章学习了一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法.一般地,配方法是推导一元二次方程求根公式的工具.掌握了公式法,就可以直接用公式求一元二次方程的根.当然,也要根据方程的具体特点选择适当的解法.配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法,如后面研究二次函数时也要用到它.

      一元二次方程是刻画现实世界中某些数量关系的有效数学模型.在运用一元二次方程分析、表达和解决实际问题的过程中,要注意体会建立数学模型解决实际问题的思想和方法.

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      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.比较你所学过的各种整式方程,说明它们的未知数的个数与次数.你能写出这些方程的一般形式吗?

      2.一元二次方程有哪些解法?各种解法在什么情况下比较适用?你能说说降次在解一元二次方程中的作用吗?

      3.求根公式与配方法有什么关系?如何判别一元二次方程根的情况?

      4.方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的两个根x1,x2与系数a,b,c有什么关系?我们是如何得到这种关系的?

      5.你能举例说明用一元二次方程解决实际问题的过程吗?

      复习题21

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      1. 本小节内容为选学内容.
       第二十二章 二次函数

      第二十二章 二次函数

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      函数是描述现实世界中变化规律的数学模型,用一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系.我们再来看另一些问题中变量之间的关系.

      如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?

      从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h随小球运动时间t的变化而变化,h与t之间有什么关系?

      再看章前图,从喷头喷出的水珠,在空中走过一条曲线.在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系?

      回答上述问题就要用到二次函数.像学习一次函数一样,本章我们首先讨论什么样的函数是二次函数,然后讨论二次函数的图象和性质,并由此加深对一元二次方程的认识,最后运用二次函数分析和解决某些实际问题.通过上述过程,我们对函数在反映现实世界的运动变化中的作用会有进一步的体会.

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      22.1 二次函数的图象和性质

      22.1.1 二次函数

      我们看引言中正方体的表面积的问题.

      正方体的六个面是全等的正方形(图22.1-1),设正方体的棱长为x,表面积为y.显然,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为

      y=6x^(2).①

      我们再来看几个问题.

      问题1 n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系?

      每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数

      m=1/2n(n-1),即

      m=1/2n^(2)-1/2n.②

      ②式表示比赛的场次数m与球队数n的关系,对于n的每一个值,m都有一个对应值,即m是n的函数.

      问题2 某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?

      这种产品的原产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量

      y=20(1+x)^(2),即

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      y=20x^(2)+40x+20.③

      ③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.

      思考

      函数①②③有什么共同点?

      在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的.一般地,形如

      y=ax^(2)+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数(quadratic function).其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

      22.1.2 二次函数y=ax^(2)的图象和性质

      在八年级下册,我们学习了一次函数的概念,研究了它的图象和性质.像研究一次函数一样,现在我们来研究二次函数的图象和性质.结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法.我们将从最简单的二次函数y=x^(2)开始,逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.

      先画二次函数y=x^(2)的图象.

      在y=x^(2)中,自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值:

      X -3 -2 -1 0 1 2 3
      y=x^(2 9 4 1 0 1 4 9
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      根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y)(图22.1-2),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x^(2)的图象(图22.1-3).

      还记得如何用描点法画一个函数的图象吗?

      可以看出,二次函数y=x^(2)的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x^(2).实际上,二次函数的图象都是抛物线,它们的开口或者向上或者向下.一般地,二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象叫做抛物线y=ax^(2)+bx+c.

      还可以看出,y轴是抛物线y=x^(2)的对称轴,抛物线y=x^(2)与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线y=x^(2)的顶点,它是抛物线y=x^(2)的最低点.实际上,每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.

      从二次函数y=x^(2)的图象可以看出:在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升.也就是说,当x〈0时,y随x的增大而减小;当x〉0时,y随x的增大而增大.

      在抛物线y=x^(2)上任取一点(m,m^(2)),因为它关于y轴的对称点(一m,m^(2))也在抛物线y=x^(2)上,所以抛物线y=x^(2)关于y轴对称.

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      思考

      (1)函数y=1/2x^(2),y=2x^(2)的图象与函数y=x^(2)(图22.1-4中的虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?

      (2)当a〉0时,二次函数y=ax^(2)的图象有什么特点?

      一般地,当a〉0时,抛物线y=ax^(2)的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小.

      类似地,我们可以研究当a〈0时,二次函数y=ax^(2)的图象和性质.

      探究

      (1)在同一直角坐标系中,画出函数y=-x^(2),y=-1/2x^(2),y=-2x^(2)的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.

      (2)当a〈0时,二次函数y=ax^(2)的图象有什么特点?

      你画出的图象与图22.1-5中的图象相同吗?

      一般地,当a〈0时,抛物线y=ax^(2)的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小.

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      归纳

      一般地,抛物线y=ax^(2)的对称轴是y轴,顶点是原点.当a〉0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a〈0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.对于抛物线y=ax^(2),|a|越大,抛物线的开口越小.

      从二次函数y=ax^(2)的图象可以看出:如果a〉0,当x〈0时,y随x的增大而减小,当x〉0时,y随x的增大而增大;如果a〈0,当x〈0时,y随x的增大而增大,当x〉0时,y随x的增大而减小.

      22.1.3 二次函数y=a(x-h)^(2)+k的图象和性质

      page0033

      思考

      (1)抛物线y=2x^(2)+1,y=2x^(2)-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么?

      (2)抛物线y=2x^(2)+1,y=2x^(2)-1与抛物线y=2x^(2)有什么关系?

      可以发现,把抛物线y=2x^(2)向上平移1个单位长度,就得到抛物线y=2x^(2)+1;把抛物线y=2x^(2)向下平移1个单位长度。就得到抛物线y=2x^(2)-1.

      思考

      抛物线y=ax^(2)+k与抛物线y=ax^(2)有什么关系?

      探究

      在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-1/2(x+1)^(2),y=-1/2(x-1)^(2)的图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.

      先分别列表:

      X -4 -3 -2 -1 0 1 2
      y=-1/2(x+1)^(2 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5
      page0034
      X -2 -1 0 1 2 3 4
      y=-1/2(x-1)^(2 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5

      然后描点画图,得y=-1/2(x+1)^(2),y=-1/2(x-1)^(2)的图象(图22.1-7).

      可以看出,抛物线y=-1/2(x+1)^(2)的开口向下,对称轴是经过点(-1,0)且与x轴垂直的直线,把它记作x=-1,顶点是(-1,0);抛物线y=-1/2(x-1)^(2)的开口向下,对称轴是x=1,顶点是(1,0).

      思考

      抛物线y=-1/2(x+1)^(2),y=-1/2(x-1)^(2)与抛物线y=-1/2x^(2)有什么关系?

      可以发现,把抛物线y=-1/2x^(2)向左平移1个单位长度,就得到抛物线y=-1/2(x+1)^(2);把抛物线y=-1/2x^(2)向右平移1个单位长度,就得到抛物线y=-1/2(x-1)^(2).

      page0035

      思考

      抛物线y=a(x-h)^(2)与抛物线y=ax^(2)有什么关系?

      还有其他平移方法吗?

      page0036

      归纳

      一般地,抛物线y=a(x-h)^(2)+k与y=ax^(2)形状相同,位置不同.把抛物线y=ax^(2)向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)^(2)+k.

      平移的方向、距离要根据h,k的值来决定.

      抛物线y=a(x-h)^(2)+k有如下特点:

      (1)当a〉0时,开口向上;当a〈0时,开口向下.

      (2)对称轴是x=h.

      (3)顶点是(h,k).

      从二次函数y=a(x-h)^(2)+k的图象可以看出:如果a〉0,当x〈h时,y随x的增大而减小,当x〉h时,y随x的增大而增大;如果a〈0,当x〈h时,y随x的增大而增大,当x〉h时,y随x的增大而减小.

      我们来看一个与章前图有关的问题.

      page0037

      22.1.4 二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象和性质

      先研究一个具体的二次函数y=1/2x^(2)-6x+21的图象和性质.

      思考

      我们已经知道二次函数y=a(x-h)^(2)+k的图象和性质,能否利用这些知识来讨论二次函数y=1/2x^(2)-6x+21的图象和性质?

      配方可得:

      y=1/2x^(2)-6x+21

      =1/2(x-6)^(2)+3.

      根据前面的知识,我们可以先画出二次函数y=1/2x^(2)的图象,然后把这个图象向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数y=1/2x^(2)-6x+21的图象.

      还有其他平移方法吗?

      page0038

      如果直接画二次函数y=1/2x^(2)-6x+21的图象,可按如下步骤进行.

      由配方的结果可知,抛物线y=1/2x^(2)-6x+21的顶点是(6,3),对称轴是x=6.

      先利用图象的对称性列表:

      X 3 4 5 6 7 8 9
      y=1/2(x-6)^(2)+3 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5

      然后描点画图,得到y=1/2(x-6)^(2)+3的图象(图22.1-10).

      图22.1-10中二次函数y=1/2x^(2)-6x+21的图象可以看出:在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升.也就是说,当x〈6时,y随x的增大而减小;当x〉6时,y随x的增大而增大.

      探究

      你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x^(2)-4x+1的图象和性质吗?

      一般地,二次函数y=ax^(2)+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)^(2)+k的形式,即

      y=a(x+b/2a)^(2)+

      因此,抛物线y=ax^(2)+bx+c的对称轴是x=-b/2a,顶点是(-b/2a,).

      page0039

      图22.1-11,从二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象可以看出:

      如果a〉0,当x〈-b/2a时,y随x的增大面减小,当x〉-b/2a时,y随x的增大而增大;

      如果a〈0,当x〈-b/2a时,y随x的增大而增大,当x〉-b/2a时,y随x的增大而减小.

      探究本部分内容为选学内容.

      我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数,探究下面的问题:

      (1)由几个的坐标可以确定二次函数?这几点应满足什么条件?

      (2)如果一个二次函数的图像经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式.

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      分析:(1)确定一次函数,即写出这个一次函数的解析式y=kx+b,需求出k,b的值.用待定系数法,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标,列出关于k,b的二元一次方程组就可以求出k,b的值.类似地,确定二次函数,即写出这个二次函数的解析式y=ax^(2)+bx+c,需求出a,b,c的值.由不共线三点(三点不在同一直线上)的坐标,列出关于a,b,c的三元一次方程组就可以求出a,b,c的值.

      (2)设所求二次函数为y=ax^(2)+bx+c.

      由已知,函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得关于a,b,c的三元一次方程组

      解这个方程组,得

      a=2, b=-3, c=5.

      所求二次函数是y=2x^(2)-3x+5.

      归纳

      求二次函数的解析式y=ax^(2)+bx+c,需求出a,b,c的值.

      由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,就可以写出二次函数的解析式.

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      22.2 二次函数与一元二次方程

      以前我们从一次函数的角度看一元一次方程,认识了一次函数与一元一次方程的联系.本节我们从二次函数的角度看一元二次方程,认识二次函数与一元二次方程的联系.先来看下面的问题.

      问题 如图22.2-1,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系

      h=20t-5t2.

      考虑以下问题:

      (1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要多少飞行时间?

      (2)小球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多少飞行时间?

      (3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?

      (4)小球从飞出到落地要用多少时间?

      分析:由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t^(2),所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程.如果方程有合乎实际的解,则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.

      :(1)解方程

      15=20t-5t^(2),

      t^(2)-4t+3=0,

      t1=1, t2=3.

      当小球飞行1 s和3 s时,它的飞行高度为15 m.

      你能结合图22.2-1指出为什么在两个时间小球的高度为15 m吗?

      page0045

      这些函数的图象如图22.2-2所示.

      可以看出:

      (1)抛物线y=x^(2)+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程x^(2)+x-2=0的根是-2,1.

      (2)抛物线y=x^(2)-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数值是0.由此得出方程x^(2)-6x+9=0有两个相等的实数根3.

      (3)抛物线y=x^(2)-x+1与x轴没有公共点.由此可知,方程x^(2)-x+1=0没有实数根.

      反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.

      归纳

      一般地,从二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象可得如下结论.

      (1)如果抛物线y=ax^(2)+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax^(2)+bx+c=0的一个根.

      (2)二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.

      page0046

      由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是近似的.

      我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.

      观察函数y=x^(2)-2x-2的图象,可以发现,当自变量为2时的函数值小于0(点(2,-2)在x轴的下方),当自变量为3时的函数值大于0(点(3,1)在x轴的上方).因为抛物线y=x^(2)-2x-2是一条连续不断的曲线,所以抛物线y=x^(2)-2x-2在2〈x〈3这一段经过x轴.也就是说,当自变量取2,3之间的某个值时,函数值为0,即方程x^(2)-2x-2=0在2,3之间有根.

      我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如,取2,3的平均数2.5,用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75,与自变量为3时的函数值异号,所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75,用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625,与自变量为2.5时的函数值异号,所以这个根在2.5,2.75之间.

      重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在2.625,2.75之间,在2.6875,2.75之间……可以看到:根所在的范围越来越小,根所在范围的两端的值越来越接近根的值,因而可以作为根的近似值.例如,当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时,由于|2.6875-2.75|=0.0625〈0.1,我们可以将2.6875作为根的近似值.

      你能用这种方法得出方程x^(2)-2x-2=0的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)?

      这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.

      page0047
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      信息技术应用 探索二次函数的性质

      用某些计算机画图软件,可以方便地画出二次函数的图象,进而从图象探索二次函数的性质.如图1,用计算机软件画出函数y=x^(2)-2x-3的图象,拖动图象上的一点P,让这点沿抛物线移动,观察动点坐标的变化,可以发现:

      图象最低点的坐标是(1,-4),也就是说,当x=1时,y有最小值-4;

      当x〈1时,y随x的增大而减小,当x〉1时,y随x的增大而增大.

      又如图2,用计算机软件画出函数y=-x^(2)-4x一3的图象,拖动图象上的一点P,可以发现:

      图象最高点的坐标是(-2,1),也就是说,当x=-2时,y有最大值1;

      当x〈-2时,y随x的增大而增大,当x〉-2时,y随x的增大而减小.

      借助计算机软件的画图功能,很容易利用二次函数的图象解一元二次方程.要解方程ax^(2)+bx+c=0,只要用计算机软件画出相应抛物线y=ax^(2)+bx+c,再让计算机软件显示抛物线与x轴的公共点的坐标,就能得出要求的方程的根.利用图1、图2中的图象试一试,分别求出方程x^(2)-2x-3=0,-x^(2)-4x-3=0的根.

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      22.3 实际问题与二次函数

      对于某些实际问题,如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画,那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.

      问题 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t^(2)(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?

      可以借助函数图象解决这个问题.画出函数h=30t-5t^(2)(0≤t≤6)的图象(图22.3-1).

      可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.

      因此,当t=-b/2a=-=3时,h有最大值==45,也就是说,小球运动的时间是3 s时,小球最高.小球运动中的最大高度是45 m.

      一般地,当a〉0(a〈0)时,抛物线y=ax^(2)+bx+c的顶点是最低(高)点,也就是说,当x=-b/2a时,二次函数y=ax^(2)+bx+c有最小(大)值.

      我们再来解决一些实际问题.

      探究1

      用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大?

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      分析:先写出S关于l的函数解析式,再求出使S最大的l值.

      矩形场地的周长是60 m,一边长为l m,所以另一边长为(60/2-l)m.场地的面积

      S=l(30-l),即

      S=-l^(2)+30l(0〈l〈30).

      因此,当l=-b/2a=-=15时,S有最大值==225.也就是说,当l是15 m时,场地的面积S最大.

      探究2

      某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

      分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.

      (1)设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)件,销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润

      y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),

      y=-10x^(2)+100x+6000,其中,0≤x≤30.

      根据上面的函数,填空:

      当x=__时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价__元,即定价___元时,利润最大,最大利润是

      (2)在降价的情况下,最大利润是多少?请你参考(1)的讨论,自己得出答案.

      由(1)(2)的讨论及现在的销售状况,你知道应如何定价能使利润最大了吗?

      怎样确定x的取值范围?

      page0051

      探究3

      图22.3-2中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少?

      分析:我们知道,二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(图22.3-3).

      设这条抛物线表示的二次函数为y=ax^(2).

      由抛物线经过点(2,-2),可得

      一2=a×2^(2),

      a=-1/2.

      这条抛物线表示的二次函数为y=-1/2x^(2).

      当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-3.请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.

      水面下降1 m,水面宽度增加___m.

      page0052

      阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系

      一个滑雪者从山坡滑下,为了得出滑行距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)之间的关系式,测得一些数据(如下页表).

      page0053
      滑行时间t/s 0 1 2 3 4
      滑行距离s/m 0 4.5 14 28.5 48

      为观察s与t之间的关系,建立坐标系,以t为横坐标,s为纵坐标,描出表中数据对应的5个点,并用平滑曲线连接它们(图1).可以看出,这条曲线像是抛物线的一部分.于是,我们用二次函数来近似地表示s与t的关系.

      设s=at^(2)+bt+c.因为当t=0时,s=0,所以a×0+b×0+c=0,得c=0.

      又当t=1时,s=4.5;当t=2时,s=14,即

      解得

      这样我们得到二次函数s=2.5t^(2)+2t,可以用它近似描述s与t之间的关系.

      上面我们根据实际问题中的有关数据,数形结合地求出表示变量间关系的函数,这属于建立模拟函数描述实际问题.有时这样的函数可能只是近似地反映实际规律,但是它对认识事物有一定作用.

      page0054

      数学活动

      page0055

      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们首先认识了二次函数,研究了它的图象与性质,然后从函数的角度对一元二次方程又进行了讨论,最后运用二次函数分析和解决了一些实际问题.

      我们按从简单到复杂、从特殊到一般的顺序,讨论了二次函数的图象和性质:先讨论函数y=ax^(2)的图象和性质;再将函数y=ax^(2)的图象上下、左右平移就得到y=a(x-h)^(2)+k的图象,并观察图象得到性质;又通过配方,将函数y=ax^(2)+bx+c化成y=a(x-h)^(2)+k的形式,从而把问题转化成已解决的问题.在此过程中,配方、图象平移等起着重要作用.借助二次函数的图象得到它的性质,又一次体现了数形结合思想,让我们领悟到几何直观的作用.

      二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象与x轴的位置关系,与一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的根的情形有密切联系.如果函数图象与x轴有公共点,那么公共点的横坐标就是方程的根.揭示这些联系可以加深对一元二次方程的认识.

      运用二次函数解决实际问题,首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系,然后利用二次函数的图象与性质求解,从而获得实际问题的答案.对此,可以结合本章知识结构图加以体会.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      page0056

      1.举例说明.一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示,列出函数解析式并画出图象.

      2.结合二次函数的图象回顾二次函数的性质,例如根据抛物线的开口方向、顶点,说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值.

      3.结合抛物线y=ax^(2)+bx+c与x轴的位置关系,说明方程ax^(2)+bx+c=0的根的各种情况.

      4.在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.请举例说明如何分析、解决这样的问题.

      5.回顾一次函数和二次函数,体会函数这种数学模型在反映现实世界的运动变化中的作用.

      复习题22

      page0057
      1. 本部分内容为选学内容.
       第二十三章 旋转

      第二十三章 旋转

      page0058

      同学们都见过风车吧,它能在风的吹动下不停地转动.在我们周围,还能看到许多转动着的物体,如车轮、水车、风力发电机、飞机的螺旋桨、时钟的指针、游乐园的大转盘……我们就生活在一个处处能见到旋转现象的世界中.

      在数学中,旋转是图形变化的方法之一,应该怎样描述它呢?它又有什么性质呢?本章将解答这些问题.另外,本章还要学习与旋转密切相关的中心对称知识,并应用平移、轴对称和旋转等方法进行图案设计,由此可以加深对图形变化的综合认识.

      让我们一起来探索旋转的奥秘吧!

      page0059

      23.1 图形的旋转

      思考

      图23.1-1,钟表的指针在不停地转动,从3时到5时,时针转动了多少度?

      图23.1-2,风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.以上这些现象有什么共同特点呢?

      我们可以把上面问题中的指针、叶片等看作平面图形.像这样,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转(rotation),点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.例如,图23.1-1中,时针在旋转,表盘的中心是旋转中心,旋转角是60°,时针的端点在3时的位置P与在5时的位置P'是对应点.

      page0060

      探究

      图23.1-3,在硬纸板上,挖一个三角形洞,再另挖一个小洞O作为旋转中心,硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC),然后围绕旋转中心转动硬纸板,再描出这个挖掉的三角形(△A'B'C'),移开硬纸板.

      △A'B'C'是由△ABC绕点O旋转得到的.线段OA与OA'有什么关系?∠AOA'与∠BOB'有什么关系?△ABC与△A'B'C'的形状和大小有什么关系?

      归纳

      旋转的性质:

      对应点到旋转中心的距离相等.

      对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

      旋转前、后的图形全等.

      如果23.1-4,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图像.

      关键是确定△ADE三个顶点的对应点,即它们旋转后的位置.

      因为点A是旋转中心,所以它的对应点是它本身.

      正方形ABCD中,AD=AB,∠DAB=90°,所以旋转后点D与点B重合.

      设点E的对应点为点E'.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等,所以

      ∠ABE'=∠ADE=90°,BE'=DE.

      因此,在CD的延长线上取点E',使BE'=DE,则△ABE'为旋转后的图形(图23.1-5).

      还有其他方法吗?

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      选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案(图23.1-6),会出现不同的效果.

      图23.1-7的两个旋转中,旋转中心不变,旋转角改变了,产生了不同的旋转效果.

      图23.1-8的两个旋转中,旋转角不变,旋转中心改变了,产生了不同的旋转效果.

      我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案(图23.1-9).

      page0062
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      23.2 中心对称

      23.2.1 中心对称

      前面我们研究了旋转及其性质,现在研究一类特殊的旋转——中心对称及其性质.

      思考

      (1)如图23.2-1,把其中一个图案绕点O旋转180°,你有什么发现?

      (2)如图23.2-2,线段AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°,你有什么发现?

      可以发现,图23.2-1中的一个图案旋转后两个图案互相重合;图23.2-2中,旋转后△OCD也与△OAB重合.像这样,把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(Central symmetry),这个点叫做对称中心(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.例如,图23.2-2中△OCD和△OAB关于点O对称,点C与点A是关于点O的对称点.

      图23.2-3,三角尺的一个顶点是O,以点O为中心旋转三角尺,可以画出关于点O中心对称的两个三角形:

      你还能指出其他对称点吗?

      page0065

      第一步,画出△ABC;

      第二步,以三角尺的一个顶点O为中心,把三角尺旋转180°,画出△A'B'C';

      第三步,移开三角尺.

      因为中心对称的两个三角形可以互相重合,所以△ABC与△A'B'C'是全等三角形.

      因为点A'是点A绕点O旋转180°后得到的,线段OA绕点O旋转180°得到线段OA',所以点O在线段AA'上,且OA=OA',即点O是线段AA'的中点.同样地,点O也是线段BB'和CC'的中点.

      归纳

      中心对称的性质:

      中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.

      中心对称的两个图形是全等图形.

      page0066

      23.2.2 中心对称图形

      思考

      (1)如图23.2-8,将线段AB绕它的中点旋转180°,你有什么发现?

      (2)如图23.2-9,将□ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°,你有什么发现?

      page0067

      可以发现,线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合.□ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°后与它本身重合.像这样,把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形(central symmetry figure),这个点就是它的对称中心.

      由上可得,线段、平行四边形都是中心对称图形

      中心对称图形的形状通常匀称美观,我们在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形(图23.2-10(1)),在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装饰图案(图23.2-10(2)).另外,由于具有中心对称图形形状的物体,能够在所在的平面内绕对称中心平稳地旋转,所以在各种机器中要旋转的零部件的形状常设计成中心对称图形,如水泵叶轮等(图23.2-10(3)).

      线段、平行四边形的对称中心分别是什么?

      page0068

      23.2.3 关于原点对称的点的坐标

      探究

      如图23.2-11,在直角坐标系中,作出下列已知点关于原点O的对称点,并写出它们的坐标.这些坐标与已知点的坐标有什么关系?

      A(4, 0), B(0,-3), C(2, 1),D(-1, 2), E(-3,-4).

      归纳

      两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y).

      如图23.2-12所示,利用关于原点对称的点的坐标的关系,作出与△ABC关于原点对称的图形.

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      信息技术应用 探索旋转的性质

      利用计算机中的画图软件可以探索以下问题.

      探索旋转的性质

      任意画一个图形,作出这个图形绕某一点O旋转某个角度后的图形(图1).改变点O的位置,或者改变其中一个图形的位置,再对这个图形作旋转,观察每组图形中对应点与旋转中心所连线段有什么关系,以及对应点与旋转中心连线所成的角有什么关系.

      利用旋转设计图案

      例如,利用旋转画一朵花(图2).

      第一步 先画出一个花瓣和花心,双击花心点(标记旋转中心);

      第二步 执行菜单中的旋转命令,输入适当的角度(如45°),进行旋转;

      第三步 重复第二步作出多个花瓣,得到一朵花的图案.

      探索关于原点对称的点的坐标的关系

      画一个△ABC,以原点为中心作中心对称,得到△A'B'C'(图3),度量点A,A'的坐标,观察它们的坐标有什么关系;再度量点B,B'的坐标,观察它们的坐标有什么关系.

      改变△ABC的位置,度量点A,A'的坐标,观察它们的坐标有什么关系;再度量点B,B'的坐标,观察它们的坐标有什么关系.

      page0072

      23.3 课题学习 图案设计

      我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计,还可以利用它们的组合进行图案设计.例如,图23.3-1中的图案就是由经过旋转、轴对称和平移得到的.

      以点O为旋转中心将O逆时针旋转90°三次作出图23.3-2,然后以l为对称轴作出图23.3-3.平移图23.3-3就可以作出图23.3-1中的图案.

      你能搜集一些利用平移、轴对称和旋转的组合设计的图案吗?你能利用平移、轴对称和旋转的组合设计一些图案吗?试试看,并与同学互相交流.

      page0073

      阅读与思考 旋转对称

      为什么像螺母、扳手、罐头等物体的某些部分的形状呈正多边形(图1)?这是因为,正多边形具有一种重要性质——旋转对称.

      把正n边形绕着它的中心旋转360°/n的整数倍后所得的正n边形与原正n边形重合.我们说,正n边形关于其中心有360°/n的旋转对称.一般地,如果一个图形绕着某点O旋转角α后所得到的图形与原图形重合,则称此图形关于点O有角α的旋转对称.图2是具有旋转对称性质的一些图形.

      如果一个图形是中心对称图形,则把它绕对称中心旋转180°后所得图形与原来图形重合,所以,中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称.

      圆关于圆心有任意角的旋转对称,许多物体呈圆形就是应用了圆的这种性质.当我们用一个扳手扳转一个正六边形螺母时,要应用正六边形关于其中心有60°的整数倍的旋转对称,也要应用圆关于圆心有任意角的旋转对称.我们观察一下,许多旋转着的物体都应用了圆的旋转对称性质.圆的这个性质给我们的生活和生产带来了很多的方便.以后学习了圆的更多知识后,你对圆的这个性质会有更加深刻的认识.

      page0074

      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      在现实生活中,旋转现象是普遍存在的.在同一平面内,一个平面图形绕着某一点转动一个角度,就是平面图形的旋转.中心对称是旋转的特殊情况:把一个图形绕某一点旋转180°得到的图形与原图形中心对称;如果把一个图形绕某一点旋转180°后所得图形能与原图形重合,则这个图形就是中心对称图形.旋转后的图形与原图形全等,即旋转与平移、轴对称一样,都是保持全等关系的图形变化.旋转和中心对称的知识在生产和生活中有广泛的应用.

      我们还可以从数量角度来刻画中心对称.在平面直角坐标系中,与点P(x,y)关于原点对称的点是P'(一x,-y).

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.你能举出一些平面图形旋转的实例吗?平面图形的旋转有哪些性质?

      2.中心对称图形有什么特点?你能举出一些中心对称图形的例子吗?中心对称图形有哪些应用价值?

      3.在平面直角坐标系中,关于原点对称的点的坐标有什么关系?

      4.你能否综合应用平移、轴对称和旋转的组合设计一个图案?

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      复习题23

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       第二十四章 圆

      第二十四章 圆

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      圆是常见的几何图形,圆形物体在生活中随处可见.圆也是一种美丽的图形,具有独特的对称性,无论从哪个角度看,它都具有同一形状.十五的满月、圆圆的月饼象征着圆满、团圆、和谐.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:一切立体图形中最美的是球,一切平面图形中最美的是圆.

      本章我们将在前面学习的基础上,进一步认识圆,学习与圆有关的线段和角的性质,研究点和圆、直线和圆、圆和正多边形之间的关系,并用圆的有关知识解决一些实际问题.

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      24.1 圆的有关性质

      24.1.1 圆

      圆是常见的图形,生活中的许多物体都给我们以圆的形象(图24.1-1).

      我们在小学已经对圆有了初步认识.如图24.1-2,观察画圆的过程,你能说出圆是如何画出来的吗?

      图24.1-3,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆(circle).其固定的端点O叫做圆心(center of a circle),线段OA叫做半径(radius).

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      以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作圆O.

      图24.1-2画圆的过程可以看出:

      (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);

      (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

      因此,圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

      战国时的《墨经》就有圆,一中同长也的记载.它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径.

      连接圆上任意两点的线段叫做(chord),经过圆心的弦叫做直径(diameter).如图24.1-5中,AB,AC是弦,AB是直径.

      圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称(arc).以A,B为端点的弧记作,读作圆弧AB或弧AB.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆(semi-circ1e).

      能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.

      大于半圆的弧(用三个点表示,如图24.1-5中的)叫做优弧;小于半圆的弧(如图24.1-5中的)叫做劣弧.

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      24.1.2 垂直于弦的直径

      前面,我们学习了与圆有关的一些概念,接下来研究圆的性质.

      探究

      剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?你能证明你的结论吗?

      通过探究可以发现,圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.下面我们来证明这个结论.

      要证明圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.如图24.1-6,设CD是⊙O的任意一条直经,A为⊙O上点C,D以外的任意一点.过点A作AA'⊥CD,交⊙O于点A',垂足为M,连接OA, OA'.

      在△OAA'中,

      ∵OA=OA',

      ∴△OAA'是等腰三角形.

      又AA'⊥CD,

      ∴AM=MA'.

      即CD是AA'的垂直平分线.这就是说,对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A',因此⊙O关于直线CD对称.即

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      圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

      从上面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD垂直于弦AA',垂足为M,那么点A和点A'是对称点.把圆沿着直径CD折叠时,点A与点A'重合,AM与A'M重合,分别与重合.

      因此,AM=A'M,==.

      即直径CD平分弦AA',并且平分,A.

      这样,我们就得到垂径定理^(垂径定理的探索与证明为选学内容.

      垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

      进一步,我们还可以得到推论:

      平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

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      24.1.3 弧、弦、圆心角

      探究

      剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?

      实际上,圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合.利用这个性质,我们还可以得到圆的其他性质.

      我们把顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle).现在利用上面的性质

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      来研究在同一个圆中,圆心角及其所对的弧、弦之间的关系.

      思考

      图24.1-9,⊙O中,当圆心角∠AOB=∠A'OB'时,它们所对的弧、弦AB和A'B'相等吗?为什么?

      我们把∠AOB连同绕圆心O旋转,使射线OA与OA'重合.

      ∵ ∠AOB=∠A'OB',

      ∴ 射线OB与OB'重合.

      又 OA=OA',OB=OB',

      ∵ 点A与A'重合,点B与B'重合.

      因此,重合,AB与A'B'重合.即=,AB=A'B'.

      这样,我们就得到下面的定理:

      在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

      同样,还可以得到:

      在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;

      在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等.

      同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量有什么关系?

      page0085

      24.1.4 圆周角

      在圆中,除圆心角外,还有一类角(如图24.1-11中的∠ACB),它的顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周率(angle in a circular segment).

      图24.1-11,连接AO,BO,得到圆心角∠AOB.可以发现,∠ACB与∠AOB对着同一条弧,它们之间存在什么关系呢?下面我们就来研究这个问题.

      探究

      分别测量图24.1-11中所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数,它们之间有什么关系?

      在⊙O上任取一条弧,作出这条弧所对的圆周角和圆心角,测量它们的度数,你能得出同样的结论吗?由此你能发现什么规律?

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      可以发现,同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.

      图24.1-12,为了证明上面发现的结论,在⊙O任取一个圆周角∠BAC,沿AO所在直线将圆对折,由于点A的位置不同,折痕会:

      (1)在圆周角的一条边上;

      (2)在圆周角的内部;

      (3)在圆周角的外部.

      利用一些计算机软件,可以很方便地度量圆周角、圆心角,有条件的同学可以试一下.

      我们来分析第(1)种情况.如图24.1-12(1),圆心O在∠BAC的一条边上,

      ∠A=1/2∠BOc.

      对于第(2)(3)种情况,可以通过添加辅助线(图24.1-12(2)(3)),将它们转化为第(1)种情况,从而得到相同的结论(请你自己完成证明).

      这样,我们就得到圆周角定理:

      一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

      进一步,我们还可以得到下面的推论(请你自己完成证明):

      同弧或等弧所对的圆周角相等.

      半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径图24.1-13).

      符号读作推出,AB表示由条件A推出结论B.

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      如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图24.1-16,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形ABCD的外接圆.

      思考

      圆内接四边形的四个角之间有什么关系?

      因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角,所以我们可以利用圆周角定理,来研究圆内接四边形的角之间的关系.

      图24.1-17,连接OB,OD.

      ∵∠A所对的弧为,∠C所对的弧为

      所对的圆心角的和是周角,

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      ∴∠A+∠C=360°/2=180°.

      同理 ∠B+∠D=180°.

      这样,利用圆周角定理,我们得到圆内接四边形的一个性质:

      圆内接四边形的对角互补.

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      24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

      24.2.1 点和圆的位置关系

      问题 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得荣誉.图24.2-1是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?

      解决这个问题,需要研究点和圆的位置关系.

      我们知道,圆上所有的点到圆心的距离都等于半径.如图24.2-2,设⊙O的半径为r,点A在圆内,点B在圆上,点C在圆外.容易看出:

      OA〈r, OB=r, OC〉r.

      反过来,如果OA〈r,OB=r,OC〉r,则可以得到点A在圆内,点B在圆上,点C在圆外.

      设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:

      点P在圆外d〉r;

      点P在圆上d=r;

      点P在圆内d〈r.

      射击靶图上,有一组以靶心为圆心的大小不同的圆,它们把靶图由内到外分成几个区域,这些区域用由高到低的环数来表示,射击成绩用弹着点位置对应的环数表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内,弹着点离靶心越近,它所在的区域就越靠内,对应的环数也就越高,射击成绩越好.

      符号读作等价于,它表示从符号的左端可以推出右端,从右端也可以推出左端.

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      探究

      我们知道,已知圆心和半径,可以作一个圆.经过一个已知点A能不能作圆,这样的圆你能作出多少个?经过两个已知点A,B能不能作圆?如果能,圆心分布有什么特点?

      作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小.对于经过已知点作圆的问题,当圆心确定后,半径也就随之确定,这时作圆的问题就转化为确定圆心的问题.因此,经过一个点A作圆,只要以点A以外任意一点为圆心,以这一点与点A的距离为半径就可以作出,这样的圆有无数个(图24.2-3(1)).经过两点A,B作圆,由于所作圆的圆心到A,B两点的距离相等,所以圆心在线段AB的垂直平分线上,这样的圆也可以作出无数个(图24.2-3(2)).

      思考

      经过不在同一条直线上的三个点A,B,C能不能作圆?如果能,如何确定所作圆的圆心?

      对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问题,因为所求的圆要经过A,B,C三点,所以圆心到这三点的距离要相等.因此,这个点既要在线段AB的垂直平分线上,又要在线段BC的垂直平分线上.如图24.2-4,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA=OB=OC.于是以点O为圆心,OA

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      (或OB,OC)为半径,便可作出经过A,B,C三点的圆.因为过A,B,C三点的圆的圆心只能是点O,半径等于OA,所以这样的圆只有一个,即

      不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

      由图24.2-4可以看出,经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle),外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心(circumcenter).

      思考

      经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗?

      图24.2-5,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l,l2⊥l,这与我们以前学过的过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾.所以,经过同一条直线上的三个点不能作圆.

      上面证明经过同一条直线上的三个点不能作圆的方法与我们以前学过的证明不同,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.

      在某些情形下,反证法是很有效的证明方法.例如,可以用反证法证明平行线的性质两直线平行,同位角相等.^(此平行线性质定理的证明为选学内容.

      图24.2-6,我们要证明:如果AB∥CD,那么∠1=∠2.假设∠1≠∠2,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠2.根据同位角相等,两直线平行,可得A'B'∥CD.这样,过点O就有两条直线AB,A'B'都平行于CD,这与平行公理过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行矛盾.

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      这说明假设∠1≠∠2不正确,从而∠1=∠2.

      24.2.2 直线和圆的位置关系

      思考

      (1)如图24.2-7(1),如果我们把太阳看作一个圆,把地平线看作一条直线.太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种位置关系?由此你能得出直线和圆的位置关系吗?

      (2)如图24.2-7(2),在纸上画一条直线l,把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环,你能发现在移动钥匙环的过程中,它与直线l的公共点个数的变化情况吗?

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      可以发现,直线和圆有三种位置关系(图24.2-8):

      如图24.2-8(1),直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆,这条直线叫做圆的割线.

      如图24.2-8(2),直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆,这条直线叫做圆的切线(tangent line),这个点叫做切点

      如图24.2-8(3),直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆.

      利用信息技术工具,可以画出动态的图形,方便研究直线和圆的位置关系.有条件的同学可以试一试.

      思考

      图24.2-8,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.在直线和圆的不同位置关系中,d与r具有怎样的大小关系?反过来,你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗?

      根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到:

      直线l和⊙O相交d〈r;

      直线l和⊙O相切d=r;

      直线l和⊙O相离d〉r.

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      下面,我们重点研究直线和圆相切的情况.

      思考

      图24.2-9,在⊙O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少?直线l和⊙O有什么位置关系?

      可以看出,这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径,直线l就是⊙O的切线.这样,我们得到切线的判定定理:

      经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

      在生活中,有许多直线和圆相切的实例.例如,下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠,在砂轮上打磨工件时飞出的火星,都是沿着圆的切线方向飞出的(图24.2-10).

      已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?

      思考

      将上面思考中的问题反过来,如图24.2-9,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?

      实际上,我们有切线的性质定理(可以用反证法证明):

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      圆的切线垂直于过切点的半径.

      在解决有关圆的切线问题时,常常需要作过切点的半径.

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      下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.如图24.2-13,过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.

      探究

      图24.2-13,PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别为A,B.在半透明的纸上画出这个图形,沿着直线PO将图形对折,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?

      图24.2-14,连接OA和OB.

      ∵PA和PB是⊙O的两条切线,

      ∴OA⊥AP, OB⊥BP.

      又OA=OB,OP=OP.

      ∴Rt△AOP≌Rt△BOP.

      ∴PA=PB,∠APO=∠BPO.

      由此得到切线长定理切线长定理的探索与证明为选学内容.

      从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

      思考

      图24.2-15是一块三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切?

      假设符合条件的圆已经作出,那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.如何找到这个圆心呢?

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      我们以前学过,三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点到三条边的距离相等.因此,如图24.2-16,分别作∠B,∠C的平分线BM和CN,设它们相交于点I,那么点I到AB,BC,CA的距离都相等.以点I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则⊙I与△ABC的三条边都相切,圆I就是所求作的圆.

      与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle),内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心(incenter).

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      实验与探究 圆和圆的位置关系

      前面我们学习了点和圆、直线和圆的位置关系,下面我们来研究圆和圆的位置关系.

      在两张透明的纸上分别画两个半径不同的圆⊙O1和⊙O2,把两张纸叠合在一起,固定其中一张,移动另一张,可以发现,⊙O1和⊙O2的位置可能出现以下几种情况(图1).

      如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图1中(1)(5)(6)所示.其中(1)叫做外离,(5)(6)叫做内含,(6)中两圆的圆心相同是两圆内含的一种特殊情况.如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图1中(2)(4)所示.其中(2)叫做外切,(4)叫做内切.如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图1中(3)所示.

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      类似于研究点和圆、直线和圆的位置关系,我们也可以用两圆的半径和两圆的圆心距(两圆圆心的距离)来刻画两圆的位置关系.如果两圆的半径分别为r1和r2(r1〈r2),圆心距为d,请你利用d与r1和r2之间的关系讨论两圆的位置关系,并完成下表:

      两圆的位置关系 d与n1和r2之间的关系
      外离 d>r1+r2
      外切
      相交
      内切
      内含

      圆和圆的各种位置关系在生活中随处可见(图2),你还能再举出一些例子吗?

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      24.3 正多边形和圆

      我们知道,各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.日常生活中,我们经常能看到正多边形形状的物体,利用正多边形,也可以得到许多美丽的图案(图24.3-1).你还能举出一些这样的例子吗?

      正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.

      以圆内接正五边形为例证明.

      图24.3-2,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE.

      ====

      ∴AB=BC=CD=DE=EA,

      ==.

      ∴∠A=∠B.

      同理 ∠B=∠C=∠D=∠E.

      又 五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,

      ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.

      我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距(图24.3-3).

      page0106

      正n边形的一个内角的度数是多少?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系?

      page0107

      实际生活中,经常遇到画正多边形的问题,比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等,这些问题都与等分圆周有关.要制造如图24.3-5中的零件,也需要等分圆周.

      由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角就可以等分圆周,从而得到相应的正多边形.例如,画一个边长为1.5cm的正六边形时,可以以1.5cm为半径作一个⊙O,用量角器画一个等于360°/6=60°的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到圆的6个等分点,顺次连接各分点,即可得到正六边形(图24.3-6(1)).

      利用这种方法,可以画出任意的正n边形.

      对于一些特殊的正多边形,还可以用圆规和直尺来作.例如,我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径,所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦,就可以把圆六等分,顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形(图24.3-6(2)).再如,用直尺和圆规作两条互相垂直的直径,就可以把圆四等分,从而作出正方形(图24.3-7).

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      阅读与思考 圆周率π

      我们知道,圆的周长C=2πR,面积S=πR^(2),你知道公式中的π是怎么计算出来的吗?学过了正多边形和圆,就可以说出其中的道理了.

      由公式c=2πR可得π=C/2R.因此,如果已经求得圆的周长,那么只需把它和圆的直径相比就能得到圆周率π.因此,求圆周率π的问题在某种意义上就可归结为求圆的周长.实际上,公式π=C/2R中圆的周长

      图1,把圆n等分,顺次连接各分点,便得到一个正n边形.再取这n段弧的中点,连同前面的n个分点得到2n个分点,顺次连接这2n个点,便得到正2n边形.继续这样做下去,圆内接正多边形的边数就是4n,8n,16n,32n,….随着边数的成倍增多,它们的周长p越来越接近圆的周长c,p/2R也越来越接近于圆的周长与直径的比值C/2R,这个数就是圆周率π.兀是一个无理数,兀=3.141592653589" alt="" tb-clickable="true"/>

      历史上,对于圆周率π的研究是古代数学一个经久不衰的话题.在我国,东汉初年的《周髀算经》里就有径一周三的古率.公元前3世纪,古希腊数学家阿基米德(Archime-des,约公元前287-前212)通过圆内接和外切正多边形逼近圆周的方法得到圆周率介于310/71和31/7之间.我国魏晋时期的数学家刘徽(263年左右)首创割圆术,利用圆的内接正多边形来确定圆周率,并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.他计算出π≈157/50≈3.14.南朝的祖冲之(429-500)在公元5世纪又进一步求得π的值在3.1415926和3.1415927之间,是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人.

      随着时代的发展,人们利用高等数学的知识来计算π的值,先后得出了许多计算π的公式,π的近似值的位数也迅速增长.

      电子计算机问世以后,圆周率的计算突飞猛进,π的小数点后的位数不断增长.20世纪50年代得到千位以上,60年代则达到50万位,80年代得到10亿位.到21世纪初,科学家已计算出π的小数点后超过万亿的位数.

      当今时代,π的计算成为测试超级计算机的各项性能的方法之一.运算速度与计算过程的稳定性对计算机至关重要.这正是超高精度的π的计算直到今天仍然有重要意义的原因之一.

      我国发行的祖冲之纪念邮票

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      24.4 弧长和扇形面积

      思考

      我们知道,弧是圆的一部分,弧长就是圆周长的一部分.想一想,如何计算圆周长?圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长?由此出发,1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角呢?

      在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR,所以1°的圆心角所对的弧长是2πR/360,即πR/180.于是n°的圆心角所对的弧长为

      l=nπR/180.

      也可以用表示的长.

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      图21.4-2,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做.可以发现,扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关.圆心角越大,扇形面积也就越大.怎样计算圆半径为R,圆心角为n°的扇形面积呢?

      思考

      由扇形的定义可知,扇形面积就是圆面积的一部分.想一想,如何计算圆的面积?圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积?1°的圆心角所对的扇形面积是多少?n°的圆心角呢?

      在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^(2),所以圆心角是1°的扇形面积是.于是圆心角为n°的扇形面积是

      S扇形=.

      比较扇形面积公式与弧长公式,可以用弧长表示扇形面积:

      S扇形=1/2lR,其中l为扇形的弧长,R为半径.

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      我们知道,圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体,如图24.4-5,我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

      思考

      圆锥的侧面展开图是什么图形?如何计算圆锥的侧面积?如何计算圆锥的全面积?

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      图24.4-6,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,容易得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为πrl,圆锥的全面积为πr(r+l).

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      实验与探究 设计跑道

      田径比赛中,在进行400 m比赛时,运动员的起跑点并不处在同一条线上,为什么这样呢?

      如果比赛的起点和终点同在一条直线上,显然,对内侧跑道上的运动员较为有利.原因是内侧跑道的路程较短.因此,为了公平比赛,在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移.

      这里,你的任务是设计一条8道的400 m跑道,每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成,每条跑道宽1 m,内侧的跑道长度为400 m.画出每条跑道内的起跑点,使得每个运动员经过400 m比赛后到达同一终点线.

      设计这样的跑道,你需要思考:

      (1)圆的半径对确定超前起跑点有什么影响?

      (2)跑道的宽度对确定超前起跑点有什么影响?

      (3)直的跑道的长度对确定超前起跑点有什么影响?

      试完成表1,并计算图1中每一条跑道的全长L.

      表1 宽1 m,内圈半径为r m的跑道

      跑道1 跑道2 跑道3 跑道4 跑道5 跑道6 跑道7 跑道8
      r1=? r2=r1+1 r3=? r4=? r5=? r6=? r7=? r8=?
      s=100 s=100 s=100 S=100 s=100 s=100 s=100 s=100
      L=200+2πr1=400(m) L=? L=? L=? L=? L=? L=? L=?

      表1,你就可以回答前面的三个问题了.现在,开始你的设计吧!

      查一下资料,一个标准田径场的400 m跑道直道长多少米?跑道宽度呢?由此,为了进行400 m比赛,你能帮助体育老师画起跑线吗?

      各就各位,预备!跑!

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章比较系统地研究了圆的概念和有关性质.圆是一种特殊的曲线,圆的许多性质是通过与圆有关的线段(如直径、弦、切线等)和角(如圆心角、圆周角等)体现的.因此,有关直线形图形的性质和判定在得出和证明圆的性质时发挥着重要的作用.

      本章还研究了点和圆、直线和圆的位置关系,圆和三角形、四边形、正多边形的关系等.数形结合以及类比是我们研究这些关系时采用的主要方法,它们也是探索数学新知识的重要方法.

      圆是轴对称图形,它的任何一条直径所在直线都是它的对称轴;它也是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.不仅如此,它还是旋转对称图形.圆的许多性质都与圆的这些对称性有关.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.圆的位置及大小由哪些要素确定?如何从点的集合的角度理解圆的概念?

      2.垂直于弦的直径有什么性质?在同圆或等圆中,两个圆心角以及它们所

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      对的弧、弦有什么关系?这些关系和圆的对称性有什么联系?

      3.同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系?你能举出一些它们的实际应用吗?

      4.点和圆有怎样的位置关系?直线和圆呢?你能举出这些位置关系的一些实例吗?你能用哪些方法刻画这些位置关系?

      5.你能用直尺和圆规作出一个三角形的外接圆和内切圆吗?圆的内接四边形有什么性质?正多边形和圆有什么关系?

      6.怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形面积公式?

      复习题24

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      page0125
      1. 垂径定理的探索与证明为选学内容.
      2. 此平行线性质定理的证明为选学内容.
      3. 切线长定理的探索与证明为选学内容.
       第二十五章 概率初步

      第二十五章 概率初步

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      同学们都听说过天有不测风云这句话吧!它的原意是指刮风、下雨、阴天、晴天这些天气状况,人们事先很难准确预料.后来泛指世界上很多事情具有偶然性,人们无法事先预料这些事情是否会发生.

      随着实践和认识的逐步深入,人们发现偶然性事件中有些发生的可能性大,有些发生的可能性小.也就是说,偶然性事件发生可能性的大小是有规律的.概率就是在研究这些规律中产生的,人们用它描述偶然性事件发生的可能性的大小.例如,天气预报说明天的降水概率为90%,就意味着明天下雨(雪)的可能性很大.

      现在概率的应用日益广泛.本章我们将学习概率初步知识,提高对偶然性事件发生规律的认识.

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      25.1 随机事件与概率

      在现实世界中,我们经常会遇到无法预料事情发生结果的情况.例如,虽然天气预报说明天有雨,但是我们无法确定明天是否一定会下雨;在某一时刻拨打查号台(114),无法确定线路是否能接通;参加抽奖活动,无法确定自己能否中奖,更无法确定能中几等奖;等等.这些事情的发生都给我们不确定的印象.下面我们再来看两个问题.

      25.1.1 随机事件

      问题1 五名同学参加演讲比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序.为了抽签,我们在盒中放五个看上去完全一样的纸团,每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1,2,3,4,5.把纸团充分搅拌后,小军先抽,他任意(随机)从盒中抽取一个纸团.请思考以下问题:

      (1)抽到的数字有几种可能的结果?

      (2)抽到的数字小于6吗?

      (3)抽到的数字会是0吗?

      (4)抽到的数字会是1吗?

      通过简单的推理或试验,可以发现:

      (1)数字1,2,3,4,5都有可能抽到,共有5种可能的结果,但是事先无法预料一次抽取会出现哪一种结果;

      (2)抽到的数字一定小于6;

      (3)抽到的数字绝对不会是0;

      (4)抽到的数字可能是1,也可能不是1,事先无法确定.

      问题2 小伟掷一枚质地均匀的骰(tóu)子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.请思考以下问题:掷一次骰子,在骰子向上的一面上,

      (1)可能出现哪些点数?

      (2)出现的点数大于0吗?

      (3)出现的点数会是7吗?

      (4)出现的点数会是4吗?

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      通过简单的推理或试验,可以发现:

      (1)从1到6的每一个点数都有可能出现,所有可能的点数共有6种,但是事先无法预料掷一次骰子会出现哪一种结果;

      (2)出现的点数肯定大于0;

      (3)出现的点数绝对不会是7;

      (4)出现的点数可能是4,也可能不是4,事先无法确定.

      在一定条件下,有些事件必然会发生.例如,问题1中抽到的数字小于6,问题2中出现的点数大于0,这样的事件称为必然事件.相反地,有些事件必然不会发生.例如,问题1中抽到的数字是0,问题2中出现的点数是7,这样的事件称为不可能事件.必然事件与不可能事件统称确定性事件.

      在一定条件下,有些事件有可能发生,也有可能不发生,事先无法确定.例如,问题1中抽到的数字是1,问题2中出现的点数是4,这两个事件是否发生事先不能确定.在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件(random event).

      你还能举出一些随机事件的例子吗?

      问题3 袋子中装有4个黑球、2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,即除颜色外无其他差别.在看不到球的条件下,随机从袋子中摸出1个球.

      (1)这个球是白球还是黑球?

      (2)如果两种球都有可能被摸出,那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗?

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      为了验证你的想法,动手摸一下吧!每名同学随机从袋子中摸出1个球,记下球的颜色,然后把球重新放回袋子并摇匀.汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中.

      表25-1

      球的颜色 黑球 白球
      摸取次数

      比较表中记录的数字的大小,结果与你事先的判断一致吗?

      在上面的摸球活动中,摸出黑球和摸出白球是两个随机事件.一次摸球可能发生摸出黑球,也可能发生摸出白球,事先不能确定哪个事件发生.由于两种球的数量不等,所以摸出黑球与摸出白球的可能性的大小不一样,摸出黑球的可能性大于摸出白球的可能性.你们的试验结果也是这样吗?

      一般地,随机事件发生的可能性是有大小的.

      思考

      能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量,使摸出黑球和摸出白球的可能性大小相同?

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      25.1.2 概率

      在同样条件下,某一随机事件可能发生也可能不发生.那么,它发生的可能性究竟有多大?能否用数值刻画可能性的大小呢?下面我们讨论这个问题.

      在问题1中,从分别写有数字1,2,3,4,5的五个纸团中随机抽取一个,这个纸团里的数字有5种可能,即

      1, 2, 3, 4, 5.

      因为纸团看上去完全一样,又是随机抽取,所以每个数字被抽到的可能性大小相等.我们用1/5表示每一个数字被抽到的可能性大小.

      在问题2中,掷一枚骰子,向上一面的点数有6种可能,即

      1, 2, 3, 4, 5, 6.

      因为骰子形状规则、质地均匀,又是随机掷出,所以每种点数出现的可能性大小相等.我们用1/6表示每一种点数出现的可能性大小.

      数值1/5和1/6刻画了试验中相应随机事件发生的可能性大小.一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率(probability),记为P(A).

      由问题1和问题2,可以发现以上试验有两个共同特点:

      (1)每一次试验中,可能出现的结果只有有限个;

      (2)每一次试验中,各种结果出现的可能性相等.

      对于具有上述特点的试验,我们用事件所包含的各种可能的结果个数在全部可能的结果总数中所占的比,表示事件发生的概率.例如,在上面的抽纸团试验中,抽到1这个事件包含1种可能结果,在全部5种可能的结果中所占的比为1/5.于是这个事件的概率

      P(抽到1)=1/5.

      抽到偶数这个事件包含抽到2,4这两种可能结果,在全部5种可能的结果中所占的比为2/5.于是这个事件的概率

      你能求出抽到奇数这个事件的概率吗?

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      P(抽到偶数)=2/5.

      归纳

      一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=m/n.

      在P(A)=m/n中,由m和n的含义,可知0≤m≤n,进而有0≤m/n≤1.因此,

      0≤P(A)≤1.

      特别地,

      当A为必然事件时,P(A)=1;

      当A为不可能事件时,P(A)=0.

      事件发生的可能性越大,它的概率越接近1;反之,事件发生的可能性越小,它的概率越接近0(图25.1-1).

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      把例2中的(1)(3) 两问及答案联系起来,你有什么发现?

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      扫雷游戏的目的是准确找出所有埋藏在方格内的地雷,用时越少越好.用鼠标点击(左击)方格,如果方格内没有地雷,会出现一个标号,表示与这个方格相邻的方格内,有与标号相同个数的地雷,然后根据标号判断下一个点击的区域;如果方格内有地雷,地雷就会爆炸,游戏失败.

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      25.2 用列举法求概率

      在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,那么我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率.

      同时抛掷两枚质地均匀的硬币与先后两次投掷一枚质地均匀的硬币,这两种试验的所有可能结果一样吗?

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      思考

      如果把例2中的同时掷两枚质地均匀的骰子改为把一枚质地均匀的骰子掷两次,得到的结果有变化吗?为什么?

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      本题中,A,E,I,是元音字母;B,C,D,H是辅音字母.

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      用树状图例举的结果看起来一目了然,当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时,用画树状图法求事件的概率很有效.

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      阅读与思考 概率与中奖

      同学们,你们都知道彩票吧.我们常常看见彩票摇奖的电视画面.

      请同学们思考一下,如果某一彩票的中奖概率是1/1000,那么买1000张彩票就一定能够中奖吗?

      有的同学可能认为,中奖概率为1/1000,当然买1000张彩票一定能中奖.事实是这样吗?比如,如果发行的1000万张彩票中有1万张能够中奖,就是说中奖率是1/1000,那么即使买1000张彩票,这1000张彩票也可能全部来自那些不能中奖的999万张彩票.

      事实上,买1000张彩票相当于做1000次试验,可能1000张彩票中没有1张中奖,也可能有1张中奖,也可能有2张中奖……通过计算可以得知,1000张彩票中至少有1张彩票中奖的概率约为0.6323,没有1张中奖的概率约为0.3677.

      为了发展公益事业,我国发行了多种彩票,有些彩票的最高奖高达数百万元.但是,在有限的几次试验中中最高奖这种事件几乎是不可能发生的.买1张彩票就能中最高奖的概率近似为0,我们通常把这种几乎不可能的事件称为小概率事件.

      尽管中最高奖的概率微乎其微,但有一点是肯定的,买的彩票越多中奖的机会就越大.有些同学可能会问,如果把发行的所有彩票全部买下不就能保证中奖了吗?是的,在这种情况下,当然可以保证中奖,但是买下所有彩票需要的资金远远超过中奖获得的奖金.

      page0142

      25.3 用频率估计概率

      用列举法可以求一些事件的概率.实际上,我们还可以利用多次重复试验,通过统计试验结果估计概率.

      我们从抛掷硬币这个简单问题说起.抛掷一枚质地均匀的硬币时,正面向上和反面向上发生的可能性相等,这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚硬币100次时,就会有50次正面向上和50次反面向上呢?不妨用试验进行检验.

      试验 把全班同学分成10组,每组同学抛掷一枚硬币50次,整理同学们获得的试验数据,并完成表25-3.

      第1组的数据填在第1列,第1,2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列.如果在抛掷硬币n次时,出现m次正面向上,则称比值m/n为正面向上的频率.

      表25-3

      抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
      “正面向上”的频数m
      “正面向上”的频率,m/n

      根据上表中的数据,在图25.3-1中标注出对应的点.

      请同学们根据试验所得数据想一想:正面向上的频率有什么规律?

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      历史上,有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验,其中一些试验结果见表25-4.

      表25-4

      试验者 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率&m/n
      棣莫弗 2048 1061 0.518
      布丰 4040 2048 0.5069
      费勒 10000 4979 0.4979
      皮尔逊 12000 6019 0.5016
      皮尔逊 24000 12012 0.5005

      思考

      随着抛掷次数的增加,正面向上的频率的变化趋势是什么?

      可以发现,在重复抛掷一枚硬币时,正面向上的频率在0.5附近摆动.一般地,随着抛掷次数的增加,频率呈现出一定的稳定性:在0.5附近摆动的幅度会越来越小.这时,我们称正面向上的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的正面向上的概率是同一个数值.

      在抛掷一枚硬币时,结果不是正面向上,就是反面向上.因此,从上面的试验中也能得到相应的反面向上的频率.当正面向上的频率稳定于0.5时,反面向上的频率也稳定于0.5.它也与前面用列举法得出的反面向上的概率是同一个数值.

      实际上,从长期实践中,人们观察到,对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.因此,我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.

      雅各布·伯努利(1654-1705),概率论的先驱之一.

      page0144

      用频率估计概率,虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率,但由于不受各种结果出现的可能性相等的条件限制,使得可求概率的随机事件的范围扩大.例如,抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子,不能用列举法求针尖朝上或出现6点的概率,但可以通过大量重复试验估计出它们的概率.

      从抛掷硬币的试验还可以发现,正面向上的概率是0.5,连续掷2次,结果不一定是正面向上和反面向上各1次;连续抛掷100次,结果也不一定是正面向上和反面向上各50次.也就是说,概率是0.5并不能保证掷2n次硬币一定恰好有n次正面向上,只是当n越来越大时,正面向上的频率会越来越稳定于0.5.可见,概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.

      我们再来看一些问题.

      问题1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,应采用什么具体做法?

      幼树移植成活率是实际问题中的一种概率.这个问题中幼树移植成活与不成活两种结果可能性是否相等未知,所以成活率要由频率去估计.

      在同样条件下,对这种幼树进行大量移植,并统计成活情况,计算成活的频率.随着移植数n越来越大,频率m/n会越来越稳定,于是就可以把频率作为

      page0145
      成活率的估计值.

      表25-5是一张模拟的统计表,请补全表中空缺,并完成表下的填空.

      25-5

      移植总数n 成活数m 成活的频率m/n(结果保留小数点后三位)
      10 8 0.800
      50 47 ———
      270 235 0.870
      400 369 ———
      750 662 ———
      1500 1335 0.890
      3500 3203 0.915
      7000 6335 ———
      9000 8073 ———
      14000 12628 0.902

      表25-5可以发现,随着移植数的增加,幼树移植成活的频率越来越稳定.当移植总数为14000时,成活的频率为0.902,于是可以估计幼树移植成活的概率为__.

      问题2 某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元,那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比较合适?

      销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘,进行柑橘损坏率统计,并把获得的数据记录在表25-6中.请你帮忙完成此表.

      柑橘在运输、储存中会有损坏,公司必须估算出可能损坏的柑橘总数,以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘的售价中.

      page0146

      25-6

      柑橘总质量n/kg 损坏柑橘质量m/kg 柑橘损坏的频率m/n(结果保留小数点后三位)
      50 5.50 0.110
      100 10.50 0.105
      150 15.15 ———
      200 19.42 ———
      250 24.25 ———
      300 30.93 ———
      350 35.32 ———
      400 39.24 ———
      450 44.57 ———
      500 51.54 ———

      填完表后,从表25-6可以看出,随着柑橘质量的增加,柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500kg时的损坏频率为0.103,于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小数点后一位).由此可知,柑橘完好的概率为0.9.

      根据估计的概率可以知道,在10000kg柑橘中完好柑橘的质量为

      10000×0.9=9000(kg).

      完好柑橘的实际成本为

      2×10000/9000=2/0.9≈2.22(元/kg).

      设每千克柑橘的售价为x元,则

      (x-2.22)×9000=5000.

      解得

      x≈2.8(元).

      因此,出售柑橘时,每千克定价大约2.8元可获利润5000元.

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      实验与探究 π的估计

      图1是一个七等分圆盘,随意向其投掷一枚飞镖,则飞镖落在圆盘中任何一个点上的机会都相等.由于各个小扇形大小一样,因此飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为3/7,2/7,2/7.这里概率的大小是各颜色区域的面积在整个区域的面积中所占的比.

      一般地,如果在一次试验中,结果落在区域D中每一点都是等可能的,用A表示试验结果落在区域D中一个小区域M中这个事件,那么事件A发生的概率为

      P(A)=M的面积/D的面积.

      图2是一个正方形及其内切圆,随机地往正方形内投一粒米,落在圆内的概率为

      P(A)=圆的面积/正方形的面积=π/4.

      由此解答下列问题:

      (1)随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上,统计并计算落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n的比m/n.

      (2)m/n和π/4之间有什么关系?你能用它们之间的关系估计出兀的值吗?

      落在圆内的米粒数m 落在正方形内的米粒数n 频率m/n π的估计值

      (3)为了提高π的估计精度,你认为还可以怎么做?

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      随机事件在一次试验中是否发生具有偶然性,但在大量重复试验中,随机事件发生的可能性会呈现一定的规律性.概率从数值上刻画了随机事件发生的可能性大小,揭示了随机现象中存在的规律.

      对于可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性相等的随机试验,我们可以通过列举法求出它的概率.在用列举法求概率时,要注意做到结果不重不漏.通过大量重复试验,用频率估计概率,也是求概率的一种重要方法.它不仅适用于各种结果出现的可能性相等的试验,也适用于各种结果出现的可能性不相等的试验.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.举例说明什么是随机事件.

      2.在什么条件下,可以通过列举法得到随机事件的概率?

      3.用列举法求概率有哪些具体的方法?它们各有什么特点?

      4.简述用频率估计概率的一般做法.

      5.结合本章内容,说说你对概率的理解以及概率在实践中的作用.

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      复习题25

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       第二十六章 二次函数

      第二十六章 二次函数

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      函数是描述变化的一种数学工具,用一次函数与反比例函数可以表示某些问题中变量之间的关系.我们再来看另一些问题中变量之间的关系.

      如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?

      物体自由下落过程中,下落的距离s随下落时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?

      再看章前图,从喷头飞出的水珠,在空中走过一条曲线.在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系?

      上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么样的?它与以前学习的函数、方程等有哪些联系?

      通过学习本章,你不仅能回答上述问题,并且能体会如何用这种函数分析和解决某些实际问题,从而进一步提高对函数的认识和运用能力.

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      26.1 二次函数及其图象

      26.1.1 二次函数

      我们看引言中正方体的表面积的问题.

      正方体的六个面是全等的正方形(图26.1-1),设正方体的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为

      y=6x^(2).①

      我们再来看几个问题.

      问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系?

      图26.1-2可以想出,如果多边形有n条边,那么它有__个顶点.从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作__条对角线.

      因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数

      d=1/2n(n-3),

      d=1/2n^(2)-3/2n②

      ②式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系,对于n的每一个

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      值,d都有一个对应值,即d是n的函数.

      问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?

      这种产品的原产量是20件,一年后的产量是_______件,再经过一年后的产量是______________件,即两年后的产量为

      y=20(1+x)^(2),

      y=20x^(2)+40x+20.③

      ③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.

      思考

      函数①,②,③有什么共同点?

      在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的.一般地,形如

      y=ax^(2)+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数(quadratic function).其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

      现在我们学习过的函数有:一次函数y=kx+b(k≠0),其中包括正比例函数y=kx(k≠0),反比例函数y=k/x(k≠0)和二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0).可以发现,这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系.

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      26.1.2 二次函数y=ax^(2)的图象

      思考

      一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,二次函数的图象是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图象?

      我们先来画最简单的二次函数y=x^(2)的图象.

      在y=x^(2)中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值(填表):

      x -3 -2 -1 0 1 2 3
      y=x^(2

      根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y)(图26.1-3),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x^(2)的图象(图26.1-4).

      结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法.我们将从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.

      还记得如何用描点法画一个函数的图象吗?

      可以看出,二次函数y=x^(2)的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x^(2).实际上,二次函数的图象都是抛物线,它们的开口或者向上或者向下.一般地,二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象叫做抛物线

      page0005
      y=ax^(2)+bx+c.

      还可以看出,y轴是抛物线y=x^(2)的对称轴,抛物线y=x^(2)与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线y=x^(2)的顶点,它是抛物线y=x^(2)的最低点.实际上,每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.

      由于点(m,m^(2))和它关于y轴的对称点(-m,m^(2))都在抛物线y=x^(2)上,所以抛物线y=x^(2)关于y轴对称.

      思考

      函数y=1/2x^(2),y=2x^(2)的图象与函数y=x^(2)(图26.1-5中的虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?

      探究

      画出函数y=-x^(2),y=-1/2x^(2),y=-2x^(2)的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.

      page0006

      你画出的图象与图26.1-6相同吗?

      对比抛物线y=x^(2)和y=-x^(2),它们关于x轴对称吗?一般地,抛物线y=ax^(2)和y=-ax^(2)呢?

      归纳

      一般地,抛物线y=ax^(2)的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线的开口向__,顶点是抛物线的最__点,a越大,抛物线的开口越__.

      26.1.3 二次函数y=a(x-h)^(2)+k的图象

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      思考

      (1)抛物线y=x^(2)+1,y=x^(2)-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?

      (2)抛物线y=x^(2)+1,y=x^(2)-1与抛物线y=x^(2)有什么关系?

      可以发现,把抛物线y=x^(2)向上平移1个单位,就得到抛物线y=x^(2)+1;把抛物线y=x^(2)向下平移1个单位,就得到抛物线y=x^(2)-1.

      思考

      把抛物线y=2x^(2)向上平移5个单位,会得到哪条抛物线?向下平移3.4个单位呢?

      探究

      画出二次函数y=-1/2(x+1)^(2),y=-1/2(x=1)^(2)的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.

      先列表:

      X -3 -2 -1 0 1 2 3
      y=-1/2(x+1)^(2
      y=-1/2(x+1)^(2
      page0008

      然后描点画图,得y=-1/2(x+1)^(2),y=-1/2(x-1)^(2)的图象(图26.1-8).

      可以看出,抛物线y=-1/2(x+1)^(2)的开口向下,对称轴是经过点(-1,0)且与x轴垂直的直线,我们把它记作x=-1,顶点是(-1,0);抛物线y=-1/2(x-1)^(2)的开口向______,对称轴是__________,顶点是____________.

      思考

      抛物线y=-1/2(x+1)^(2),y=-1/2(x-1)^(2)与抛物线y=-1/2x^(2)有什么关系?

      可以发现,把抛物线y=-1/2x^(2)向左平移1个单位,就得到抛物线y=-1/2(x+1)^(2);把抛物线y=-1/2x^(2)向右平移1个单位,就得到抛物线y=-1/2(x-1)^(2).

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      还有其他平移方法吗?

      归纳

      一般地,抛物线y=a(x-h^(2)+k与y=ax^(2)形状相同,位置不同.把抛物线y=ax^(2)向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)^(2)+k.平移的方向、距离要根据h,k的值来决定.

      抛物线y=a(x-h)^(2)+k有如下特点:

      (1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;

      (2)对称轴是直线x=h;

      (3)顶点坐标是(h,k).

      page0010
      2  我们来看一个与章前图有关的问题.

      26.1.4 二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象

      下面通过画y=1/2x^(2)-6x+21的图象,讨论一般地怎样画二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的图象.

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      思考

      我们知道,像y=a(x-h)^(2)+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),二次函数y=1/2x^(2)-6x+21也能化成这样的形式吗?

      配方可得:

      y=1/2x^(2)-6x+21

      =1/2(x-6)^(2)+3.

      由此可知,抛物线y=1/2x^(2)-6x+21的顶点是点(6,3),对称轴是直线x=6.

      接下来,利用图象的对称性列表(请填表):

      x 3 4 5 6 7 8 9
      y=1/2(x-6)^(2)+3

      然后描点画图,得到y=1/2(x-6)^(2)+3的图象(图26.1-11).

      怎样平移抛物线y=1/2x^(2)得到抛物线y=1/2(x-6)^(2)+3?

      从图象可以看出:当x〈6时,y随x的增大而减小;当x〉6时,y随x的增大而增大.

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      归纳

      一般地,我们可以用配方求抛物线y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.

      y=ax^(2)+bx+c

      =a(x+b/2a)^(2)+

      因此,抛物线y=ax^(2)+bx+c的对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,

      本小节内容是选学内容,供学有余力的学生学习.26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式

      探究

      我们知道,已知一次函数图象上两个点的坐标,可以用待定系数法求出它的解析式.对于二次函数,探究下面的问题:

      (1)已知二次函数图象上几个点的坐标,可以求出这个二次函数的解析式?

      (2)如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式.

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      分析:(1)一次函数的解析式是y=kx+b,要写出解析式,需求出k与b的值.为此,可以由一次函数图象上两个点的坐标,列出关于k,b的二元一次方程组求出待定系数k与b.类似地,二次函数的解析式是y=ax^(2)+bx+c,要写出解析式,需求出a,b,c的值.为此,可以由二次函数图象上三个点的坐标,列出关于a,b,c的三元一次方程组,求出三个待定系数a,b,c.

      (2)设所求二次函数为y=ax^(2)+bx+c.

      由已知,函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得关于a,b,c的三元一次方程组

      a-b+c=10,

      a+b+c=4,

      4a+2b+c=7.

      解这个方程组,得

      a=2, b=-3, c=5.

      所求二次函数是y=2x^(2)-3x+5.

      归纳

      求二次函数y=ax^(2)+bx+c的解析式,关键是求出待定系数a,b,c的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c,就可以写出二次函数的解析式.

      page0014
      page0015
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      26.2 用函数观点看一元二次方程

      问题 如图26.2-1,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系

      h=20t-5t^(2).

      考虑以下问题:

      (1)球的飞行高度能否达到15 m?如能,需要多少飞行时间?

      (2)球的飞行高度能否达到20 m?如能,需要多少飞行时间?

      (3)球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?

      (4)球从飞出到落地要用多少时间?

      分析:由于球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t^(2),所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程,如果方程有合乎实际的解,则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.

      解:(1)解方程

      15=20t-5t^(2),

      t^(2)-4t+3=0,

      t1=1, t2=3.

      当球飞行1 s和3 s时,它的高度为15 m.

      (2)解方程

      20=20t-5t^(2),

      t^(2)-4t+4=0,

      t1=t2=2.

      当球飞行2 s时,它的高度为20 m.

      你能结合图26.2-1指出为什么在两个时间球的高度为15 m吗?

      你能结合图26.2-1指出为什么只在一个时间球的高度为20 m吗?

      page0017

      (3)解方程

      20.5=20t-5t^(2),

      t^(2)-4t+4.1=0.

      因为(-4)^(2)-4×4.1<0,所以方程无实数根.球的飞行高度达不到20.5 m.

      (4)解方程

      0=20t-5t^(2),

      t^(2)-4t=0,

      t1=0, t2=4.

      当球飞行0 s和4 s时,它的高度为0 m,即0 s时球从地面飞出,4 s时球落回地面.

      从上面可以看出,二次函数与一元二次方程关系密切.例如,已知二次函数y=-x^(2)+4x的值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程-x^(2)+4x=3(即x^(2)-4x+3=0).反过来,解方程x^(2)-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x^(2)-4x+3的值为0,求自变量x的值.

      一般地,我们可以利用二次函数y=ax^(2)+bx+c深入讨论一元二次方程ax^(2)+bx+c=0.

      你能结合图26.2-1指出为什么在两个时间球的高度为0 m吗?

      思考

      下列二次函数的图像与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?

      (1)y=x^(2)+x-2;

      (2)y=x^(2)-6x+9

      (3)y=x^(2)-x+1

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      这些函数的图象如图26.2-2所示.

      可以看出:

      (1)抛物线y=x^(2)+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x^(2)+x-2=0的根是-2,1.

      (2)抛物线y=x^(2)-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x^(2)-6x+9=0有两个相等的实数根3.

      (3)抛物线y=x^(2)-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x^(2)-x+1=0没有实数根.

      反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.

      归纳

      一般地,从二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象可知,

      (1)如果抛物线y=ax^(2)+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax^(2)+bx+c=0的一个根.

      (2)二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.

      由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是近似的.

      利用函数图象求方程x^(2)-2x-2=0的实数根(精确到0.1).

      作y=x^(2)-2x-2的图象(图26.2-3),它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.

      所以方程x^(2)-2x-2=0的实数根为

      x1≈-0.7, x2≈2.7.

      我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根:

      page0019

      观察函数y=x^(2)-2x-2的图象可以发现,当自变量为2时的函数值小于0(点(2,-2)在x轴的下方),当自变量为3时的函数值大于0(点(3,1)在x轴的上方),因为抛物线y=x^(2)-2x-2是一条连续不断的曲线,所以抛物线y=x^(2)-2x-2在2<x<3这一段经过x轴,也就是说当自变量取2,3之间的某个值时,函数的值为0,即方程x^(2)-2x-2=0在2,3之间有根.

      我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如,取2,3的平均数2.5,用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75,与自变量为3时的函数值异号,所以这个根在2.5,3之间。再取2.5,3的平均数2.75,用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625,与自变量为2.5时的函数值异号,所以这个根在2.5,2.75之间.

      重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在2.625,2.75之间,在2.6875,2.75之间……可以看到:根所在的范围越来越小,根所在范围的两端的值越来越接近根的值,因而可以作为根的近似值。例如,当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时,由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们可以将2.6875作为根的近似值.

      你能用这种方法得出方程x^(2)-2x-2=0的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)?

      这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.

      page0020

      选学

      信息技术应用 探索二次函数的性质

      用某些计算机画图软件(如《几何画板》),可以方便地画出二次函数的图象,进而从图象探索二次函数的性质.如图1,用计算机软件画出函数y=x^(2)-2x-3的图象,拖动图象上的一点P,让这点沿抛物线移动,观察动点坐标的变化,可以发现:

      图象最低点的坐标是(1,-4),也就是说,当x=1时,y有最小值-4;

      page0021

      当x〈1时,y随x的增大而减小,当x〉1时,y随x的增大而增大.

      又如图2,用计算机软件画出函数y=-x^(2)-4x-3的图象,拖动图象上的一点P,可以发现:

      图象最高点的坐标是(-2,1),也就是说,当x=-2时,y有最大值1;

      当x〈-2时,y随x的增大而增大,当x〉-2时,y随x的增大而减小.

      利用计算机软件的画图功能,很容易利用二次函数的图象解一元二次方程.要解方程ax^(2)+bx+c=0,只要用计算机软件画出相应抛物线y=ax^(2)+bx+c,再让计算机软件显示抛物线与x轴的公共点的坐标,就能得出要求的方程的根.利用图1图2中的图象试一试,分别求出方程x^(2)-2x-3=0,-x^(2)-4x-3=0的根.

      page0022

      26.3 实际问题与二次函数

      前面我们结合实际问题,讨论了二次函数,看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用,下面我们进一步用二次函数讨论一些实际问题.

      问题 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大?

      分析:先写出S与l的函数关系式,再求出使S最大的l值.

      矩形场地的周长是60 m,一边长为l,则另一边长为(60/2-l)m.场地的面积

      S=l(30-l),即

      S=-l^(2)+30l(0<l<30).

      画出这个函数的图象(图26.3-1).

      可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点,也就是说,当l取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.

      因此,当l=-b/2a=-=15时,S有最大值==225.

      page0023
      也就是说,当l是15 m时,场地的面积S最大(S=225 m^(2)).

      一般地,因为抛物线y=ax^(2)+bx+c的顶点是最低(高)点,所以

      当x=-b/2a时,二次函数y=ax^(2)+bx+c有最小(大)值.

      我们再来解决一些实际问题.

      探究1

      某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

      分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.

      (1)设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数式.涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)件,销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.

      因此,所得利润

      y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),

      y=-10x^(2)+100x+6000,

      其中,0≤x≤30.

      根据上面的函数,填空:

      当x=__时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价______元,即定价______元时,利润最大,最大利润是__________.

      (2)在降价的情况下,最大利润是多少?请你参考(1)的讨论自己得出答案.

      由(1),(2)的讨论及现在的销售状况,你知道应如何定价能使利润最大了吗?

      怎样确定x的取值范围?

      page0024

      探究2

      计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁性物质的圆盘,磁盘上有一些同心圆轨道,叫做磁道.如图26.3-2,现有一张半径为45mm的磁盘.

      可以查阅有关资料,了解磁盘存储数据的原理.

      (1)磁盘最内磁道的半径为r mm,其上每0.015mm的弧长为1个存储单元,这条磁道有多少个存储单元?

      (2)磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁盘的外圆周不是磁道,这张磁盘最多有多少条磁道?

      (3)如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同,最内磁道的半径r是多少时,磁盘的存储量最大?

      分析:(1)最内磁道的周长为2πr mm,它上面的存储单元的个数不超过.

      (2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁盘的外圆周不是磁道,各磁道分布在磁盘上内径为r外径为45的圆环区域,所以这张磁盘最多有条磁道.

      (3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时,磁盘每面存储量=每条磁道的存储单元数×磁道数.

      设磁盘每面存储量为y,则

      y=×,即

      page0025

      y=(45r-r^(2))(0<r<45).

      根据上面这个函数式,你能得出当r为何值时磁盘的存储量最大吗?

      探究3

      图26.3-3中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少?

      分析:我们知道,二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(图26.3-4).

      可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax^(2).

      由抛物线经过点(2,-2),可得

      -2=a×2^(2),a=-1/2.

      这条抛物线表示的二次函数为y=-1/2x^(2).

      当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3.请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.

      水面下降1m,水面宽度增加_______m.

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      实验与探究 推测植物的生长与温度的关系

      选学

      科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表).

      温度t/ -8 -6 -4 -2 0 2 4 6
      植物高度增长量 1 24 39 49 49 41 25 1

      由这些数据,科学家推测出植物高度的增长量l与温度t的函数关系,并由它推测出最适合这种植物生长的温度.

      你能想出科学家是怎样推测的吗?

      利用上面的实验结果,我们可以进行如下探究:

      在表内数据中,当t=-2和t=0时,植物增长最快;从0℃起随温度逐渐增加,增长量逐渐减小;从一2℃起随温度逐渐减少,增长量逐渐减小。由此可以猜想,l作为t的函数,其图象的形状呈中间高两边低,且有对称性.由此猜想,图象可能是抛物线,即l可能是t的二次函数.

      为检验上述猜想,建立坐标系,以t为横坐标,l为纵坐标,描出表中数据对应的8个点,并用平滑曲线连接它们(下页图1).可以看出,这条曲线像是抛物线.于是,我们用二次函数来近似地表示l与t的关系.

      page0028

      设l=at^(2)+bt+c,如何确定常数a,b,c?

      因为 t=0时l=49,

      所以 a×0+b×0+c=49,得c=49.

      又 t=-2时l=49;t=2时l=41,即

      解得

      这样我们得到二次函数

      l=-t^(2)-2t+49.①

      把表中t的其他值代入上式,可以发现对应的l值基本与表中值一致,个别不一致的也相差不多(这可能是因为试验中存在观察误差,或者是这个函数只近似反映l与t的关系).因此,l与t的关系可以用函数①来描述.

      由函数l=-t^(2)-2t+49可知,当t=-=-1时,l有最大值50,这说明-1℃是最适合这种植物生长的温度.

      上面我们根据实际问题中的有关数据,数形结合地求出表示变量间关系的函数,这属于建立模拟函数描述实际问题.有时这样的函数可能只是近似地反映实际规律,但是它对认识事物有一定作用.

      page0029

      数学活动

      page0030

      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      1.举例说明,一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示,列出函数解析式并画出图象.

      2.结核二次函数的图象回顾二次函数的性质,例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标,说明二次函数的什么情况下取得最大(小)值.

      3.结核抛物线y=ax^(2)+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系,说明方程ax^(2)+bx+c=0的根的各种情况.

      4.在日常生活、生产的科研中,常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.请举例说明如何分析、解决这样的问题.

      5.回顾一次函数、反比例函数和二次函数,体会函数这种数学模型的反映现实世界的运动变化中的作用.

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      复习题26

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      1. 本小节内容是选学内容,供学有余力的学生学习.
       第二十七章 相似

      第二十七章 相似

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      在现实生活中,我们经常见到形状相同的图形.如国旗上大小不同的五角星,还有不同尺寸同底版的相片等等.这两张大小不等的万里长城图片,它们的各部分都是按一定比例对应的.

      这些形状相同的图形之间,在数量关系和位置关系上有什么规律吗?怎样判断两个大小不等的三角形是否形状相同呢?怎么才能按要求放大或缩小一张美丽的图片?

      进入这一章的学习吧!在试验、探索和论证之后,你就会得出答案.

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      27.1 图形的相似

      图27.1-1中,有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片,也有大小不同的两个足球,还有一辆汽车和它的模型,以及排版印刷时使用不同字号排出的文字.所有这些,都给我们以形状相同的图形的形象.我们把这种形状相同的图形叫做相似图形(similar figures).

      你还能再举出一些相似图形的例子吗?

      两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.例如,放映电影时,投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大;实际的建筑物和它的模型是相似的;用复印机把一个图形放大或缩小后所得的图形,也都与原来的图形相似.图27.1-2是一些两两相似的几何图形的例子.

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      思考

      图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们相似吗?

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      我们进一步研究相似多边形(similar polygons)的主要特征.

      思考

      图27.1-4(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系?对应边呢?

      对于图27.1-4(2)中两个相似的正六边形,你是否也能得到类似的结论?

      对比图27.1-4(1)中的△A1B1C1和△ABC,由正三角形的每个角都等于60°,可得

      ∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1.

      另外,由△ABC和△A1B1C1是正三角形可得,AB=BC=AC,A1B1=B1C1=A1C1,从而

      ==

      这说明,正三角形都是相似的,它们的对应角相等,对应边的比相等.类似地,对于图27.1-4(2)中的两个相似的正六边形,也有类似的结论(请你自己证明).

      利用这种方法,我们可以得到,相似的正多边形对应角相等,对应边的比相等.这个结论对于一般的相似多边形是否成立呢?

      对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如a/b=c/d(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段(proportional segments).

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      探究

      图27.1-5(1)是两个相似的三角形,它们的对应角有什么关系?对应边的比是否相等?

      对于图27.1-5(2)中两个相似的四边形,它们的对应角、对应边是否有同样的结论?

      为了验证你的猜想,可以用刻度尺和量角器量一量.

      实际上,对于相似多边形,我们有:

      相似多边形对应角相等,对应边的比相等。

      反过来,如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似.

      我们把相似多边形对应边的比称为相似比(simi1arity rati0).

      相似比为1时,相似的两个图形有什么关系?

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      27.2 相似三角形

      27.2.1 相似三角形的判定

      在相似多边形中,最简单的就是相似三角形(similar triangles).在△ABC和△A'B'C'中,如果

      ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',

      ===k,即对应角相等,对应边的比相等,我们就说△ABC与△A'B'C'相似,记作△ABC∽△A'B'C'.△ABC与△A'B'C'的相似比为k,△A'B'C'与△ABC的相似比为1/k.

      学习三角形全等时,除了可以通过对所有的对应角和对应边一一验证外,还可以通过简便的方法(SSS,SAS,ASA,AAS)判定两个三角形全等.类似地,判定两个三角形相似时,是不是也存在简便的判定方法呢?为了证明相似三角形的判定定理,我们先来学习下面的平行线分线段成比例定理.

      如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?

      探究1

      图27.2-1,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别度量l3,l4,l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,相等吗?任意平移l5,再度量AB,BC,DE,EF的长度,相等吗?

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      事实上,当l3∥l4∥l5时,都可以得到=,还可以得到===,等等.

      经证明(这里略去)后,人们得到

      平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.

      把这个定理应用到三角形中,会出现下面两种情况(图27.2-2).

      在图27.2-2(1)中,把l4看成平行于△ABC的边BC的直线;在图27.2-2(2)中,把l3看成平行于△ABC的边BC的直线,那么可以得到

      平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等.

      用这个结论可以证明三角形中的对应线段的比相等.

      思考

      图27.2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分别交AB,AC于点D,E,△ADE与△ABC有什么关系?

      直觉告诉我们,△ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明它.

      page0042

      先证明两个三角形的对应角相等.

      在△ADE与△ABC中,∠A=∠A,

      ∵ DE∥BC,

      ∴ ∠ADE=∠B,∠AED=∠C.

      再证明两个三角形的对应边的比相等.

      过点E作EF∥AB,EF交BC于点F.

      ∵ DE∥BC,EF∥AB,

      ∴ ==.

      ∵ 四边形DEFB是平行四边形,

      ∴ DE=BF.

      ∴ =.

      ∴ ==.

      这样,我们证明了△ADE和△ABC的对应角相等,对应边的比相等,所以△ADE∽△ABC.因此,我们有如下判定三角形相似的定理:

      平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.

      上面我们根据相似三角形的定义,通过证明两个三角形的对应角相等,对应边的比相等得到了一个关于三角形相似的定理.

      类似于判定三角形全等的SSS方法,我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢?

      探究

      任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论.

      容易发现,这两个三角形是相似的.我们可以利用上面的定理进行证明.

      page0043

      图27.2-4,在△ABC和△A'B'C'中,==,求证△ABC∽△A'B'C'.

      证明:在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E,根据前面的定理可得△A'DE∽△A'B'C'.

      ∴ ==.

      又 ==,A'D=AB,

      ∴ =.

      ∴ A'E=AC.

      同理 DE=BC.

      ∴ △A'DE≌△ABC.

      ∴ △ABC∽△A'B'C'.

      要证明△ABC∽△A'B'C',可以先作一个与△ABC全等的三角形,证明它与△A'B'C'相似.这里所作的三角形是证明的中介,它把△ABC与△A'B'C'联系起来.

      由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理(图27.2-5):

      如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

      类似于判定三角形全等的SAS方法,我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢?

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      探究3

      利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C',使∠A=∠A',都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC和B'C'的长,它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B',∠C与∠C'是否相等?

      改变∠A或k值的大小,再试一试,是否有同样的结论?

      实际上,我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理(图27.2-6):

      如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

      类似于证明通过三边判定三角形相似的方法,请你自己证明这个定理.

      思考

      对于△ABC和△A'B'C',如果=,∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?试着画画看.

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      ∴ =.

      又 ∠A=∠A',

      ∴ △ABC∽△A'B'C'.

      (2)∵ =4/12=1/3,

      =6/18=1/3,

      =8/21,

      ∴ =.

      两三角形的相似比是多少?

      要使两三角形相似,不改变AC的长,A'C'的长应当改为多少?

      △ABC与△A'B'C'的三组对应边的比不等,它们不相似.

      观察两副三角尺(图27.2-7),其中同样角度(30°与60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的.一般地,如果两个三角形有两组对应角相等,它们一定相似吗?

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      探究4

      作△ABC和△A'B'C',使得∠A=∠A',∠B=∠B',这时它们的第三个角满足∠C=∠C'吗?分别度量这两个三角形的边长,计算,你有什么发现?

      把你的结果与邻座的同学比较,你们的结论一样吗?△ABC和△A'B'C'相似吗?

      利用计算机软件,改变这两个三角形边的大小,而不改变它们的角的大小,可以动态地观察对应边的比例关系,有条件的同学可以试一试.

      我们可以得到判定两个三角形相似的又一个定理(图27.2-8):

      如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

      类似于证明通过三边判定三角形相似的方法,请你自己证明这个定理.

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      由三角形相似的条件可知,若两个直角三角形满足一个锐角对应相等,或两组直角边的比相等,则这两个直角三角形相似.

      思考

      对于两个直角三角形,我们还可以用HL判定它们全等.那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?

      下面,我们就来证明这个结论.

      图27.2-10,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=90°,∠C'=90°,=.求证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

      分析:要证Rt△ABC∽Rt△A'B'C',可设

      法证==.若设==k,

      则只需证=k.

      证明:==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.

      由勾股定理,得BC=,B'C'=.

      ∴ ====k.

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      ∴ ==.

      ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

      27.2.2 相似三角形应用举例

      利用三角形的相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题,下面请看几个例子.

      怎样测出OA的长?

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      page0051

      27.2.3 相似三角形的周长与面积

      思考

      如果两个三角形相似,它们的周长之间有什么关系?两个相似多边形呢?

      我们知道,如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么===k.

      因此 AB=k A'B',BC=kB'C',CA=k C'A',

      从而 ==k.

      由此我们得到:

      相似三角形周长的比等于相似比.

      用类似的方法,还可以得出:

      相似多边形周长的比等于相似比.

      探究

      (1)如图27.2-14(1),△ABC∽△A'B'C',相似比为k1,它们对应高的比是多少?面积的比是多少?

      (2)如图27.2-14(2),四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D',相似比为k2,它们面积的比是多少?

      图27.2-14(1),分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'.

      page0052

      ∵ △ABD和△A'B'D'都是直角三角形,并且∠B=∠B',

      ∴ △ABD∽△A'B'D'.

      ∴ ='.

      ∵ △ABC∽△A'B'C',

      ∴ ==k1.

      ∴ =k1.

      相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比吗?

      所以可以得到:

      相似三角形对应高的比等于相似比.

      由上述结论,我们有==·=k1·k2=k12).

      这样,我们得到:

      相似三角形面积的比等于相似比的平方.

      对于图27.2-14(2)中的四边形,可以把它们划分为两对三角形,则△ABC∽△A'B'C',△ACD∽△A'C'D',我们也可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方.

      对于两个相似多边形,用类似的方法,可以把它们分成若干对相似的三角形,因此可以得到:

      相似多边形面积的比等于相似比的平方.

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      观察与猜想 奇妙的分形图形

      选学

      下面是两个奇妙的图形,你能发现它们有什么共同的特点吗?

      图1叫做谢尔宾斯基地毯,它最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的:把一个正三角形分为全等的4个小正三角形,挖去中间的一个小三角形;对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……将这种做法继续进行下去,就能得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯(图3).这种图形中大大小小的三角形之间有什么关系?

      图2叫做雪花曲线,它可以从一个等边三角形开始来画:把一个等边三角形的每边分成相同的三段,再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形,这样一来就做成了一个六角星.然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形,出现了一个有18个尖角的图形.如此继续下去,就能得到分支越来越多的曲线(图4).继续重复上面的过程,图形的外边界逐渐变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致,越来越像雪花、越来越美丽了.这种图形的产生过程中大大小小的三角形之间有什么关系?

      我们猜想:上面这样的图形中,存在多种相似关系,例如其中大大小小的三角形是相似的.

      page0058

      事实上,上面的图形中都存在自相似性,即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系,这样的图形叫做分形图形.分形图形具有奇特的性质,例如,如果把上面那样画雪花曲线的做法无限地继续下去,雪花曲线的周长可以无限长,但它却可以画在一个小小的格子中;它的尖端可以无限多,无数小尖尖布满了整个曲线,但它们彼此却不会相交.从20世纪70年代起,一个新兴的数学分支——分形几何逐步形成,它的研究对象就是具有自相似性的图形.

      再看一个分形图形的例子.画一个大的正五边形,接着画出内嵌的5个小正五边形(如果算上中间的一个小正五边形,则正好是6个);在每个小正五边形内再画出5个更小的正五边形(图5);继续下去,不断重复此过程(图6),就可以得到有无穷自相似结构的分形图形.你愿意试着画画吗?

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      27.3 位似

      在日常生活中,我们经常见到这样一类相似的图形.

      例如,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上.在照相馆中,摄影师通过照相机,把人物的影像缩小在底片上.图27.3-1显示了一个通过灯光放大图片的简单试验.

      这样的放大或缩小,没有改变图形形状,经过放大或缩小的图形,与原图形是相似的,因此,我们可以得到真实的图片和照片.

      思考

      图27.3-2中有多边形相似吗?如果有,那么这种相似有什么特征?

      图27.3-2每幅图中的两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于

      page0060

      一点,对应边互相平行,像这样的两个图形叫做位似图形(homothetic figures),这个点叫做位似中心.

      利用位似,可以将一个图形放大或缩小.

      例如,要把四边形ABCD缩小到原来的1/2,我们可以在四边形外任取一点O(如图27.3-3),分别在线段OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D',使得====1/2,顺次连接点A',B',C',D',所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形.

      探究

      对于上面的问题,还有其他方法吗?如果在四边形外任取一点O,分别在OA,OB,OC,OD的反向延长线上取A',B',C',D',使得====1/2呢?如果点O取在四边形ABCD内部呢?

      分别画出这时得到的图形.

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      在前面几册教科书中,我们学习了在平面直角坐标系中,如何用坐标表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称).一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.

      探究

      图27.3-4(1),在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为1/3,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?

      图27.3-4(2),△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?

      可以看出,图27.3-4(1)中,把AB缩小后,A,B的对应点为A'(2,1),B'(2,0);A″(-2,-1),B″(-2,0).图27.3-4(2)中,把△ABC放大后,A,B,C的对应点为A'(,),B'(,),C'(,);A″(,), B″(,), C″(,).

      不同方法得到的图形坐标是不同的.

      归纳

      在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

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      还可以找到其他图形吗?自己试一试!

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      至此,我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似,你能说出它们之间的异同吗?你能在图27.3-6所示的图案中找到它们吗?

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      信息技术应用 探索位似的性质

      选学

      利用图形计算器或计算机等信息技术工具,可以很方便地将图形放大或缩小,还可以探索位似的性质,下面以《几何画板》软件为例说明.

      图1,任意画一个△ABC,以点O为位似中心,自选相似比为k,得到位似图形△A'B'C'.

      (1)度量对应边的比,观察结果与k的关系.

      (2)以O为原点建立坐标系,分别度量点A,A'的横坐标,并计算比值;分别度量点A,A'的纵坐标,并计算比值.观察比值与k的关系.其他对应点呢?

      (3)作线段OA,OA',OB,OB',OC,OC',度量它们,你有什么发现?

      (4)任意改变△ABC的位置,你对上面问题得出的结论是否仍然成立?由此,你能得出位似的一些性质吗?

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      1.类似于全等,相似也是图形之间的一种特殊关系.在本章,我们学习了有关相似图形、相似多边形、相似三角形、位似的一些知识.

      2.相似多边形有哪些性质?位似图形呢?如何利用位似将一个图形放大或缩小?

      3.如何判断两个三角形相似?三角形的相似与三角形的全等有什么关系?

      4.举例说明三角形相似的一些应用.

      5.到现在为止,我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位似,你能说出它们之间的异同吗?举出一些它们的实际应用的例子.并结合以上内容,体会从运动的角度研究图形的方法。

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      复习题27

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       第二十八章 锐角三角函数

      第二十八章 锐角三角函数

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      意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜,其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m. 1972年比萨地区发生地震,这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立,但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m,而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜,随时都有倒塌的危险.为此,意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏,2001年竣工,使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm.

      如果要你根据上述信息,用塔身中心线与垂直中心线所成的角θ(如图)来描述比萨斜塔的倾斜程度,你能完成吗?

      从数学角度看,上述问题就是:已知直角三角形的某些边长,求其锐角的度数.对于直角三角形,我们知道三边之间的关系和两个锐角之间的关系,但我们不知道边角之间的关系.因此,这一问题的解答需要学习新的知识.

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      28.1 锐角三角函数

      问题 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35 m,那么需要准备多长的水管?

      这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB(图28.1-1).

      根据在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半,即

      ==1/2,可得AB=2BC=70 m,也就是说,需要准备70 m长的水管.

      思考

      在上面的问题中,如果使出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?

      在上面求AB(所需水管的长度)的过程中,我们用到了结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于1/2.

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      思考

      如图图28.1-2,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比,你能得出什么结论?

      如图(图28.1-2),在Rt△ABC中,∠c=90°,由于∠A=45°,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得

      AB^(2)=AC^(2)+BC^(2)=2BC^(2),

      AB=BC.因此 ===,即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.

      综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于1/2,是一个固定值;当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于,也是一个固定值.一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?

      探究

      任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'(图28.1-3),使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α.那么有什么关系.你能解释一下吗?

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      在图28.1-3中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

      =,即=.

      这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

      图28.1-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即

      sin A==a/c.

      例如,当∠A=30°时,我们有

      sin A=sin 30°=1/2;

      当∠A=45°时,我们有

      sin A=sin 45°=.

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      求sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比;求sin B

      探究

      图28.1-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时,其他边之间的比是否也随之确定?为什么?

      对于锐角A的每一个确定的值,sin A有唯一确定的值与它对应,所以sin A是A的函数.同样地,cos A,tan A也是A的函数.

      类似于正弦的情况,在图28.1-6中,当锐角A的大小确定时,∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的.我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cos A,即

      cos A==b/c;

      把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),

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      记作tan A,即

      tan A==a/b

      锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数(trigonometric function of acute angle).

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      探究

      两块三角尺中有几个不同的锐角?这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少?

      30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:

      锐角α 30° 45° 60°
      三角函数
      sinα 1/2
      cosα 1/2
      tanα 1

      设图28.1-8中每个三角尺较短的边长为1,利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值.

      page0080

      当A,B为锐角时,若A≠B,则

      sin A≠sin B,

      cos A≠cos B,

      tan A≠tan B.

      通过上面的学习我们知道,当锐角A是30°、45°或60°等特殊角时,可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值;如果锐角A不是这些特殊角,怎样得到它的三角函数值呢?

      我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值.

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      例如求sin 18°,利用计算器的sin键,并输入角度值18,得到结果sin 18°=0.309 016 994.

      又如求tan 30°36',利用tan键,并输入角的度、分值(可以使用°′″键),就可以得到答案0.591398351.

      因为30°36'=30.6°,所以也可以利用tan键,并输入角度值30.6,同样得到答案0.591 398 351.

      如果已知锐角三角函数值,也可以使用计算器求出相应的锐角.

      例如,已知sin A=0.5018;用计算器求锐角A可以按照下面方法操作:

      依次按键2ndF sin,然后输入函数值0.5018,得到∠A=30.11915867°(这说明锐角A精确到1°的结果为30°).

      还可以利用2ndF°′″键,进一步得到∠A=30°07'08.97″(这说明锐角A精确到1'的结果为30°7',精确到1″的结果为30°7'9″).

      利用计算器求锐角的三角函数值,或已知锐角三角函数值求相应的锐角时,不同的计算器操作步骤有所不同.

      使用锐角三角函数表,也可以查得锐角的三角函数值,或根据锐角三角函数值求相应的锐角.

      怎样验算求出的∠A=30°7'9″是否正确?

      分析第1(1)题的结果,你能得出什么猜想,你能说明你的猜想吗?

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      阅读与思考 一张古老的三角函数表

      选学

      人们很早以前就开始研究天文学,以便通过观察天上日月星辰的位置和运行,解决有关计时、历法、航海、地理等许多问题.对天体的观察测量离不开计算,这促进了数学的发展,三角函数的产生和发展与天文学有密切的关系.

      保存至今的一张古老的三角函数表,是2世纪的希腊天文学家、地理学家、数学家托勒密(Ptolemy)所著的《天文学大成》一书的一张弦表,它对于当时的天文计算有重要作用.这张弦表和我们现在所用的正弦、余弦三角函数表有所不同,它是把半径为60

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      (古代巴比伦人采用60进制记数,这也影响了希腊人)的圆中x°的弧所对的弦长制成了表,而x的大校加0~180°每隔(1/2)°依次取值.利用我们现在已经学习过的圆和锐角三角函数的知识可知,弧的度数与它所对的圆心角的度数一样,当半径r和圆心角θ确定后,通过解直角三角形可以求出圆心角所对的弦长l=2r sinθ/2(图1).当r为固定值,θ,l在表中对应给出时,就隐含了用1/2r代表sinθ/2的值的关系.因此,这张弦表表面上是由弧的度数θ对应弦长l,实际上隐含了由角θ对应sinθ/2的值.也就是说,它相当于现在的正弦函数(sinα)表,其中的角α(=θ/2)从0~90°每隔(1/4)°依次取值.

      托勒密

      托勒密在《天文学大成》一书中还介绍了他利用几何方法推导弦表的过程,这需要进行许多仔细的推理和计算.由于当时既没有现成的计算公式,又没有先进的计算工具,所以制作这张弦表要付出艰辛的努力.然而,有了这张弦表后,大大促进了三角学在天文测量等应用方面的发展,人们可以直接利用上述计算结果解决有关问题,这带来很多便利,因此托勒密编制弦表在数学史上是值得纪念的一大贡献.

      随着人们对数学研究的不断深入,正弦、余弦、正切等三角函数的概念建立起来,对数的产生使三角函数计算极大地提高了速度,微积分的出现又带来利用级数计算三角函数的方法……后来的三角函数表正是在这些成果的基础上不断改进的.在科学研究、生产实践、军事活动等诸多领域中,这些三角函数表比托勒密编制的弦表发挥了大得多的作用,它们成为许多人手中的、应用极其广泛的计算工具.

      随着现代信息技术的高度发展,人们日益普遍地利用计算机、计算器等进行各种计算,这些与时俱进的变化使计算效率有了新的提高.虽然现在直接查三角函数表的做法越来越少了,但是三角函数表的历史功绩是我们永远不能忘记的.

      page0085

      28.2 解直角三角形

      先看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题.

      1972年的情形:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为点C(如图28.2-1).在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,

      sin A==5.2/54.5≈0.0954,利用计算器可得∠A≈5°28'.

      类似地,可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角.

      如果将上述问题推广到一般情形,就是:已知直角三角形的斜边和一条直角边,求它的锐角的度数.

      一般地,直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.

      探究

      (1)在直角三角形中,除直角外的5个元素之间有哪些关系?

      (2)知道5个元素中的几个,就可以求其余元素?

      图28.2-2,在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除直角C外的5个元素之间有如下关系:

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      (1)三边之间的关系

      a^(2)+b^(2)=c^(2)(勾股定理);

      (2)两锐角之间的关系

      ∠A+∠B=90°;

      (3)边角之间的关系

      sin A==a/c,

      cos A==b/c,

      tan A==a/b.

      上述(3)中的A都可以换成B,同时把a,b互换.

      利用这些关系,知道其中的2个元素(至少有一个是边),就可以求出其余3个未知元素.

      你还有其他方法求出c吗?

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      在解决例3的问题时,我们综合运用了圆和解直角三角形的知识.

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      归纳

      利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:

      (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);

      (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;

      (3)得到数学问题的答案;

      (4)得到实际问题的答案.

      解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用相关知识.例如,当我们要测量如图28.2-8所示大坝的高度h时,只要测出仰角α和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsinα但是,当我们要测量如图28.2-9所示的山高h时,问题就不那么简单了.这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度l.

      与测坝高相比,测山高的困难在于:坝坡是直的,而山坡是曲的.怎样解决这样的问题呢?

      我们设法化曲为直,以直代曲.我们可以把山坡化整为零地划分

      为一些小段,图28.2-10表示其中一部分小段.划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是直的,可以量出这段坡长li,测出相应的仰角αi,这样就可以算出这段山坡的高度hi=lisinαi.

      page0091

      在每个小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再积零为整,把h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h.

      以上解决问题中所用的化整为零,积零为整化曲为直,以直代曲的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容.

      page0092
      page0093

      多年来,很多船只、飞机都在大西洋的一个区域内神秘失踪,这个区域称为百慕大三角,直至现在,人们仍未能破解这个秘密.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      1.我们已经知道直角三角形三边之间的关系和两个锐角之间的关系.通过引进锐角三角函数,我们又建立了它的边角之间的关系,从而使直角三角形得到了更广泛的应用.

      请你总结锐角三角函数的定义过程,并写出各锐角三角函数.

      2.在直角三角形中,已知几个元素就可以解直角三角形?请你根据不同的已知条件(例如已知斜边和一个锐角),归纳相应的解直角三角形的方法.

      3.锐角三角函数在实践中有广泛的应用.你能举例说明这种应用吗?

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      复习题28

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       第二十九章 投影与视图

      第二十九章 投影与视图

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      你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗?影子和物体有着怎样的联系呢?人们从光线照射物体会产生影子得到启发,抽象出投影的概念,并利用投影原理来绘制视图.在生产实践中,制造机器,建筑高楼,设计火箭……无一不和视图密切相关.

      本章中,我们将了解投影的基础知识,并借助投影的原理认识视图,然后进一步讨论:如何由立体图形画出三视图?如何由三视图想象出立体图形?通过学习本章,相信同学们对空间图形的认识会得到进一步的提高.

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      29.1 投影

      物体在日光或灯光的照射下,会在地面、墙壁等处形成影子(图29.1-1),影子既与物体的形状有关,也与光线的照射方式有关.

      一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影(projection),照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

      图29.1-2

      皮影戏是利用灯光的照射,把影子的形态反映在银幕(投影面)上的表演艺术.

      有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(图29.1-3).由平行光线形成的投影是平行投影(parallel proj ection).例如,物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.日影的

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      方向可以反映时间,我国古代的计时器日晷(图29.1-4),就是根据日影来观测时间的.

      日晷是利用日影计时的仪器,通常由铜制的指针和石制的带有刻度的圆盘组成.针影投到刻度盘的不同位置表示不同的时刻.

      由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影(center proj ec-tion).例如,物体在灯泡发出的光照射下形成影子(图29.1-5)就是中心投影.

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      思考

      图(图29.1-6)表示一块三角尺在光线照射下形成投影,其中图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别?图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?

      图(图29.1-6)中,图(1)中的投影线集中于一点,形成中心投影;图(2)(3)中,投影线互相平行,形成平行投影;图(2)中,投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂照射投影面(即投影线正对着投影面),我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样,投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

      在实际制图中,人们经常应用正投影的原理.

      探究

      如图(图29.1-7),把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:

      (1)铁丝平行于投影面;

      (2)铁丝倾斜于投影面;

      (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).

      三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?

      page0103

      通过观察、测量可知:

      (1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB______A1B1

      (2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2

      (3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点A3.

      探究

      图29.1-8,把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:

      (1)纸板平行于投影面;

      (2)纸板倾斜于投影面;

      (3)纸板垂直于投影面.

      三种情形下纸板的正投影各是什么形状?

      通过观察、测量可知:

      (1)当纸板P平行于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小一样;

      (2)当纸板P倾斜于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小发生变化;

      (3)当纸板P垂直于投影面Q时,P的正投影成为一条线段.

      归纳

      当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.

      page0104

      人们经常根据上述规律绘制图纸.

      不妨用一个盒子作为模型,观察它在墙壁上的投影.

      page0105

      物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.

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      29.2 三视图

      当我们从某一角度观察一个物体时,所看到的图象叫做物体的一个视图(view).视图也可以看作物体在某一角度的光线下的投影.对于同一物体,如果从不同角度观察,所得到的视图可能不同.

      我们知道,单一的视图通常只能反映物体的一个方面的形状,为了全面地反映物体的形状,生产实践中往往采用多个视图来反映物体不同方面的形状.例如图29.2-1中右侧的视图,可以多角度地反映飞机的形状.

      本章中,我们只讨论三视图.图29.2-2是同一本书的三个不同的视图.

      你能说出这三个视图分别是从哪个方向观察这本书时得到的吗?

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      如图29.2-3(1),我们用三个互相垂直的平面(例如墙角处的三面墙壁)作为投影面,其中正对着我们的叫做正面,正面下方的叫做水平面,右边的叫做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内同时进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图,叫做左视图.

      如图29.2-3(2),将三个投影面展开在一个平面内,得到这一物体的一张三视图(由主视图、俯视图和左视图组成).三视图中的各视图,分别从不同方面表示物体,三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.

      三视图与以前我们学习的从三个方向看物体所得到的图象是一致的,现在我们又从投影的角度来认识这个问题,并且对三个方向作了更明确的规定.

      图29.2-3

      三视图位置有规定,主视图要在左上边,它下方应是俯视图,左视图坐落在右边.

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      三视图中,主视图与俯视图表示同一物体的长,主视图与左视图表示同一物体的高,左视图与俯视图表示同一物体的宽,因此三个视图的大小是互相联系的.画三视图时,三个视图要放在正确的位置,并且使主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等.

      在实际生活中人们经常遇到各种物体,这些物体的形状虽然经常各不相同,但是它们一般是由一些基本几何体(柱体、锥体、球等)组合或切割而成的,因此会画、会看基本几何体的视图是非常必要的.

      三视图中各视图的大小有什么关系?

      正对着物体看,物体左右之间的水平距离、前后之间的水平距离、上下之间的竖直距离,分别对应这里所说的长、宽、高.

      主视图反映物体和长和高,俯视图反映物体的长和宽,左视图反映物体的高和宽.

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      画出三视图后,可以擦去图中的辅助线.

      画组合体的三视图时,构成组合体的各个部分的视图也要注意长对正,高平齐,宽相等.

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      前面我们讨论了由立体图形(实物)画出三视图,下面我们讨论由三视图想象出立体图形(实物).

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      请对照三视图与想象出的立体图形,指出三视图中各线条分别是立体图形哪部份的投影.

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      阅读与思考 视图的产生与应用

      选学

      人们很早就意识到图形语言具有特殊的作用.例如,三千多年前古代埃及的建筑师们要清楚而详尽地表明他们设计的金字塔等伟大建筑物,只用文字表述不行,而必须画图说明问题.在人们探索如何确切地表示物体的立体形状的过程中,产生并发展了视图的知识.

      金字塔(埃及)

      意大利艺术家拉斐尔利用透视原理创作的名画《雅典学派》.画面上不同时代的希腊学者济济一堂,数学家毕达哥拉斯和欧几里得也在其中.

      画视图要考虑视线与物体的位置关系,不同的位置关系产生不同的视觉效果,这就是说研究视图不能不研究投影.公元前1世纪,古罗马建筑师维特鲁厄斯写成了《建筑学》

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      这部古老的著作,其中包括水平投影、正面投影、中心投影和透视作图法的一些早期问题.文艺复兴时期,透视理论有了较大的发展,这一时期许多的艺术作品都应用了透视的原理,而透视原理与中心投影有密切的关系.

      画法几何是几何学的一个分支,视图是它研究的主要内容,投影理论是它的基础.法国几何学家加斯帕尔·蒙日(Gaspard Monge)对画法几何的发展有重要贡献.1764年蒙日用自制的测量工具画出家乡城镇的大比例平面图,1765年他用画法几何原理绘制了防御工程设计图,但由于军事保密的缘故,他的研究成果30年以后才得以公开.1798~1799年蒙日的《画法几何》出版,它第一次系统阐述在平面内绘制空间物体的一般方法.由于画法几何在工程中有着广泛的应用,因此画法几何又被称为工程师的语言.

      蒙日的《画法几何》中使用的视图是二视图,二视图由主视图和俯视图组成.后来根据实际需要,由二视图发展为今天在工程中广泛使用的三视图.

      你能否举出这样的例子:两个物体的形状不同,但是它们的二视图相同.由这样的例子,你能体会到为什么三视图比二视图有更广泛的应用吗?

      加斯帕尔·蒙日

      (1746—1818)

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      29.3 课题学习

      观察三视图,并综合考虑各视图所表示的意思以及视图间的联系,可以想象出三视图所表示的立体图形的形状,这是由视图转化为立体图形的过程.下面我们通过动手实践来体会一下这个过程.

      一、课题学习目的

      通过根据三视图制作立体模型的实践活动,体验平面图形向立体图形转化的过程,体会用三视图表示立体图形的作用,进一步感受立体图形与平面图形之间的联系.

      二、工具准备

      刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯(或萝卜)等.

      三、具体活动

      1.以硬纸板为主要材料,分别做出下面的两组视图(图29.3-1)所表示的立体模型.

      2.按照下面给出的两组视图(图29.3-2),用马铃薯(或萝卜)做出相应的实物模型.

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      3.下面的每一组平面图形(图29.3-3)都是由四个等边三角形组成的.

      (1)指出其中哪些可以折叠成多面体.把上面的图形描在纸上,剪下来,叠一叠,验证你的答案;

      (2)画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图,并指出三视图中是怎样体现长对正,高平齐,宽相等的;

      (3)如果上图中小三角形的边长为1,那么对应的多面体的表面积是多少?

      四、课题拓广

      三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形,了解有关生产实际,结合具体例子,写一篇短文介绍三视图、展开图的应用.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      1.投影是怎样得到的?什么是正投影?平面图形平行于投影面时它的正投影有什么性质?

      2.什么是三视图?它是怎样得到的?画三视图要注意什么?

      3.怎样根据三视图想象物体的形状?

      4.举例说明立体图形与其三视图、展开图可以如何转化,体会平面图形与立体图形之间的联系.

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      复习题29

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       第十一章 三角形

      第十一章 三角形

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      三角形是一种基本的几何图形.从古埃及的金字塔到现代的建筑物,从巨大的钢架桥到微小的分子结构,到处都有三角形的形象.为什么在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构呢?这与三角形的性质有关.

      一个三角形有三个角、三条边.三个角之间有什么关系?三条边之间有什么关系?在小学我们通过测量得知三角形的内角和等于180°,但测量常常有误差,三角形有无数多个,要说明任意一个三角形都符合这一规律,就不能只靠测量,而必须通过推理证明.本章中,我们就来证明这个结论.

      三角形是最简单的多边形,也是认识其他图形的基础.本章将在学习与三角形有关的线段和角的基础上,学习多边形的有关知识,如借助三角形的内角和探究多边形的内角和.学习本章后,我们不仅可以进一步认识三角形,而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法.

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      11.1 与三角形有关的线段

      11.1.1 三角形的边

      在本章引言中,我们提到许多三角形的实际例子.

      由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形(triangle).

      在图 11.1-1中,线段AB,BC,CA是三角形的边.点A,B,C是三角形的顶点.∠A,∠B,∠C是相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角.

      顶点是A,B,C的三角形,记作△ABC,读作三角形ABC.

      △ABC的三边,有时也用a,b, c来表示.如图 11.1-l,顶点A所对的边BC用a表示,顶点B所对的边AC用b表示,顶点C所对的边AB用c表示.

      我们知道:三边都相等的三角形叫做等边三角形(图 11.1-2(1));有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(图 11.1-2(2)).

      图 11.1-2(3)中的三角形是三边都不相等的三角形.

      思考

      我们知道,按照三个内角的大小,可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.如何按照边的关系对三角形进行分类呢?说说你的想法,并与同学交流.

      以是否有边相等,可以将三角形分为两类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.

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      我们还知道:在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.

      等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.

      综上,三角形按边的相等关系分类如下:

      三角形

      探究

      任意画一个△ABC,从点B出发,沿三角形的边到点C,有几条线路可以选择?各条线路的长有什么关系?能证明你的结论吗?

      对于任意一个△ABC,如果把其中任意两个顶点(例如B,C)看成定点,由两点之间,线段最短可得

      AB+AC〉BC.①同理有

      AC+BC〉AB,②

      AB+BC〉AC.③

      一般地,我们有

      三角形两边的和大于第三边.

      由不等式②③移项可得BC〉AB-AC,BC〉AC-AB.这就是说,三角形两边的差小于第三边.

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      11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

      与三角形有关的线段,除了三条边,还有我们已经学过的三角形的高.如图 11.1-3,从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高(altitude).

      用同样方法,你能画出△ABC的另两条边上的高吗?

      我们再来看两种与三角形有关的线段.

      图 11.1-4(1),连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线(median).

      用同样方法,你能画出△ABC的另两条边上的中线吗?

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      取一块质地均匀的三角形木板,顶住三条中线的交点,木板会保持平衡,这个平衡点就是这块三角形木板的重心.

      图 11.1-4(2),三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

      图 11.1-5,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线(angular bisector).

      画出△ABC的另两条角平分线,观察三条角平分线,你有什么发现?

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      11.1.3 三角形的稳定性

      工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋顶钢架(图 11.1-6 (1)),其中的道理是什么?盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条(图 11.1-6 (2)).为什么要这样做呢?

      探究

      图 11.1-7 (1),将三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?

      图 11.1-7 (2),将四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?

      图 11. 1-7 (3),在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对不相邻的顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?为什么?

      可以发现,三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.这就是说,三角形是具有稳定性的图形,而四边形没有稳定性.

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      还可以发现,斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后,四边形变成两个三角形,由于三角形有稳定性,斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形.

      三角形的稳定性有广泛的应用,图 11.1-8表示其中一些例子.你能再举一些例子吗?

      四边形的不稳定性也有广泛的应用,图 11.1-9表示其中一些例子.

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      信息技术应用

      画图找规律

      1.在计算机上用《几何画板》软件任意画一个三角形,再画出它的三条中线,你发现了什么规律?然后随意改变所画三角形的形状,看看这个规律是否改变.三角形的三条高有这个规律吗?三条角平分线呢?

      2.在计算机上用《几何画板》软件任意画一个三角形,量出它的各内角并计算它们的和.然后随意改变所画三角形的形状,再量出变化后的各内角,计算内角和.由此,你能得出什么结论?

      3.在计算机上用《几何画板》软件任意画一个四边形,量出它的各内角并计算它们的和.然后随意改变所画四边形的形状,再量出变化后的各内角,计算内角和.由此,你能得出什么结论?

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      11.2 与三角形有关的角

      11.2.1 三角形的内角

      我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.我们是通过度量或剪拼得出这一结论的.

      通过度量或剪拼的方法,可以验证三角形的内角和等于180°.但是,由于测量常常有误差,这种验证不是数学证明,不能完全让人信服;又由于形状不同的三角形有无数个,我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.所以,需要通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和一定等于180°.

      探究

      在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,就得到一个平角.从这个操作过程中,你能发现证明的思路吗?

      上面的拼合中,有不同的方法.你用了图 11.2-1中的哪种方法?

      图 11.2-1(1)中,∠B和∠C分别拼在∠A的左右,三个角合起来形成一个平角,出现一条过点A的直线l,移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上.想一想,直线l与△ABC的边BC有什么关系?由这个图你能想出证明三角形的内角和等于180°的方法吗?

      由上述拼合过程得到启发,过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC(图 11.2-2),那么由平行线的性质与平角的定义就能证明三角形的内角和等于180°这个结论.

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      已知:△ABC(图 11.2-2).

      求证:∠A+∠B+∠C=180°.

      证明:如图 11.2-2,过点A作直线l,使l∥BC.

      ∵l∥BC,

      ∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).

      同理∠3=∠5.

      ∵∠1,∠4,∠5组成平角,

      ∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).

      ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).

      以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,得到如下定理:

      三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.

      图 11.2-1(2),你能想出这个定理的其他证法吗?

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      你还能想出其他解法吗?

      图 11.2-5

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      思考

      我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗?请你说说理由.

      由三角形内角和定理可得:

      有两个角互余的三角形是直角三角形.

      11.2.2 三角形的外角

      图 11.2-7,把△ABC的一边BC延长,得到∠A C D.像这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.

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      思考

      图 11.2-8,在△ABC中,∠A=70°,∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗?如果能,∠ACD与∠A,∠B有什么关系?

      任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系?

      一般地,由三角形内角和定理可以推出下面的推论(请同学们自己证明):

      三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

      推论是由定理直接推出的结论.和定理一样,推论可以作为进一步推理的依据.

      你还有其他解法吗?

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      阅读与思考

      为什么要证明

      小明:我们观察任意一个三角形,量出它的每个内角,都能得出它的内角和等于180°,为什么还要证明这个结论呢?

      李老师:通过观察、试验等可以寻找规律,但是由于观察可能有误差,试验可能受干扰,考察对象可能不具有一般性等原因,一般来说由观察、试验等所产生的结论未必正确.例如,让一个班的学生每人任意画一个三角形,再量出它的每个内角,计算三个内角的和,得到的结果未必全是180°,可能有的会比180°大些,有的会比180°小些.

      小明:如果观察细致,仪器精确,不产生误差,还需要证明吗?

      李老师:仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力.例如,即使不考虑误差等因素,当上面观察的所有结果全是180°时,人们还会有疑问:不同形状的三角形有无数个,我们画出并验证的只是其中有限个,其余的三角形的内角和是多少呢?能对所有的三角形都进行验证吗?事实上,不管我们经历多长时间,画出多少个三角形,观察、试验的对象也是有限个.因此,要确认三角形的内角和等于180°,就不能依靠度量的手段和观察、试验、验证的方法,而必须进行推理论证——对于一般的三角形,推出它的三个内角的和等于一个平角,从而得出无论三角形的具体形状如何,它的内角和一定等于180°.

      小明:现在我明白了,一个数学命题是否正确,需要经过理由充足、使人信服的推理论证才能得出结论.观察、试验等是发现数学公式、定理的重要途径,而证明则是确认数学公式、定理的必要步骤.

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      11.3 多边形及其内角和

      11.3.1 多边形

      观察图 11.3-1中的图片,其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段围成的图形的形象,你能从图 11.3-1中想象出几个由一些线段围成的图形吗?

      我们学过三角形.类似地,在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形(polygon).

      多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形.如图 11.3-2,螺母底面的边缘可以设计为六边形,也可以设计为八边形.

      多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.图 11.3-3中的∠A,∠B,∠C,∠D,∠E是五边形ABCD E的5个内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.图 11.3-4中的∠1是五边形ABCDE的一个外角.

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      连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线(diagonal).图 11.3-5中,AC,AD是五边形ABCD E的两条对角线.

      五边形ABCDE共有几条对角线?请画出它的其他对角线.

      如图 11.3-6(1),画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线,整个四边形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形.而图11.3-6(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形,因为画出边CD(或BC)所在直线,整个四边形不都在这条直线的同一侧.类似地,画出多边形的任何一条边所在直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,那么这个多边形就是凸多边形.本节只讨论凸多边形.

      我们知道,正方形的各个角都相等,各条边都相等.像正方形这样,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形(regular polygon).图 11.3-7是正多边形的一些例子.

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      11.3.2 多边形的内角和

      思考

      我们知道,三角形的内角和等于180°,正方形、长方形的内角和都等于360°.那么,任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗?

      要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°,只要将四边形分成几个三角形即可.

      图 11.3-8,在四边形ABCD中,连接对角线AC,则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.

      由此可得

      ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D

      =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D

      =(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D).

      ∵∠1+∠B+∠3=180°,

      ∠2+∠4+∠D=180°,

      ∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°.即四边形的内角和等于360°.

      类比上面的过程,你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗?

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      观察图 11.3-9,填空:

      从五边形的一个顶点出发,可以作____条对角线,它们将五边形分为____个三角形,五边形的内角和等于180°×____.

      从六边形的一个顶点出发,可以作____条对角线,它们将六边形分为____个三角形,六边形的内角和等于180°×____.

      通过以上过程,你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?

      一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,它们将n边形分为(n-2)个三角形,n边形的内角和等于180°×(n-2).

      这样就得出了多边形内角和公式:

      n边形内角和等于(n-2)×180°.

      把一个多边形分成几个三角形,还有其他分法吗?由新的分法,能得出多边形内角和公式吗?

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      思考

      如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数),可以得到同样结果吗?

      由上面的思考可以得到:

      多边形的外角和等于360°.

      你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°.

      图 11.3-12,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形的各边走过各顶点,再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和,就是多边形的外角和.由于走了一周,所转的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.

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      数学活动

      活动1

      有些地板的拼合图案如图 1所示,它是用正方形的地砖铺成的.用地砖铺地,用瓷砖贴墙,都要求砖与砖严丝合缝,不留空隙,把地面或墙面全部覆盖.从数学角度看,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题.

      下面我们来探究一些多边形能否镶嵌成平面图案,并思考为什么会出现这种结果.

      (1)分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形,如果用其中一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图案?如果用其中两种正多边形镶嵌,哪两种正多边形能镶嵌成一个平面图案?

      (2)任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板,拼拼看,它们能否镶嵌成平面图案.

      三角形

      四边形

      (3)任意剪出一些形状、大小相同的四边形纸板,拼拼看,它们能否镶嵌成平面图案.

      你还可以搜集一些其他用多边形镶嵌的平面图案,或者设计一些地板的平面镶嵌图,并与同学互相交流.

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      在本章中,我们进一步研究了三角形,如探索并证明了三角形三边之间的关系以及三角形内角和定理.类似地,我们研究了多边形,如探索并证明了多边形内角和公式.

      三角形内角和定理是几何中一个很重要的结论,它可以由平行线的性质与平角的定义证明.由这一定理可以进一步得出直角三角形两个锐角的关系以及三角形外角的有关结论.

      三角形是最简单的多边形.在研究多边形时,我们常常将它分为几个三角形,再利用三角形的性质得出多边形的有关结论.例如,本章得到的多边形的内角和公式就是上述方法的应用.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.三角形的三边之间有怎样的关系?得出这个结论的依据是什么?

      2.三角形的三个内角之间有怎样的关系?如何证明这个结论?

      3.直角三角形的两个锐角有怎样的关系?三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系?这些结论能由三角形内角和定理得出吗?

      4. n边形的n个内角有怎样的关系?如何推出这个结论?

      5. n边形的外角和与n有关吗?为什么?

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       第十二章 全等三角形

      第十二章 全等三角形

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      在我们的周围,经常可以看到形状、大小完全相同的图形,这样的图形叫做全等形.研究全等形的性质和判定两个图形全等的方法,是几何学的一个重要内容.本章将以三角形为例,对这些问题进行研究.

      上一章我们通过推理论证得到了三角形内角和定理等重要结论.本章中,推理论证将发挥更大的作用.我们将通过证明三角形全等来证明线段或角相等,利用全等三角形证明角的平分线的性质.通过本章学习,你对三角形的认识会更加深入,推理论证能力会进一步提高.

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      12.1 全等三角形

      图 12.1-1所示的例子中都有形状、大小相同的图形,你能再举出一些类似的例子吗?

      探究

      把一块三角尺按在纸板上,画下图形,照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗?把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗?从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形,放在一起也能够完全重合吗?

      可以看到,形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形(congruent figures).

      能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(congruent triangles).

      思考

      图 12.1-2(1)中,把△ABC沿直线BC平移,得到△DEF.

      图 12.1-2(2)中,把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC.

      图 12.1-2(3)中,把△ABC绕点A旋转,得到△ADE.

      各图中的两个三角形全等吗?

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      一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.

      把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.例如,图 12.1-2(1)中的△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点;AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.

      全等用符号≌表示,读作全等于.

      记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如,图 12.1-2(2)中的△ABC和△DBC全等,点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点,记作△ABC≌△DBC.

      思考

      12.1-2(1)中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?对应角呢?

      全等三角形有这样的性质:

      全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.

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      12.2 三角形全等的判定

      我们知道,如果△ABC≌△A' B'C',那么它们的对应边相等,对应角相等.反过来,根据全等三角形的定义,如果△ABC与△A'B'C'满足三条边分别相等,三个角分别相等,即

      AB=A'B', BC=B'C', CA=C'A',

      ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',就能判定△ABC≌△A'B'C'(图 12.2-1).

      一定要满足三条边分别相等,三个角也分别相等,才能保证两个三角形全等吗?上述六个条件中,有些条件是相关的.能否在上述六个条件中选择部分条件,简捷地判定两个三角形全等呢?

      本节我们就来讨论这个问题.

      探究1

      先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?

      通过画图可以发现,满足上述六个条件中的一个或两个,△ABC与△A'B'C'不一定全等.满足上述六个条件中的三个,能保证△ABC与△A'B'C'全等吗?

      我们分情况进行讨论.

      探究2

      先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把画好的△A'B'C'剪下来,放到△ABC上,它们全等吗?

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      画一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC:

      (1)画B'C'=BC;

      (2)分别以点B',C'为圆心,线段AB,AC长为半径画弧,两弧相交于点A';

      (3)连接线段A'B',A'C'.

      图 12.2-2给出了画△A'B'C'的方法,你是这样画的吗?探究2的结果反映了什么规律?

      由探究2可以得到以下基本事实,用它可以判定两个三角形全等:

      三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成边边边或SSS).

      我们曾经做过这样的实验:将三根木条钉成一个三角形木架,这个三角形木架的形状、大小就不变了.就是说,三角形三条边的长度确定了,这个三角形的形状、大小也就确定了.

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      想一想,为什么这样作出的∠A'O'B'和∠AOB是相等的?

      探究3

      先任意画出一个△ABC.再画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A(即两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A'B'C'剪下来,放到△ABC上,它们全等吗?

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      画一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A:

      (1)画∠DA'E=∠A;

      (2)在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;

      (3)连接B'C'.

      图 12.2-5给出了画△A'B'C'的方法.你是这样画的吗?探究3的结果反映了什么规律?

      由探究3可以得到以下基本事实,用它可以判定两个三角形全等:

      两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成边角边或SAS).

      也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.

      想一想,∠1=∠2的根据是什么?AB=DE的根据是什么?

      从例2可以看出:因为全等三角形的对应边相等,对应角相等,所以证明线段相等或者角相等时,常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.

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      思考

      图 12.2-7,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC.固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD.这个实验说明了什么?

      图 12.2-7中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等,即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.

      探究4

      先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即两角和它们的夹边分别相等).把画好的△A'B'C'剪下来,放到△ABC上,它们全等吗?

      画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B:

      (1)画A'B'=AB;

      (2)在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A,∠EB'A'=∠B,A'D,B'E相交于点C'.

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      图 12.2-8给出了画△A'B'C'的方法.你是这样画的吗?探究4的结果反映了什么规律?

      由探究4可以得到以下基本事实,用它可以判定两个三角形全等:

      两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成角边角或ASA).

      也就是说,三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.

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      因此,我们可以得到下面的结论:

      两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成角角边或AAS).

      也就是说,三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.

      思考

      三角分别相等的两个三角形全等吗?解答上述问题后,把三角形全等的判定方法做一个小结.

      思考

      对于两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形就全等了?

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      由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了.如果满足斜边和一条直角边分别相等,这两个直角三角形全等吗?

      探究5

      任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB.把画好的Rt△A'B'C'剪下来,放到Rt△ABC上,它们全等吗?

      画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB:

      (1)画∠MC'N=90°;

      (2)在射线C'M上截取B'C'=BC;

      (3)以点B'为圆心,AB为半径画弧,交射线C'N于点A';

      (4)连接A'B'.

      图 12.2-11给出了画Rt△A'B'C'的方法.你是这样画的吗?探究5的结果反映了什么规律?

      由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法:

      斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成斜边、直角边或HL).

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      信息技术应用

      探究三角形全等的条件

      用《几何画板》软件的绘图功能可以方便地根据给定条件画出三角形,还可以测量三角形中边和角的大小,从而帮助我们探究三角形全等的条件.

      1.按照下面的步骤画一个△ABC,使得AB=2cm,BC=5cm,AC=6cm.

      图 1

      (1)任意画一条直线l,在l上取两点B,C,使BC=5cm;

      (2)以点C为圆心,6cm为半径画一个圆;

      (3)以点B为圆心,2cm为半径画一个圆,与半径为6cm的圆交于两个点,取其中的一个点为A;

      (4)连接AB,BC,CA,隐藏所有的圆和直线l.

      测量△ABC的三条边的长度和三个角的大小.你画出的三角形及测量结果与图1相同吗?由此你能得到什么结论?

      2.按照下面的步骤画一个△ABC,使得AB=4cm,BC=5cm,∠ABC=75°.

      图 2

      (1)任意画一条直线l,在l上取两点B,C,使BC=5cm;

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      (2)连接BC,以点B为中心,将BC逆时针旋转75°,得到BC';

      (3)在BC'上取点A,使AB=4cm;

      (4)连接AB,CA,隐藏直线l和BC'.

      测量△ABC的三条边的长度和三个角的大小.你画出的三角形及测量结果与图2相同吗?由此你能得到什么结论?

      3.按照下面的步骤画一个△ABC,使得∠A=45°,∠B=75°,∠C=60°.

      图 3

      (1)任意画一条直线l,在l上任意取两点B,C,连接BC;

      (2)以点B为中心,将BC逆时针旋转75°,得到BC';

      (3)以点C为中心,将BC顺时针旋转60°,得到CB';

      (4)记BC'与CB'的交点为A,连接AB,CA,隐藏直线l和BC',CB'.

      测量△ABC的三条边的长度和三个角的大小.你画出的三角形及测量结果与图3相同吗?由此你能得到什么结论?

      4.分别按角边角角角边和边边角的条件画几个三角形,每组三角形全等吗?请你总结一下判定三角形全等的条件.

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      12.3 角的平分线的性质

      思考

      图 12.3-1是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗?

      这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法.

      已知:∠AOB.

      求作:∠AOB的平分线.

      作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.

      (2)分别以点M,N为圆心,大于1/2 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.

      (3)画射线OC.射线OC即为所求(图 12.3-2).

      思考

      图 12.3-3,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你得到什么结论?在OC上再取几个点试一试.

      通过以上测量,你发现了角的平分线的什么性质?

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      我们猜想角的平分线有以下性质:

      角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

      下面,我们利用三角形全等证明这个性质.首先,要分清其中的已知和求证.显然,已知为一个点在一个角的平分线上,要证的结论为这个点到这个角两边的距离相等.为了更直观、清楚地表达题意,我们通常在证明之前画出图形,并用符号表示已知和求证.

      图 12.3-4,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证P D=P E.

      一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即

      1.明确命题中的已知和求证;

      2.根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证;

      3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.

      思考

      图 12.3-5,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20000)?

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      我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?利用三角形全等,可以得到

      角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

      根据上述结论,就知道这个集贸市场应建于何处了.

      按照上述证明命题的步骤,自己证一证这个结论.

      想一想,点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?

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      数学活动

      活动1

      图 1是两个根据全等形设计的图案.仔细观察一下,每个图案中有哪些全等形?有哪些全等三角形?

      注意一下你的身边,哪些是全等形?哪些是全等三角形?各找几个例子与同学交流.

      活动2 用全等三角形研究筝形

      图 2,四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.请你自己画一个筝形,用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质,然后用全等三角形的知识证明你的猜想.

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们学习了全等三角形的性质和判定方法.如果两个三角形全等,那么它们的对应元素(对应的边、角等)都相等,这就是全等三角形的性质;判定三角形全等的条件是边边边边角边角边角或角角边,而对于直角三角形的全等,还可以用斜边、直角边来判定.

      用全等三角形的定义判定三角形全等,需要六个条件.通过画图找规律、推理论证等方法,我们减少条件,找到了更简便的判定方法.由此看出,实验操作和推理论证都能帮助我们获得新的结论.

      利用全等三角形知识,通过推理论证,我们得到了角的平分线的性质.今后遇到证明线段相等或角相等的问题,可以尝试先判定两个三角形全等,再利用其对应边相等或对应角相等解决问题.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.你能举一些实际生活中全等形的例子吗?

      2.全等三角形有什么性质?

      3.从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时,哪些是能够判定的?两个直角三角形全等的条件是什么?

      4.学习本章后,你对角的平分线有了哪些新的认识?你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗?

      5.你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗?

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       第十三章 轴对称

      第十三章 轴对称

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      我们生活在一个充满对称的世界中:许多建筑都设计成对称形,艺术作品的创作往往也从对称角度考虑,自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!

      轴对称是一种重要的对称.本章我们将从生活中的对称出发,学习几何图形的轴对称,并利用轴对称来研究等腰三角形,进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法,由此可以体会图形变化在几何研究中的作用.

      让我们一起探索轴对称的奥秘吧!

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      13.1 轴对称

      13.1.1 轴对称

      对称现象无处不在,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的例子(图 13.1-1).

      图 13.1-2,把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,就得到了美丽的窗花.观察得到的窗花,你能发现它们有什么共同的特点吗?

      像窗花一样,如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形(axisymmetric figure),这条直线就是它的对称轴(axis of symmetry).这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.你能举出一些轴对称图形的例子吗?

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      思考

      下面的每对图形有什么共同特点?

      图 13.1-3中的每一对图形沿着虚线折叠,左边的图形能与右边的图形重合.

      像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点(symmetric points).你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗?

      请你标出图 13.1-3中点A. B. C的对称点A',B',C'.

      思考

      成轴对称的两个图形全等吗?如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗?这两个图形对称吗?

      把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称.

      思考

      图 13.1-4,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A',B',C'分别是点A,B,C的对称点,线段AA',BB',CC'与直线MN有什么关系?

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      图 13.1-4中,点A,A'是对称点,设AA'交对称轴MN于点P,将△ABC或△A'B'C'沿MN折叠后,点A与A'重合.于是有

      AP=PA',∠MPA=∠MPA'=90°.

      对于其他的对应点,如点B与B',点C与C'也有类似的情况.因此,对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.

      经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(perpendicu1ar bisector).这样,我们就得到图形轴对称的性质:

      如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

      类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.例如图 13.1-5中,l垂直平分AA',l垂直平分BB'.

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      13.1.2 线段的垂直平分线的性质

      探究

      图 13.1-6,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?

      可以发现,点P1,P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折,线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3 B……都是重合的,因此它们也分别相等.

      由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质:

      线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

      利用判定两个三角形全等的方法,也可以证明这个性质.

      图 13.1-7,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.求证PA=PB.

      证明:∵l⊥AB,

      ∴∠PCA=∠PCB.

      又AC=CB,PC=PC,

      ∴△PCA≌△PCB(SAS).

      ∴PA=PB.

      反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?通过证明可以得到:

      与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

      你能证明这个结论吗?

      从上面两个结论可以看出:在线段AB的垂直平分线l上的点与A,B的距离都相等;反过来,与A,B的距离相等的点都在l上,所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.

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      想一想,为什么直线CF就是所求作的垂线?

      思考

      有时我们感觉两个平面图形是轴对称的,如何验证呢?不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗?

      如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.

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      13.2 画轴对称图形

      图 13.2-1,在一张半透明的纸的左边部分,画一只左脚印.把这张纸对折后描图,打开对折的纸,就能得到相应的右脚印.这时,右脚印和左脚印成轴对称,折痕所在直线就是它们的对称轴,并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.类似地,请你再画一个图形做一做,看看能否得到同样的结论.

      归纳

      由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

      思考

      如果有一个图形和一条直线,如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢?

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      画好后,你也可以通过折叠的方法验证一下.

      归纳

      几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.

      下面,我们探究在直角坐标系中,分别以x轴和y轴为对称轴时,一对对称点的坐标之间的关系.

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      思考

      图 13.2-3是一幅老北京城的示意图,其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,根据如图所示的东直门的坐标,你能说出西直门的坐标吗?

      在如图 13.2-4的平面直角坐标系中,画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点,并把它们的坐标填入表格中,看看每对对称点的坐标有怎样的规律,再和同学讨论一下.

      已知点A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D(1/2,1) E(4,0)关于x轴的对称点A'(____,____) B'(____,____) C'(____,____) D'(____,____) E'(____,____)关于y轴的对称点A''(____,____) B''(____,____) C''(____,____) D''(____,____) E''(____,____)

      再找几个点,分别画出它们的对称点,检验一下你发现的规律.

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      归纳

      点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);

      点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).

      利用上述规律,我们也可以很容易地在平面直角坐标系中画出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形.

      图 13.2-5

      对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形.

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      信息技术应用

      用轴对称进行图案设计

      利用图形计算器或计算机等信息技术工具,可以直观地发现轴对称的性质,并利用轴对称进行图案设计.下面以《几何画板》软件为例说明.

      图 1,任意画一个图形,作这个图形关于直线l对称的图形,改变直线l的位置,或者改变其中一个图形的位置,通过观察可以得到对应点所连线段与对称轴的关系.

      图 2,画一个△ABC,以y轴为对称轴作轴对称图形,得到△A'B'C',度量点A,A'的坐标,可以观察它们的坐标有什么关系;再度量点B,B'的坐标,同样可以观察它们的坐标有什么关系.

      改变三角形的位置,观察它们的坐标有什么变化;再分别度量点A,A',B,B'的

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      坐标,观察它们的坐标有什么关系.由此我们可以得到关于y轴对称的点的坐标的关系.

      用同样的方法,可以得到关于x轴对称的点的坐标关系.

      我们可以利用多次轴对称进行下面的图案设计.

      对称轴平行,如图 3.

      对称轴不平行,如图 4.

      请你利用上面的方法设计一些图案,并与同学交流.

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      13.3 等腰三角形

      13.3.1 等腰三角形

      我们知道,有两边相等的三角形是等腰三角形(isosceles triangle).下面,我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形的性质.

      探究

      图 13.3-1,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特点?

      上述过程中,剪刀剪过的两条边是相等的,即△ABC中AB=AC,所以△ABC是等腰三角形.

      探究

      把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角.

      由这些重合的线段和角,你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想.

      在一张白纸上任意画一个等腰三角形,把它剪下来,请你试着折一折.你的猜想仍然成立吗?

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      我们可以发现等腰三角形的性质:

      性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成等边对等角);

      性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成三线合一).

      由上面的操作过程获得启发,我们可以利用三角形的全等证明这些性质.

      图 13.3-2,△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD.

      由△BAD≌△CAD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA,从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.

      用类似的方法,还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,底边上的高平分顶角并且平分底边.这也就证明了性质2.

      从以上证明也可以得出,等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.

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      思考

      我们知道,如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角相等.反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?

      图 13.3-4

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      由上面推证,我们可以得到等腰三角形的判定方法:

      如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成等角对等边).

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      13.3.2 等边三角形

      我们知道,等边三角形(equilateral triangle)是三边都相等的特殊的等腰三角形.

      思考

      把等腰三角形的性质用于等边三角形,能得到什么结论?一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形?

      由等腰三角形的性质和判定方法,可以得到:

      等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.

      三个角都相等的三角形是等边三角形.

      有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

      请你自己证明这些结论.

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      图 13.3-8,将两个含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?

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      △ADC是△ABC的轴对称图形,因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°,从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=1/2AB.于是我们得到:

      在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

      你还能用其他方法证明吗?

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      实验与探究

      三角形中边与角之间的不等关系

      学习了等腰三角形,我们知道:在一个三角形中,等边所对的角相等;反过来,等角所对的边也相等.那么,不相等的边(或角)所对的角(或边)之间的大小关系怎样呢?大边所对的角也大吗?

      图 1,在△ABC中,如果AB〉AC,那么我们可以将△ABC折叠,使边AC落在AB上,点C落在AB上的D点,折线交BC于点E,则

      ∠C=∠A D E.

      ∵∠ADE〉∠B(想一想为什么),

      ∴∠C〉∠B.

      这说明,在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大.

      从上面的过程可以看出,利用轴对称的性质,可以把研究边与角之间的不等问题,转化为较大量的一部分与较小量相等的问题,这是几何中研究不等问题时常用的方法.

      类似地,应用这种方法,你能说明在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大吗(图 2)?

      利用上面两个结论,回答下面的问题:

      (1)在△ABC中,已知BC〉AB〉AC,那么∠A,∠B,∠C有怎样的大小关系?

      (2)如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,这个三角形一定是锐角三角形吗?为什么?

      (3)直角三角形的哪一条边最长?为什么?

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      13.4 课题学习最短路径问题

      前面我们研究过一些关于两点的所有连线中,线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短等的问题,我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所学知识选择最短路径.

      问题1 如图 13.4-1,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

      如果把河边l近似地看成一条直线(图 13.4-2),C为直线l上的一个动点,那么,上面的问题可以转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小.由这个问题,我们可以联想到下面的问题:

      图 13.4-3,点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短?

      利用已经学过的知识,可以很容易地解决上面的问题,即:连接AB,与直线l相交于一点,根据两点之间,线段最短,可知这个交点即为所求.

      现在,要解决的问题是:点A,B分别是直线l同侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短?

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      如果我们能把点B移到l的另一侧B'处,同时对直线l上的任一点C,都保持CB与CB'的长度相等,就可以把问题转化为图 13.4-3的情况,从而使新问题得到解决.你能利用轴对称的有关知识,找到符合条件的点B'吗?

      图 13.4-4,作出点B关于l的对称点B',利用轴对称的性质,可以得到CB'=CB.这样,问题就转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB'的和最小?

      图 13.4-5,在连接A,B'两点的线中,线段AB'最短.因此,线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求.

      为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C'(图13.4-5),连接AC',BC',B'C',证明A C+C B〈A C'+C'B.你能完成这个证明吗?

      问题2(造桥选址问题)如图 13.4-6,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)

      我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b(图 13.4-7),N为直线b上的一个动点,MN垂直于直线b,交直线a于点M,这样,上面的问题可以转化为下面的问题:当点N在直线b的什么位置时,AM+MN+NB最小?

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      由于河岸宽度是固定的,因此当A M+N B最小时,AM+MN+NB最小.这样,问题就进一步转化为:当点N在直线b的什么位置时,AM+NB最小?能否通过图形的变化(轴对称、平移等),把图 13.4-7的情况转化为图 13.4-3的情况?

      图 13.4-8,将AM沿与河岸垂直的方向平移,点M移动到点N,点A移动到点A',则AA'=MN,AM+NB=A'N+NB.这样,问题就转化为:当点N在直线b的什么位置时,A'N+NB最小?

      图 13.4-9,在连接A',B两点的线中,线段A'B最短.因此,线段A'B与直线b的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径AMNB是最短的.

      为了证明点N的位置即为所求,我们不妨在直线b上另外任意取一点N',过点N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM',A'N',N'B,证明AM+MN+N B〈A M'+M'N'+N'B.你能完成这个证明吗?

      归纳

      在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.

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      数学活动

      活动1 美术字与轴对称

      在美术字中,有些汉字、英文字母和阿拉伯数字是轴对称的.如图 1,画出这些汉字、英文字母和数字的对称轴,或者把它们补齐.

      米田喜非

      你能再写出几个轴对称的美术字吗?画出它们的对称轴,并与同学交流.

      活动2 利用轴对称设计图案

      利用轴对称,我们可以由一个基本图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过程,可以得到美丽的图案(图 2图 3).

      自己动手在一张半透明的纸上画一个图形,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么?改变折痕的位置并重复几次,你又得到了什么?与同学交流一下.

      有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更丰富的图案,许多镶边和背景的图案就是这样设计的(图 4).

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      展开你的想象,从一个或几个图形出发,利用轴对称或与平移进行组合,设计一些图案,并与同学交流.

      活动3 等腰三角形中相等的线段

      猜想一下,等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?如图 5,你可以将等腰三角形ABC沿对称轴AD折叠,观察DE与DF的关系,并证明你的结论.

      如果DE,DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,∠ADC的平分线,它们还相等吗?由等腰三角形是轴对称图形,利用类似的方法,还可以得到等腰三角形中哪些线段相等?证明其中的一些结论.

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      小结

      一、本章知识结构图

      生活中的轴对称

      二、回顾与思考

      轴对称是图形变化的方法之一,它在现实生活中有广泛的应用.本章首先学习了轴对称图形、轴对称及其性质,然后学习了轴对称图形的画法,并利用轴对称知识研究等腰三角形,通过推理论证得到了等腰三角形及等边三角形的性质和判定方法.

      等腰三角形是特殊的三角形,也是多边形中最简单的轴对称图形.利用它的轴对称性,我们不仅发现了等腰三角形的一些性质,同时还从中找到了证明这些性质的思路.借助图形的变化研究图形的性质,是几何中常用的方法.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.在现实世界中存在着大量的轴对称现象,你能举出一些例子吗?成轴对称的图形有什么特点?

      2.在我们学过的几何图形中,有哪些是轴对称图形?它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系?

      3.对于成轴对称的两个图形,对应点所连线段与对称轴有什么关系?如何作出一个图形的轴对称图形?

      4.在平面直角坐标系中,如果两个图形关于x轴或y轴对称,那么对称点的坐标有什么关系?请举例说明.

      5.利用等腰三角形的轴对称性,我们发现了它的哪些性质?你能通过全等三角形加以证明吗?等边三角形作为特殊的等腰三角形,有哪些特殊性质?

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       第十四章 整式的乘法与因式分解

      第十四章 整式的乘法与因式分解

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      为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长pm,宽bm的长方形绿地,向两边分别加宽am和cm,你能用几种方法表示扩大后的绿地面积?不同的表示方法之间有什么关系?如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系?

      回答上面的问题,要用到整式的乘法与因式分解的知识.本章我们将在七年级学习整式的加减法的基础上,继续学习整式的乘法与因式分解,它们是代数运算以及解决许多数学问题的重要基础.我们可以类比数的运算,以运算律为基础,得到关于整式的乘法运算与因式分解的启发.

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      14.1 整式的乘法

      14.1.1 同底数幂的乘法

      问题1 一种电子计算机每秒可进行1千万亿(10^(15))次运算,它工作10^(3) s可进行多少次运算?

      它工作10^(3) s可进行运算的次数为10^(15)×10^(3).怎样计算10^(15)×10^(3)呢?

      根据乘方的意义可知

      在2010年全球超级计算机排行榜中,中国首台千万亿次超级计算机系统天河一号雄居第一,其实测运算速度可以达到每秒2570万亿次.

      探究

      根据乘方的意义填空,观察计算结果,你能发现什么规律?

      (1)2^(5)×2^(2)=2^(());

      (2)a^(3)·a^(2)=a^(());

      (3)5^(m)×5=5^(()).

      一般地,对于任意底数a与任意正整数m,n,

      因此,我们有

      a^(m)·a^(n)=a^(m)+^(n)(m,n都是正整数).

      即同底数幂相乘,底数不变.指数相加.

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      a=a^(1).

      14.1.2 幂的乘方

      探究

      根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,观察计算结果,你能发现什么规律?

      (1)(3^(2))^(3)=3^(2)×3^(2)×3^(2)=3^(());

      (2)(a^(2))^(3)=a^(2)·a^(2)·a^(2)=a^(());

      (3)(a^(m))^(3)=a^(m)·a^(m)·a^(m)=a^(())(m是正整数).

      一般地,对于任意底数a与任意正整数m,n,

      因此,我们有

      (a^(m))^(n)=a^(mn)(m,n都是正整数).

      即幂的乘方,底数不变,指数相乘.

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      14.1.3 积的乘方

      探究

      填空,运算过程用到哪些运算律?运算结果有什么规律?

      (1)(ab)^(2)=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a^(())b^(());

      (2)(ab)^(3)=____=____=a^(())b^(()).

      一般地,对于任何底数a,b与任意正整数n,

      积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘

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      14.1.4 整式的乘法

      问题2 光的速度约是3×10^(5k)m/s,太阳光照射到地球上需要的时间约是5×10^(2) s,你知道地球与太阳的距离约是多少吗?

      地球与太阳的距离约是(3×10^(5))×(5×10^(2))km.

      地球与太阳的距离约是15×10^(7)=1.5×10^(8)(k m).

      思考

      (1)怎样计算(3×10^(5))×(5×10^(2))?计算过程中用到哪些运算律及运算性质?

      (2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac^(5)·bc^(2),怎样计算这个式子?

      ac^(5)·bc^(2)是单项式ac^(5)与bc^(2)相乘,我们可以利用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质来计算:

      ac^(5)·bc^(2)=(a·b)·(c^(5)·c^(2))=abc^(5+2)=abc^(7).

      一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

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      下面我们来看本章引言中提出的问题.

      为了求扩大后的绿地面积,一种方法是先求扩大后的绿地的边长,再求面积,即为

      p(a+b+c).①

      我们也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积,再求它们的和,即为

      pa+pb+pc.②

      由于①②表示同一个数量,所以

      p(a+b+c)=pa+pb+pc.

      上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法.

      这个结果也可以由图 14.1-1看出.

      你能根据分配律得到这个等式吗?

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      一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

      把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题.

      问题3 如图 14.1-2,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长am、宽pm的长方形绿地,加长了bm,加宽了qm.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?

      扩大后的绿地可以看成长为(a+b)m,宽为(p+q)m的长方形,所以这块绿地的面积(单位:m^(2))为

      (a+b)(p+q).

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      扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成,所以这块绿地的面积(单位:m^(2))为

      ap+aq+bp+bq.

      因此(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.

      上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法.

      计算(a+b)(p+q),可以先把其中的一个多项式,如p+q,看成一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得再利用单项式与多项式相乘的法则,得

      a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq.

      总体上看,(a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项,再把所得的积相加而得到的,即

      一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

      把多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘的问题.

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      至此,我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在整式运算中,有时还会遇到两个整式相除的情况.由于除法是乘法的逆运算,因此我们可以利用整式的乘法来讨论整式的除法.

      首先来看同底数幂相除的情况.

      我们来计算a^(m)÷a^(n)(a≠0,m,n都是正整数,并且m〉n).

      根据除法是乘法的逆运算,计算被除数除以除数所得的商,就是求一个数,使它与除数的积等于被除数.由于式中的字母表示数,所以可以用类似的方法来计算a^(m)÷a^(n).

      ∵a^(m-n)·a^(n)=a(^(m-n))^(+n)=a^(m),

      ∴a^(m)÷a^(n)=a^(m-n).

      一般地,我们有

      a^(m)÷a^(n)=a^(m-n)(a≠0,m,n都是正整数,并且m〉n).

      即同底数幂相除,底数不变,指数相减.

      同底数幂相除,如果被除式的指数等于除式的指数,例如a^(m)÷a^(m),根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面,如果依照同底数幂的除法来计算,又有a^(m)÷a^(m)=a^(m-m)=a^(0).

      于是规定

      a^(0)=1(a≠0).

      这就是说,任何不等于0的数的0次幂都等于1.

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      一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

      12a^(3) b^(2)x^(3)÷3ab^(2)是(12a^(3)b^(2)x^(3))÷(3ab^(2))的意思.

      对于多项式除以单项式,例如,计算(am+bm)÷m,就是要求一个多项式,使它与m的积是am+bm.

      ∵(a+b)m=am+bm,

      ∴(am+bm)÷m=a+b.

      又am÷m+bm÷m=a+b,

      ∴(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m.

      一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

      把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决.

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      14.2 乘法公式

      某些特殊形式的多项式相乘,可以写成公式的形式,当遇到相同形式的多项式相乘时,就可以直接运用公式写出结果.

      14.2.1 平方差公式

      探究

      计算下列多项式的积,你能发现什么规律?

      (1)(x+1)(x-1)=____;(2)(m+2)(m-2)=____;

      (3)(2x+1)(2x-1)=____上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.由于

      (a+b)(a-b)=a^(2)-ab+ab-b^(2

      =a^(2)-b^(2),

      所以,对于具有与此相同形式的多项式相乘,我们可以直接写出运算结果,即

      (a+b)(a-b)=a^(2)-b^(2).

      也就是说,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

      这个公式叫做(乘法的)平方差公式(formula for the difference of squares).

      平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a,q=-b的特殊情形.

      思考

      你能根据图 14.2-1中图形的面积说明平方差公式吗?

      page0108

      你还有其他的计算方法吗?

      只有符合公式条件的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按乘法法则进行.

      page0109

      14.2.2 完全平方公式

      探究

      计算下列多项式的积,你能发现什么规律?

      (1)(p+1)^(2)=(p+1)(p+1)=____;

      (2)(m+2)^(2)=____;

      (3)(p-1)^(2)=(p-1)(p-1)=____;

      (4)(m-2)^(2)=____.

      上面的几个运算都是形如(a±b)^(2)的多项式相乘,由于

      (a+b)^(2)=(a+b)(a+b)=a^(2)+ab+ab+b^(2

      =a^(2)+2ab+b^(2),

      (a-b)^(2)=(a-b)(a-b)=a^(2)-ab-ab+b^(2

      =a^(2)-2ab+b^(2),

      所以,对于具有与此相同形式的多项式相乘,我们可以直接写出运算结果,即

      (a+b)^(2)=a^(2)+2ab+b^(2),

      (a-b)^(2)=a^(2)-2ab+b^(2).

      也就是说,两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.

      这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式(formu1a for the square of the sum).

      完全平方公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a,q=b的特殊情形.

      思考

      你能根据图 14.2-2图 14.2-3中图形的面积说明完全平方公式吗?

      page0110

      思考

      (a+b)^(2)与(-a-b)^(2)相等吗?(a-b)^(2)与(b-a)^(2)相等吗?(a-b)^(2)与a^(2)-b^(2)相等吗?为什么?

      page0111

      运用乘法公式计算,有时要在式子中添括号.在第二章中,我们学过去括号法则,即

      a+(b+c)=a+b+c;

      a-(b+c)=a-b-c.

      反过来,就得到添括号法则:

      a+b+c=a+(b+c);

      a-b-c=a-(b+c).

      也就是说,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

      有些整式相乘需要先作适当变形,然后再用公式.

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      阅读与思考

      杨辉三角

      我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的数学是我国人民所擅长的学科一文中谈到,我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列.他说:实际上我们祖国伟大人民在人类史上,有过无比睿智的成就.其中杨辉三角(图 1)就是一例.

      在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》(1261年)一书中,用图1的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在注释中提到,在他之前北宋数学家贾宪(1050年左右)也用过上述方法,因此我们称这个三角形为杨辉三角或贾宪三角.

      杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和.事实上,这个三角形给出了(a+b)^(n)(n=1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律.例如,此三角形中第3行的3个数1,2,1,恰好对应着(a+b)^(2)=a^(2)+2ab+b^(2)展开式中的各项的系数;第4行的4个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)^(3)=a^(3)+3a^(2)b+3ab^(2)+b^(3)展开式中各项的系数,等等.

      利用上面的三角形,你能写出(a+b)^(6)的展开式吗?请利用整式的乘法验证你的结果.

      这个三角形被欧洲学者称为帕斯卡三角.法国数学家帕斯卡(Pascal,1623-1662)于1654年发现了此三角形.

      page0114

      14.3 因式分解

      我们知道,利用整式的乘法运算,有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.反过来,在式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.

      探究

      请把下列多项式写成整式的乘积的形式:

      (1)x^(2)+x=____;(2)x^(2)-1=____.根据整式的乘法,可以联想得到

      x^(2)+x=x(x+1),

      x^(2)-1=(x+1)(x-1).

      上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解(factorization),也叫做把这个多项式分解因式.

      可以看出,因式分解与整式乘法是方向相反的变形,即

      下面我们学习因式分解的两种基本方法.

      14.3.1 提公因式法

      我们看多项式

      pa+pb+pc,它的各项都有一个公共的因式p,我们把因式p叫做这个多项式各项的公因式(common factor).

      由p(a+b+c)=pa+pb+pc,可得

      pa+pb+pc=p(a+b+c).

      这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商.

      page0115

      一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

      下面我们看几个利用提公因式法分解因式的例子.

      如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式?

      如何检查因式分解是否正确?

      page0116

      14.3.2 公式法

      思考

      多项式a^(2)-b^(2)有什么特点?你能将它分解因式吗?

      这个多项式是两个数的平方差的形式.由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形,把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a^(2)-b^(2)的等号两边互换位置,就得到

      a^(2)-b^(2)=(a+b)(a-b),

      即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.

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      分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

      思考

      多项式a^(2)+2ab+b^(2)与a^(2)-2ab+b^(2)有什么特点?你能将它们分解因式吗?

      这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,这恰是两个数的和或差的平方,我们把a^(2)+2ab+b^(2)和a^(2)-2ab+b^(2)这样的式子叫做完全平方式,利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解.

      把整式乘法的完全平方公式

      (a+b)^(2)=a^(2)+2ab+b^(2),

      (a-b)^(2)=a^(2)-2ab+b^(2)的等号两边互换位置,就得到

      a^(2)+2ab+b^(2)=(a+b)^(2),

      a^(2)-2ab+b^(2)=(a-b)^(2),

      即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.

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      可以看出,如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.

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      阅读与思考

      x^(2)+(p+q)x+pq型式子的因式分解

      x^(2()+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式,如何将这种类型的式子进行因式分解呢?

      在第102页的练习第2题中,我们发现,(x+p)(x+q)=x^(2)+(p+q)x+pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出:

      (x+p)(x+q)

      =x^(2)+px+qx+pq

      =x^(2)+(p+q)x+pq.

      因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得

      x^(2)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).①

      利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如,将式子x^(2)+3x+2分解因式.这个式子的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,因此这是一个x^(2)+(p+q)x+pq型的式子.利用①式可得x^(2)+3x+2=(x+1)(x+2).

      上述分解因式x^(2)+3x+2的过程,也可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(图 1).

      这样,我们也可以得到x^(2)+3x+2=(x+1)(x+2).

      利用这种方法,你能将下列多项式分解因式吗?

      (1)x^(2)+7x+10;(2)x^(2)-2x-8;

      (3)y^(2)-7y+12;(4)x^(2)+7x-18.

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      数学活动

      活动1

      我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律:

      15×15=1×2×100+25=225,

      25×25=2×3×100+25=625,

      35×35=3×4×100+25=1225,

      你能写出一般的规律吗?你能用本章所学知识证明你的结论吗?

      活动2

      (1)计算下列两个数的积(这两个数的十位上的数相同,个位上的数的和等于10),你发现结果有什么规律?

      53×57,38×32,84×86,71×79.

      (2)你能用本章所学知识解释这个规律吗?

      (3)利用你发现的规律计算:

      58×52,63×67,75^(2),95^(2).

      page0123

      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法.整式的乘法主要包括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法等.利用除法是乘法的逆运算,学习了简单的整式除法.并学习了因式分解这种与整式的乘法方向相反的变形.它们都是进一步学习的重要基础.

      由于整式中的字母表示数,因此数的运算律和运算性质在整式的运算中仍然成立.在整式的乘法中,多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法,而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算.因此,幂的运算是基础,单项式的乘法是关键.整式的除法也与此类似.

      因式分解是与整式的乘法方向相反的变形.整式的乘法是把几个整式相乘,得到一个新的整式;而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘.知道了这种关系,不仅有助于理解因式分解的意义,而且也可以把整式乘法的过程反过来,得到分解因式的方法.

      某些具有特殊形式的多项式相乘,可以写成乘法公式的形式,利用它们可以简化运算.把乘法公式的等号两边交换位置,就得到了分解因式的相应公式.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算?请举例说明.

      2.举例说明怎样将多项式乘(除以)单项式转化为单项式的乘除.多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的?

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      3.本章学习了哪几个乘法公式?你能说出它们的结构特点吗?你能从几何直观的角度用图形解释乘法公式吗?

      4.举例说明因式分解与整式乘法之间的关系,你学习了哪几种分解因式的方法?请举例说明.

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       第十五章 分式

      第十五章 分式

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      一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间,与以最大航速逆流航行60km所用时间相等,江水的流速为多少?

      如果设江水流速为vkm/h,则轮船顺流航行90km所用时间为h,逆流航行60km所用时间为h,由方程=可以解出v的值.

      这样分母中含有字母的式子都是分式.本章中,我们将类比分数学习分式,解一些分式方程,并利用分式的知识解决一些实际问题.

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      15.1 分式

      15.1.1 从分数到分式

      思考

      填空:

      (1)长方形的面积为10cm^(2),长为7cm,则宽为____cm;长方形的面积为S,长为a,则宽为____.

      (2)把体积为200cm^(3)的水倒入底面积为33cm^(2)的圆柱形容器中,则水面高度为____cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,则水面高度为____.

      上面问题中,填出的依次是10/7,S/a,200/33,V/S.

      同5÷3可以写成5/3一样,式子A÷B可以写成A/B

      思考

      式子S/a,V/S以及引言中的式子有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不同点?

      可以发现,这些式子与分数一样都是A/B(即A÷B)的形式.分数的分子A与分母B都是整数,而这些式子中的A与B都是整式,并且B中都含有字母.

      一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A/B叫做分式(fraction).分式A/B中,A叫做分子,B叫做分母.

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      分式是不同于整式的另一类式子.上面的S/a,V/S,等都是分式.由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性.例如,分数2/3仅表示2÷3的商,而分式x/y既可以表示2÷3,又可以表示(-5)÷2,8÷(-9)等.

      思考

      我们知道,要使分数有意义,分数中的分母不能为0.要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件?

      分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式A/B才有意义.

      如无特别声明,本章出现的分式都有意义.

      page0129

      15.1.2 分式的基本性质

      由分数的基本性质可知,如果数c≠0,那么

      2/3=2c/3c,4c/5c=4/5.

      一般地,对于任意一个分数a/b,有

      a/b=,a/b=(c≠0),其中a,b,c是数.

      分数的基本性质:

      一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数,分数的值不变.

      思考

      类比分数的基本性质,你能猜想分式有什么性质吗?

      分式的基本性质:

      分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.

      上述性质可以用式子表示为

      A/B=,A/B=(c≠0),其中A,B,C是整式.

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      看分母如何变化,想分子如何变化.

      看分子如何变化,想分母如何变化.

      我们知道,分数的约分和通分在分数的运算中起着非常重要的作用.类似地,分式的约分和通分在分式的运算中也有非常重要的作用.下面讨论分式的约分和通分.

      思考

      联想分数的约分,由例2你能想出如何对分式进行约分吗?

      与分数的约分类似,在例2(1)中,我们利用分式的基本性质,约去的分子和分母的公因式3x,不改变分式的值,把化为

      page0131

      .像这样,根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分(reduction of a fraction).经过约分后的分式,其分子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式(fraction in lowest terms).同样地,被约分成也是最简分式.

      分式的约分,一般要约去分子和分母所有的公因式,使所得结果成为最简分式或者整式.

      如果分子或分母是多项式,先分解因式对约分有什么作用?

      思考

      联想分数的通分,由例2你能想出如何对分式进行通分吗?

      与分数的通分类似,在例2(2)中,我们利用分式的基本性质,将分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把1/ab和化成分母相同的分式.像这样,根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分(reduction of fractions to a common denominator).

      page0132

      2a^(2)b的因式有2,a^(2),b;ab^(2)c的因式有a,b^(2),c.两式中所有因式的最高次幂的积是2a^(2)b^(2)c.

      思考

      分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点?这些做法的根据是什么?

      page0133
      page0134
      page0135

      15.2 分式的运算

      15.2.1 分式的乘除

      问题1 一个水平放置的长方体容器,其容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的m/n时,水面的高度为多少?

      长方体容器的高为V/ab,水面的高度为V/ab·m/n

      问题2 大拖拉机m天耕地a hm^(2),小拖拉机n天耕地b hm^(2),大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?

      大拖拉机的工作效率是a/m hm^(2)/天,小拖拉机的工作效率是b/n hm^(2)/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的a/m÷b/n倍.

      从上面的问题可知,为讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算.

      分式与分数具有类似的形式,我们可以类比分数的运算法则认识分式的运算法则.

      思考

      你还记得分数的乘除法法则吗?类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则吗?

      类似于分数,分式有:

      乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.

      除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

      上述法则可以用式子表示为

      page0136

      a/b·c/d=

      a/b÷c/d=a/b·d/c=.

      运算结果应化为最简分式.

      分子、分母是多项式时,通常先分解因式,再约分.

      page0137
      page0138

      乘除混合运算可以统一为乘法运算.

      思考

      (a/b)^(2)=?(a/b)^(3)=?(a/b)^(10)=?根据乘方意义和分式乘法法则,可得:

      (a/b)^(2)=a/b·a/b==

      (a/b)^(3)=a/b·a/b·a/b=____;

      (a/b)^(10)=____.

      一般地,当n是正整数时,

      (a/b)^(n)=.

      这就是说,分式乘方要把分子、分母分别乘方.

      page0139

      式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除.

      15.2.2 分式的加减

      问题3 甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?

      甲工程队一天完成这项工程的1/n,乙工程两队共同工作一天完成这项工程的(1/n+).队一天完成这项工程的

      问题4 2009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位:km^(2))分别是S1,S2,S3,2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了多少?

      2011年的森林面积增长率是,2010年的森林面积增长率是

      page0140
      ,2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了-

      从上面的问题可知,为讨论数量关系,有时需要进行分式的加减运算.

      思考

      分式的加减法与分数的加减法类似,它们的实质相同.观察下列分数加减运算的式子:1/5+2/5=3/5,1/5-2/5=-1/5,1/2+1/3=3/6+2/6=5/6,1/2-1/3=3/6-2/6=1/6.你能将它们推广,得出分式的加减法法则吗?

      类似分数的加减法,分式的加减法法则是:

      同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;

      异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.

      上述法则可用式子表示为

      a/c±b/c=

      a/b±c/d=ad/bd±bc/bd=

      结果也可以写成

      4p/(2p+3q)(2p-3q).

      page0141

      式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减.

      page0142

      15.2.3 整数指数幂

      我们知道,当n是正整数时,

      正整数指数幂有以下运算性质:

      (1)a^(m)·a^(n)=a^(m+n)(m,n是正整数);

      (2)(a^(m))^(n)=a^(mn)(m,n是正整数);

      (3)(ab)^(n)=a^(n)b^(n)(n是正整数);

      (4)a^(m)÷a^(n)=a^(m-n)(a≠0,m,n是正整数,m〉n);

      (5)(a/b)^(n)=(n是正整数).其中,第(5)个性质就是分式的乘方法则.

      此外,我们还学习过0指数幂,即当a≠0时,a^(0)=1.

      思考

      a^(m)中指数m可以是负整数吗?如果可以,那么负整数指数幂a^(m)表示什么?

      page0143

      由分式的约分可知,当a≠0时,

      a^(3)÷a^(5)===.①

      另一方面,如果把正整数指数幂的运算性质(4)

      a^(m)÷a^(n)=a^(m-n)(a≠0,m,n是正整数,m〉n)中的条件m〉n去掉,即假设这个性质对于像a^(3)÷a^(5)的情形也能使用,则有

      a^(3)÷a^(5)=a^(3-5)=a^(-2).②

      由①②两式,我们想到如果规定a^(-2)=(a≠0),就能使a^(m)÷a^(n)=a^(m-n)这条性质也适用于像a^(3)÷a^(5)这样的情形.为使上述运算性质适用范围更广,同时也可以更简便地表示分式,数学中规定:

      一般地,当n是正整数时,

      a^(-n)=(a≠0).这就是说,a^(-n)(a≠0)是a^(n)的倒数.

      引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推广到全体整数.

      学习了分式后,对指数的认识会有新发展.即将讨论的a^(-n)(n是正整数)就属于分式.

      你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时,a^(m)各表示什么意思吗?

      思考

      引入负整数指数和0指数后,a^(m)·a^(n)=a^(m)+^(n)(m,n是正整数)这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形?

      我们从特殊情形入手进行研究.例如,

      a^(3)·a^(-5)===a^(-2)=a^(3+(-5)),即

      a^(3)·a^(-5)=a^(3+(-5));a^(-3)·a^(-5)=·==a^(-8)=a^((-3))^(+(-5)),即

      a^(-3)·a^(-5)=a^((-3)+(-5));a^(0)·a^(-5)=1·==a^(-5)=a^(0+(-5)),即

      a^(0)·a^(-5)=a^(0+(-5)).

      可以换其他整数指数再验证这个规律.

      page0144

      归纳

      a^(m)·a^(n)=a^(m+n)这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用.

      探究

      类似地,你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验,看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用.

      事实上,随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数,前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.

      根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,a^(m)÷a^(n)=a^(m-n),a^(m)·a^(-n)=a^(m+(-n))=a^(m-n),因此a^(m)÷a^(n)=a^(m)·a^(-n),即同底数幂的除法a^(m)÷a^(n)可以转化为同底数幂的乘法a^(m)·a^(-n).特别地,a/b=a÷b=a·b^(-1),所以(a/b)^(n)=(a·b^(-1))^(n),即商的乘方(a/b)^(n)可以转化为积的乘方(a·b^(-1)n).这样,整数指数幂的运算性质可以归结为:

      (1)a^(m)·a^(n)=a^(m+n)(m,n是整数);

      (2)(a^(m))^(n)=a^(mn)(m,n是整数);

      (3)(ab)^(n)=a^(n)b^(n)(n是整数).

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      我们已经知道,一些较大的数适合用科学记数法表示.例如,光速约为3×10^(8) m/s,太阳半径约为6.96×10^(5k)m,2010年世界人口数约为6.9×10^(9)等.

      有了负整数指数幂后,小于1的正数也可以用科学记数法表示.例如,0.00001=10^(-5),0.0000257=2.57×10^(-5),0.0000000257=2.57×10^(-8)等,即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10^(-n)的形式,其中1≤a〈10,n是正整数.这种形式更便于比较数的大小,例如2.57×10^(-5)显然大于2.57×10^(-8),前者是后者的10^(3)倍.

      思考

      对于一个小于1的正小数,如果小数点后至第一个非0数字前有8个0,用科学记数法表示这个数时,10的指数是多少?如果有m个0呢?

      纳米技术是一种高新技术,它可以在微观世界里直接探索0.1~500nm范围内物质的特性,从而创造新材料.这项技术有重要应用.

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      阅读与思考

      容器中的水能倒完吗

      请看下面的问题:

      一个容器装有1 L水,按照如下要求把水倒出:第1次倒出1/2L水,第2次倒出的水量是1/2L的1/3,第3次倒出的水量是1/3L的1/4,第4次倒出的水量是1/4L的1/5……第n次倒出的水量是1/nL的……按照这种倒水的方法,这1 L水经多少次可以倒完?

      你可能会想到通过实验探寻问题的答案,但是实验中要精确地测量倒出的水量,当倒出的水量很小时测量的难度非常大.我们不考虑实际操作因素,将上面的问题抽象成数学模型加以解决.

      容易列出倒n次水倒出的总水量为

      根据分式的减法法则,

      反过来,有

      利用②可以把①改写为

      合并③中的相反数,得1-,即倒n次水倒出的总水量为

      可以发现,从数学上看,随着倒水次数n的不断增加,倒出的总水量也不断增加.然而,不论倒水次数n有多大,倒出的总水量总小于1.因此,按这种方法,容器中的1 L水是倒不完的.

      page0149

      15.3 分式方程

      现在回到本章引言中的问题.

      为解决引言中提出的问题,我们得到了方程

      方程①的分母中含未知数v,像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程(fractional equation).我们以前学习的方程都是整式方程,它们的未知数不在分母中.

      思考

      如何解分式方程①?

      我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法,但是分式方程的分母中含未知数,因此解分式方程是一个新的问题.能否将分式方程化为整式方程呢?我们自然会想到通过去分母实现这种转变.

      分式方程①中各分母的最简公分母是(30+v)(30-v).把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程,解这个整式方程可得方程①的解.

      解:方程①两边乘(30+v)(30-v),得

      90(30-v)=60(30+v).

      解得

      v=6.

      检验:将v=6代入①中,左边=5/2=右边,因此v=6是分式方程①的解.

      由上可知,江水的流速为6km/h.

      将方程①化成整式方程的关键步骤是什么?

      归纳

      解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是去分母,即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.

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      下面我们再讨论一个分式方程

      为去分母,在方程两边乘最简公分母(x-5)(x+5),得整式方程

      x+5=10.

      解得

      x=5.

      将x=5代入原分式方程检验,发现这时分母x-5和x^(2)-25的值都为0,相应的分式无意义.因此,x=5虽是整式方程x+5=10的解,但不是原分式方程=的解.实际上,这个分式方程无解.

      x=5是原分式方程的解吗?

      思考

      上面两个分式方程中,为什么=①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而=②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?

      解分式方程去分母时,方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30-v),得到整式方程,它的解v=6.当v=6时,(30+v)(30-v)≠0,这就是说,去分母时,①两边乘了同一个不为0的式子,因此所得整式方程的解与①的解相同.

      方程②两边乘(x-5)(x+5),得到整式方程,它的解x=5.当x=5时,(x-5)(x+5)=0,这就是说,去分母时,②两边乘了同一个等于0的式子,这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象,因此这样的解不是②的解.

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      一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:

      将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.

      归纳

      解分式方程的一般步骤如下:

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      解决实际问题中,有时需要列、解分式方程.

      问题中的哪个等量关系可以用来列方程?

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      表达问题时,用字母不仅可以表示未知数(量),也可以表示已知数(量).

      上面例题中,出现了用一些字母表示已知数据的形式,这在分析问题寻找规律时经常出现.方程①是以x为未知数的分式方程,其中v,s是已知数,根据它们所表示的实际意义可知,它们是正数.

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      数学活动

      活动1 探究比例的性质

      找一组都不为0的数a,b,c,d,使得分式a/b=c/d成立(即a,b,c,d成比例).由这组数值计算下面各组中的两个分式的值,看看它们之间有什么关系.

      (1)a/c和b/d;(2)b/a和d/c;

      (3);(4)(a≠b,c≠d).

      多找几组这样的数a,b,c,d试一试.

      试猜想各组中的两个分式之间的关系,并证明你的猜想.

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      分式与分数具有类似的形式,也具有类似的性质和运算.本章通过与分数进行类比,得出分式的基本性质,引入分式的运算.本章还讨论了可化为一元一次方程的分式方程的解法,并应用它解决了一些实际问题.解分式方程的基本思路是:先通过去分母将分式方程化归为整式方程,求出整式方程的解,再经过检验得到分式方程的解.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.如何用式子形式表示分式的基本性质和运算法则?通过比较分数和分式的基本性质和运算法则,你有什么认识?类比的方法在本章的学习中起什么作用?

      2.分式怎样约分和通分?依据是什么?

      3. n是正整数时,a^(-n)(a≠0)表示什么意思?整数指数幂有哪些运算性质?

      4.怎样解分式方程?解分式方程要注意什么?为什么解分式方程要检验?

      5.方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型,你能结合利用分式方程解决实际问题的实例,谈谈你的体会吗?

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       第十六章 二次根式

      第十六章 二次根式

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      电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h(单位:km)与电视节目信号的传播半径r(单位:km)之间存在近似关系r=,其中R是地球半径,R≈6400km.如果两个电视塔的高分别是h1km,h2km,那么它们的传播半径之比是.你能将这个式子化简吗?

      化简这个式子需要二次根式的有关知识。我们学过整式的运算、分式的运算.如何进行二次根式的运算呢?这就是本章要解决的主要问题.通过本章学习,可以为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础.

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      16.1 二次根式

      思考

      用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:

      (1)面积为3的正方形的边长为____,面积为S的正方形的边长为____.

      (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m^(2),则它的宽为____m.

      (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)

      与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t^(2).如果用含有h的式子表示t,那么t为____.

      上面问题的结果分别是,它们表示一些正数的算术平方根.

      我们知道,一个正数有两个平方根;0的平方根为0;在实数范围内,负数没有平方根.因此,在实数范围内开平方时,被开方数只能是正数或0.

      一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式(quadratic radical),称为二次根号.

      思考

      当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?呢?

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      当a>0时,表示a的算术平方根,因此>0;当a=0时,表示0的算术平方根,因此=0.这就是说,当a≥0时,≥0.

      探究

      根据算术平方根的意义填空:

      )^(2)=___;()^(2)=___;

      )^(2)=___;()^(2)=___.

      是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数.因此有()^(2)=4.

      同理,分别是2,1/3,0的算术平方根.因此有()^(2)=2,()^(2)=1/3,()^(2)=0.

      一般地,

      )^(2)=a(a≥0).

      例2(2)用到了(ab)^(2)=a^(2)b^(2)这个结论.

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      探究

      填空:

      =___;=___;

      =___;=___.

      可以得到

      =2,=0.1,=2/3,=0.

      一般地,根据算术平方根的意义,

      =a(a≥0).

      回顾我们学过的式子,如5,a,a+b,-ab,s/t,-x^(3),(a≥0),它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

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      16.2 二次根式的乘除

      由算术平方根的意义,,…都是实数.当a取某个非负数值时,就是非负数a的算术平方根,也是一个实数。这类实数的运算满足怎样的运算法则呢?我们该如何进行二次根式的加、减、乘、除运算呢?

      下面先探究二次根式的乘法法则.

      探究

      计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

      (1)×=___,=___;

      (2)×=___,=___;

      (3)×=,=__.

      一般地,二次根式的乘法法则是

      ·=(a≥0, b≥0).

      ·=反过来,就得到

      =·

      利用它可以进行二次根式的化简.

      在本章中,如果没有特别说明,所有的字母都表示正数.

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      被开方数4a^(2)b^(3)含4,a^(2),b^(2)这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.

      本章中根号下含有字母的二次根式的化简与运算是选学内容.

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      探究

      计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

      (1)=____,=____;(2)=____,=____;

      (3)=____,=____。

      一般地,二次根式的除法法则是

      =(a≥0, b>0).

      =反过来,就得到

      =(a≥0, b>0),

      利用它可以进行二次根式的化简.

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      在解法2中,式子变形=是为了去掉分母中的根号.

      观察上面例4、例5、例6中各小题的最后结果,比如2等,可以发现这些式子有如下两个特点:

      (1)被开方数不含分母;

      (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

      我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式(simplest quadratic radical).

      在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式,并且分母中不含二次根式.

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      现在来看本章引言中的问题.

      如果两个电视塔的高分别是h1 km,km,那么它们的传播半径之比是.这个式子还可以化简:

      ====

      我们看到,这个比与地球半径无关.这样,只要知道h1,h2,就可以求出比值.

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      16.3 二次根式的加减

      问题 现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板,能否采用如图16.3-1的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm^(2)和18 dm^(2)的正方形木板?

      因为大、小正方形木板的边长分别为dm和dm,显然木板够宽.下面考虑木板是否够长.

      由于两个正方形的边长的和为()dm.这实际上是求这两个二次根式的和,我们可以这样来计算:

      =2+3 (化成最简二次根式)

      =(2+3) (分配律)

      =5.

      <1.5可知5<7.5,即两个正方形的边长的和小于木板的长,因此可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm^(2)和18 dm^(2)的正方形木板.

      在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍然成立.

      分析上面计算的过程,可以看到,把化成最简二次根式2和3后,由于被开方数相同(都是2),可以利用分配律将2和3进行合并.

      一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.

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      能合并吗?

      比较二次根式的加减与整式的加减,你能得出什么结论?

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      例3(1)运用了分配律师。

      例4(1)用了多项式乘法法则,(2)用了公式(a+b)(a-b)=a2-b2.

      在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.

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      阅读与思考 海伦-秦九韶公式

      如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=a+b+c/2,那么三角形的面积为

      S=.①

      古希腊的几何学家海伦(Heron,约公元50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的着作《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称为海伦公式.

      我国南宋时期数学家秦九韶(约1202—约1261),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式

      S=.②

      下面我们对公式②进行变形:

      =

      =

      =

      =

      =

      =.

      这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式,所以我们也称①为海伦-秦九韶公式.

      图1,在△ABC中,BC=4,AC=5,AB=6,请你用海伦-秦九韶公式求△ABC的面积.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章在数的开方知识的基础上,学习了二次根式的概念、运算法则和加减乘除运算.

      对于二次根式,要注意被开方数必须是非负数。在二次根式的运算和化简中,要利用运算法则.二次根式的加减法与整式的加减法类似,只要将根式化为最简二次根式后,去括号与合并被开方数相同的二次根式就可以了。二次根式的乘法与整式的乘法类似,以往学过的乘法公式等都可以运用。二次根式的除法与分式的运算类似,如果分子分母中含有相同的因式,可以直接约去.

      至此,我们已经学习了整式(单项式、多项式)、分式、二次根式等代数式的概念和运算.因为字母表示数,所以代数式的运算也就是含有字母符号的算式之间的运算,实际上就是用实数的运算律对这些符号进行运算.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?

      2.什么叫最简二次根式?你能举出一些最简二次根式的例子吗?

      3.请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则.

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      复习题16

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       第十七章 勾股定理

      第十七章 勾股定理

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      章前图中左侧的图案是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽,它与数学中着名的勾股定理有着密切关系.

      在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦.根据我国古代数学书《周髀算经》记载,在约公元前1100年,人们就已经知道,如果勾是三、股是四,那么弦是五.后来人们进一步发现并证明了关于直角三角形三边之间的关系——两条直角边的平方和等于斜边的平方,这就是勾股定理.

      本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理,并运用这两个定理去解决有关问题.由此可以加深对直角三角形的认识.

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      17.1 勾股定理

      相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案(图17.1-1),看看能从中发现什么数量关系.

      毕达哥拉斯(Pythagoras,约前580-约前500),古希腊着名的哲学家、数学家、天文学家.

      思考

      图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系?等腰直角三角形的三边之间有什么关系?

      可以发现,以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的大正方形的面积.即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系:斜边的平方等于两直角边的平方和.

      看似平淡无奇的现象有时却蕴涵着深刻的道理.

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      探究

      等腰直角三角形有上述性质,其他的直角三角形也有这个性质吗?图17.1-3中,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C,A′,B′,C′的面积,看看能得出什么结论.(提示:以斜边为边长的正方形的面积,等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.)

      由上面的几个例子,我们猜想(图17.1-4):

      命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a^(2)+b^(2)=c^(2).

      证明命题1的方法有很多,下面介绍我国古人赵爽的证法.

      图17.1-5,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为赵爽弦图.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(红色)可以如图围成一个大正方形,中空的部分是一个小正方形(黄色).

      赵爽指出:按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实,亦成弦实.

      赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下:如图17.1-6(1),把边长为a,b的两个正方形

      page0024
      连在一起,它的面积是a^(2)+b^(2);另一方面,这个图形可分割成四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色).把图17.1-6(1)中左、右两个三角形移到图17.1-6(2)中所示的位置,就会形成一个以c为边长的正方形(图17.1-6(3)).因为图17.1-6(1)图17.1-6(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)组成,所以它们的面积相等.因此,a^(2)+b^(2)=c^(2).

      这样我们就证实了命题1的正确性,命题1与直角三角形的边有关,我国把它称为勾股定理(Pythagoras theorem).

      赵爽弦图通过对图形的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国古代数学的骄傲.因此,这个图案(图17.1-5)被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.

      赵爽所用的这种方法是我国古代数学家常用的出入相补法.在西方,人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.

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      勾股定理有广泛应用,下面我们用它解决几个问题.

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      思考

      在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?

      先画出图形,再写出已知、求证如下:

      已知:如图17.1-9,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°, AB=A′B′, AC=A′C′.

      求证:△ABC≌△A′B′C′.

      证明:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,根据勾股定理,得

      BC=,B′C′=.

      又 AB=A′B′,AC=A′C′,

      ∴ BC=B′C′.

      ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).

      探究

      我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示的点吗?

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      如果能画出长为的线段,就能在数轴上画出表示的点.容易知道,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.长为的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗?

      利用勾股定理,可以发现,直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为.由此,可以依照如下方法在数轴上画出表示的点.

      图17.1-10,在数轴上找出表示3的点A,则OA=3,过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=2,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点C即为表示的点.

      类似地,利用勾股定理,可以作出长为,…的线段(图17.1-11).按照同样方法,可以在数轴上画出表示,…的点(图17.1-12).

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      阅读与思考 勾股定理的证明

      2000多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本,还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明,新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形,你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗?

      1.传说中毕达哥拉斯的证法(图1

      提示:(1)中拼成的正方形与(2)中拼成的正方形面积相等.

      2.弦图的另一种证法(图2

      提示:以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.

      3.美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法(图3

      提示:3个三角形的面积之和=梯形的面积.

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      17.2 勾股定理的逆定理

      据说,古埃及人用图17.2-1的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.

      相传,我国古代大禹治水测量工程时,也用类似方法确定直角.

      这个问题意味着,如果围成的三角形的三边长分别为3,4,5,它们满足关系3^(2)+4^(2)=5^(2),那么围成的三角形是直角三角形.

      画画看,如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,它们满足关系2.5^(2)+6^(2)=6.5^(2),画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm,7.5cm,8.5cm,再试一试.

      由上面的几个例子,我们猜想:

      命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a^(2)+b^(2)=c^(2),那么这个三角形是直角三角形.

      我们看到,命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.例如,如果把命题1当成原命题,那么命题2是命题1的逆命题.上节已证明命题1正确,能证明命题2正确吗?

      命题1、命题2的题设、结论分别是什么?

      图17.2-2(1)中,已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a^(2)+b^(2)=c^(2),要证△ABC一定是直角三角形.我们可以先画一个两

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      条直角边长分别为a,b的直角三角形,如果△ABC与这个直角三角形全等,那么△ABC就是一个直角三角形.

      图17.2-2(2),画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°.根据勾股定理,A′B′^(2)=B′C′^(2)+A′C′^(2)=a^(2)+b^(2)=c^(2),得A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中,BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′,所以△ABC≌△A′B′C′.因此∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形.

      这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的,它也是一个定理.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据.

      一般地,原命题成立时,它的逆命题既可能成立,也可能不成立.如本章中的命题1成立,它的逆命题命题2也成立;命题对顶角相等成立,而它的逆命题如果两个角相等,那么这两个角是对顶角却不成立.

      一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理.

      像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.

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      阅读与思考 费马大定理

      根据勾股定理,任意直角三角形的两条直角边长a,b和斜边长c都是含三个未知数的方程x^(2)+y^(2)=z^(2)的一组解,而每一组勾股数(例如,3,4,5;5,12,13;等)都是这个方程的正整数解.

      高于二次的方程x^(3)+y^(3)=z^(3),x^(4)+y^(4)=z^(4),x^(5)+y^(5)=z^(5),…是否也有正整数解呢?这个问题引起了法国数学家费马的研究兴趣.费马在读古希腊数学家丢番图的《算术》一书时,在有方程x^(2)+y^(2)=z^(2)的那页页边上,写下了具有历史意义的一段文字:……将一个高于二次的幂分为两个同次的幂,这是不可能的,关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下.用数学语言来表述,费马的结论就是:当自然数n≥3时,方程x^(n)+y^(n)=z^(n)没有正整数解.

      上述命题被称为费马大定理.它的证明引起了世界各国数学家的关注,包括欧拉、高斯、勒贝格在内的许多着名数学家都对这个命题作了深入的研究,但一直没能证明它.对费马大定理的研究给数学界带来了很大的影响,很多数学成果、甚至数学分支在这个过程中诞生,费马大定理也因此被数学界称为是一只会下金蛋的鹅.

      费马大定理的证明最终由英国数学家怀尔斯完成。怀尔斯在童年时代就梦想能证明费马大定理,后来为此作了长期的努力和准备.1986年,他发现了定理证明的一种可能的途径,就开始全力以赴地投入到定理的证明中.1993年6月,怀尔斯在英国剑桥大学的学术讨论会上报告了他的研究成果,立即引起了全世界数学家和数学爱好者的关注.在这以后,他又用了一年多的时间补证了专家小组发现的证明中的疏漏,并最终于1995年彻底完成了证明.这个有300多年历史的数学难题终于得到解决.1996年3月,怀尔斯因为他的这一杰出数学成就荣获沃尔夫奖,并于1998年8月荣获菲尔兹特别奖.费马大定理的证明则被称为世纪性的成就,并被列入1993年的世界科技十大成就之一.

      费马(P. de Fermat,1601—1665)

      怀尔斯(A. Wiles,1953—)

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      直角三角形是特殊的三角形,它的三边之间有特殊的数量关系。本章我们通过对面积关系的探究,发现并证明了勾股定理.勾股定理是数学中最重要的定理之一,它反映了直角三角形三边之间的数量关系,不仅在解决与直角三角形相关的问题时很有用,而且在解决其他许多数学问题时也很有用。借助于图形的面积研究相关的数量关系,是我国古代数学研究中经常采用的重要方法,它充分显示了古人的卓越智慧.

      得到一个数学结论后,经常要研究其逆命题是否成立。一般地,原命题成立,逆命题未必成立,而勾股定理的逆命题是一个定理。勾股定理的逆定理提供了直角三角形的一种判定方法.勾股定理及其逆定理,从相反的路径对直角三角形进行了刻画.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系?

      2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法?

      3.已知一个三角形的三边长,怎样判断它是不是直角三角形?你作判断的依据是什么?

      4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法?

      5.一个命题成立,它的逆命题未必成立。请举例说明.

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      复习题17

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       第十八章 平行四边形

      第十八章 平行四边形

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      与三角形一样,平行四边形也是一种基本的几何图形.宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别具一格的窗棂……现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。为什么平行四边形形状的物体到处可见呢?这与平行四边形的性质有关.

      前面我们学习了许多图形与几何的知识,掌握了一些探索和证明图形几何性质的方法.本章我们将进一步学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,并在理解它们之间关系的基础上,利用已有的几何知识和方法,探索并证明它们的性质定理和判定定理;进一步体会研究图形几何性质的思路和方法,即通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质,再通过逻辑推理证明它们.

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      18.1 平行四边形

      平行四边形是常见的图形.小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等(图18.1-1),都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗?

      我们知道,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram).平行四边形用表示,如图18.1-2,平行四边形ABCD记作ABCD.

      18.1.1 平行四边形的性质

      由平行四边形的定义,我们知道平行四边形的两组对边分别平行.除此之外,平行四边形还有什么性质呢?

      探究

      根据定义画一个平行四边形,观察它,除了两组对边分别平行外,它的边之间还有什么关系?它的角之间有什么关系?度量一下,和你的猜想一致吗?

      通过观察和度量,我们猜想:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.下面我们对它进行证明.

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      上述猜想涉及线段相等、角相等。我们知道,利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等,是证明线段相等、角相等的一种重要的方法.为此,我们通过添加辅助线,构造两个三角形,通过三角形全等进行证明.

      证明:图18.1-3,连接AC.

      ∵ AD∥BC, AB∥CD,

      ∴ ∠1=∠2,∠3=∠4.

      又 AC是△ABC和△CDA的公共边,

      ∴ △ABC≌△CDA.

      ∴ AD=CB, AB=CD,

      ∠B=∠D.

      请同学们自己证明∠BAD=∠DCB.

      这样我们证明了平行四边形具有以下性质:

      平行四边形的对边相等;

      平行四边形的对角相等。

      不添加辅助线,你能否直接运用平行四边形的定义,证明其对角相等?

      已知平行四边形一个内角的度数,你能确定其他内角的度数吗?

      距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离.在此基础上,我们结合平行四边形的概念和性质,介绍两条平等线之间的距离.

      图18.1-5,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.也就是说,两条平等线之间的任何两条平行线段都相等.

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      两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别?

      从上面的结论可以知道,如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.如图18.1-6,a∥b,A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.

      上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质,下面我们研究平行四边形对角线的性质.

      探究

      图18.1-7,在ABCD中,连接AC,BD,并设它们相交于点O,OA与OC,OB与OD有什么关系?你能证明发现的结论吗?

      我们猜想,在ABCD中,OA=OC,OB=OD.

      与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似,我们也可以通过三

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      角形全等证明这个猜想.请你结合图18.1-8完成证明.

      由此我们又得到平行四边形的一个性质:

      平行四边形的对角线互相平分.

      图18.1-9

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      18.1.2 平行四边形的判定

      思考

      通过前面的学习,我们知道,平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来,对边相等,或对角相等,或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗?也就是说,平行四边形的性质定理的逆命题成立吗?

      可以证明,这些逆命题都成立.这样我们得到平行四边形的判定定理:

      两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

      两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

      对角线互相平分的四边形是平行四边形.

      你能根据平行四边形的定义证明它们吗?

      下面我们以对角线互相平分的四边形是平行四边形为例,通过三角形全等进行证明.

      图18.1-10,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.

      证明:∵ OA=OC,OB=OD,

      ∠AOD=∠COB,

      ∴ △AOD≌△COB.

      ∴ ∠OAD=∠OCB.

      ∴ AD∥BC.

      同理 AB∥DC.

      ∴ 四边形ABCD是平行四边形.

      由上我们知道,平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说,当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立.

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      思考

      我们知道,两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边,它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢?

      我们知道,如果一个四边形是平行四边形,那么它的任意一组对边平行且相等.反过来,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗?

      我们猜想这个结论正确,下面进行证明.

      图18.1-12,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.求证:四边形ABCD是平行四边形.

      证明:连接AC.

      ∵ AB∥CD,

      ∴ ∠1=∠2.

      又 AB=CD,AC=CA,

      ∴ △ABC≌△CDA.

      ∴ BC=DA.

      ∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等,它是平行四边形.

      于是我们又得到平行四边形的一个判定定理:

      一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

      现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法?

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      前面我们研究平行四边形时,常常把它分成几个三角形,利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题.下面我们利用平行四边形研究三角形的有关问题.

      图18.1-14,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

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      一个三角形有几条中位线?三角形的中位线和中线一样吗?

      探究

      观察图18.1-14,你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗?度量一下,DE与BC之间有什么数量关系?

      我们猜想,DE∥BC,DE=1/2BC.下面我们对它进行证明.

      图18.1-14,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=1/2BC.

      分析:本题既要证明两条线段所在的直线平行,又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE延长一倍后,可以将证明DE=1/2BC转化为证明延长后的线段与BC相等.又由于E是AC的中点,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形,利用平行四边形的性质进行证明.

      证明:图18.1-15,延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.

      ∵ AE=EC, DE=EF,

      ∴ 四边形ADCF是平行四边形,

      CFDA.

      ∴ CFBD.

      ∴ 四边形DBCF是平行四边形,

      DFBC.

      又 DE=1/2DF,

      ∴ DE∥BC,且DE=1/2BC.

      表示平行且相等.

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      通过上述证明,我们得到三角形的中位线定理:

      三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

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      18.2 特殊的平行四边形

      上节我们研究了平行四边形,下面我们通过平行四边形角、边的特殊化,研究特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形.

      18.2.1 矩形

      我们先从角开始,如图18.2-1,当平行四边形的一个角为直角时,这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle),也就是长方形.

      矩形也是常见的图形.门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等(图18.2-2)都有矩形的形象.你还能举出一些例子吗?

      思考

      因为矩形是平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?

      对于矩形,我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明),矩形还有以下性质:

      矩形的四个角都是直角;

      矩形的对角线相等。

      上节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线,下面我们用矩形的性质研究直角三角形的一个性质.

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      思考

      图18.2-3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.我们观察Rt△ABC,在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,BO与AC有什么关系?

      根据矩形的性质,我们知道,BO=1/2BD=1/2AC.由此,我们得到直角三角形的一个性质:

      直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

      上面我们研究了矩形的性质,下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是矩形.

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      由矩形的定义可知,有一个角是直角的平行四边形是矩形.除此之外,还有没有其他判定方法呢?

      与研究平行四边形的判定方法类似,我们研究矩形的性质定理的逆命题,看看它们是否成立.

      思考

      我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?

      可以发现并证明矩形的一个判定定理:

      对角线相等的平行四边形是矩形.

      工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,常常还要测量它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗?

      思考

      前面我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角.它的逆命题成立吗?即四个角都是直角的四边形是矩形吗?进一步,至少有几个角是直角的四边形是矩形?

      可以发现并证明矩形的另一个判定定理:

      有三个角是直角的四边形是矩形.

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      18.2.2 菱形

      我们观察平行四边形的一组邻边,如图18.2-6,当这组邻边相等时,这时的平行四边形也是一个特殊的平行四边形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus).

      菱形也是常见的图形.一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架(图18.2-7)等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗?

      思考

      因为菱形是平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?

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      对于菱形,我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明),菱形还有以下性质:

      菱形的四条边都相等;

      菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.

      图18.2-8,比较菱形的对角线和平行四边形的对角线,我们发现,菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.

      菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴.

      由菱形两条对角线的长,你能求出它的面积吗?

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      上面我们研究了菱形的性质,下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是菱形.

      由菱形的定义可知,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,还有没有其他判定方法呢?

      与研究平行四边形、矩形的判定方法类似,我们研究菱形的性质定理的逆命题,看看它们是否成立.

      思考

      我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?

      可以发现并证明菱形的一个判定定理:

      对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

      思考

      我们知道,菱形的四条边相等.反过来,四条边相等的四边形是菱形吗?

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      可以发现并证明菱形的另一个判定定理:

      四条边相等的四边形是菱形.

      18.2.3 正方形

      正方形(square)是我们熟悉的几何图形,它的四条边都相等,四个角都是直角.因此,正方形既是矩形,又是菱形(图18.2-11).它既有矩形的性质,又有菱形的性质.

      正方形是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?

      思考

      正方形有哪些性质?如何判定一个四边形是正方形?把它们写出来,并和同学交流一下,然后证明其中的一些结论.

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      图中共有多少个等腰直角三角形?

      思考

      正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系?与同学们讨论一下,并列表或用框图表示这些关系.

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      实验与探究 丰富多彩的正方形

      我们学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形.比较一下,哪种图形的性质最多?答案无疑是正方形.

      正方形的四个角相等、四条边相等、对角线相等且互相垂直平分.它的对称轴比其他四边形都多.以后我们还会学到,它还是中心对称图形.这些特点使正方形得到了人们的喜爱和广泛应用.

      例如,人们用边长为单位长度的正方形的面积,作为度量其他图形面积的基本单位;人们也常利用正方形美化生活环境,比如,用正方形地砖镶嵌地面,不仅美观大方,而且施工简单易行.

      正方形还有许多有趣的性质.例如,要用给定长度的篱笆围成一个面积最大的四边形区域,那么应当把这个区域选为正方形.

      下面是两个有关正方形的小实验,想一想其中的道理:

      1.如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的1/4.想一想,这是为什么.

      2.给你两个大小不等的正方形,你能通过切割把它们拼接成一个大正方形吗?(参考图2)说明你的拼法的道理.

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      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      本章我们主要学习了平行四边形的性质定理、判定定理;探索并证明了三角形的中位线定理,介绍了平行线间距离的概念;通过平行四边形边、角的特殊化,获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形,了解了它们之间的关系;根据它们的特殊性,得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理.

      在学习这些知识的过程中,我们采用了从一般到特殊的研究方法;利用图形的性质定理与判定定理之间的关系,通过证明性质定理的逆命题,得到了图形的判定定理.这些方法在今后的学习中都是很有用的.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗?

      2.平行四边形有哪些性质?如何判定一个四边形是平行四边形?

      3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外,分别还具有哪些性质?如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形?你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗?

      4.本章我们利用平行四边形的性质,得出了三角形的中位线定理.你能仿照这一过程,再得出一些其他几何结论吗?

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      复习题18

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       第十九章 一次函数

      第十九章 一次函数

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      万物皆变——行星在宇宙中的位置随时间而变化,气温随海拔而变化,树高随树龄而变化……在你周围的事物中,这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.

      为了研究这些运动变化现象中变量间的依赖关系,数学中逐渐形成了函数概念.人们通过研究函数及其性质,更深入地认识现实世界中许多运动变化的规律.

      本章中,我们将从初步认识变量与函数开始,重点学习一类最基本的函数——一次函数,结合它的图象讨论它的性质,并利用它研究一些数学问题和实际问题,感受函数在解决运动变化问题中的重要作用.

      海拔x/km 1 1.5 2 2.5 3
      气温y/℃ -1 -4 -7 -10 -13
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      19.1 函数

      19.1.1 变量与函数

      先请思考下面几个问题:

      (1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为s km,行驶时间为t h.填写表19-1,s的值随t的值的变化而变化吗?

      表19-1

      t/h 1 2 3 4 5
      s/km

      (2)电影票的售价为10元/张.第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?

      (3)你见过水中涟漪吗?如图19.1-1,圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?

      (4)用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?

      这些问题反映了不同事物的变化过程.其中有些量的数值是变化的,例如时间t,路程s;售出票数x,票房收入y……有些量的数值是始终不变的,例如速度60km/h,票价10元/张……在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量(variable),数值始终不变的量为常量(constant).

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      思考

      问题(1)~(4)中是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?

      在问题(1)中,观察填出的表格,可以发现:t和s是两个变量,每当t取定一个值时,s就有唯一确定的值与其对应.例如t=1,则s=60;t=2,则s=120……t=5,则s=300.

      在问题(2)中,可以发现:x和y是两个变量,每当x取定一个值时,y就有唯一确定的值与其对应.例如,若x=150,则y=1500;若x=205,则y=2050;若x=310,则y=3100.

      在问题(3)中,可以发现:r和S是两个变量,每当r取定一个值时,S就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为S=πr^(2).据此可以算出r分别为10cm,20cm,30cm时,S分别为100πcm2,400πcm2,900πcm^(2).

      在问题(4)中,可以发现:x和y是两个变量,每当x取定一个值时,y就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为y=5-x.据此可以算出x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,y分别为2 m,1.5 m,1 m,0.5 m.

      归纳

      上面每个问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一确定的值与其对应.

      一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量之间有上面那样的关系.

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      思考

      (1)图19.1-2是体检时的心电图,其中图上点的横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应吗?

      (2)下面的我国人口数统计表(表19-2)中,年份与人口数可以分别记作两个变量x与y.对于表中每一个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y吗?

      表19-2 中国人口数统计表

      年份 人口数/亿
      1984 10.34
      1989 11.06
      1994 11.76
      1999 12.52
      2010 13.71

      一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量(independent variable),y是x的函数(function).如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

      可以认为:在前面问题(1)中,时间t是自变量,路程s是t的函数,当t=1时,函数值s=60,当t=2时,函数值s=120;在心电图中,时间x是自变量,心脏部位的生物电流y是x的函数;在人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数,当x=2010时,函数值y=13.71.

      从上面可知,函数是刻画变量之间对应关系的数学模型,许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.

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      0.1x表示什么意思?

      确定自变量的取值范围时,不仅要考虑使函数关系式的有意义,而且还要注意问题的实际意义.

      像y=50-0.1x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式(analytic expression).

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      19.1.2 函数的图象

      有些问题中的函数关系很难列式子表示,但是可以用图来直观地反映,例如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系.即使对于能列式表示的函数关系,如果也能画图表示,那么会使函数关系更直观.

      例如,正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x^(2).根据问题的实际意义,可知自变量x的取值范围是x>0.我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系.

      计算并填写表19-3.

      表19-3

      x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
      S 0 0.25 1

      自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S,是否确定了一个点(x,S)呢?

      图19.1-3,在直角坐标系中,画出上面表格中各对数值所对应的点,然后连接这些点。所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应,例如点(2,4)表示当x=2时,S=4.

      表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点,同时想象出其他点的位置.

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      一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph).图19.1-3的曲线即函数

      S=x^(2)(x>0)的图象.

      通过图象可以数形结合地研究函数.

      思考

      图19.1-4是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息?

      如有条件,你可以用带有温度探头的计算机(器),测量、记录温度,并绘制表示温度变化的图象.

      可以认为,气温T是时间t的函数,图19.1-4是这个函数的图象。由图象可知:

      (1)这一天中凌晨4时气温最低(-3℃),14时气温最高(8℃).

      (2)从0时至4时气温呈下降状态(即温度随时间的增长而下降),从4时到14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态.

      (3)我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.

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      你画出的图象与图19.1-7相同吗?

      你画出的图象与图19.1-8相同吗?

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      归纳

      描点法画函数图象的一般步骤如下:

      第一步,列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;

      第二步,描点——在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;

      第三步,连线——按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来.

      由上可知,写出函数解析式,或者列表格,或者画函数图象,都可以表示具体的函数.这三种表示函数的方法,分别称为解析式法、列表法和图象法.

      思考

      从前面的例子看,你认为三种表示函数的方法各有什么优点?

      表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法,有时为全面地认识问题,需要同时使用几种方法.

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      由例4可以看出,画数的不同表示法之间可以转化.

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      阅读与思考 科学家如何测算岩石的年龄

      你知道科学家如何测算岩石的年龄吗?解决这个问题时也用到函数这个数学工具.

      1903年,英国物理学家卢瑟福通过实验证实,放射性物质放出射线后,这种物质的质量将减少,减少的速度开始较快,后来较慢.物质所剩的质量与时间成某种函数关系.图1为表示镭的放射规律的函数图象.

      图1我们可以发现:镭的质量由m0缩减到1/2m0需1620年,由1/2m0缩减到1/4m0需年数为3240-1620=1620,由1/4m0缩减到1/8m0需年数为4860-3240=1620,即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量——1620年.一般把1620年称为镭的半衰期.

      实际上,所有放射性物质都有自己的半衰期.铀的半衰期为45.6亿年,蜕变后的铀最后成为铅.因此,科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量,便可以算出这块岩石原来的含铀量,进而利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间,从而推算出这块岩石的年龄。据此测算出地球上最古老的岩石的年龄约为30亿年.

      请思考下面的问题,它能帮你理解半衰现象.

      一个皮球从16 m高处下落,第一次落地后反弹起8 m,第二次落地后反弹起4 m,以后每次落地后的反弹高度都减半·试写出表示反弹高度h(单位:m)与落地次数n的对应关系的函数解析式.皮球第几次落地后的反弹高度为1/8 m?

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      19.2 一次函数

      19.2.1 正比例函数

      问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题:

      (1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?

      (2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?

      (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1100km的南京南站?

      分析:(1)京沪高铁列车全程运行时间约需

      1 318÷300≈4.4(h).

      (2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数,函数解析式为

      y=300t(0≤t≤4.4).

      (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h的行程,是当t=2.5时函数y=300t的值,即

      y=300×2.5=750(km).

      这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.

      以上我们用函数y=300t(0≤t≤4.4)对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论.尽管实际情况可能会与此有一些小的不同,但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律.

      思考

      下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式。这些函数解析式有哪些共同特征?

      (1)圆的周长l随半径r的变化而变化.

      (2)铁的密度为7.8 g/cm^(3),铁块的质量m(单位:g)随它的体积V

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      (单位:cm^(3))的变化而变化.

      (3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随练习本的本数n的变化而变化.

      (4)冷冻一个0℃的物体,使它每分下降2℃,物体的温度T(单位:℃)随冷冻时间t(单位:min)的变化而变化.

      上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式分别为:

      (1)l=2πr; (2)m=7.8V;

      (3)h=0.5n; (4)T=-2t.

      正如函数y=300t一样,上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.

      一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数(pro-portional function),其中k叫做比例系数.

      下面我们研究正比例函数的图象.

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      你画出的函数y=1/3x的图象,与图19.2-1中的相同吗?

      你画出的函数y=4x的图象,与图19.2-2中的相同吗?

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      以上4个函数的图象都是经过原点的直线,其中函数y=2x和y=1/3x的图象经过第三、第一象限,从左向右上升;函数y=-1.5x和y=-4x的图象经过第二、第四象限,从左向右下降.

      一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx经过第三、第一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、第四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.

      思考

      经过原点与点(1,k)(k是常数,k≠0)的直线是哪个函数的图象?

      画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?

      因为两点确定一条直线,所以可用两点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象.一般地,过原点和点(1,k)(k是常数,k≠0)的直线,即正比例函数y=kx(k≠0)的图象.

      19.2.2 一次函数

      问题2 某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时,他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系.

      分析:y随x变化的规律是:从大本营向上,当海拔增加x km时,气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数解析式为

      y=5-6x.

      这个函数也可以写为

      y=-6x+5.

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      当登山队员由大本营向上登高0.5km时,他们所在位置的气温就是当x=0.5时函数y=-6x+5的值,即y=-6×0.5+5=2(℃).

      思考

      下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征?

      (1)有人发现,在20℃~25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t(单位:℃)有关,即c的值约是t的7倍与35的差.

      (2)一种计算成年人标准体重G(单位:kg)的方法是:以厘米为单位量出身高值h,再减常数105,所得差是G的值.

      (3)某城市的市内电话的月收费额y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话x min的计时费(按0.1元/min收取).

      (4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm,宽不变,长方形的面积y(单位:cm2)随x的变化而变化.

      上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式分别为:

      (1)c=7t-35(20≤t≤25); (2)G=h-105;

      (3)y=0.1x+22; (4)y=-5x+50(0≤x≤10).

      正如函数y=-6x+5一样,上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.

      一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数(linear function).当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

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      思考

      比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,填出你的观察结果:

      这两个函数的图象形状都是____,并且倾斜程度____.函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点____,即它可以看作由直线y=-6x向__平移__个单位长度而得到.

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      比较两个函数解析式,你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗?

      联系上面结果,考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状,它与直线y=kx(k≠0)有什么关系.

      比较一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的解析式,容易得出:

      一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移│b│个单位长度得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线,我们称它为直线y=kx+b.

      先画直线y=2x与y=-05.x,再分别平移它们,也能得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1

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      探究

      画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图象.由它们联想:一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?

      观察前面一次函数的图象,可以发现规律:

      当k>0时,直线y=kx+b从左向右上升;当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降.由此可知,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)具有如下性质:

      当k>0时,y随x的增大而增大;

      当k<0时,y随x的增大而减小.

      我们先通过观察发现图象(形)的规律,再根据这些规律得出关于数值大小的性质,这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要.

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      像例4这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法.

      由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数,因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.

      例3与例4从两方面说明:

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      y与x的函数解析式也可合起来表示为y=5x,0≤x≤2,4x+2,x>2.

      思考

      你能由上面的函数解析式解决以下问题吗?由函数图象也能解决这些问题吗?

      (1)一次购买1.5kg种子,需付款多少元?

      (2)一次购买3kg种子,需付款多少元?

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      19.2.3 一次函数与方程、不等式

      方程、不等式与函数之间有着密切的联系.下面我们先从函数的角度看解一元一次方程.

      思考

      下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗?

      (1)2x+1=3; (2)2x+1=0; (3)2x+1=-1.

      可以看出,这3个方程的等号左边都是2x+1,等号右边分别是3,0,-1.从函数的角度看,解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时,求自变量x的值.或者说,在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0,-1的点,看它们的横坐标分别为多少(图19.2-6).

      因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.

      我们再从函数的角度看解一元一次不等式.

      思考

      下面3个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?

      (1)3x+2>2; (2)3x+2<0; (3)3x+2<-1.

      可以看出,这3个不等式的不等号左边都是3x+2,而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看,解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时,求自变量x的取值范围.或者说,

      page0097
      在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点,看它们的横坐标分别满足什么条件(图19.2-7).

      因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.

      最后,我们从函数的角度看解二元一次方程组.

      问题3 1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.

      (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系;

      (2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?

      分析:(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.

      对于1号气球,y关于x的函数解析式为y=x+5.

      对于2号气球,y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.

      (2)在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值(0≤x≤60),函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y,则问题得到解决.由此容易想到解二元一次方程组

      ,即

      解得这就是说,当上升20min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.

      我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答.如图19.2-8,在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.这两

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      条直线的交点坐标为(20,25),这也说明当上升20min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.

      一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.

      由上可知,由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从数的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从形的角度看,解这样的方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.

      归纳

      方程(组)与函数之间互相联系,从函数的角度可以把它们统一起来.解决问题时,应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.

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      信息技术应用 用计算机画函数图象

      由解析式画函数图象时,一般采用描点连线法.描出的点越多,画出的函数图象越准确.但是,仅靠手工操作有时很难画出准确的图象,而计算机可以帮助我们又快又准地画出函数图象.下面介绍根据函数解析式用《几何画板》软件画函数图象的一些例子.

      例如,画函数y=3x-2的图象.启用《几何画板》软件绘制函数图象功能(new function/graph),输入函数解析式y=3x-2,计算机便自动画出如下图象(图1中的直线).

      类似地,可以画出函数y=x^(2)与y=x^(2)(x-3)的图象(图2中蓝色的曲线与红色的曲线).

      从画出的函数图象可以看出,函数图象与函数性质之间存在着必然的联系.例如

      图象特征 函数变化规律
      从左向右曲线呈上升状态 y随x的增大而增大
      从左向右曲线呈下降状态 y随x的增大而减小
      曲线上的最高点是(a,b) 当x=a时,y有最大值b
      曲线上的最低点是(a,b) 当x=a时,y有最小值b

      根据上面例子中的函数图象,你发现这些函数各具有什么性质?

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      19.3 课题学习 选择方案

      做一件事情,有时有不同的实施方案.比较这些方案,从中选择最佳方案作为行动计划,是非常必要的.在选择方案时,往往需要从数学角度进行分析,涉及变量的问题常用到函数.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用一次函数选择最佳方案.解决这些问题后,可以进行后面的实践活动.

      问题1 怎样选取上网收费方式?

      表19-13给出A,B,C三种上宽带网的收费方式.

      收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min)
      A 30 25 0.05
      B 50 50 0.05
      C 120 不限时

      表19-13

      选取哪种方式能节省上网费?

      分析:在方式A,B中,上网时间是影响上网费的变量;在方式C中,上网费是常量.

      设月上网时间为x h,则方案A,B的收费金额y1,y2都是x的函数.要比较它们,需在x>0的条件下,考虑何时(1)y1=y2,(2)y1<y2,(3)y1>y2.利用函数解析式,通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题.在此基础上,再用其中省钱的方式与方式C进行比较,则容易对收费方式作出选择.

      在方式A中,月使用费30元与包时上网时间25 h是常量.考虑收费金额时,要把上网时间分为25 h以内和超过25 h两种情况,得到的是如下的函数

      y1=

      化简,得

      y1=

      这个函数的图象如图19.3-1所示.

      page0103

      类似地,可以得出方式B,C的收费金额y2,y3关于上网时间x的函数解析式.

      图19.3-1中画出y2,y3的图象,结合函数图象与解析式,填空:

      当上网时间____时,选择方式A最省钱;

      当上网时间____时,选择方式B最省钱;

      当上网时间____时,选择方式C最省钱.

      问题2 怎样租车?

      某学校计划在总费用2300元的限额内,租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动,每辆汽车上至少要有1名教师.

      现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表19-14所示.

      表19-14

      甲种客车 乙种客车
      载客量/(人/辆) 45 30
      租金/(元/辆) 400 280

      (1)共需租多少辆汽车?

      (2)给出最节省费用的租车方案.

      分析:(1)可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车,要注意到以下要求:

      ①要保证240名师生都有车坐;

      ②要使每辆汽车上至少要有1名教师.

      根据①可知,汽车总数不能小于__;根据②可知,汽车总数不能大于__.综合起来可知汽车总数为__.

      (2)租车费用与所租车的种类有关。可以看出,当汽车总数a确定后,在

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      满足各项要求的前提下,尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.

      设租用x辆甲种客车,则租车费用y(单位:元)是x的函数,即

      y=400x+280(a-x).

      将(1)中确定的a的值代人上式,化简这个函数,得

      y=__.

      为使240名师生有车坐,x不能小于___;为使租车费用不超过2300元,x不能超过___.综合起来可知x的取值为____.

      在考虑上述问题的基础上,你能得出几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中哪个方案?试说明理由.

      归纳

      解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型.

      实践活动:

      结合日常生活中某个可以选择多种实施方案的实际问题,例如购物、配送、上网、通讯等,利用数学知识进行分析,选择最佳方案,并写出有关活动的报告.

      page0105

      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      客观世界中变量大量存在.本章结合一些实际问题,分析了一个变化过程中两个变量的一种对应关系,即每当其中某个变量取一个定值时,另一变量有唯一确定的值与其对应,由此初步认识了函数及其表示法.

      一次函数y=kx+b(k≠0)是一种最基本的函数,它刻画了一类常见的变化规律.正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数的特例.一次函数的图象是一条直线,利用图象可以直观地分析函数y=kx+b(k≠0)的增减性.观察发现,当k>0(k<0)时,图象从左向右上升(下降).这表明,函数y的值随自变量x的增大而增大(减小).利用图象研究函数的方法体现了数形结合的思想.

      利用函数解决问题时,关键在于分析问题中变量之间的对应关系,并考虑如何表示这种关系,从而将实际问题转化为函数模型.如果判断出某问题的变化规律可用一次函数模型刻画,那么可根据已知条件用待定系数法得出函数解析式.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.举例说明两个变量x和y满足什么条件时,y是x的函数.

      2.函数有哪些表示法?它们各有什么优点?请举例说明.

      3.一次函数y=kx+b的图象是什么图形?当b=0时,函数y=kx+b的

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      图象经过哪个定点?常数k对函数y=kx+b的图象有什么影响?由此能说明y与x之间的什么变化规律?

      4.由一条不平行于坐标轴的已知直线,能求出它对应的一次函数的解析式吗?如果能,应怎样求?由此体会由形到数的转化.

      5.举例说明如何利用函数解决实际问题.

      复习题19

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       第二十章 数据的分析

      第二十章 数据的分析

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      用样本估计总体是统计的基本思想.当所要考察的总体中个体很多或者对考察对象带有破坏性时,我们常常通过用样本估计总体的方法来了解总体.看下面的问题:

      农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子,对甲、乙两个品种各用10块自然条件相同的试验田进行试验,得到各试验田每公顷的产量(见下表).根据这些数据,应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议呢?

      甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院选择种子时所关心的问题.如何考察一种甜玉米的产量和产量的稳定性呢?这要用到本章将要学习的如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差等知识.

      通过本章的学习,你将对数据的作用有更多的认识,对用样本估计总体的思想有更深的体会.

      品种 各试验田每公顷产量/t
      7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
      7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
      7.55 7.56 7.53 7.44 7.49
      7.52 7.58 7.46 7.53 7.49

      ≈7.54 ≈7.52

      ≈0.01 ≈0.002

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      20.1 数据的集中趋势

      当我们收集到数据后,通常是用统计图表整理和描述数据.为了进一步获取信息,还需要对数据进行分析.以前通过数据计算,我们学习了平均数,知道它可以反映一组数据的平均水平.本节我们将在实际问题情境中,进一步探讨平均数的统计意义,并学习中位数、众数和方差等另外几个统计中常用来刻画数据特征的量,了解它们在数据分析中的重要作用.

      20.1.1 平均数

      问题1 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试,他们的各项成绩(百分制)如表20-1所示.

      表20-1

      应试者
      85 78 85 73
      73 80 82 83

      (1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译,计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看,应该录取谁?

      (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译,听、说、读、写成绩按照2:1:3:4的比确定,计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看,应该录取谁?

      对于问题(1),根据平均数公式,甲的平均成绩为

      85+78+85+73/4=80.25,

      乙的平均成绩为

      73+80+82+83/4=79.5.

      因为甲的平均成绩比乙高,所以应该录取甲.

      对于问题(2),听、说、读、写成绩按照2:1:3:4的比确定,这说明各项成绩的重要程度有所不同,读、写的成绩比听、说的成绩更加重要.因此,甲的平均成绩为

      =79.5,

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      乙的平均成绩为

      =80.4.

      因为乙的平均成绩比甲高,所以应该录取乙.

      上述问题(1)是利用平均数的公式计算平均成绩,其中的每个数据被认为同等重要.而问题(2)是根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重,其中的2,1,3,4分别称为听、说、读、写四项成绩的(weight),相应的平均数79.5,80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数(weighted average).

      一般地,若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则

      叫做这n个数的加权平均数.

      权的英文是weight,有表示数据重要程度的意思.

      思考

      如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译,听、说、读、写成绩按照3:3:2:2的比确定,那么甲、乙两人谁将被录取?与上述问题中的(1)(2)相比较,你能体会到权的作用吗?

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      例1中两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分,为什么他们的最后得分不同呢?从中你能体会到权的作用吗?

      在求n个数的平均数时,如果x1出现f1次,x2出现f2次……xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n),那么这n个数的平均数

      =

      也叫做x1,x2,…,xk这k个数的加权平均数,其中f1,f2,…,fk分别叫做x1,x2,…,xk的权.

      page0114

      探究

      为了解5路公共汽车的运营情况,公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量,得到表20-3.这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少(结果取整数)?

      表20-3

      载客量/人 组中值 频数(班次)
      1≤x<21 11 3
      21≤x<41 31 5
      41≤x<61 51 20
      61≤x<81 71 22
      81≤x<101 91 18
      101≤x<121 111 15

      数据分组后,一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.例如,小组1≤x<21的组中值为1+21/2=11.

      根据上面的频数分布表求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权.例如在1≤x<21之间的载客量近似地看作组中值11,组中值11的权是它的频数3.因此这天5路公共汽车平均每班的载客量是

      =

      ≈73(人).

      一般的计算器都有统计功能,利用统计功能可以求平均数.使用计算器的统计功能求平均数时,不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书。通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xk以及它们的权f1,f2,…,fk;最后按动求平均数的功能键(例如键),计算器便会求出平均数=的值.

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      我们知道,当所要考察的对象很多,或者对考察对象带有破坏性时,统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.例如,实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数.

      用全面调查的方法考察这批灯炮的平均使用寿命合适吗?

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      20.1.2 中位数和众数

      问题2 表20-5是某公司员工月收入的资料.

      表20-5

      月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
      人数 1 1 1 3 6 1 11 1

      (1)计算这个公司员工月收入的平均数;

      (2)若用(1)算得的平均数反映公司全体员工月收入水平,你认为合适吗?

      这个公司员工月收入的平均数为6276.但在25名员工中,仅有3名员工的收入在6276元以上,而另外22名员工的收入都在6276元以下.因此,用月收入的平均数反映所有员工的月收入水平,不太合适.利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势.

      将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的数为这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.

      利用中位数分析数据可以获得一些信息.例如,上述问题中将公司25名员工月收入数据由小到大排列,得到的中位数为3400,这说明除去月收入为3400元的员工,一半员工收入高于3400元,另一半员工收入低于3400元.

      思考

      上述问题中公司员工月收入的平均数为什么会比中位数高得多呢?

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      根据例4中的样本数据,你还有其他方法评价(2)中这名选手在这次比赛中的表现吗?

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      一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数(mode).

      当一组数据有较多的重复数据时,众数往往能更好地反映其集中趋势.例如,问题2中公司员工月收入的众数为3000,这说明公司中月收入3000元的员工人数最多.如果应聘公司的普通员工一职,这个众数能提供更为有用的信息.

      分析表中的数据,你还能为鞋店进货提出哪些建议?

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      平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势,它们各有自己的特点,能够从不同的角度提供信息.在实际应用中,需要分析具体问题的情况,选择适当的量反映数据的集中趋势.

      确定一个适当的月销售目标是一个关键问题,如果目标定得太高,多数营业员完不成任务,会使营业员失去信心;如果目标定得太低,不能发挥营业员的潜力.

      用图表整理和描述样本数据,有助于我们分析数据解决问题.

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      归纳

      平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势,但它们各有特点.

      平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,因此在现实生活中较为常用.但它受极端值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.

      当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们关心的一个量,众数不易受极端值的影响.

      中位数只需要很少的计算,它也不易受极端值的影响.

      你知道在体操比赛评分时,为什么要去掉一个最高分和一个最低分吗?

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      20.2 数据的波动程度

      在统计学中,除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外,还有一类刻画数据波动(离散)程度的量,其中最重要的就是方差.本节我们将在实际问题情境中,了解方差的统计意义并运用方差解决问题.

      我们来看引言中的问题.

      问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时,甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况,农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验,得到各试验田每公顷的产量(单位:t)如表20-8所示.

      表20-8

      7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
      7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49

      根据这些数据估计,农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?

      上面两组数据的平均数分别是

      甲≈7.54,乙≈7.52,

      说明在试验田中,甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米,它们的平均产量相差不大.

      由样本平均数估计总体平均数.

      为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况,我们把这两组数据画成下面的图20.2-1图20.2-2.

      图20.2-1 甲种甜玉米的产量

      图20.2-2 乙种甜玉米的产量

      page0125

      比较上面的两幅图可以看出,甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大,乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均产量附近.从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢?

      为了刻画一组数据波动的大小,可以采用很多方法.统计中常采用下面的做法:设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1)^(2),(x2)^(2),…,(xn)^(2),我们用这些值的平均数,即用

      s^(2)=1/n[(x1)^(2)+(x2)^(2)+…+(xn)^(2)]来衡量这组数据波动的大小,并把它叫做这组数据的方差(variance),记作s^(2).

      从上面计算方差的式子可以看出:当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时,各个数据与平均数的差的平方和较大,方差就较大;当数据分布比较集中时,各个数据与平均数的差的平方和较小,方差就较小.反过来也成立,这样就可以用方差刻画数据的波动程度,即:方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.

      下面我们利用方差来分析甲、乙两种甜玉米的波动程度.

      两组数据的方差分别是

      =≈0.01,

      =≈0.002.

      显然,即甲种甜玉米的波动较大,这与我们从图20.2-1和图20.2-2看到的结果一致.

      由此可知,在试验田中,乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样,也可以用样本的方差来估计总体的方差。因此可以推测,在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定。综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性,可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.

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      使用计算器的统计功能可以求方差.使用计算器的统计功能求方差时,不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书.通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xn;最后按动求方差的功能键(例如σx^(2)键),计算器便会求出方差s^(2)=1/n[(x1)^(2)+(x2)^(2)+…+(xn)^(2)]的值.

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      阅读与思考 数据波动程度的几种度量

      我们知道,方差是度量数据波动程度的量.此外,统计中还常用极差、平均差、标准差等来度量数据的波动程度.

      一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差.在反映数据波动程度的各种量中,极差是最简单、最便于计算的一个量.但是它仅仅反映了数据的波动范围,没有提供数据波动的其他信息,且受极端值的影响较大.

      为了更好地刻画数据的波动程度,可以考虑每一个数据与其平均数的距离.一个自然的想法就是计算每一个数据与其平均数的差的平均数,即

      想一想,这种做法可行吗?存在什么问题?

      上面的做法不可行.因为不论这组数据是什么具体数值,总有

      上式===-=0,

      所以它不能反映数据的波动程度.

      修正上面缺点的一种做法是考虑每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数,即

      这个式子可以用来度量数据的波动程度,我们把它叫做这组数据的平均差.

      另一种做法是用方差

      s^(2)=1/n[(x1)^(2)+(x2)^(2)+…+(xn)^(2)]

      page0130

      来度量数据的波动程度.

      此外,人们还引入了标准差的概念.标准差是方差的算术平方根,即

      s=

      标准差的单位与原始数据的单位相同,实际中也常用它度量数据的波动程度.

      请同学们利用上面的几种度量数据波动程度的量解决下面的问题.

      一个家具厂有甲、乙两个木料货源。下面是家具厂向两个货源订货后等待交货天数的样本数据:

      等待天数 6 7 8 9 10 11 12 13 14
      次数 0 0 2 8 7 3 0 0 0
      4 2 0 6 2 2 2 0 2

      分别计算样本数据的平均数、极差、平均差、方差和标准差。根据这些计算结果,看看家具厂从哪个货源进货比较好?为什么?

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      20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析

      请同学们分组合作完成下面的调查活动.

      收集近两年你校七年级部分学生的《体质健康标准登记表》,分析登记表中的数据,对你校七年级学生的体质健康情况进行评定,提出增强学生体质健康的建议.

      下面提供一个调查样例供同学们活动时参考.

      某学校七年级有4个班,共180人,其中男生85人,女生95人.

      表20-11是用来记录学生体质健康测试结果的登记表.

      姓名 班级 年龄 性别
      身高 体重 选测一项(20) 50米跑
      身高标准体重(10)
      肺活量体重指数(20) 立定跳远
      选测一项(30) 台阶实验
      跳绳
      1000米跑(男)
      800米跑(女)
      篮球运球
      选测一项(20) 坐位体前屈
      掷实心球 足球运球
      握力体重指数
      引体向上(男) 排球垫球
      仰卧起坐(女)
      说明

      1.括号中的数字为单项测试的满分成绩;
      2.各单项成绩之和为最后得分;
      3.最后得分90分及以上为优秀,75~89分为良好,60~74分为及格、59分及以下为不及格.

      表20-11 中学生体质健康登记表

      page0132

      一、收集数据

      1.确定样本

      从全校七年级的各班分别抽取5名男生和5名女生,组成一个容量为40的样本.

      2.确定抽取样本的方法

      按照各班的学号,分别在每个班抽取学号排在最前面的5名男生和5名女生.

      二、整理数据

      整理体质健康登记表中的各项数据.

      例如,计算每个个体的最后得分,按评分标准整理样本数据,得到表20-12.

      20-12

      成绩 划记 频数 百分比
      不及格 3 7.5%
      及格 8 20%
      良好 正正正丅 17 42.5%
      优秀 正正丅 12 30%
      合计 40 40 100%

      三、描述数据

      根据整理的各种表格,画出条形图、扇形图、折线图、直方图等,使得数据分布的信息更清楚地显现出来.

      例如,根据表20-12,可以画出条形图(图20.3-1)和扇形图(图20.3-2).

      page0133

      四、分析数据

      根据原始数据或上面的各种统计图表,计算各组数据的平均数、中位数、众数、方差等,通过分析图表和计算结果得出结论.

      例如,根据表20-12图20.3-1图20.3-2可知,样本的体质健康成绩达到良好的最多,有17人,良好及以上的有29人,约占统计人数的70%左右.由此可以估计全校七年级学生的体质健康成绩有类似的结果.

      五、撰写调查报告

      题目 全校七年级学生体质健康情况的调查
      样本 七年级各班部分学生 样本容量 40
      数据来源 学生体质健康登记表
      数据处理过程 主要项目 整理、描述数据 分析数据得出结论
      身高    
      体重    
         
      1 000米跑    
      800米跑    
      仰卧起坐    
      总结  
      主要建议  
      参加成员  
      教师意见  
      备注  

      六、交流

      写出活动总结,向全班同学介绍本小组的调查过程,展示调查结果,交流通过数据处理寻找规律、得出结论的感受.

      page0134

      数学活动

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      小结

      一、本章知识结构图

      二、回顾与思考

      在生产和生活中,为了解总体的情况,我们经常从总体中抽取样本,通过对样本数据的处理,获得一些结论,然后再利用这些结论对总体进行估计.这就是用样本估计总体,它是统计的基本思想.

      在整理、描述和分析样本数据时,我们可以通过绘制图表,如条形图、折线图、扇形图和直方图等获得一些信息.还可以通过计算反映数据某方面特征的量获得更多的信息,如利用平均数、中位数和众数,刻画数据的集中趋势;利用方差刻画数据的波动程度.

      平均数、中位数和众数从不同侧面反映了一组数据的集中趋势.因此,用它们刻画数据时,要根据统计调查的目的和具体问题的特点进行选择.

      请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

      1.举例说明平均数、中位数、众数的意义.

      2.算术平均数与加权平均数有什么联系和区别?举例说明加权平均数中权的意义.

      3.举例说明怎样用方差刻画数据的波动程度.

      4.举例说明刻画数据特征的量在决策中的作用.

      5.搜集关于统计学方面的资料(如学科发展史、思想方法、人物等),从某个角度谈谈你对统计的认识.

      page0136

      复习题20

      page0137
       知识1 正数、负数

      第1章 有理数

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      1.1 有理数的有关概念

      知识清单

      ·知识1 正数、负数

      ·知识2 有理数及其分类

      ·知识3 数轴及其三要素(重点)

      ·知识4 数轴的画法

      ·知识5 相反数(重点)

      ·知识6 倒数(重点)

      ·知识7 绝对值(重点)

      ·知识8 相反数、绝对值的几何意义

      知识1 正数、负数

      正数:像+1/2,+12,1.3,258等大于0的数(+通常省略不写)叫正数.

      负数:像-5,-33/4,-0.1等在正数前面加上-的数叫负数,负数小于0.

      正数与负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量.

      (1)为了用数表示具有相反意义的量,我们把某种量的一种意义规定为正的,而把与它相反的一种意义规定为负的.负数是根据实际需要而产生的.

      (2)0既不是正数也不是负数,它是一个非负、非正的数,正、负数以0为界,规定:0是最小的自然数.

      温馨提示 ①小学学过的数除零以外,都是正数,在学习时为了简便把+都省略了.

      ②所有正数前面添上-的数都是负数.

      ③用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义的量规定为正,是可以任意选定的(如将上升2米规定为+2米或-2米都可以),一旦选定一种意义的量为正,则另一种相反意义的量就只能为负.

       知识2 有理数及其分类

      知识2 有理数及其分类

      有理数的分类按不同的标准有以下两种:

      (1)按有理数的定义分类:

      有理数 整数:
      正整数

      负整数
      分数:
      正分数
      负分数

      (2)按有理数的性质分类:

      有理数 正有理数:
      正整数
      正分数
      负有理数:
      负整数
      负分数

      温馨提示 有理数有两种分类方法,分类标准不同,分类结果也不同,需特别注意分类结果应不重不漏,即每一个数必须属于某一类,又不能同时属于不同的两类.要想分类结果不重不漏,必须掌握两种分类标准,整数与分数对应,正数与负数对应,零既不是正数也不是负数,它是整数也是有理数.在习惯上我们将正有理数和零称作非负有理数,将负有理数和零称作非正有理数,将正整数和零称作非负整数,将负整数和零称作非正整数.

       知识3 数轴及其三要素(重点)

      知识3 数轴及其三要素(重点)

      规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

      温馨提示 数轴是数形结合的基础,把数与直线上的点生动形象地联系起来.有了数轴,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.

      原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,这是数轴的定义所包含的第一层含义;数轴是一条直线,可以向两端无限延伸,这是它的第二层含义;原点的选定、正方向的选取、单位长度的确定,都是根据实际需要规定的,这是它的第三层含义.一般规定向右的方向为正方向,同一数轴的单位长度相等.

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       知识4 数轴的画法

      知识4 数轴的画法

      (1)画一条水平的直线.

      (2)在直线上适当选取一点为原点.

      (3)确定向右为正方向,用箭头表示出来(箭头标在画出部分的最右边).

      (4)根据需要,选取适当的长度作为单位长度,从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点,依次标为1,2,3,…,-1,-2,-3,….如图所示.

       知识5 相反数(重点)

      知识5 相反数(重点)

      像2与-2,1/5与-1/5,4与-4等这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数,把其中一个数叫做另一个数的相反数.0的相反数仍是0.

      相反数的特性:若a,b互为相反数,则a+b=0;反之,若a+b=0,则a,b互为相反数.

      温馨提示 ①相反数是成对出现的,不能单独存在,如:-8与+8互为相反数,就是说-8的相反数是+8,+8的相反数是-8;单独的一个数不能说是相反数.

      ②要把相反数与相反意义的量区别开来,相反数不但数的符号相反,而且要求符号后面的数相同,如:+5与-5,而具有相反意义的量只要符号相反即可,如:+3与-7.

      ③求一个数的相反数只需在这个数前面加上一个负号就可以了.若原数带符号,则应先添括号,如+4的相反数可以写成-(+4),-4的相反数可以写成-(-4).数a的相反数是-a,-a的相反数是-(-a),即a.这里的a并不一定是正数,所以-a也不一定就是负数.

      ④在化简多重符号时应注意:一个正数前面有偶数个-时,可以化简成这个数的本身;一个正数前面有奇数个-时,可以化简成这个数的相反数;一个正数前面全是+,则可化简成这个正数本身.例如,-(-1),我们可以把它看成1前面有两个负号,即化简为1.

       知识6 倒数(重点)

      知识6 倒数(重点)

      乘积为1的两个数互为倒数.

      倒数的意义:一个正数的倒数仍是正数,一个负数的倒数仍是负数,0没有倒数.

      倒数的特性:若a,b互为倒数(a≠0,b≠0),则ab=1;反之,若ab=1,则a,b互为倒数.

      温馨提示 ①如果a,b互为倒数,那么a=1/b或b=1/a.

      ②求一个非零整数的倒数,可直接写成这个数分之一;求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒即可;求一个带分数的倒数,应先将带分数化成假分数,再求倒数;求一个小数的倒数,应先将小数化成分数,然后再求倒数.

       知识7 绝对值(重点)

      知识7 绝对值(重点)

      一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作|a|,读作a的绝对值.

      绝对值的代数意义:二个正数的绝对值是它本身;二个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

      绝对值的代数意义用式子可表示为:

      |a|=或|a|=

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      温馨提示 ①绝对值为正数的数有两个,它们互为相反数.

      ②两个互为相反数的数的绝对值相等.反之,绝对值相等的两个数相等或互为相反数.

      ③绝对值是一种运算,求一个数的绝对值就是想方设法去绝对值符号.求一个数的绝对值,必须遵循先判定,再去绝对值符号的法则.若绝对值符号里的数是非负数,那么这个数的绝对值就是它本身,若绝对值符号里的数是负数,那么这个数的绝对值就是它的相反数,当绝对值符号里的数的正负性不能确定时,要分类讨论,即将其分成大于0、小于0、等于0这三类来讨论.

      如:|x-1|=

       知识8 相反数、绝对值的几何意义

      知识8 相反数、绝对值的几何意义

      1.相反数的几何意义

      在数轴上,互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧,并且到原点的距离相等.

      如图所示,-2.5与2.5互为相反数,-1与1互为相反数.

      2.绝对值的几何意义

      一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大,离原点的距离越近,绝对值越小.

      如图所示,在数轴上表示-4的点与原点的距离是4,即-4的绝对值是4,记作|-4|=4;在数轴上表示3的点与原点的距离是3,即3的绝对值是3,记作|3|=3;表示0的点与原点的距离是0,即|0|=0.

      温馨提示 ①由相反数的几何意义可知:在数轴上原点的两侧,到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数,显然互为相反数的两个数只是符号不同.

      ②由绝对值的几何意义可知:在数轴上,由于距离总是正数或零,则有理数的绝对值不可能是负数.因此无论是绝对值的几何意义,还是绝对值的代数意义,都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性,也就是说,任何一个有理数的绝对值都是非负数,即a取任意有理数,都有|a|≥0.

      方法清单

      ·方法1 正、负数的识别方法

      ·方法2 有理数的判别方法

      ·方法3 正、负数的应用方法

      ·方法4 数轴几何意义的应用方法

      ·方法5 求相反数的方法

      ·方法6 多重符号的化简方法

      ·方法7 求绝对值的方法

      ·方法8 绝对值化简的方法

      ·方法9 绝对值的非负性的应用方法

      ·方法10 绝对值的几何意义的应用方法

      ·方法11 比较有理数大小的方法

       方法1 正、负数的识别方法

      方法1 正、负数的识别方法

      对于正数和负数,不能简单地理解为带+的数是正数,带-的数是负数,要看其本质是正还是负.例如:①a>0时,a表示正数,-a表示负数;②a<0时,a表示负数,-a表示正数;③a≥0时,a表示非负数

       方法2 有理数的判别方法
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      方法2 有理数的判别方法

      对于有理数概念的理解要注意两点:

      (1)一个有理数不是整数就是分数;

      (2)如果一个数既不是整数也不是分数,那么它一定不是有理数.

       方法3 正、负数的应用方法

      方法3 正、负数的应用方法

      解答正数与负数问题的方法:要找到具有相反意义的量,正确理解相反意义的量的含义.与标准量相比,减少或下降多少就是增加负多少,不变就是增加量为0.在同一道题中,正数和负数表示相反意义的量,如果负数换成正数,那么相应的词应改成它的反义词.

       方法4 数轴几何意义的应用方法

      方法4 数轴几何意义的应用方法

      在数轴上,原点左边的点代表负数,右边的点代表正数,原点代表0,根据距离原点左边多少个单位长度,距离原点右边多少个单位长度,确定所表示的负、正数是多少.

       方法5 求相反数的方法

      方法5 求相反数的方法

      求一个数的相反数,只需在这个数的前面加上-即可.判断两数是否互为相反数,除依据定义外,还可以看两数的和是否为0,若和为0,则两数互为相反数;反之,若两数互为相反数,则这两数的和一定为0.

       方法6 多重符号的化简方法

      方法6 多重符号的化简方法

      (1)在一个数前面添加一个+,所得的数与原数相同.(2)在一个数前面添加一个-,所得的数就成为原数的相反数.(3)对于有三个或三个以上符号的数的化简,首先要注意,一个数前面不管有多少个+,可以把+去掉,其次要看-的个数,当-的个数为偶数时,结果取+,当-的个数为奇数时,结果取-.

       方法7 求绝对值的方法

      方法7 求绝对值的方法

      绝对值是一种运算,这个运算符号是||,求一个数的绝对值,就是想办法去掉这个绝对值符号.

      若绝对值里面的数是非负数,那么这个数的绝对值就是它本身;若绝对值里面的数是负数,那么这个负数的绝对值就是它的相反数,这时去掉绝对值符号时,就在这个数前面添上括号和负号,如|-1|=-(-1)=1.

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       方法8 绝对值化简的方法

      方法8 绝对值化简的方法

      去绝对值符号是解绝对值问题的关键,当问题给出的条件在不同的情况下结论不确定(有几种结论)时,就需要应用分类讨论的方法解决.

       方法9 绝对值的非负性的应用方法

      方法9 绝对值的非负性的应用方法

      由于绝对值是非负数,因此,绝对值的这一性质表现为两个方面:(1)|a|≥0,即|a|有最小值;(2)若几个非负数的和为零,则每一个非负数都为零.即|a|+

      b|+|c|+…+|z|=0,则a=b=c=…=z=0.上述性质在解题中会经常用到.

       方法10 绝对值的几何意义的应用方法

      方法10 绝对值的几何意义的应用方法

      解决此类问题的关键是利用数形结合的思想,在数轴上找出该数所对应的点,再利用绝对值的几何意义解题.

       方法11 比较有理数大小的方法

      方法11 比较有理数大小的方法

      (1)在数轴上,右边的数总比左边的数大.

      (2)正数都大于零,负数都小于零,正数大于一切负数.

      (3)两个负数大小的比较:由于数轴上左边的数小于右边的数,故两个负数中,绝对值大的反而小.

      (4)两个正数大小的比较:绝对值大的数较大.

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      (5)有理数大小的比较方法:

      ①数轴比较法

      将两有理数分别表示在数轴上,右边点表示的数总比左边点表示的数大,两数表示在同一点则这两数相等.

      ②差值比较法

      设a、b是任意两有理数,则a-b>0a>b;a-b<0a<b;a-b=0a=b.

      ③商值比较法

      设a、b是两正有理数,则a/b>1a>b;a/b=1a=b;a/b<1a<b.

      ④绝对值比较法

      设a、b是两负有理数,则|a|>|b|a<b;|a|=|b|a=b;|a|<|b|a>b.

      除此之外还有平方法、倒数法等.

      1.2 有理数的四则运算

      知识清单

      ·知识1 有理数的加法

      ·知识2 有理数的加法运算律

      ·知识3 有理数的减法

      ·知识4 有理数的乘法

      ·知识5 有理数的乘法运算律

      ·知识6 有理数的除法

       知识1 有理数的加法

      知识1 有理数的加法

      把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法.

      有理数加法法则:

      (1)同号两数相加,取相同的符号,并将绝对值相加;

      (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

      (3)互为相反数的两数相加得0;

      (4)一个数同0相加仍得这个数.

      温馨提示 ①有理数加法运算要按照一定、二求、三和差的步骤计算,即第一步先确定和的符号;第二步求加数的绝对值;第三步要分析绝对值相加还是相减.

      ②两个带分数相加,可以把整数部分和分数部分分别相加,再求和.

      ③在有理数运算中,+-有两种含义.a.仅表示运算符号:加号与减号.b.仅表示性质符号:正号与负号.在运算过程中,既可以看作性质符号,也可以看作运算符号.

       知识2 有理数的加法运算律

      知识2 有理数的加法运算律

      (1)加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a;

      (2)加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变,即(a+b)+c=a+(b+c).

      温馨提示 ①互为相反数的两个数,可以先相加.

      ②符号相同的数可以先相加.

      ③分母相同的数可以先相加.

      ④几个数相加能得到整数可以先相加.

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       知识3 有理数的减法

      知识3 有理数的减法

      已知两个有理数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做有理数的减法.减法是加法的逆运算.

      温馨提示 有理数的加法和减法可以互相转化.我们学习了负数,数的范围扩大到有理数,在有理数范围的减法运算中,其意义没有改变,但是被减数和减数既可以是正数,也可以是负数,即被减数可以比减数大,也可以比减数小,二者之差一定为有理数.

      有理数减法法则

      减去一个数,等于加上这个数的相反数,即把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算,可表示

      温馨提示 ①引进负数之后,对于任意两个有理数都可以求出其差,不存在不够减的问题,并有如下结论:大数减小数,差为正数;小数减大数,差为负数;某数减去零,差为某数;零减去某数,差为某数的相反数;相等两数相减,差为零.

      ②在减法转化为加法时,减数必须同时变成其相反数,即同时改变两个符号.

      例如:

      ③代数和的意义:由于有理数的减法法则能将减法转化为加法,所以加减混合运算可统一为省略加号、括号的几个正数或负数的和的形式,这样的算式称为代数和.如(-2)+(+3)+(-4)+(+5)可以写成-2+3-4+5,它的意义是-2,+3,-4,+5的和,可以读作负2,正3,负4,正5的和,或读作负2加3减4加5.

      ④有理数的加减混合运算就是将减法统一成加法,然后再变成省略加号和括号的形式(代数和的形式),再利用加法交换律、结合律计算.

       知识4 有理数的乘法

      知识4 有理数的乘法

      求两个有理数积的运算叫做有理数的乘法.

      1.乘法法则

      (1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;

      (2)任何数与零相乘,都得零.

      2.乘法法则的推广

      (1)几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正;

      (2)几个数相乘,有一个因数为零,积就为零;

      (3)几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘.

      温馨提示 ①乘法是求几个相同加数的和的简便算法,引入负数后,乘法的意义没有改变.

      ②有理数乘法与有理数加法的运算步骤一样:

      第一步,确定符号;第二步,确定积的绝对值.如图所示.

      ③掌握乘法法则的关键是会确定积的符号:两数相乘,同号得正,异号得负,切勿与有理数加法的符号法则相混淆.

       知识5 有理数的乘法运算律

      知识5 有理数的乘法运算律

      (1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积

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      不变,即ab=ba;

      (2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变,即(ab)c=a(bc);

      (3)乘法分配律:某个数与两个数的和相乘等于这个数分别与这两个数相乘,再把积相加,即a(b+c)=ab+ac.

      温馨提示 ①使用乘法分配律时,切勿漏乘某项.

      ②互为倒数的两数可先相乘.

      ③凑整,即几个积为整十或整百的数先结合.

       知识6 有理数的除法

      知识6 有理数的除法

      已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做有理数的除法.

      有理数的除法法则(一):除以二个数(0除外)等于乘以这个数的倒数.

      有理数的除法法则(二):两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.零除以任意二个不等于零的数,都得零.

      温馨提示 ①0不能作除数.

      ②有理数的除法与乘法是互逆运算.

      ③在做除法运算时,根据同号得正,异号得负的法则先确定符号,再把绝对值相除.若在算式中有带分数,一般化成假分数进行计算.若不能整除,则除法运算都转化为乘法运算.

      方法清单

      ·方法1 几个有理数相加的常用方法

      ·方法2 有理数减法的解题方法

      ·方法3 有理数加减混合运算的简便方法

      ·方法4 有理数加减法在实际问题中的应用

      ·方法5 求倒数的方法

      ·方法6 有理数乘除法法则的应用

      ·方法7 有理数乘法运算律的应用

      ·方法8 有理数乘除混合运算的方法

      ·方法9 有理数乘除法在实际问题中的应用

      ·方法10 与绝对值相关的分数的化简方法

       方法1 几个有理数相加的常用方法

      方法1 几个有理数相加的常用方法

      (1)应用加法运算律把同号的加数相加,再把异号的加数相加;

      (2)应用运算律把可以凑整的加数相加;

      (3)应用运算律把互为相反数的加数相加.

       方法2 有理数减法的解题方法

      方法2 有理数减法的解题方法

      (1)当减数中含有性质符号+或-时,一定要用括号括起来,再相减.

      page0009

      (2)在有理数的减法运算中,注意两变,即同时改变两个符号:一是运算符号,由-变为+;二是减数的性质符号,由+变-或由-变+.被减数和减数的位置不变.即两变一不变原则.

      (3)有理数减法没有交换律,被减数和减数不能交换位置,也不能简单地应用结合律.

       方法3 有理数加减混合运算的简便方法

      方法3 有理数加减混合运算的简便方法

      有理数的加减混合运算与我们小学所学的正数的加减运算一样,异分母分数应通分为同分母的分数,再运用有理数加减运算法则.简便计算的关键是运用交换律与结合律,使用这两个运算律时应注意符号的变化.

       方法4 有理数加减法在实际问题中的应用

      方法4 有理数加减法在实际问题中的应用

      有理数的加减法在实际生活中的应用本质上是列式计算问题,解题时要抓住事物的本质,弄清是各数之和还是各数的绝对值之和.

       方法5 求倒数的方法

      方法5 求倒数的方法

      根据定义,要求a(a≠0)的倒数,只要求1/a即可.

       方法6 有理数乘除法法则的应用

      方法6 有理数乘除法法则的应用

      (1)若因数中有带分数,应先把带分数化成假分数再相乘;若因数中有小数,一般先把小数化成分数,再相乘.

      (2)用有理数除法的法则时,当两个数都是整数时,一般选择法则二,当两个数中有一个或两个都是分数时,选择法则一比较简单.

       方法7 有理数乘法运算律的应用
      page0010

      方法7 有理数乘法运算律的应用

      有理数运算是初中数学各类运算的基础,但同时也是同学们难以掌握、经常出错的难点.只要同学们在进行有理数运算时,根据每个算式的结构特征,选择适当的方法,灵活运用运算律和运算法则,就会收到事半功倍的效果.

       方法8 有理数乘除混合运算的方法

      方法8 有理数乘除混合运算的方法

      对于有理数乘除混合运算,需掌握以下几点:

      (1)由负因数的个数确定符号;(2)小数化成分数,带分数化成假分数;(3)除号变乘号,除数变成其倒数,变成连乘形式;(4)进行约分;(5)注意运算顺序,乘除为同级运算,要遵守从左到右的顺序计算;(6)转化为乘法后,可运用乘法运算律简化运算.

       方法9 有理数乘除法在实际问题中的应用

      方法9 有理数乘除法在实际问题中的应用

      利用有理数乘除法可以解决很多实际问题,在解题时需要认真审题,弄清问题的本质是有理数的加法,还是有理数的乘法.

       方法10 与绝对值相关的分数的化简方法

      方法10 与绝对值相关的分数的化简方法

      (1)若a>0,则|a|/a=1;

      (2)若a<0,则|a|/a=-1.

      1.3 有理数的乘方

      知识清单

      ·知识1 有理数的乘方及表示方法 ·知识2 有理数乘方的计算法则 ·知识3 有理数的混合运算

       知识1 有理数的乘方及表示方法

      知识1 有理数的乘方及表示方法

      求几个相同因数的积的运算叫乘方.

      ,记作a^(n).乘方的结果叫做幂.在a^(n)中,a叫做底数,n叫做指数.

      温馨提示 ①一个数可以看作这个数本身的一次方.

      例如:2就是2^(1),a就是a^(1),指数1通常省略不写.

      page0011

      ②习惯上把a^(2)(a的二次方)叫做a的平方,a^(3)(a的三次方)叫做a的立方.

      ③当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在其右上角写指数,指数要写得小些.例如:(3/5)^(2)不能写成3^(2)/5.

       知识2 有理数乘方的计算法则

      知识2 有理数乘方的计算法则

      (1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.

      例如:(-2)^(3)=-8,(-2)^(2)=4.

      (2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.例如:2^(2)=4,2^(3)=8,0^(3)=0.

      温馨提示 ①0的0次幂无意义.

      ②由于乘方是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成.

      ③任何有理数的偶次幂都是非负数.

      ④负数的乘方与乘方的相反数不同.例如:(-3)^(4)与-3^(4),(-3)^(4)为-3的4次方,表示4个-3相乘,-3^(4)是3的4次方的相反数.此类问题应多从意义上理解,从而有效地避免错误.

       知识3 有理数的混合运算

      知识3 有理数的混合运算

      含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算.

      有理数混合运算的顺序

      先乘方,后乘除,最后加减;有括号时,先算括号里面的;同级运算按照从左至右的顺序进行,同时注意运算律的灵活运用.

      温馨提示 有理数的混合运算,确定合理的运算顺序是关键;有时结合运算律,可以达到简便运算的目的.对于含有括号的多级运算,可按有理数混合运算的顺序进行,运算过程中,每一步都应重视符号.

      方法清单

      ·方法1 有理数乘方的运算方法

      ·方法2 与相反数相关的乘方运算方法

      ·方法3 有理数乘方的运算技巧

      ·方法4 有理数混合运算的方法

       方法1 有理数乘方的运算方法

      方法1 有理数乘方的运算方法

      (1)根据乘方的意义,先把乘方转化为乘法,再利用乘法的运算方法进行计算.

      (2)先确定幂的符号,再求幂的绝对值.

       方法2 与相反数相关的乘方运算方法

      方法2 与相反数相关的乘方运算方法

      (1)互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数,若a+b=0,则a^(2n+1)+b^(22)n^(+1)=0(n为自然数).

      (2)互为相反数的两个数的偶次幂相等,若a+b=0,则a^(2n)=b^(2n)(n为自然数).

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       方法3 有理数乘方的运算技巧

      方法3 有理数乘方的运算技巧

      当乘方中的指数较大时,若按基本运算要求,先算乘方,再算乘法,计算很复杂,我们可通过观察、分析底数的特点,简化计算.

       方法4 有理数混合运算的方法

      方法4 有理数混合运算的方法

      有理数的五种基本运算分别有自己的运算技巧和规律,在计算时,除了按运算顺序外,还要灵活使用运算律,使运算准确快捷.

      1.4 科学记数法、近似数与有效数字

      知识清单

      ·知识1 科学记数法(重点) ·知识2 近似数 ·知识3 有效数字

       知识1 科学记数法(重点)

      知识1 科学记数法(重点)

      把一个数表示成a×10^(n)的形式,(其中1≤|a|<10,n为整数),这种记数的方法叫做科学记数法.

      温馨提示 ①当要表示的数的绝对值大于10时,用科学记数法写成a×10^(n),其中1≤|a|<10,n为正整数,其值等于原数中整数部分的位数减去1,如1315=1.315×10^(3).

      ②当要表示的数的绝对值小于1时,用科学记数法写成a×10^(n),其中1≤|a|<10,n为负整数,其值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数(包括小数点前面的那个零),如0.00203=2.03×10^(-3).

       知识2 近似数

      知识2 近似数

      近似数就是与实际数很接近的数.

      温馨提示 ①近似数末尾的0不能随便去掉.

      ②一个近似数对于它所表示的准确数的误差程度叫做精确度.精确度不同,近似值与实际值的接近程度

      page0013
      也不同.

      ③一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.

       知识3 有效数字

      知识3 有效数字

      一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.例如,1.020有四个有效数字:1,0,2,0;2.530×10^(8)有四个有效数字:2,5,3,0.

      温馨提示 ①近似数的精确度有两种形式:a.精确到哪一位,b.保留几个有效数字.

      ②对于绝对值较大的数取近似值时,结果一般用科学记数法来表示.如:8903000(保留三个有效数字)的近似数,即8903000≈8.90×106.

      ③对带有记数单位的近似数,如2.3万,它有两个有效数字:2,3,而不是五个有效数字.

      方法清单

      ·方法1 用科学记数法表示绝对值较大的数的方法

      ·方法2 由科学记数法求原数的方法

      ·方法3 利用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法

      ·方法4 有效数字的确定方法

      ·方法5 精确度的确定方法

      ·方法6 用科学记数法表示近似数

       方法1 用科学记数法表示绝对值较大的数的方法

      方法1 用科学记数法表示绝对值较大的数的方法

      (1)把已知数的小数点向左移动几位,就乘以10的几次方,如把10000的小数点从第五位数(0)的后面向左移动4位到第一位数字1的后面,写成科学记数法的形式为a取1,n取4,即10000=1×10^(4).

      (2)已知数的整数部分的位数减去1,就等于10的指数n.

       方法2 由科学记数法求原数的方法

      方法2 由科学记数法求原数的方法

      把科学记数法形式的数还原为原数,有两种思路:①按照乘方和乘法的运算进行;②逆用上面的方法,即原数的整数部分的位数等于10的指数n加上1.另外还要注意不要遗漏符号.

       方法3 利用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法

      方法3 利用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法

      用科学记数法表示绝对值小于1的数时,负指数的绝对值为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前的那个零).

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       方法4 有效数字的确定方法

      方法4 有效数字的确定方法

      对有效数字的确定要把握三点:①起于左边第一个非零数字;②止于精确到的数位;③包括中间的重复数字和0.注意近似数小数末尾的0不能丢掉.

       方法5 精确度的确定方法

      方法5 精确度的确定方法

      1.精确到哪一位

      一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个近似数精确到哪一位.如:近似数0.576精确到千分位或精确到0.001,那么千分之一(0.001)就是0.576的精确度.

      2.保留几个有效数字

      一个近似数有几个有效数字,就称这个近似数保留几个有效数字,如:近似数0.123,有1,2,3三个有效数字,那么称这个近似数保留三个有效数字.

       方法6 用科学记数法表示近似数

      方法6 用科学记数法表示近似数

      根据精确度的要求,当精确到某一位的后一位或保留的有效数字的后一位在原数的小数点左边时,应将近似数用科学记数法表示.

       知识1 代数式及其分类

      第2章 代数式与整式

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      2.1 代数式

      知识清单

      ·知识1 代数式及其分类 ·知识2 列代数式(重点) ·知识3 代数式的值

      知识1 代数式及其分类

      1.代数式

      用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式,单独的一个数或一个字母也是代数式.

      温馨提示 代数式中可含有加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号,不可含有=≠>或<等表示相等或不等关系的符号.如:不等式x-2>0和等式2x+3=7都不是代数式,而x,ab,1/2xy,a+3b^(2),a/b(b≠0)等都是代数式.

      2.代数式的分类

      代数式 有理式 整式:
      单项式
      多项式
      分式
      无理式

      有理式:只含有加、减、乘、除、乘方(包括数字开方运算)的代数式,叫做有理式.

      无理式:含有关于字母开方运算的代数式,叫做无理式.

       知识2 列代数式(重点)

      知识2 列代数式(重点)

      把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来,这就是列代数式.

      1.列代数式的一般步骤

      (1)列代数式要认真审题,仔细分析问题中基本术语的含义.如:和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小、除、除以等.

      (2)要注意问题的语言叙述表示的运算顺序,一般来说,先读的先写.

      如:设甲数为a,乙数为b,用代数式表示下列语句的含义.

      ①甲数的1/3与乙数的1/2的差:先读的是甲数的1/3,所以1/3a应写在前面,即1/3a-1/2b.

      ②甲、乙两数的平方和:平方和是指先平方,后求和,即a^(2)+b^(2).

      ③甲、乙两数和的平方:和的平方是指先求和,后平方,即(a+b)^(2).

      (3)要弄清题中的数量关系及运算顺序,注意正确使用表明运算顺序的括号.在比较复杂的语句中,一般会有多个的字出现.列代数式时,可抓住各个的字将句子分为几个层次,逐步列出代数式.

      如:用代数式表示比m、n两数的和的2倍大p的数.将此句划分为三层:第一层是m、n两数的和,因为第一层需要先算,所以需用括号将m+n括上;第二层是m、n两数的和的2倍,简单地说,就是和的2倍,应表示为2(m+n);第三层是比m、n两数的和的2倍大p的数就是比2(m+n)大p的数,应表示为2(m+n)+p.

      (4)在同一问题中,不同的数量,必须用不同的字母来表示.

      如:用代数式表示甲、乙两数的积减去甲、乙两数的和,在这个问题中,甲数和乙数必须用不同的字母来表示,即甲数用x表示,乙数就不能用x来表示了.

      2.代数式的书写要求

      (1)字母与字母相乘,数字与字母相乘(数字应写在字母前),乘号通常写作·,或者省略不写.例如,m×n可写作m·n或mn,(a+b)×3可写成3·(a+b)或3(a+b).但为避免误会,数与数相乘时仍用×,不宜用·,更不能省略乘号.

      (2)在代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写.例如:x÷2写作x/2,3ab÷c写作3ab/c.

      (3)带分数与字母相乘,省略乘号时应把带分数化成假分数,例如:a^(2)b×21/3应写成7/3a^(2)b.

      (4)实际问题中需用单位时,若代数式的最后结果含有加、减运算,则要将整个式子用括号括起来,再写单位;否则,可直接写单位.例如,5x km,(x+y)天.

      温馨提示 ①列代数式时,注意书写规范.

      ②列代数式时,相同字母的积用乘方表示.如a×a×

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      a,一般写成a^(3).

      ③实际问题中的数量关系可以用代数式表示,另一方面,同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义.注意说出代数式表示的实际意义时,数与字母的含义必须与实际相符.

       知识3 代数式的值

      知识3 代数式的值

      用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算计算出的结果,叫做代数式的值.

      代数式的值是随着代数式中字母取值的变化而变化的.

      温馨提示 ①求代数式的值有代入和计算两个步骤.

      ②代入时,按已知给定的数值,将相应的字母换成数字,其他的运算符号、原来的数字都不变.

      ③代数式中原来省略乘号的,代入数字后出现数字与数字相乘时,必须添上乘号.

      方法清单

      ·方法1 列代数式的方法

      ·方法2 求代数式的值的方法

      ·方法3 代数式在探索规律问题中的应用方法

       方法1 列代数式的方法

      方法1 列代数式的方法

      列代数式时,要善于将文字语言转化为数学语言,一般是先读的先写,并注意括号的使用.对实际问题中的代数式,要明确各量之间的关系,如:路程=速度×时间,利润=售价-成本,工作量=工作效率×工作时间等,根据实际问题提供的数量关系列出代数式.

       方法2 求代数式的值的方法

      方法2 求代数式的值的方法

      求代数式的值的一般方法是用数值代替代数式中的每个字母,然后计算求得结果.对于特殊的代数式,也可以采用如下方法来解:

      ①给出代数式中所有字母的值,该类题一般是先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算.

      ②给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值,该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算.

      ③在给定条件中,字母之间的关系不明显,字母的值隐含在题设条件中,该类题应先由题设条件求出字母的值,再求代数式的值.

       方法3 代数式在探索规律问题中的应用方法

      方法3 代数式在探索规律问题中的应用方法

      根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律,从中总结其所反映的规律.其中,以图形为载体的数字规律最为常见.猜想这种规律,需要把图形中的有关

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      数量关系列式表达出来,再对所列式进行对照,仿照猜想数式规律的方法得到最终结论.这类问题是近年来中考试题的热点,应予以关注.

      2.2 整式

      知识清单

      ·知识1 整式

      ·知识2 单项式

      ·知识3 单项式的系数

      ·知识4 单项式的次数

      ·知识5 多项式、多项式的项与常数项

      ·知识6 多项式的次数

      ·知识7 升幂排列与降幂排列

       知识1 整式

      知识1 整式

      整式:单项式与多项式统称整式.

      它们的关系如图所示:

      温馨提示 ①所有的整式的分母中不含字母.

      ②所有的整式都是代数式,但并不是所有的代数式都是整式.

       知识2 单项式

      知识2 单项式

      像-x,1/2m^(2),-ab,2πr这些代数式,都是由数与字母的乘积组成的,这样的代数式叫做单项式.特别地,单独的一个数或一个字母也是单项式.巧记方法:单项式中只含乘除,不含加减.

      温馨提示 ①单项式中只不能含有加减运算,例如x+2/3不是单项式.

      ②单项式可以是数和数的积,如6π;可以是数和字母的积,如a/3;可以是字母和字母的积,如ab;可以是多个数与多个字母的积,如3/5a^(2)b^(3)c^(5).

      ③由于π是常数,所以1/π是单项式.

       知识3 单项式的系数

      知识3 单项式的系数

      单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

      温馨提示 ①一个单项式只含有字母因数,它的系数就是1或-1.

      ②一个单项式是一个常数,它的系数是它本身.

      ③负数作系数时,应包括前面的符号.

      ④当一个单项式的系数是1或-1时,1通常省略不写.如:a^(2)、-mn;单项式的系数是带分数时,通常写成假分数,如11/2x^(2)y写成3/2x^(2)y.

       知识4 单项式的次数

      知识4 单项式的次数

      一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

      温馨提示 单项式的次数与系数没有关系,例如:2^(3)a^(2)b^(3)的次数是5,不要误认为是8.

       知识5 多项式、多项式的项与常数项
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      知识5 多项式、多项式的项与常数项

      几个单项式的和叫做多项式.

      如:x^(2)+2xy+y^(2),a^(2)-b^(2)等.

      在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.

      温馨提示 ①多项式的每一项都包括它前面的符号,如3x^(2)-6x+7,这个多项式的项是3x^(2),-6x,7.

      ②多项式中单项式的个数叫做多项式的项数.如3a^(2)-2a+5的项数是3,叫做三项式.

      在多项式中,不含字母的项叫做常数项.

       知识6 多项式的次数

      知识6 多项式的次数

      多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.

      温馨提示 多项式通常以它的项的次数和项数来命名,称几次几项式.最高次项的次数是几,叫几次式,项数是几,叫几项式.例如:多项式6xy^(4)+2x^(2)y^(2)-3xy-4叫做五次四项式.

       知识7 升幂排列与降幂排列

      知识7 升幂排列与降幂排列

      为便于多项式的运算,可以用加法的交换律将多项式各项的位置按某一字母的指数大小顺序重新排列.

      若按某个字母的指数从大到小的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母降幂排列.

      若按某个字母的指数从小到大的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母升幂排列.

      如:多项式2a^(3)b-3ab^(3)+a^(2)b-1/2b^(2)a+a+b-1.

      按字母a升幂排列为-1+b+a-1/2b^(2)a-3ab^(3)+a^(2)b+2a^(3)b.

      温馨提示 ①重新排列后还是多项式的形式,各项的位置发生变化,其他都不变.

      ②各项移动时要连同它前面的符号一起移动.

      ③含有两个或两个以上字母的多项式,注意按某一字母升幂或降幂排列.

      ④某项前的符号是+,在第一项的位置时,正号可省略,其他位置不能省,排列时注意添加或省略.

      方法清单

      ·方法1 整式的识别方法

      ·方法2 多位数字的表示方法

      ·方法3 利用单项式概念确定字母取值的方法

      ·方法4 利用多项式概念确定字母取值的方法

       方法1 整式的识别方法

      方法1 整式的识别方法

      识别整式要注意以下几点:

      (1)单项式中不能含有加减运算,多项式中一定含有加减运算.如2x+y,2b^(2)-1等都是多项式.

      (2)单项式与多项式中都可以有除法运算,但是要写成分数的形式且分母中不能含有字母.如-st/2是单项式;a-2b/4是多项式;2/a,x+y/x既不是单项式,也不是多项式.

      (3)一个整式不是单项式就是多项式.判断一个式子是否为整式的关键是看分母中是否含有字母.

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       方法2 多位数字的表示方法

      方法2 多位数字的表示方法

      如果一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,不能把这个三位数直接写成abc,而是把各数位上的数字乘相应的倍数,相加后即为所求的三位数.即100a+10b+c.

       方法3 利用单项式概念确定字母取值的方法

      方法3 利用单项式概念确定字母取值的方法

      单项式的系数、次数是相对的,如-2ax^(2)y是关于x,y的三次式,这时系数是-2a,若是关于x的单项式,则它是二次单项式,系数是-2ay,若是关于y的单项式,则它是一次单项式,系数是-2ax^(2).

       方法4 利用多项式概念确定字母取值的方法

      方法4 利用多项式概念确定字母取值的方法

      单项式的次数是各个字母指数的和,而多项式的次数是构成多项式的项中次数最高的项的次数.如构成多项式的项中最高次数为7次,那么此多项式的次数也为7次.

      2.3 整式的加减

      知识清单

      ·知识1 同类项

      ·知识2 合并同类项(重点)

      ·知识3 去括号与添括号

      ·知识4 化简求值

       知识1 同类项

      知识1 同类项

      所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项称为同类项.另外,所有的常数项都是同类项.

      例如:-a^(2)b与3a^(2)b是同类项,-1/2x^(2)y^(3)与y^(3)x^(2)是同类项.

      温馨提示 ①判断同类项的标准是两相同,即所含字母相同,相同字母的指数也相同,二者缺一不可.

      ②同类项与系数无关,与字母的排列顺序也无关.如2x^(3)y^(4)与-3/2y^(4)x^(3)是同类项.

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       知识2 合并同类项(重点)

      知识2 合并同类项(重点)

      把同类项合并成一项叫做合并同类项.

      合并同类项的法则:

      同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.

      合并同类项的一般步骤:

      (1)准确找出同类项(初学者可先用不同记号标出同类项);

      (2)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;

      (3)写出合并后的结果,注意不要漏项.

      温馨提示 ①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.

      ②合并同类项时,只能把同类项合并,不是同类项的不能合并;不能合并的项,在每步运算中不要漏掉.

      ③只要不再有同类项,就是最后的结果,结果可能是单项式,也可能是多项式.

       知识3 去括号与添括号

      知识3 去括号与添括号

      1.去括号法则

      括号前面是+,把括号和它前面的+去掉,括号内各项都不改变符号;括号前面是-,把括号和它前面的-去掉,括号内各项都改变符号.

      如:+(a+b-c)=a+b-c;

      -(a+b-c)=-a-b+c.

      2.添括号法则

      所添括号前面是+,括到括号里的各项都不改变符号;所添括号前面是-,括到括号里的各项都要改变符号.

      如:a-b-c=+(a-b-c);

      a-b-c=-(-a+b+c).

      温馨提示 ①整式的加减的实质是去括号,合并同类项.

      ②去括号时,首先要看清括号前是+还是-,其次注意法则中的都字,即变号时,括号里各项都变号;不变号时,括号里的各项都不变号.若括号前有数字因数,应利用乘法分配律,先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号,添括号与去括号类似.

      ③添括号是否正确可以用去括号检验,二者互逆.

       知识4 化简求值
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      知识4 化简求值

      化简求值是指我们不直接把字母取值代入代数式中计算,而是先化简(即去括号,合并同类项),然后再代入求值.

      温馨提示 ①一般情况下,字母取值不同,代数式的值也不同.

      ②当字母的取值是分数或负数时,代入要注意将分数或负数添上括号.

      ③把数值代入时,原代数式中的系数、指数及运算符号都不改变.

      方法清单

      ·方法1 同类项概念的应用方法

      ·方法2 合并同类项的方法

      ·方法3 去括号的方法

      ·方法4 整式加减的运算方法

      ·方法5 整体代换思想在化简求值中的应用方法

      ·方法6 整式的加减在实际问题中的应用方法

       方法1 同类项概念的应用方法

      方法1 同类项概念的应用方法

      根据同类项的概念,寻找同类项的过程就是把多项式的项按所含字母及字母的次数进行分类的过程.如果几个单项式所含的字母的顺序不同,可以根据乘法的交换律把字母按照一定的顺序(如英文字母表顺序)排列,以便比较其字母是否相同,在同类项的概念的应用中,一般是根据同类项中相同字母的指数相同建立方程或方程组求解,充分理解同类项概念是解题的关键.

       方法2 合并同类项的方法

      方法2 合并同类项的方法

      合并同类项实质包括两点:一找同类项;二合并同类项.初学时,可将同类项用自己习惯的标记标出来,这样在合并时就不易重复或漏掉某项了.合并时将同类项放在一个括号中,连同各项前面的符号,各括号间用+连接.若两个同类项系数互为相反数,则这两项合并后为0.

       方法3 去括号的方法

      方法3 去括号的方法

      (1)去括号是合理地进行整式加减运算的基本保证.

      (2)去括号时,要根据整式的特点,采取不同的策略灵活去括号.

      (3)对于单一的括号,遵循单一括号直接去的原则,即根据去括号的法则(结合乘法分配律)直接把括号去掉.

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      (4)对于多重括号,可遵循由里向外逐层去的原则,即先去小括号,再去中括号、大括号,最后合并同类项,也可由外向里逐层去括号,注意中括号内若有两个小括号,去小括号可同时进行.

       方法4 整式加减的运算方法

      方法4 整式加减的运算方法

      整式的加减运算是求几个整式的和、差的运算,其实质就是去括号、合并同类项,运算结果仍是整式.一般步骤:(1)如果有括号,先去括号;(2)如果有同类项,再合并同类项.

       方法5 整体代换思想在化简求值中的应用方法

      方法5 整体代换思想在化简求值中的应用方法

      化简求值时,一般先化简,再把各字母的值代人计算.有时题目并未给出各个字母的取值,而是给出几个式子的值,这时可把这几个式子看作一个整体,把多项式化为含有这几个式子的代数式,再代入求值.运用整体代换思想,往往使问题得到简化.

       方法6 整式的加减在实际问题中的应用方法

      方法6 整式的加减在实际问题中的应用方法

       知识1 等式

      第3章 一元一次方程

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      3.1 方程的有关概念

      知识清单

      ·知识1 等式

      ·知识2 等式的性质

      ·知识3 方程

      ·知识4 方程与等式的区别与联系

      ·知识5 方程的解

      ·知识6 解方程

      知识1 等式

      用等号(=)来表示相等关系的式子叫做等式.

      温馨提示 ①等式可以是数字算式,可以是公式、方程,也可以是运算律、运算法则等,所以等式可以表示不同的意义.

      ②不能将等式与代数式混淆,等式含有等号,是表示两个式子的相等关系,而代数式不含等号,它只能作为等式的一边.如5x+3,7-2x是代数式,而2x-6=5才是等式.

       知识2 等式的性质

      知识2 等式的性质

      性质1:等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.即如果a=b,那么a±c=b±c.

      性质2:等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即如果a=b,那么ac=bc,或a/c=b/c(c≠0).

      温馨提示 ①等式可抽象为天平,当天平两端放有相同质量的物体时,天平处于平衡状态.若在天平的两端各加(或减)相同质量的物体,则天平仍处于平衡状态.所以运用等式性质1时,当等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式时,才能保证所得结果仍是等式,应特别注意都和同一个.如1+x=3,左边加2,右边也加2,则有1+x+2=3+2.

      ②运用等式的性质2时,等式两边不能同除以0,因为0不能作除数或分母.

      ③等式性质的延伸:

      a.对称性:等式左、右两边互换,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么b=a.

      b.传递性:如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换).

       知识3 方程

      知识3 方程

      含有未知数的等式叫做方程.

      温馨提示 方程有两层含义:

      ①方程必须是一个等式,即是用等号连接而成的式子.

      ②方程中必有一个待确定的数,即未知的字母,这个字母就是未知数.如x+2=1.

       知识4 方程与等式的区别与联系

      知识4 方程与等式的区别与联系

      概念及其特点 区别 联系
      方程 含有未知数的等式叫做方程,一个式子是方程.要满足两个条件:一是等式,二含有未知数 方程一定是等式,并且是含有未知数的等式 方程是特殊的等式
      等式 用等号表示相等关系的式子叫做等式.等式的主体是相等关系 等式不一定是方程,因为等式不一定含有未知数 方程和等式的关系是从属关系,且有不可逆性
       知识5 方程的解
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      知识5 方程的解

      使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解,也叫方程的根).

      温馨提示 ①检验一个数是否是方程的解,只要用这个数代替方程中的未知数,如果方程两边的值相等,那么这个数就是方程的解;如果不相等,这个数就不是方程的解.

      ②方程可能无解,可能只有一个解,也可能有多个解

       知识6 解方程

      知识6 解方程

      求方程的解的过程,叫做解方程.

      温馨提示 ①一般地,不同的方程有不同的求解过程.

      ②等式的基本性质是解方程的依据.

      ③方程的解是结果,而解方程是得到这个结果的一个过程.

      方法清单

      ·方法1 方程的解的检验方法

      ·方法2 确定等量关系的方法

      ·方法3 利用方程的解求待定字母的方法

       方法1 方程的解的检验方法

      方法1 方程的解的检验方法

      检验一个数是否是方程的解,要分两步进行:第一步是代入求值,即将要检验的数值分别代入方程的左边和右边,分别计算;第二步是比较计算结果,得出检验结论.

       方法2 确定等量关系的方法

      方法2 确定等量关系的方法

      列方程解应用题是初中数学的一个重点也是一个难点,要突破这一难关,学会寻找等量关系是关键,那么怎样寻找应用题中的等量关系呢?(1)从关键词中找等量关系;(2)对于同一个量,从不同角度用不同的方法表示,得到等量关系;(3)运用基本公式找等量关系;(4)运用不变量找等量关系.

       方法3 利用方程的解求待定字母的方法

      方法3 利用方程的解求待定字母的方法

      利用方程的解求方程中的待定字母时,只要将方程的解代入方程,得到关于待定字母的方程,即可解决问题.

      page0025

      3.2 解一元一次方程

      知识清单

      ·知识1 一元一次方程

      ·知识2 移项

      ·知识3 去括号与去分母

      ·知识4 解一元一次方程的一般步骤(重点)

      ·知识5 解一元一次方程应注意的问题

       知识1 一元一次方程

      知识1 一元一次方程

      只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程.方程ax+b=0(其中x是未知数,a、b是已知数,并且a≠0)叫做一元一次方程的标准形式.

      温馨提示 ①一元一次方程中未知数所在的式子是整式,即分母中不含未知数.

      ②一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数为1.如1/x+2=3,x+y=6,x^(2)+x-6=0都不是一元一次方程.

       知识2 移项

      知识2 移项

      把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.如解方程3x-2=2x+5时,可在方程的两边先加2,再减2x,得3x-2+2二2x=2x+5+2-2x,即变形为3x-2x=5+2.

      与原方程相比较,这个变形过程如下:

      温馨提示 ①移项的原理就是等式的性质1.

      ②移项所移动的是方程中的项,并且是从方程的一边移到另一边,而不是方程的一边交换两个项的位置.

      ③移项时一定要改变所移动项的符号,不移动的项不能变号.如解方程3x=5x-10,若移项,得5x-3x=-10就出错了,原因是被移动的项5x的符号没有改变,而改变了没有被移动的项3x的符号.

      ④在移项时,最好先写等号左右两边原来不移动的项,再写移来的项.

       知识3 去括号与去分母

      知识3 去括号与去分母

      解一元一次方程的最终目标是要得到x=a这一结果.为了达到这一目标,方程中有括号就要根据法则去掉,即为去括号;方程中有分母的,根据等式性质2去掉,即为去分母.

      温馨提示 ①解含有括号的一元一次方程时,去括号时一般仍然遵循去括号的基本法则.但在实际去括号时,应根据方程的结构特点研究一些方法技巧,恰当地去括号,以简化运算.对于一些特殊结构的方程,可采用以下去括号的技巧.

      a.先去外再去内.即在解题时,打破常规,不是由内到外去括号,而是由外到内去括号.

      b.整体合并去括号.有些方程,把含有的某些多项式看作整体,先合并,再去括号,往往会简单.如,解方程-x-1/2(x-8)=-3/2(x-8)时,可把x-8看作整体先合并,再去括号.

      ②去分母时,在方程两边要同乘以所有分母的最小公倍数,不要漏乘不含分母的项.当方程的分母是小数时,需要把分母化整.同时注意分母化整只与这一项有关,而与其他项无关,要与去分母区分开.

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       知识4 解一元一次方程的一般步骤(重点)

      知识4 解一元一次方程的一般步骤(重点)

      步骤 具体做法 变形依据
      去分母

      在方程的两边同乘各分母的最小公倍数

      等式性质2

      去括号

      先去小括号,再去中括号,最后去大括号

      去括号法则、分配律

      移项

      把含有未知数的项移到方程的一边,其他各项都移到方程的另一边(记住移项要变号)

      等式性质1

      合并同类项

      把方程化为ax=b(a≠0)的形式

      合并同类项法则

      系数化为1

      在方程的两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a

      等式性质2

      温馨提示 解一元一次方程的五个步骤,有些可能用不到,有些可能重复使用,不一定按顺序进行,根据方程的特点灵活运用.

       知识5 解一元一次方程应注意的问题

      知识5 解一元一次方程应注意的问题

      在解方程的不同环节有各自不同的注意事项,分别如下:

      去分母 要注意:(1)分子是多项式的,去分母后要加括号;(2)不要漏乘不含分母的项
      去括号 要注意:(1)括号前的数要乘括号内的每一项;(2)括号前面是负数,去掉括号后,括号内各项都要变号
      移项 要注意:(1)移项时不要漏项;(2)将方程中的项从一边移到另一边要变号,而在方程同一边改变项的位置时不变号
      合并同类项 要注意:按合并同类项法则进行,不要漏项且系数的符号处理要得当
      系数化为1 未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数;未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数

      方法清单

      ·方法1 一元一次方程的识别方法

      ·方法2 利用合并同类项与移项解方程的方法

      ·方法3 利用去分母解方程的方法

      ·方法4 含小数的一元一次方程的解法

      ·方法5 解一元一次方程的简便方法

      ·方法6 一元一次方程概念的应用

      ·方法7 有关同解方程的解题方法

       方法1 一元一次方程的识别方法

      方法1 一元一次方程的识别方法

      判断一个方程是不是一元一次方程,首先应看其是否为整式方程,若为整式方程,应将原方程整理成一般形式,然后再判断.未知数在分母中的方程肯定不是一元一次方程.

       方法2 利用合并同类项与移项解方程的方法

      方法2 利用合并同类项与移项解方程的方法

      (1)合并同类项时,不能用连等号与原方程相连.

      (2)几个常数项也是同类项,合并时应该把它们合并在一起.

      (3)移项是把某项改变符号后移到等式的另一边,而不是等式两边两项交换位置.

      (4)移项必变号,不变号不能移项.

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       方法3 利用去分母解方程的方法

      方法3 利用去分母解方程的方法

      利用等式的性质2,在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数,将分母去掉,把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程.

      (1)分数线具有括号的作用,分子如果是一个多项式,去掉分母后,要把分子放在括号里.

      (2)不能漏乘不含分母的项.

      (3)分母含有小数的应先化小数为分数,再去分母.

       方法4 含小数的一元一次方程的解法

      方法4 含小数的一元一次方程的解法

      将小数化成整数,是根据分数的基本性质把含小数的项的分子、分母乘同一个适当的数,而不是方程所有的项都乘这个数.小数化成整数,是对分母含小数的项的恒等变形.

       方法5 解一元一次方程的简便方法

      方法5 解一元一次方程的简便方法

      解一元一次方程的一般步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.这是通法,但对于一些有特点的一元一次方程,如果不用一般步骤去解,反而简便.

       方法6 一元一次方程概念的应用

      方法6 一元一次方程概念的应用

      原方程为一元一次方程即未知数的次数为1,系数不为0,由此来确定原方程中待定字母的值.

       方法7 有关同解方程的解题方法

      方法7 有关同解方程的解题方法

      (1)如果两个方程的解相同,那么我们把这两个方程称为同解方程.已知两个一元一次方程是同解方程,求其中字母的取值,主要有两种常见题型,其解法有所不同.

      (2)在两个同解方程中,如果只有一个方程中含有字母,一般先解不含字母的方程,再把未知数的值代入含有字母的方程中,求出字母的值.

      (3)如果在两个同解方程中都含有相同的字母,一般分别解两个方程,用这个字母分别表示两个方程的解,并建立等式,形成关于这个字母的方程,求出该字母的值.

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      3.3 列一元一次方程解应用题

      知识清单

      ·知识1 列一元一次方程解应用题的一般步骤

      ·知识2 设未知数的几种方法(重点)

      ·知识3 一元一次方程应用题的常见类型

       知识1 列一元一次方程解应用题的一般步骤

      知识1 列一元一次方程解应用题的一般步骤

      (1)审:弄清题意和题目中的数量关系.

      (2)设:用字母表示题目中的一个未知数.

      (3)找:找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.

      (4)列:根据这个相等关系列出重要的代数式,从而列出方程.

      (5)解:解所列的方程,求出未知数的值.

      (6)验:检验方程的解是否符合问题的实际意义.

      (7)答:写出答案.

       知识2 设未知数的几种方法(重点)

      知识2 设未知数的几种方法(重点)

      设未知数的方法有三种:

      (1)直接设未知数:题目求什么就设什么为未知数.

      (2)间接设未知数:对于一些应用题,如果直接设所求的量为未知数,可能不容易列方程,这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数,进而再求出所求的量.

      (3)设辅助未知数:如果前两种方法都行不通,便可设某个量为辅助未知数,辅助未知数仅作为题目中量与量之间的关系的一种桥梁,一般情况下,解方程时也不需要求出这个量.

      温馨提示 ①采用直接设未知数的方法,原则是使分析条件更方便,组织方程更简单,这样比较容易得到方程,同时还要兼顾所得到的方程求解时的难易.直接设未知数,好处是容易选取未知数,而且在解方程时可以直接得到问题的解.

      ②如果题目里涉及的几个量存在某种数量关系或某种比例关系,多采用间接设未知数的方法,间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或组织方程感到困难的时候才采取的方法.其优点是列出方程和解方程的过程都比较容易.

      ③如果应用题涉及的量较多,各量之间的关系又不明显,若能设立适当的辅助未知数,把不明显的关系表示出来,就可以顺利地列出方程或方程组.

       知识3 一元一次方程应用题的常见类型
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      知识3 一元一次方程应用题的常见类型

         内容
      类型
      题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项
      和、差、倍、分问题 增长量=原有量×增长率
      现有量=原有量+增长量
      现有量=原有量-降低量
      由题可知 弄清倍数关系及多少关系等
      等积变形问题 长方体体积=长×宽×高
      圆柱体体积=πr^(2)h
      (h为高,r为底面圆半径)
      变形前后体积相等 要分清半径、直径
      行程问题 相遇问题 路程=速度×时间
      时间=路程÷速度
      速度=路程÷时间
      快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行,注意出发时间、地点
      追及问题 快车行驶距离-慢车行驶距离=原距离 同向而行,注意出发时间、地点
      航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度
      逆水速度=静水速度-水流速度
      路程=速度×时间 注意两地距离,静水速度不变
      调配问题 从调配后的数量关系中找
      等量关系
      调配对象流动的方向和数量
      比例分配问题 全部数量=各种成分的数量之和 把一份数设为x
      年龄问题 大小两个年龄差不会变 由题可知 年龄增长一年一岁,人人如此
      工程问题 工作量=工作效率×工作时间
      工作效率=工作量÷工作时间
      工作时间=工作量÷工作效率
      两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下,把总工作量设为1
      利润率问题 商品的利润率=商品利润/商品进价×100%
      商品利润=商品售价-商品进价(成本价)
      由题可知 打几折就是按原售价的十分之几出售
      数字问题(包括日历中的数字规律) 设a、b分别为一个两位数的个位、十位上的数字,则这个两位数可表示为10b+a 由题可知 (1)对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律;
      (2)设间接未知数
      储蓄问题 利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数) 由题可知 分清利息和本息和
      浓度问题 溶液质量=溶质质量+溶剂质量
      百分比浓度=溶质质量/溶液质量×100%
      溶质质量=溶液质量×百分比浓度
      加水前溶质质量=加水后溶质质量
      加水前含水量+加入的水量=加水后含水量
      注意加水前后溶质、溶液的变化
      page0030

      方法清单

      ·方法1 列一元一次方程的方法

      ·方法2 列一元一次方程解决配套问题

      ·方法3 用列表法解决增长率、数字等问题

      ·方法4 用图示法解决行程、工程等问题

      ·方法5 列一元一次方程解决销售利润问题

      ·方法6 列一元一次方程解决比赛中的积分问题

      ·方法7 列一元一次方程解决储蓄问题

      ·方法8 列一元一次方程解决等积变形问题

      ·方法9 列一元一次方程解决图表信息问题

      ·方法10 利用一元一次方程解决方案决策问题

       方法1 列一元一次方程的方法

      方法1 列一元一次方程的方法

      列一元一次方程就是根据所给的条件列出一个含有未知数的等式,其实质就是把文字语言叙述转化为用数学语言表达的式子,列方程的一般步骤:(1)设出适当的未知数;(2)用含有未知数的式子表达题中的数量关系;(3)根据实际问题中的等量关系列出方程.

       方法2 列一元一次方程解决配套问题

      方法2 列一元一次方程解决配套问题

      在现实生活和生产中存在产品配套问题,这类问题的基本等量关系是加工(或生产)的总量成比例.

       方法3 用列表法解决增长率、数字等问题

      方法3 用列表法解决增长率、数字等问题

      解复杂的问题时,可借助图表来确定等量关系.先找出已知量、未知量,并用含已知量或未知量的式子把中间的那些起桥梁作用的量表示出来,同时利用图表显示出等量关系.

       方法4 用图示法解决行程、工程等问题

      方法4 用图示法解决行程、工程等问题

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       方法5 列一元一次方程解决销售利润问题

      方法5 列一元一次方程解决销售利润问题

      常见数量关系 注意事项
      利润=售价-进价 打几折就是按原价的百分之几十出售
      利润率=(售价-进价)/进价×100% 分清利润与利润率
       方法6 列一元一次方程解决比赛中的积分问题

      方法6 列一元一次方程解决比赛中的积分问题

      这类问题中积分多少与胜负的场数相关,同时也与比赛积分规定有关,需先规定胜一场积几分,平一场积几分,负一场积几分.这类问题中的基本等量关系有:

      比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数;

      比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分.

       方法7 列一元一次方程解决储蓄问题

      方法7 列一元一次方程解决储蓄问题

      解此类问题,首先要弄清以下几个概念:顾客存入银行的钱叫本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金与利息的和叫本息和,存入银行的时间叫期数,每个期数内的利息与本金的比叫利率.根据上述定义,每个期数内,利息/本金=利率,所以利息=本金×利率×期数,这个公式是解决储蓄问题时常用的等量关系式.

       方法8 列一元一次方程解决等积变形问题

      方法8 列一元一次方程解决等积变形问题

      解此类问题的关键是准确牢记有关图形的体积、面积、周长公式.抓住两个等量关系:①形变体积不变;②有时形变引起体积变化,但质量不变.

      page0032
       方法9 列一元一次方程解决图表信息问题

      方法9 列一元一次方程解决图表信息问题

      对于图表信息型应用题,需要我们从图表中挖掘隐含信息,找到相关的已知量,构建相应的数学模型,灵活应用所学知识解决实际问题.

       方法10 利用一元一次方程解决方案决策问题

      方法10 利用一元一次方程解决方案决策问题

      随着社会发展,与生活有关的实际问题不断渗透到数学学习中来.在生活中,做一件事情往往会有多种选择,这就要选一个最优方案.选择最优方案就要把每一种方案的结果都算出来,通过比较,确定最优方案.

       知识1 常见的立体图形

      第4章 图形的初步认识

      page0033

      4.1 空间图形

      知识清单

      ·知识1 常见的立体图形 ·知识2 立体图形的平面展开图 ·知识3 正方体的平面展开图

      知识1 常见的立体图形

      现实生活中蕴含着大量的图形,为了方便研究问题,我们把具有共同特征的物体抽象为各种几何体,即各种立体图形、平面图形都是从实际生活中抽象出来的,如书本给我们以长方体的形象,笔筒给我们以圆柱的形象,等等.

      常见的立体图形有如下分类:

      立体图形
      柱体:
      圆柱
      棱柱(三棱柱、四棱柱,…)
      椎体:
      圆锥
      棱锥(三棱锥、四棱锥,…)

      还可以按围成立体图形的面是平的面或曲的面分类:

      立体图形:多面体(由平的面围成的立体图形)、曲面体(围成立体图形的面中有曲的面)

      1.几种常见的几何体及其基本特征

      (1)正方体和长方体

      正方体(如图所示)又称为立方体,它的各条棱长都相等,各个面都是正方形.

      长方体(如图所示)的各个面都是长方形,正方体是特殊的长方体,它们都有8个顶点、12条棱、6个面.

      (2)圆柱和圆锥

      圆柱(如图所示)有上、下两个底面,这两个底面是半径相同的圆.

      圆锥(如图所示)有一个底面,且底面是圆.

      (3)棱柱

      如图所示的是两个棱柱,上、下两个面是全等的多边形,为棱柱的底面,其他各面称为棱柱的侧面,棱柱的侧面都是长方形.

      (4)球

      球是生活中最常见的图形之一,例如篮球、足球都是球,球是由一个面所围成的几何体(如图所示).

      2.多面体

      多面体是指由多个平面围成的立体图形.

      围成多面体的各个平面多边形,叫做多面体的面.每相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.

      多面体是从另外一个角度观察几何体,它与前面的分类有重叠的部分,如长方体也可以叫做四棱柱,又可以叫六面体.

      3.几何图形的元素及其关系

      图形是由点、线、面构成的,几何体简称体;包围着体的是面;面和面相交形成线;线和线相交形成点.点动成线,线动成面,面动成体.

      常见的旋转体如下表:

      几何体 圆锥 圆柱 圆台
      立体图形
      旋转的平面图形
       知识2 立体图形的平面展开图

      知识2 立体图形的平面展开图

      把一个立体图形展开后得到的平面图形就是它的平面展开图.

      page0034

      常见几何体的平面展开图:

      几何体 正方形 长方形 圆柱 圆锥
      图形
      平面展开图
      几何体 三棱锥 三棱柱 六棱柱
      图形
      平面展开图

      温馨提示 ①立体图形是由面围成的,设想沿着立体图形的一些棱将它剪开,可以把立体图形展开成一个平面图形,同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.

      ②虽然不同的几何体以不同的方式展开会得到不同的图形,但组成这些图形的基本图形是一致的.常常是三角形、多边形、圆等.

      ③我们常见的棱柱主要是直棱柱(侧面垂直于底面),但一个棱柱的侧面不一定是完全相同的长方形.

       知识3 正方体的平面展开图

      知识3 正方体的平面展开图

      正方体的展开图由6个小正方形组成,为得到它的展开图,在其表面要剪7次.正方体的平面展开图的4个代表图形为:

      2-2-2型

      3-0-3型

      以上四种类型可以编成如下口诀来辅助记忆:中间四个面,上下各二面;中间三个面,二二隔河现;中间两个面,楼梯天天见;中间没有面,三三连二线.

      上面图形通过适当的变换还能得到多种展开图,如移动1-4-1型中A,B两个面,还能得到另外的5种,移动1-3-2型中的A面和B,C面(B,C面作为一个整体)还能得到另外的2种,即正方体共有11种展开图.

      温馨提示 ①在正方体的展开图中,一条直线上的小正方形不会超过四个,如图所示的展开图都不是正方体的展开图.

      ②正方体的展开图中不会有田字形,凹字形的形状,如图所示的展开图都不是正方体的展开图.

      方法清单

      ·方法1 几何体的特征的应用方法

      ·方法2 截几何体所得截面的形状的判断方法

      ·方法3 正方体展开图相对面的识别方法

      ·方法4 探索多面体的棱数、面数与顶点数之间的关系的方法

       方法1 几何体的特征的应用方法

      方法1 几何体的特征的应用方法

      柱体、锥体是我们常见的几何体.柱体有两个平行的底面,锥体只有一个底面.柱体的两个平行的底面是全等的两个多边形,或是半径相等的两个圆.

      page0035
       方法2 截几何体所得截面的形状的判断方法

      方法2 截几何体所得截面的形状的判断方法

      用一个平面截一个几何体,首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线,再判断截面的形状.

       方法3 正方体展开图相对面的识别方法

      方法3 正方体展开图相对面的识别方法

      根据正方体的平面展开图的特点,相对的两个面中间一定隔着一个小正方形,且没有公共边和公共顶点,即对面无邻点,以此来找相对面,也可亲自动手实践,经历和体验图形的变化过程,容易找到相对面.

       方法4 探索多面体的棱数、面数与顶点数之间的关系的方法

      方法4 探索多面体的棱数、面数与顶点数之间的关系的方法

      多面体是由平面围成的,每一个多面体的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)满足关系式:

      顶点数(V)+面数(F)-棱数(E)=2.

      page0036

      4.2 几何体的视图

      知识清单

      ·知识1 几何体的三视图 ·知识2 常见几何体的三视图

       知识1 几何体的三视图

      知识1 几何体的三视图

      当我们从某一角度观察一个物体时,所看到的图形,叫做物体的一个视图.视图也可以看作物体在某一个角度的光线下的投影.

      从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体,然后描绘出三个所看到的图形,即几何体的三视图.

      主视图:从正面看到的图形,称为主视图,又叫正视图.

      从左面看到的图形称为左视图,又叫为侧视图.

      俯视图:从上面向下看到的图形,称为俯视图.

      几何体的三视图的画法:

      (1)三种视图的位置:俯视图在主视图的正下方,左视图在主视图的正右方.

      (2)三种视图的尺寸:主、俯视图长对正,主、左视图高平齐,左、俯视图宽相等.

      (3)三种视图的轮廓线:看得见部分的轮廓线通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.

      温馨提示 ①主视图、俯视图和左视图都是相对于观察者而言的,位于物体不同方向的观察者,他们所画出的三种视图可能是不一样的.

      ②主视图反映物体的长与高,左视图反映物体的宽与高,俯视图反映物体的长与宽.在画各种视图时,要对物体的各种尺寸进行度量,不要求百分之百地按尺寸来,但要大致相差不多,所以不用尺规作图.

       知识2 常见几何体的三视图

      知识2 常见几何体的三视图

      几何体 主视图 左视图 俯视图

      正方体

      长方体

      圆柱

      圆锥

      温馨提示 ①一些复杂几何体是几种基本几何

      page0037
      体的组合体或是某种几何体改造而成,它们的三视图也可以根据基本几何体的三种视图进行绘制,但要注意虚线、实线的区别,尺寸需尽可能地反映物体的原貌.

      ②三视图是从正面、左面、上面以平行视线观察物体所得的结果.一个几何体的视图是唯一的.但从视图反过来考虑几何体时,它有多种可能性.例如,正方体的主视图是一个正方形,但主视图是正方形的几何体就有很多,如三棱柱、长方体、圆柱等.因此在学习时应结合实物,亲自变换角度去观察,才能提高空间想象能力.

      方法清单

      ·方法1 几何体的三视图的识别方法

      ·方法2 由三视图还原几何体的方法

      ·方法3 根据三视图求几何体的体积或表面积的方法

       方法1 几何体的三视图的识别方法

      方法1 几何体的三视图的识别方法

      掌握几种简单几何体的三视图是识别几何体的三视图的基础.日常生活中看到的很多物体,它们的形状不很规则,但是它们一般可以看作是由一些基本几何体(棱柱、棱台、棱锥、圆柱、圆台、圆锥、球等)组合成的或切割而成的.

       方法2 由三视图还原几何体的方法

      方法2 由三视图还原几何体的方法

      由三视图描述几何体,一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状,然后综合起来确定几何体的形状,再根据三个视图长对正、高平齐、宽相等的关系,确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸.

       方法3 根据三视图求几何体的体积或表面积的方法

      方法3 根据三视图求几何体的体积或表面积的方法

      由三视图求体积或表面积时,首先要根据三视图描述几何体(或画出表面展开图),再根据三视图长对正、高平齐、宽相等的关系和轮廓线的位置确定各个面的尺寸,然后用面积公式求出表面积或用体积公式求体积.

      page0038

      4.3 投影

      知识清单

      ·知识1 投影

      ·知识2 平行投影

      ·知识3 平行投影的变化规律(重点)

      ·知识4 中心投影

      ·知识5 平行投影与中心投影的区别与联系

      ·知识6 正投影

      ·知识7 视点、视线、视角与盲区

       知识1 投影

      知识1 投影

      一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.其中,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

       知识2 平行投影

      知识2 平行投影

      太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影.

      平行投影的特征:

      (1)等高的物体垂直于地面放置时,在太阳光下,它们的影子一样长.

      (2)等长的物体平行于地面放置时,它们在太阳光下的影子一样长,且影长等于物体本身的长度.

      (3)两个物体竖直放在地面上,两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似,相似三角形对应边成比例.

      温馨提示 已知物体影子可确定光线,同一时刻光线是平行的,所以其他物体的影子都是在和确定的光线平行的光线下形成的,过已知物体顶端及影子顶端作直线,过其他物体顶端作此线的平行线,便可求出同一时刻其他物体的影子.

       知识3 平行投影的变化规律(重点)

      知识3 平行投影的变化规律(重点)

      (1)太阳光线下物体影子的长短不仅与物体的高度有关,而且与时间有关.同一时刻,高物体的影子较长;同一时刻,所有物体的影子与其高度成正比.

      (2)太阳光线下物体影子的方向和长度变化规律(北半球):

      一天之中,由于太阳东升西落,所以早晨人的影子向西,傍晚人的影子向东.一天之中,影子的方向变化为正西-正北-正东;一天之中影子的长度变化为长-短-长.

      page0039
       知识4 中心投影

      知识4 中心投影

      若一束光线是从一点出发的,这样的光线形成的投影称为中心投影,这个点就是中心,相当于物理上学习的点光源.生活中的点光源主要有探照灯、手电筒、路灯、台灯、投影仪、放映机的灯光等.

      中心投影的特征:

      (1)等高的物体垂直地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体的影子短;离点光源远的物体的影子长.

      (2)等长的物体平行地面放置时,一般情况下,离点光源越近,影子越长;离点光源越远,影子越短,但不会小于物体本身的长度.

      (3)点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条直线上,根据其中两个点,就可以求出第三个点的位置.

       知识5 平行投影与中心投影的区别与联系

      知识5 平行投影与中心投影的区别与联系

      区别 联系
      平行投影 平行投影下,同一时刻所有物体的影子朝同一方向,且物体与影长之比皆相等 ①都随投影面的变化,影子发生变化.
      ②都可以根据物体与影子的对应点判断光线的来源与方向
      中心投影 中心投影下,同一时刻,物体的影子方向及大小,跟它离点光源的位置及距离密切相关
       知识6 正投影

      知识6 正投影

      投影线垂直于投影面产生的投影,叫做正投影.

      温馨提示 ①正投影的画法是过图形的关键点作投影面的垂线,再依次连接各垂足,得图形的正投影.

      ②性质:当线段平行于投影面时,它的正投影长短不变,当线段倾斜于投影面时,它的正投影线段变短,当线段垂直于投影面时,它的正投影缩为1个点.

       知识7 视点、视线、视角与盲区

      知识7 视点、视线、视角与盲区

      观测点的位置叫做视点,由视点发出的观测线叫做视线,两条视线的夹角叫做视角.

      温馨提示 视点常常指眼睛的位置,而视线并不是太阳光线或灯光光线实际存在的线,常用虚线表示.

      视线遇到障碍物,会有看不到的地方,称为盲区.

      ①人离障碍物越近,盲区越大.

      ②将视点与障碍物的顶点连线,交地面于一点,此点即是盲区与非盲区的分界点.

      page0040

      方法清单

      ·方法1 平行投影与中心投影的识别方法

      ·方法2 中心投影的应用方法

      ·方法3 利用平行投影确定树的影长的方法

      ·方法4 利用相似形解投影问题的方法

       方法1 平行投影与中心投影的识别方法

      方法1 平行投影与中心投影的识别方法

      根据两种物体的影子判断是在灯光下还是在阳光下的投影,关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交,若平行则是在阳光下的投影,若相交则是在灯光下的投影.

       方法2 中心投影的应用方法

      方法2 中心投影的应用方法

      光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影,同一物体相对同一光源的距离近时的影子比远时的影子短;光源或物体的方向改变,则该物体的影子的方向也发生变化,但光源、物体的影子始终在物体的两侧.

       方法3 利用平行投影确定树的影长的方法

      方法3 利用平行投影确定树的影长的方法

      (1)同一时刻太阳光下:

      物体的高度/物体的影长=另一物体的高度/另一物体的影长

      (2)落在墙上的影长即为对应的此部分物体的高度.

       方法4 利用相似形解投影问题的方法

      方法4 利用相似形解投影问题的方法

      物体的投影分为中心投影和平行投影.一般来说,

      page0041
      中心投影中,物体影子的长短主要取决于物体所处的位置,而平行投影中,影子的长短主要取决于物体的高度.投影中难度较大的题目往往是相似三角形、解直角三角形等知识相结合而形成的综合题.其主要思路是由投影的特点构造相似三角形,并利用相似三角形的性质求解相关问题.

      4.4 直线、射线、线段

      知识清单

      ·知识1 直线及其表示方法

      ·知识2 射线及其表示方法

      ·知识3 线段及其表示方法

      ·知识4 直线、射线、线段的区别与联系

      ·知识5 直线的相关公理

      ·知识6 两点的距离

      ·知识7 线段最短(重点)

      ·知识8 线段的中点(重点)

       知识1 直线及其表示方法

      知识1 直线及其表示方法

      直线:直线是从客观事物中抽象出来的,直线没有尽头,是向两方无限延伸的.

      直线有两种表示方法:

      ①用直线上任意两点的大写字母表示.如图所示,可表示为直线AB或直线BA(字母是无序的).

      ②也可用一个小写字母表示.如图所示,也可表示为直线l.

      温馨提示 点与直线有且只有两种位置关系.

      a.如图所示,我们说点P在直线l上,或直线l经过点P.

      b.如图所示,我们说点M在直线AB外,或直线AB不经过点M.

       知识2 射线及其表示方法

      知识2 射线及其表示方法

      直线上的一点和它一旁的部分叫做射线,如图,把线段OA向一方无限延伸,就是一条射线,点O是这条射线的端点.

      射线有两种表示方法:

      ①用两个大写字母表示,一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示.如图所示的射线可表示为射线OA,注意表示端点的字母必须写在前面.

      ②用一个小写字母表示.如图,可记作射线l.

      温馨提示 ①射线是直线的一部分.

      ②射线向一方无限延伸,有一个端点,不能度量,不能比较大小.

       知识3 线段及其表示方法

      知识3 线段及其表示方法

      直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.这两个点叫做线段的端点.

      1.线段有两种表示方法

      (1)可用表示端点的两个大写字母表示.如图所示,可表示为线段AB或线段BA(字母是无序的).

      (2)也可用一个小写字母表示.如图,也可以表示为线

      page0042
      段a.

      2.线段的延长线

      线段的延长线即指线段向一方延伸的部分.如图(1),延长AB是指按A到B的方向延长;如图(2),延长BA是指按B到A的方向延长(也可说成反向延长AB).

      温馨提示 ①线段是直线(或射线)的一部分.

      ②线段不能向两方无限延伸,可度量.

      ③延长线常画成虚线.

      ④射线可作反向延长线,但不存在射线的延长线.

       知识4 直线、射线、线段的区别与联系

      知识4 直线、射线、线段的区别与联系

      名称 图形及表示法 不同点 联系 共同点
      延伸、度量情况 端点个数
      线段
      线段AB(或线段a)
      不能延伸,可度量 2 线段向一方延伸就成为射线,向两方延伸就成为直线 都是直的线,非曲线
      射线
      射线OA(或射线l)
      只能向一方无限延伸,不可度量 1
      直线
      直线AB(或直线l)
      可向两方无限延伸,不可度量
       知识5 直线的相关公理

      知识5 直线的相关公理

      (1)直线公理:经过两点有且只有一条直线,简述为两点确定一条直线.有表示存在性,只有体现唯一性.直线公理也称直线性质公理.

      (2)两条直线相交,只有一个交点.

      温馨提示 两条射线(或线段)不一定有交点,如图,线段a与线段b,射线OA与射线O′A′,射线l与射线MN都没有交点.

       知识6 两点的距离

      知识6 两点的距离

      连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离.它是线段的长度,是数量,不是线段本身.

      温馨提示 两点间的距离是指连接两点的线段的长度,是非负数.

       知识7 线段最短(重点)

      知识7 线段最短(重点)

      所有连接两点的线中,线段最短,简述为两点之间,线段最短.

      如图,在所有连接A,B两点的线中,线段AB的长度是最短的.

       知识8 线段的中点(重点)

      知识8 线段的中点(重点)

      如图,若点C将线段AB分为相等的两条线段AC和BC,则点C叫做线段AB的中点.

      如图所示,B,C是线段AD上的两点,且AB=BC=CD=1/3AD,或AD=3AB=3BC=3CD,我们称B,C是线段AD的三等分点.

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      类似地,还有线段的四等分点,如图所示,AB=BC=CD=DE=1/4AE,等等.

      温馨提示 ①一条线段的中点只有一个.

      ②某一点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件:点必须在这条线段上;它把这条线段分为相等的两条线段.

      ③若点C是线段AB的中点,则AB=2AC=2BC,或AC=BC=1/2AB;反之,若AB=2AC=2BC或AC=BC=1/2AB,则点C是线段AB的中点.

      方法清单

      ·方法1 比较线段大小的方法

      ·方法2 线段的计数方法

      ·方法3 线段中点的应用

      ·方法4 利用数学思想计算线段长度的方法

      ·方法5 线段的和、差、倍、分

       方法1 比较线段大小的方法

      方法1 比较线段大小的方法

      ①叠合比较法(这是形的比较),把要比较的两条线段的一个端点重合,然后把两条线段叠合在一起,由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的大小关系.

      如图所示,有四条线段AB,CD,EF,GH.

      将AB与其余三条分别叠合,得到对应线段的大小关系,如图所示.

      ②测量比较法(这是数的比较),用刻度尺测出线段的长度(单位相同),再根据长度的数值判断线段的大小关系.

      通过测量AB=1.5cm,CD=2cm,可判定AB〈CD或CD〉AB.

       方法2 线段的计数方法

      方法2 线段的计数方法

      数线段时要掌握一定的方法和规律,必须做到不重不漏.一般方法是从左起第一个点数起,使第一个点和其右边的每个点各组合一次,得到(n-1)条线段,然后再从左起第二个点数起,使它和它右边的每个点组合一次,又得到(n-2)条线段,…,依次数下去,最后再相加.若一条直线上有n个点,则线段的条数为(n-1)+(n-2)+…+2+1=n(n-1)/2.

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       方法3 线段中点的应用

      方法3 线段中点的应用

      线段的中点把这条线段分为相等的两条线段,也就确立了题目中相关线段的数量关系,在不同的前提条件下,需要学生仔细观察图形,充分利用线段的相等和倍分关系.

       方法4 利用数学思想计算线段长度的方法

      方法4 利用数学思想计算线段长度的方法

      计算线段长度是几何中的重要题型.在直接用和差关系计算比较困难时,可引用方程思想;若没有指明具体的图形的位置,则需要分类讨论.

       方法5 线段的和、差、倍、分

      方法5 线段的和、差、倍、分

      在解答有关线段的计算问题时,一般要注意以下几个方面:①按照已知条件画出图形是正确解题的前提条件;②观察图形,找出线段之间的关系;③简单的问题可通过列算式求出,复杂的问题可设未知数,利用方程解决.

      4.5 角

      知识清单

      ·知识1 角的定义

      ·知识2 角的表示方法

      ·知识3 角的度量

      ·知识4 角平分线

      ·知识5 互为余角、互为补角(重点)

      ·知识6 方向角

       知识1 角的定义

      知识1 角的定义

      1.从静的角度认识角

      角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点.如图,射线OA,OB是这个角的两条边,点O是这个角的顶点.

      2.从动的角度认识角

      角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.如图,这个角可以看作射线OA绕点O按顺时针方向转α度到射线OB的位置形成的.

      射线旋转时经过的平面部分称为角的内部,平面其余部分称为角的外部.

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      温馨提示 因为射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与边的长短无关.

      角的大小可以度量,可以比较.

      根据角的度数,角可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角.

      锐角:大于0°而小于90°的角叫做锐角.

      直角:90°的角,即射线OA绕点O旋转,当终边与始边垂直时所成的角.

      钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角.

      平角:180°的角,即射线OA绕点O旋转,当终边在始边OA的反向延长线上时所成的角.

      周角:360°的角,即射线OA绕点O旋转,当终边与始边重合时所成的角.

      如图,依次是锐角、直角、钝角、平角、周角.

       知识2 角的表示方法

      知识2 角的表示方法

      一般有四种表示方法:

      (1)可用三个大写字母表示,且表示顶点的字母必须写在中间,其他两个字母可以调换位置.如图①所示,可记作∠AOB或∠BOA.

      (2)当角的顶点处只有一个角,时可以用单独的顶点处的大写字母表示,如图①中的角,也可以表示成∠O.

      (3)可在角的内部靠近顶点处画弧线,用单独的1个数字来表示角.如图②,∠COB也可表示成∠1.

      (4)可在角的内部靠近顶点处画弧线,用小写希腊字母α、β、γ等来表示角,图②中∠AOC也可表示成∠α.

      温馨提示 ①同一个数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的角.如图,∠BAE,∠BAC,∠DAC等不能用同一个数字或小写的希腊字母表示.

      ②当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任一个角都不能用一个大写英文字母表示.如图中的∠4或∠5,不能记作∠D,∠1、∠2、∠3每一个都不能记作∠A.

      ③用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧,如图中的∠7可记作∠AEC或∠CEA,以A为顶点,AB,AE为边的角可记作∠BAE或∠EAB.

       知识3 角的度量

      知识3 角的度量

      以度、分、秒为基本单位的角的度量制,叫做角度制.

      度、分、秒的意义如下:

      ①把一个平角180等分,每一份就是1度的角,记作1°.

      ②把1度的角60等分,每一份就是1分的角,记作1′.

      ③把1分的角60等分,每一份就是1秒的角,记作1″.

      1°=60′,1′=60″,1°=3600″,1″=(1/60)′,1′=(1/60)°,

      1″=(1/3600)°,1周角=360°,1平角=180°.

      温馨提示

      ①角的度、分、秒是60进制的.

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      ②在进行度、分、秒运算时,由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化,要逐级进行.

       知识4 角平分线

      知识4 角平分线

      从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.如图,射线OC是∠BOA的平分线,则∠BOC=∠COA=1/2∠BOA,∠BOA=2∠BOC=2∠COA.

      温馨提示 ①一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件:射线必须在角的内部;它把这个角分为相等的两个角.

      ②若OC是∠AOB的平分线,则∠AOB=2∠AOC=2∠BOC或∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB;反之,若∠AOB=2∠AOC=2∠BOC或∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB,则射线OC是∠AOB的平分线.

       知识5 互为余角、互为补角(重点)

      知识5 互为余角、互为补角(重点)

      1.互为余角

      如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角(简称互余),其中一个角叫做另一个角的余角.

      2.互为补角

      如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角(简称互补),其中一个角叫做另一个角的补角.

      3.互余、互补的性质

      同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等.

      温馨提示 钝角没有余角.

      互为余角、补角是两个角之间的关系.如∠1+∠2+∠3=90°,不能说∠1,∠2,∠3互为余角;同样,如∠1+∠2+∠3=180°,也不能说∠1,∠2,∠3互为补角.

      ③互为余角、补角只与角的度数有关,与角的位置无关.只要它们的度数之和等于90°或180°,就一定互为余角或补角.如图①中的两种情况,∠1与∠2都是互余的.同样,图②中的两种情况,∠3与∠4也都是互补的.

       知识6 方向角

      知识6 方向角

      方向角是指方向线与正北或正南这两条基准线的夹角.如图,射线OA与正北方向的夹角为40°,则OA的方向角是北偏东40°;OB与正北方向的夹角为65°,则OB的方向角是北偏西65°;同理,OC的方向角为南偏西45°或说成是西南方向;OD的方向角为南偏东20°.

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      温馨提示 在描述方向角时,一般应先说北或南,再说偏西或偏东多少度,而不说成东偏北(南)多少度或西偏北(南)多少度.当方向角在45°方向上时,又常常说成东南、东北、西南、西北方向.

      方法清单

      ·方法1 角的大小的比较方法

      ·方法2 度、分、秒的运算方法

      ·方法3 角的计数问题的应用方法

      ·方法4 角平分线的应用方法

      ·方法5 互余、互补角的性质的应用方法

      ·方法6 利用方程思想求角的度数的方法

      ·方法7 利用整体的思想求角的度数的方法

      ·方法8 求时针和分针的夹角的方法

       方法1 角的大小的比较方法

      方法1 角的大小的比较方法

      (1)叠合法:将两个角叠放在一起,使两个角的顶点和一条边分别重合,并使它们的另一边都落在重合的那条边的同旁,根据两个角的另一边的位置确定出两个角的大小.

      (2)度量法:两个角大小的比较,实际上是两个角的度数的大小比较,度量法就是先用量角器分别量出两个角的度数,再比较其度数的大小.

       方法2 度、分、秒的运算方法

      方法2 度、分、秒的运算方法

      进行角度的加减运算时,同单位相加减,即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减.做加法时,秒够60进1分,分够60进1度;做减法时,不够减的,从上一级借1,再作减法运算.在乘法运算中,从最低位开始乘所给的因数,够60则进1;除法运算中,按从高到低的顺序相除,余数乘60,再加到下一级单位中进行计算.

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       方法3 角的计数问题的应角方法

      方法3 角的计数问题的应角方法

      数角与上一节的数线段是同一类问题,数时要有条理,可先从一条边开始,按顺时针或逆时针方向,不重不漏.另外,要注意体会从特殊到一般的思考方法,从某点出发引出n条射线,共有的角的个数为n(n-1)/2.

       方法4 角平分线的应用方法

      方法4 角平分线的应用方法

      角平分线的定义在使用中根据解题的需要,既可以写作两角相等的形式,也可以写作一个角是另一个角2倍的形式,还可以写作一个角是另一个角一半的形式,应灵活选择.同时在计算中应注意整体代入思想的运用.

       方法5 互余、互补角的性质的应用方法

      方法5 互余、互补角的性质的应用方法

      互余、互补是表示两个角之间的数量关系的两个概念.解决与此有关的问题的方法一般是:先将一个角的余角或补角用关于这个角的代数式表示出来,再利用题目中已知的数量关系列出方程.需要明确的是互余、互补是对相关的两个角而言的,它们都是由数量来定义的,与它们的位置无关.

       方法6 利用方程思想求角的度数的方法
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      方法6 利用方程思想求角的度数的方法

      在求角的度数问题时,通常把角的度数设为未知数,并根据所求的角与其他角之间的关系列方程求解.用方程来解几何问题能清楚简洁地表示出几何图形中的数量关系,是解决几何计算题的一种重要方法.

       方法7 利用整体的思想求角的度数的方法

      方法7 利用整体的思想求角的度数的方法

      在考虑数学问题时,有时不着眼于它的局部特征,而着眼于它的整体结构.把联系紧密的量作为一个整体来看的数学思想就是整体思想,运用这种思想,有时能使问题简单化.在中考中该思想方法应用比较多.

       方法8 求时针和分针的夹角的方法

      方法8 求时针和分针的夹角的方法

      时针和分针成角问题,实际上就是行程问题,只不过有两个速度,一个是时针的速度,为360°/12=30(度/时);另一个是分针的速度,为360°/60=6(度/分).用时针与分针走的时间分别乘它们的速度,即得它们各自转过的角度.

       知识1 直线的位置关系

      第5章 相交线与平行线

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      5.1 相交线

      知识清单

      ·知识1 直线的位置关系

      ·知识2 垂线

      ·知识3 垂线的性质

      ·知识4 垂线的画法

      ·知识5 垂线段最短(重点)

      ·知识6 点到直线的距离

      知识1 直线的位置关系

      在同一平面内直线与直线的位置关系只有两种:相交和平行.

       知识2 垂线

      知识2 垂线

      当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.

      如图所示,直线AB,CD互相垂直,记作AB⊥CD(或CD⊥AB),读作AB垂直于CD.如果垂足是O,记作AB⊥CD,垂足为O.

      温馨提示 ①两条直线互相垂直是两条直线相交的一种特殊情形,垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼,如AB的垂线是CD;反之,CD的垂线是AB.

      ②如遇到线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂直.

      ③垂直与垂线是两个彼此相关但又不同的概念,垂直是指两条直线的位置关系,而垂线是特殊位置关系(垂直)下的两条直线的名称.

      ④根据两条直线互相垂直的定义可知:两条直线互相垂直,则四个角为直角;反之,若两条直线的夹角为直角,则这两条直线互相垂直.

       知识3 垂线的性质

      知识3 垂线的性质

      平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

      如图所示,点P分别为直线l外和直线l上一点,过点P有且只有一条直线m⊥l

      温馨提示 ①画已知直线的垂线可以画出无数条,但过一点画已知直线的垂线,只能画出一条.

      ②垂线的性质,必须强调在同一平面内,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.

       知识4 垂线的画法

      知识4 垂线的画法

      过一点画已知直线的垂线有两种方法:

      1.用三角板画垂线

      过一点画已知直线的垂线,可分三步:一落,即让直角三角板的一条直角边落在已知直线上,与已知直线重合;二移,即沿直线移动三角板,使其另一条直角边经过已知点;三画,即沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线.

      2.用量角器画垂线

      第一步:将量角器的0°刻度线与已知直线重合.

      第二步:使量角器的90°刻度线经过已知点,再在90°刻度线上取另一点.

      第三步:用量角器的直边连接已知点和另一点.

      温馨提示 ①经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上,如图所示.

      ②画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线时,要用虚线延长或反向延长.

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       知识5 垂线段最短(重点)

      知识5 垂线段最短(重点)

      连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简述为垂线段最短.

      如图所示,PO⊥l,垂足为O,则线段PO叫做点P到直线l的垂线段.

      温馨提示 ①垂线是指一条直线,而垂线段是指一条线段.

      ②直线外一点到这条直线的垂线段只有一条.

       知识6 点到直线的距离

      知识6 点到直线的距离

      直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.

      如图所示,线段PO的长度是点P到直线l的距离,其余线段PA,PB等的长度都不是点P到直线l的距离,它们都比线段PO长.

      两点间的距离与点到直线的距离的区别

      两点间的距离 点到直线的距离
      定义 连接两点的线段的长度 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度
      性质 两点之间,线段最短 垂线段最短

      温馨提示 ①垂线段是指一个具体的几何图形,而点到直线的距离是指垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离或作出点到直线的距离,这些都是常见的错误语句.

      ②确定点到直线的距离,首先要作出这点到直线的垂线段,然后求垂线段的长度.

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      方法清单

      ·方法1 垂线性质的应用方法

      ·方法2 利用垂线段最短解决实际问题的方法

      方法3 探究几何图形的个数的方法

       方法1 垂线性质的应用方法

      方法1 垂线性质的应用方法

      解有关垂直的计算问题,一方面要运用数形结合,另一方面要充分运用垂直得直角这一特征.

       方法2 利用垂线段最短解决实际问题的方法

      方法2 利用垂线段最短解决实际问题的方法

      在解决实际问题时,首先将实际问题转化为数学模型,例如求某点到河边的最短距离,实质上是如何过这一点向河边作垂线,应用垂线段最短这个性质.

       方法3 探究几何图形的个数的方法

      方法3 探究几何图形的个数的方法

      n条直线相交,求交点的个数最多有多少;在一直线上有n个点,求所有线段的条数;在角的内部从这个角的顶点出发的n条射线组成的角的个数等题目都有相同的规律,即许多事物都存在一定的共性,只要我们乐于去寻找,就可以不断地揭示出它们的规律.

      此类问题主要考查学习能力和实验设计能力,试题设计新颖,又不拘泥于一般的解题方法.如:探究n条直线的交点个数,可先从简单的图形入手,然后加一条相交线,注意这条线与其余线都要相交,多了几个交点,这样依次类推下去,就可以找到规律.

      page0053

      5.2 相交线中的角

      知识清单

      ·知识1 对顶角(重点) ·知识2 邻补角 ·知识3 同位角、内错角与同旁内角

       知识1 对顶角(重点)

      知识1 对顶角(重点)

      若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线,那么这两个角就叫做对顶角.如图,∠1和∠2,∠3和∠4都是对顶角.

      对顶角的性质:对顶角相等.

      温馨提示 ①判断两个角是否互为对顶角的关键是看这两个角是否有公共顶点,一个角的两边是否为另一个角的两边的反向延长线.

      ②对顶角是成对出现的.

      ③两条直线相交所构成的四个角中,有两对对顶角.

      ④若两个角互为对顶角,则它们一定相等;反之,若两个角相等,则它们不一定互为对顶角.

       知识2 邻补角

      知识2 邻补角

      两条直线相交所得的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角,一个角的邻补角有两个.如图,∠1和∠2有一条公共边OA,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.

      温馨提示 ①判定两个角是否是邻补角,关键是看这两个角的两边,其中一边是公共边,另外两边互为反向延长线.

      ②邻补角是成对出现的,是具有特殊位置关系的互补的两个角.

      ③两条直线相交所成的四个角中,有4对邻补角.

      ④邻补角与补角是两个不同的概念,互补的两个角只有数量关系,没有位置关系,只要这两个角的和等于180°即可.而邻补角不但有数量上的关系,还有位置上的关系,不仅要满足两个角的和等于180°,还要求这两个角有一个公共顶点,有一条公共边,另一条边互为反向延长线.因此,两个角互为邻补角,这两个角一定互为补角,但互补的两个角不一定是邻补角.一个角的补角可以有很多个,但邻补角最多有两个.

       知识3 同位角、内错角与同旁内角

      知识3 同位角、内错角与同旁内角

      在两条直线a,b的同一方,在第三条直线c的同侧,具有这种位置关系的一对角叫做同位角,如图,同位角有∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8.

      在两条直线a,b之间,在第三条直线c的两侧,具有这种位置关系的一对角叫做内错角,如图,∠3和∠5,∠4和∠6都是内错角.

      在两条直线a,b之间,在第三条直线c的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角,如图,∠4和∠5,∠3和∠6都是同旁内角.

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      温馨提示 ①同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角,是成对出现的,对它们的识别要结合图形.

      ②同位角、内错角、同旁内角中每对角的顶点都不相同.

      ③三线八角的识别:三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而形成的8个角,其中同位角有4对,内错角有2对,同旁内角有2对.正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即同旁和同侧;内错角要抓住内部,异侧;同旁内角要抓住同旁,内部.

      方法清单

      ·方法1 对顶角、邻补角的识别方法

      ·方法2 同位角、内错角与同旁内角的识别方法

      ·方法3 相交线中角的等量关系的判断方法

      ·方法4 利用对顶角、邻补角的性质进行角度的计算

       方法1 对顶角、邻补角的识别方法

      方法1 对顶角、邻补角的识别方法

       方法2 同位角、内错角与同旁内角的识别方法

      方法2 同位角、内错角与同旁内角的识别方法

      判断同位角、内错角、同旁内角时,弄清它们是由哪两条直线被第三条直线所截而成的.最简单的方法是两个角公共边所在的直线是截线.其余两边就是被截的两条直线.

      名称 同位角 内错角 同旁内角
      截线 在截线的同一侧 在截线的两侧 在截线的同一侧
      被截线 在被截线的同一旁 在两被截线之间 在两被截线之间
      构成图形
       方法3 相交线中角的等量关系的判断方法
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      方法3 相交线中角的等量关系的判断方法

      学习过相交线的知识后证明两角相等的方法包括:等量代换、等角的余角(或补角)相等、对顶角相等三种方法.当已知中有相交线出现的时候,要充分挖掘其中隐含的邻补角和对顶角,以帮助解题.

       方法4 利用对顶角、邻补角的性质进行角度的计算

      方法4 利用对顶角、邻补角的性质进行角度的计算

      在角度的计算中,常常要用到对顶角或邻补角的有关性质,求一个角的度数时,注意这个角与哪些角具有数量关系,然后结合已知条件选择一个适当的关系去求角.另外也常常借用代数方法,达到求解目的.

      5.3 平行线

      知识清单

      ·知识1 平行线

      ·知识2 平行线的画法

      ·知识3 平行公理

      ·知识4 平行线的性质(重点)

      ·知识5 平行线的判定(重点)

      ·知识6 平行线的判定与性质的区别与联系

       知识1 平行线

      知识1 平行线

      在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,平行用符号∥表示,如图,直线AB与CD是平行线,记作AB∥CD,读作AB平行于CD.

      温馨提示 ①平行线必在同一平面内,分别在两个平面的两条直线,即使不相交,也可以不平行(即所谓异面直线),因此在同一平面内是平行线存在的前提条件.

      ②不相交就是说两条直线没有交点.

      ③平行线指的是两条直线而不是两条射线或线段.今后遇到线段、射线平行时,特指线段、射线所在的直线平行.

      ④平行是相互的,使用符号表示时,AB∥CD也可以写成CD∥AB.

       知识2 平行线的画法

      知识2 平行线的画法

      分四个步骤:一落二靠三移四画.

      一落:用三角板的一边落在已知直线上,如图(1)

      二靠:用直尺紧靠三角板的另一边,如图(2)

      三移:沿直尺移动三角板,使三角板中与已知直线重合的边过已知点,如图(3)

      四画:沿过已知点的三角板的边画直线,如图(4).

      温馨提示 平行线画法的依据是直线平行的判定方法同位角相等,两直线平行.

       知识3 平行公理
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      知识3 平行公理

      (1)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

      (2)推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

      即:如果a∥b,c∥b,那么a∥c,如图所示.

      温馨提示 ①注意条件经过直线外一点,若经过直线上一点作已知直线的平行线,则所在直线与已知直线重合.

      ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性.

      ③平行公理的推论体现了平行线的传递性.

       知识4 平行线的性质(重点)

      知识4 平行线的性质(重点)

      性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.即:两直线平行,同位角相等;如图,因为a∥b(已知),所以∠1=∠2.

      性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.即:两直线平行,内错角相等;如图,因为a∥b(已知),所以∠2=∠3.

      性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.即:两直线平行,同旁内角互补;如图,因为a∥b(已知),所以∠2+∠4=180°.

      温馨提示 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质.不要一提同位角或内错角就认为它们相等,一提同旁内角就认为互补,若没有两直线平行的条件,它们是不成立的.

       知识5 平行线的判定(重点)

      知识5 平行线的判定(重点)

      判定定理1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,两直线平行.

      判定定理2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行.

      判定定理3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行.

      温馨提示 ①还可以根据平行线的传递性(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)判定两直线平行.

      ②前三个判定方法主要利用三线八角这个基本图形,要有八角,首先要有三线,因此这三个判定方法有一个共同的前提条件:两条直线被第三条直线所截.

      ③已知同位角相等可推导出内错角相等、同旁内角互补,三者可以相互推出.

       知识6 平行线的判定与性质的区别与联系

      知识6 平行线的判定与性质的区别与联系

      (1)平行线的性质描述的是数量关系,它的前提是两直线平行,然后得出角的相等或互补的关系,是由位置关系到数量关系.而平行线的判定是以角的相等或互补为前提,推导出两直线平行,是由数量关系到位置关系.

      两角间的数量关系两直线间的位置关系

      由此可知,判定与性质之间是一种互逆关系.

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      (2)从作用上看:平行线的判定是说明两条直线平行的依据;而平行线的性质是作为说明两个角相等或互补的依据.

      方法清单

      ·方法1 平行线的判定与性质的应用方法

      ·方法2 利用三角形知识与平行线相结合求角的方法

      ·方法3 综合运用平行线的判定与性质解决问题的方法

      ·方法4 平行线相关问题作辅助线的方法

       方法1 平行线的判定与性质的应用方法

      方法1 平行线的判定与性质的应用方法

      (1)判定两直线平行的方法有六种:①平行线的定义;②平行公理的推论;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行;⑤同旁内角互补,两直线平行.⑥垂直于同一条直线的两条直线平行.

      判定两直线平行时,定义一般不常用,其他五种方法要灵活运用,说明时要注意书写格式.

      (2)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等和同旁内角互补,解题时应结合图形先确认所成的角是否是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角,同时要学会简单的几何说理,做到每一步有理有据.

      (3)对于平行线的判定和性质的综合题,先用判定方法再用性质或先用性质再用判定方法都是几何中的基本应用,需要重点掌握.

       方法2 利用三角形知识与平行线相结合求角的方法

      方法2 利用三角形知识与平行线相结合求角的方法

      求角的度数时,一般可以把所求角看作某一个三角形的内角,根据三角形内角和定理进行分析计算,再与平行线相结合,就容易把问题解决.

       方法3 综合运用平行线的判定与性质解决问题的方法

      方法3 综合运用平行线的判定与性质解决问题的方法

       方法4 平行线相关问题作辅助线的方法

      方法4 平行线相关问题作辅助线的方法

      涉及利用平行线求一些角的度数时,遇到不规则图形,常常通过作辅助线构造三线八角,把问题转化为平行线的相关角进行求解.

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       知识1 平方根(重点)

      第6章 实数

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      6.1 平方根的有关概念

      知识清单

      ·知识1 平方根(重点)

      ·知识2 平方根的表示方法

      ·知识3 算术平方根

      ·知识4 平方根的性质

      ·知识5 开平方

      ·知识6 平方根与算术平方根的区别与联系

      知识1 平方根(重点)

      如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根(或二次方根).即如果x^(2)=a,那么x就叫做a的平方根.

      如:(±2)^(2)=4,所以4的平方根是±2;(±3/5)^(2)=9/25,所以9/25的平方根是±3/5;0^(2)=0,所以零的平方根是零.

      温馨提示 ①任何数的平方都不能为负数,所以负数没有平方根.

      ②5是25的平方根这种说法是正确的,反过来说25的平方根是5就错了,因为正数有两个平方根,所以必须说25的平方根是±5.

      ③求一个数的平方根就是要把平方后等于这个数的所有的数都求出来,而判断一个数是不是另一个数的平方根,只要把这个数平方,看其是否等于另一个数即可.

       知识2 平方根的表示方法

      知识2 平方根的表示方法

      一个数a的正的平方根,用符号表示,a叫做被开方数,2叫做根指数,a的负平方根用-表示,根指数是2时,通常略去不写.如记作,读作根号a,±记作±,读作正、负根号a.

       知识3 算术平方根

      知识3 算术平方根

      一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x^(2)=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为.

      温馨提示 ①一个正数a的平方根有两个,分别为和-,我们把正的平方根叫做a的算术平方根.

      ②一个正数的算术平方根是一个正数;零的算术平方根仍为零;负数没有算术平方根.

       知识4 平方根的性质

      知识4 平方根的性质

      (1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数,记作±.

      (2)零的平方根是零.

      (3)负数没有平方根.

      温馨提示 ①a≥0时,表示a的算术平方根,±表示a的平方根.

      ②因为负数没有平方根,所以被开方数a≥0.如中隐含着x-3≥0,即x≥3这一条件.

      ③()^(2)=a(a≥0),=

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       知识5 开平方

      知识5 开平方

      求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.如16的平方根为±=±4.

      温馨提示①开平方运算与平方运算互为逆运算.

      ②被开方数a≥0,即当式子有意义时,a一定表示一个非负数.

      ③平方根有两个数,它们互为相反数.另外,不管是求平方根还是求算术平方根,都要记住:先将所给代数式或数化简,再按要求求值.

      ④±表示非负数a的平方根,表示非负数a的算术平方根,-表示非负数a的负的平方根.

      ⑤已知数a的小数点每移动两位,它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位.

       知识6 平方根与算术平方根的区别与联系

      知识6 平方根与算术平方根的区别与联系

      算术平方根 平方根
      区别 概念 如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根 如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根或二次方根
      表示方法 ±
      性质 正数只有一个算术平方根,且恒正;规定=0;负数没有算术平方根 一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根
      求法 开平方后取正的平方根 开平方
      联系 (1)a的取值范围相同,均为a≥0;
      (2)平方根中包含了算术平方根,即算术平方根是平方根中的一个,平方根中正的那一个即为算术平方根

      方法清单

      ·方法1 求平方根的方法

      ·方法2 平方根的性质的应用方法

      ·方法3 利用平方根的概念解方程的方法

       方法1 求平方根的方法

      方法1 求平方根的方法

      当被开方数是带分数时,应把带分数化为假分数,然后再求平方根;当被开方数是一个数字算式时,要先算出这个算式的值,再求它的平方根.

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       方法2 平方根的性质的应用方法

      方法2 平方根的性质的应用方法

      要判断一个数有无平方根或平方根有几个,关键是确定这个数是正数、负数还是0.如果两个数m,n是a的平方根,那么有m=n或m+n=0;但如果a的平方根是m,n,那么只能有m+n=0.

       方法3 利用平方根的概念解方程的方法

      方法3 利用平方根的概念解方程的方法

      6.2 立方根的有关概念

      知识清单

      ·知识1 立方根

      ·知识2 立方根的表示方法

      ·知识3 立方根的性质

      ·知识4 开立方

      ·知识5 立方根与平方根的区别与联系

       知识1 立方根

      知识1 立方根

      如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根(或三次方根),即如果x^(3)=a,那么x叫做a的立方根.

      如:(-3)^(3)=-27,所以-27的立方根是-3;(2/3)^(3)=8/27,所以8/27的立方根是2/3.

      温馨提示 ①负数没有平方根,但有立方根.

      ②根据立方根的概念可知:5是125的立方根,反过来说125的立方根是5也正确.

      ③判断一个数x是不是某数a的立方根,就看x^(3)是不是等于a.

       知识2 立方根的表示方法

      知识2 立方根的表示方法

      表示a的立方根(或三次方根),其中a为被开方数,中的3为根指数(根指数3不能省略).读作三次根号a或a的立方根.

       知识3 立方根的性质

      知识3 立方根的性质

      (1)正数只有一个正的立方根;

      (2)负数只有一个负的立方根;

      (3)零的立方根为零.

      温馨提示 ①一个数的立方根是唯一的.

      ②正数的奇次方是正数,负数的奇次方是负数,0的任何正整数次方均为0.

      =-、()^(3)=-a、=a,公式中的a可取任意数.

      ④当两个数相等时,这两个数的立方根相等,反过来,当两个数的立方根相等时,这两个数也相等.即若a=b,则=;若=,则a=b.

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       知识4 开立方

      知识4 开立方

      求一个数a的立方根的运算叫做开立方.

      例如8的立方根为=2.

      温馨提示 ①被开立方的数可以是正数、负数和0.

      ②开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系,负数(在实数范围内)不能开平方但可以进行开立方运算.

      ③对于开立方运算,与前面的开平方运算顺序是一样的,都是先算根号里面的.

      ④求一个负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,然后取它的相反数,即=-(a>0).

      ⑤求一个带分数的立方根时,必须把带分数化成假分数,再求它的立方根.

       知识5 立方根与平方根的区别与联系

      知识5 立方根与平方根的区别与联系

      立方根与平方根的不同点:

      (1)定义不同:平方根的概念强调平方二字,立方根的概念强调立方二字,即平方根的逆运算是平方,立方根的逆运算是立方.

      (2)表示方法不同:平方根用±表示,根指数2可以省略,写成±;立方根用表示,根指数3不能略去,更不能写成±.

      (3)性质不同:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;而任何一个实数的立方根却只有一个,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,零的立方根是零.

      (4)a的取值范围不同:平方根±中a的取值必须是非负数,而立方根中的a的取值为任何实数,即正数、负数、零均可.

      立方根与平方根的相同点:

      (1)都是求根:平方根与立方根的定义都建立在乘方概念的基础上.在指数式x^(n)=a中,当n=2时,求x的值就是求a的平方根;当n=3时,求x的值就是求a的立方根.这就表明不论是求平方根还是求立方根,都是已知指数和幂,求底数.

      (2)都与乘方知识有关:不论是求平方根还是立方根,都属于开方运算.开方是乘方的逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算.

      (3)都与零相关:零的平方根与立方根都是零.

      (4)都可以归结为非负数的非负方根来研究:平方根主要是通过算术平方根来研究;而负数的立方根也可以通过=-(a>0)转化为正数的立方根来研究.

      方法清单

      ·方法1 平方根、立方根性质的综合应用

      ·方法2 方根中小数点移动规律的应用

      ·方法3 利用立方根解决实际问题的方法

       方法1 平方根、立方根性质的综合应用

      方法1 平方根、立方根性质的综合应用

      ①正数的平方根有两个,且互为相反数,立方根有一个;②负数没有平方根,有一个立方根;③0的平方根、立方根都是0;④中的a是任意实数,中的a是非负数.

       方法2 方根中小数点移动规律的应用

      方法2 方根中小数点移动规律的应用

      page0063
       方法3 利用立方根解决实际问题的方法

      方法3 利用立方根解决实际问题的方法

      6.3 实数

      知识清单

      .知识1 无理数(重点) ·知识2 实数及其分类(重点) ·知识3 实数的性质

       知识1 无理数(重点)

      知识1 无理数(重点)

      无限不循环小数叫做无理数.

      如π=3.141 5926…,=1.414 213 56…,-1.010010001…等都是无理数.

      温馨提示 ①无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无理数是指无限不循环小数.

      ②常遇到的无理数有三类:开方开不尽的数的方根,如,-等;特定结构的数,如0.3030030003…;特定意义的数,如π.

      ③许多带根号的数是无理数,如等,但带根号并不是无理数的本质特征,因为像等都是有理数,

      ④有限小数和无限循环小数都可以化为分数,所以它是有理数;而无限不循环小数不能化为分数,它们是无理数.

      ⑤无理数与有理数的和、差一定是无理数.

      ⑥无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数.

       知识2 实数及其分类(重点)

      知识2 实数及其分类(重点)

      有理数和无理数统称为实数.

      温馨提示 ①通常把正实数和零合称为非负数,把负实数和零合称为非正数.

      ②任何两个实数之间都有无数个有理数和无数个无理数.

      ③有理数都可以化为小数,其中整数可以看作小数点后面是零的小数;无理数是无限不循环小数.

      1.按定义分类

      实数 有理数 整数:
      正整数

      负整数
      有限小数或无线循环小数
      分数:
      正分数
      负分数
      无理数 正无理数
      负无理数
      无限不循环小数

      2.按性质分类

      实数 正实数 正有理数:
      正整数
      正分数
      正无理数
      负实数 负有理数:
      负整数
      负分数
      负无理数
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       知识3 实数的性质

      知识3 实数的性质

      (1)实数的相反数

      实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义是一样的.只有符号不同的两个数互为相反数,即实数a的相反数是-a.实数a与b互为相反数,则a+b=0,反之也成立.

      (2)实数的绝对值

      实数的绝对值和有理数的绝对值的意义相同,一个正实数的绝对值等于它本身;一个负实数的绝对值等于它的相反数;0的绝对值是0.

      一个实数a的绝对值:|a|=

      (3)实数的倒数

      实数的倒数与有理数的倒数一样,如果a表示一个非零的实数,那么a与1/a互为倒数.实数a与b互为倒数,则ab=1,反之也成立.

      (4)实数与数轴上的点是一一对应的关系,数轴上每一个点都表示一个实数;反过来,每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.

      在数轴上,右边点对应的实数比左边点对应的实数大;正实数大于一切负实数,0大于一切负实数,正实数都大于0.

      (5)实数和有理数一样,可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算;有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用.

      交换律:a+b=b+a,ab=ba;

      结合律:(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc);

      分配律:a(b+c)=ab+ac.

      方法清单

      ·方法1 无理数的识别方法

      ·方法2 无理数估算的方法

      ·方法3 实数与数轴的对应关系的应用方法

      ·方法4 利用有序实数对计算平面直角坐标系中图形面积的方法

      ·方法5 实数大小的比较方法

      ·方法6 非负数的性质的应用方法

      ·方法7 无理数的小数部分的确定方法

       方法1 无理数的识别方法

      方法1 无理数的识别方法

      判断一个数是不是无理数,关键就看它能不能写成无限不循环小数,而把无理数写成无限不循环小数不但很麻烦,而且还是我们利用现有知识无法解决的难题.初中常见的无理数有三种类型:(1)含根号且开方开不尽,但切不可认为带根号的数都是无理数;(2)化简后含π的式子;(3)不循环的无限小数.掌握常见无理数的类型有助于识别无理数.

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       方法2 无理数估算的方法

      方法2 无理数估算的方法

      对于无理数的估算问题,要理解算术平方根、立方根的意义.求一个数的算术平方根与哪个整数最接近,就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间,与被开方数的差值较小的那个正数即为与其最接近的数.求一个数的立方根与哪个整数最接近,方法和求算术平方根相同,只要确定被开方数的值在哪两个相邻整数的立方之间,再确定和被开方数差值最小的那个整数即可.

       方法3 实数与数轴的对应关系的应用方法

      方法3 实数与数轴的对应关系的应用方法

      每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反之,数轴上每一个点都表示一个实数,即数轴上的点与实数是一一对应的关系.

       方法4 利用有序实数对计算平面直角坐标系中图形面积的方法

      方法4 利用有序实数对计算平面直角坐标系中图形面积的方法

      实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对与坐标系中的点也是一一对应的,在求解几何图形的面积时,正确确定几何图形的位置,问题即可解决.

       方法5 实数大小的比较方法
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      方法5 实数大小的比较方法

      (1)把根号外的正数平方后移入根号内,由被开方数的大小比较根式的大小.

      (2)对于符号相同的两个根式,利用乘方法来比较大小.如:同是正号的两个平方根式,平方后大的原根式也大;同是负号的两个平方根式,平方后大的原根式反而小.

       方法6 非负数的性质的应用方法

      方法6 非负数的性质的应用方法

      (1)在实数范围内,正数和零统称为非负数.常见的非负数有如下三种形式:

      ①任意实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0;

      ②任意实数a的平方(偶次方)是非负数,即a^(2)≥0(a^(2n)≥0,n为正整数);

      ③任意非负数a的算术平方根是非负数,即≥0.

      (2)非负数的性质:

      ①若两个非负数的和为0,那么这两个数一定都为0,常见以下几种形式:

      若a^(2)+b^(2)=0,则反之亦然.若|a|+|b|=0,则反之亦然.若=0,则反之亦然.可推广为:n个非负实数之和为0,则这n个非负实数一定都为0.

      ②非负数有最小值,最小值是0.

      ③有限个非负数之和仍然是非负数.

       方法7 无理数的小数部分的确定方法

      方法7 无理数的小数部分的确定方法

      确定一个非完全平方数的算术平方根的小数部分的方法:把这个无理数夹在相邻的两个自然数之间,则较小的自然数就是这个数的整数部分,用这个数减去整数部分就得到它的小数部分.

       知识1 有序实数对

      第7章 平面直角坐标系

      page0067

      7.1 平面直角坐标系的有关概念

      知识清单

      ·知识1 有序实数对

      ·知识2 平面直角坐标系(重点)

      ·知识3 象限

      ·知识4 点的坐标

      知识1 有序实数对

      在日常生活中,可以用有序数对来描述物体的位置,这样用含有两个数的组合来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的含义,我们把这种有顺序的两个数a与b的数对,叫做有序数对,记作(a,b).

      温馨提示 (a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同.例如:用(3,5)表示第3列的第5位同学,那么(5,3)就表示第5列的第3位同学.

       知识2 平面直角坐标系(重点)

      知识2 平面直角坐标系(重点)

      在平面内,两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系,如图所示.

      水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.建立了坐标系的平面叫做坐标平面.

      平面直角坐标系中的横轴通常取向右为正方向,纵轴通常取向上为正方向.通常两个数轴的单位长度一致.

       知识3 象限

      知识3 象限

      x轴和y轴把坐标平面分成四个部分,称为四个象限,按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限,如图.

      温馨提示 ①两条坐标轴不属于任何一个象限.

      ②如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时,要在表示横轴、纵轴的字母后附上单位.

       知识4 点的坐标

      知识4 点的坐标

      对于坐标平面内的任意一点A,过A点分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点A的坐标,记作A(a,b),如图.

      1.已知坐标平面内的点,确定点的坐标

      先由已知点P分别向x轴、y轴作垂线,设垂足分别为A、B,再求出垂足A在x轴上的坐标a与垂足B在y轴上的坐标b,最后按顺序写成(a,b)即可.

      page0068

      2.已知点的坐标确定点的位置

      若点P的坐标是(a,b),先在x轴上找到坐标为a的点A,在y轴上找到坐标为b的点B;再分别过点A、点B作x轴、y轴的垂线,两垂线的交点就是所要确定的点P.

      温馨提示 ①平面内点的坐标是有序数对,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间用,分开,它们的顺序不能颠倒.

      ②一个点的坐标是一对有序数对,对于坐标平面内任意一点,都有唯一一对有序数对和它对应,对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一一点和它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.

      方法清单

      ·方法1 有序实数对的应用方法

      ·方法2 坐标平面中点的位置的确定

      ·方法3 用坐标表示地理位置的方法

       方法1 有序实数对的应用方法

      方法1 有序实数对的应用方法

      表示物体的位置需要用两个数,这两个数顺序不同,表示的位置也不同.用有序实数对表示位置时,必须明确前后两个数表示的实际意义.

       方法2 坐标平面中点的位置的确定

      方法2 坐标平面中点的位置的确定

      确定点在坐标平面中的位置,关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断,根据题中的已知条件,判断横坐标、纵坐标是大于0,等于0,还是小于0,就可以确定点在坐标平面中的位置.

       方法3 用坐标表示地理位置的方法
      page0069

      方法3 用坐标表示地理位置的方法

      用坐标表示地理位置时,一是要选择适当的位置为坐标原点,要以能简捷地确定平面内的点的坐标为原则;二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向,这样可以使东西南北方向与地理位置方向一致;三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度.

      7.2 点的坐标的有关性质

      知识清单

      ·知识1 各象限内点的坐标的符号特征(重点)

      ·知识2 坐标轴上点的坐标特征

      ·知识3 象限角的平分线上的点的坐标特征

      ·知识4 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征

      ·知识5 点到坐标轴的距离

      ·知识6 平面直角坐标系内的图形变换

       知识1 各象限内点的坐标的符号特征(重点)

      知识1 各象限内点的坐标的符号特征(重点)

          坐标符号
      点所在位置
      横坐标 纵坐标
      第一象限
      第二象限
      第三象限
      第四象限

      如图所示:

      ①点P(x,y)在第一象限

      ②点P(x,y)在第二象限

      ③点P(x,y)在第三象限

      ④点P(x,y)在第四象限

      温馨提示 ①x轴、y轴上的点不属于任何一个象限.

      ②四个象限之间均没有公共点.

       知识2 坐标轴上点的坐标特征

      知识2 坐标轴上点的坐标特征

      (1)x轴上的点的坐标为(a,0),y轴上的点的坐标为(0,b).坐标轴上的点的符号规律如下表所示:

         符号   坐标
      位置
      横坐标 纵坐标
      x轴 正半轴 0
      负半轴 0
      y轴 正半轴 0
      负半轴 0
      原点 0 0

      (2)坐标轴上点的坐标特征:

      ①点P(x,y)在x轴上

      ②点P(x,y)在y轴上

      ③点P(x,y)是坐标原点

      page0070

      温馨提示 ①原点既是x轴上的点,又是y轴上的点.

      ②点的横或纵坐标为0,说明点在y轴或x轴上.

       知识3 象限角的平分线上的点的坐标特征

      知识3 象限角的平分线上的点的坐标特征

      (1)第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等.

      (2)第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.

      温馨提示 ①若点P(a,b)在第一、三象限的角平分线上,则a=b;反之,若a=b,则P(a,b)在第一、三象限的角平分线上.

      ②若点P(a,b)在第二、四象限的角平分线上,则a+b=0(或a=-b);反之,若a+b=0(或a=-b),则P(a,b)在第二、四象限的角平分线上.

       知识4 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征

      知识4 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征

      平行于x轴的直线上的点的坐标的特点是纵坐标都相等;平行于y轴的直线上的点的坐标的特点是横坐标都相等.

      温馨提示 ①若AB∥x轴,则A(x1,y1),B(x2,y2)的纵坐标相等,即y1=y2;反之,若A(x1,y1),B(x2,y2),且y1=y2,则AB∥x轴.

      ②若CD∥y轴,则C(m1,n1),D(m2,n2)的横坐标相等,即m1=m2;反之,若C(m1,n1),D(m2,n2),且m1=m2,则CD∥y轴.

       知识5 点到坐标轴的距离

      知识5 点到坐标轴的距离

      点P的坐标为(x,y),那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值,即|y|;点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值,即|x|.

      温馨提示 ①已知点的坐标可以求出到x轴、y轴的距离,应注意取相应坐标的绝对值.

      ②由点到x轴、y轴的距离可以求出点的坐标,但要注意讨论.

      ③点P(x,y)到原点的距离为.

       知识6 平面直角坐标系内的图形变换

      知识6 平面直角坐标系内的图形变换

      1.用坐标表示对称

      一般地,点P与点P1关于x轴(横轴)对称,则横坐标相同,纵坐标互为相反数;点P与点P2关于y轴(纵轴)对称,则纵坐标相同,横坐标互为相反数;点P与点P3关于原点对称,则横、纵坐标分别互为相反数.简单记为关于谁谁不变,关于原点都改变.

      温馨提示 ①点P(a,b)关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标为P1(b,a);关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为P2(-b,-a).

      ②在平面直角坐标系中,作已知图形关于x轴或y轴对称的图形,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形.

      page0071

      2.用坐标表示平移

      (1)当所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数a时,纵坐标不变,图形则会水平向右或向左平移a个单位;反之,在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)[或(x-a,y)];

      (2)当所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数b时,横坐标不变,图形则向上或向下平移b个单位;反之,在平面直角坐标系中,将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)[或(x,y-b)].

      温馨提示 图形的平移是指坐标系中,在保持坐标轴不动的情况下,图形的整体移动,在平移变换下,图形的形状及大小不变,变的仅仅是图形的位置.

      方法清单

      ·方法1 利用点坐标的符号特征解题的方法

      ·方法2 点到坐标轴的距离的应用方法

      ·方法3 利用图形的平移确定变化的坐标的方法

      ·方法4 利用图形的对称确定变化的坐标的方法

      ·方法5 利用图形的旋转确定变化的坐标的方法

      ·方法6 平面直角坐标系中图形面积的计算方法

       方法1 利用点坐标的符号特征解题的方法

      方法1 利用点坐标的符号特征解题的方法

      各象限的坐标符号:第一象限内点的横、纵坐标皆为正数,即(+,+);第二象限内点的横坐标为负数,纵坐标为正数,即(-,+);第三象限内点的横、纵坐标皆为负数,即(-,-);第四象限内点的横坐标为正数,纵坐标为负数,即(+,-).

       方法2 点到坐标轴的距离的应用方法

      方法2 点到坐标轴的距离的应用方法

      点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两方面:①到x轴的距离与纵坐标有关,到y轴的距离与横坐标有关.②距离都是非负数,而坐标可以是负数.

       方法3 利用图形的平移确定变化的坐标的方法

      方法3 利用图形的平移确定变化的坐标的方法

      将一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,再把纵坐标都加上(或减去)一个正数b,相应的新图形就是把原图形先向右(或向左)平移a个单位,再向上(或向下)平移b个单位.

      page0072
       方法4 利用图形的对称确定变化的坐标的方法

      方法4 利用图形的对称确定变化的坐标的方法

      作图形的对称变换时,首先要找出关键点的对称点.关于x轴对称时,点的横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y轴对称时,点的纵坐标不变,横坐标互为相反数;关于原点对称时,横、纵坐标都互为相反数.

       方法5 利用图形的旋转确定变化的坐标的方法

      方法5 利用图形的旋转确定变化的坐标的方法

      比较变化后的图形与原图形的关系,一般是从横、纵坐标的关系着手,尤其要抓住关键点的横、纵坐标的变化.

       方法6 平面直角坐标系中图形面积的计算方法

      方法6 平面直角坐标系中图形面积的计算方法

      在平面直角坐标系中,解决与面积有关的问题时,要会求出点到坐标轴的距离,在求面积时,要会应用转化方法,将图形补成规则的图形或将图形分割成规则图形进行求解.

       知识1 二元一次方程

      第8章 二元一次方程组

      page0073

      8.1 二元一次方程组的有关概念

      知识清单

      ·知识1 二元一次方程

      ·知识2 二元一次方程的解

      ·知识3 二元一次方程的整数解

      ·知识4 二元一次方程组

      ·知识5 二元一次方程组的解

      ·知识6 二元一次方程与二元一次方程组的区别

      知识1 二元一次方程

      含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

      如:方程y=x,x-y=3,1/2x+1/3y=7等都是二元一次方程.

      温馨提示 ①在方程中元是指未知数,二元是指方程中有且只有两个未知数.

      ②含未知数的项的次数是1是指含有未知数的项(单项式)的次数是1,如3xy的次数是2,所以方程3xy-2=0不是二元一次方程.

      ③二元一次方程的左边和右边都必须是整式,例如方程1/x-y=1的左边不是整式,所以它不是二元一次方程.

       知识2 二元一次方程的解

      知识2 二元一次方程的解

      使二元一次方程等号两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

      例如:都是二元一次方程x+y=3的解.

      温馨提示 ①二元一次方程的解都包括两个未知数的值,是一对数值,而不是一个数值.如x=7不是方程x+y=18的解,而才是方程x+y=18的一组解.

      ②二元一次方程的解是具有相关性的一对未知数的值,二者相互制约,相互对应,不独立存在,当其中一个未知数的值确定以后,另一个未知数的值也确定了.

      ③一般情况下,一个二元一次方程有无数组解,如方程x+y=18的解还可以是等等.

       知识3 二元一次方程的整数解

      知识3 二元一次方程的整数解

      使二元一次方程等号两边的值相等的两个未知数的整数值,叫做二元一次方程的整数解.

      例如:都是二元一次方程x+2y=10的整数解.

      温馨提示 对所有正整数解的含义的理解要注意两点:一要正确,二要不重不漏.正确的标准是两个未知数的值都必须是正整数,且适合此方程.

      page0074
       知识4 二元一次方程组

      知识4 二元一次方程组

      含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程叫做二元一次方程组.其一般形式是

      其中a1,a2,b1,b2不同时为0.

      温馨提示 ①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程,但这两个方程必须一共含有两个未知数.如也是二元一次方程组.

      ②在方程组的每个方程中,相同字母必须代表同一未知量,否则不能将两个方程联立.

      ③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程.

      ④二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成.

       知识5 二元一次方程组的解

      知识5 二元一次方程组的解

      二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.

      二元一次方程组解的情况:

      ①当a1/a2≠b1/b2时,方程组有唯一的一组解.

      即方程组中的两个二元一次方程有唯一的公共解,如方程组有唯一一组解

      ②当a1/a2=b1/b2≠c1/c2时,方程组无解.

      即方程组中的两个二元一次方程没有公共解,如

      方程组无解,此类方程组亦称为矛盾方程组.

      ③当a1/a2=b1/b2=c1/c2时,方程组有无数组解.

      即方程组中的两个二元一次方程有无数个解,如方程组有无数组解.

      温馨提示 ①二元一次方程组中的每一个方程都有自己的解集,其中的一组公共解是这个二元一次方程组的解.

      ②二元一次方程组的解是唯一确定的.

      ③由于方程组需要用大括号{表示,所以方程组的解也要用大括号{表示.

       知识6 二元一次方程与二元一次方程组的区别

      知识6 二元一次方程与二元一次方程组的区别

      二元次方程 二元一次方程组
      条件 (1)含有两个未知数;
      (2)含未知数的项的次数都是1;
      (3)整式方程
      (1)含有两个未知数;
      (2)含未知数的项的次数都是1;
      (3)整式方程组(可以含有两个以上的方程)
      一般形式 ax+by=c(a、b、c都是常数且a≠0,b≠0) a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2(a1,b1,a2,b2不同时为0)
      解的情况 无数组解 无数组解或有唯一解或无解
      解的定义 适合二元一次方程的每一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一组解 二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解
      page0075

      方法清单

      ·方法1 二元一次方程的判别方法

      ·方法2 二元一次方程组的解的应用方法

      ·方法3 求二元一次方程的整数解的方法

      ·方法4 二元一次方程组在实际问题中的应用方法

      ·方法5 利用整体思想、转化思想解二元一次方程组相关问题的方法

       方法1 二元一次方程的判别方法

      方法1 二元一次方程的判别方法

      一个方程是二元一次方程必须满足:(1)等式两边的式子都是整式;(2)有且只有两个未知数;(3)含有未知数的项的次数都是1.

       方法2 二元一次方程组的解的应用方法

      方法2 二元一次方程组的解的应用方法

      检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解,常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的各个方程.只有当这对数值同时满足所有方程时,才能说这对数值是此方程组的解;如果这对数值不满足其中的一个方程,那么它就不是此方程组的解.

       方法3 求二元一次方程的整数解的方法

      方法3 求二元一次方程的整数解的方法

      求二元一次方程的整数解的方法:①首先用一个未知数表示另一个未知数,如y=10-2x;②给定x一个值,求出y的一个对应值,就可以得到二元一次方程的一组解;③根据题意对未知数x、y作出限制,确定x的可能取值,进而确定二元一次方程所有的整数解.

       方法4 二元一次方程组在实际问题中的应用方法

      方法4 二元一次方程组在实际问题中的应用方法

      在近几年中考试题中,列二元一次方程组解决实际问题出现的频率较大,试题多贴近实际生活,等量关系不太隐蔽,重点放在列方程组的思想方法上.

       方法5 利用整体思想、转化思想解二元一次方程组相关问题的方法
      page0076

      方法5 利用整体思想、转化思想解二元一次方程组相关问题的方法

      整体思想是数学中常用的思想,它可以把一个代数式看作一个整体,在解决二元一次方程组相关的求值问题时,注意观察方程组的特点,灵活运用方程组的变形技巧来进行合理的解答.

      转化思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解,这是学习新知识、研究新问题的一种基本方法.

      8.2 解二元一次方程组

      知识清单

      ·知识1 消元

      ·知识2 代入消元法(重点)

      ·知识3 加减消元法(重点)

      ·知识4 整体消元法

      ·知识5 解二元一次方程组的一般步骤

       知识1 消元

      知识1 消元

      二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程,即可先解出一个未知数,然后再设法求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法,叫做消元思想.

       知识2 代入消元法(重点)

      知识2 代入消元法(重点)

      由二元一次方程组中的一个方程,将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程中,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.

      代人法解二元一次方程组的一般步骤:

      ①变形:从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

      ②代入:将变形后的方程代入没变形的方程,得到一个一元一次方程.

      ③解方程:解这个一元一次方程,求出一个未知数的值

      ④求值:将求得的未知数的值代入变形后的方程,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.

      温馨提示 ①方程组的解是各方程解的公共部分,两个方程中的同一个未知数就应取相同的值,所以一个方程的某个未知数便可用另一个方程变形得到的关于这个未知数的代数式表示,这就是代入消元法的依据.代入消元时将方程组里的一个方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数时,通常选择未知数系数绝对值为1的方程或常数项为零的方程进行变形,有时也可整体代入,使计算简便.

      ②用代入法消元时,由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去,如果代入原方程,就不可能求出原方程组的解了.

      ③方程组中各项系数不全是整数时,应先化简,即

      page0077
      应用等式的性质,化分数系数为整数系数.

      ④当求出一个未知数后,把它代入变形后的方程y=ax+b(或x=ay+b),求出另一个未知数的值比较简单.

      ⑤要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解,可以将这对数值代入原方程组的每个方程中,若各方程均成立,则这对数值就是原方程组的解,否则说明解题有误.

       知识3 加减消元法(重点)

      知识3 加减消元法(重点)

      两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.

      用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

      ①变形:先观察系数特点,将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数.

      ②加减:用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数,把二元一次方程转化为一元一次方程.

      ③解方程:解一元一次方程,求出一个未知数的值.

      ④求值:将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.

      温馨提示 ①加减消元时可先根据两个方程中各未知数系数的情况确定消去哪一个未知数.一般地,当方程组中某未知数的系数有倍数关系时,则消去该未知数较简单.

      ②当两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等且两个系数异号时,可将两个方程相加消元;当两个系数的绝对值相等且两个系数同号时,可将两个方程相减消元.

      ③当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等,也没有倍数关系时,则消去系数绝对值较小的未知数较简单,确定要消去这个未知数时,先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数,再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数.

      ④对于比较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、移项、合并同类项等),通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式.

      ⑤一般步骤可概括为:

      变换系数→加减消元→回代求解

       知识4 整体消元法

      知识4 整体消元法

      根据方程组中各系数特点,可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体,代入到另一个方程中,从而达到消去其中一个未知数的目的,求得方程组的解.

      整体代入:如解二元一次方程组

      ①变形为3(x+5)=y+23,代入②得

      5(y-1)=y+23,所以y=7,

      把y=7代入①,得x=5,∴

      整体加减:如解二元一次方程组

      两式分别相加、相减并整理得

      解得

       知识5 解二元一次方程组的一般步骤

      知识5 解二元一次方程组的一般步骤

      (1)化:将方程组转化为有一个未知数的一元一次方程;

      (2)解:解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;

      (3)代:把求得的那个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出另一个未知数的值.

      (4)联:把求得的两个未知数的值用花括号联立起来,这样就得到二元一次方程组的解.

      解二元一次方程组的一般步骤可概括为:

      page0078

      方法清单

      ·方法1 利用代入法解二元一次方程组的方法

      ·方法2 利用加减法解二元一次方程组的方法

      ·方法3 解二元一次方程组的简便方法

      ·方法 4解看错系数问题的方法

      ·方法 5利用同解方程组确定字母的取值

       方法1 利用代入法解二元一次方程组的方法

      方法1 利用代入法解二元一次方程组的方法

      用代人法解方程组,关键是灵活变形和代入,以达到消元的目的,要认真体会代入的方法和技巧.相对加减法而言,当方程组只有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值为1或有一个方程的常数项是0时,用代入法比较简便.

       方法2 利用加减法解二元一次方程组的方法

      方法2 利用加减法解二元一次方程组的方法

      (1)当同一未知数的系数互为相反数时,两个方程相加;当同一未知数的系数相等时,两个方程相减.

      (2)当方程组比较复杂时,应通过去分母、去括号、移项、合并同类项,使之化为一般形式,为加减消元创造有利条件.

       方法3 解二元一次方程组的简便方法

      方法3 解二元一次方程组的简便方法

      解二元一次方程组的常规解法有代入消元法和加减消元法,选择方法时要根据方程组的特点,具体问题具体分析,以选择最佳解题方案.根据未知数的系数特点,也可能会用到整体代换思想、换元思想、设参数的方法等.

       方法4 解看错系数问题的方法

      方法4 解看错系数问题的方法

      看错方程组中哪个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数方程的解,也是方程组中没有看错系

      page0079
      数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中,构建新的方程组,然后解方程组.

       方法5 利用同解方程组确定字母的取值

      方法5 利用同解方程组确定字母的取值

      解决此类题目的方法是:利用方程组解的概念,先由两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立,求得方程组的解,然后再由方程组的解适合每一个方程得到关于a、b的二元一次方程组,进而确定a、b的值.

      8.3 列二元一次方程组解应用题

      知识清单

      ·知识1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 ·知识2 二元一次方程组应用题的常见类型

       知识1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤

      知识1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤

      (1)审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系;

      (2)设:设未知数(一般求什么,就设什么);

      (3)找:找出应用题中的相等关系;

      (4)列:根据相等关系列出两个方程,组成方程组;

      (5)解:解所列的方程组,求出未知数的值;

      (6)答:检验所求未知数的值是否符合题意,写出答案(包括单位名称).

      温馨提示 ①列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的几个相等关系,正确地列出方程组.

      ②设未知数可设直接未知数,也可设间接未知数.

      ③一般来说,设几个未知数,就应列出几个方程并组成方程组.

      ④审和找两步可在草稿纸上进行,书面上主要写设列解和答四个步骤.

      ⑤要根据应用题的实际意义检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去.

      ⑥设答两步都要写清单位名称.

      ⑦在列方程组时,要注意等号左、右两边单位的统一.

       知识2 二元一次方程组应用题的常见类型

      知识2 二元一次方程组应用题的常见类型

      (1)和差倍分问题.这类问题的基本等量关系式:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×一份的量.

      (2)产品配套问题.这类问题的基本等量关系是加工总量成比例.

      (3)速度问题.这类问题的基本关系式:路程=速度×时间.

      (4)航速问题.此类问题分水中航行和风中行进两类,基本关系式:

      ①顺流(风)速度=静水(无风)中的速度+水(风)速;

      ②逆流(风)速度=静水(无风)中的速度-水

      page0080
      (风)速.

      (5)工程问题.这类问题的基本关系式:工作量=工作效率×工作时间.

      (6)增长率问题.这类问题的基本等量关系式:原量×(1+增长率)=增长后的量,原量×(1-减少率)=减少后的量.

      (7)浓度问题.这类问题的基本关系式:溶液质量×浓度=溶质质量.

      (8)银行利率问题.这类问题的基本关系式:免税利息=本金×利率×期数,税后利息=本金×利率×期数-本金×利率×期数×税率.

      (9)利润问题.这类问题的基本关系式:利润=售价-进价,利润率=售价-进价/进价×100%.

      (10)盈亏问题.解这类问题关键是从盈(过剩)、亏(不足)两个角度来把握事物的总量.

      (11)数字问题.解这类问题,要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及其表示.

      (12)几何问题.解这类问题要准确掌握有关几何图形的性质和周长、面积等计算公式.

      (13)年龄问题.解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等这一特征.

      方法清单

      ·方法1 列二元一次方程组解决实际问题的常见方法

      ·方法2 列二元一次方程组解决增长率问题的方法

      ·方法3 列二元一次方程组解决配套问题的方法

      ·方法4 列二元一次方程组解决行程问题的方法

      ·方法5 列二元一次方程组解决几何图形的计算问题的方法

      ·方法6 利用二元一次方程组的解进行方案设计的方法

       方法1 列二元一次方程组解决实际问题的常见方法

      方法1 列二元一次方程组解决实际问题的常见方法

      列方程组解应用题是中学数学应用题中的重点和难点内容之一,因此,对于列方程组解应用题应做到四会:

      (1)会分析题意,不要只注重题中的数字,而忽视对题意的分析和理解;

      (2)会抓住关键性词语,弄清题目中每一个词语的真实含义是正确进行思考的必要条件,重在领会数学意义,找出关键性词语,以及它所赋予的数量关系;

      (3)会抓住不变量和等值量列方程;

      (4)会触类旁通,可从不同角度,对不同的解题方法加以比较在有的应用题中,虽然问题的提法不同,但实质是一样的.

       方法2 列二元一次方程组解决增长率问题的方法

      方法2 列二元一次方程组解决增长率问题的方法

      由增长前的量×(1+增长率)=增长后的量可得增长前的量=增长后的量/1+增长率.由减少前的量×(1-减少率)=减少后的量可得减少前的量=减少后的量/1-减少率

      page0081
       方法3 列二元一次方程组解决配套问题的方法

      方法3 列二元一次方程组解决配套问题的方法

      产品配套问题是指某件产品是由几个部件配套加工而成的,而部件的数量并不完全相同,在生产过程中,为了使每个部件生产的数量恰好符合组装所需,而不产生积压.各部件的数量不一定相等,但存在一定数量关系:

      甲部件的总量/每件产品含甲的个数=乙部件的总量/每件产品含乙的个数

       方法4 列二元一次方程组解决行程问题的方法

      方法4 列二元一次方程组解决行程问题的方法

      常用等量关系:路程=速度×时间.

      类型 等量关系
      相遇问题 甲走的路程+乙走的路程=两地距离
      追及问题 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;
      同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程
      水速问题 水流速度=1/2(顺流速度-逆流速度);
      顺流速度=静水速度+水流速度;
      逆流速度=静水速度-水流速度
       方法5 列二元一次方程组解决几何图形的计算问题的方法

      方法5 列二元一次方程组解决几何图形的计算问题的方法

      对于图形问题的求解,要会通过对图形的观察、比较、分析,发现隐含在图形中的数量关系,这是解决有关图形问题的关键.图形中隐含的数量关系有边长之间的关系、面积之间的关系等等.

      page0082
       方法6 利用二元一次方程组的解进行方案设计的方法

      方法6 利用二元一次方程组的解进行方案设计的方法

      优化方案问题首先要列举出所有可能的方案,再按题的要求分别求出每种方案的具体结果,进行比较,从中选择最优.

      8.4 三元一次方程组

      知识清单

      ·知识1 三元一次方程(组)

      ·知识2 三元一次方程组的解

      ·知识3 解三元一次方程组的一般步骤

       知识1 三元一次方程(组)

      知识1 三元一次方程(组)

      1.三元一次方程就是含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程.

      2.方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.如是三元一次方程组.

      温馨提示 ①三元一次方程组必须满足:a.方程组中有且只有三个未知数;b.含未知数的项的次数都是1.

      ②每个方程中不一定都含有三个未知数.

       知识2 三元一次方程组的解

      知识2 三元一次方程组的解

      一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解.

      三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解.

       知识3 解三元一次方程组的一般步骤

      知识3 解三元一次方程组的一般步骤

      (1)用代入消元法解三元一次方程组的步骤:

      ①利用代入法消去一个未知数,得出一个二元一

      page0083
      次方程组;

      ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;

      ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起,就是所求三元一次方程组的解.

      (2)用加减消元法解三元一次方程组的步骤:

      ①利用加减的方法消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;

      ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;

      ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起,就是所求的三元一次方程组的解.

      温馨提示 ①要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数.

      ②原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次

      ③将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验,看每个方程等号左、右两边的值是否相等,若都相等,则是原方程组的解,只要有一个方程等号左、右两边的值不相等,就不是原方程组的解.

      方法清单

      ·方法1 利用消元思想解三元一次方程组的方法 ·方法2 解三元一次方程组的简便方法

       方法1 利用消元思想解三元一次方程组的方法

      方法1 利用消元思想解三元一次方程组的方法

      消元思想是解方程组的基本思想,是将复杂问题简单化的一种化归思想,其目的是将多元的方程逐步转化为一元的方程,即三元二元一元.

       方法2 解三元一次方程组的简便方法

      方法2 解三元一次方程组的简便方法

      解三元一次方程组可类比解二元一次方程组,关键是消元.在消元过程中,要注意观察方程组的特点,通过合理的变形达到消元的目的,简化解题过程。

       知识1 不等式

      第9章 一元一次不等式(组)

      page0084

      9.1 不等式的有关概念及其性质

      知识清单

      ·知识1 不等式

      ·知识2 不等式的解

      ·知识3 不等式的解集

      ·知识4 不等式的基本性质

      ·知识5 解不等式

      ·知识6 不等式的性质与等式的性质的区别与联系

      知识1 不等式

      用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.如x>5,3x+2≤7,x≠3等.

      温馨提示 ①常见的不等号有>、<、≠、≥、≤,分别读作大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于.其中≥又读作不小于,≤又读作不大于.

      ②在不等式a>b或a<b中,a叫不等式的左边,b叫不等式的右边.

      ③不等号的开口所对的数较大,不等号的尖头所对的数较小.

      ④在列不等式时,一定要注意表示不等关系的关键字,如:正数、非负数、不大于、至少等.

       知识2 不等式的解

      知识2 不等式的解

      使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

      如x=1是x+2>1的解.

      温馨提示 ①不等式的解是指某一范围内的某个数,用它来代替不等式中的未知数,不等式成立.

      ②要判断某个未知数的值是不是不等式的解,可直接将该值代入不等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是;否则不是.

      ③一般地,一个不等式的解不止一个,往往有无数个,如所有大于3的数都是x>3的解,但也存在特殊情况,如|x|≤0就只有一个解,为x=0.

       知识3 不等式的解集

      知识3 不等式的解集

      一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.如不等式x+1<4的解集是x<3.

      温馨提示 ①不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念.

      ②不等式的解集是一个范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解,不等式一般有无穷多个解.

      ③不等式的解集包含两方面的意思:a.解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;b.解集外的任何一个数值,都不能使不等式成立(即不等式不成立).

      ④不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,如不等式x-1<2的解集是x<3,可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点.如图所示.

      page0085
       知识4 不等式的基本性质

      知识4 不等式的基本性质

      性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.即

      若a>b,则a+c>b+c,a-c>b-c.

      性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即

      若a>b,c>0,则ac>bc,a/c>b/c.

      性质3:不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即

      若a<b,c<0,则ac>bc,a/c>b/c.

      温馨提示 ①不等号>和<称为互为相反方向的符号.所谓不等号方向改变,就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向,如>改变方向后就变成<.

      ②不等式的性质是不等式变形及解不等式的理论依据.其中性质3是重点,也是难点,应特别注意不等号方向的改变.

      ③运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.

      ④不等式的性质还有:a.若a>b,则b<a;b.若a>b,b>c,则a>c.

       知识5 解不等式

      知识5 解不等式

      求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

       知识6 不等式的性质与等式的性质的区别与联系

      知识6 不等式的性质与等式的性质的区别与联系

      1.不等式的性质与等式的性质的比较

      等式的性质 不等式的性质
      对称性:若a=b,则b=a 反对称性:若a>b,则b<a
      传递性:若a=b,b=c,则a=c 传递性:若a>b,b>c,则a>c
      性质1:若a=b,则a±c=b±c 性质1:若a>b,则a±c>b±c
      性质2:若a=b,c≠0,则ac=bc,a/c=b/c 性质2:若a>b,c>0,则ac>bc,a/c>b/c
      性质3:若a>b,c<0,则ac>bc,a/c<b/c

      2.不等式的性质与等式的性质的相同点和不同点

      (1)相同点:无论是等式还是不等式,都可以在它的两边加(或减)同一个数或同一个整式.

      (2)不同点:对于等式来说,在等式的两边乘(或除以)同一个正数(或同一个负数),等式仍然成立,但是对于不等式来说,却不大一样,在不等式的两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,而在不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号要的方向改变.

      方法清单

      ·方法1 确定不等关系的方法

      ·方法2 不等式性质的应用方法

      ·方法3 利用不等式的性质比较大小的方法

       方法1 确定不等关系的方法

      方法1 确定不等关系的方法

      (1)首先根据条件列出相关的代数式,其次把所列代数式用不等号连接,关键是把题中的文字语言正确转化为数学符号语言.

      (2)善于抓住关键字,正确列出不等式,如:至多小于或等于,超过大于,不超过小于或等于,不大于小于或等于,不少于大于或等于等.

       方法2 不等式性质的应用方法
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      方法2 不等式性质的应用方法

      不等式的基本性质是不等式变形的依据,是我们应掌握的基础知识.特别要注意的是,不等式的两边同乘(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变.

       方法3 利用不等式的性质比较大小的方法

      方法3 利用不等式的性质比较大小的方法

      根据不等式的性质1,我们可以得到一种比较两个数(或代数式)的大小的方法:若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b.这种比较大小的方法称为求差比较法,简称求差法.

      9.2 解一元一次不等式

      知识清单

      ·知识1 一元一次不等式

      ·知识2 一元一次不等式的解集

      ·知识3 一元一次不等式的解集的表示方法

      ·知识4 解一元一次不等式的一般步骤

      ·知识5 解一元一次方程与解一元一次不等式的区别

      ·知识6 一元一次不等式的整数解

       知识1 一元一次不等式

      知识1 一元一次不等式

      一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,系数不等于0,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫一元一次不等式.其一般形式是ax+b>0或ax+b<0(a≠0).

      温馨提示 ①一元一次不等式满足的条件:

      a.不等式的两边都是整式;b.不等式中只含有一个未知数;c.未知数的次数是1.

      ②一元一次不等式是最简单的代数不等式,它是整式形式的不等式,比如2/x>3不是一元一次不等式,因为未知数x在分母中,使得该不等式的左边不是整式形式.

       知识2 一元一次不等式的解集

      知识2 一元一次不等式的解集

      一元一次不等式的所有解组成的集合叫做一元一次不等式的解集.

      温馨提示 ①一元一次不等式的解集是一个符合某一个特定条件的一元一次不等式的解的集合.

      ②一元一次不等式的解和一元一次不等式的解集是两个不同的概念,它们是从属关系.

      page0087
       知识3 一元一次不等式的解集的表示方法

      知识3 一元一次不等式的解集的表示方法

      不等式的解集表示有两种形式:(1)用不等式表示;(2)用数轴表示.

      一元一次不等式的解集一般来说有以下四种情况:

      不等式的解集 数轴表示
      x>a
      x<a
      x≥a
      x≤a

      温馨提示 ①一元一次不等式的解集可以用不等式来表示,如一元一次不等式-3x+2>2x+7的解集是x<-1.同时注意一元一次不等式的解集的不等符号可能与原一元一次不等式中的不等符号不同.

      ②用数轴表示不等式的解集时要两定:一定边界点,二定方向.在定边界点时,若不等号是≤或≥,边界点为实心点;若不等号是<或>,边界点为空心圆圈.在定方向时,相对于边界点而言,小于向左,大于向右.

       知识4 解一元一次不等式的一般步骤

      知识4 解一元一次不等式的一般步骤

      (1)去分母:根据不等式的性质2和3,把不等式的两边同时乘各分母的最小公倍数,得到整数系数的不等式.

      (2)去括号:根据去括号的法则,特别要注意括号外面是负号时,去掉括号和负号,括号里面的各项要改变符号.

      (3)移项:根据不等式基本性质1,一般把含有未知数的项移到不等式的左边,常数项移到不等式的右边.

      (4)合并同类项.

      (5)系数化为1:根据不等式基本性质2或3,特别要注意系数化为1时,系数是负数的,不等号要改变方向.

      温馨提示 ①去分母时不要漏乘不含分母的项.

      ②分子是一个多项式时,分数线有括号的作用,去分母后,应作为一个整体加上括号.

      ③先去小括号,再去中括号,最后去大括号,利用分配律去括号时,若括号前是负号,括号里各项均要变号.

      ④移项时把含有未知数的项移到不等式一边,其他项移到另一边,注意移项要变号.

      ⑤未知数系数化为1时,不等式两边同除以未知数的系数,当这个系数是负数时,不等号的方向要改变.

      ⑥注意在解不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序.要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.

       知识5 解一元一次方程与解一元一次不等式的区别

      知识5 解一元一次方程与解一元一次不等式的区别

      (1)解一元一次不等式与解方程的方法类似,只是在利用不等式的性质3对不等式进行变形时,若两边同乘以(或除以)负数时要改变不等号方向,比较如下表:

      一元一次方程 一元一次不等式
      解法步骤 ①去分母
      ②去括号
      ③移项
      ④合并同类项
      ⑤系数化为1
      ①去分母 ②去括号 ③移项 ④合并同类项 ⑤系数化为1
      在上面的步骤①和⑤中,如果乘的因数或除数是负数,则不等号的方向要改变
      一元一次方程只有一个解 一元一次不等式一般有无数多个解

      (2)方程ax=b与不等式ax>b及ax<b解法的比较:

      ax=b ax>b ax<b
      当a≠0时,x=b/a
      当a=0,b≠0时,方程无解;
      当a=0,b=0时,x为任意实数
      当a>0时,x>b/a;
      当a<0时,x<b/a;
      当a=0,b<0时,x为任意实数;
      当a=0,b≥0时,不等式无解
      当a>0时,x<b/a;
      当a<0时,x>b/a;
      当a=0,b≤0时,不等式无解;
      当a=0,b>0时,x为任意实数
       知识6 一元一次不等式的整数解
      page0088

      知识6 一元一次不等式的整数解

      一元一次不等式的整数解是指在不等式的解集中满足整数条件的解.整数解通常是为了满足实际问题的需求提出的.如不等式10-4(x-3)≥2(x-1)的非负整数解是0,1,2,3,4.

      温馨提示 求不等式的整数解,先按解一元一次不等式的基本步骤求其解集,再按题目要求求其整数解.

      方法清单

      ·方法1 解一元一次不等式的方法

      ·方法2 求一元一次不等式特殊解的方法

      ·方法3 确定不等式中字母的取值范围的方法

      ·方法4 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法

       方法1 解一元一次不等式的方法

      方法1 解一元一次不等式的方法

      解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似,只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时,要改变不等号的方向.

       方法2 求一元一次不等式特殊解的方法

      方法2 求一元一次不等式特殊解的方法

      不等式的特殊解包括整数解、非负整数解、正整数解、负整数解等,求一元一次不等式的特殊解,需先求出不等式的解集,再按题目要求求其特殊解.

       方法3 确定不等式中字母的取值范围的方法

      方法3 确定不等式中字母的取值范围的方法

      首先把不等式的解集用含有字母的形式表示出来,然后再把它与已知解集联系起来求解,在求解过程中可以利用数轴进行分析.

       方法4 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法

      方法4 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法

      在解含有待定字母的不等式时,仍需按照一元一次不等式的解法去解,再依据题中给定的条件,列出关于待定字母的方程,进而求出字母的值.

      page0089

      9.3 解一元一次不等式组

      知识清单

      ·知识1 一元一次不等式组

      ·知识2 一元一次不等式组的解集(重点)

      ·知识3 解一元一次不等式组的一般步骤

      ·知识4 一元一次不等式组的整数解

       知识1 一元一次不等式组

      知识1 一元一次不等式组

      关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.如:

      等是一元一次不等式组.

      温馨提示 一元一次不等式组必须符合三个条件:(1)组成不等式组的一元一次不等式可以是两个、三个、…;(2)每个不等式都是一元一次不等式;(3)必须都含有同一个未知数.

       知识2 一元一次不等式组的解集(重点)

      知识2 一元一次不等式组的解集(重点)

      几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.如果不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解,几个不等式的解集的公共部分通常利用数轴来确定.

      由两个一元一次不等式组成的不等式组及其解集的常见情况如下表所示:

      不等式组(设a<b) 在同一数轴上的表示 解集 口诀
      x≤a
      x≤b
      x≤a 同小取小
      x≥a
      x≥b
      x≥b 同大取大
      x≥a
      x≤b
      a≤x≤b 大小、小大中间找
      x≤a
      x≥b
      空集 大大、小小无处找

      温馨提示 ①在求不等式组解集的过程中通常是利用数轴来确定不等式组的解集的.

      ②在数轴上表示不等式组的解集时,要把几个不等式的解集都表示出来,不能仅画出公共部分.

      ③关于x的不等式组的解集为x=a,关于x的不等式组的解集为空集·

       知识3 解一元一次不等式组的一般步骤

      知识3 解一元一次不等式组的一般步骤

      (1)解不等式组:求不等式组解集的过程叫做解不等式组.

      (2)解一元一次不等式组的一般步骤:

      第一步:分别求出不等式组中各不等式的解集;

      第二步:将各不等式的解集在数轴上表示出来;

      第三步:在数轴上找出各不等式的解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集.

       知识4 一元一次不等式组的整数解

      知识4 一元一次不等式组的整数解

      一元一次不等式组的整数解是指在不等式组中各个不等式的解集中满足整数条件的解的公共部分.

      求一元一次不等式组的整数解的一般步骤:先求出不等式组的解集,再丛解集中找出所有整数解.其中

      page0090
      要注意整数解的取值范围.

      方法清单

      ·方法1 一元一次不等式组解集的确定方法

      ·方法2 求一元一次不等式组的整数解的方法

      ·方法3 解连续不等式的方法

      ·方法4 确定一元一次不等式(组)中待定字母的值的方法

      ·方法5 确定一元一次不等式(组)中待定字母的取值范围的方法

       方法1 一元一次不等式组解集的确定方法

      方法1 一元一次不等式组解集的确定方法

      求不等式组的解集,通常采用分开解集中判的方法.分开解就是分别求出不等式组中各个不等式的解集;集中判就是利用数轴求出各个不等式的解集的公共部分,注意求解口诀的使用.

       方法2 求一元一次不等式组的整数解的方法

      方法2 求一元一次不等式组的整数解的方法

      求一元一次不等式组的整数解,一般先求出不等式组的解集,再根据题目的要求,找出在不等式组的解集内的整数解.在实际问题中常常要应用到求不等式的特殊解,如在一些实际问题中只能用整数表示结果时,我们不能用解集的形式来表示,只能用特殊解的形式来表示.

       方法3 解连续不等式的方法

      方法3 解连续不等式的方法

      解连续不等式有两种方法:(1)将连续不等式化成与之等价的不等式组,然后求解;(2)直接运用不等式的基本性质求解.

       方法4 确定一元一次不等式(组)中待定字母的值的方法
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      方法4 确定一元一次不等式(组)中待定字母的值的方法

      已知一元一次不等式(组)的解集,确定其中所含待定字母(即不是未知数的字母)的值,是考查学生掌握及灵活运用所学知识的综合体现.可从已知不等式(组)中求出它的解集,再利用解集的等价性求出待定字母的值.

       方法5 确定一元一次不等式(组)中待定字母的取值范围的方法

      方法5 确定一元一次不等式(组)中待定字母的取值范围的方法

      已知不等式组的解集,求不等式组中待定字母的取值范围问题,首先把不等式组的解集用含有字母的形式表示出来,然后再把它与已知解集联系起来求解,这类问题有时要运用方程知识,有时要用到不等式知识,在求解过程中可以利用数轴进行分析.

      9.4 列一元一次不等式(组)解应用题

      知识清单

      ·知识1 列一元一次不等式(组)解应用题的关键语句 ·知识2 列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤

       知识1 列一元一次不等式(组)解应用题的关键语句

      知识1 列一元一次不等式(组)解应用题的关键语句

      列不等式或不等式组解决实际问题,要注意抓住问题中的一些关键词语,如至少最多超过不低于不大于不高于大于多等,这些都体现了不等关系,列不等式时,要根据关键词语准确地选用不等号.另外,对一些实际问题的分析还要注意结合实际,有些不等关系隐含于生活常识中,如小明用30元去买单价为4.5元的笔记本,设买了x本,求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过30元,由此可得出不等式4.5x≤30·

       知识2 列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤

      知识2 列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤

      (1)审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键词语,如大于小于不大于至少不超过超过等;

      (2)设:设出适当的未知数;

      (3)列:根据题中的不等关系列出不等式(组);

      (4)解:解出所列的不等式(组)的解集;

      (5)答:检验是否符合题意,并写出答案.

      温馨提示 ①列不等式组解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤相类似,不同的是,前者需寻求的不等关系往往不止一个,而后者只需找出一个不等关系即可.

      ②在列不等式组时,几个一元一次不等式必须含有同一个未知数.

      ③在解应用题时,往往由题目含义要求解出特殊解,如求人数只能取自然数,这些条件往往是隐含的,解题时要特别注意.

      ④找不等关系往往要找到表示不等关系的词语,还有一些需要由实际情况或生活常识找出不等关系.

      ⑤在列不等式组时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键,解出不等式组的解集后,要检验不等式组的解集是否合理,是否符合实际情况.

      即审题→设未知数→找出题中所有的数量关系列出不等式组→解不等式组→检验→答.

      page0092

      方法清单

      ·方法1 利用一元一次不等式(组)解决实际问题的方法

      ·方法2 方程(组)与不等式(组)相结合解决实际问题的方法

      ·方法3 运用一元一次不等式(组)进行方案设计的方法

      ·方法4 列一元一次不等式(组)解决几何图形的计算问题的方法

       方法1 利用一元一次不等式(组)解决实际问题的方法

      方法1 利用一元一次不等式(组)解决实际问题的方法

      由实际问题中的不等关系列出不等式(组),建立解决问题的数学模型,通过解不等式(组)可以得到实际问题的答案.列一元一次不等式(组)解决实际问题的关键是要从问题中找出不等关系,然后恰当地设出未知数,列出不等式(组),最后求解不等式(组).

       方法2 方程(组)与不等式(组)相结合解决实际问题的方法

      方法2 方程(组)与不等式(组)相结合解决实际问题的方法

      近几年中考注重对学生知识联系实际的考查,实际问题中往往蕴含着方程与不等式,分析问题中的等量关系和不等关系,建立方程(组)模型和不等式(组)模型,从而把实际问题转化为数学模型,然后用数学知识来解决.

       方法3 运用一元一次不等式(组)进行方案设计的方法

      方法3 运用一元一次不等式(组)进行方案设计的方法

      一元一次不等式(组)的解一般情况下是无穷多个,但由于实际问题的限制,可能只有其中的某个或某些满足实际问题,这样也就随之产生了一种或几种设计方案.

      page0093
       方法4 列一元一次不等式(组)解决几何图形的计算问题的方法

      方法4 列一元一次不等式(组)解决几何图形的计算问题的方法

      对于图形问题的求解,要会通过对图形的观察、比较、分析,发现隐含在图形中的不等关系,这是解决有关图形问题的关键.

       知识1 数据的收集与整理

      第10章 数据的收集、整理与描述

      page0094

      10.1 数据的收集与整理

      知识清单

      ·知识1 数据的收集与整理

      ·知识2 总体、个体、样本与样本容量

      ·知识3 样本估计总体(重点)

      ·知识4 普查与抽样调查(重点)

      ·知识5 普查与抽样调查的区别与联系

      知识1 数据的收集与整理

      1.数据的收集

      对数据的收集一般采用问卷调查的方法,收集数据的步骤:

      (1)明确调查问题;(2)明确调查对象;(3)选择调查方法和调查形式;(4)展开调查;(5)统计并整理调查结果;(6)分析结果并得出结论.

      收集数据的方法通常还有民意调查法、实地调查法和媒体调查法等.

      例如:在班级选一名三好学生,确定了调察对象后,可以采取民主推荐的调查方法,即每一个同学都拿出一张纸,将自己心目中认为最合适的一名同学的名字写出,投入推荐箱,这种方法就是民意调查法.

      调查每个同学的籍贯、年龄等,在班级面对面地提出问题,这种调查方法就是实地调查法.

      中央电视台对春节联欢晚会一、二、三等奖的调查是通过网络、报刊等媒体向全国电视观众进行调查的,这就是媒体调查法.

      温馨提示 ①收集数据有两种方式:直接收集和间接收集.

      ②统计调查是收集数据常用的方法,一般有全面调查和抽样调查两种.

      2.数据的整理

      统计中经常用表格整理数据.表格通常由行和列组成.运用表格进行数据统计的优点是简单、清楚、突出数据的分布规律.

      温馨提示 整理数据时可以用划记法记录数据,即通过正字的每一画(笔画)代表一个数据,统计数据的个数应等于所画正字的个数乘以5再加上未画完的正字的笔画数.

       知识2 总体、个体、样本与样本容量

      知识2 总体、个体、样本与样本容量

      (1)总体:我们所要考察的对象的全体叫做总体.

      (2)个体:总体中每一个考察对象叫做个体.

      (3)样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.

      (4)样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量.

      温馨提示 ①总体是指考察对象的全体,如:对于一个班级,如果考察的是这个班学生的身高,那么总体是指这个班级学生身高的全体,不能错误地理解为班级里学生的全体是总体.

      ②关于总体和样本,总体包括所有的个体,样本通常只包括一部分个体,样本是总体的一部分,一个总体中可以有许多样本,样本在一定程度上能够反映总体的情况,为了使样本能较好地反映总体情况,在选取样本时要注意使其具有一定的代表性.

      ③样本容量是样本中个体的数目.一般地,样本容量越大,通过样本对总体的估计越精确,在实际研究中,要根据具体情况确定样本容量的大小.

      ④在理解总体、个体和样本时,一定要注意总体、个体、样本中的考察对象是一种数量指标(如身高、体重、使用寿命等),是指我们所要考察的具体对象的属性,三者之间应对应一致.

      ⑤样本容量指的是样本中个体的数目,它只是一个数字,不带单位.

       知识3 样本估计总体(重点)

      知识3 样本估计总体(重点)

      样本估计总体是指通常不直接去研究总体,而是通过从总体中抽取一个样本,根据样本的情况去估计总体的相应情况.

      用样本的平均数、中位数和众数去估计相应总体的平均水平特性;用样本的频数、频率、频数分布表、频数分布直方图和频数分布折线图去估计相应总体数据的分布情况;用样本的极差、方差或标准差去估计相应

      page0095
      总体数据的波动情况.

       知识4 普查与抽样调查(重点)

      知识4 普查与抽样调查(重点)

      (1)为了一定目的而对考察对象进行的全面调查,称为普查.

      普查的方法:问卷调查、访问调查、电话调查等.

      ①问卷调查是根据调查目的制定调查问卷,由被调查者就调查问卷中所提的问题按给定的选择答案进行回答的一种调查方式.

      ②访问调查是按所拟调查事项,有计划地通过访谈、询问等方式向被调查者提出问题,通过他们的回答来获得信息和资料的一种调查方式.

      ③电话调查是指调查者用电话向被调查者进行询问,以达到收集有关资料这一目的的一种调查方式.

      (2)抽样调查是指从总体中抽取样本进行调查,根据样本来估计总体的一种调查.

      抽样调查的方法:民意调查法、实地调查法、媒体调查法等.

      抽样调查的抽样方法:抽样调查是从总体中抽取样本进行调查,根据样本来估计总体的一种调查方法,样本抽取是否得当,直接关系到对总体估计的准确程度,常用的抽样方法有随机抽样、系统抽样、分层抽样.

      ①随机抽样:这种抽样方法的特点是总体中每个个体被抽取的可能性都相同,随机抽样简便易行,当总体中个体相对较少时,常用这种方法.

      ②系统抽样:当总体中个体相对较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取相同个数的个体,这种抽样叫做系统抽样.当总体中个体相对较多,且其分布没有明显的不均匀情况时,常采用系统抽样.

      ③分层抽样:当总体由差异明显的几个部分组成时,可将总体按差异情况分成几个部分,然后按各部分所占的比例进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.

      温馨提示 ①普查是全面调查的一种,是为了某一特定目的而专门组织的一次全面调查.

      ②统计调查是收集数据常用的方法,一般有全面调查和抽样调查两种,实际中常常采用抽样调查的方法.调查时,可以采用不同的方法获得数据.除问卷调查、访问调查外,查阅文献资料和试验也是获得数据的有效方法.

      ③抽样调查中的抽样必须具有代表性.为了使抽样调查能较好地反映总体的情况,在选取样本时应注意:a.选取的样本应具有代表性,不偏向总体中的某些个体;b.选取的样本容量要足够大;c.选取样本时,要避免遗漏总体中的某一群体.

      ④选择调查方式要根据具体的调查对象、范围、事情发生的可能性来确定,在选择调查方式时,不但要考虑调查方式的可行性,而且还要考虑实际问题是否符合人们的认知规律.

       知识5 普查与抽样调查的区别与联系

      知识5 普查与抽样调查的区别与联系

      普查与抽样调查的区别:

      (1)普查可以直接、精确地获得总体的情况.但有时总体中个体较多,普查的工作量较大;有时受客观条件限制,无法对总体进行普查;有时调查本身具有破坏性,不允许进行普查.

      (2)抽样调查的优点是调查范围小,节省时间、人力、物力和财力.但是调查结果往往不如普查得到的结果准确.

      普查与抽样调查的联系:

      普查和抽样调查是调查的两种方式,各有各的特点,在调查实际生活中的问题时,遵循问题本身的需要及实现的可能性选择抽样方法.

      page0096

      方法清单

      ·方法1 合理选择调查方式的方法

      ·方法2 总体、个体、样本与样本容量的判断方法

      ·方法3 用样本估计总体的应用方法

       方法1 合理选择调查方式的方法

      方法1 合理选择调查方式的方法

      选择调查方式要根据具体的调查对象、范围、事情发生的可能性来确定.选择的调查方式关键是看被调查事件范围的大小以及是否带有破坏性.

       方法2 总体、个体、样本与样本容量的判断方法

      方法2 总体、个体、样本与样本容量的判断方法

      总体或样本中的每个考察对象都是一个个体,不同的个体在数值上是可以相同的,样本中有多少个个体,样本容量就是多少.

       方法3 用样本估计总体的应用方法

      方法3 用样本估计总体的应用方法

      在现实生活中,由于人力、物力和时间等因素的限制,常采用抽样调查的方法来了解总体,用样本估计总体的思想是统计中一个重要的内容,在进行抽样调查时,样本的抽取是否得当,直接关系到对总体估计的准确程度,为了获得较为准确的调查结果,抽样时要注意所选取样本的代表性.

      page0097

      10.2 数据的描述

      知识清单

      ·知识1 频数与频率

      ·知识2 组数与组距

      ·知识3 频数分布表

      ·知识4 条形统计图、扇形统计图与折线统计图(重点)

      ·知识5 条形统计图、扇形统计图与折线统计图的区别与联系

      ·知识6 频数分布直方图

      ·知识7 频数折线图

       知识1 频数与频率

      知识1 频数与频率

      1.频数

      在记录数据时,某类数据出现的次数称为这类数据的频数,各对象的频数之和等于数据总数,各对象的频率之和等于1.

      2.频率

      频数与总次数的比值(或者百分比)称为这类数据的频率,即频率=频数/数据总数.

       知识2 组数与组距

      知识2 组数与组距

      1.组数

      将一组数据进行适当的分组,把分成的组的个数叫做组数.

      2.组距

      将一组数据进行适当的分组,每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为组距.

      温馨提示 ①组数的多少应当适中.若组数太多,数据的分布就会过于分散,而组数太少,数据的分布又会过于集中,这都不便于观察数据分布的特征和规律.

      ②实际决定组距时,常常有一个尝试的过程.在尝试中,不同的组距确定不同的组数,往往要通过比较,然后从中选定一个比较合适的组数.

       知识3 频数分布表

      知识3 频数分布表

      将一组数据进行适当的分组,然后根据每一小组的频数的多少去研究数据的分布情况,对分析问题大有帮助,这样就产生了频数分布表.

      例如:下面是某班一次数学测验成绩的频数分布表:

      成绩段 49.5~59.5 59.5~69.5 69.5~79.5 79.5~89.5 89.5~99.5
      频数记录 正正 正正
      频数 2 9 10 14 5

      表中频数记录一栏一般采用画正字的方法统计各数据段的频数;频数一栏表示的是每个数据段内数据的个数,频数的和即为这一组数据的总个数.

       知识4 条形统计图、扇形统计图与折线统计图(重点)

      知识4 条形统计图、扇形统计图与折线统计图(重点)

      统计图能直观形象地反映出事情的发展、变化或总体与部分的关系.统计中常见的统计图有条形图、扇形图、折线图和直方图四种,它们各有特点,可以从不同的角度清楚、有效地描述数据.

      1.条形统计图

      (1)特点:条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.

      (2)缺点:对于条形统计图,人们习惯于由条形柱的高度看相应的数,即条形柱的高度与相应的数据成正比,若条形柱的高度与相应的数据不成正比,就容易给人造成错觉.

      (3)注意:在制作条形统计图时,为使所绘的条形统计图更直观清晰,纵轴上的数值应从零开始.

      例如:如图所示是某校七年级学生到校方式的条形统计图.

      条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数(频数).各小长方形的高之比等于相应的个

      page0098
      数(频数)比.

      2.扇形统计图

      (1)特点:扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.

      (2)缺点:在两个扇形统计图中,若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某一个量所占的百分比多,容易造成第一个统计量大于第二个统计量的错觉.

      (3)注意:扇形统计图中,用圆代表总体,扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数,但是没有给出具体数值,因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少.

      制作扇形统计图的一般步骤:

      ①算出各部分数量占总体数量的百分比;

      ②算出表示各部分数量的扇形圆心角度数(圆心角度数=360°×百分比);

      ③取适当的半径画一个圆,再按上面算出的圆心角度数在圆里画出各个扇形;

      ④在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分比,并最好用不同的颜色或条纹把各个扇形区别开来.

      3.折线统计图

      (1)特点:折线统计图能清楚地反映事物的变化情况.

      (2)缺点:对于折线统计图,若横坐标被压缩,纵坐标被放大,就会显得统计量的变化速度加快;反之,若横坐标被放大,纵坐标被压缩,就会显得统计量的变化速度减慢.

      (3)改进:在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时,要保证两个图象中横、纵坐标的一致性,即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致.

      例如:如图所示是根据频数分布表绘制的折线统计图.

      温馨提示 ①条形统计图适合多个对象或多个因素的绝对统计数据,能反映具体的数值.

      ②扇形统计图适合相对统计数据,可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比.

      ③折线统计图适合单个统计对象或单个因素的绝对统计数据,能很清楚地反映事物的变化趋势.

       知识5 条形统计图、扇形统计图与折线统计图的区别与联系

      知识5 条形统计图、扇形统计图与折线统计图的区别与联系

      1.条形统计图、扇形统计图与折线统计图的区别

      (1)条形统计图能够显示每组中的具体数据,易于比较数据之间的差别.

      (2)扇形统计图是用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比,易于显示每组数据相对于总体的大小.

      (3)折线统计图易于显示数据的变化趋势.

      2.条形统计图、扇形统计图与折线统计图的联系

      表示数据的主要工具是统计图,条形统计图、扇形统计图、折线统计图是三种常用的统计图.三种统计图表示数据时都有形象直观、见图知意的优点.有时为了从不同的角度、不同的层面清楚描述数据可同时采用两种或三种统计图来统一体现.

       知识6 频数分布直方图

      知识6 频数分布直方图

      频数分布直方图也是一种条形图,它是用小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小的统计图.

      例如:如图所示是根据频数分布表绘制的频数分布直方图.

      频数分布直方图的制作步骤如下:

      (1)计算出数据中的最大值与最小值的差;

      (2)确定组距与组数,一般100以内的数据分成5~12组;

      (3)决定分点,常使分点比数据多一位小数,并且把第一组的起点稍微减少一点(也可把两组共有的数据归前面一组);

      (4)列频数分布表,用划记法对数据进行频数统计;

      (5)画出频数分布直方图,构造一个坐标系,用横轴表示各段数据,纵轴表示频数与组距之比,这样画出的小长方形的面积就代表频数,各小组的频数之和等于样本中数据的总个数.

      频数分布直方图的特点:

      频数分布直方图能直观地显示各组频数的分布情况,易于显示各组之间频数的差别.

      温馨提示 ①频数分布表和频数分布直方图是一组数据的频数分布的两种不同表现形式,后者较直观.

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      ②在画频数分布直方图时,首先要列出频数分布表,在分组时要注意组数适当,组距相等.

      ③分组要遵循三个原则:不空,即该组必须有数据;不重,即一个数据只能在一个组;不漏,即不能漏掉某一个数据.

      ④分组时,不能出现同一数据在两个组中.为了避免出现这种情况,分组时分点通常比题中要求的数据位数多一位.

      ⑤直方图实际上是用长方形的面积表示频数,长方形的宽是组距,当长方形的宽相等时,可用长方形的高表示频数.

      ⑥由于分组数据具有连续性,直方图的各长方形通常是连续排列,中间没有空隙,而条形统计图的各长方形则是分开排列,中间有空隙.

      ⑦频率分布直方图与频数分布直方图类似,只是纵轴表示各小组的频率与组距的比值,其他均与频数分布直方图相同.

       知识7 频数折线图

      知识7 频数折线图

      (1)频数折线图的制作一般是在频数分布直方图的基础上得到的,首先取直方图中每一个长方形上边的中点,然后在横轴上直方图的左右取两个频数为0的点,它们分别与直方图左右相距半个组距,最后再将这些点用线段依次连接起来,就得到了频数折线图.

      (2)频数折线图的制作也可以不通过频数分布直方图直接画出,具体步骤:①确定组数和组距;②统计每一组的频数;③求出组中值(即求出各个小组两个端点值的平均数);④以各个小组的组中值为横坐标,各个组对应的频数为纵坐标描点;⑤另取两个频数为0的点,这两个点的纵坐标为0,其中一个横坐标为第一个小组的组中值减去组距,另一个横坐标为最后一个小组的组中值加上组距;⑥依次将这些点连接起来,就得到频数折线图.

      例如:如图所示是先画出直方图再取上边的中点得到的频数折线图.

      方法清单

      ·方法1 统计图的识别和应用的方法

      ·方法2 综合利用多种统计图解决实际问题的方法

      ·方法3 补全或绘制统计图的方法

      ·方法4 频数分布表和直方图的识别和应用方法

       方法1 统计图的识别和应用的方法

      方法1 统计图的识别和应用的方法

      (1)条形统计图:用条形统计图可以清楚地表示各种情况下每个项目的具体数目,它的适用范围要广一些.

      (2)折线统计图:折线统计图用于表示同一对象的发展变化情况,用它表示的数据常是在不同的时间或地点从同一个对象身上收集到的.

      (3)扇形统计图:用扇形统计图可以很容易表示出一个对象在总体中所占的百分比,因此如果需要了解这一方面的信息可选择扇形统计图.

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       方法2 综合利用多种统计图解决实际问题的方法

      方法2 综合利用多种统计图解决实际问题的方法

      条形统计图、扇形统计图、折线统计图各有各的特点,它们从不同角度清楚、有效地描述数据.在解决由多种统计图共同组成的题目时,解题关键是结合各种统计图,将题目中用到的信息找出来,同时注意各种统计图的互补性.

       方法3 补全或绘制统计图的方法

      方法3 补全或绘制统计图的方法

      条形统计图、扇形统计图、折线统计图是常见的描述数据的统计图,绘制这些统计图在中考中往往时间不允许,所以在中考题目中也就出现了不完整的统计图,需要学生依据题目中获取的信息补全统计图.正确解答这类问题需要学生熟练掌握各种统计图的特点.

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       方法4 频数分布表和直方图的识别和应用方法

      方法4 频数分布表和直方图的识别和应用方法

      频数分布表和频数分布直方图是一组数据的频数分布的两种不同表现形式.

       知识1 三角形及其有关概念

      第11章 三角形

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      11.1 三角形的有关概念

      知识清单

      ·知识1 三角形及其有关概念

      ·知识2 三角形的表示方法

      ·知识3 三角形的分类

      ·知识4 三角形的角平分线

      ·知识5 三角形的中线

      ·知识6 三角形的高线

      知识1 三角形及其有关概念

      1.三角形

      由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

      2.三角形的边

      组成三角形的三条线段叫做三角形的边.

      3.三角形的角

      在三角形中,相邻两边所组成的在三角形内部的角叫做三角形的角,又称三角形的内角.

      4.三角形的顶点

      在三角形中,相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.

      温馨提示 ①如下图,线段AB、BC、CA是三角形的边,点A、B、C是三角形的顶点,∠A、∠B、∠C是三角形的角.

      ②三角形的边与角因位置关系有夹边、夹角之说,如下图,边BC是∠B与∠C的夹边,∠B是BA、BC两边的夹角.也有对边、对角之说,如下图,∠B的对边是AC,边AB的对角是∠C.

       知识2 三角形的表示方法

      知识2 三角形的表示方法

      一个三角形是由三条边和三个内角组成的.如下图,三角形的三个顶点分别为A,B,C,那么三角形可表示为△ABC,读作三角形ABC.

      温馨提示 ①三角形的表示方法中△代表三角形,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排,即△ABC,△ACB,△BAC,△BCA,△CAB,△CBA为同一三角形.

      ②习惯上为方便起见,∠A所对的边用a来表示,∠B所对的边用b来表示,∠C所对的边用c来表示,当然,有时∠A所对的边也可不用a来表示,而是用其他小写字母表示,但应以不产生混淆为宜.

       知识3 三角形的分类

      知识3 三角形的分类

      1.按角分类

      三角形 直角三角形
      斜三角形:
      锐角三角形
      钝角三角形

      2.按边分类

      温馨提示 ①把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形;把有两条边相等的三角形称为等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;把三条边都相等的三角形称为等边三角形(或正三角形).

      ②等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等.所以等边三角形是特殊的等腰三角形.

      ③在三角形中,三个内角都是锐角的是锐角三角形;有一个内角是直角的是直角三角形;有一个内角是钝角的是钝角三角形.

       知识4 三角形的角平分线
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      知识4 三角形的角平分线

      三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

      如图,AD是△ABC的角平分线,所以∠1=∠2=1/2∠BAC.

      温馨提示 ①三角形的角平分线是一条线段,而角的平分线是一条射线.

      ②三角形角平分线的画法与角的平分线的画法相同.

      ③三角形的三条角平分线都在三角形的内部,且交于一点,交点叫做三角形的内心.

       知识5 三角形的中线

      知识5 三角形的中线

      在三角形中,连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线.

      如图,AD为△ABC中BC边上的中线,所以BD=DC=1/2BC,或BC=2BD=2DC,或D为BC的中点.

      温馨提示 ①三角形的中线是一条线段.

      ②三角形的三条中线都在三角形的内部,且交于一点,交点叫做三角形的重心.

      ③三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形.

      ④△ABC的中线AD,也可称为BC边上的中线AD.

      ⑤三角形的重心把中线分为2∶1两部分(重心到顶点距离占2份,重心到对边中点距离占1份).

       知识6 三角形的高线

      知识6 三角形的高线

      从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高).如图所示,AD为△ABC的高,所以AD⊥BC于D(或∠ADB=∠ADC=90°).

      温馨提示 ①三角形边上的高是线段,而该边的垂线是直线.

      ②三角形的三条高交于一点,交点叫做三角形的垂心.

      ③如图,锐角三角形的三条高在其内部,三条高的交点在三角形内部;直角三角形的两条直角边互为高,因而可作的仅有一条高,三条高的交点在直角顶点处;钝角三角形有两条高在三角形的外部,三条高的延长线的交点在三角形的外部.

      锐角三角形

      直角三角形

      钝角三角形

      ④画钝角三角形两边的高时,先要延长边,再画垂线段.

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      方法清单

      ·方法1 三角形的相关概念的判别方法

      ·方法2 利用三角形的角平分线的性质解题的方法

      ·方法3 利用三角形的中线的性质解题的方法

      ·方法4 利用三角形的中线解决面积计算问题的方法

      ·方法5 利用三角形的高线的性质解题的方法

       方法1 三角形的相关概念的判别方法

      方法1 三角形的相关概念的判别方法

      对于三角形的相关概念,切忌死记硬背,要理解概念的本质属性.复杂的图形应重视图形的分解与组合.

       方法2 利用三角形的角平分线的性质解题的方法

      方法2 利用三角形的角平分线的性质解题的方法

      三角形的角平分线是三角形中重要的线段,由三角形的角平分线可得两个角之间的关系.在综合问题中,充分利用角平分线的性质和三角形的内外角的关系建立所求角与已知条件的联系是解决问题的关键.

       方法3 利用三角形的中线的性质解题的方法

      方法3 利用三角形的中线的性质解题的方法

      三角形的中线是三角形中重要的线段,由三角形的中线可得线段间的关系.在三角形中,围绕三角形的三边之间的关系及三角形中线的性质可建立起线段之间的数量关系,从而达到解题的目的.

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       方法4 利用三角形的中线解决面积计算问题的方法

      方法4 利用三角形的中线解决面积计算问题的方法

      三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形,因此分得的两个三角形面积相等,利用这一特点可以求解有关的面积问题.

       方法5 利用三角形的高线的性质解题的方法

      方法5 利用三角形的高线的性质解题的方法

      三角形的高线是三角形的重要线段,由三角形的高线可得90°的角,与三角形内角和、外角和相联系可解决三角形相关角度的计算问题;同时三角形的高是三角形面积计算的组成部分.

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      11.2 三角形的性质

      知识清单

      ·知识1 三角形的三边关系(重点)

      ·知识2 三角形的内角和(重点)

      ·知识3 三角形的外角

      ·知识4 三角形的外角和

      ·知识5 三角形的稳定性

       知识1 三角形的三边关系(重点)

      知识1 三角形的三边关系(重点)

      定理:三角形任意两边之和大于第三边.

      推论:三角形任意两边之差小于第三边.

      温馨提示 ①三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据,应用时要注意任意二字.

      ②在具体应用这一定理时,并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段的长度之和大于第三条线段,即可判定这三条线段能构成一个三角形,例如长度为3,4,5的线段中,5>4>3,4和3这两条线段是较短的,而3+4>5,所以这三条线段能构成三角形;又如长度为1,2,4的三条线段不能构成三角形,因为较短的两条线段长度之和为1+2=3,小于较长的线段长度4.

       知识2 三角形的内角和(重点)

      知识2 三角形的内角和(重点)

      三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.

      推论:直角三角形的两个锐角互余.

       知识3 三角形的外角

      知识3 三角形的外角

      1.三角形的外角

      三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.如图,在△ABC中,延长△ABC的边CB到D,则∠ABD是△ABC的一个外角.

      2.三角形外角的性质

      性质1:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

      如上图,因为∠1是△ABC的外角,

      所以∠1=∠ABC+∠ACB.

      性质2:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

      如上图,因为∠2是△ABC的外角,

      所以∠2>∠BAC,∠2>∠ACB.

      温馨提示 ①三角形的外角有三个特征:

      a.顶点在三角形的一个顶点上;

      b.一条边是三角形的一边;

      c.另一条边是三角形某条边的延长线.

      ②根据外角的定义,一个三角形中某个角有两个外角,这两个外角互为对顶角,所以一个三角形有六个外角.

      ③要证明角的不等关系,常常要用到外角的性质2.

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       知识4 三角形的外角和

      知识4 三角形的外角和

      如图,∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6都是△ABC的外角,而△ABC的外角和指的是∠2+∠4+∠6或∠1+∠3+∠5.即:从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.

      三角形外角和定理:三角形的外角和是360°.

       知识5 三角形的稳定性

      知识5 三角形的稳定性

      如果三角形的三条边固定,那么三角形的形状和大小就完全确定了,三角形的这个特征,叫做三角形的稳定性.

      温馨提示 ①要看图形是否具有稳定性,关键在于它的结构是否是三角形结构.

      ②除了三角形外,其他图形都不具备稳定性,因此在生产建设中,三角形的应用非常广泛.

      方法清单

      ·方法1 三角形三边关系的应用方法

      ·方法2 三角形外角的应用方法

      ·方法3 角平分线与三角形的性质相结合解题的方法

       方法1 三角形三边关系的应用方法

      方法1 三角形三边关系的应用方法

      (1)三角形两边之和大于第三边,这其中的两边应是任意的两边,所以按三角形两边之和大于第三边得出的不等式应有三个:a+b>c,a+c>b,b+c>a.但在具体解题时,我们可以加以简化,这是因为一个三角形的三边长a、b、c,总有一边是最长的,不妨设a最长,那么a+b>c,a+c>b两式显然成立,要考虑的重点便是b+c>a是否成立.

      (2)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边也可表述为:三角形的第三边小于两边之和而大于两边之差.即已知两边长为a、b,则第三边长x的范围是|a-b|<x<a+b,这种表达方式在解决已知两边求第三边的取值范围问题时有重要作用.

       方法2 三角形外角的应用方法

      方法2 三角形外角的应用方法

      三角形的外角实质上是与它相邻内角的邻补角,其角的两边分别是三角形的一边和相邻另一边的延长线,准确找出三角形的外角,是运用外角性质的前提条件.

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       方法3 角平分线与三角形的性质相结合解题的方法

      方法3 角平分线与三角形的性质相结合解题的方法

      三角形的内角和、外角和及角平分线都为我们提供了联系已知角度和未知角度的等量关系的条件.解题时要善于从角平分线所平分的角中看出某个角的多重身份,要从不同的角度去观察,这样就会发现题目中隐藏着的关系.

      11.3 全等三角形

      知识清单

      ·知识1 全等形与全等三角形

      ·知识2 全等三角形的表示

      ·知识3 全等三角形的性质(重点)

      ·知识4 全等三角形的判定(重点)

      ·知识5 角平分线的性质(重点)

      ·知识6 点在角平分线上的判定

      ·知识7 三角形三条内角平分线的性质

       知识1 全等形与全等三角形

      知识1 全等形与全等三角形

      1.全等形

      能够完全重合的两个图形叫做全等形.

      温馨提示 ①能够完全重合是指在一定的叠放条件下,可以完全重合,不是胡乱摆放都能重合.

      ②全等形大小、形状都相同.

      ③平移、翻折、旋转前后的图形是全等形.

      2.全等三角形

      能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

      两个三角形全等,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.

       知识2 全等三角形的表示

      知识2 全等三角形的表示

      全等用符号≌表示,读作全等于.在书写三角形全等时,应注意对应顶点的字母要写在对应位置.如图,两个全等三角形的对应顶点分别是A和A1,B和B1,C和C1,则应写为△ABC≌△A1B1 C1或△BCA≌△B1C1A1等.

       知识3 全等三角形的性质(重点)

      知识3 全等三角形的性质(重点)

      (1)全等三角形的对应边相等.

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      (2)全等三角形的对应角相等.

      温馨提示 ①对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系.

      ②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,对应边上的中线相等,周长及面积相等.

      ③全等三角形有传递性,若△ABC与△DEF全等,△DEF与△MNP全等,则△ABC与△MNP也全等.

       知识4 全等三角形的判定(重点)

      知识4 全等三角形的判定(重点)

      (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成边角边或SAS).

      (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成角边角或ASA).

      (3)角角边定理:有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等(可以简写成角角边或AAS).

      (4)边边边定理:三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成边边边或SSS).

      (5)斜边、直角边定理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成斜边、直角边或HL).

      关于三角形全等的总结:

      一般三角形的判定方法 1.定义法:能够完全重合的两个三角形全等
      2.SAS:两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等
      3.ASA:两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等
      4.AAS:两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
      5.SSS:三条边对应相等的两个三角形全等
      直角三角形的判定方法 1.定义法;2.SAS;3.ASA;4.AAS;5.SSS;6.HL
      不能判定三角形全等的两种情况 1.SSA:有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
      2.AAA:有三个角对应相等的两个三角形不一定全等

      温馨提示 ①判定两个三角形全等的条件中,边是必不可少的.

      ②SAS包含边和角两种元素,是两边夹一角而不是两边和其中一边对角对应相等,一定要注意元素的对应关系.

      ③HL是直角三角形所独有的,对于一般三角形不成立.

       知识5 角平分线的性质(重点)

      知识5 角平分线的性质(重点)

      角平分线上的点到角两边的距离相等.也就是说,一个点只要在角的平分线上,那么这个点到该角的两边的距离相等.

      如图,∵点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E,∴PD=PE.

      温馨提示 ①性质中的距离是指点到直线的距离,因此在应用时必须含有垂直这个条件,否则不能得到线段相等.如图,如果没有PD⊥OA,PE⊥OB,那么就不能直接得到PD=PE.

      ②本性质也可用来证明线段相等,所以要注意克服用全等三角形证明线段相等的思维定势.

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       知识6 点在角平分线上的判定

      知识6 点在角平分线上的判定

      角的内部,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.也就是说,一个点只要到角的两边距离相等,那么这个点一定在这个角的平分线上.

      如图,∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,

      ∴点P在∠AOB的平分线上.

      温馨提示 此结论是角平分线的判定,它与角平分线的性质是互逆的.

       知识7 三角形三条内角平分线的性质

      知识7 三角形三条内角平分线的性质

      利用角的平分线的性质定理可以得出:三角形的三个内角的平分线交于一点I.此点I叫做三角形的内心,它到三角形三边的距离相等.

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      方法清单

      ·方法1 确定全等三角形对应边、对应角的方法

      ·方法2 利用全等三角形的性质证明线段、角相等的方法

      ·方法3 利用全等三角形的性质解决实际问题的方法

      ·方法4 合理选择全等三角形的判定方法

      ·方法5 角平分线在全等证明中的特殊用法

      ·方法6 运用倍长中线构造全等的方法

      ·方法7 截长补短的应用方法

      ·方法8 解探索开放性问题的方法

       方法1 确定全等三角形对应边、对应角的方法

      方法1 确定全等三角形对应边、对应角的方法

      (1)有公共边,则公共边一定是对应边;

      (2)两个全等三角形中,一对最长的边一定是对应边,一对最短的边也一定是对应边,当然,一对第二长的边也一定是对应边;

      (3)有公共角,则公共角一定是对应角;

      (4)有对顶角,则对顶角一定是对应角;

      (5)一对最大的角一定是对应角,一对最小的角也一定是对应角,一对第二大的角也一定是对应角;

      (6)两边是对应的,则它们所对的角也一定是对应的;反过来,两个角是对应的,则它们所对的边也是对应的;

      (7)两条对应边所夹的角是对应角,两对对应角所夹的边是对应边;

      (8)两个三角形全等用≌表示,找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找.

       方法2 利用全等三角形的性质证明线段、角相等的方法

      方法2 利用全等三角形的性质证明线段、角相等的方法

      1.证明边相等的方法

      (1)公共边;(2)线段的和差;(3)线段的中点;(4)角平分线的性质等.

      2.证明角相等的方法

      (1)公共角;(2)角的和差;(3)角平分线定义;(4)对顶角等.

       方法3 利用全等三角形的性质解决实际问题的方法

      方法3 利用全等三角形的性质解决实际问题的方法

      根据实际问题的特点,建立全等三角形的模型,将问题归结为全等三角形的边或角之间的关系,利用全等三角形的性质解决问题.

      page0112
       方法4 合理选择全等三角形的判定方法

      方法4 合理选择全等三角形的判定方法

      从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边(角)准确地确定要补充的边(角),有目的地完善三角形全等的条件,从而得到判定两个三角形全等的思路.

      (1)已知两边:

      找夹角→SAS,找直角→HL,找第三边→SSS.

      (2)已知一边、一角:

      一边为角的对边→找另一角→AAS;

      一边为角的邻边→找夹角的另一边→SAS,找夹边的另一角→ASA,找边的对角→AAS.

      (3)已知两角:

      找夹边→ASA,找其中一角的对边→AAS.

       方法5 角平分线在全等证明中的特殊用法

      方法5 角平分线在全等证明中的特殊用法

      (1)在证明线段相等或角相等的问题时,能用角的平分线性质时就直接用,若仍去找全等三角形,结果相当于重新证明了这个结论.所以,能用简单方法时,不要绕远路.

      (2)有角平分线(或证明角平分线)时,常过角平分线上的点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题.

      page0113
       方法6 运用倍长中线构造全等的方法

      方法6 运用倍长中线构造全等的方法

       方法7 截长补短的应用方法

      方法7 截长补短的应用方法

      截长法和补短法是证明线段和差关系的重要方法.无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题,而添加辅助线,构造全等三角形是通向结论的桥梁.

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       方法8 解探索开放性问题的方法

      方法8 解探索开放性问题的方法

      动态几何题是指图形中的某一个(或几个)元素的运动变化,导致问题的结论或者改变,或者保持不变的几何题.解此类问题要抓住以下几点:(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用;(2)在变化过程中,弄清哪些关系发生了变化,哪些关系没有发生变化,原来的等角、等线段是否依然存在是解题的关键;(3)不同变化得到的图形之间存在必然的内在联系.

       知识1 尺规作图

      第12章 尺规作图与命题的证明

      page0115

      12.1 尺规作图

      知识清单

      ·知识1 尺规作图 ·知识2 基本作图(重点)

      知识1 尺规作图

      在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称作尺规作图.最基本、最常用的尺规作图,通常称作基本作图.

      尺规作图的基本步骤:

      (1)已知:写出已知的线段和角,画出图形;

      (2)求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化;

      (3)作法:应用五种基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;平分已知角;经过一点作已知直线的垂线;作线段的垂直平分线).叙述时不需要重述基本作图的过程,但图中必须保留作图痕迹;

      (4)证明:为了验证所作的图形正确,作出图后,必须再根据已知、定义、公理、定理等,结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件;

      (5)讨论:研究这个问题是不是在任何已知的条件下,都能作出图形来;在哪些情况下,问题有一个解或几个解,或者没有解;

      (6)结论:对所作图形下结论.

      需要说明的是,现阶段学习中,证明和讨论不作要求.

       知识2 基本作图(重点)

      知识2 基本作图(重点)

      1.作一条线段等于已知线段

      已知:线段a(如图).

      求作:一线段等于a.

      作法:(1)任作一条射线OA;

      (2)以O为圆心,a为半径画弧,交OA于点B,则线段OB为所求作的线段,如图.

      2.作一个角等于已知角

      已知:∠AOB(如图).

      求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.

      作法:(1)作射线O′A′;

      (2)以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于C,交OB于D;

      (3)以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于C′;

      (4)以点C′为圆心,CD长为半径画弧,交前弧于D′;

      (5)经过点D′作射线O′B′.∠A′O′B′就是所求作的角.如图.

      3.作已知角的平分线

      已知:∠AOB(如图).

      求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.

      作法:(1)在OA和OB上,分别截取OD、OE,使OD=OE.

      (2)分别以D、E为圆心,大于1/2DE长为半径画弧,在∠AOB内,两弧交于点C.

      (3)作射线OC,OC就是所求作的射线.如图.

      4.经过一点作已知直线的垂线

      (1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

      已知:直线AB和AB上的一点C(如图).

      求作:AB的垂线,使它经过点C.

      作法:作平角∠ACB的平分线CF.

      直线CF就是所求作的垂线.如图.

      page0116

      (2)经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知:直线AB和AB外一点C(如图).

      求作:AB的垂线,使它经过点C.

      作法:①任意取点K,使K和C在AB的两旁;

      ②以C为圆心,CK长为半径画弧,交AB于D和E;

      ③分别以D和E为圆心,大于1/2DE长为半径画弧,两弧交于点F;

      ④作直线CF,直线CF交DE于点O.

      直线CF就是所求作的垂线.如图.

      5.作线段的垂直平分线

      垂直于一条线段并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,或中垂线.

      已知:线段AB(如图).

      求作:线段AB的垂直平分线.

      作法:(1)分别以点A和B为圆心,大于1/2AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D;

      (2)作直线CD.

      直线CD就是线段AB的垂直平分线.如图.

      因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.

      温馨提示 ①除第一个基本作图外,都是以SSS定理为基础的尺规作图.

      ②学过基本作图后,在以后作图中,遇到属于基本作图的地方,写作法时,不必重复写作图的过程,只要在图形上保留作图痕迹即可,其余只用一句话概括叙述.如:作线段OB=a;作∠A′O′B′=∠AOB;作射线OC平分∠AOB;过点C作CF⊥AB,垂足为点O;作线段AB的垂直平分线CD.

      方法清单

      ·方法1 运用基本作图作三角形的方法 ·方法2 运用基本作图确定圆心位置的方法

       方法1 运用基本作图作三角形的方法

      方法1 运用基本作图作三角形的方法

      在作三角形时,一般先画出草图,分析作图步骤以及相应的字母表示,选择正确的作图程序,再按分析后编排的字母写出已知、求作,按步骤一边画图一边写好作法.

       方法2 运用基本作图确定圆心位置的方法

      方法2 运用基本作图确定圆心位置的方法

      确定圆心的位置时,往往需要分析它与图形中已

      page0117
      知图形的关系.运用基本作图确定时,常通过作已知线段的垂直平分线来解决.

      12.2 命题

      知识清单

      ·知识1 命题

      ·知识2 真命题、假命题

      ·知识3 逆命题(重点)

      ·知识4 公理、定理

      ·知识5 互逆定理

       知识1 命题

      知识1 命题

      (1)命题:判断一件事情的语句,叫做命题.

      (2)命题的组成:命题由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.

      (3)命题的表达形式:命题可以写成如果……那么……的形式,如果后接的部分是题设,那么后接的部分是结论.

      温馨提示 ①命题是一个判断的语句,必须是一个完整的句子,不仅数学中有命题,其他学科中也有命题.

      ②命题的核心是判断,是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答.如语句对顶角相等是一个命题,这里的事物是对顶角,对它的判断是相等.又如语句a的绝对值与b的绝对值不是命题,这里没有对事物进行任何判断.

      ③如何区分命题的题设和结论.

      每一个命题都是由题设和结论两部分组成的,所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的.但有些命题的题设和结论不明显,它不是以如果……,那么……的形式给出的,如同角(或等角)的余角相等邻补角的平分线互相垂直这类简述的命题.区分这类命题的题设和结论的具体方法:添上省去的词语后再进行分析.上面的第一个命题应是与同一个角互余的两个角必相等,进一步改写成如果……那么……的形式,就是如果∠A和∠B都是∠C的余角,那么∠A与∠B相等;上面的第二个命题添上省去的词语后,改写成如果……那么……的形式,就是如果两个角互为邻补角,那么它们的平分线互相垂直.

       知识2 真命题、假命题

      知识2 真命题、假命题

      正确的命题叫做真命题,如:对顶角相等平行

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      四边形的对角线互相平分等都是真命题.

      温馨提示 要说明一个命题是正确的,需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明(推理、证明).

      假命题:错误的命题叫做假命题.

      温馨提示 要说明一个命题是假命题,只需举一个反例即可.例如命题一个角的补角大于这个角是假命题,举例:设这个角为120°,则这个角的补角为180°-120°=60°,60°<120°,所以一个角的补角大于这个角是假命题.

       知识3 逆命题(重点)

      知识3 逆命题(重点)

      把原命题的结论作为命题的条件,把原命题的条件作为命题的结论,所组成的命题叫做原命题的逆命题.

      在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的逆命题.

      温馨提示 ①正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论.

      ②每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.

       知识4 公理、定理

      知识4 公理、定理

      如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫公理.如:经过两点,有且只有一条直线两点之间线段最短等.

      如果一个命题可以从公理或其他命题出发,用逻辑推理的方法判断它是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的命题叫定理.

      温馨提示 ①公理和定理都是真命题,都可作为证明其他命题是否为真命题的依据.

      ②由定理直接推出的结论,并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论.

       知识5 互逆定理

      知识5 互逆定理

      如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.

      温馨提示 ①任何一个命题都有逆命题,而一个定理并不一定有逆定理.如对顶角相等的逆命题相等的两个角是对顶角,它是个假命题.

      ②互逆命题不一定是互逆定理,但互逆定理一定是互逆命题.

      ③角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理.

      方法清单

      ·方法1 命题的识别方法 ·方法2 真、假命题的辨别方法

       方法1 命题的识别方法

      方法1 命题的识别方法

      判断语句是否为命题要抓住两条:①命题必须是一个完整的带有判断性的句子,通常是陈述句(包括肯定句和否定句),而疑问句和命令性语句都不是命题;②命题必须对某件事作出肯定或者否定的判断.

       方法2 真、假命题的辨别方法

      方法2 真、假命题的辨别方法

      对命题的正确性理解一定要准确,进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义.判定命题不成立时,有时可以举反例说明.

      page0119

      12.3 证明

      知识清单

      ·知识1 证明的含义

      ·知识2 证明的一般步骤

      ·知识3 辅助线

      ·知识4 综合法与分析法

      ·知识5 反证法

      ·知识6 面积法

       知识1 证明的含义

      知识1 证明的含义

      从命题的题设出发,通过推理来判断命题的结论是否成立的过程叫做证明.

      温馨提示 一般地,要判断一个命题是真命题,必须加以证明.

       知识2 证明的一般步骤

      知识2 证明的一般步骤

      (1)审题:分清命题的题设与结论;

      (2)画图:依照题意画出图形.画图时要做到图形正确且具有一般性,切忌将图形特殊化;

      (3)写出已知求证:按照图形,将题设与结论翻译成已知求证;

      (4)探求证题思路:根据已知条件,用学过的定义、公理、定理分析,探求如何证得结论,如果一步不能证出,要看能否多步进行.有时也从结论出发,探求证明过程;

      (5)写出证明过程:证明的每一步都要做到叙述清楚、有理有据.

       知识3 辅助线

      知识3 辅助线

      在几何题的证明中,有时为了证明的需要,在原题的图形上添加一些线段或直线,这些线叫辅助线,通常画成虚线,并在证明的开始写清添加过程.在证明中,添加的辅助线可作为已知条件参与推理证明.

       知识4 综合法与分析法

      知识4 综合法与分析法

      (1)综合法:从题设(已知)出发,通过有关公理、定义、定理,逐步推演,以导出结论,这种由因导果的思维方法叫做综合法.

      (2)分析法:由结论向已知回溯,即假设命题的结论成立,然后追究成立的原因,再把这些原因分别分析,看看它们的成立各需要什么条件,这样逐步追究,渐渐达到已知条件,这种执果索因的方法叫做分析法.

      (3)分析综合法:把分析法和综合法联合起来,从问题的两头向中间靠拢,从而发现问题的突破口.这种思维方法叫做分析综合法.对于比较复杂的题目,往往采用这种思维方法.

      温馨提示 ①分析法与综合法是几何证明中的两种常用的方法.分析法是从要证的结论出发,反过来找出使结论成立的条件,它的形式是:若已知A,求证B.方法是:要证B,只要证得C即可,要证C,只要证出D即可,…,要证W,只要证A即可,因为A已知,所以有B.综合法是从已知条件出发,逐步向结论推进的一种推理方法.它的形式是:若已知A,求证B.方法是:因为有A,所以有C,因为有C,所以有D,…,因为有W,所以有B.

      ②综合法从条件得到结论,有时不容易把握方向,找不准证题的正确思路;分析法从结论到条件,每一步的目的明确,容易找到证题思路.用综合法表达直截了当,简单清晰,用分析法表达时要啰唆一些,所以我们在证明几何问题时,一般用分析法去思考,用综合法书写过程.

       知识5 反证法
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      知识5 反证法

      (1)定义:假设命题的结论不成立,而命题结论的反面成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法.

      (2)反证法的步骤:

      ①假设命题结论的反面正确;

      ②从假设出发,经过逻辑推理,推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论;

      ③说明假设不成立,从而得出原命题正确.

      温馨提示 ①当命题的结论涉及否定至多至少无限无数唯一时常用反证法.

      ②矛盾的类型常为:

      a.与已知定义、定理、公理相矛盾;

      b.与已知条件相矛盾;

      c.推出自相矛盾的结果.

      ③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么,有哪些情况,不要遗漏;利用反证法证明时,每一步都要有依据,直到推出矛盾.

       知识6 面积法

      知识6 面积法

      几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果.运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积法,它是几何中的一种常用方法.

      温馨提示 ①面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果.

      ②用面积法来解几何题,几何元素之间的关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添加辅助线,即使需要添加辅助线,也很容易考虑到.

      方法清单

      ·方法1 命题形成的开放性问题的解决方法

      ·方法2 综合法在几何证明中的运用方法

      ·方法3 分析法在几何证明中的运用方法

      ·方法4 面积法在几何证明中的运用方法

      ·方法5 辅助线在几何证明中的应用方法

      ·方法6 证明两角相等的常用方法

      ·方法7 证明线段相等的常用方法

       方法1 命题形成的开放性问题的解决方法

      方法1 命题形成的开放性问题的解决方法

      开放与探索题型是中考的热点内容,此类问题是给出与问题有关的一些信息,从中任意或按要求选定部分信息作为条件和结论,组成一个真命题,然后对命题的正确性进行推理论证.解决策略:(1)考虑由每一项信息能得出什么结论,(2)把每一项信息作为结论,寻找能够得出这一结论的条件.

       方法2 综合法在几何证明中的运用方法
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      方法2 综合法在几何证明中的运用方法

      从已知条件入手,运用已学过的公理、定义、定理等一步步进行推理,一直推到结论为止.它是从已知到可知,从可知到未知的思维过程.

       方法3 分析法在几何证明中的运用方法

      方法3 分析法在几何证明中的运用方法

      所谓分析法,就是从问题的结论入手,运用已学过的公理、定义和定理,一步步寻找使结论成立的条件,一直追到这个结论成立的条件就是已知条件为止.可见分析法是执果索因的思维过程,它与综合法的思维方向相反.

       方法4 面积法在几何证明中的运用方法

      方法4 面积法在几何证明中的运用方法

      除勾股定理与面积联系密切外,当图形的面积易分割,且分割的图形的底或高有特殊的关系时,可用面积法解决,往往会起到事半功倍的效果.

      page0122
       方法5 辅助线在几何证明中的应用方法

      方法5 辅助线在几何证明中的应用方法

      常见辅助线的添加方法:①三角形中构造中位线;添加中线;添加平行线.②梯形中作高;作中位线;延长两腰交于一点;过上底顶点作腰的平行线;作对角线的平行线.③圆中连接切点和圆心;作公共弦;构造直角三角形.

       方法6 证明两角相等的常用方法

      方法6 证明两角相等的常用方法

      (1)对顶角相等.

      (2)同角或等角的余角相等.

      (3)同角或等角的补角相等.

      (4)两直线平行,同位角相等.

      (5)两直线平行,内错角相等.

      (6)全等三角形的对应角相等.

      (7)在同一个三角形中,等边对等角.

      (8)等腰三角形的底边上的中线、高线平分顶角.

      (9)平行四边形的两组对角相等.

      (10)相似三角形的对应角相等.

      (11)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.

      (12)等量加等量,其和相等.

      page0123
       方法7 证明线段相等的常用方法

      方法7 证明线段相等的常用方法

      (1)线段中点.

      (2)全等三角形的对应边相等.

      (3)在同一个三角形中,等角对等边.

      (4)等腰三角形顶角的平分线、底边的高线是底边的中线.

      (5)等边三角形任意两边相等.

      (6)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

      (7)平行四边形的两组对边分别相等.

      (8)平行四边形的对角线互相平分.

      (9)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弦心距相等.

      (10)线段垂直平分线的性质定理.

      (11)借助于比例线段:

      ①若a/b=c/d,且a=c(或b=d,或a=b),则b=d(或a=c,或c=d).

      ②若a/b=b/a,则a=b.

      ③若a/b=c/d,a′/b′=c′/d′,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′.

       知识1 等腰三角形

      第13章 等腰三角形与直角三角形

      page0124

      13.1 等腰三角形

      知识清单

      ·知识1 等腰三角形

      ·知识2 等腰三角形的性质定理(重点)

      ·知识3 等腰三角形的对称性

      ·知识4 等腰三角形的判定定理(重点)

      知识1 等腰三角形

      两边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.如图,△ABC中,AB=AC,则AB、AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.

      顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.

      温馨提示 ①等边三角形是等腰三角形的特例.

      ②等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论.

       知识2 等腰三角形的性质定理(重点)

      知识2 等腰三角形的性质定理(重点)

      (1)等腰三角形两个底角相等,简称等边对等角.

      几何表示:

      如图,△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C.

      (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称三线合一.

      几何表示:

      如图,△ABC中,因为AB=AC,AD平分∠BAC,

      所以AD⊥BC,BD=DC.

      或因为AB=AC,AD⊥BC,

      所以∠BAD=∠DAC,BD=DC.

      或因为AB=AC,BD=DC,

      所以AD⊥BC,∠BAD=∠DAC.

      温馨提示 ①等腰三角形两底角相等是证明两腰相等的依据;三线合一是证明两角相等、两线段相等及两直线垂直的重要依据.

      ②等腰直角三角形的两个底角为45°.

       知识3 等腰三角形的对称性

      知识3 等腰三角形的对称性

      等腰三角形是轴对称图形,其顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是对称轴.

      温馨提示 ①等腰三角形有一条或三条对称轴.

      ②等腰三角形是轴对称图形,利用等腰三角形的轴对称性,我们可以发现等腰三角形中两底角的平分线、两腰上的中线、两腰上的高分别相等.

       知识4 等腰三角形的判定定理(重点)
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      知识4 等腰三角形的判定定理(重点)

      如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成等角对等边).

      几何表示:

      如图,△ABC中,因为∠B=∠C,

      所以AB=AC.

      温馨提示 ①等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据,是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.

      ②判定一个三角形是不是等腰三角形,有两种方法:a.定义;b.判定定理.

      ③底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊,其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.

      方法清单

      ·方法1 利用等腰三角形的概念解题的方法

      ·方法2 利用等腰三角形的性质解题的方法

      ·方法3 等腰三角形的识别方法

      ·方法4 利用等角对等边证明线段相等的方法

       方法1 利用等腰三角形的概念解题的方法

      方法1 利用等腰三角形的概念解题的方法

      等腰三角形是一种特殊而且十分重要的三角形,正是因为等腰三角形具有特殊性,所以我们在解关于等腰三角形的计算这类题目时要慎重,但有些同学在解具体问题时往往由于考虑不全面而出现漏解,避免漏解的方法:正确认识等腰三角形中的有关概念,审题要细心,考虑要全面.

       方法2 利用等腰三角形的性质解题的方法

      方法2 利用等腰三角形的性质解题的方法

      在三角形中,证明两条线段或两个角相等,常用的方法:①如果线段或角在同一个三角形中,先考虑用等边对等角或等角对等边来证明;②如果线段和角不在同一个三角形中,可证明两个三角形全等或通过等腰三角形三线合一来解决.

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       方法3 等腰三角形的识别方法

      方法3 等腰三角形的识别方法

      判断一个三角形是不是等腰三角形,可用以下几种方法:

      (1)利用等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形是等腰三角形.

      (2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为等角对等边).

      (3)线段垂直平分线的性质也可以作为识别等腰三角形的方法.

       方法4 利用等角对等边证明线段相等的方法

      方法4 利用等角对等边证明线段相等的方法

      等腰三角形的判定是证明线段相等的重要方法,是中考的重要内容,它把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系,运用时要特别注意必须是在同一个三角形中.

      13.2 线段的垂直平分线

      知识清单

      ·知识1 线段的垂直平分线

      ·知识2 线段的垂直平分线的性质定理(重点)

      ·知识3 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理

      ·知识4 三角形三边的垂直平分线的性质

      ·知识5 垂直平分线与角平分线的区别与联系

       知识1 线段的垂直平分线

      知识1 线段的垂直平分线

      垂直于一条线段,并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

      线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.

      如图,O为线段AB的中点,CD⊥AB,则直线CD为线段AB的垂直平分线.

      温馨提示 ①线段的垂直平分线不同于垂线,它与线段之间有两种关系:a.位置关系——垂直;b.数量关系——平分.

      ②当题目中线段的垂直平分线只存在线段部分时,要注意不要与原已知线段位置混淆(错把原已知线段看作垂直平分线).

       知识2 线段的垂直平分线的性质定理(重点)

      知识2 线段的垂直平分线的性质定理(重点)

      线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

      几何表示:如图,CD是线段AB的垂直平分线,则AC=BC.

      温馨提示 ①线段垂直平分线上的点到这条

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      线段两个端点的距离相等的作用是证明两条线段相等.

      ②若CD垂直平分线段AB,则△ABC是等腰三角形;CO是△ABC底边AB上的高和中线,也是顶角∠BCA的平分线;不仅有CA=CB,取CD上任意一点P都有PA=PB.

       知识3 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理

      知识3 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理

      到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

      几何表示:如图,AC=BC,

      则点C在线段AB的垂直平分线上.

      温馨提示 ①逆定理可以判定一点在线段的垂直平分线上.

      ②等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上.

      ③逆定理可用于证明某直线是线段的垂直平分线.

       知识4 三角形三边的垂直平分线的性质

      知识4 三角形三边的垂直平分线的性质

      根据线段垂直平分线的性质定理可以得到:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这个点到三个顶点的距离相等.

      三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心.

      温馨提示 ①此定理的作用是证明线段相等,如图所示,若边AB、BC、CA的垂直平分线交于点P,则PA=PB=PC.

      ②三角形两边的垂直平分线的交点必在第三边的垂直平分线上.

      ③锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部,直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边中点,钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部.

      ④此定理给出了作一个点到三个不共线的点距离相等的方法,只需顺次连接这三个点组成一个三角形,作这个三角形两边的垂直平分线,交点即为所求.

       知识5 垂直平分线与角平分线的区别与联系
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      知识5 垂直平分线与角平分线的区别与联系

      角平分线 垂直平分线
      不同点 原始定义 从一个角的顶点引出的一条分原角为两个相等角的射线 垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线
      性质定理内容 角平分线上的点到角两边的距离相等 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
      在三角形中的位置 三条角平分线交于三角形内部一点,交点为内心 锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部;直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边中点;钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部,交点为外心
      作用及条件 角平分线性质定理可用于证明线段相等,但线段必须含有“垂直”这个条件且公共端点在角平分线上 垂直平分线性质定理可用于证明线段相等,但线段的公共端点必须是在垂直平分线上
      相同点 ①两个性质定理都可通过三角形全等推出
      ②两个性质定理都有逆定理存在
      ③两个性质定理都可证明线段相等,都与垂直相关
      ④当三角形为等边三角形时,三角形的三条角平分线与对边的垂直平分线共线,内心、外心重合

      方法清单

      ·方法1 线段的垂直平分线的识别方法

      ·方法2 利用线段的垂直平分线性质解题的方法

      ·方法3 线段垂直平分线与角平分线性质相结合解题的方法

       方法1 线段的垂直平分线的识别方法

      方法1 线段的垂直平分线的识别方法

      (1)线段垂直平分线要满足两个条件:①经过线段的中点,②垂直于这条线段.

      (2)线段的垂直平分线是一条直线而非线段或射线.

      (3)因为直线和射线没有中点,所以它们没有垂直平分线,只有线段才有垂直平分线.

       方法2 利用线段的垂直平分线性质解题的方法

      方法2 利用线段的垂直平分线性质解题的方法

      在运用线段垂直平分线的性质时,常利用它把已知线段和未知线段转化到同一个三角形中,从而使复杂问题简单化.

       方法3 线段垂直平分线与角平分线性质相结合解题的方法

      方法3 线段垂直平分线与角平分线性质相结合解题的方法

      线段垂直平分线的性质和判定是历年来中考的常

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      考内容,一般单独命题的时候很少,多与全等三角形、角平分线的知识综合命题,主要考查线段垂直平分线性质的灵活运用.

      13.3 等边三角形

      知识清单

      ·知识1 等边三角形及其性质 ·知识2 等边三角形的判定

       知识1 等边三角形及其性质

      知识1 等边三角形及其性质

      1.等边三角形

      三条边都相等的三角形叫做等边三角形,又称正三角形.

      2.等边三角形的性质

      等边三角形的三边都相等,三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.

      温馨提示 ①等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

      ②等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.

      ③等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

       知识2 等边三角形的判定

      知识2 等边三角形的判定

      (1)三条边都相等的三角形是等边三角形.

      (2)三个内角都相等的三角形是等边三角形.

      (3)有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形.

      温馨提示 ①三个判定定理的前提不同,(1)和(2)是在普通三角形的条件下,判定(3)是在等腰三角形的条件下.

      ②判定定理(3)告诉我们,在等腰三角形中,只要有一个角是60°,不论这个角是顶角还是底角,这个三角形就是等边三角形.

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      方法清单

      ·方法1 利用等边三角形的性质进行计算的方法

      ·方法2 等边三角形判定的方法

      ·方法3 等边三角形的性质在全等证明中的应用方法

       方法1 利用等边三角形的性质进行计算的方法

      方法1 利用等边三角形的性质进行计算的方法

       方法2 等边三角形判定的方法

      方法2 等边三角形判定的方法

      (1)三条边相等的三角形是等边三角形.

      (2)三个内角都相等的三角形是等边三角形或有两个内角都等于60°的三角形是等边三角形.

      (3)有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形.

      (4)有三条对称轴的三角形是等边三角形.

       方法3 等边三角形的性质在全等证明中的应用方法

      方法3 等边三角形的性质在全等证明中的应用方法

      在全等证明题目中往往把等边三角形作为背景图形,在解题时我们要善于运用等边三角形的特殊性来达到证明全等的目的.

      page0131

      13.4 直角三角形与勾股定理

      知识清单

      ·知识1 直角三角形的性质

      ·知识2 勾股定理(重点)

      ·知识3 勾股数

      ·知识4 勾股定理的逆定理(重点)

       知识1 直角三角形的性质

      知识1 直角三角形的性质

      (1)直角三角形的两个锐角互余.

      (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

      几何表示:

      如图,因为∠ACB=90°,AD=BD,所以CD=1/2AB.

      (3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

      几何表示:

      如图,因为∠C=90°,∠A=30°,所以BC=1/2AB.

      温馨提示 ①由三角形内角和定理可推出性质(1);由等腰三角形的判定(或矩形的性质)可推出性质(2);由等边三角形的性质可推出性质(3).

      ②性质(2)和(3)主要应用于计算和证明线段的倍数关系.

      ③不要认为有一个角等于30°,那么它所对的边就一定等于另一条边的一半,前提条件是在直角三角形中.

       知识2 勾股定理(重点)

      知识2 勾股定理(重点)

      直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即若a,b为直角边,c为斜边,则a^(2)+b^(2)=c^(2).该定理反映了直角三角形的三边关系.

      温馨提示 ①勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形,解题时,只能是在同一直角三角形中时,才能利用它求第三边边长.

      ②在式子a^(2)+b^(2)=c^(2)中,a、b代表直角三角形的两条直角边,c代表斜边,它们之间的关系不能弄错.

      ③遇到直角三角形中的线段求值问题,要首先想到勾股定理.勾股定理把数与形有机地结合起来,把直角三角形这一形与三边关系这一数结合起来,是数形结合思想方法的典型.

      ④勾股定理的变式:

      在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则

      c^(2)=a^(2)+b^(2),

      a^(2)=c^(2)-b^(2)=(c+b)(c-b),

      b^(2)=c^(2)-a^(2)=(c+a)(c-a),

      c=,a=,b=.

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       知识3 勾股数

      知识3 勾股数

      能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数,即a^(2)+b^(2)=c^(2)中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数.

      温馨提示 ①3、4、5是勾股数,又是三个连续整数,但并不是所有三个连续整数都是勾股数.

      ②每组勾股数的相同整数倍也是勾股数.

      ③可借助人们已经证明的公式如n^(2)-1,2n,n^(2)+1(n为大于1的正整数),任取一个合适的值,即可得到一组勾股数.

      ④常见的勾股数有:3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17;9、40、41等.

       知识4 勾股定理的逆定理(重点)

      知识4 勾股定理的逆定理(重点)

      如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么该三角形是直角三角形.即:△ABC的三边分别是a,b,c,若a^(2)+b^(2)=c^(2),则△ABC是直角三角形,∠C为直角.

      温馨提示 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种理论依据,它通过数形结合来确定三角形的形状.在运用这一定理时,可用两短边的平方和a^(2)+b^(2)与较长边的平方c^(2)作比较:若a^(2)+b^(2)=c^(2),则此三角形为直角三角形;若a^(2)+b^(2)>c^(2),则此三角形为锐角三角形;若a^(2)+b^(2)<c^(2),则此三角形为钝角三角形.

      ②定理中a,b,c及a^(2)+b^(2)=c^(2)只是一种表达形式,若a^(2)+c^(2)=b^(2),则此三角形也是直角三角形,这时b为斜边.

      ③在应用勾股定理的逆定理时,注意要计算准确.

      ④勾股定理的逆定理在用文字叙述时不能说成当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形.

      ⑤勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别:

      联系:两者都与三角形的三边有关且都包含等式a^(2)+b^(2)=c^(2);两者都与直角三角形有关;两者是互逆定理.

      区别:勾股定理是以一个直角三角形为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系,即a^(2)+b^(2)=c^(2);勾股定理的逆定理是以一个三角形的三边满足a^(2)+b^(2)=c^(2)为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,两者的条件和结论相反.前者是直角三角形的性质,而后者是直角三角形的判定方法.

      方法清单

      ·方法1 利用直角三角形的性质进行计算的方法

      ·方法2 构造含30°角的直角三角形进行解题的方法

      ·方法3 勾股定理的几种验证方法

      ·方法4 运用勾股定理进行计算的方法

      ·方法5 运用翻折知识与勾股定理相结合解题的方法

      ·方法6 构造直角三角形的方法

      ·方法7 利用勾股定理解决有关几何图形面积问题的方法

      ·方法8 勾股定理的逆定理的应用方法

      ·方法9 利用面积法解决实际问题的方法

       方法1 利用直角三角形的性质进行计算的方法

      方法1 利用直角三角形的性质进行计算的方法

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       方法2 构造含30°角的直角三角形进行解题的方法

      方法2 构造含30°角的直角三角形进行解题的方法

      在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长,也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时,我们可运用转化思想,将线段或角转化,构造直角三角形,从而将陌生的问题转化为熟悉的问题.

       方法3 勾股定理的几种验证方法

      方法3 勾股定理的几种验证方法

      勾股定理的验证方法很多,可以用测量计算,可以用代数式的变形,可以用几何证明,也可以用面积(拼图)证明,面积法是最常见的一种方法.验证如下:

      现有四块直角边长为a、b,斜边长为c的直角三角形纸板,请从中取出若干块拼图,证明勾股定理.

      证法一:如图①所示,∵S大正方形=4S三角形+S小正方形,

      ∴c^(2)=4×1/2ab+(b-a)^(2),∴c^(2)=a^(2)+b^(2).

      证法二:如图②所示,∵S梯形=2S小三角形+S大三角形,

      ∴1/2(a+b)(a+b)=2×1/2ab+1/2c^(2),整理得a^(2)+b^(2)=c^(2).

      证法三:如图③所示,∵S大正方形=4S三角形+S小正方形,

      ∴(a+b)^(2)=4·1/2ab+c^(2),整理得a^(2)+b^(2)=c^(2).

      page0134
       方法4 运用勾股定理进行计算的方法

      方法4 运用勾股定理进行计算的方法

      对于实际问题,要分析问题的情境,从已知信息中提炼出几何图形,构造直角三角形,由勾股定理计算得出所求的线段的长.

       方法5 运用翻折知识与勾股定理相结合解题的方法

      方法5 运用翻折知识与勾股定理相结合解题的方法

      解有关折叠问题时,首先要弄清折叠图形前后的联系(应存在全等形),并经常与勾股定理、方程联系起来,将待求线段与有关线段归结到同一个直角三角形中,用勾股定理构造方程,使问题得以解决.

       方法6 构造直角三角形的方法

      方法6 构造直角三角形的方法

      勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一,若图中没有含特征线段的直角三角形,需添加辅助线,构造满足条件的直角三角形.

       方法7 利用勾股定理解决有关几何图形面积问题的方法

      方法7 利用勾股定理解决有关几何图形面积问题的方法

      勾股定理是中学阶段的一个重要定理,迄今为止有多种证明勾股定理的方法,其中大部分是用面积作为桥梁来证明的.因此,勾股定理与面积有密切关系,勾股定理还是联结几何与代数的纽带.

      page0135
       方法8  勾股定理的逆定理的应用方法

      方法8  勾股定理的逆定理的应用方法

      运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的步骤:(1)先确定最长边,算出最长边的平方;(2)计算另两边的平方和;(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等,若相等,则此三角形为直角三角形.

       方法9 利用面积法解决实际问题的方法

      方法9 利用面积法解决实际问题的方法

      面积法就是将图形的面积和各边联系起来,利用某个图形面积的多种求法或利用面积之间的和差关系列出等式,从而得到要证明的结论.

       知识1 轴对称

      第14章 图形的轴对称、平移与旋转

      page0136

      14.1 图形的轴对称

      知识清单

      ·知识1 轴对称

      ·知识2 轴对称图形

      ·知识3 对称轴

      ·知识4 轴对称图形与轴对称的区别与联系

      ·知识5 轴对称的性质(重点)

      ·知识6 轴对称的识别

      ·知识7 作轴对称图形的一般步骤

      知识1 轴对称

      把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也叫做轴对称.两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点,这条直线叫做对称轴.

      如图,△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,直线MN为对称轴.

       知识2 轴对称图形

      知识2 轴对称图形

      如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.

      如:等腰三角形沿着它的底边的垂直平分线折叠,两旁部分互相重合,因此,等腰三角形是轴对称图形,底边的垂直平分线是它的对称轴.但不能说等腰三角形底边上的高是对称轴,因为高是线段,而对称轴是直线.应说成:底边上的高所在直线是对称轴.

       知识3 对称轴

      知识3 对称轴

      (1)对称轴是一条直线,不是射线,也不是线段.

      (2)轴对称图形的对称轴有的只有一条,有的则存在多条常见的轴对称图形的对称轴的特点:

      轴对称图形 对称轴 对称轴条数
      角平分线所在的直线 1条
      等腰三角形 底边的垂直平分线 1条
      等边三角形 每条边的中垂线 3条
      正方形 ①对角线所在的直线
      ②对边中点所在的直线
      4条
      直径所在的直线 无数条
       知识4 轴对称图形与轴对称的区别与联系

      知识4 轴对称图形与轴对称的区别与联系

      轴对称图形 轴对称
      图形
      区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,只对一个图形而言;
      (2)对称轴不一定只有一条
      (1)轴对称是指两个图形的
      (2)位置关系,必须涉及两个图形;
      (3)只有一条对称轴
      联系 (1)沿对称轴对折,两部分重合;
      (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称
      (1)沿对称轴翻折,两个图形重合;
      (2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起,看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形
      page0137

      温馨提示 ①轴对称变换:由一个平面图形得到与它成轴对称的图形的过程叫做轴对称变换.

      ②轴对称变换是一种变换,讲的是由一个图形得到与它成轴对称的图形的过程.

      ③成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作是由另一个图形经过轴对称变换得到的,一个轴对称图形也可以看作是以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的.

       知识5 轴对称的性质(重点)

      知识5 轴对称的性质(重点)

      (1)关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形.

      (2)如果两个图形关于某直线成轴对称,那么对应点连线的垂直平分线是对称轴.

      (3)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点必在对称轴上.

      温馨提示 ①全等的图形不一定成轴对称,成轴对称的图形一定是全等的.

      ②轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一,例如:若已知两个图形关于某直线成轴对称,则它们的对应边相等,对应角相等.

       知识6 轴对称的识别

      知识6 轴对称的识别

      如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.

      温馨提示 ①它可以用来判断两个图形是否关于某直线对称,它是作轴对称图形的主要依据.

      ②画图形的对称轴:

      成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,只要找到其任意一对对应点,作出所连线段的垂直平分线就可以得到它们的对称轴.

       知识7 作轴对称图形的一般步骤

      知识7 作轴对称图形的一般步骤

      (1)作某点关于某直线的对称点的一般步骤:

      ①过已知点作已知直线(对称轴)的垂线,标出垂足;

      ②在这条直线的另一侧从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段,那么截点就是这点关于该直线的对称点.

      (2)作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤:

      ①作出图形的关键点关于这条直线的对称点;

      ②把这些对称点顺次连接起来,就形成了符合条件的对称图形.

      方法清单

      ·方法1 轴对称图形的识别方法

      ·方法2 作已知图形的轴对称图形的方法

      ·方法3 利用轴对称解决几何最值问题的方法

      ·方法4 利用方程思想解决与翻折相关问题的方法

       方法1 轴对称图形的识别方法

      方法1 轴对称图形的识别方法

      判断图形是否是轴对称图形,关键是能否找到至少一条合适的直线,使该图形沿这条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合.若能找到,则是轴对称图形,若找不到,则不是轴对称图形.

      page0138
       方法2 作已知图形的轴对称图形的方法

      方法2 作已知图形的轴对称图形的方法

      几何图形都可以看作是由无数个点组成的,要作一个图形的轴对称图形,只要分别作出图形的关键点关于对称轴的对称点,再顺次连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.

       方法3 利用轴对称解决几何最值问题的方法

      方法3 利用轴对称解决几何最值问题的方法

       方法4 利用方程思想解决与翻折相关问题的方法

      方法4 利用方程思想解决与翻折相关问题的方法

      解决翻折问题时,首先要弄清翻折前后的边、角的

      page0139
      对应情况,将待求线段或角度与有关线段、角度归结到一起,利用方程思想使问题得以解决.

      14.2 图形的平移

      知识清单

      ·知识1 平移 ·知识2 平移的性质(重点) ·知识3 作平移图形的一般步骤

       知识1 平移

      知识1 平移

      某一基本平面图形沿着一定的方向移动,这种图形的平行移动,简称为平移,它是由移动的方向和距离决定的.

      如图,△ABC沿着直线PQ平移到△A′B′C′,我们把点A与点A′叫做对应点,把线段AB与线段A′B′叫做对应线段,∠A与∠A′叫做对应角,△ABC平移的方向就是由点B到点B′的方向,平移的距离就是线段BB′(或AA′,或CC′)的长.

       知识2 平移的性质(重点)

      知识2 平移的性质(重点)

      (1)平移前后的两个图形的大小、形状完全相同,只改变图形的位置.

      (2)图形上的每个点都平移了相同的距离,对应点之间的距离就是平移的距离.

      (3)连接各组对应点的线段平行且相等.

       知识3 作平移图形的一般步骤

      知识3 作平移图形的一般步骤

      (1)确定平移的方向和平移的距离.

      (2)确定图形的关键点.如三角形、四边形等这些图形的所有顶点,圆的圆心等.

      (3)过这些关键点作与平移的方向平行的射线,在射线上截取与平移的距离相等的线段,得到关键点的对应点.

      (4)顺次连接对应点,得到平移后的图形.

      page0140

      温馨提示 ①平移作图的关键是找到平移的方向和距离.

      ②画出简单图形的平移图形,关键是确定一些关键点平移后的位置.

      ③在通过平移得到的基本图案中,探索图案之间的平移关系,首先要确定基本图案,然后通过连续平移得到组合图案.

      方法清单

      ·方法1 与图形的平移相关的作图方法

      ·方法2 图形平移的概念与性质的应用方法

      ·方法3 利用平移的思想解决实际问题的方法

       方法1 与图形的平移相关的作图方法

      方法1 与图形的平移相关的作图方法

      平移作图要利用对应点的连线平行且相等或对应线段相等,对应角相等,在分析图形的平移关系时,一定要找准基本图形.不论如何改变,平移时都需根据平移的基本性质选择作法.若原图形较复杂,则要找出其中的关键点,再作图.

       方法2 图形平移的概念与性质的应用方法

      方法2 图形平移的概念与性质的应用方法

      平移的特征:

      (1)图形平移后的新图形与原图形的形状、大小完全相同.

      (2)新图形中的每一个点,都是由原图形中的某一点平移后得到的,这两个点是对应点.

      (3)连接各对对应点的线段平行(或共线)且相等.

       方法3 利用平移的思想解决实际问题的方法
      page0141

      方法3 利用平移的思想解决实际问题的方法

      在实际问题中,不规则图形给我们的计算带来不便,我们可以利用平移的方法,把不规则图形变为规则图形,达到简化计算的目的.

      14.3 图形的旋转

      知识清单

      ·知识1 旋转

      ·知识2 旋转角和旋转中心

      ·知识3 旋转的性质(重点)

      ·知识4 作旋转图形的一般步骤

       知识1 旋转

      知识1 旋转

      平面内某一个或几个基本图形绕一个定点沿某一个方向(逆时针或顺时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,这个角度叫做旋转角.

      如图所示,△A′OB′是△AOB绕定点O按逆时针方向旋转45°得到的,其中点A与点A′叫做对应点,线段OB与线段OB′叫做对应线段,∠A与∠A′叫做对应角,点O叫做旋转中心,∠AOA′(或∠BOB′)的度数叫做旋转的角度.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度决定.

       知识2 旋转角和旋转中心
      page0142

      知识2 旋转角和旋转中心

      1.旋转角

      对应点与旋转中心的连线所成的角叫做旋转角.

      温馨提示 ①在旋转过程中,相等的角有对应角和旋转角,不要把两者混淆.

      ②对应线段的夹角等于旋转角.

      2.旋转中心

      一个图形绕着一个定点旋转,这个定点称为旋转中心.

      温馨提示 ①旋转中心可以在图形上,也可以在图形外.

      ②确定旋转中心的方法:分别作两组对应点所连线段的垂直平分线,其交点即为旋转中心.

       知识3 旋转的性质(重点)

      知识3 旋转的性质(重点)

      通过旋转,图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转同样大小的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等.旋转过程中,图形的形状与大小都没有发生变化.

      温馨提示 ①旋转后的图形与原来图形的形状、大小都相同,但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.

      ②旋转前后图形的形状与大小都没有发生变化,只改变了位置.

      ③如果某图形绕着某一定点转动一定角度后能与自身重合,那么这种图形就叫做旋转对称图形.一般来说,此时的旋转中心不在图形的外部,旋转的角度也是不确定的.

       知识4 作旋转图形的一般步骤

      知识4 作旋转图形的一般步骤

      (1)分析题目要求,找出旋转中心和旋转角;

      (2)分析所作的图形,找出构成图形的关键点;

      (3)沿一定的方向,按一定的角度通过截取线段的方法,确定各个关键点;

      (4)连接所作的各个关键点,并标上相应的字母;

      (5)写出结论.

      page0143

      方法清单

      ·方法1 图形旋转的概念与性质的应用方法

      ·方法2 旋转中心的确定方法

      ·方法3 与图形旋转相关的作图方法

      ·方法4 利用图形的平移、旋转、对称进行方案设计的方法

      ·方法5 解决图形的分割与拼接问题的方法

      ·方法6 图形旋转在探索开放性问题中的应用

       方法1 图形旋转的概念与性质的应用方法

      方法1 图形旋转的概念与性质的应用方法

      由于旋转前后的两个图形大小形状未发生改变,所以我们在利用旋转来解决问题时要注意抓住以下几点:(1)找准旋转中的变与不变;(2)找准旋转前后的对应关系;(3)充分挖掘旋转过程中线段之间的关系.

       方法2 旋转中心的确定方法

      方法2 旋转中心的确定方法

      确定旋转中心时,要看旋转中心是在图形上还是在图形外.若在图形上,哪一点在旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的中垂线的交点就是旋转中心.旋转的角度就是对应线段的夹角或对应点与旋转中心连线所形成的夹角.

       方法3 与图形旋转相关的作图方法

      方法3 与图形旋转相关的作图方法

      旋转作图的关键在转线,即找出各个关键点的对应点.转线这一步要弄清旋转中心和旋转角度,转线的实质是转化,即将要求的旋转作图问题转化为线段的旋转作图问题.

      page0144
       方法4 利用图形的平移、旋转、对称进行方案设计的方法

      方法4 利用图形的平移、旋转、对称进行方案设计的方法

      根据旋转的特征,结合平移可以进行一些图案的设计.这要求大家在学好旋转基础知识的情况下,善于动脑思考,动手操作.应注意根据图形的平移、旋转进行图案的绘制.

       方法5 解决图形的分割与拼接问题的方法

      方法5 解决图形的分割与拼接问题的方法

      与旋转有关的拼图问题既具有开放性又具有探索性,它的基本特征是根据题意设计方案,从而解决问题.解题的关键是充分发挥想象力和动手能力,当然也包括对计算能力、推理能力的考查.

      page0145
       方法6 图形旋转在探索开放性问题中的应用

      方法6 图形旋转在探索开放性问题中的应用

      与旋转有关的综合性问题,是近几年中考考查的热点,主要与平面直角坐标系、勾股定理、相似、全等、圆等知识综合考查.题目常以熟悉的图形为背景,设计旋转变换,由此引出对图形变换前后的线段、面积的有关探究.因此我们要在旋转的过程中去感受动与静、变与不变、由特殊到一般再由一般到特殊的辩证统一关系,这有利于培养学生的想象能力.

      page0146

      14.4 中心对称

      知识清单

      ·知识1 中心对称

      ·知识2 对称中心

      ·知识3 中心对称图形

      ·知识4 中心对称的基本性质(重点)

      ·知识5 作中心对称图形的一般步骤

      ·知识6 中心对称与中心对称图形的区别与联系

      ·知识7 平移、旋转与轴对称的区别与联系

       知识1 中心对称

      知识1 中心对称

      把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够和另一个图形重合,那么这两个图形成中心对称,这个点叫对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点.

       知识2 对称中心

      知识2 对称中心

      中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.

      温馨提示 对称中心是旋转中心,但旋转中心不一定是对称中心.

       知识3 中心对称图形

      知识3 中心对称图形

      某一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合,这种图形称为中心对称图形,这个中心叫对称中心.中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形.旋转对称图形中心对称图形.

      温馨提示 ①中心对称图形只有一个对称中心,而轴对称图形可以有几条不同的对称轴;如果一个图形是轴对称图形,又是中心对称图形,那么对称中心一定在对称轴上,不同对称轴的交点必是对称中心.

      ②常见的中心对称图形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等.

      page0147
       知识4 中心对称的基本性质(重点)

      知识4 中心对称的基本性质(重点)

      (1)关于中心对称的两个图形是全等形;

      (2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分;

      (3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等.

      温馨提示 利用中心对称的基本性质可识别中心对称,即如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形一定关于这一点中心对称.

       知识5 作中心对称图形的一般步骤

      知识5 作中心对称图形的一般步骤

      作已知图形关于某一点的中心对称图形的步骤:

      (1)连接决定已知图形形状、大小的点与对称中心,并延长至2倍,得到已知图形上的点的对称点;(2)按已知图形的连接方式将求作的点依次连接,即得到所求作的图形.

       知识6 中心对称与中心对称图形的区别与联系

      知识6 中心对称与中心对称图形的区别与联系

      区别 联系
      中心对称

      中心对称是指两个图形的关系

      把中心对称的两个图形看成一个整体,则成为中心对称图形;
      把中心对称图形的两个部分看成两个图形,则它们成中心对称

      中心对称图形 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
       方法7 平移、旋转与轴对称的区别与联系

      方法7 平移、旋转与轴对称的区别与联系

      1.平移、旋转、轴对称的区别

      (1)变换方式不同:平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离;旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度;轴对称是将一个图形沿着某一条直线折叠.

      (2)对应线段、对应角之间的关系不同:平移变换前后图形的对应线段平行(或在同一条直线上),对应点的连线平行(或在同一条直线上),对应角的两边分别平行(或有一边在同一条直线上)、方向一致;轴对称的对应线段或延长线如果相交,那么交点在对称轴上,成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴垂直平分;旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.

      (3)确定条件不同:平移变换要确定平移的距离和方向;旋转变换要确定旋转中心和旋转角;轴对称要确定对称轴.

      2.平移、旋转、轴对称的联系

      平移、旋转、轴对称都不改变图形的形状和大小,对应线段相等,对应角相等.

      page0148

      方法清单

      ·方法1 中心对称图形的识别方法

      ·方法2 对称中心的确定方法

      ·方法3 中心对称的性质的应用方法

      ·方法4 利用中心对称等分面积的方法

       方法1 中心对称图形的识别方法

      方法1 中心对称图形的识别方法

      要判断一个图形是不是中心对称图形,关键要抓住中心对称图形的本质特征:能够找到一点,把图形绕着这个点旋转180°后能够与原图形完全重合.

       方法2 对称中心的确定方法

      方法2 对称中心的确定方法

      确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法:

      (1)连接任意一对对称点,取这条线段的中点,则该点为对称中心.

      (2)任意连接两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心.

       方法3 中心对称的性质的应用方法

      方法3 中心对称的性质的应用方法

      成中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平分.在直角坐标系中,若两个点关于原点对称,那么这两个点的坐标符号相反.

       方法4 利用中心对称等分面积的方法

      方法4 利用中心对称等分面积的方法

      过中心对称图形的对称中心的任意一条直线,将该图形分成完全相同的两部分,当然其面积也相等.

       知识1 同底数幂的乘法(重点)

      第15章 整式的乘除与因式分解

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      15.1 幂的有关计算

      知识清单

      ·知识1 同底数幂的乘法(重点)

      ·知识2 幂的乘方(重点)

      ·知识3 积的乘方(重点)

      ·知识4 同底数幂的除法

      ·知识5 零指数幂

      ·知识6 负整数指数幂

      知识1 同底数幂的乘法(重点)

      同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a^(m)·a^(n)=a^(m+n)(m,n都是正整数).

      温馨提示 ①同底数幂的乘法法则可以逆用,即a^(m+n)=a^(m)·a^(n)(m、n为正整数).

      ②当幂指数是1时,不要误认为没有指数,如a·a^(2)=a^(3),而不是a^(2).

      ③三个或三个以上同底数幂相乘时,这一性质同样适用.如:a^(m)·a^(n)·a^(p)=a^(m+n+p)(m,n,p都是正整数).

      ④要注意同底数幂的乘法与整式加法不可混淆,如a^(3).a^(2).a^(3)是同底数幂的乘法,a^(3)·a^(2)·a^(3)=a^(3+2+3)=a^(8).而a^(3)+a^(2)+a^(3)是整式的加法,计算时,只能合并同类项,a^(3)+a^(2)+a^(3)=2a^(3)+a^(2),其中a^(3)和a^(2)不是同类项,不能合并.

       知识2 幂的乘方(重点)

      知识2 幂的乘方(重点)

      幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(a^(m))^(n)=a^(mn)(m,n都是正整数).

      温馨提示 ①幂的乘方中底数可以是单个数字、字母,也可以是单项式或多项式.

      ②幂的乘方可以逆用,即a^(mn)=(a^(m))^(n)=(a^(n))^(m)(m、n为正整数).

      ③幂的乘方可以推广:[(a^(m))^(n)]^(p)=a^(mnp)(m,n,p为正整数).

      ④在形式上,底数本身就是一个幂,根据同底数幂的运算性质推出结论:正整数).

      ⑤不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算,是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化为指数的加法运算(底数不变).

       知识3 积的乘方(重点)

      知识3 积的乘方(重点)

      积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)^(n)=a^(n)b^(n)(n为正整数).

      温馨提示 ①积的乘方可逆用,即a^(n)·b^(n)=(ab)^(n)(n为正整数).

      ②积的乘方可推广到多个因式.(abc)^(n)=a^(n)·b^(n)·c^(n)(n为正整数).

      ③运用积的乘方法则时,应先看积中有哪些因式,再把每一个因式分别乘方,尤其是字母的系数,不要漏掉乘方.

       知识4 同底数幂的除法

      知识4 同底数幂的除法

      同底数幂相除,底数不变,指数相减,即

      a^(m)÷a^(n)=a^(m-n)(a≠0,m,n都是正整数).

      温馨提示 ①同底数幂的除法可逆用,即a^(m-n)=

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      a^(m)÷a^(n)(a≠0,m、n都是正整数).

      ②底数a可以是单独一个数或一个字母,也可以是一个单项式或多项式,但a≠0.

      ③同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算,可类比同底数幂的乘法学习同底数幂的除法,同时还可用同底数幂的乘法运算检验同底数幂的除法运算是否正确.

      ④运算时必须先化成同底数幂后才能运用上述法则进行计算,而法则中的指数相减是指被除式的指数减去除式的指数.

      ⑤多个同底数幂相除时,应按从左到右的顺序进行,并将最后结果化为最简.

      ⑥运算时应注意:a.符号的处理,指数的奇偶性确定符号.b.指数为多项式时,在指数运算时应添加括号.

       知识5 零指数幂

      知识5 零指数幂

      1.零指数幂性质的规定

      计算:am÷am.

      一方面:根据除法的意义,可知am÷am=1;

      另一方面:依照同底数幂的除法,可得am÷am=a^(m-m)=a^(0).

      于是规定:任何不等于0的数的0次幂都等于1.

      2.零指数幂的性质

      任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a^(0)=1(a≠0).

      温馨提示 ①a^(0)=1(a≠0),这是对零指数幂意义的规定,不能把a^(0)理解成0个a相乘.

      ②正整数指数幂的运算法则对于零指数幂也同样适用,如:a^(2)·a^(0)=a^(2+0)=a^(2),a^(3)÷a^(0)=a^(3-0)=a^(3),(a^(2))^(0)=a^(2×0)=a^(0)=1(a≠0)等.

      ③0次幂的底数不能为0,因为同底数幂的除法法则:a^(m)÷a^(n)=a^(m-n)的前提条件是a≠0,m,n为正整数.

       知识6 负整数指数幂

      知识6 负整数指数幂

      任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数,即a^(-n)=1/a^(n)(a≠0,n为正整数).它是由a^(m)÷a^(n)=a^(m-n)在a≠0,m<n时转化而来的.也就是说当同底数幂相除时,若被除式的指数小于除式的指数,则转化成负指数幂的形式.a^(-p)结果为a^(p)的倒数,也就是说一个不为零的数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数,也可以等于这个数的倒数的正整数次幂,即a^(-p)=(1/a)^(p)(a≠0,p为正整数).

      温馨提示 ①底数a不等于零,否则无意义.

      ②当指数由正整数拓展到0指数与负指数时,正整数指数幂的法则及性质仍然成立.

      ③在有关幂的运算中,最终结果要求化成正整数指数幂的形式.

      方法清单

      ·方法1 同底数幂的运算方法

      ·方法2 幂的乘方的辨别方法

      ·方法3 幂的运算法则的应用

      ·方法4 转化思想在幂的有关计算中的应用

      ·方法5 利用幂的运算法则比较大小的方法

      ·方法6 负整数指数幂的运算方法

      ·方法7 同底数幂在科学记数法中的运用

       方法1 同底数幂的运算方法

      方法1 同底数幂的运算方法

      同底数幂的运算法则,无论是乘法法则,还是除法法则,只适用于同底数幂的乘除,当底数不同时要看能否化为同底,若不能化为同底,则不能用上述法则.

      page0151
       方法2 幂的乘方的辨别方法

      方法2 幂的乘方的辨别方法

      不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算转化为指数的乘法运算(底数不变),同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算(底数不变).

       方法3 幂的运算法则的应用

      方法3 幂的运算法则的应用

      (1)逆用积的乘方、幂的乘方及同底数幂的乘除可以简化计算.

      (2)解一些结构特殊的题目,可以先将式子进行合理的变形再求解.

       方法4 转化思想在幂的有关计算中的应用

      方法4 转化思想在幂的有关计算中的应用

      (1)把不同底数的幂转化为相同底数的幂;

      (2)把不同指数的幂转化为相同指数的幂.

       方法5 利用幂的运算法则比较大小的方法

      方法5 利用幂的运算法则比较大小的方法

      所给幂、指数、底数均不相同,且指数较大时,可利用幂的乘方性质化为同指数的幂,根据底数大小关系确定原来三个幂的大小关系.

       方法6 负整数指数幂的运算方法

      方法6 负整数指数幂的运算方法

      在进行负整数指数幂运算时,可以先依据幂的运算法则进行计算,最终结果化成正整数指数幂的形式.

       方法7 同底数幂在科学记数法中的运用

      方法7 同底数幂在科学记数法中的运用

      解决实际问题时,如果有关数据的运算是科学记数法间的运算,需把a、10^(n)分别相乘,最后用科学记数法表示.

      page0152

      15.2 整式的乘除

      知识清单

      ·知识1 单项式与单项式相乘

      ·知识2 单项式与多项式相乘

      ·知识3 多项式与多项式相乘

      ·知识4 乘法公式(重点)

      ·知识5 单项式除以单项式

      ·知识6 多项式除以单项式

      ·知识7 整式的混合运算

       知识1 单项式与单项式相乘

      知识1 单项式与单项式相乘

      单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

      例如:2/5x^(2)y^(3)·(-5/6xyz^(3))=-1/3x^(3)y^(4)z^(3).

      温馨提示 ①单项式乘法的基础是同底数幂的乘法.

      ②单项式乘以单项式的积仍是单项式.

      ③积的系数等于各因式系数的积,应先确定符号,再计算绝对值.

      ④相同字母相乘,是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加.

      ⑤只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式,不要把这个因式漏掉.

      ⑥对于两个以上的单项式的乘法运算,乘法法则同样适用.

       知识2 单项式与多项式相乘

      知识2 单项式与多项式相乘

      单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即m(a+b+c)=ma+mb+mc.

      温馨提示 ①单项式与多项式相乘,实质是利用分配律将其转化为前面学过的单项式乘以单项式.

      ②单项式乘以多项式的每一项时,不要漏乘.

      ③计算时易出现符号错误,多项式中每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号.

      ④单项式乘以多项式,结果仍是多项式,其项数与因式中多项式的项数相同.

      ⑤计算结果中若有同类项时要合并,从而得到最简结果.

       知识3 多项式与多项式相乘

      知识3 多项式与多项式相乘

      多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

      温馨提示 ①要用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,不能有遗漏.

      ②多项式乘以多项式,实际上也是最终转化为单项式乘以单项式的运算来完成的.

      ③多项式的每一项都包括其前面的符号,并作为项的一部分参与运算.

      ④多项式与多项式相乘的结果仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积.

      ⑤结果中若有同类项,则要合并,所得的结果必须化为最简的形式.

       知识4 乘法公式(重点)
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      知识4 乘法公式(重点)

      1.平方差公式

      两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即(a+b)(a-b)=a^(2)-b^(2).

      2.平方差公式的特点

      (1)左边是两个二项式相乘,这两项中有一项相同,另一项互为相反数;

      (2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方);

      (3)公式中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.

      3.完全平方公式

      两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,即(a+b)^(2)=a^(2)+2ab+b^(2),(a-b)^(2)=a^(2)-2ab+b^(2).

      4.完全平方公式的特点

      (1)(a+b)^(2)=a^(2)+2ab+b^(2)与(a-b)^(2)=a^(2)-2ab+b^(2)都叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式.

      (2)公式的特点:

      两个公式的左边都是一个二项式的完全平方,二者仅差一个符号;右边都是二次三项式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍,二者也仅差一个符号.

      (3)公式中的a、b可以是数,也可以是单项式或多项式.

      温馨提示 ①运用平方差公式时关键是识别两组数,哪两个是完全相同的,哪两个是互为相反数的.

      ②运用完全平方公式要防止出现(a±b)^(2)=a^(2)±b^(2)或(a-b)^(2)=a^(2)-2ab-b^(2)等错误.

      ③运用完全平方公式遇到(-x+3y)^(2)和(-m-n)^(2)的形式可先转化为(x-3y)^(2)和(m+n)^(2)的形式,再按完全平方公式进行计算.

      ④完全平方公式的常见变形:

      a^(2)+b^(2)=(a+b)^(2)-2ab=(a-b)^(2)+2ab;(a+b)^(2)+(a-b)^(2)=2(a^(2)+b^(2));(a+b)^(2)-(a-b)^(2)=4ab.

      ⑤拓展:

      立方和:(a+b)(a^(2)-ab+b^(2))=a^(3)+b^(3);

      立方差:(a-b)(a^(2)+ab+b^(2))=a^(3)-b^(3);

      (a+b+c)^(2)=a^(2)+b^(2)+c^(2)+2ab+2bc+2ca;

      (a+b)^(3)=a^(3)+3a^(2)b+3ab^(2)+b^(3);

      (a-b)^(3)=a^(3)-3a^(2)b+3ab^(2)-b^(3).

       知识5 单项式除以单项式

      知识5 单项式除以单项式

      单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.例如:6a^(7)b^(5)c÷16a^(4)b^(5)=3/8a^(3)c.

      单项式除以单项式可分为三部分分别计算.(1)系数:将被除式的系数除以除式的系数的商作为商的系数.(2)相同字母:用被除式里这个字母的指数减去除式里这个字母的指数,所得的差作为商中这个字母的指数.(3)只在被除式里单独出现的字母,连同它的指数作为商的一个因式.

      温馨提示 ①单项式除以单项式时,要弄清哪些是两个单项式的系数,哪些是同底数幂,哪些是只在被除式里出现的字母,此外还要特别注意系数的符号.

      ②在单项式乘除混合运算中,一定要先确定运算顺序,然后分步计算,如果字母的指数是多项式,要先加括号,再加减.

       知识6 多项式除以单项式
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      知识6 多项式除以单项式

      多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.如:(ma+mb+mc)÷m=ma÷m+mb÷m+mc÷m=a+b+c.

      温馨提示 ①这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式,反之,单项式除以多项式则不适用.如:m÷(am+bm+cm)≠m÷am+m÷bm+m÷cm.

      ②以上法则的实质,就是把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算.

      ③在计算时,多项式各项要包括前面的符号,商的各项的符号由多项式中各项系数的符号与单项式系数的符号所决定.

      ④在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项,所得结果的项数应与被除式中的项数相同.

      ⑤当被除式中有一项与除式相同时,相除后所得的商是1而不是0.

       知识7 整式的混合运算

      知识7 整式的混合运算

      含有整式的加减、乘除及幂的有关运算的多种运算叫做整式的混合运算.

      关键是注意运算顺序,先乘方,再乘除,后加减,有括号时,先算括号里的.去括号时,先去小括号,再去中括号,最后去大括号.

      方法清单

      ·方法1 单项式乘以单项式的解题方法

      ·方法2 单项式乘以多项式的解题方法

      ·方法3 多项式乘以多项式的解题方法

      ·方法4 合理运用乘法公式

      ·方法5 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用

      ·方法6 乘法公式的变形在解题中的应用

      ·方法7 整式乘法的综合应用

      ·方法8 单项式除以单项式的解题方法

      ·方法9 化简求值的方法

      ·方法10 数形结合的应用方法

       方法1 单项式乘以单项式的解题方法

      方法1 单项式乘以单项式的解题方法

      单项式乘以单项式,主要是运用乘法的交换律与结合律,将各因式的系数、相同字母分别结合成一组,转化成幂的运算,切忌忽略只在一个单项式中含有的字母.

       方法2 单项式乘以多项式的解题方法

      方法2 单项式乘以多项式的解题方法

      单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律;运算过程中积的符号是极易出错的,多项式中每一项前边的符号就是这一项的符号,运算中要注意多项式的每一项及单项式的符号;单项式与多项式相乘的结果是一个多项式,它的项数和原多项式的项数相同.

       方法3 多项式乘以多项式的解题方法
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      方法3 多项式乘以多项式的解题方法

      (1)运用多项式乘法法则时,必须不重不漏,为此要按一定顺序进行.

      (2)多项式与多项式相乘,仍得多项式.

      (3)确定积中每项的符号时,按同号得正,异号得负的法则进行.

      (4)多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项时要合并同类项.

      (5)利用公式(x+a)(x+b)=x^(2)+(a+b)x+ab,能大大提高运算效率.

       方法4 合理运用乘法公式

      方法4 合理运用乘法公式

      乘法公式是一种特殊形式的公式,它通过多项式的乘法法则,把特殊多项式的结果写成公式形式并加以应用.运用公式计算可使多项式相乘变得简捷,但运用时要掌握公式的结构特点,只要符合公式结构特征就可以运用公式进行计算,否则不能用.公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式.

       方法5 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用

      方法5 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用

      对某些数的乘法或平方运算,可以根据数的特征,设法转化成较整的数的相关计算,然后再利用乘法公式进行运算,比较简便.

       方法6 乘法公式的变形在解题中的应用

      方法6 乘法公式的变形在解题中的应用

      首先必须做到心中牢记公式的模型,在此前提下再认真地对具体题目进行细致观察,想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧,把式子凑成公式的模型,然后就可以应用公式进行计算了.

       方法7 整式乘法的综合应用

      方法7 整式乘法的综合应用

       方法8 单项式除以单项式的解题方法

      方法8 单项式除以单项式的解题方法

      (1)单项式除以单项式:①系数相除;②同底数的幂相除;③被除式中单独有的字母,连同它的指数一起作为商的因式.

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      (2)关键是分清单项式中的系数、相同字母,注意混合运算的顺序.

       方法9 化简求值的方法

      方法9 化简求值的方法

      在化简求值时,往往化简的结果很简单,常与某个字母的取值无关,因此就产生了代入错误的数值不影响最终结果的现象.这就要求我们抓住问题的本质,不被其表象所迷惑,通过计算说明道理是解决问题最有效的方法.

       方法10 数形结合的应用方法

      方法10 数形结合的应用方法

      数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.数形结合的思想,包含以形助数和以数辅形两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的关系,即以形作为手段,数为目的,比如应用图形来直观地说明性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的.

      15.3 因式分解

      知识清单

      ·知识1 因式分解

      ·知识2 公因式

      ·知识3 提公因式法(重点)

      ·知识4 公式法(重点)

      ·知识5 因式分解的一般步骤

      ·知识6 因式分解与整式乘法的区别与联系

       知识1 因式分解

      知识1 因式分解

      把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.也叫做把这个多项式分解因式.

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      温馨提示 ①因式分解不是多项式的一种运算,而是多项式的一种变形.它和整式乘法是互逆关系.

      如(a+b)(a-b)=a^(2)-b^(2)是整式的乘法,而a^(2)-b^(2)=(a+b)(a-b)是因式分解.

      ②因式分解的结果只能是几个因式的积,否则不是因式分解,如x^(2)-4+3x=(x+2)(x-2)+3x不是因式分解.

      ③分解因式一定要进行到底,即将一个多项式分解因式后,所得的结果中每一个多项式因式都不能再分解因式,否则还要继续分解下去.

      ④分解因式时要考虑数的范围,例如在有理数范围内x^(2)-2已经不能再分解了,但在实数范围内还可以分解为(x+)(x-).

      ⑤因式分解的过程是恒等变形,要与方程的同解变形区分开来.

      ⑥因式分解的结果是整式乘积的形式,结果出现相同的因式时,把它写成幂的形式.

       知识2 公因式

      知识2 公因式

      多项式的各项都含有的相同的因式,叫公因式.如ab+ac+ad中,各项中都含有因式a,故a叫公因式.公因式可以是一个数或一个字母,也可以是一个单项式或一个多项式,如a(x+2)-b(x+2)中,公因式是x+2.

      公因式的确定:

      一看系数,公因式的系数是各项系数绝对值的最大公约数,如在多项式6a^(3)b^(2)-4ab^(2)-2a^(2)b^(3)中,各项系数的绝对值是6,4,2,它们的最大公约数是2,所以公因式的系数是2;

      二看字母,公因式中的字母应是各项中相同的字母(注意这里的字母可以是一个整式),如上式中各项都含有a,b,所以公因式的字母是a,b;

      三看字母的次数,公因式中字母的次数是相同字母的最低次幂,如上式中的a是1次,b是2次,所以这个多项式的公因式是2ab^(2).

       知识3 提公因式法(重点)

      知识3 提公因式法(重点)

      如果一个多项式的各项含有公因式,那么,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

      例如:ma+mb+mc=m(a+b+c),这里的m可以表示单项式,也可以表示多项式,m称为公因式.

      提公因式法分解因式的一般步骤:

      第一步,确定公因式;第二步,把多项式的各项写成含公因式的乘积形式;第三步,把公因式提到括号前面,余下的项写在括号内.如6a^(3)b^(2)-4ab^(2)-2a^(2)b^(3)=2ab^(2)·3a^(2)-2ab^(2)·2-2ab^(2)·ab=2ab^(2)(3a^(2)-ab-2).

      温馨提示 ①若首项系数为负时,一般要提出-,使括号内首项系数为正,但要注意,此时括号内的各项都应变号,如-x^(2)+2x=-x(x-2).

      ②不能漏项,提出公因式后,每一项都有剩余部分,它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同.特别注意,当原多项式的某一项与公因式相同,被全部提出后,剩下的新多项式应在相应位置上补上1,而不是0,如6x^(3)y^(2)+4x^(2)yz-2xy=2xy(3x^(2)y+2xz-1).

      ③最后要检查是不是分解到最后结果,不能有公因式遗漏.

      ④公因式提取后,每一项的剩余部分可根据同底数幂的除法法则来确定.

       知识4 公式法(重点)

      知识4 公式法(重点)

      1.平方差公式

      把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a^(2)-b^(2)反过来,就得到a^(2)-b^(2)=(a+b)(a-b),即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.

      2.完全平方公式

      把整式乘法的完全平方公式(a±b)^(2)=a^(2)±2ab+b^(2)反过来,就得到a^(2)±2ab+b^(2)=(a±b)^(2),即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍等于这两个数的和(或差)的平方.

      温馨提示 ①首先要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式.

      ②公式中的字母a、b可代表一个数、一个单项式或一个多项式.

      ③若多项式各项有公因式,则先提公因式,再运用公式.

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       知识5 因式分解的一般步骤

      知识5 因式分解的一般步骤

      1.因式分解的步骤

      可归纳为:一提、二套、三试、四分、五查.一提是指如果多项式有公因式,那么应先提取公因式;二套是指如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式法来分解;三试是指如果以上两种方法不能分解,可尝试用其他方法(如十字相乘法等)来分解;四分是指遇到多项式为四项及以上的情况时,可考虑分组分解的方法;五查是指检查因式分解是否彻底,即要求分解后每个因式都不能再进行因式分解了.

      2.分组分解法

      ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)·(m+n).

      四项式的分组有两种方式:一、三分组和二、二分组.一、三分组主要运用完全平方公式和平方差公式;而二、二分组则既可运用提公因式法,又可将平方差公式和提公因式混合使用.

      3.十字相乘法

      x^(2)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

      用这种方法要先把待分解的多项式整理成左边的二次三项式的形式.

      分组分解法和十字相乘法新课标已不做要求,但可以了解一下,会对整式运算变形有很大的帮助.

       知识6 因式分解与整式乘法的区别与联系

      知识6 因式分解与整式乘法的区别与联系

      (1)因式分解和整式乘法是互逆变形,多项式的因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式,都是恒等变形,但它们是互逆的两个过程,如x^(2)-1=(x+1)(x-1)是因式分解,而反过来,(x+1)(x-1)=x^(2)-1是整式乘法.

      (2)鉴于因式分解与整式乘法是互逆变形,因此可用将分解的结果还原成一个多项式的方法检验因式分解的结果的正确性,同时,这也是一种逆向思维的训练.若混淆了因式分解与整式乘法,易犯循环分解的错误,例如分解因式:a^(3)-a,误写成:原式=a(a^(2)-1)=a(a+1)(a-1)=a(a^(2)-1).

      方法清单

      ·方法1 因式分解的判别方法

      ·方法2 公因式的确定方法

      ·方法3 用提公因式法分解因式

      ·方法4 用公式法分解因式

      ·方法5 公式法在代数式求值问题中的应用

      ·方法6 因式分解在实际问题中的应用

       方法1 因式分解的判别方法

      方法1 因式分解的判别方法

      一个多项式进行因式分解的结果是否正确,可以从两方面入手,一是直接分解,看与结果是否一致;二是从结果看,每个因式是否还能继续分解,再将右边的结果运用整式的乘法展开,看是否与左边相等.

       方法2 公因式的确定方法

      方法2 公因式的确定方法

      (1)系数:取多项式各项系数的最大公约数;

      (2)字母:取多项式各项都含有的相同字母的最低次幂.

       方法3 用提公因式法分解因式

      方法3 用提公因式法分解因式

      (1)提取公因式后,括号内的各项是用公因式去除这个多项式的各项得到的商,特别注意不要漏项.

      (2)公因式要提全、提净,使系数不含公约数,字母不含公因式.

      (3)在因式分解过程中,常常把含有相同字母且字母次数相同的多项式作为公因式提出来,此时要特别

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      注意字母的排列顺序的变化及其指数的奇、偶性.

      (4)当多项式的首项系数为负数时,要把-提出来,使括号内的首项系数变为正数.

       方法4 用公式法分解因式

      方法4 用公式法分解因式

      (1)首先要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式.

      (2)看项数选公式,二项考虑平方差公式,三项考虑完全平方公式.

      (3)在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点,若符合,则把多项式写成公式结构的形式,然后再去套公式.

       方法5 公式法在代数式求值问题中的应用

      方法5 公式法在代数式求值问题中的应用

      在求代数式的值时,不要只着眼于它的局部特征,而要把注意力放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻地分析,利用公式法对题目的条件或结论进行变形,使复杂的问题简单化.

       方法6 因式分解在实际问题中的应用

      方法6 因式分解在实际问题中的应用

      对于一些现实生活中的问题常常需用因式分解和方程(组)的知识来解决.通过此类问题增强了学数学、用数学的意识.要认真审题,从实际背景中抽象出数学模型是解决问题的关键.

       知识1 分式

      第16章 分式与分式方程

      page0160

      16.1 分式的有关概念

      知识清单

      ·知识1 分式

      ·知识2 分式的基本性质

      ·知识3 约分及约分法则

      ·知识4 最简分式

      ·知识5 通分及通分法则

      ·知识6 最简公分母

      ·知识7 约分与通分的联系与区别

      知识1 分式

      一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A/B叫做分式.A叫做分子,B叫做分母.

      温馨提示 ①整式和分式统称有理式.

      ②分式的分母中必须含有字母,而分子中是否含有字母不作要求.这一点是判断某一个代数式是否是分式的主要依据.

      ③分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式A/B才有意义.

      ④分式与分数的区别与联系:

      a.分式与分数在形式上是一致的,都有一条分数线,相当于除法的÷,都有分子和分母,都可以表示成A/B(B≠0)的形式;

      b.分式中含有字母,由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.

       知识2 分式的基本性质

      知识2 分式的基本性质

      分式的分子与分母同乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为A/B=A·C/B·C或A/B=A÷C/B÷C(C≠0),其中A,B,C均为整式.

      分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面:

      (1)不改变分式的值,把分式的分子、分母中各项的系数化为整数.

      如:==.

      (2)任意改变分式的分子、分母与分式本身的符号.其符号变化规律如下:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.

      如:--b/a=-b/-a=-b/-a=b/a(a≠0),

      -b/a=--b/-a=b/-a=-b/a(a≠0).

       知识3 约分及约分法则
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      知识3 约分及约分法则

      1.约分

      和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.

      2.约分法则

      把一个分式约分,如果分子和分母都是几个因式乘积的形式,约去分子和分母中相同因式的最低次幂;分子与分母的系数,约去它们的最大公约数.如果分式的分子、分母是多项式,先分解因式,然后约分.

      如:===x-1/x-2.

      温馨提示 ①约分的依据是分式的基本性质,约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式.

      ②分式的约分一定要进行到底,约分的结果是最简分式或整式,即将分式化为最简形式.

      ③约分时,当分子、分母含有负号时,一般把负号提到分式的前面.

       知识4 最简分式

      知识4 最简分式

      一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式,约分一般是将一个分式化为最简分式,分式约分所得的结果有时可能成为整式.如:=3a-1.

       知识5 通分及通分法则

      知识5 通分及通分法则

      1.通分

      和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分

      2.通分法则

      把两个或者几个分式通分,先求各个分式分母的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式),再用分式的基本性质,把最简公分母除以原来各分母所得的商式分别去乘原来分式的分子、分母,使每个分式变为与原分式的值相等,而且以最简公分母为分母的分式.若分母是多项式,则先分解因式,再通分.

      温馨提示 ①通分的依据是分式的基本性质,通分的关键是寻求几个分式的最简公分母.

      ②通分的实质是把各分式的分子、分母都乘相应的整式,使各分式化为同分母的分式.

       知识6 最简公分母

      知识6 最简公分母

      几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的分母叫做最简公分母.

      求最简公分母的步骤:①取各分母系数的最小公倍数;②相同因式取最高次幂;③对于只在某一个分母中出现的因式,连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式.

       知识7 约分与通分的联系与区别

      知识7 约分与通分的联系与区别

      约分与通分都是根据分式的基本性质,对分式进行恒等变形,即每个分式变形之后都不改变原分式的值.约分是针对一个分式而言,约分可使分式变得简单,而通分是针对两个或两个以上的分式来说的,通分可使异分母分式化为同分母分式.

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      方法清单

      ·方法1 分式的识别方法

      ·方法2 分式有无意义的判断方法

      ·方法3 分式的基本性质的应用

      ·方法4 约分的技巧与方法

      ·方法5 通分的技巧与方法

      ·方法6 分式的变形求值的方法

       方法1 分式的识别方法

      方法1 分式的识别方法

      分式和整式的本质区别:分式的分母中一定要含有字母,而整式的分母中一定不含字母.

       方法2 分式有无意义的判断方法

      方法2 分式有无意义的判断方法

      (1)分式有意义的条件:分式的分母不等于0;

      (2)分式无意义的条件:分式的分母等于0.

       方法3 分式的基本性质的应用

      方法3 分式的基本性质的应用

      分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据,正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键.利用分式的基本性质可将分式恒等变形,从而达到化简分式,简化计算的目的.

       方法4 约分的技巧与方法

      方法4 约分的技巧与方法

      分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的,分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分,约分要彻底,使分子、分母没有公因式.

       方法5 通分的技巧与方法

      方法5 通分的技巧与方法

      通分的关键是确定几个分式的最简公分母.通分的步骤:(1)把分式按约分的步骤化为最简分式;(2)求出各分式的最简公分母;(3)用最简公分母除以原分母所得的商去乘各自的分子,得出通分后的分子.

       方法6 分式的变形求值的方法
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      方法6 分式的变形求值的方法

      分式求值是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用,涉及的知识多,题型灵活多变.解题时常常从条件或结论出发,进行恒等变形,再整体代入求值.

      16.2 分式的运算

      知识清单

      ·知识1 分式的乘法

      ·知识2 分式的除法

      ·知识3 分式的加减

      ·知识4 分式的乘方

      ·知识5 分式的混合运算

      ·知识6 分式的化简求值(重点)

       知识1 分式的乘法

      知识1 分式的乘法

      分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.

      用式子表示为a/b·c/d=a·c/b·d.

      温馨提示 ①分式乘法运算的结果需通过约分化为最简分式或整式.

      ②当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变.

      ③分式的分子或分母的系数是负数时,一般把负号提到分式的前面.

      ④分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式;若分子、分母是多项式,先把分子、分母分解因式,看能否约分,然后再相乘.

       知识2 分式的除法

      知识2 分式的除法

      分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

      用式子表示为a/b÷c/d=a/b·d/c=a·d/b·c.

      温馨提示

      ①分式的除法运算结果要通过约分化为最简分式或整式的形式.

      ②当除式(或被除式)是整式时,可以看作分母是1的分式,然后按分式除法法则计算.

      如:÷(a-1)

      =÷a-1/1

      =.1/a-1=a-1/a-3.

      ③在同级运算中,应按由左到右的顺序进行计算.

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       知识3 分式的加减

      知识3 分式的加减

      分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母分式相加减和异分母分式相加减两种.

      1.同分母分式相加减

      法则:同分母分式相加减,分母不变,分子相加减.

      用式子表示为a/b±c/b=a±c/b

      2.异分母分式相加减

      法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式,再相加减.

      用式子表示为a/b±c/d==ad±bc/bd.

      温馨提示 ①分式的加减运算结果必须是最简分式或整式,运算中要适当约分.

      ②如果一个分式与一个整式相加减,那么可以把整式看成是分母为1的分式,先通分,再进行加减运算.

      如1/x+1+x-1=1/x+1+x-1/1=1/x+1+==.

       知识4 分式的乘方

      知识4 分式的乘方

      根据乘方的定义和分式乘法法则可得分式乘方的法则,分式的乘方就是把分子、分母各自乘方,用式子表示是(a/b)^(n)=,其中n是正整数.

      温馨提示 ①乘方时系数不要漏掉乘方.

      ②分式乘方时,确定乘方结果的符号的方法与有理数乘方相同,即正分式的任何次幂都为正;负分式的偶次幂为正,奇次幂为负.

      ③分式乘方时,应把分子、分母分别看作一个整体.

       知识5 分式的混合运算

      知识5 分式的混合运算

      含有分式的乘除、乘方、加减的多种运算叫做分式的混合运算.

      分式的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减.有括号的,先算括号里的.有理数的运算律可应用于分式计算中.

      温馨提示 ①分式的运算与分数的运算一样,一是注意符号;二是结果必须化到最简.

      ②有理数的运算律以及整式运算的公式对分式同样适用,要灵活运用乘法交换律、结合律、分配律,使运算简便.

       知识6 分式的化简求值(重点)

      知识6 分式的化简求值(重点)

      分式的化简求值是指不直接把字母取值代入分式中计算,而是先化简,然后再代入求值.

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      方法清单

      ·方法1 分式的乘除运算的解题方法

      ·方法2 分式的加减运算的解题方法

      ·方法3 分式的混合运算的解题方法

      ·方法4 分式化简求值的方法

      ·方法5 利用分式的运算确定待定字母的值的方法

      ·方法6 利用分式的大小比较解决实际问题的方法

      ·方法7 分式变形中的规律探索方法

       方法1 分式的乘除运算的解题方法

      方法1 分式的乘除运算的解题方法

      分式的乘除运算归根到底可以统一成乘法运算,分式的乘法一般情况下是先约分再相乘;当除式(或被除式)是整式时,可以看作分母是1的分式,然后再按分式的乘除法则计算.

       方法2 分式的加减运算的解题方法

      方法2 分式的加减运算的解题方法

      分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的,分为同分母加减法和异分母加减法,所不同的是分式加减运算比分数的加减运算要复杂得多.它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用.由于运用了较多的基础知识,运算步骤增多、符号变换复杂、解题方法灵活多样.

       方法3 分式的混合运算的解题方法

      方法3 分式的混合运算的解题方法

      对于分式的混合运算,应注意运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号内的.此外,也应仔细观察式子的特点,选择灵活简便的方法计算,如使用运算律、公式等.

       方法4 分式化简求值的方法

      方法4 分式化简求值的方法

      分式化简求值是代数式求值常见题型之一,也是中考中的固定题型,其基本解法是先化简,再把字母的值或条件中所含关系代人计算.分式求值中所含知识覆盖面广,解法灵活,可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化.

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       方法5 利用分式的运算确定待定字母的值的方法

      方法5 利用分式的运算确定待定字母的值的方法

      解答此类问题时常将两个分式通分,使等式左右两边分母相同,再依据两边分子对应项系数相等,结合待定系数法通过解方程组求得所要求解的结果.

       方法6 利用分式的大小比较解决实际问题的方法

      方法6 利用分式的大小比较解决实际问题的方法

       方法7 分式变形中的规律探索方法

      方法7 分式变形中的规律探索方法

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      16.3 分式方程

      知识清单

      ·知识1 分式方程

      ·知识2 解分式方程的一般步骤

      ·知识3 可化为一元一次方程的分式方程

      ·知识4 可化为一元二次方程的分式方程

      ·知识5 换元法解分式方程

      ·知识6 分式方程的增根

      ·知识7 验根

       知识1 分式方程

      知识1 分式方程

      分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

      从分式方程的定义中可以看出分式方程的两个重要特征:一是方程;二是分母中含有未知数.因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数

       知识2 解分式方程的一般步骤

      知识2 解分式方程的一般步骤

      (1)去分母:在方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.

      (2)解方程:解整式方程.

      (3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,若结果是零,则这个根是原方程的增根,必须舍去.

      温馨提示 ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,通过解整式方程进一步求得分式方程的解.

      ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边,从而约去分母,但要注意用最简公分母乘方程两边各项时,切勿漏项.

      ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的根,那么检验就是解分式方程的必要步骤.

       知识3 可化为一元一次方程的分式方程

      知识3 可化为一元一次方程的分式方程

      可化为一元一次方程的分式方程即去分母后把原方程转化为一个一元一次方程的分式方程.现在要求学生掌握的解分式方程主要是这种类型.

       知识4 可化为一元二次方程的分式方程
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      知识4 可化为一元二次方程的分式方程

      可化为一元二次方程的分式方程即去分母后把原方程转化为一个一元二次方程的分式方程.

       知识5 换元法解分式方程

      知识5 换元法解分式方程

      在解代数问题时,对于某些难度较大的问题,可通过设辅助元素来解决.辅助元素的作用是将原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.

      用换元法解分式方程的步骤:

      ①找:找元.如2x/x-1+x-1/x=5/2,由于x/x-1与x-1/x互为倒数,当设x/x-1=y时,原方程可化为2y+1/y=5/2.如(x-1/x)^(2)-2(x-1/x)-3=0,设x-1/x=y,则原方程可化为y^(2)-2y-3=0.由此看来,找元也有一定技巧.

      ②换:换元,注意整体代换,换元的目的是把比较复杂的分式方程化成比较简单的方程.

      ③解:解换元后的方程,将求出的解代入换的元中再求解.

      ④验:将求出的解代入各分母的最简公分母中,若使最简公分母等于0,则是原方程的增根,舍去;若使最简公分母不等于0,则是原方程的根.

       知识6 分式方程的增根

      知识6 分式方程的增根

      在方程两边都乘一个含未知数的最简公分母时,扩大了未知数的取值范围.有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫方程的增根.

      分式方程产生增根的原因

      解分式方程时,指导思想是设法将分式方程化为整式方程,通常是去分母,将方程两边同乘含有未知数的整式.

      例如:解分式方程:

      3/x+6/x-1=x+5/x(x-1).①

      去分母,两边同乘x(x-1),得

      3(x-1)+6x=x+5,②

      解②,得x=1.

      显然x=1不适合方程①,解一元一次方程②不会产生增根,问题就出在将分式方程化为方程②这一步,所乘的整式x(x-1)此时为0.

      这就是解分式方程产生增根的原因,因此,解分式方程必须验根,以便舍去增根.

       知识7 验根

      知识7 验根

      (1)代入原方程检验,这种方法还可以检查在解方程的过程中有无计算错误.

      (2)代入最简公分母(所乘的整式),检查它的值是否为零.分式方程的增根都恰好是使原方程中的一些分母的值为零的未知数的值,所以解分式方程比较简便的验根方法是把解得的整式方程的根,逐个代人最简公分母,如果其值不为零,则它是原方程的根;如果其值为零,则它是原方程的增根,须舍去,但应知道使用这种方法的前提是解题的过程中没有错误.

      方法清单

      ·方法1 解分式方程的方法

      ·方法2 依据分式方程的解确定参数的方法

      ·方法3 依据分式方程的增根确定参数的方法

       方法1 解分式方程的方法

      方法1 解分式方程的方法

      解分式方程:首先通过方程两边乘最简公分母化为整式方程,再解整式方程,最后需要检验整式方程的解是否为分式方程的解.

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       方法2 依据分式方程的解确定参数的方法

      方法2 依据分式方程的解确定参数的方法

      解决这类题时,首先将分式方程化为整式方程,用含字母的代数式表示x,根据解的情况确定字母的取值.同时考虑问题要全面,不但考虑原分式方程的解,也要注意原分式方程的最简公分母不能为零.

       方法3 依据分式方程的增根确定参数的方法

      方法3 依据分式方程的增根确定参数的方法

      分式方程的增根有两个特点:第一,它必须是由分式方程转化成的整式方程的根;第二,它能使原分式方程的最简公分母等于0.正确理解增根的概念对解决有关增根的问题非常重要.

      确定分式方程中参数的值的一般步骤

      (1)先将分式方程转化为整式方程;(2)由题意求出增根;(3)将增根代入所化得的整式方程,解之就可得到参数的值.

      16.4 列分式方程解应用题

      知识清单

      ·知识1 列分式方程解应用题的一般步骤 ·知识2 列分式方程解应用题的常见题型

       知识1 列分式方程解应用题的一般步骤

      知识1 列分式方程解应用题的一般步骤

      (1)审:理解题意,弄清具体情境中的已知量与未知量以及它们之间的基本关系;

      (2)设:设未知数,用x(或其他字母)表示某个未知数,由该未知数与其他数量的关系,写出表示相关量的式子;

      (3)列:找出等量关系,列出分式方程;

      (4)解:解这个分式方程;

      (5)检:双重检验,先检验是否为增根,再检验是否符合题意;

      (6)答:写出答案.

       知识2 列分式方程解应用题的常见题型
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      知识2 列分式方程解应用题的常见题型

      (1)行程问题有路程、时间和速度三个量,其关系式是路程=速度×时间.一般是以时间为等量关系.

      (2)工程问题有工作效率、工作时间和工作总量三个量,其关系式是工作总量=工作效率×工作时间.一般是以工作总量为等量关系.

      (3)增长率问题,其等量关系式是原量×(1+增长率)=增长后的量,原量×(1-减少率)=减少后的量.

       方法 列分式方程解决实际问题的方法

      方法清单

      方法 列分式方程解决实际问题的方法

      分式方程的应用主要就是列方程解应用题,这已成为近几年考试的热点内容.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列分式方程的解,又要检验是否符合题意.

       知识1 常量与变量

      第17章 一次函数

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      17.1 变量与函数

      知识清单

      ·知识1 常量与变量

      ·知识2 函数

      ·知识3 函数自变量的取值范围(重点)

      ·知识4 函数值

      ·知识5 函数解析式

      ·知识6 函数的表示方法

      ·知识7 函数的图象(重点)

      知识1 常量与变量

      在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.

      如:在行程问题中,当速度v保持不变时,行走的路程s是随时间t的变化而变化的,那么,在这一过程中,v是常量,而s和t是变量;当路程s是个定值时,行走的时间t是随速度v的变化而变化的,那么在这一过程中,s是常量,而v和t是变量.

      温馨提示 变量和常量往往是相对的,相对于某个变化过程.比如s、v、t三者之间,在不同研究过程中,作为变量与常量的身份是可以相互转换的.

       知识2 函数

      知识2 函数

      一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.

      对函数概念的理解,主要抓住以下三点:

      ①有两个变量;

      ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化;

      ③对于自变量每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对应.

      例如:y=±x,当x=1时,y有两个对应值,所以y=±x不是函数关系.对于不同的自变量x的取值,y的值可以相同,例如函数y=|x|,当x=±1时,y的对应值都是1.

      温馨提示 ①判断两个变量是否有函数关系,不仅看它们之间是否有关系式存在,更重要的是看对于x的每一个确定的值,y是否有唯一确定的值和其对应.

      ②函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.

       知识3 函数自变量的取值范围(重点)

      知识3 函数自变量的取值范围(重点)

      函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体.

      温馨提示 ①求自变量的取值范围通常从两个方面考虑:一是要使函数的解析式有意义;二是符合客观实际.

      ②自变量的取值范围有无限的、也有有限的,还有单独一个(或几个)数的;在一个函数关系式中,同时有几个代数式,函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量取值范围的公共部分.

      page0172
       知识4 函数值

      知识4 函数值

      函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时,函数与之对应的唯一确定的值.如当x=a时,函数有唯一确定的对应值,这个值就是当x=a时的函数值.

      温馨提示 ①当函数是由一个解析式表示时,欲求函数值,实质就是求代数式的值.

      ②当已知函数解析式,又给出函数值,欲求相应的自变量的值时,实质就是解方程.

      ③当给定函数值的一个取值范围,欲求相应的自变量的取值范围时,实质就是解不等式.

      ④当自变量确定时,函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时,对应的自变量可以是多个,如y=x^(2)-1中,当y=3时,x=±2.

       知识5 函数解析式

      知识5 函数解析式

      用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.

      温馨提示 ①确定实际问题中的函数解析式与列方程解应用题类似,设x是自变量,y是x的函数,先列出关于x,y的二元方程,再用含x的代数式表示y,最后写出自变量x的取值范围.

      ②在确定实际问题的函数解析式时,不要忽略自变量的取值范围.

       知识6 函数的表示方法

      知识6 函数的表示方法

      1.图象法

      对于一个函数,如果把自变量和因变量的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点,则这些点所组成的图形,就是这个函数的图象.用这种方法来表示函数关系的方法叫做图象法.

      其优点是:形象直观,通过函数的图象,可以直接、形象地把函数关系表示出来,能够直观地研究函数的一些性质,如函数有无最大值(或最小值)、函数值是随自变量的增大而增大,还是随自变量的增大而减小等,函数的图象是研究函数及其性质的有利工具.

      缺点是:由图象观察只能得到近似的数量关系.

      2.列表法

      把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法称之为列表法.

      其优点是:列表法一目了然,表格中已有的自变量的每一个值,不需计算就可以直接查到与它对应的函数值,使用起来很方便.

      缺点是:列表有局限性,因为列出的对应值是有限的,而且在表格中也不容易看出自变量与函数的对应关系.

      3.解析式法

      两个变量之间的关系,有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式来表示,这种表示方法叫做解析式法.

      其优点是:简单明了,能准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系.

      缺点是:求对应值时,往往要经过比较复杂的计算,而且实际问题中有的函数关系不一定能用解析式表示出来.

      温馨提示 ①在解决问题时,我们常常综合运用三种方法来表示函数.

      ②函数的表示法共有三种:列表法,解析式法和图象法.它们分别从数和形的角度反映了函数的本质,它们各有各的优缺点,且一些函数的三种表示法之间是可以相互转化的.

      page0173
       知识7 函数的图象(重点)

      知识7 函数的图象(重点)

      1.函数的图象

      对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标,在平面直角坐标系内由这些点所组成的图形,就是这个对函数的图象.

      2.画函数图象的一般步骤

      (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值.

      (2)描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内找出相应的点.

      (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来.

      温馨提示 ①列表法要根据自变量的取值范围取值,从小到大或自中间向两边选取,取值要有代表性,尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌.

      ②描点时要以表中每对对应值为坐标,点取得越多,图象越准确.

      ③连线时要用平滑的曲线把所描的点从左到右顺次连接起来.函数的图象可以是直线或射线或曲线等,它形象直观地反映两个变量之间的对应关系.

      3.函数图象上的点的坐标与其表达式之间的关系

      (1)由函数图象的定义可知,图象上任意一点P(x,y)中的x,y是表达式方程中的一组解,反之以表达式方程的任意一组解为坐标的点一定在函数图象上.

      (2)通常判断点是否在函数图象上的方法是将这个点的坐标代入函数解析式,若满足函数解析式,则这个点就在其函数的图象上;反之也成立.

      (3)两个函数图象的交点,就是这两个函数解析式所组成的方程组的解,即求交点坐标,就是解方程组.

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      方法清单

      ·方法1 函数的识别方法

      ·方法2 自变量取值范围的确定方法

      ·方法3 确定函数解析式的方法

      ·方法4 函数图象的应用方法

      ·方法5 利用函数图象正确描述实际问题的方法

      ·方法6 运用函数的图象特征解决问题的方法

      ·方法7 分段函数的应用方法

       方法1 函数的识别方法

      方法1 函数的识别方法

      对于函数的定义,其中两个变量是前提,它们的对应关系是基础,必须明确:两个变量之间的对应关系,即一个自变量值对应一个函数值,也可以是两个不同的自变量值对应一个函数值,但绝不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值,此处需要同学们仔细体会.

       方法2 自变量取值范围的确定方法

      方法2 自变量取值范围的确定方法

      对函数关系进行分析时,对于解析式为含有变量的整式、分式或者根式的函数,其自变量范围一般有所限制.如:当解析式是整式或奇次根式时,自变量可取全体实数;当解析式为偶次根式时,自变量取使被开方式的值为非负式的实数;当解析式为分式时,自变量取使分母不为零的实数;当解析式为一个实际问题的关系式时,自变量应取使实际问题有存在意义的值.解关于几何问题的关系式时要符合几何意义.

       方法3 确定函数解析式的方法

      方法3 确定函数解析式的方法

      具体地说,确定函数解析式和列一元一次方程解决实际问题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.

       方法4 函数图象的应用方法

      方法4 函数图象的应用方法

      图象信息应用广泛,观察函数图象,弄清横轴,纵轴的意义,正确理解函数图象所反映的信息是解决实际问题的关键.

      page0175
       方法5 利用函数图象正确描述实际问题的方法

      方法5 利用函数图象正确描述实际问题的方法

      对已知的函数图象,要弄清楚函数图象上点的意义,对于实际问题,要正确分清图象的横、纵坐标表示的意义,以及横、纵坐标的单位,图象的变化趋势等,从而表达出所反映的实际意义.

       方法6 运用函数的图象特征解决问题的方法

      方法6 运用函数的图象特征解决问题的方法

      (1)由函数图象的定义可知图象上任意一点P(x,y)中的坐标值x是解析式方程的一个解,反之,以解析式方程的任意一解为横坐标的点一定在函数的图象上.

      (2)注意方程与函数的结合,抓住方程(方程的解)——点的坐标——函数图象与性质这个联系,综合数学知识,用数形结合法来解题.

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       方法7 分段函数的应用方法

      方法7 分段函数的应用方法

      自变量在不同的范围内取值时,函数y和x有不同的对应关系,这种函数称为分段函数,解决分段函数的有关问题时,关键是弄清自变量的取值范围,选择合适的解析式解决问题.

      17.2 一次函数的有关概念

      知识清单

      ·知识1 正比例函数

      ·知识2 一次函数

      ·知识3 一次函数的一般形式

      ·知识4 待定系数法(重点)

       知识1 正比例函数

      知识1 正比例函数

      一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.例如y=1/3x,y=-3x等都是正比例函数.

      温馨提示 ①正比例函数是特殊的一次函数.

      ②正比例函数解析式y=kx的结构特征:a.k≠0,b.x的次数是1.

      ③一般情况下,正比例函数的取值范围是全体实数,

       知识2 一次函数

      知识2 一次函数

      一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.如y=2x-1,y=1/2x等都是一次函数.

      特别地,当一次函数y=kx+b中的b为0时,y=kx(k为常数,k≠0).这时,y叫做x的正比例函数.

      温馨提示 ①正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.

      page0177

      ②一般情况下,一次函数的自变量的取值范围是全体实数.

      ③如果一个函数是一次函数,则含有自变量x的式子是一次的,系数k不等于0,而b可以为任意实数.

       知识3 一次函数的一般形式

      知识3 一次函数的一般形式

      一次函数的一般形式为y=kx+b,其中k,b为常数,k≠0.

      一次函数的一般形式的结构特征:

      (1)k≠0,(2)x的次数是1,(3)常数b可以为任意实数.

      温馨提示 ①判断一个函数是否是一次函数,就是判断它是否能化成y=kx+b(k≠0)的形式.

      ②当k≠0,b=0时,这个函数既是一次函数,又是正比例函数.

      ③当k=0,b≠0时,这个函数不是一次函数.

      ④一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.

       知识4 待定系数法(重点)

      知识4 待定系数法(重点)

      先设出式子中的未知系数,再根据已知条件列出方程(组)求出未知系数,从而写出这个式子的方法叫做待定系数法.其中的未知系数也称为待定系数.如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待定系数.

      1.待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤

      (1)设出含有待定系数的函数的解析式y=kx(k≠0).

      (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k的一元一次方程.

      (3)解方程,求出待定系数k.

      (4)将求得的待定系数k的值代入解析式.

      方法清单

      ·方法1 一次函数的判别方法

      ·方法2 解成正比例关系问题的方法

      ·方法3 一次函数解析式的确定方法

       方法1 一次函数的判别方法

      方法1 一次函数的判别方法

      要判断一个函数是否为一次函数,就要先将式子进行变形,看它能否化成y=kx+b(k≠0)的形式,即x的指数为1,x的系数k≠0,b为任意常数,若符合上述条件,则为一次函数.且当b=0时,这个函数既是一次函数,又是正比例函数.

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       方法2 解成正比例关系问题的方法

      方法2 解成正比例关系问题的方法

      两个变量y与x成正比例,则应满足y=kx(k≠0)的形式,这里的y与x可以表示任意整式.

       方法3 一次函数解析式的确定方法

      方法3 一次函数解析式的确定方法

      (1)待定系数法:就是先设一次函数解析式是y=kx+b(k≠0),利用已知条件列出方程组,通过解方程组确定k、b的值,最后确定解析式.

      (2)对于几何图形中的两个变量的关系,要能够结合几何图形的性质确定两个变量的关系,然后用一个变量表示出另一个变量,并注意自变量的取值范围.

      (3)对于实际问题中的两个量之间的关系,要分析各个量之间存在的数量关系,并能正确用含一个量的代数式表示另一个量,同时注意自变量的取值范围.

      17.3 一次函数的图象与性质

      知识清单

      ·知识1 正比例函数的图象特征与性质

      ·知识2 一次函数的图象特征与性质

      ·知识3 k,b的符号与直线y=kx+b的关系

      ·知识4 一次函数图象的平移

      ·知识5 一次函数与正比例函数的区别与联系

       知识1 正比例函数的图象特征与性质

      知识1 正比例函数的图象特征与性质

      正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线.

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      k的符号 函数图象 图象的位置 性质
      k>0 图象过第一、三象限 y随x的增大而增大
      k<0 图象过第二、四象限 y随x的增大而减小

      温馨提示 ①通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象时只需取一点(1,k),然后过原点和这一点画直线.

      ②当k>0时,函数y=kx(k≠0)的图象从左向右,呈上升趋势;当k<0时,函数y=kx(k≠0)的图象从左向右,呈下降趋势.

      ③正比例函数y=kx中,|k|越大,直线y=kx越靠近y轴;|k|越小,直线y=kx越靠近x轴.

       知识2 一次函数的图象特征与性质

      知识2 一次函数的图象特征与性质

      一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,通常也称为直线y=kx+b.一方面,一次函数y=kx+b的图象可以用描点法画出;另一方面,由于两点确定一条直线,故画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线就可以了,为了方便常用图象与坐标轴的两个交点(0,b)和(-b/k,0)来画图象.

      一次函数的性质

      k、b的符号 函数图象 图象的位置 性质
      k>0 b>0 图象过第一、二、三象限 y随x的增大而增大
      b<0 图象过第一、三、四象限
      k<0 b>0 图象过第一、二、四象限 y随x的增大而减小
      b<0 图象过第二、三、四象限

      温馨提示 ①直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的,其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是呈下降趋势;b决定直线与y轴交点的位置,是在y轴的正半轴上还是在y轴的负半轴上,还是原点.k与b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置.

      ②y随x的增大而增大,还是y随x的增大而减小,只取决于k的符号,与b无关.

      ③一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量x的取值范围是全体实数.图象是一条直线,因此没有最大值与最小值.但由实际问题得到的一次函数解析式,自变量的取值范围一般受到限制,则图象为线段或射线,根据函数的性质,就存在最大值或最小值.

       知识3 k,b的符号与直线y=kx+b的关系
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      知识3 k,b的符号与直线y=kx+b的关系

      在直线y=kx+b(k≠0)中,令y=0,则x=-b/k,即直线y=kx+b与x轴交于(-b/k,0).

      ①当-b/k>0,即k,b异号时,直线与x轴交于正半轴.

      ②当-b/k=0,即b=0时,直线经过原点.

      ③当-b/k<0,即k,b同号时,直线与x轴交于负半轴.

      温馨提示 ①直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点为(-b/k,0),与y轴交点为(0,b),且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积S=1/2·|-b/k|·|b|.

      ②两直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系:

      a.当k1=k2,b1≠b2时,两直线平行;

      b.当k1=k2,b1=b2时,两直线重合;

      c.当k1≠k2,b1=b2时,两直线交于y轴上一点;

      d.当k1·k2=-1时,两直线垂直.

       知识4 一次函数图象的平移

      知识4 一次函数图象的平移

      直线y=kx+b(k≠0,b≠0)可由直线y=kx(k≠0)向上或向下平移得到,当b>0时,将直线y=kx沿y轴向上平移b个单位长度得到直线y=kx+b;当b<0时,将直线y=kx沿y轴向下平移|b|个单位长度,得到直线y=kx+b.

      温馨提示 ①对于直线y=k1x+b1与y=k2x+b2,如果k1=k2,且b1≠b2,那么这两条直线平行,显然这两条直线可通过平移互换位置.

      ②一次函数y=kx+b沿着y轴向上(+)、下(-)平移m(m>0)个单位得到一次函数y=kx+b±m;一次函数y=kx+b沿着x轴向左(+)、右(-)平移n(n>0)个单位得到一次函数y=k(x±n)+b.一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的.只不过是一种情况,两种表示方式.

       知识5 一次函数与正比例函数的区别与联系

      知识5 一次函数与正比例函数的区别与联系

      正比例函数 一次函数
      区别 一般形式 y=kx(k是常数,且k≠0) y=kx+b(k,b是常数,且k≠0))
      图象 经过原点的直线 直线
      k,b符号的作用 k的符号决定其增减性,同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性;
      b的符号决定直线与y轴的交点位置;
      k,b的符号共同决定直线经过的象限
      求解析式的条件 只需要一对x,y的对应值或一个点的坐标 需要两对x,y的对应值或两个点的坐标
      联系 ①正比例函数是特殊的一次函数.
      ②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样,都是过两点画直线,但画一次函数的图象需取两个不同的点,而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可.
      ③一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以看作是正比例函数y=kx(k≠0)的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.由此可知直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)平行.
      ④一次函数与正比例函数有着共同的性质:a.当k0时,y的值随x值的增大而增大;b.当k<0时,y的值随x值的增大而减小
      page0181

      方法清单

      ·方法1 一次函数的图象与性质的应用方法

      ·方法2 由k,b的值确定直线的位置及增减性的方法

      ·方法3 一次函数的平移规律的应用方法

      ·方法4 计算与坐标轴围成的三角形的面积的方法

      ·方法5 利用一次函数图象解决实际问题的方法

      ·方法6 一次函数的交点坐标的实际应用方法

       方法1 一次函数的图象与性质的应用方法

      方法1 一次函数的图象与性质的应用方法

      (1)从函数图象的形状可以判断函数的类型.对于实际问题中的正比例函数和一次函数的图象,大多为线段或射线,因为在实际问题中,自变量的取值范围是有一定限制的,即自变量的取值范围必须使实际问题有意义.

      (2)一次函数y=kx+b(k≠0)的性质主要是指函数的增减性,即y随x的变化情况,它只和k的符号有关,与b的符号无关.k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小.反之,若y随x的增大而增大,则必有k>0;若y随x的增大而减小,则必有k<0.

       方法2 由k,b的值确定直线的位置及增减性的方法

      方法2 由k,b的值确定直线的位置及增减性的方法

      直线y=kx+b(k≠0)中,k和b决定着直线的位置及增减性,当k>0时,y随x的增大而增大,此时若b>0,则直线y=kx+b经过第一、二、三象限;若b=0,则直线y=kx+b经过原点及第一、三象限;若b<0,则直线y=kx+b经过第一、三、四象限.当k<0时,y随x的增大而减小,此时若b>0,则直线y=kx+b经过第一、二、四象限;若b=0时,则直线y=kx+b经过原点及第二、四象限;若b<0,则直线y=kx+b经过第二、三、四象限.

       方法3 一次函数的平移规律的应用方法

      方法3 一次函数的平移规律的应用方法

      根据平移规律可得:将y=kx向上或向下平移|b|个单位就得到直线y=kx±b,若将y=kx向左平移m(m>0)个单位,得到直线y=k(x+m),即y=kx+km.若将y=kx向右平移m个单位(m>0),得到直线y=k(x-m),即y=kx-km,遵循这一规律就可直接求出所求直线方程了.

       方法4 计算与坐标轴围成的三角形的面积的方法

      方法4 计算与坐标轴围成的三角形的面积的方法

      这一类问题主要考查在给定一次函数解析式或者一次函数图象的前提下,求图象与坐标轴围成的三角形的面积.在这类问题中,可直接应用三角形顶点坐标求面积.

      page0182
       方法5 利用一次函数图象解决实际问题的方法

      方法5 利用一次函数图象解决实际问题的方法

      把实际问题转化为一次函数图象问题,是近年中考的热点.要求学生结合具体情境体会一次函数的意义,并从不同角度深刻体会对函数意义的考查,体现了数学的价值.

       方法6 一次函数的交点坐标的实际应用方法

      方法6 一次函数的交点坐标的实际应用方法

      一次函数的交点坐标的实际应用问题实质是方程思想在函数中的具体体现,而一次函数的交点坐标就是两个一次函数联立形成的二元一次方程组的解.一次函数的交点坐标的实际意义往往是解决问题的关键点.

      page0183

      17.4 用函数观点看方程(组)与不等式

      知识清单

      ·知识1 一次函数与一元一次方程

      ·知识2 一次函数与二元一次方程组

      ·知识3 一次函数与一元一次不等式

       知识1 一次函数与一元一次方程

      知识1 一次函数与一元一次方程

      任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k,b是常数,且k≠0)的形式.

      从函数值的角度来看,解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0;从函数图象的角度考虑,解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标.

      温馨提示 ①从函数值的角度看,可令y=0得方程kx+b=0,解方程得x=-b/k.

      ②从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴交点的横坐标.如解2x+6=0时,可以看成是求直线y=2x+6与x轴交点的横坐标.因为直线y=2x+6与x轴的交点为(-3,0),所以方程2x+6=0的解就是x=-3.

       知识2 一次函数与二元一次方程组

      知识2 一次函数与二元一次方程组

      一般地,二元一次方程mx+ny=p(m,n,p是常数,且m≠0,n≠0)都能写成y=ax+b的形式.因此,一个二元一次方程对应一个一次函数,又因为一个一次函数对应一条直线,所以一个二元一次方程也对应一条直线.进一步可知,一个二元一次方程组对应两个一次函数,因而也对应两条直线.

      从数的角度看,解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这两个函数值是何值;从形的角度看,解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标.一般地,如果一个二元一次方程组有唯一解,那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.二元一次方程组的图象解法就是依据这样的道理.

      温馨提示 ①二元一次方程组的图象解法:画出两个一次函数的图象,找出它们的交点的坐标,即得相应的二元一次方程组的解,这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图象解法.

      ②联立两个一次函数的解析式,构建二元一次方程组,通过解方程组,即可确定两条直线的交点坐标.

       知识3 一次函数与一元一次不等式

      知识3 一次函数与一元一次不等式

      任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0(或ax+b<0)(a,b是常数,且a≠0)的形式,不等式的左边与一次函数y=ax+b的右边一致.

      从函数值的角度看,解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=ax+b在x轴上(或下)方部分所有点的横坐标.

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      温馨提示 ①转化思想:把解一元一次不等式问题转化为一次函数的图象问题来解决.

      ②当一次函数y=kx+b(k≠0)中y>0(或y<0)时,它就变成了一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0). kx+b>0的解集是一次函数的函数值为正值时自变量的取值范围,对应函数的图象在x轴的上方;kx+b<0的解集是一次函数的函数值为负值时自变量的取值范围,对应函数的图象在x轴的下方.

       方法 利用一次函数求解方程(组)或不等式(组)的方法

      方法清单

      方法 利用一次函数求解方程(组)或不等式(组)的方法

      函数、方程和不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型.刻画运动的变化规律需要用函数模型;刻画变化过程中的同类量之间的大小需要用不等式模型;刻画运动变化过程中某一瞬间需要用方程模型.函数、方程和不等式是紧密联系着的一个整体,它们之间相互联系相互渗透,其相互渗透可以体现在利用一次函数图象解不等式、求二元一次方程组的近似解.

      (1)关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.

      (2)关于x的一元一次不等式kx+b>0(<0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点,x轴上(下)方的图象所对应的x值.

      (3)关于x、y的二元一次方程组的解是直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标.

      page0185

      单元总结

      一次函数问题是中考的必考问题,一次函数应用题,因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容,能实现数与形有机结合,能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法,并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值,近年来一直是中考命题的热点.

      一次函数应用题考查的最主要考点集中在四个方面:(1)学生对数形结合的认识和理解;(2)将实际问题转化为一次函数的能力,即数学建模能力;(3)分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法;(4)对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力.

      一次函数试题的命题形式多样,从近几年的中考题来看,可以大致归为以下几类:(1)方案设计问题(物资调配、方案比较);(2)分段函数问题(分段价格、几何动点);(3)一次函数多种变化及其最值问题.

       1.数形结合思想

      1.数形结合思想

      数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合思想在解决与一次函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.

       2.转化的思想

      2.转化的思想

      在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小,是利用一次函数解决问题的典型题目,它的实质是将比较函数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题加以解决.

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       3.利用一次函数最值解决最优化问题的方法

      3.利用一次函数最值解决最优化问题的方法

      最值问题是中考中的热点与难点问题.我们知道,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中的自变量x的取值范围是全体实数,其图象是二条直线,所以函数既没有最大值,也没有最小值,但由于在实际问题中,所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制,其图象为线段或射线,故其就有了最值.在求函数的最值时,我们应先求出函数的表达式,并确定其增减性,再根据题目条件确定出自变量的取值范围,然后结合增减性确定出最大值或最小值.

       4.构造一次函数模型解决动态几何问题的方法

      4.构造一次函数模型解决动态几何问题的方法

      在图形运动变化过程中,往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化,有些问题能够用一次函数来综合解决图形运动的变化规律,解决动态几何问题,要动中有静、动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力、综合分析能力.

       知识1 多边形及其组成要素

      第18章 四边形与多边形

      page0187

      18.1 多边形的有关概念和性质

      知识清单

      ·知识1 多边形及其组成要素

      ·知识2 多边形的外角

      ·知识3 多边形的对角线

      ·知识4 正多边形

      ·知识5 凸多边形

      ·知识6 多边形的内角和定理(重点)

      ·知识7 多边形的外角和定理(重点)

      ·知识8 镶嵌

      ·知识9 镶嵌的成立条件

      知识1 多边形及其组成要素

      在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

      如果一个多边形由n(n是大于或等于3的自然数)条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形,如三角形,四边形,五边形,…,三角形是最简单的多边形.

      温馨提示 ①多边形是由同一平面内若干条不在同一直线上的线段组成的.

      ②多边形是平面内的一些线段首尾顺次相连形成的封闭图形.

      ③多边形的边数、顶点数及角的个数相等.

      多边形的组成要素

      1.多边形的边

      组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

      2.多边形的顶点

      每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.

      3.多边形的对角线

      在多边形中,连接不相邻两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.

      4.多边形的内角

      多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.

       知识2 多边形的外角

      知识2 多边形的外角

      多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

      温馨提示 ①一个多边形中每个角都可以有两个外角,所以n边形有2n个外角.

      ②多边形的外角与不相邻的内角的关系与三角形的不同.

       知识3 多边形的对角线

      知识3 多边形的对角线

      连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.

      多边形的对角线的条数:从n边形的一个顶点,可以引(n-3)条对角线,n边形共有n(n-3)/2条对角线.

      温馨提示 ①三角形没有对角线.

      ②把多边形转化成三角形求解的常用方法是连接对角线.

       知识4 正多边形

      知识4 正多边形

      各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须同时满足两个条件:

      (1)各边都相等;(2)各内角也相等.

      如图是正多边形的一些例子

      正三角形

      正方形

      正五边形

      正六边形

      温馨提示 ①各边都相等的多边形不一定是正多边形,因为它的内角不一定都相等.如:菱形的各边相等,但它的内角不都相等.

      ②一个多边形的内角都相等,它也不一定是正多边形,因为它的边不一定都相等.如:长方形的内角都是直角,但它的边不都相等.

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       知识5 凸多边形

      知识5 凸多边形

      多边形分为凸多边形和凹多边形,如图(1),画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画出CD所在的直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形.我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.

      温馨提示 凸多边形的每一个内角都大于0°,小于180°.

       知识6 多边形的内角和定理(重点)

      知识6 多边形的内角和定理(重点)

      1.多边形的内角和定理

      n边形的内角和等于(n-2)·180°.

      2.多边形内角和定理的证明方法

      证明多边形的内角和定理,一般是将多边形的所有内角通过作辅助线的方法转化为一些三角形的内角.

      (1)如图①所示,在n边形内任取一点,并把这个点与各顶点连接起来,共构成n个三角形,这n个三角形的内角和为n·180°,再减去一个周角,即得到多边形的内角和为(n-2)·180°.

      (2)如图②所示,过n边形的一个顶点作对角线,可以将n边形分成(n-2)个三角形,这(n-2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和,等于(n-2)·180°.

      (3)如图③所示,在n边形的一边上取一点与各顶点相连,得(n-1)个三角形,n边形内角和等于这(n-1)个三角形的内角和减去在所取的一点处的一个平角,即(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°.

       知识7 多边形的外角和定理(重点)

      知识7 多边形的外角和定理(重点)

      1.多边形的外角和

      在多边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做多边形的外角和.

      2.多边形外角和定理

      多边形的外角和等于360°.

      3.多边形外角和定理的证明

      方法一:多边形的每个内角和与它相邻的外角是邻补角,所以n边形内角和加外角和等于n·180°,外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°,如图①.

      方法二:过平面内一点O分别作与多边形各边平行的射线OA′,OB′,OC′,OD′,OE′,…,得到∠α,∠β,∠γ,∠δ,∠θ,…,其中,∠α=∠1,∠β=∠2,∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5,….

      ∠α,∠β,∠γ,∠δ,∠θ,…,恰好组成一个周角,所以多边形的外角和等于360°,如图②.

      温馨提示 多边形的外角和恒等于360°,与边数无关.

       知识8 镶嵌

      知识8 镶嵌

      用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,叫做平面图形的镶嵌,又称作平面图形的密铺.

      能够镶嵌的同一种图形有三角形、四边形、正六边形.

       知识9 镶嵌的成立条件

      知识9 镶嵌的成立条件

      实现镶嵌的条件:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于360°.

      1.用正多边形镶嵌

      在正多边形中,若一个正多边形的顶点落在另一个正多边形的边上,这种情况比较简单,我们不作讨论.限定镶嵌的正多边形的顶点不落在另一个正多边形的边上.这个镶嵌的限定即指选用的正多边形无论什么形状,它们在镶嵌时,只能边与边重合,因而,实际上有三条限制:边长都要相等;顶点公共;在一个顶点处各正多边形的内角的和为360°.这三条限制是正多边形镶嵌的一个基本依据.

      (1)用同一种正多边形镶嵌

      设由k个正n边形在同一顶点镶嵌成平面,则有

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      =360°,

      ∴(n-2)(k-2)=4.

      ∴用3个正六边形或4个正方形或6个正三角形可在同一顶点处镶嵌成平面.

      (2)用两种正多边形镶嵌

      ①正三角形与正方形

      设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正方形的角,则

      m·60°+n·90°=360°,

      即2m+3n=12.解得

      ∴用正三角形与正方形镶嵌平面,一个顶点处需3个正三角形,2个正方形.

      ②正三角形和正六边形

      设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正六边形的角,则有m·60°+120°·n=360°,即m+2n=6.解得

      ∴用正三角形和正六边形镶嵌平面有两种方案:一是一个顶点处有4个正三角形和1个正六边形;二是一个顶点处有2个正三角形和2个正六边形.

      2.用一般凸多边形镶嵌

      用同一种三角形可以镶嵌.三角形的内角和是180°,一般地,用6个同一种三角形就可以在同一顶点处不重叠、无缝隙地镶嵌.

      用同一种四边形也能镶嵌.四边形内角和是360°,用4个同一种四边形就可以在同一顶点处不重叠、无缝隙地镶嵌.

      如图所示,一批形状、大小完全相同,但不规则的四边形涂料,也可按图拼接,使地板平整、无空隙,此时α+β+γ+δ=360°.

      方法清单

      ·方法1 多边形对角线的条数的计算方法

      ·方法2 利用多边形的内角和、外角和进行边数计算的方法

      ·方法3 多边形内角和的应用方法

      ·方法4 正多边形的外角和的应用方法

      ·方法5 利用逼近法确定多边形边数的方法

      ·方法6 正多边形的镶嵌问题的解题方法

       方法1 多边形对角线的条数的计算方法

      方法1 多边形对角线的条数的计算方法

      n边形有条对角线,利用这个规律可以在已知多边形边数时求对角线条数,也可以利用对角线条数求多边形的边数.

       方法2 利用多边形的内角和、外角和进行边数计算的方法

      方法2 利用多边形的内角和、外角和进行边数计算的方法

      求多边形的边数有下面两种方法:

      (1)多边形的内角和可以表示为(n-2)·180°的形式,根据已知条件表示出有关内角的表达式,可以列出方程求解.

      (2)若已知数据很容易求得每个外角的度数,再利用多边形的外角和为360°,可求边数.

       方法3 多边形内角和的应用方法

      方法3 多边形内角和的应用方法

      n边形内角和为(n-2)·180°,也就是说n边形的内角和是180°的正整数倍.

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       方法4 正多边形的外角和的应用方法

      方法4 正多边形的外角和的应用方法

      每个角都相等,且边长相等,这样的多边形是正多边形.利用正多边形的外角和始终等于360°这一性质,用360°除以一个外角的度数,就得到了正多边形的边数.

       方法5 利用逼近法确定多边形边数的方法

      方法5 利用逼近法确定多边形边数的方法

      多边形边数为自然数而内角和只与边数有关,无论多了一个角,还是少了一个角,都可以用逼近法去求解.

       方法6 正多边形的镶嵌问题的解题方法

      方法6 正多边形的镶嵌问题的解题方法

      (1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,最直接的方法是用360°除以这个正多边形的内角,若能整除,则这个多边形能进行平面镶嵌.

      (2)要判断用不同种正多边形能否进行平面镶嵌,可以先分别求出这些正多边形的每个内角的度数,然后判断这些内角的度数组合能否得到360°.

      18.2 四边形的有关概念和性质

      知识清单

      ·知识1 四边形及表示方法

      ·知识2 四边形的组成要素

      ·知识3 四边形的内角和、外角和定理

      ·知识4 四边形的不稳定性

       知识1 四边形及表示方法

      知识1 四边形及表示方法

      1.四边形的定义

      在平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形,叫做四边形.

      温馨提示 ①四边形由不在同一直线上的四条线段组成.

      ②四条线段必须首尾顺次相接形成一个封闭图形.

      ③如果没有特殊说明,我们平时所说的四边形都是凸四边形.

      2.四边形的表示方法

      四边形用表示它各个顶点的字母来表示.如图,四边形的四个顶点分别为A,B,C,D,这个四边形就记作四边形ABCD.

      page0191

      温馨提示 表示四边形必须按顶点的一定顺序(顺时针或逆时针)书写.

       知识2 四边形的组成要素

      知识2 四边形的组成要素

      1.四边形的边

      组成四边形的各条线段叫做四边形的边.

      2.四边形的顶点

      相邻两条边的公共端点叫做四边形的顶点.

      3.四边形的对角线

      连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线.

      4.四边形的内角

      四边形相邻两边所组成的角叫做四边形的内角,简称四边形的角.

      5.四边形的外角

      四边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做四边形的外角.

      温馨提示 四边形的外角和与它相邻的内角互为邻补角.四边形共有8个外角.

       知识3 四边形的内角和、外角和定理

      知识3 四边形的内角和、外角和定理

      四边形的内角和等于360°;四边形的外角和等于360°.

      温馨提示 ①四边形的内角和、外角和相等.

      ②本定理是求四边形内、外角的重要依据,常用本定理列方程,用代数的方法解决问题.

      ③四边形的角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角,可以没有钝角、没有直角、没有锐角.

       知识4 四边形的不稳定性

      知识4 四边形的不稳定性

      三角形的三边确定后,它的大小、形状就确定了,这是三角形的稳定性.但是,四边形的四边确定后,它的形状不能确定,这就是四边形的不稳定性.

      方法清单

      ·方法1 利用四边形内角和定理进行角度计算的方法 ·方法2 利用四边形外角和定理进行角度计算的方法

       方法1 利用四边形内角和定理进行角度计算的方法

      方法1 利用四边形内角和定理进行角度计算的方法

      page0192
       方法2 利用四边形外角和定理进行角度计算的方法

      方法2 利用四边形外角和定理进行角度计算的方法

      18.3 梯形

      知识清单

      ·知识1 梯形

      ·知识2 梯形的分类

      ·知识3 等腰梯形及其性质

      ·知识4 等腰梯形的判定

       知识1 梯形

      知识1 梯形

      一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

      温馨提示 梯形的定义易忽略另一组对边不平行这个条件.

       知识2 梯形的分类

      知识2 梯形的分类

      (1)直角梯形:有一个角是直角的梯形.

      (2)等腰梯形:两腰相等的梯形.

      梯形 一般梯形
      特殊梯形:
      直角梯形
      等腰梯形

      梯形

      等腰梯形

      直角梯形

      温馨提示 ①等腰梯形平行的两边不能相等,如果相等,就成了平行四边形.

      ②直角梯形不能有三个角或四个角是直角,否则就成了矩形.

       知识3 等腰梯形及其性质

      知识3 等腰梯形及其性质

      两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

      等腰梯形的性质:

      (1)两底平行,两腰相等.

      (2)等腰梯形同一底边上的两个角相等.

      (3)等腰梯形的两条对角线相等.

      (4)等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,底边的垂直平分线是它的对称轴.两腰延长线的交点、对角线的交点都在对称轴上.

      温馨提示 ①等腰梯形同一底边上的两个角相等,不能说成:等腰梯形两底上的角相等.

      ②等腰梯形同一底边上的两个角既可能是下底上的两个角,也可能是上底上的两个角.

      ③对角线相等是等腰梯形特有的性质,一般梯形不具有这一特征.

      page0193
       知识4 等腰梯形的判定

      知识4 等腰梯形的判定

      (1)等腰梯形的定义.

      (2)对角线相等的梯形是等腰梯形.

      (3)在同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

      温馨提示 ①判断一个四边形是梯形,必须同时满足两个条件,即一组对边平行,另一组对边不平行,二者缺一不可.

      ②判断一个梯形是等腰梯形,必须先判定四边形是梯形,再证明同一底边上的两个角相等或两腰相等或两条对角线相等.

      ③证明四边形是梯形时,一定要考虑平行边不相等.

      方法清单

      ·方法1 梯形中常见辅助线的作法

      ·方法2 梯形面积的求法

      ·方法3 等腰梯形性质的应用方法

       方法1 梯形中常见辅助线的作法

      方法1 梯形中常见辅助线的作法

      要解决梯形问题,通常添加辅助线将其转化为平行四边形与三角形的组合图形,再运用相关知识加以解决.添加辅助线的方法:

      作高:使两腰在两个直角三角形中,如图①

      平移对角线:使两条对角线在同一个三角形中,如图②

      延长两腰:构造具有公共角的两个三角形,如图③

      等积变形:连接梯形一腰的端点和另一腰中点并延长,与底边的延长线交于一点,构成三角形,如图④

      平移腰:过上底端点作一腰的平行线,构造一个平行四边形和一个三角形,如图⑤

      过上底中点平移两腰:过上底中点作两腰的平行线,构造两个平行四边形和一个三角形,如图⑥.

      page0194
       方法2 梯形面积的求法

      方法2 梯形面积的求法

      求梯形的面积除用梯形的面积公式外,常常作辅助线转化为三角形和平行四边形的面积和来解决.

       方法3 等腰梯形性质的应用方法

      方法3 等腰梯形性质的应用方法

      等腰梯形是轴对称图形,在计算等腰梯形的有关量时,常要从上底的两个端点作下底的垂线,从而产生一个矩形和两个全等的直角三角形,然后我们就可以根据等腰梯形的对称性、矩形的性质以及全等的直角三角形的性质解决问题.

      18.4 中位线

      知识清单

      ·知识1 平行线等分线段定理

      ·知识2 三角形的中位线

      ·知识3 三角形中位线定理(重点)

      ·知识4 中点四边形

       知识1 平行线等分线段定理

      知识1 平行线等分线段定理

      如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.

      几何表示:

      如图,因为a∥b∥c,AB=BC,所以DE=EF.

       知识2 三角形的中位线

      知识2 三角形的中位线

      连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

      如图,点D、E分别为AB、AC的中点,则线段DE为

      △ABC的中位线.

      温馨提示 ①三角形有三条中位线.

      ②不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆,应从它们的定义加以区别.

       知识3 三角形中位线定理(重点)

      知识3 三角形中位线定理(重点)

      三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

      page0195

      几何表示:

      如图,因为线段DE为△ABC的中位线,所以DE∥BC,且DE=1/2BC.

      温馨提示 ①三角形中位线定理的作用:可以证明两条直线平行;可以证明一条线段与另一条线段的倍分关系.

      ②三角形三条中位线把原三角形分成四个全等的三角形.

      ③在解题过程中,如果出现多条线段的中点,常借助辅助线构造三角形的中位线,使解题简便.

       知识4 中点四边形

      知识4 中点四边形

      顺次连接四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形.

      如图,点E、F、G、H分别为四边形ABCD的各边中点,则四边形EFGH为中点四边形.

      温馨提示 ①中点四边形一定是平行四边形.

      ②连接对角线相等的四边形的各边中点所得的中点四边形是菱形(如:连接矩形各边中点所得的中点四边形为菱形).

      ③连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的中点四边形是矩形(如:连接菱形各边中点所得的中点四边形为矩形).

      ④中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.

      方法清单

      ·方法1 利用三角形中位线进行计算的方法

      ·方法2 利用三角形中位线证明线段平行的方法

      ·方法3 与中点四边形相关的解题方法

       方法1 利用三角形中位线进行计算的方法

      方法1 利用三角形中位线进行计算的方法

      三角形中位线的性质为我们证明两线段的位置和数量关系提供了一个重要的依据,当题目中遇到中点问题时,常作出三角形的中位线.

      page0196
       方法2 利用三角形中位线证明线段平行的方法

      方法2 利用三角形中位线证明线段平行的方法

      当已知三角形一边中点时,可以设法找出另一边的中点,构造三角形中位线,进一步可以利用其证明线段平行或倍分问题.

       方法3 与中点四边形相关的解题方法

      方法3 与中点四边形相关的解题方法

      识别中点四边形的关键在于原四边形的对角线的位置关系和数量关系.显然从已知条件入手着重分析、探索原四边形的对角线的特点是解决问题的切入点.

       知识1 平行四边形

      第19章 平行四边形及特殊的平行四边形

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      19.1 平行四边形的有关概念及性质

      知识清单

      ·知识1 平行四边形

      ·知识2 平行四边形的性质定理(重点)

      ·知识3 平行线间的距离

      ·知识4 平行四边形的判定定理(重点)

      ·知识5 平行四边形的对称性

      知识1 平行四边形

      两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

      (1)平行四边形用符号表示,平行四边形ABCD记作ABCD,读作平行四边形ABCD.

      (2)平行四边形的基本元素:边、角、对角线.

      邻边:AD和AB,BC和DC,AD和DC,AB和BC.

      对边:AB和DC,AD和BC.

      邻角:∠BAD和∠ADC,∠BAD和∠ABC,∠ABC和∠BCD,∠ADC和∠BCD.

      对角:∠BAD和∠BCD,∠ADC和∠ABC.

      对角线:AC和BD.

      温馨提示 ①平行四边形必须满足:a.是四边形;b.两组对边分别平行,这两个条件缺一不可.

      ②平行四边形的表示一般按一定的方向(顺时针或逆时针)依次书写各顶点.

      ③平行四边形的定义提供了一种判定平行四边形的方法.

       知识2 平行四边形的性质定理(重点)

      知识2 平行四边形的性质定理(重点)

      性质定理1:平行四边形的对边相等.

      性质定理2:平行四边形的对角相等

      性质定理3:平行四边形的对角线互相平分.

      如图,∵四边形ABCD是平行四边形,

      ∴AB=DC,AD=BC;

      ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC;

      OA=OC=1/2AC,OB=OD=1/2BD.

      温馨提示 ①由平行四边形的定义可知它的两组对边分别平行,由对边平行又可得到它的邻角互补.

      ②平行四边形的对边从位置关系上看是互相平行的,从数量关系上看是相等的.

      ③平行四边形的性质为我们以后证明线段平行或相等,角相等提供了新的理论依据.

      ④在应用平行四边形的性质证明线段或角相等时,需要哪些结论就写哪些,不需要的不写.

      ⑤利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形的三边关系来解决.

       知识3 平行线间的距离

      知识3 平行线间的距离

      (1)定义:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.

      (2)性质:

      ①两条平行线间的距离处处相等.

      利用平行四边形的定义及性质可以说明平行线之间的垂线段处处相等.

      如图,直线a∥b,过直线a上任意两点A,B分别向b作垂线,交直线b于点C,D,线段AC,BD的长度叫做平行线a,b间的距离.由AC⊥CD,BD⊥CD,所以∠ACD=∠BDC=90°,所以AC∥BD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AC=BD.即平行线间的距离处处相等.

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      ②两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

      如图所示,直线l1∥l2,AB∥CD,则四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.

      温馨提示 ①平行线间的距离和平行线间的平行线段是两种概念,不能混为一谈.

      ②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.

       知识4 平行四边形的判定定理(重点)

      知识4 平行四边形的判定定理(重点)

      判定1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

      如图,连接BD,由AD=BC,AB=CD,可证△ABD≌△CDB,得∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,即AB∥CD,AD∥BC.由定义得四边形ABCD为平行四边形.

      判定2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

      如图,由∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°,可得∠ABC+∠BCD=180°,∠BAD+∠ABC=180°.从而得AB∥DC,AD∥BC.由定义得四边形ABCD是平行四边形.

      判定3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.

      如图,由OA=OC,OB=OD,∠AOB=∠COD,可得△AOB≌△COD,所以∠ABO=∠CDO,所以AB∥DC.同理,AD∥BC.由定义得四边形ABCD是平行四边形.

      判定4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

      温馨提示 ①平行四边形的判定方法有五种,在选择判定方法时应根据具体条件而定.对于平行四边形的判定方法,应从边、角及对角线三个角度出发,而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面.

      ②一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,可能是等腰梯形.

      ③平行且相等用符号表示.

      ④一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.

       知识5 平行四边形的对称性

      知识5 平行四边形的对称性

      平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点.如图,ABCD绕着它的对角线的交点O旋转180°后,与原图形能够完全重合,此时A点旋转到C点,B点旋转到D点,C点旋转到A点,D点旋转到B点.

      温馨提示 ①若一条直线过平行四边形对角线的交点,则这条直线被一组对边截得的线段以对角线的交点为中点.

      ②过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积.如图,EF平分ABCD的面积,即S四边形ABFE=S四边形EFcD.

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      方法清单

      ·方法1 利用平行四边形的性质进行计算的方法

      ·方法2 平行线间距离的应用方法

      ·方法3 平行四边形的判定方法

      ·方法4 平行四边形与全等相结合在解题中的应用方法

       方法1 利用平行四边形的性质进行计算的方法

      方法1 利用平行四边形的性质进行计算的方法

      平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据.利用平行四边形的性质,可以求角的度数、线段的长度.

       方法2 平行线间距离的应用方法

      方法2 平行线间距离的应用方法

      等面积法是数学中重要的解题方法在三角形和四边形中,以不同的边为底,其高也不相同,但面积是定值,从而可以得到不同底上的高的关系.若以相同的边为底,其高都为平行线间的距离,面积仍是定值

       方法3 平行四边形的判定方法

      方法3 平行四边形的判定方法

      根据平行四边形的性质可知,利用平行四边形的性质是证明边角相等的有效途径之一,因此,解题时往往先判定一个四边形是平行四边形,然后再利用性质解决问题,至于使用哪种判定方法应依题目条件灵活确定.

      平行四边形判定方法的选择:

      已知条件 选择的判别方法
      一组对边相等 判定1或判定4
      一组对边平行 定义或判定4
      一组对角相等 判定2
      对角线互相平分 判定3
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       方法4 平行四边形与全等相结合在解题中的应用方法

      方法4 平行四边形与全等相结合在解题中的应用方法

      利用平行四边形的性质,我们可以证明线段平行或线段相等,所以在中考题目中常与全等三角形或等腰三角形的知识相结合.

      19.2 矩形

      知识清单

      ·知识1 矩形

      ·知识2 矩形的性质定理(重点)

      ·知识3 矩形的判定定理(重点)

      ·知识4 矩形的对称性

       知识1 矩形

      知识1 矩形

      有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫做长方形).

      如图,在ABCD中,若∠B=90°,则四边形ABCD是矩形.

      温馨提示 ①对于矩形的定义要注意两点:

      a.是平行四边形;b.有一个角是直角.

      ②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形.

      ③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的一种判定方法.

       知识2 矩形的性质定理(重点)

      知识2 矩形的性质定理(重点)

      性质定理1:矩形的四个角都是直角.

      如图,在矩形ABCD中,∠ABC=90°,又由邻角互补、对角相等可得∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°.

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      几何表示:∵四边形ABCD是矩形,

      ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.

      性质定理2:矩形的对角线相等.

      如上图,在矩形ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠BCD=90°,BC为公共边,可得△ABC≌△DCB.从而证得AC=BD.

      几何表示:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.

      温馨提示 ①矩形具有平行四边形的一切性质.

      ②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.

      ③矩形的四个角都是直角这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,矩形的对角线相等这一性质可用来证线段相等.

      ④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形.

       知识3 矩形的判定定理(重点)

      知识3 矩形的判定定理(重点)

      判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.

      几何表示:∵∠A=∠B=∠C=90°,

      ∴四边形ABCD是矩形.

      判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.

      几何表示:

      ∵四边形ABCD为平行四边形,且AC=BD,

      ABCD为矩形.

      温馨提示 ①若易证是平行四边形,则再证一角为直角或对角线相等,即可证得矩形.

      ②四个角均相等的四边形是矩形.

      ③有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形.

      ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

       知识4 矩形的对称性

      知识4 矩形的对称性

      (1)矩形是轴对称图形,有两条对称轴且都是过对边中点的直线.

      (2)矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.

      温馨提示 ①矩形的对称中心是其两条对称轴的交点.

      ②过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分

      方法清单

      ·方法1 矩形有关性质的应用方法 ·方法2 矩形的判定方法

       方法1 矩形有关性质的应用方法

      方法1 矩形有关性质的应用方法

      矩形的性质是求角度,线段的长度等问题常用的知识,可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等.

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       方法2 矩形的判定方法

      方法2 矩形的判定方法

      矩形判定方法的使用:在平行四边形的基础上,增加一个角是直角或对角线相等的条件即为矩形;在四边形的基础上,有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形.

      19.3 菱形

      知识清单

      ·知识1 菱形

      ·知识2 菱形的性质定理

      ·知识3 菱形的判定定理

      ·知识4 菱形的面积公式

       知识1 菱形

      知识1 菱形

      有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

      如图,在ABCD中,若AB=BC,则ABCD是菱形.

      温馨提示 ①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等.

      ②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形.

      ③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本的判定方法.

       知识2 菱形的性质定理

      知识2 菱形的性质定理

      性质定理1:菱形的四条边都相等.

      几何表示:

      ∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD.

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      性质定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.

      几何表示:

      如图,∵四边形ABCD为菱形,

      ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD,∠BCD;BD平分∠ABC,∠ADC.

      温馨提示 ①菱形具有平行四边形的一切性质.

      ②菱形的对角线互相垂直这一性质可用来证明两条线段互相垂直,菱形的每一条对角线平分一组对角这一性质可用来证明角相等.

      ③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形.

       知识3 菱形的判定定理

      知识3 菱形的判定定理

      判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.

      几何表示:∵AB=BC=CD=AD,

      ∴四边形ABCD为菱形.

      判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

      几何表示:

      ∵四边形ABCD为平行四边形且AC⊥BD,

      ABCD为菱形.

      温馨提示 ①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明一组邻边相等,要么证明对角线互相垂直.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明四条边相等即可.

      ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

      ③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.

       知识4 菱形的面积公式

      知识4 菱形的面积公式

      计算菱形面积可利用平行四边形的面积公式,另外当a,b分别表示两条对角线长时,菱形的面积S=1/2ab.

      温馨提示 ①菱形的面积S=1/2ab也适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积计算.

      ②在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条件,灵活地选择面积公式来解决问题.

      ③在利用对角线求菱形的面积时,要特别注意,不要漏掉计算公式中的1/2.

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      方法清单

      ·方法1 菱形有关性质的应用方法 ·方法2 菱形面积的计算方法 ·方法3 菱形的判定方法

       方法1 菱形有关性质的应用方法

      方法1 菱形有关性质的应用方法

       方法2 菱形面积的计算方法

      方法2 菱形面积的计算方法

       方法3 菱形的判定方法

      方法3 菱形的判定方法

      19.4 正方形

      知识清单

      ·知识1 正方形

      ·知识2 正方形的性质(重点)

      ·知识3 正方形的判定

      ·知识4 正方形的对称性

      ·知识5 四边形之间的区别与联系

       知识1 正方形

      知识1 正方形

      有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

      温馨提示 ①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.

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      ②既是矩形又是菱形的四边形是正方形.

      ③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形.

       知识2 正方形的性质(重点)

      知识2 正方形的性质(重点)

      (1)正方形的四个角都是直角,四条边都相等.

      (2)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.

      温馨提示 ①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质.

      ②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质.

      ③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°.两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

       知识3 正方形的判定

      知识3 正方形的判定

      正方形的判定方法:

      (1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法);

      (2)矩形+一组邻边相等;

      (3)矩形+对角线互相垂直;

      (4)菱形+一个角为直角;

      (5)菱形+对角线相等.

      温馨提示 ①以菱形和矩形的判定为基础,可以引申出更多正方形的判定方法,如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

      ②一般证明正方形的步骤是先证出四边形是矩形或菱形,再根据以上判定方法证出所需要的条件.

       知识4 正方形的对称性

      知识4 正方形的对称性

      正方形是轴对称图形,它有四条对称轴,分别是连接对边中点的直线和两条对角线所在的直线.

      正方形又是中心对称图形,对角线的交点是对称中心.

       知识5 四边形之间的区别与联系

      知识5 四边形之间的区别与联系

      1.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

      2.四边形之间的从属关系

      page0206

      3.五种特殊四边形的性质

      对角线 对称性
      平行四边形 对边平行 且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形
      矩形 对边平行 且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形中心对称图形
      菱形 对边平行、四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形中心对称图形
      正方形 对边平行、四条边都相等 四个角都 是直角 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 轴对称图形中心对称图形
      等腰梯形 两底平行、两腰相等 同一底边 上的两个 角相等 两条对角线相等 轴对称图形

      4.五种特殊四边形的判定

      对角线
      平行四边形 ①两组对边分别平行
      ②两组对边分别相等
      ③一组对边平行且相等
      两组对角分别相等 两条对角线互相平分
      矩形 ①有一个角是直角的平行四 边形,②有三个角是直角的四边形 两条对角线相等的平行四边形
      菱形 ①一组邻边相等的平行四边形,② 四条边都相等的四边形 两条对角线互相垂直平分的平行四边形
      正方形 一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 两条对角线互相垂直平分且相等的平行四边形
      等腰梯形 两腰相等的梯形 同一底边上的 两内角相等的梯形

      方法清单

      ·方法1 正方形性质的应用方法

      ·方法2 利用正方形的对称性进行解题的方法

      ·方法3 正方形的判定方法

      ·方法4 正方形的性质在探索开放性问题中的应用方法

      ·方法5 正方形的性质在动态几何问题中的应用方法

       方法1 正方形性质的应用方法

      方法1 正方形性质的应用方法

      在正方形问题中,一般可以通过证三角形全等来证两条线段相等,也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形,利用勾股定理解题.在正方形中,也常用对角线互相垂直平分证明线段相等.

       方法2 利用正方形的对称性进行解题的方法
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      方法2 利用正方形的对称性进行解题的方法

      求线段和最小值问题的方法:确定其中一点关于直线的对称点,连接对称点与另一点,即可得到线段和的最小值.

       方法3 正方形的判定方法

      方法3 正方形的判定方法

      在判定正方形时,要弄清是在四边形还是在平行四边形的基础之上来求证的,要熟悉各判定定理的联系和区别.解答此类问题时要认真审题,通过对已知条件的分析、综合,最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键.

       方法4 正方形的性质在探索开放性问题中的应用方法

      方法4 正方形的性质在探索开放性问题中的应用方法

       方法5 正方形的性质在动态几何问题中的应用方法
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      方法5 正方形的性质在动态几何问题中的应用方法

      动点问题是数学研究的一个重点问题,其综合性很强,经常与函数及面积问题联系在一起,此类问题要注意动点在不同线段上运动的不同运动方式,用含有变量的式子描述相关的变量(线段的长度等),通过数量关系求解.必要时需分类讨论.

       知识1 反比例函数

      第20章 反比例函数

      page0209

      20.1 反比例函数的有关概念

      知识清单

      ·知识1 反比例函数

      ·知识2 反比例函数的一般形式

      ·知识3 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤(重点)

      ·知识4 反比例关系与反比例函数的区别与联系

      知识1 反比例函数

      一般地,形如y=k/x(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.

      温馨提示 ①反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式.

      如:y=1/2x,y=-等都是反比例函数,而y=1/x+1就不是反比例函数.

      ②反比例函数表达式中,常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分.

      ③反比例函数y=k/x(k≠0)的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数,函数值y的取值范围也是非零实数.

       知识2 反比例函数的一般形式

      知识2 反比例函数的一般形式

      反比例函数的一般形式为y=k/x(其中k为常数,k≠0).反比例函数的一般形式的结构特征:

      (1)k≠0,(2)以分式形式呈现,(3)在分母中x的指数为1.

      温馨提示 ①反比例函数可以理解为两个变量的乘积,是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0)的形式.

      ②由负整数指数幂的意义可知反比例函数表达式也可写成y=kx^(-1)(k≠0)的形式.

      ③反比例函数的三种表示形式是等价的,即都可以从一种形式推出另一种形式,要根据情况灵活选用.

       知识3 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤(重点)

      知识3 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤(重点)

      (1)设反比例函数解析式为y=k/x(k≠0);

      (2)把已知一对x、y的值代入解析式,得到一个关于待定系数k的方程;

      (3)解这个方程求出待定系数k;

      (4)将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式.

      温馨提示 ①反比例函数y=k/x(k≠0)中,只有一个待定系数k,确定了k值,也就确定了反比例函数.

      ②待定系数法求反比例函数解析式往往选取的条件是图象上的一个点或实际问题中自变量与函数的一对对应值.

       知识4 反比例关系与反比例函数的区别与联系

      知识4 反比例关系与反比例函数的区别与联系

      在小学时,我们学过反比例关系.如果xy=k(k是常数,k≠0),那么x与y这两个量成反比例关系,这里x、y可以代表多项式或单项式,例如y+3与x-1成反比例,则y+3=k/x-1(k≠0);若y与x^(2)成反比例,则y=k/x^(2)(k≠0).成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数y=k/x(k≠0)中的两个变量必成反比例关系.

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      方法清单

      ·方法1 反比例函数的识别方法

      ·方法2 反比例关系问题的解题方法

      ·方法3 待定系数法确定反比例函数解析式的方法

      ·方法4 反比例函数关系式在实际问题中的确定方法

       方法1 反比例函数的识别方法

      方法1 反比例函数的识别方法

      依据反比例函数的定义可知(1)一般形式是y=k/x(k≠0),也可以写成y=kx^(-1)或xy=k;(2)自变量x的指数是-1.

       方法2 反比例关系问题的解题方法

      方法2 反比例关系问题的解题方法

      如果xy=k(k≠0),k是一个定值,我们就说x与y成反比例.这里x和y表示单项式或多项式,成反比例关系不一定是反比例函数.

       方法3 待定系数法确定反比例函数解析式的方法

      方法3 待定系数法确定反比例函数解析式的方法

      反比例函数的解析式y=k/x(k≠0)中,只有一个待定系数k,确定了k值,也就确定了反比例函数,因而要确定反比例函数的解析式,只需给出一对x、y的对应值或图象上一个点的坐标,代入y=k/x中即可.

       方法4 反比例函数关系式在实际问题中的确定方法

      方法4 反比例函数关系式在实际问题中的确定方法

      在实际问题中我们不知道变量间是什么函数关系,在这种情况下和列方程解题的思路一样,找出等量关系,把变量联系起来就得到函数关系式.

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      20.2 反比例函数的图象与性质

      知识清单

      ·知识1 双曲线

      ·知识2 反比例函数的图象特征与性质(重点)

      ·知识3 反比例函数中k的几何意义(重点)

      ·知识4 反比例函数的对称性

      ·知识5 反比例函数与正比例函数的区别与联系

      ·知识6 正比例函数与反比例函数的交点特征

       知识1 双曲线

      知识1 双曲线

      反比例函数的图象是两条曲线,我们称之为双曲线.它的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点对称.

      用描点法画双曲线

      ①列表:自变量的取值,应以0为中心,沿0的两边分别取三对(或三对以上)互为相反数的数,如1和-1,2和-2,3和-3,等等,填y值时,只需计算右侧的函数值,如分别计算出x=1,2,3的函数值,那么x=-1,-2,-3的函数值应是与之对应的相反数.

      ②描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.

      ③连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸.注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交.

      温馨提示 ①反比例函数的图象是由两条曲线共同组成的.

      ②画反比例函数图象应多取一些点,描点越多,图象越准确,连线时,要注意用平滑的曲线连接各点.

      ③随着|x|的增大,双曲线逐渐向坐标轴靠近,但永远不与坐标轴相交,因为x≠0且y≠0.

       知识2 反比例函数的图象特征与性质(重点)

      知识2 反比例函数的图象特征与性质(重点)

      反比例函数 y=k/x(k≠0)
      k的符号 k>0 k<0
      图象
      性质

      当k>0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内,y随x的增大而减小

      当k<0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内,y随x的增大而增大

      温馨提示 ①反比例函数y=k/x(k≠0),因为x≠0,y≠0,所以图象不经过原点.双曲线是由两个分支组成的,一般不说两个分支经过第一、三象限(或第二、四象限),而说图象的两个分支分别在第一、三象限(或第二、四象限).

      ②反比例函数的增减性不是连续的,因此在谈到反比例函数的增减性时,都是在各自象限内的增减情况.当k>0时,在每一象限(第一、三象限)y随x的增大而减小,但不能笼统地说当k>0时,y随x的增大而减小.同样,当k<0时,也不能笼统地说y随x的增大而增大.

      ③双曲线的两个分支关于原点对称,它与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.

      ④|k|越大,双曲线离原点越远.

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       知识3 反比例函数中k的几何意义(重点)

      知识3 反比例函数中k的几何意义(重点)

      反比例函数中比例系数k的几何意义:如图,过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PN、PM,所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|x|·|y|=|xy|=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得矩形的面积均为|k|.同时△PON(或△POM)的面积为1/2|k|.

      温馨提示 ①因为反比例函数y=k/x中的k有正负之分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应加上绝对值符号.

      ②若三角形的面积为1/2|k|,满足条件的三角形的三个顶点分别为原点,反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作的垂线的垂足.

       知识4 反比例函数的对称性

      知识4 反比例函数的对称性

      反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形.其对称轴为直线y=x和y=-x,对称中心为原点.

       知识5 反比例函数与正比例函数的区别与联系

      知识5 反比例函数与正比例函数的区别与联系

      正比例函数 反比例函数
      区别 定义 y=kx(k是常数,且k≠0) y=k/x(k是常数,且k≠0)
      自变量的指数 指数为1 指数为-1
      自变量的取值范围 全体实数 不等于0的全体实数
      图象 经过原点的直线 双曲线
      增减性 当k>0时,y随x增大而增大;
      当k<0时,y随x增大而减小
      当 k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小;
      当 k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大
      联系 ①两函数的图象都关于原点对称;
      ②两函数图象都经过点(1,k);
      ③当 k>0时,两函数图象都过(在)一、三象限,当 k<0时,都过(在)二、四象限;
      ④两函数中都只有一个待定系数,因此确定解析式时,都只需要一对x、y的对应值
       知识6 正比例函数与反比例函数的交点特征

      知识6 正比例函数与反比例函数的交点特征

      当正比例函数y=k1x中的k1与反比例函数y=k2/x中的k2的符号相同时,两函数图象必有两个交点并且这两个交点关于原点对称.例如,当k1<0,k2<0时,两个函数的图象如图所示,有两个交点.

      当k1与k2的符号不同时,两函数图象没有交点.例

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      如,当k1>0,k2<0时,两个函数的图象如图所示,无交点.

      方法清单

      ·方法1 判断点是否在反比例函数的图象上

      ·方法2 反比例函数图象的确定方法

      ·方法3 结合函数图象确定反比例函数解析式的方法

      ·方法4 反比例函数值的大小比较方法

      ·方法5 计算与反比例函数有关的图形面积的方法

      ·方法6 一次函数与反比例函数的综合题解法

       方法1 判断点是否在反比例函数的图象上

      方法1 判断点是否在反比例函数的图象上

      确定点是否在反比例函数图象上的方法:把点的横坐标代入解析式,求出y的值,若所求值等于纵坐标,则点在图象上;若所求值不等于纵坐标,则点不在图象上.或把点的横、纵坐标相乘,若乘积等于k,则点在图象上,若乘积不等于k,则点不在图象上.

       方法2 反比例函数图象的确定方法

      方法2 反比例函数图象的确定方法

      双曲线的位置特征取决于k的符号,当k>0时,x、y同号,双曲线的两个分支位于第一、三象限;当k<0时,x、y异号,双曲线的两个分支位于第二、四象限,反过来也可由反比例函数图象的特点来确定k值的大小.

       方法3 结合函数图象确定反比例函数解析式的方法

      方法3 结合函数图象确定反比例函数解析式的方法

      反比例函数y=k/x(k≠0)中,只有一个待定系数k,因而只需给出一对x,y的对应值或图象上一点的坐标,代入y=k/x中即可求出k值,从而确定反比例函数

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      的解析式.另外,反比例函数y=k/x(k≠0)也可以变形为k=xy(k≠0),所以只要求出双曲线上任意一点的横、纵坐标之积,即可确定反比例函数表达式.

       方法4 反比例函数值的大小比较方法

      方法4 反比例函数值的大小比较方法

      反比例函数中,y随x的大小而变化的情况,应分x>0与x<0两种情况讨论,而不能笼统地说成k<0时,y随x的增大而增大.双曲线上的点在每个象限内,y随x的变化是一致的.但在不同象限的两个点比较函数值的大小时,不能按这个规律.当k>0时,第一象限点的纵坐标值都为正,而第三象限点的纵坐标值都为负;当k<0时,第二象限点的纵坐标值都为正,第四象限点的纵坐标值都为负.

       方法5 计算与反比例函数有关的图形面积的方法

      方法5 计算与反比例函数有关的图形面积的方法

      遇到涉及反比例函数图象与矩形面积(或直角三角形面积)的关系问题时,一定要注意y=k/x(k为常数,且k≠0)的本质特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k,且k又与矩形面积相联系.这样,我们就可以很方便地找到解决问题的方法.

       方法6 一次函数与反比例函数的综合题解法

      方法6 一次函数与反比例函数的综合题解法

      主要题型:利用k值与图象的位置的关系,综合确定系数符号或图象位置;已知直线与双曲线表达式求交点坐标;用待定系数法确定直线与双曲线的表达式;应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等.解题时,一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识,并结合图象分析、解答问题.

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       单元总结
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      单元总结

      与反比例有关的问题,是中考必考的内容,各档题目均有,近年来甚至有开放探索型问题出现.关于反比例函数的概念、性质的考查多以填空题或选择题形式出现.由实际问题确定反比例函数的关系、用待定系数法确定函数解析式多以解答题的形式出现,考查数形结合、分类讨论、灵活转化等数学思想方法.

      利用反比例函数解决实际问题是近年来中考的热点.把实际问题转化为反比例函数的关键是建立反比例函数模型,即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质综合方程(组)、不等式(组)求解,实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时对应的函数图象或是双曲线的一支或是双曲线的一段.

      1.数形结合思想

      本章应用数形结合思想主要体现在:通过图象分析函数解析式,通过函数解析式分析图象,从而深刻理解函数解析式与图象之间的关系.

      2.建模思想

      建模思想是解决各种实际问题的一种思想方法,它从量和形的侧面去分析实际问题,尽可能通过抽象(或简化)确定出主要的参数,应用与各学科有关的定律、原理建立起它们的某种关系,从实际问题中建立数学模型.

      3.利用反比例函数与其他函数相结合解决实际问题的方法

      利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图象的交点的实际意义往往是分析问题的切入点,要注意自变量的取值范围,特别要考虑实际情况.

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      4.利用反比例函数与几何知识相结合解题的方法

      在近年的中考题目中,常常把几何知识与反比例函数结合在一起,综合性强,对学生的思维能力要求高.解决此类问题的关键是熟悉常见几何图形的特征,将几何图形的隐含性质结合反比例函数知识挖掘出来.

       知识1 平均数(重点)

      第21章 数据的分析

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      21.1 数据的代表

      知识清单

      ·知识1 平均数(重点)

      ·知识2 加权平均数(重点)

      ·知识3 中位数(重点)

      ·知识4 众数(重点)

      ·知识5 平均数、中位数、众数的区别与联系

      知识1 平均数(重点)

      一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把1/n(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记作,读作x拔.

      温馨提示 ①平均数、数的个数以及所有数的总和这三个量中,已知任意两个就能求出第三个,平均数=所有数的总和/数的个数

      ②平均数是描述一组数据的一种常用指标,反映了这组数据中各数据的平均大小或者是集中趋势.一组数据的平均数只有一个.

      ③平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系,其中任一数据的变动都会引起平均数的变动.平均数容易受个别极端值的影响.

      ④数据x1,x2,…,xn的平均数为,则x1±a,x2±a,…,xn±a的平均数为±a;kx1,kx2,…,kxn的平均数为k(a,k为常数).

      ⑤总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,样本中所有个体的平均数叫做样本平均数,通常用样本平均数去估计总体平均数.

       知识2 加权平均数(重点)

      知识2 加权平均数(重点)

      一般来说,由于每个指标有不同的重要性,因而各指标在总结果中所占的百分比也会不一样,我们把在总结果中所占的百分比称为每个指标所获得的权.各指标乘以相应的权后所得的平均数就是加权平均数.当数据中有数据重复出现时,如在n个数据中,x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n),那么这n个数据的平均数可表示为,这个平均数也叫做加权平均数,其中f1,f2,…,fk分别叫做x1,x2,…,xk的权.

      或者,若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,w。,则叫做这n个数的加权平均数.

      温馨提示 ①加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式.

      ②若各个数据的权相同,则加权平均数就是算术平均数,因而可以看出算术平均数实质上是加权平均数的一种特例.

      ③算术平均数是指一组数据的和除以数据的个数;加权平均数是指在实际问题中数据的重要程度未必相同,即各个数据的权未必相同,因而在计算上与算术平均数有所不同.

       知识3 中位数(重点)
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      知识3 中位数(重点)

      将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

      温馨提示 ①中位数是一个位置代表值.

      ②一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

      ③由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半.

      ④一组数据的中位数是唯一的.

       知识4 众数(重点)

      知识4 众数(重点)

      众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据.一组数据中,众数可能不止一个,它同平均数、中位数一样,都反映一组数据地集中趋势.

      温馨提示 ①如果一组数据中有若干个数据的频数一样,都是最大,那么这若干个数据都是这组数据的众数.即一组数据的众数可以不唯一.

      ②一组数据的众数一定出现在这组数据中,众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

      ③众数的大小只与这组数据中部分数据有关,当一组数据中有个别数据多次重复出现时,以至于其他数据的作用显得相对较小,众数可以在某种意义上代表这组数据的整体情况.

       知识5 平均数、中位数、众数的区别与联系

      知识5 平均数、中位数、众数的区别与联系

      平均数、中位数、众数的区别:

      (1)平均数的大小与一组数据里的每个数均有关系,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动.

      (2)众数着眼于对各数据出现频率的考查,其大小只与这组数据的部分数据有关.当一组数据中有数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量.

      (3)中位数只需要很少的计算,它也不易受极端值的影响.

      平均数、中位数、众数的联系:

      众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量,其中以平均数最为重要,其应用也最为广泛.

      温馨提示 平均数在现实生活中较为常用,但它容易受极端值的影响;中位数的优点是计算简单,受极端值的影响较小,但不能充分利用所有数据提供的信息.当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一个量,但当各个数据的重复次数大致相等时,众数往往没有特别大的意义.

      方法清单

      ·方法1 平均数、中位数、众数的计算方法

      ·方法2 加权平均数的应用方法

      ·方法3 利用平均数、中位数、众数解决实际问题的方法

       方法1 平均数、中位数、众数的计算方法

      方法1 平均数、中位数、众数的计算方法

      对一组数据的平均数、中位数、众数,要严格按照其定义进行计算,特别是中位数的计算,要注意数据个数是奇数还是偶数,数据个数为偶数时,其中位数是某

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      两个数的平均数.一组数据的平均数只有一个,而众数可能不止一个.

       方法2 加权平均数的应用方法

      方法2 加权平均数的应用方法

      在实际问题中如果一组数据的重要程度不相同,求其平均数需采用加权平均数的计算方法.计算时要根据所给数据的特征,正确识别数据的重要程度,进而利用加权平均数作出进一步的分析与决策.

       方法3 利用平均数、中位数、众数解决实际问题的方法

      方法3 利用平均数、中位数、众数解决实际问题的方法

      page0221

      21.2 数据的波动

      知识清单

      ·知识1 极差

      ·知识2 方差(重点)

      ·知识3 极差与方差的区别与联系

      ·知识4 标准差

       知识1 极差

      知识1 极差

      一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做极差,即极差=最大值-最小值.极差反映了这组数据的变化范围.

      温馨提示 ①在对一组数据的波动情况作粗略估计时,经常用极差.

      ②由于极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时,极差往往不能反映全体数据的实际波动情况.

      ③极差小,各个数据的波动也就小,它们的平均数对这组数据的一般水平的代表性也就大;极差大,它们的平均数对这组数据的一般水平的代表性也就小.

       知识2 方差(重点)

      知识2 方差(重点)

      在一组数据x1,x2,…,x。中,各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差,通常用s^(2)表示,即:

      s^(2)=1/n[(x1)^(2)+(x2)^(2)+…+(xn)^(2)].

      方差的计算方法有如下三种:

      ①定义法:就是利用上面方差的定义公式计算.

      ②原始数据计算法:当数据较小时,可直接利用原始数据进行计算:

      s^(2)=1/n[(x^(21+x^(22+…+x^(2n)-n2)].

      ③新数据计算法:当数据较大且比较集中时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据:x1′=x1-a,x2′=x2-a,…,xn′=xn-a,那么s^(2)=1/n[(x′12)+x′22)+…+xn′^(2))-n2)].

      温馨提示 ①方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况,是用来衡量一组数据波动大小的量.

      ②方差能够反映所有数据的信息,因而在刻画数据波动情况时比极差更准确.方差越大,数据波动越大;方差越小,数据波动越小.但只有当两组数据的平均数相等或接近时,才能用方差比较它们波动的大小.

      ③一组数据的每个数据都变为原来的k倍,则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k^(2)倍.

      ④方差的单位是原数据单位的平方,在具体使用时可不标注单位.

      ⑤求方差的步骤可概括为一均,二差,三方,四再均.即第一步求原数据的平均数,第二步求原数据中各数据与平均数的差,第三步求所得各个差数的平方,第四步求所得各平方数的平均数.

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       知识3 极差与方差的区别与联系

      知识3 极差与方差的区别与联系

      极差与方差的区别:

      (1)极差反映的仅仅是数据的变化范围;方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况.

      (2)计算极差最简单,只需要计算数据的最大值与最小值的差即可,而方差的计算就要复杂得多.方差是一组数据中各个数据与这组数据平均数的差的平方的平均数.

      极差与方差的联系:

      极差、方差都是用来描述一组数据波动情况的,常用来比较两组数据波动的大小,极差、方差越小,波动越小,进而知这组数据比较稳定;极差、方差越大,波动越大,进而知这组数据不稳定.

       知识4 标准差

      知识4 标准差

      方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,用s表示,即

      s==.

      温馨提示 ①标准差的数量单位与原数据一致.

      ②标准差也是用来描述一组数据波动情况的,常用来比较两组数据波动的大小.

      方法清单

      ·方法1 极差、方差的计算方法

      ·方法2 方差的性质的应用方法

      ·方法3 极差、方差的应用方法

      ·方法4 利用极差、方差进行决策的方法

       方法1 极差、方差的计算方法

      方法1 极差、方差的计算方法

      我们用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围,用这种方法得到的差为极差.

      用先平均,再求差,然后平方,最后再平均得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况,这个结果为方差.

       方法2 方差的性质的应用方法

      方法2 方差的性质的应用方法

      当题目已知一组数据的方差时,而另一组数据又是由原始数据中每个数据通过一定四则运算而得到的,则可用方差的性质求解,例如:一组数据x1,x2,…,xn的方差为s^(2),则:(1)x1±b,x2±b,…,xn±b的方差为s^(2);(2)ax1±b,ax2±b,…,axn+b的方差为a^(2)s^(2).

       方法3 极差、方差的应用方法

      方法3 极差、方差的应用方法

      极差反映数据的波动范围,计算方便;方差反映数据的稳定性,方差越大,说明其稳定性越差;方差越小,说明数据在平均水平上下波动越小,稳定性就越强.

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       方法4 利用极差、方差进行决策的方法

      方法4 利用极差、方差进行决策的方法

      在分析数据时,往往会根据要求来取数据的平均数,当数据的平均水平一致时,为了更好地根据统计结果作出合理的判断和预测,我们往往会根据极差和方差来判断数据的稳定性,从而作出正确的决策.

       知识1 二次根式

      第22章 二次根式

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      22.1 二次根式的有关概念和性质

      知识清单

      ·知识1 二次根式

      ·知识2 最简二次根式(重点)

      ·知识3 同类二次根式(重点)

      ·知识4 二次根式的性质

      知识1 二次根式

      形如(a≥0)的式子叫做二次根式,其中符号叫做二次根号,二次根号下的数叫做被开方数.

      温馨提示 ①从形式上看,二次根式必须有二次根号,如等.

      ②二次根式中,被开方数a可以是一个具体的数,也可以是代数式.

      ③二次根式定义中a≥0是定义的一个组成部分,不能省略.

      ④二次根式是一个非负数.

      ⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0)就表示a的算术平方根.

       知识2 最简二次根式(重点)

      知识2 最简二次根式(重点)

      满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式.

      (1)被开方数不含分母;

      (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

      温馨提示 ①在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数就不是最简二次根式.

      ②在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于2,就不是最简二次根式.

      把二次根式化简为最简二次根式的过程叫做二次根式的化简.

      (1)如果被开方数是分式或分数(包括小数),先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式,然后利用分母有理化化简.

      (2)如果被开方数是整式或整数,先将它分解因式或分解因数,然后把开方开得尽的因式或因数开方,从而将式子化简.

       知识3 同类二次根式(重点)

      知识3 同类二次根式(重点)

      把几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.

      温馨提示 ①同类二次根式类似于整式中的同

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      类项,如3和-1/2是同类二次根式.

      ②几个同类二次根式在没有化简之前,被开方数完全可以互不相同,如都是同类二次根式.

      ③判断两个根式是否是同类二次根式,首先要把它们化为最简二次根式,然后再看被开方数是否相同.

       知识4 二次根式的性质

      知识4 二次根式的性质

      (1)()^(2)=a(a≥0);

      (2)=|a|=

      )^(2)与的区别与联系

      不同点 意义不同 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a<sup>2</sup>的算术平方根
      读法不同 读作“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方” 读作“根号a<sup>2</sup>”或“a的平方的算术平方根”
      被开方数不同 的被开方数是a 的被开方数是a<sup>2</sup>
      运算顺序不同 是先开方后平方 是先平方后开方
      运算依据、结果不同 =a(a≥0)是根据开平方与平方互未逆运算得到的 是根据算术平方根的定义得到的
      作用不同 =a(a≥0),正向运用可化简二次根式,逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式
      正向运用可以将根号内的因式移到根号外,逆向运用可以将根号外的非负因数(或因式)移到根号内
      相同点 ①含有两种相同的运算,两者都要进行平方和开方;
      ②结果的取值范围相同,两者的结果都是非负数;
      ③当a≥0时,两者“合二为一”,=a
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      方法清单

      ·方法1 二次根式概念的应用方法

      ·方法2 利用二次根式的非负性解题的方法

      ·方法3 化简的方法

      ·方法4 利用同类二次根式的定义解题的方法

      ·方法5 因式的外移和内移的方法

       方法1 二次根式概念的应用方法

      方法1 二次根式概念的应用方法

      判定一个根式是二次根式,一定要满足被开方数大于或等于零,根指数是2,当被开方数是字母时,要根据字母的取值进行讨论.

       方法2 利用二次根式的非负性解题的方法

      方法2 利用二次根式的非负性解题的方法

      因为二次根式(a≥0)表示a的算术平方根,所以≥0这个性质也是非负数的算术平方根的性质.对于二次根式非负性的应用,常见题型是几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0,这一性质在解答题中应用广泛.

       方法3 化简的方法

      方法3 化简的方法

      在化简二次根式时,能直接利用性质的,利用性质去掉根号及绝对值符号,不能直接利用性质的,则需转化成能利用性质的形式,然后再去掉根号及绝对值符号.

       方法4 利用同类二次根式的定义解题的方法

      方法4 利用同类二次根式的定义解题的方法

      解这类题的基本方法:利用二次根式的定义,得到根指数都为2,然后把各二次根式都化为最简二次根式,根据同类二次根式的被开方数相同,列出方程组,求出字母的值.

       方法5 因式的外移和内移的方法

      方法5 因式的外移和内移的方法

      如果被开方数中的因式能够开得尽方,那么就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数式的和的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再将因式开方后移到根号外面.反之,也可以将根号外面的正因式,平方后移到根号里面去.

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      22.2 二次根式的运算

      知识清单

      ·知识1 二次根式的乘法

      ·知识2 二次根式的除法

      ·知识3 二次根式的加减

      ·知识4 二次根式的混合运算

       知识1 二次根式的乘法

      知识1 二次根式的乘法

      二次根式相乘,把被开方数相乘,所得的积仍作为积的被开方数,并把运算结果化为最简二次根式,即·=(a≥0,b≥0).

      温馨提示 ①二次根式的乘法法则是由积的算术平方根的性质=·(a≥0,b≥0)反过来得到的.=·(a≥0,b≥0)是二次根式化简的依据.

      ②要注意a≥0,b≥0这个条件,因为只有a,b都是非负数时法则才成立.

      ·=(a≥0,b≥0)还可以推广:.··…=(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,…).

      ④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形,或将根号内的因式开方后移到根号外,或将根号外的非负因式平方后移到根号内.

      ⑤乘法交换律在二次根式中仍然适用.根据法则,系数的积作为积的系数,被开方数的积作为积的被开方数.

       知识2 二次根式的除法

      知识2 二次根式的除法

      二次根式相除,把被开方数相除,所得的商仍作为商的被开方数,并把运算结果化为最简二次根式,即=(a≥0,b>0).

      温馨提示 ①二次根式的除法法则是由商的算术平方根的性质=(a≥0,b>0)反过来得到的.=(a≥0,b>0)也是二次根式化简的依据.

      ②要注意a≥0,b>0这个条件,因为b=0时,分母为0,没有意义.

      ③在实际解题时,若不考虑a、b的正负性,直接得=是错误的.

      如:=在实数范围内无意义.

       知识3 二次根式的加减

      知识3 二次根式的加减

      二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式.

      温馨提示 ①合并同类二次根式与合并同类项类似,将同类二次根式的系数相加减,被开方数和根指数不变,没有同类二次根式的也要写在结果中.因此二次根式的加减可以对比整式的加减进行.

      ②二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并.如是最简结果,不能再合并.

      ③二次根式进行加减运算时,根号外的系数因式须为假分数形式,如40/7,不能写成5 5/7的形式.

      ④合并同类二次根式后,若系数为多项式,需添加括号.

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       知识4 二次根式的混合运算

      知识4 二次根式的混合运算

      二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的.

      在运算过程中,多项式乘法、乘法公式和有理数(式)的运算律在二次根式的运算中仍然适用.

      温馨提示 ①在运算过程中,每个根式可以看作是一个单项式,多个不同类的二次根式的和可以看作多项式.

      ②运算结果是根式的,一般应表示为最简二次根式.

      方法清单

      ·方法1 二次根式加减运算的方法

      ·方法2 分母有理化的方法

      ·方法3 与二次根式相关的混合运算的方法

      ·方法4 二次根式的化简求值的方法

      ·方法5 二次根式比较大小的方法

      ·方法6 从特殊到一般的应用方法

       方法1 二次根式加减运算的方法

      方法1 二次根式加减运算的方法

      二次根式的加减与整式的加减相比,可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并.另外,有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,乘法对加法的分配律,以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.

       方法2 分母有理化的方法

      方法2 分母有理化的方法

      在二次根式的运算中,最后结果一般要求分母中不含二次根式.把分母中的根号化去的过程称为分母有理化,具体做法:

      (1)==(a≥0,b>0);

      (2)也可通过类似分式中的约分进行分母有理化,如==a(b>0).

       方法3 与二次根式相关的混合运算的方法

      方法3 与二次根式相关的混合运算的方法

      实数的运算顺序同有理数的运算顺序一样,都是从高级到低级进行运算,有括号先算括号里的.有时一些方法技巧可以简化运算.

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       方法4 二次根式的化简求值的方法

      方法4 二次根式的化简求值的方法

      解二次根式的化简求值问题的一般方法是直接代入法.

      变形代入法技巧性较强,也常采用整体代入的方法.

       方法5 二次根式比较大小的方法

      方法5 二次根式比较大小的方法

      比较两个二次根式的大小,可以转化成比较两个被开方数的大小,即可以将根号外的正因数平方后移到根号内,计算出被开方数后,再比较被开方数的大小,被开方数大的,其算术平方根也大.也可以将两个数分别平方,计算出结果,再比较大小,依据:当a>0,b>0时,若a^(2)>b^(2),则a>b.

       方法6 从特殊到一般的应用方法

      方法6 从特殊到一般的应用方法

      从特殊去探索一般,再通过一般去研究特殊是数学中常用的重要思想方法,此类问题的特点是根据题目给出的条件,寻找内在联系和一般规律,然后猜想所求问题的结果.

       知识1 一元二次方程

      第23章 一元二次方程

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      23.1 一元二次方程的有关概念

      知识清单

      ·知识1 一元二次方程 ·知识2 一元二次方程的一般形式 ·知识3 一元二次方程的根

      知识1 一元二次方程

      只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

      温馨提示 ①方程的两边都是整式.

      ②一元二次方程必须满足:a.方程中只含有一个未知数;b.未知数的最高次数是2;c.方程是整式方程.例如:方程2x^(2)-2x-7=0,x/3-2x^(2)=0,t^(2)=0都是一元二次方程,而方程=3,2x^(3)-5x+3=0,x+y=3都不是一元二次方程.

       知识2 一元二次方程的一般形式

      知识2 一元二次方程的一般形式

      一元二次方程的一般形式是ax^(2)+bx+c=0(a≠0).它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式,等号右边是0.

      其中ax^(2)叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项.

      温馨提示 ①a≠0是一元二次方程的一般形式的重要组成部分.当a=0,b≠0时,它就成为一元一次方程了.反之,如果明确了ax^(2)+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件.

      ②任何一个一元二次方程经过整理都能化成一般形式ax^(2)+bx+c=0(a≠0).在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式,再判断.

      ③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以在确定一元二次方程各项的系数时,应首先将方程化为一般形式.

      ④项的系数包括它前面的符号.如:1/2x^(2)-3x-1=0的一次项系数是-3,而不是3.

      ⑤若一元二次方程化为一般形式,没出现一次项bx,则b=0.

       知识3 一元二次方程的根

      知识3 一元二次方程的根

      使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根).

      温馨提示 判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法:只需将这个值代入一元二次方程的左右两边看其是否相等,若相等,就是方程的解;若不相等,就不是方程的解.

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      方法清单

      ·方法1 应用一元二次方程的定义求参数值的方法

      ·方法2 一元二次方程的根的应用方法

       方法1 应用一元二次方程的定义求参数值的方法

      方法1 应用一元二次方程的定义求参数值的方法

      首先正确判断两个字母中哪一个是未知数,哪一个是参数,然后根据一元二次方程的定义,考虑二次项系数不为0,未知数的最高次数为2这些条件,求出参数的值.

       方法2 一元二次方程的根的应用方法

      方法2 一元二次方程的根的应用方法

      与一元二次方程的根相关的题目多以填空题、选择题的形式出现.利用方程根的概念,将方程的根代入原方程再解方程,就可以求出参数的值.

      23.2 解一元二次方程

      知识清单

      ·知识1 一元二次方程的常见解法(重点)

      ·知识2 配方法解一元二次方程的一般步骤

      ·知识3 一元二次方程的根的判别式(重点)

      ·知识4 公式法解一元二次方程的一般步骤

      ·知识5 因式分解法解一元二次方程的一般步骤

      ·知识6 一元二次方程的根与系数的关系

       知识1 一元二次方程的常见解法(重点)

      知识1 一元二次方程的常见解法(重点)

      1.直接开平方法

      通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

      形如x^(2)=p或(mx+n)^(2)=p(p≥0)的一元二次方程,可利用直接开平方法解,得x=±或mx+n=±.

      温馨提示 用直接开平方法求一元二次方程的根,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根.

      2.配方法

      对于一个一元二次方程,首先利用恒等变形通过配方把它化成一边是含有未知数的完全平方的形式,另一边是非负常数,再用开平方法解方程的方法就是配方法.

      3.公式法

      (1)公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的求根公式:

      x=(b^(2)-4ac≥0).

      (2)一元二次方程的求根公式的推导过程:

      一元二次方程的求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的过程.

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      ∵a≠0,∴方程的两边都除以a,得x^(2)+b/ax+c/a=0,

      移项,得x^(2)+b/ax=-c/a,

      配方,得x^(2)+b/ax+(b/2a)^(2)=-c/a+(b/2a)^(2),

      即(x+b/2a)^(2)=.

      ∵a≠0,∴a^(2)>0,∴4a^(2)>0.

      ∴当b^(2)-4ac≥0时,是非负数.

      根据平方根的定义,得x+b/2a=

      ∴x=

      温馨提示 求根公式是专门用来解一元二次方程的,故首先要求a≠0;又因为开平方运算时,被开方数必须是非负数,所以第二个条件是b^(2)-4ac≥0,即求根公式使用的前提条件是a≠0且b^(2)-4ac≥0.

      4.因式分解法

      当一元二次方程的一边为0,而另一边易分解成两个一次因式的乘积时,可分别得到两个一元一次方程,从而达到降次的目的,得到的两个解就是一元二次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法,即如果ax^(2)+bx+c=a(x-m)(x-n)(a≠0),那么一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1=m,x2=n.

       知识2 配方法解一元二次方程的一般步骤

      知识2 配方法解一元二次方程的一般步骤

      (1)移项:将常数项移到方程右边.

      (2)把二次项系数化为1:方程左右两边同时除以二次项系数.

      (3)配方:方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(x+m)^(2)=n的形式.

      (4)用直接开平方法解变形后的方程.

       知识3 一元二次方程的根的判别式(重点)

      知识3 一元二次方程的根的判别式(重点)

      (1)在推导一元二次方程的求根公式过程中,当b^(2)-4ac≥0时,(x+)^(2)=的两边才能直接开平方,这里的式子b^(2)-4ac叫做一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.

      (2)一般地,常用字母△表示b^(2)-4ac,即Δ=b^(2)-4ac.

      (3)在实数范围内,一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的根由其系数a,b,c确定,它的根的情况由Δ=b^(2)-4ac确定.

      ①当Δ=b^(2)-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;

      ②当Δ=b^(2)-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;

      ③当Δ=b^(2)-4ac<0时,方程没有实数根.

      温馨提示 ①使用一元二次方程根的判别式,应先将方程整理成一般形式,再确定a,b,c的值.

      ②用判别式可以判定方程的根的情况,反之,当方程有两个不相等的实数根时,Δ>0;有两个相等的实数根时,Δ=0;没有实数根时,Δ<0.

      ③当Δ=b^(2)-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,不能说方程只有一个根.

       知识4 公式法解一元二次方程的一般步骤

      知识4 公式法解一元二次方程的一般步骤

      (1)将一元二次方程整理成一般形式;

      (2)确定公式中a,b,c的值;

      (3)求出b^(2)-4ac的值;

      (4)当b^(2)-4ac≥0时,将a,b,c的值及b^(2)-4ac的值代入求根公式即可;当b^(2)-4ac<0时,方程无实数根.

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      温馨提示 在运用公式法解一元二次方程时,一定要先把方程化为一般形式.

       知识5 因式分解法解一元二次方程的一般步骤

      知识5 因式分解法解一元二次方程的一般步骤

      (1)将方程的右边化为0;

      (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;

      (3)令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;

      (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.

      温馨提示 ①用因式分解法解一元二次方程,常用的公式有a^(2)-b^(2)=(a+b)(a-b);a^(2)±2ab+b^(2)=(a±b)^(2)等.

      ②用因式分解法解方程时,含有未知数的式子可能为零,所以在解方程时,不能在两边同时除以含有未知数的式子,以免丢根.需通过移项,将方程右边化为0.

      如解一元二次方程-2(x+4)^(2)=3(x+4)时,不能随便约去(x+4),否则容易造成丢根.

       知识6 一元二次方程的根与系数的关系

      知识6 一元二次方程的根与系数的关系

      如果ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.

      推论1:如果方程x^(2)+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.

      推论2:以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x^(2)-(x1+x2)x+x1x2=0.

      温馨提示 ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值

      ②由推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,它的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项.

      ③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x^(2)-(x1+x2)x+x1x2=0.

      方法清单

      ·方法1 解一元二次方程的方法

      ·方法2 配方法在二次三项式中的应用方法

      ·方法3 用换元法解一元二次方程的方法

      ·方法4 一元二次方程根的判别式的应用方法

       方法1 解一元二次方程的方法

      方法1 解一元二次方程的方法

      若方程中含有未知数的代数式是一个完全平方式,可选用直接开平方法;若不是,则把右边化为0且方程左边分解因式,选用因式分解法;若不能分解因式或难以迅速分解因式,则用公式法.配方法一般很少选用,但求根公式是由配方法推得的,且以后学习中还要经常用到,故必须掌握这种重要的数学方法.

      在一元二次方程的四种解法中,优先选择顺序依次为直接开平方法→因式分解法一公式法→配方法.

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       方法2 配方法在二次三项式中的应用方法

      方法2 配方法在二次三项式中的应用方法

      在二次三项式中应用配方法与一元二次方程的配方类似,但也有不同:

      (1)化二次项系数为1.当二次项系数不是1时,可提取二次项系数,但不能像解方程那样,除以二次项系数(因为二次三项式配方是恒等变形,而配方法解一元二次方程是同解变形).

      (2)加上一次项系数一半的平方,使其中的三项成为完全平方式,但又要使此二次三项式的值不变,故在加的同时,还要减去一次项系数一半的平方.

      (3)配方后将原二次三项式化为a(x+m)^(2)+n的形式.

       方法3 用换元法解一元二次方程的方法

      方法3 用换元法解一元二次方程的方法

      在解代数问题时,对于某些难度较大的问题,可通过添设辅助元素来解决.辅助元素的添设是将原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化.

       方法4 一元二次方程根的判别式的应用方法

      方法4 一元二次方程根的判别式的应用方法

      一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况:

      ①不解方程,由根的判别式的正负可直接判断根的情况;②根据方程根的情况,确定方程中字母系数的取值范围;③应用根的判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根).

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      23.3 列一元二次方程解应用题

      知识清单

      ·知识1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ·知识2 列一元二次方程解应用题的常见题型

       知识1 列一元二次方程解应用题的一般步骤

      知识1 列一元二次方程解应用题的一般步骤

      与列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤也归结为:审、设、列、解、检验、答.

      (1)审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系.

      (2)设:是指设未知数.

      (3)列:就是列方程,这是非常重要的步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示等量关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程.

      (4)解:就是解方程,求出未知数的值.

      (5)检验:是指检验方程的解能否保证实际问题有意义.

      (6)答:就是写出答案.

      温馨提示 ①列方程解应用题时,要善于将文字语言转化为数学语言,审题时,要特别注意关键词语,如多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等.

      ②注重解法的选择与验根.在具体问题中要注意恰当地选择解法,以保证解题过程简单流畅,特别注意要对方程的解进行检验,根据实际情况作出正确取舍,以保证结论的准确性.

       知识2 列一元二次方程解应用题的常见题型

      知识2 列一元二次方程解应用题的常见题型

      列一元二次方程解应用题的类型很多,在日常生活、生产、科技等方面有广泛的应用,主要有增长率(降低率)问题、利息问题、数字问题、利润问题、动点问题等.

      列方程常用的等量关系:

      (1)行程问题:路程=速度×时间.①相遇问题中总路程=甲走路程+乙走路程;②追及问题中甲、乙相距路程=快者走的路程-慢者走的路程;③顺水、逆水问题中顺水速度=静水速度+水速;逆水速度=静水速度-水速.

      (2)工程问题:工作量=工作效率×工作时间.

      (3)浓度问题:浓度=溶质质量(体积)/溶液质量(体积)×100%.

      (4)存款利率问题:①本息和=本金+利息;②利息=本金×利率×期数;③利息税=利息总额×利息税率.

      (5)增长(降低)率问题:设第一年产量为a,年增长率为x,则第二年产量为a(1+x);第三年产量为a(1+x)^(2).另外,翻一番,即增加了1倍,也就是原来的2倍;翻两番即增加了3倍,也就是原来的4倍.

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      方法清单

      ·方法1 列一元二次方程解决增长率问题的方法

      ·方法2 利用一元二次方程解决每每型问题的方法

      ·方法3 解决与一元二次方程相关的几何图形问题的方法

      ·方法4 利用一元二次方程进行方案设计的方法

       方法1 列一元二次方程解决增长率问题的方法

      方法1 列一元二次方程解决增长率问题的方法

      有关增长率问题的等量关系式:①原产量+增产量=现在的产量;②单位时间增产量=原产量×增长率;③现在的产量=原产量×(1+增长率).对于连续变化的问题,都是以前一个时间段为基础的,平均增长(降低)率也是如此,如二月份的产量是在一月份的基础上变化的,三月份的产量是在二月份的基础上变化的,而不是以任意一个月份为基础变化的.

       方法2 利用一元二次方程解决每每型问题的方法

      方法2 利用一元二次方程解决每每型问题的方法

      在经济问题中常常出现这样的描述:单价每降低1元,每天可多售出10件.我们把这种经济问题称为每每型问题.解决此类问题的关键在于理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系.

       方法3 解决与一元二次方程相关的几何图形问题的方法

      方法3 解决与一元二次方程相关的几何图形问题的方法

      几何图形问题:一般是从面积(或体积)等方面找相等关系,要熟练掌握有关面积(或体积)的公式.

      体积公式:V=abh,V=a^(3),V=πR^(2)h,V=1/3πR^(2)h.

      面积公式:S=ab,S=a^(2),S=πR^(2),

      S=1/2ah.

      解这类问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.

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       方法4 利用一元二次方程进行方案设计的方法

      方法4 利用一元二次方程进行方案设计的方法

      现实问题中的方案设计往往需要用一元二次方程去解决,而解决这类问题的难点是结合图形寻求问题中的等量关系,同时注意方程的根的检验.

       知识1 圆的定义

      第24章 圆

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      24.1 与圆相关的概念

      知识清单

      ·知识1 圆的定义

      ·知识2 弦与直径

      ·知识3 弧、半圆、优弧、劣弧与等弧

      ·知识4 同心圆和等圆

      ·知识5 圆心角和圆周角

      ·知识6 三角形的外接圆与外心

      ·知识7 圆内接四边形

      ·知识8 圆的切线、切线长

      ·知识9 三角形的内切圆与内心

      ·知识10 圆外切四边形

      ·知识11 弓形、扇形

      知识1 圆的定义

      圆的定义有两种表述形式:

      第一种:由描述圆的形成过程进行定义,如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,记作⊙O,读作圆O.

      第二种:由圆的特性进行定义,将圆心为O,半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

      温馨提示 ①圆的描述性定义,直观形象地描述了圆的形成过程,由圆的定义可知,确定圆有两个条件:一个是圆心,它确定圆的位置;另一个是半径,它确定圆的大小,两者缺一不可.

      ②根据圆的定义可以知道圆指的是圆周,即那条封闭的曲线,而不是圆面.

      ③圆具有如下特性:

      a.圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r).

      b.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

       知识2 弦与直径

      知识2 弦与直径

      (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图中的CD、AB.

      (2)直径:经过圆心的弦叫做直径,如图中的AB.直径等于半径的两倍.

      温馨提示 ①在同一个圆上可以画出无数条弦或直径.

      ②直径是弦,但弦不一定是直径.

      ③在同一个圆中,直径是最长的弦.

       知识3 弧、半圆、优弧、劣弧与等弧

      知识3 弧、半圆、优弧、劣弧与等弧

      (1)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,弧用符号表示,以A,B为端点的弧记作,读作圆弧AB或弧AB.

      (2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧,用三个字母表示,如图中的,小于半圆的弧叫做劣弧,如图中的.

      (3)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.

      温馨提示 ①半圆是弧,但弧不一定是半圆.

      ②弧有长度和度数,规定半圆的度数为180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大于180°.

      ③在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧.

       知识4 同心圆和等圆

      知识4 同心圆和等圆

      (1)同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆.如图,半径为r1与半径为r2的⊙O是同心圆.

      (2)等圆:圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆.如图中的⊙O1与⊙O2的半径都是r,它们是等圆.由此,我们可以得出结论:同圆或等圆的半径相等.

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      温馨提示 ①同圆是指同一个圆;等圆、同心圆是指两个及两个以上圆的关系.

      ②等圆是指半径相等,圆心不同的两个圆;同心圆是指圆心相同,半径不相等的圆.

       知识5 圆心角和圆周角

      知识5 圆心角和圆周角

      (1)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角,如图中的∠AOB.

      (2)圆周角:顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角,如图中的∠ACB.

      温馨提示 ①圆心角的度数等于它所对弧的度数,把顶点在圆心的周角等分成360份,每一份的圆心角是1°的角,1°的圆心角对着1°的弧.

      ②圆周角要具备两个特征:a.顶点在圆上;b.角的两边都和圆相交,二者缺一不可.

       知识6 三角形的外接圆与外心

      知识6 三角形的外接圆与外心

      经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

      三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.

      如图,⊙O是△ABC的外接圆,△ABC是⊙O的内接三角形,点O是△ABC的外心.

      温馨提示 ①外心的位置:三角形的外心实质上是三角形三边垂直平分线的交点.锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.

      ②三角形外心的性质:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,等于外接圆半径.

      ③理解外接圆与内接三角形时应注意:a.接是说明三角形的顶点在圆上,圆经过三角形的各个顶点;b.内与外是相对来说的,外是指在三角形外,内是指在圆内.

      ④一个三角形有且只有一个外接圆,而一个圆有无数个内接三角形.

       知识7 圆内接四边形

      知识7 圆内接四边形

      如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形ABCD的外接圆.

      温馨提示 ①任意一个三角形都有一个外接圆,但任意一个四边形不一定有外接圆,所以圆内接四边形是特殊的四边形.

      ②四边形的外接圆圆心到这个四边形的各个顶点的距离相等且等于外接圆的半径;反过来,如果四边形的各个顶点到某一点的距离相等,则这个四边形的四个顶点在同一个圆上(四点共圆).

       知识8 圆的切线、切线长

      知识8 圆的切线、切线长

      和圆只有一个公共点的直线是圆的切线,唯一的公共点叫做切点.

      过圆外一点有两条直线PA,PB与⊙O相切,切点分别为A,B,在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.如图中的PA,PB两线段的长为⊙O的切线长.

      温馨提示 要明确切线和切线长的区别:切线是直线,不可以度量,而切线长是切线上一条线段的长,即圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量,千万不要理解为切线长就是切线的长度.

       知识9 三角形的内切圆与内心

      知识9 三角形的内切圆与内心

      (1)与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.

      如图,⊙I是△ABC的内切圆,△ABC是⊙I的外切三角形,点I是△ABC的内心.

      温馨提示 ①一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形.

      ②三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部.

      ③三角形的内心到三边的距离相等,且等于三角

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      形内切圆的半径.

      ④如果三角形三边长分别为a、b、c,内切圆半径为r,则三角形的面积S=1/2(a+b+c)r.

      ⑤如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,则此直角三角形的内切圆的半径r=a+b-c/2.

      (2)三角形的内心与外心的区别:

      名称 确定方法 图形 性质
      外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三条边的中垂线的交点

      (1)到△ABC三个顶点距离相等,即OA=OB=OC,
      (2)不一定在△ABC内部

      内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三边距离等,即OD=OE=OF,
      (2)AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB,
      (3)一定在三角形内部
       知识10 圆外切四边形

      知识10 圆外切四边形

      各边都与圆相切的四边形叫做圆的外切四边形.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,⊙O是四边形ABCD的内切圆.

      温馨提示 ①任意一个三角形都有内切圆,但任意一个四边形不一定有内切圆.一个圆可以有无数个外切四边形.

      ②四边形内切圆的圆心到各边的距离相等,且都等于内切圆的半径.

       知识11 弓形、扇形

      知识11 弓形、扇形

      弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.如图,弦AB和组成两个不同的弓形.

      扇形:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.如图所示,和半径OA,OB组成的图形是一个扇形,读作扇形AOB.

      温馨提示 ①弓形和扇形都是圆形的组成部分.当弓形中的弦为直径时,弓形为半圆形;当扇形的圆心角为180°时,扇形也为半圆形.

      ②常见的弓形一般包括以下几种情况:如图,每个图中阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,把扇形AOB的面积和△AOB的面积计算出来,就可得到弓形AmB的面积.当弓形所含的弧是劣弧时,如图(1),S弓形=S扇形AOB-S△AOB;当弓形所含的弧是优弧时,如图(2),S弓形=S扇形AOB+S△AOB;当弓形所含的弧是半圆时,如图(3),S=1/2S.总之,弓形面积可以看成扇形面积和三角形面积的分解和组合,实际应用时,可根据图形选择公式.

      方法清单

      ·方法1 正确区分弧、弦、半径、直径等概念的方法

      ·方法2 圆心角与圆周角的关系的应用方法

      ·方法3 三角形内心和外心的应用方法

      ·方法4 利用切线长定理进行计算的方法

       方法1 正确区分弧、弦、半径、直径等概念的方法

      方法1 正确区分弧、弦、半径、直径等概念的方法

      对于弧、弦、半径、直径等概念的正确理解,除了要对概念本身剖析外,还要将其与相关概念进行比较,确定相互的联系和区别.

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       方法2 圆心角与圆周角的关系的应用方法

      方法2 圆心角与圆周角的关系的应用方法

      当图中出现同弧或等弧时,常常利用弧所对的圆周角或圆心角,通过相等的弧把角联系起来.

       方法3 三角形内心和外心的应用方法

      方法3 三角形内心和外心的应用方法

      外接圆及内切圆的实际用途非常广泛,在选址、定位等方面经常使用.画图时,要根据具体问题来判断是到三边距离相等,还是到三点距离相等,以此来决定作内心还是外心.

       方法4 利用切线长定理进行计算的方法

      方法4 利用切线长定理进行计算的方法

      切线长定理是圆的对称性的体现,它为证明线段相等、角相等、弧相等和垂直关系提供了理论依据.

      24.2 圆的基本性质

      知识清单

      ·知识1 圆的对称性

      ·知识2 垂径定理及其推论

      ·知识3 圆心角、弧、弦与弦心距之间的关系

      ·知识4 圆周角定理及其推论(重点)

      ·知识5 圆内接四边形性质定理

       知识1 圆的对称性

      知识1 圆的对称性

      圆既是中心对称图形,又是轴对称图形.

      将圆绕圆心旋转180°能与自身重合,因此它是中心对称图形,它的对称中心是圆心,将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合,这说明圆具有旋转不变性,是中心对称的特例.

      经圆心画任意一条直线,并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合,所以圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对称轴,所以圆有无数

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      条对称轴.

      温馨提示 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所没有的性质.

      ②圆的对称轴不是直径,而是直径所在的直线.

      ③圆是一个很特殊的对称图形,它的许多性质都可以由它的对称性推出,如垂径定理、切线长定理、相交两圆的性质等.

       知识2 垂径定理及其推论

      知识2 垂径定理及其推论

      垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

      如图,CD是⊙O的直径,AB为弦,CD⊥AB,垂足为E,则AE=EB,==.

      推论1:①平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;

      ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

      ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

      推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

      温馨提示 ①这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质是过圆心.

      ②垂径定理中的弦为直径时,结论仍然成立.

      ③垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据.

      ④垂径定理推论1中的弦不是直径,切记这一点.

      ⑤垂径定理的内容可以概括为一条直线如果具有a.经过圆心,b.垂直于弦,c.平分弦(被平分的弦不是直径),d.平分弦所对的优弧,e.平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条,则必然具备其余的三条,简称知二推三.

       知识3 圆心角、弧、弦与弦心距之间的关系

      知识3 圆心角、弧、弦与弦心距之间的关系

      (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,弦心距相等.

      (2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

      如图所示,在⊙O中,

      若∠AOB=∠COD,则AB=CD,=,OM=ON;

      若AB=CD,则∠AOB=∠COD,=,OM=ON;

      =,则∠AOB=∠COD,AB=CD,OM=ON;

      若OM=ON,则AB=CD,=,∠AOB=∠COD.

      温馨提示 ①圆心到弦的距离叫做弦心距.有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线(即作弦心距)作为辅助线,这样更好地运用垂径定理或圆心角、弧、弦与弦心距之间的关系.

      ②这里所说的圆心角一般指小于平角的角,因此,它所对的弧是劣弧.

      ③不能忽略在同圆或等圆中这个前提条件,否则定理及推论都不成立.

      ④结合图形深刻理解定理中所对的一词的含义.如一条弦对应着两条弧(一条优弧,一条劣弧).所对的弧相等是指优弧对应相等或劣弧对应相等.

       知识4 圆周角定理及其推论(重点)

      知识4 圆周角定理及其推论(重点)

      1.圆周角定理

      在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

      如图所示,圆周角∠A和圆心角∠BOC同对着,则∠A=1/2∠BOC.

      温馨提示 ①定理有三个方面的意义:a.圆心角和圆周角在同圆或等圆中;b.它们对着同一条弧或者所

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      对的弧是等弧;c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的,且等于圆心角的一半.

      ②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.

      ③定理中的同弧或等弧改为同弦或等弦结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.

      2.圆周角定理的推论

      推论1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等.

      推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.

      推论3:如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

      温馨提示 ①圆周角定理的推论2的应用非常广泛,要把直径与90°圆周角联系起来,一般来说,当条件中有直径时,通常会作出直径所对的圆周角,从而得到直角三角形,为进一步解题创造条件.

      ②推论3实质是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.

       知识5 圆内接四边形性质定理

      知识5 圆内接四边形性质定理

      圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.

      如图,∠A+∠C=180°,∠B+∠2=180°,∠1=∠B.

      温馨提示 ①内对角是圆内接四边形的专用名词,圆内接四边形的某一外角的内对角是指与其相邻的内角的对角,使用本定理时,要注意观察图形,不要弄错.

      ②圆内接四边形对角互补,它的外角起到了沟通圆内外图形关系的作用,利用这一性质可以把圆外的角转化到圆内.

      ③若四边形的一组对角互补,则这个四边形内接于圆.

      ④若四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形内接于圆.

      方法清单

      ·方法1 运用垂径定理进行有关弦的计算

      ·方法2 圆心角、弧、弦与弦心距的关系的应用方法

      ·方法3 圆周角定理及其推论的应用方法

       方法1 运用垂径定理进行有关弦的计算

      方法1 运用垂径定理进行有关弦的计算

      用垂径定理进行有关弦的计算时,常需作出圆心到弦的垂线段(弦心距),则垂足为弦的中点,再利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的.

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       方法2 圆心角、弧、弦与弦心距的关系的应用方法

      方法2 圆心角、弧、弦与弦心距的关系的应用方法

      圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论是说明线段相等、角相等、弧相等的主要依据.解决此类问题的关键在于充分利用圆中的角、弧、弦之间的关系,灵活地进行相互转化,达到解题的目的.

       方法3 圆周角定理及其推论的应用方法

      方法3 圆周角定理及其推论的应用方法

      24.3 与圆有关的位置关系

      知识清单

      ·知识1 点与圆的位置关系

      ·知识2 过已知点的圆

      ·知识3 直线与圆的位置关系

      ·知识4 直线和圆的位置关系的性质与判定(重点)

      ·知识5 切线的性质定理

      ·知识6 切线的判定定理

      ·知识7 切线长定理

      ·知识8 圆外切四边形的性质定理

      ·知识9 圆与圆的位置关系

      ·知识10 两圆的位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系

      ·知识11 相交两圆、相切两圆的性质

       知识1 点与圆的位置关系

      知识1 点与圆的位置关系

      点和圆的位置关系有:①点在圆内;②点在圆上;③点在圆外.

      如图,设⊙O的半径为r,平面上一点到圆心的距离为d,则有点A在⊙O外d>r;点B在⊙O上d=r;点C在⊙O内d<r.

      温馨提示 ①符号读作等价于,AB具有两方面含义:一方面表示AB,由条件A可以推出B;另一方面表示BA,由条件B可以推出A.

      ②上述结论在运用时,向左推出是由d与r的

      page0245
      大小关系判定点与圆的位置关系;向右推出是由点与圆的位置关系确定d与r的大小关系.

      ③圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合,它包括两个方面的意义:a.圆的内部各点到圆心的距离小于半径;b.到圆心的距离小于半径的点都在圆的内部.

      ④圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.它包括两个方面的意义:a.圆的外部各点到圆心的距离大于半径;b.到圆心的距离大于半径的点都在圆的外部.

       知识2 过已知点的圆

      知识2 过已知点的圆

      (1)经过一个点A作圆,只要以点A以外的任意一点为圆心,这一点与点A的距离为半径就可以作出如图①所示的圆,这样的圆有无数多个.

      (2)经过两个点A、B作圆,那么就要以与点A、B距离相等的点为圆心,即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心,这一点与点A(或点B)的距离为半径,就可以作出如图②所示的圆,这样的圆也有无数多个.

      (3)不在同一直线上的三个点确定一个圆.

      经过不在同一直线上的三点A、B、C作圆,圆心到这三个点的距离相等,因此,圆心在线段AB、BC的垂直平分线的交点O上,以O为圆心,OA(或OB、OC)为半径可作出经过A、B、C三点的圆,这样的圆只有一个,如图③.

      (4)经过同一直线上的三点不能作圆(可用反证法证明).

      (5)过任意四点不一定能作出圆.

      温馨提示 ①经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性;经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点连线的垂直平分线上.

      ②在理解不在同一直线上的三个点确定一个圆时应注意:a.不在同一直线上这个条件不可缺少;b.确定应理解为有且只有.

       知识3 直线与圆的位置关系

      知识3 直线与圆的位置关系

      直线和圆有三种位置关系:相交、相切、相离.

      (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线(如图①).

      (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点(如图②).

      (3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离(如图③).

      温馨提示 直线和圆相切时,要明确:直线和圆有唯一公共点是指有且只有一个公共点.

       知识4 直线和圆的位置关系的性质与判定(重点)

      知识4 直线和圆的位置关系的性质与判定(重点)

      如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么

      (1)直线l和⊙O相交d<r(如图①);

      (2)直线l和⊙O相切d=r(如图②);

      (3)直线l和⊙O相离d>r(如图③).

      直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
      公共点的个数 2 1 0
      圆心到直线的距离d与半径r的关系 d<r d=r d>r
      公共点名称 交点 切点
      直线名称 割线 切线

      温馨提示 ①从左端推出右端是直线和圆的位置关系的性质,从右端推出左端是直线和圆的位置关系的判定.

      ②直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究;也可转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来研究.这两个角度的论述其实是等价的.

       知识5 切线的性质定理

      知识5 切线的性质定理

      (1)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

      几何语言描述:如图,若AB是⊙O的切线,C是切点,则OC⊥AB.

      (2)切线性质定理的两个推论:

      推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

      几何语言描述:如图,若AB是⊙O的切线,C是切点,直线DO经过圆心O,且DO⊥AB,则直线DO经过点C.

      推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

      几何语言描述:如图,若AB是⊙O的切线,C是切点,直线DC⊥AB,则直线DC经过圆心O.

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      温馨提示 ①有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直半径,这是圆中又一作辅助线的方法.

      ②定理及其推论可由一个定理共同叙述为:如果一条直线满足下列条件:a.垂直于切线;b.过切点;c.过圆心中的任意两条,那么一定满足第三条.

       知识6 切线的判定定理

      知识6 切线的判定定理

      切线的判定定理:经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

      几何语言描述:如图,OC是⊙O的半径,直线AB⊥OC于点C,则直线AB是圆O的切线.

      温馨提示 ①切线的判定定理的题设要满足两个条件:a.经过半径的端点;b.垂直于这条半径.

      ②切线的识别方法:

      a.定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

      b.数量关系:和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

      c.定理:过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.

       知识7 切线长定理

      知识7 切线长定理

      切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图,用数学符号语言叙述:因为PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,所以PA=PB,∠APO=∠OPB=1/2∠APB.

      如图是切线长定理的一个基本图形,还可以得出以下结论:①PO⊥AB;②AD=BD;③=;④PA⊥OA,PB⊥OB;⑤∠1=∠2=∠3=∠4等.

       知识8 圆外切四边形的性质定理

      知识8 圆外切四边形的性质定理

      圆外切四边形的两组对边之和相等.

      如图,四边形ABCD为⊙O的外切四边形,则AD+BC=AB+DC.

      温馨提示 ①圆外切平行四边形是菱形,圆外切矩形是正方形.

      ②若一个四边形的两组对边之和相等,则这个四边形是圆外切四边形.换言之,若一个四边形的两组对边之和相等,则这个四边形有一个内切圆.

       知识9 圆与圆的位置关系

      知识9 圆与圆的位置关系

      圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系.

      外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,就说这两个圆外离(如图).

      外切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,就说这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点(如图).

      相交:两个圆有两个公共点,此时就说这两个圆相交(如图).

      内切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,就说这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点(如图).

      内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,就说这两个圆内含(如图).两圆同心(如图)是两圆内含的一个特例.

      温馨提示①两圆内含时,如果圆心距d=0,则两圆同心,这是内含的一种特殊情况.

      ②两圆外离与内含时,两圆都无公共点.

      ③两圆外切和内切统称两圆相切,即外切和内切的共性是只有唯一的公共点.

      ④理解两圆的位置关系,要抓住两个因素:a.公共点的个数;b.一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部.

      ⑤两圆的五种位置关系按公共点的个数可分为三大类.

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      a.相离(没有公共点)

      b.相切(有一个公共点)

      c.相交(有两个公共点)

       知识10 两圆的位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系

      知识10 两圆的位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系

      设两圆半径分别为r1和r2,圆心距为d,

      位置关系 图示 公共点 数量关系
      及识别方法
      外离 d>r1+r2
      外切 一个切点 d=r1+r2
      相交 两个交点 r2-r1<d<r2+r1(r2>r1
      内切 一个切点 d=r2-r1(r2>r1
      内含 0≤d<r2-r1(r2>r1

      温馨提示 ①上述的数量特征既可以理解为位置关系的性质,也可以理解为判定两圆位置关系的依据.

      ②要注意内切、外切分别对应d=R-r,d=R+r,注意它们分界线的作用.

      ③当d>R-r时,两圆可能相交,还可能外切或外离,当d<R+r时,两圆可能相交,还可能内切或内含,因此,只有当R-r<d<R+r时,才能判定两圆相交.

       知识11 相交两圆、相切两圆的性质

      知识11 相交两圆、相切两圆的性质

      1.相切两圆的性质

      如果两圆相切,那么切点一定在连心线上.

      如图,已知⊙O1与⊙O2相切(包括内切和外切)于点T,则切点T一定在连心线O1O2上.

      温馨提示 ①要正确区别连心线和圆心距:连心线是通过两个圆圆心的一条直线,而圆心距是指两个圆心之间的线段的长度.显然,两个圆圆心的连线(线段)一定在连心线(直线)上.

      ②相切两圆的连心线经过切点,也可理解为相切两圆的圆心、切点在同一条直线上,或经过相切两圆的切点和一个圆圆心的直线必经过另一个圆的圆心.

      ③两圆相切时,连心线是常见的一条辅助线,使用连心线时要注意:连心线是直线而不是线段,有时也用圆心距.

      2.两圆相交的性质

      相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

      如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,连接AB和O1O2,则①O1 O2⊥AB;②O1O2平分AB.

      温馨提示 ①与相切两圆的性质类似,相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦也是由圆的轴对称性推导出来的.

      ②学习本定理时一定要注意的是相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦,而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.

      ③在解有关相交两圆的问题时,常作出连心线、公共弦,或连接交点与圆心,从而把两圆半径,公共弦长的一半,弦心距集中到直角三角形中,运用解直角三角形的有关知识来解.

      方法清单

      ·方法1 点与圆的位置关系的识别方法

      ·方法2 直线与圆的位置关系的识别方法

      ·方法3 切线的判定和性质的应用方法

      ·方法4 两圆位置关系的识别方法

      ·方法5 解决与圆的位置关系有关的多解问题的方法

      ·方法6 圆中常见的辅助线作法

      ·方法7 圆的有关知识在动态问题中的应用

       方法1 点与圆的位置关系的识别方法

      方法1 点与圆的位置关系的识别方法

      要确定平面上一点与圆的位置关系,只需比较该点到圆心的距离与半径的大小关系.

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       方法2 直线与圆的位置关系的识别方法

      方法2 直线与圆的位置关系的识别方法

      判断直线和圆的位置关系的方法有两种:(1)是根据定义看直线和圆的公共点个数;(2)根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系.

       方法3 切线的判定和性质的应用方法

      方法3 切线的判定和性质的应用方法

      (1)运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

      (2)证明直线与圆相切有如下三种途径:

      ①证直线和圆有唯一公共点(运用定义).

      ②证直线过半径外端且垂直于这条半径(运用判定定理).

      ③证圆心到直线的距离等于圆的半径(证d=r).

      当题目已知直线与圆的公共点时,一般用方法②,当题目未知直线与圆的公共点时,一般用方法③,方法①运用较少.

       方法4 两圆位置关系的识别方法

      方法4 两圆位置关系的识别方法

      圆与圆的五种位置关系既可以通过五种位置关系的概念判断,也可以用圆心距d与两圆半径R、r(R>r)来描述:

      (1)两圆外离d>R+r;

      (2)两圆外切d=R+r;

      (3)两圆相交R-r<d<R+r;

      (4)两圆内切d=R-r;

      (5)两圆内含d<R-r,当d=0时,两圆是同心圆,属内含这一位置关系.

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       方法5 解决与圆的位置关系有关的多解问题的方法

      方法5 解决与圆的位置关系有关的多解问题的方法

      在解没有给出图形的几何题时,常常把题目中的图形画成自己平时所熟悉的图形,解答不完整,导致漏解.解决此类问题,要认真挖掘题目中可能出现的不同情况,并用分类讨论的思想加以解决.

       方法6 圆中常见的辅助线作法

      方法6 圆中常见的辅助线作法

      (1)遇到直径时,一般要引直径所对的圆周角,将直径这一条件转化为直角.

      (2)遇到有切线时,一般要引过切点的半径,以便利用切线的性质定理;或连接过切点的弦,以便利用弦切角定理.

      (3)遇到过圆外一点作圆的两条切线时,常常引这点到圆心的连线.以便利用切线长定理及其推论.

      (4)遇两圆相交,要添加公共弦或者连心线,特别是公共弦,它在相交两圆中起着桥梁作用.

      引辅助线的规律不止这些,同学们要通过练习注意体会和总结,从而不断提高分析和解决问题的能力.

       方法7 圆的有关知识在动态问题中的应用
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      方法7 圆的有关知识在动态问题中的应用

      动态问题指的是点的运动问题和图形的运动问题.这类问题是通过点(或图形)的运动过程,研究其变化规律,探讨其所具有的某些性质.解决这类问题,首先要发挥想象力,抓住动点运动的范围和特点,观察动点的运动引起了其他哪些点的运动,造成了图形的什么变化;其次,重点分析动点运动到图形的特殊位置时,图形与图形,量与量之间的特殊关系,以此作为突破口解决问题.

      24.4 正多边形与圆的有关计算

      知识清单

      ·知识1 正多边形与圆的关系

      ·知识2 正多边形的中心与中心角

      ·知识3 正多边形的半径与边心距

      ·知识4 正多边形的有关计算

      ·知识5 正多边形的对称性

      ·知识6 正多边形的画法

      ·知识7 弧长公式(重点)

      ·知识8 扇形面积公式(重点)

      ·知识9 圆柱侧面展开图

      ·知识10 圆锥侧面展开图

       知识1 正多边形与圆的关系

      知识1 正多边形与圆的关系

      定理1:把圆分成n(n≥3)等份,

      ①依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;

      ②经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.

      定理2:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.

      温馨提示 ①判定一个多边形是不是正多边形,除根据定义判定外,还可以根据定理1来判定;定

      page0251
      理2揭示了正多边形特有的性质,被称为正多边形的性质定理.

      ②任意三角形都有外接圆和内切圆,但只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆.

      ③任意多边形不一定具有外接圆和内切圆,但当多边形是正多边形时,则一定有外接圆和内切圆,并且是同心圆.

      ④从发展变化的角度来看:在一个圆中,它的内接正多边形的边数越多,正多边形就越像圆,它的周长和面积就更接近圆的周长和面积,如我国古代用割圆术求圆周率的近似值.

       知识2 正多边形的中心与中心角

      知识2 正多边形的中心与中心角

      正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心.

      正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于360°/n.

      如图,正六边形ABCDEF的中心为点O,∠AOB为中心角.

      温馨提示 正n边形的中心角等于它的外角.

       知识3 正多边形的半径与边心距

      知识3 正多边形的半径与边心距

      正多边形的外接圆半径叫做正多边形的半径.正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.如图,OC,OE,OF为正六边形ABCDEF的半径;OG为正六边形ABCDEF的边心距.

       知识4 正多边形的有关计算

      知识4 正多边形的有关计算

      (1)定理:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形(如图).

      由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径Rn,一条直角边是正n边形的边心距rn,另一条直角边是正n.边形边长a。的一半,一个锐角是正n边形中心角αn的一半,即180°/n,另一个锐角为一个内角的一半,即或90°-180°/n.所以根据上面的定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

      (2)正n边形的半径Rn、边心距rn、边长a。、半中心角θ、半内角α、周长C。、面积Sn之间的关系:

      ①α==90°-180°/n,

      2α=

      ②2θ=360°/n,θ=180°/n;

      ③R^(2n=r^(2n

      ④an=2Rn·sin 180°/n;

      ⑤rn=Rn cos 180°/n;

      ⑥Cn=nan

      ⑦Sn=1/2Cnrn=1/2nanrn.

       知识5 正多边形的对称性

      知识5 正多边形的对称性

      (1)正n边形是旋转对称图形,最小旋转角为360°/n.

      (2)所有的正多边形都是轴对称图形,一个正n边形,共有n条对称轴,每条对称轴都经过正n边形的中心.

      (3)如果正多边形有偶数条边,那么它既是轴对称图形,又是中心对称图形,它的中心就是对称中心.

       知识6 正多边形的画法

      知识6 正多边形的画法

      (1)画正n边形的步骤:①画出半径合适的圆;②把圆n等分;③顺次连接各等分点.

      (2)用量角器等分圆:用量角器以圆心为顶点画出360°/n的角,然后在圆周上截取n条相等的弧,得到n个分点,顺次连接各分点即可以得到这个圆的内接正n边形.

      (3)用尺规等分圆:

      ①正四、八边形的画法

      如图,在⊙O中,用直尺和圆规作两条互相垂直的直径,就可以把⊙O分成4等份,从而作出正四边形;再逐次平分各边所对的弧,就可以作出正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.

      page0252

      ②正六、三、十二边形的画法:

      a.正六边形的画法.

      图①,先画⊙O的任意一条直径AB,再分别以A、B为圆心,⊙O的半径R为半径画弧,与⊙O相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点,然后顺次连接各等分点,即得正六边形ACEBFD.

      b.正三角形的画法.

      图②,先画⊙O的任意一条直径AB,以A(或B)为圆心,OA为半径画弧,与⊙O相交于C、D,则点B、C、D是⊙O的三等分点,从而得到正三角形BCD.

      c.正十二边形的画法.

      如图,先作两条互相垂直的直径AB和CD,再分别以A、B、C、D为圆心,⊙O的半径为半径,画8条弧与⊙O相交,就可以把⊙O分成12等份,然后顺次连接12个等分点即得正十二边形.

       知识7 弧长公式(重点)

      知识7 弧长公式(重点)

      (1)圆周长公式:C=2πR或C=πd,其中R为圆的半径,d为圆的直径,π=3.1415926…,π这个无限不循环小数叫做圆周率.

      (2)弧长公式:l=nπR/180(n为圆心角的度数,R表示圆的半径).

      由于1°的圆心角的弧长等于圆周长的1/360,即1/360×2πR,所以n°的圆心角所对的弧长为l=n×1/360×2πR=nπR/180.

      温馨提示 ①在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,不带单位.

      ②在弧长公式中,已知l、n、R中的任意两个量,都可以求出第三个量.

       知识8 扇形面积公式(重点)

      知识8 扇形面积公式(重点)

      (1)圆的面积:S=πR^(2)(R为圆的半径).

      (2)扇形的面积

      ①已知扇形的圆心角的计算公式:因为圆的面积为πR^(2),圆心角为1°的扇形面积是πR^(2)/360,所以圆心角为n°的扇形面积的计算公式为S扇形=nπRh52/360.

      ②利用扇形的弧长的计算公式转化,S扇形=nπR^(2)/360=1/2·nπR/180·R,得扇形面积的另一个计算公式为S扇形=1/2lR.

      温馨提示 ①扇形面积公式S=1/2lR与三角形面积公式十分类似.为了便于记忆,只要把扇形看成一个曲边三角形,把弧长l看成底,R看成底边上的高即可.

      ②根据扇形面积公式和弧长公式,已知S扇形、l、n、R四个量中的任意两个,都可以求出另外两个量.

       知识9 圆柱侧面展开图

      知识9 圆柱侧面展开图

      圆柱的侧面展开图是矩形.这个矩形的一边长等于圆柱的高,即圆柱的母线长,另一边长是底面圆的周长,如图.

      设圆柱的母线长为l,底面半径为R,则圆柱的侧面积S圆柱侧=2πRl.

      圆柱的表面积:

      S圆柱表=S圆柱侧+2S圆柱底=2πRl+2πR^(2)=2πR(l+R).

       知识10 圆锥侧面展开图

      知识10 圆锥侧面展开图

      如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开,那么它的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面圆的周长,圆锥的侧面积等于扇形的面积.(如图)

      若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,圆锥的侧面积为S圆锥侧=1/2l·2πr=πrl.

      圆锥的表面积:S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr^(2)=πr·(l+r).

      温馨提示 ①注意圆锥的底面半径与侧面展开图中的扇形半径的区别:圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长,不能认为是圆锥的底面半径.

      ②在进行计算时要区别开扇形的两个面积公式与圆锥侧面积公式中字母的含义.

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      方法清单

      ·方法1 正多边形有关计算的方法

      ·方法2 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算

      ·方法3 不规则图形的面积的计算

      ·方法4 运用圆锥侧面积知识解决实际问题的方法

       方法1 正多边形有关计算的方法

      方法1 正多边形有关计算的方法

      正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形,有关正多边形的计算常常转化为解这个直角三角形,在解题时要根据已知条件先作出这个直角三角形以及所在的等腰三角形.

       方法2 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算

      方法2 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算

      (1)熟练使用公式求弧长,同时要学会灵活多变,题目中的一些数据没有直接给出时,要综合其他所给条件求得,同时要注意公式变形求其他量.

      (2)当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式S=n/360πR^(2);当已知弧长l、半径R,求扇形的面积时,选用公式S=1/2lR.

      (3)圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长,扇形的弧长是圆锥的底面周长,在学习中要结合实际物体观察和比较,分清要计算的量是哪个.

       方法3 不规则图形的面积的计算

      方法3 不规则图形的面积的计算

      在计算不规则图形的面积时,常常把不规则图形转化成规则图形面积的和差,如三角形、四边形、扇形等.

      阴影部分一般是不规则图形的面积,常采用以下几种方法进行求解:

      (1)公式法;

      (2)割补法;

      (3)拼凑法;

      (4)等积变形法;

      (5)构造方程法;

      (6)迁移变换法.

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       方法4 运用圆锥侧面积知识解决实际问题的方法

      方法4 运用圆锥侧面积知识解决实际问题的方法

      解决实际问题的解题思路:实际问题→转化为数学问题→数学模型→数学结论→回归实际问题→实际问题的解答.

      在解决有关圆锥及侧面展开图的问题时,常借助圆锥底面周长等于扇形弧长,即2πr=nπR/180,建立圆锥底面半径r、圆锥母线R、侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系来解决问题.

       知识1 确定事件

      第25章 概率

      page0255

      25.1 概率的有关概念

      知识清单

      ·知识1 确定事件

      ·知识2 随机事件(重点)

      ·知识3 概率的定义(重点)

      ·知识4 几何概率

      ·知识5 公平的游戏(重点)

      ·知识6 模拟试验

      知识1 确定事件

      在一定条件下,有些事件发生与否是可以事先确定的,这样的事件叫做确定事件.

      生活中,有些事件我们事先能肯定它一定会发生,这些事件称为必然事件;有些事件我们事先能肯定它一定不会发生,这些事件称为不可能事件.

       知识2 随机事件(重点)

      知识2 随机事件(重点)

      在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件,又称不确定事件.如:抛掷一枚硬币,正面朝上.

      温馨提示 ①随机事件发生与否,事先是不能确定的.

      ②判定一个事件是必然事件、随机事件还是不可能事件,要从定义出发.

       知识3 概率的定义(重点)

      知识3 概率的定义(重点)

      一般来说,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率m稳定在某个常数p附近,那么这个常数P就叫

      n做事件A发生的概率,记为P(A)=p.

      根据概率的定义可知,当A是不可能事件时,P(A)=0;当A是必然事件时,P(A)=1;当A是随机事件时,0<P(A)<1,概率的值越大则事件发生的可能性就越大.

      概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小,事件发生的可能性越大,它的概率越接近1;反之,事件发生的可能性越小,它的概率越接近0.

      一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=m/n.

      温馨提示 ①概率是在大量重复试验中通过频率的稳定性得到的一个介于0和1之间的常数,它反映了事件发生的可能性的大小.

      ②概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在.

      ③即使事件发生的概率非常大,但在一次试验中也有可能不发生;即使事件发生的概率非常小,但在一次试验中也有可能发生.

      ④概率与统计是紧密联系的,它们互为基础,概率的概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的,而统计又离不开概率的理论支持,统计推断、估计、假设检验等统计方法的合理性和科学性都有赖于概率理论的严密性.

       知识4 几何概率

      知识4 几何概率

      有些可能的结果没法一一统计,例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等,这时我们可以借助几何图形的面积和线段的长度来计算.此时,事件的概率可以用部分线段的长度(部分区域的面积)和整条线段的长度(整个区域的面积)的比来表示,在

      page0256
      数学上,这些问题的概率又称为几何概率.

       知识5 公平的游戏(重点)

      知识5 公平的游戏(重点)

      看一个游戏是否公平,只要看游戏的双方赢的机会是否相等,如果不是,那么这个游戏就是不公平的,要想使它变得公平,就要修改游戏规则.

       知识6 模拟试验

      知识6 模拟试验

      在用试验的方法估计某个事件发生的概率时,如果手头没有相应的实物或利用相应的实物进行试验困难很大时,可借助替代物进行模拟试验,又称替代试验其中替代物出现的机会应与实物出现的机会相同.

      方法清单

      ·方法1 事件的区分方法

      ·方法2 概率的有关概念的应用方法

      ·方法3 利用概率的定义求事件概率的方法

      ·方法4 几何概率的计算方法

      ·方法5 评判游戏是否公平的方法

      ·方法6 选择模拟试验的方法

       方法1 事件的区分方法

      方法1 事件的区分方法

      确定事件与随机事件的根本区别在于事情发生的确定性和随机性,需要根据已有的知识和生活常识来判断.

       方法2 概率的有关概念的应用方法

      方法2 概率的有关概念的应用方法

      因为在n次试验中,事件A发生的频数m满足0≤m≤n,所以0≤m/n≤1,进而可知频率m/n所稳定到的常数P满足0≤P≤1,因此0≤P(A)≤1.所以必然发生的事件发生的可能性最大,不可能事件发生的可能性最小,随机事件发生的可能性有大有小,概率较大也不能说该事件一定发生,只能说发生的可能性大,概率较小也不能说该事件一定不发生,只能说发生的可能性小.

       方法3 利用概率的定义求事件概率的方法

      方法3 利用概率的定义求事件概率的方法

      一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=m/n.

      page0257
       方法4 几何概率的计算方法

      方法4 几何概率的计算方法

      解决几何概率问题的关键是根据几何概率问题的实际背景准确找出事件的几何度量,然后利用几何概率公式求解.解这类问题时应选准观察角度,把总的基本事件及事件A转化为与之对应的几何区域.

       方法5 评判游戏是否公平的方法

      方法5 评判游戏是否公平的方法

      (1)评判游戏是否公平的原则:游戏双方获胜的概率如果相等,说明游戏是公平的,否则说明游戏不公平.

      (2)游戏规则的修改:对于任何一个游戏,规则的修改方法不是唯一的,但最基本的是应通过计算平均数,使概率的值朝着相等的方向修改.

       方法6 选择模拟试验的方法

      方法6 选择模拟试验的方法

      概率是通过大量重复试验中的频率稳定性得到的一个常数.在试验中常用现成的实物作为工具,但手边没有相应的实物时,或者用实物进行试验比较困难时,常常采用模拟试验.

      (1)模拟试验中替代物是多样的.

      (2)模拟试验的原则:替代试验必须在同等条件下

      page0258
      进行,否则会影响试验效果.

      (3)并不是所有的试验都能找到替代物.如在抛一个热水瓶木塞子的试验中,就不能用替代物来替代实物.因为热水瓶木塞子是不均匀的物体.

      25.2 概率的计算方法

      知识清单

      ·知识1 列举法

      ·知识2 树形图法(重点)

      ·知识3 列表法(重点)

      ·知识4 频率估计概率(重点)

       知识1 列举法

      知识1 列举法

      在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,我们可通过列举试验结果的方法,分析出随机事件发生的概率.这种方法称为列举法.

      用列举法求概率的基本步骤:

      ①列举出一次试验的所有可能结果;

      ②数出m,n;

      ③概率P(A)=m/n.

       知识2 树形图法(重点)
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      知识2 树形图法(重点)

      当事件中涉及两个以上的因素时,用树形图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫树形图法.

      树形图法的一般步骤:

      (1)把所有可能发生的试验结果用树形图表示出来;

      (2)把所求事件发生的可能结果都找出来;

      (3)代入计算公式:

      P(A)=所求事件所有可能出现的结果数/所有可能出现的结果数

       知识3 列表法(重点)

      知识3 列表法(重点)

      当事件中涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,用表格不重不漏地列出所有可能的结果,这种方法叫列表法.

      列表法的一般步骤:

      (1)把所有可能发生的试验结果一一列举出来,要求:①不重不漏;②将所有可能结果有规律地填入表格;

      (2)把所求事件发生的可能结果都找出来;

      (3)代人计算公式:

      P(A)=所求事件所有可能出现的结果数/所有可能出现的结果数

      温馨提示 ①树形图法与列表法是列举法常用的两种方法.

      ②利用列表法、树形图法求概率,实质上还是求等可能性事件的概率.

      ③在利用列表法、树形图法求概率时,各种情况出现的可能性必须相等.

      ④当事件的发生只经过两个步骤时,一般用列表法就能将所有的可能结果列举出来,当经过多个步骤时,表格就不够清晰,而树形图法的适用面更广,特别是多个步骤时,层次清楚,一目了然.

       知识4 频率估计概率(重点)

      知识4 频率估计概率(重点)

      在随机事件中,一个随机事件发生与否事先无法确定,表面上看似无规律可循,但当我们做大量重复试验时,这个事件发生的频率呈现出稳定性.做了大量试验后,可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率估计值.

      温馨提示 ①随着试验次数的增加,一般地,频率会呈现出一定的稳定性:在某个特定数值P的左右摆动的幅度越来越小.我们就用P这个常数来表示事件发生的概率.

      ②频率是在试验的基础上得出的,而概率是可以通过计算得出的理论数值,它们之间非常接近,但并不意味着完全相等.

      ③当一次试验中,可能出现的结果有无限多个,或者各种可能结果发生的可能性不相等时,我们一般通过统计频率来估计概率.

      page0260

      方法清单

      ·方法1 利用树形图法求事件概率的方法

      ·方法2 利用列表法求事件概率的方法

      ·方法3 用频率估计概率的方法

      ·方法4 利用概率解决平均收益

      ·方法5 利用概率知识进行方案设计的方法

       方法1 利用树形图求事件概率的方法

      方法1 利用树形图求事件概率的方法

      树形图也称为概率树,当一次试验涉及三个或更多的因素时,用列表法就不太方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图,优点是能够直观地把某些随机现象既无重复又无遗漏地表示出来.

       方法2 利用列表法求事件概率的方法

      方法2 利用列表法求事件概率的方法

      列表法能比较直观地把所有可能的情况一一表示出来,当事件发生的各种情况出现的可能性相同,而且是涉及两步的事件发生的概率问题时,常用列表法计算概率,这样更为简洁明了.

       方法3 用频率估计概率的方法

      方法3 用频率估计概率的方法

      频率与概率是两个不同的概念,概率是伴随着随机事件客观存在的,只要有一个随机事件存在,那么这个随机事件的概率就一定存在;而频率是通过试验得到的,它随着试验次数的变化而变化,当试验的重复次数充分大后,频率在概率附近摆动,为了求出一随机事件的概率,我们可以通过多次重复试验,用所得的频率来估计事件的概率.

      page0261
       方法4 利用概率解决平均收益问题的方法

      方法4 利用概率解决平均收益问题的方法

      在日常生活中,经常会遇到商家的各种有奖促销活动,到底哪种方式合算,需要我们动脑、动手,通过所学习的概率知识计算平均收益,然后进行选择,避免盲目性.所谓平均收益就是用每一种金额数乘以此金额的可能性,再求和.

       方法5 利用概率知识进行方案

      方法5 利用概率知识进行方案

       知识1 二次函数

      第26章 二次函数

      page0262

      26.1 二次函数的有关概念

      知识清单

      ·知识1 二次函数

      ·知识2 二次函数的一般形式

      ·知识3 二次函数的常见表达式

      ·知识4 待定系数法求二次函数解析式(重点)

      ·知识5 二次函数的顶点坐标及其意义

      知识1 二次函数

      一般地,形如y=ax^(2)+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中x是自变量,a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.

      温馨提示 ①所谓二次函数就是说自变量x的最高次数是2.

      ②二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)中x、y是变量,a、b、c是常量.自变量x的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数.因为a=0时,y=ax^(2)+bx+c变为y=bx+c.若b≠0,则y=bx+c是一次函数;若b=0,则y=c是一个常数函数.

      ③二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次方程.

       知识2 二次函数的一般形式

      知识2 二次函数的一般形式

      任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax^(2)+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的形式,因此,把y=ax^(2)+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)叫做二次函数的一般形式.

      二次函数的一般形式的结构特征

      (1)函数的关系式是整式;(2)自变量的最高次数是2;(3)二次项系数不等于零.

      温馨提示 ①二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式.

      ②当b=0,c=0时,y=ax^(2)是特殊的二次函数.

      ③判断一个函数是不是二次函数,在关系式是整式的前提下,如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后,能写成y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数.否则,它就不是二次函数.

       知识3 二次函数的常见表达式

      知识3 二次函数的常见表达式

      (1)由于从y=a(x-h)^(2)+k(a≠0)中可直接看出抛物线的顶点坐标,所以通常把y=a(x-h)^(2)+k(a≠0)叫做二次函数的顶点式;

      (2)由于从y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)中可直接看出抛物线与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),所以通常把y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)叫做二次函数的交点式.

      温馨提示 ①一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达式,它们之间可以互相转化.

      ②顶点式、交点式化为一般式,主要运用去括号、合并同类项等方法.

      ③一般式化为顶点式、交点式,主要运用配方法、二次三项式的因式分解等方法.

       知识4 待定系数法求二次函数解析式(重点)

      知识4 待定系数法求二次函数解析式(重点)

      用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立条件,根据不同条件选择不同的设法.

      (1)设一般式:y=ax^(2)+bx+c(a≠0)若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为y=ax^(2)+bx+c,将已知条件代入解析式,得到关于a,b,c的三元一次方程组,解方程组求出a,b,c的值,解析式便可得出.

      (2)设顶点式:y=a(x-h)^(2)+k(a≠0)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为y=a(x-h)^(2)+k,将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式.

      (3)设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点的坐标(m,n)(其中m,n为已知数)或其他已知条件代人,求出待定系数a,最后将解析式化为一般形式.

      page0263
       知识5 二次函数的顶点坐标及其意义

      知识5 二次函数的顶点坐标及其意义

      y=ax^(2)+bx+c

      =a(x^(2)+b/ax+c/a)←提出a,而不是除以a

      =a[x^(2)+2·b/2ax+(b/2a)^(2)-(b/2a)^(2)+c/a]加上一次项系数一半的平方(b/2a)^(2),再减去(b/2a)^(2),确保代数式的值不变

      =a(x+b/2a)^(2)+.

      由此得到顶点坐标为(-),当a>0时,顶点为最低点,此时函数有最小值,即当x=-b/2a时,最小值为y=;当a<0时,顶点为最高点,此时函数有最大值,即当x=-b/2a时,最大值为y=.

      温馨提示 ①如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最值,即当x=-b/2a时,y最值=.

      ②顶点式y=a(x-h)^(2)+k(a≠0),

      当h=0时,顶点坐标为(0,k),顶点位于纵轴上;

      当k=0时,顶点坐标为(h,0),顶点位于横轴上;

      当h=0,k=0时,顶点坐标为(0,0),顶点位于原点处.

      方法清单

      ·方法1 二次函数的识别方法

      ·方法2 用待定系数法求二次函数解析式的方法

       方法1 二次函数的识别方法

      方法1 二次函数的识别方法

      判断一个函数是否是二次函数可从三个方面考虑:

      ①看它是否是整式,如果不是整式,则必不是二次函数;

      ②当它是整式时,再看它是否是一个二次的整式;

      ③考虑其二次项的系数是否为0.

      只有综合考虑了上述三点,才能作出正确的判断.

      page0264
       方法2 用待定系数法求二次函数解析式的方法

      方法2 用待定系数法求二次函数解析式的方法

      用待定系数法求二次函数解析式,要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解.一般地,在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大(小)值时,可设顶点式y=a(x-h)^(2)+k;若所给的条件是任意三点(或任意三对x、y的值)时,可设一般式y=ax^(2)+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解.

      26.2 二次函数的图象与性质

      知识清单

      ·知识1 抛物线

      ·知识2 二次函数图象的平移(重点)

      ·知识3 二次函数的图象特征与性质(重点)

      ·知识4 二次函数的最值

      ·知识5 二次函数的表示方法

      ·知识6 二次函数图象与a、b、c的关系(重点)

      ·知识7 二次函数与一元二次方程的关系

      ·知识8 二次函数的对称性

       知识1 抛物线

      知识1 抛物线

      二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线,叫做抛物线,该直线叫做抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的图象是以(-b/2a,)为顶点,以直线x=-b/2a为对称轴的抛物线(如图).

      (1)二次函数y=ax^(2)(a≠0)的图象是关于y轴对称的抛物线,顶点坐标为原点(0,0).

      描点法画二次函数y=ax^(2)(a≠0)的图象的步骤(以y=x^(2)为例).

      ①列表:

      x -3 -2 -1 0 1 2 3
      y 9 4 1 0 1 4 9

      ②描点:如图①

      ③连线:如图②所示.

      温馨提示 ①抛物线是向两方无限延伸的.由于自变量可以取全体实数,而画图象时取值有限,故不应画到两端为止,而应当向两个方向延伸.

      ②自变量x应以O为中心,对称取值.可以先画出图象在y轴右边的部分,然后利用对称性画出图象在y轴左边的部分.

      ③在列表时考虑到x可以取任意实数,应在顶点的左右两侧对称地选取x的值,然后计算y的值.为计算、描点的方便,x取整数,y也相应地是整数,x取值的个数为5或7较合适.

      ④在连线时,用平滑曲线顺次(自变量的取值由小到大或由大到小)连接各点,连线时注意平滑,两边要顺势伸展出去一部分.画出的图象是近似的,点取得越多就越精确.

      (2)二次函数y=ax^(2)+c(a≠0)的图象是形状与y=ax^(2)(a≠0)的形状相同,顶点坐标为(0,c)的一条抛物线,因此画它的图象时,可以用描点法,也可以用平移法.

      page0265

      温馨提示 当c>0时,y=ax^(2)+c的图象是由y=ax^(2)的图象向上平移c个单位长度得到的;当c<0时,y=ax^(2)+c的图象是由y=ax^(2)的图象向下平移|c|个单位长度得到的.

      (3)二次函数y=a(x-h)^(2)(a≠0)的图象是形状与y=ax^(2)(a≠0)的形状相同,顶点坐标为(h,0)的一条抛物线,同样画它的图象时,可以用描点法,也可以用平移法.

      温馨提示 当h>0时,y=a(x-h)^(2)的图象是由y=ax^(2)的图象向右平移h个单位长度得到的;当h<0时,y=a(x-h)^(2)的图象是由y=ax^(2)的图象向左平移|h|个单位长度得到的.

      (4)二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)或y=a(x+b/2a)^(2)+(a≠0)的图象是形状与y=ax^(2)(a≠0)的形状相同,顶点坐标为(-b/2a,)的一条抛物线.

      ①描点法画抛物线y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的步骤:

      a.把二次函数y=ax^(2)+bx+c配方为y=a(x-h)^(2)+k的形式;

      b.确定抛物线的顶点、对称轴和开口方向;

      c.在对称轴两侧,对称地取自变量的值,并列表、描点、连线.

      ②平移法画抛物线y=ax^(2)+bx+c的步骤:

      a.把二次函数y=ax^(2)+bx+c配方为y=a(x-h)^(2)+k的形式;

      b.作出函数y=ax^(2)的图象;

      c.把抛物线y=ax^(2)向右(h>0)或向左(h<0)平移

      h|个单位,再把所得图象向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位.

      温馨提示 若抛物线与x轴有交点,最好选取交点描点,特别是作抛物线草图时,应抓住以下几点:开口方向;对称轴;顶点;与x轴交点;与y轴交点.

       知识2 二次函数图象的平移(重点)

      知识2 二次函数图象的平移(重点)

      二次函数y=ax^(2)+k(a≠0),y=a(x-h)^(2)(a≠0),y=a(x-h)^(2)+k(a≠0)的图象与y=ax^(2)(a≠0)的图象都是抛物线且形状相同,只是位置不同.它们都是由y=ax^(2)的图象平移得到的.

      其平移的规律可归纳如下:

      移动方向 平移前的解析式 平移后的解析式 简记
      向左平移m个单位 y=a(x-h)^(2)+k y=a(x-h+m)^(2)+k 左加
      向右平移m个单位 y=a(x-h)^(2)+k y=a(x-h-m)^(2)+k 右减
      向上平移m个单位 y=a(x-h)^(2)+k y=a(x-h)^(2)+k+m 上加
      向下平移m个单位 y=a(x-h)^(2)+k y=a(x-h)^(2)+k-m 下减

      温馨提示 ①抛物线在平移的过程中,a的值不发生变化,变化的只是顶点的位置,且与平移方向有关.

      ②涉及抛物线的平移时,首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)^(2)+k的形式.

      ③抛物线的移动主要看顶点的移动,y=ax^(2)的顶点是(0,0),y=ax^(2)+k的顶点是(0,k),y=a(x-h)^(2)的顶点是(h,0),y=a(x-h)^(2)+k的顶点是(h,k).我们只需在坐标系中画出这几个顶点,即可轻松地看出平移的方向.

      ④抛物线的平移口诀:自变量加减左右移,函数值加减上下移.

       知识3 二次函数的图象特征与性质(重点)
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      知识3 二次函数的图象特征与性质(重点)

      (1)二次函数y=ax^(2)(a≠0),y=ax^(2)+k(a≠0)及y=a(x-h)^(2)(a≠0)的图象特征与性质:

      Y=ax^(2)(a≠0) y= ax^(2)+k(a≠0) y = a(x-h)^(2)(a≠0)
      形状 抛物线 抛物线 抛物线
      对称轴 y轴 y轴 直线x=h
      顶点坐标 (0,0) (0,k) (h,0)
      图象 a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0
      增减性 对称轴左侧,即x<0,y随x的增大而减小;对称轴右侧,即x>0,y随x的增大而增大 对称轴左侧,即x<0,y随x的增大而增大;对称轴右侧,即x>0,y随x的增大而减小 对称轴左侧,即x<0,y随x的增大而减小;对称轴右侧,即x>0,y随x的增大而增大 对称轴左侧,即x<0,y随x的增大而增大;对称轴右侧,即x>0,y随x的增大而减小 对称轴左侧,即x<h,y随x的增大而减小;对称轴右侧,即x>h,y随x的增大而增大 对称轴左侧,即x<h,y随x的增大而增大;对称轴右侧,即x>h,y随x的增大而减小
      最大(小)值 当x=0时,y最小值=0 当x=0时,y最大值=0 当x=0时,y最小值=k 当x=0时,y最大值=k 当x=h时,y最小值=0 当x=h时,y最大值=0

      (2)二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的图象特征与性质:

      关系式 一般式y=ax^(2)+bx+c(a≠0) 顶点式y=a(x-h)^(2)+k(a≠0)
      图象形状 抛物线
      开口方向 当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下
      顶点坐标 (h,k)
      对称轴 直线x= 直线x=h
      图象 а>0 a<0
      增减性 a>0 对称轴左侧,即x<或x<h,y随x的增大而减小;对称轴右侧,即x>或x>h,y随x的增大而增大
      a<0 对称轴左侧,即x<或x<h,y随x的增大而增大;对称轴右侧,即x>或x>h,y随x的增大而减小
      最大(小)值 a>0 当x=时,y最小值= 当x=h时,y最小值=k
      a<0 当x=时,y最大值= 当x=h时,y最大值=k

      温馨提示 二次函数的解析式中,a决定抛物线的形状和开口方向,h、k仅决定抛物线的位置,反过来说,若两二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同,则它们的二次项系数a必相等.

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       知识4 二次函数的最值

      知识4 二次函数的最值

      (1)若自变量x的取值范围是全体实数,则当a>0时,抛物线开口向上,有最低点,当x=-b/2a时,函数取得最小值,如图①;当a<0时,抛物线开口向下,有最高点,当x=-b/2a时,函数取得最大值,如图②.

      (2)当自变量x的取值范围是x1≤x≤x2时,如图.

      图①中,当x=x2时,函数取得最大值y2;当x=-b/2a时,函数取得最小值.

      图②中,当x=x1时,函数取得最大值y1;当x=-b/2a时,函数取得最小值.

      图③中,当x=x2时,函数取得最大值y2;当x=x1时,函数取得最小值y1.

      图④中,当x=-b/2a时,函数取得最大值;当x=x1时,函数取得最小值y1.

      图⑤中,当x=-b/2a时,函数取得最大值;当x=x2时,函数取得最小值y2.

       知识5 二次函数的表示方法

      知识5 二次函数的表示方法

      1.表达式法

      (1)用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示这两个变量之间的函数关系的方法叫做表达式法,这个等式叫做函数的表达式.

      (2)表达式法的特点:表达式法从数的角度来反映两个变量之间的关系,它抽象而简洁,能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系.但是,在求对应的函数值或自变量时,通常要经过比较复杂的计算,而且在实际问题中,两个变量之间的函数关系不一定能用简单的数学等式表达出来.

      2.表格法

      (1)把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格表示二者之间的函数关系的方法叫做表格法.

      (2)表格法的特点:表格法从具体的数量关系中反映了两个变量之间的变化趋势,一目了然,不需要计算就可以在表格中查出每一个自变量及其对应的函数值,使用方便,表现直观.但由于表格的限制,因而只能粗略地反映变量之间的变化情况,也不易看出自变量与函数之间的对应法则.

      3.图象法

      (1)把一个函数的自变量x和函数值y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出相应的点,这些点所组成的图形就是这个函数的图象,用图象表示函数关系的方法叫做图象法.

      (2)图象法的特点:图象法从形的方面反映了两个变量之间的变化关系,它具有形象直观、清晰的特征,能够通过图象的具体特征,清晰地了解两个变量之间的变化关系及相应性质.但是,图象是由无数个点组成的,所以在某一个点的坐标处,我们很难读出精确的值,所以只能观察出近似的数量关系.

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      温馨提示 上述三种方法都能从不同方面有效地反映变量之间的变化特征,在许多情况下往往会将两种或三种方法结合起来,利用数形结合的思想从不同侧面多角度地了解函数的特征.

       知识6 二次函数图象与a、b、c的关系(重点)

      知识6 二次函数图象与a、b、c的关系(重点)

      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的图象与a、b、c及b^(2)-4ac的符号之间的关系:

      字母的符号 图象的特征
      a a>0 开口向上
      a<0 开口向下
      b b=0 对称轴为y轴
      ab>0(a、b同号) 对称轴在y轴左侧
      ab<0(a、b异号) 对称轴在y轴右侧
      c c=0 图象过原点
      c>0 与y轴的正半轴相交
      c<0 与y轴的负半轴相交
      b^(2)-4ac b^(2)-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点)
      b^(2)-4ac>0 与x轴有两个不同的交点
      b^(2)-4ac<0 与x轴无交点

      温馨提示 ①抛物线的开口大小由|a|确定:

      a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大.当两个二次函数中|a|相等时,两函数的图象的形状和大小相同.

      ②由a的符号及对称轴x=-b/2a的位置可确定b的符号.特殊地,对称轴为y轴时,b=0;一般情况可简记为左同右异,即对称轴在y轴左侧,a、b同号,对称轴在y轴右侧,a、b异号.

      ③对于二次函数y=ax^(2)+bx+c,当横坐标x=1时,图象上的对应点在x轴的上方,则a+b+c>0;当x=1时,图象上的对应点在x轴上,则a+b+c=0;当x=1时,图象上的对应点在x轴下方,则a+b+c<0.

      ④对于二次函数y=ax^(2)+bx+c,当横坐标x=-1时,图象上的对应点在x轴的上方,则a-b+c>0;当x=-1时,图象上的对应点在x轴上,则a-b+c=0;当x=-1时,图象上的对应点在x轴下方,则a-b+c<0.

       知识7 二次函数与一元二次方程的关系

      知识7 二次函数与一元二次方程的关系

      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0).那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,因此,二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

      (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时,b^(2)-4ac>0,方程有两个不相等的实根;

      (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时,b^(2)-4ac=0,方程有两个相等的实根;

      (3)当二次函数的图象与x轴无交点时,b^(2)-4ac<0,方程无实根.

      综上,二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况有三种:有两个交点,有一个交点,没有交点.它们分别对应着一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a≠0)的根的三种情况:有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根.如下表所示:

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      判别式情况 Δ>0 Δ=0 Δ<0
      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)与x轴的交点 a>0
      有两个交点

      一个交点

      无交点
      a<0
      有两个交点

      有一个交点

      无交点
      一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的实数根 有连个不相等的实数根x^(1),x^(2 有两个相等的实数根x^(1),x^(2 没有实数根

      温馨提示 ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值,反映在图象上就是求抛物线与x轴交点的横坐标.

      ②若一元二次方程ax^(2)+bx+c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax^(2)+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),对称轴为直线x=.

      ③若a>0,当x<x1或x>x2时,y<0;当x1<x<x2时,y<0.若a<0,当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y<0.

      ④如果抛物线y=ax^(2)+bx+c与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN=.

       知识8 二次函数的对称性

      知识8 二次函数的对称性

      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的图象是轴对称图形,它关于直线x=-b/2a对称.对称轴与抛物线的交点为二次函数的顶点.

      温馨提示 ①抛物线上两点若关于直线x=-b/2a对称,则这两点的纵坐标相同,横坐标与-b/2a的差的绝对值相等.

      ②若二次函数与x轴有两个交点,则这两个交点关于直线x=-b/2a对称.

      ③二次函数y=ax^(2)+bx+c与y=ax^(2)-bx+c关于y轴对称;二次函数y=ax^(2)+bx+c与y=-ax^(2)-bx-c关于x轴对称.

      方法清单

      ·方法1 求抛物线的顶点、对称轴的方法

      ·方法2 二次函数图象的平移规律的应用方法

      ·方法3 抛物线对称性的应用方法

      ·方法4 二次函数的图象特征与系数关系的应用方法

      ·方法5 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法

       方法1 求抛物线的顶点、对称轴的方法

      方法1 求抛物线的顶点、对称轴的方法

      (1)公式法:y=ax^(2)+bx+c=a(x+b/2a)^(2)+

      顶点是(-b/2a,),对称轴是直线x=-b/2a.

      (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y=a(x-h)^(2)+k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线x=h.

      (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是轴对称图形,所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

      用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.

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       方法2 二次函数图象的平移规律的应用方法

      方法2 二次函数图象的平移规律的应用方法

      只要a相同,那么抛物线的形状就完全相同,抛物线之间就可以通过相互平移得到,向哪个方向平移,我们可以选择一个参照顶点,若顶点横坐标的差为正,则说明向右平移,若为负,则向左平移.上下平移看顶点的纵坐标,若纵坐标的差为正,则向上平移,若为负,则向下平移.反之也成立.

       方法3 抛物线对称性的应用方法

      方法3 抛物线对称性的应用方法

      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0)的图象是轴对称图形,它关于直线x=-b/2a对称,由此我们可以利用对称性求对称点的坐标、函数值、两点间的距离,反之,我们还可以利用对称点的坐标求其对称轴.理解和掌握这种性质,可以帮助我们解决许多函数问题.

       方法4 二次函数的图象特征与系数关系的应用方法

      方法4 二次函数的图象特征与系数关系的应用方法

      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定;b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定;抛物线与x轴的交点个数,决定了b^(2)-4ac的符号.

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       方法5 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法

      方法5 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法

      抛物线y=ax^(2)+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由△=b^(2)-4ac决定.

      当Δ>0即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax^(2)+bx+c=0有两个不相等的实数根,这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根.

      当Δ=0即抛物线与x轴有一个交点(即顶点)时,方程ax^(2)+bx+c=0有两个相等的实数根,此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标.

      当Δ<0即抛物线与x轴无交点时,方程ax^(2)+bx+c=0无实数根,此时抛物线在x轴的上方(a>0时)或在x轴的下方(a<0时).

      抛物线y=ax^(2)+bx+c(a≠0)与直线y=h的交点的横坐标即为一元二次方程ax^(2)+bx+c=h(a≠0)的实数解.

       单元总结

      单元总结

      二次函数在中考中占有很重要的地位,考查的内容包括求二次函数关系式,确定图象的顶点坐标、对称轴,根据图象理解一元二次方程的解、自变量取值范围等.有关二次函数的热点问题仍然是用函数与方程、几何知识、三角形等知识综合在一起的综合题、应用题.

      在生活中,我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,解决这类问题的一般思路是:首先要读懂题意,弄清题目中牵连的几个量的关系,并且建立适当的直角坐标系,再根据题目中的已知条件建立数学模型,即列出函数关系式,然后运用数形结合的思想,根据函数性质去解决实际问题,在解决问题时要注意体会配方法的使用及数形结合思想、转化思想的运用.

      1.数形结合思想、转化思想

      把问题的数量关系和图形结合起来考查,根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论,也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究.

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      2.方程思想

      (1)求二次函数的图象与x轴的交点的坐标就是令y=0,解一元二次方程ax^(2)+bx+c=0,若有两个不相等的根,则这两个根就是两交点的横坐标;若有两个相等的根,则这个根就是图象和x轴交点的横坐标;若方程无解,则图象和x轴无交点.

      (2)任给一y值,ax^(2)+bx+c=h求自变量x的值转化为解一元二次方程.一元二次方程的根就是二次函数y=ax^(2)+bx+c的图象与直线y=h(h为实数)交点的横坐标.

      3.利用二次函数求最大面积的方法

      (1)求几何图形的最大面积,应先在分析图形的基础上,引入自变量,用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量,再根据图形的特征列出其面积的计算公式,并且用函数表示这个面积,最后根据函数关系式求出最值及取得最值时相应的自变量的值.

      (2)在求解几何图形的最大面积时,还应注意自变量的取值范围,一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围,一般有以下几种情况:边长、周长、面积大于0,三角形中两边之和大于第三边.

      4.利用二次函数求最大利润的方法

      利用二次函数解决实际生活中的利润问题,应认清变量所表示的实际意义,注意隐含条件的使用,同时考虑问题要全面.此类问题一般是先运用总利润=总售价-总成本或总利润=每件商品所获利润×销售数量,建立利润与价格之间的函数关系式,求出这个函数关系式的最大值,即求得最大利润.

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      5.利用二次函数解决方案设计问题的方法

      解答此类应用题的一般步骤:

      (1)阅读理解.即读懂题意,理解实际背景,收集并处理有关信息.

      (2)数学建模.即将应用性问题中的信息语言翻译成数学语言,抽象、归纳其中的数量关系,转化成数学问题.

      (3)合理决策.即在得到的数学模型上,进行推理与对比,计算最优的方案.

      6.运动型几何问题中二次函数的应用方法

      对于运动型几何问题中的函数应用问题,解题时应以静制动,在动中求静,抓住适合条件的某个特定时刻具体位置的几何状态,运用几何图形的性质建立出变量之间的函数关系式,借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中达到最大值或最小值时,其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律.

      page0274
       知识1 两条线段的比

      第27章 相似形

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      27.1 比例线段及有关性质

      知识清单

      ·知识1 两条线段的比

      ·知识2 比例线段

      ·知识3 比例的基本性质

      ·知识4 合比、等比性质

      ·知识5 黄金分割

      ·知识6 平行线分线段成比例定理

      知识1 两条线段的比

      如果选用同一长度单位的两条线段a,b的长分别是m和n,就说这两条线段的比是a∶b=m∶n或写成a/b=m/n,和数的比一样,两条线段的比a∶b中a叫做比的前项,b叫做比的后项.

      温馨提示 ①若a∶b=k,说明a是b的k倍,由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数.

      ②比与所选线段的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位要一致.

      ③比例尺就是图上长度与实际长度的比.

       知识2 比例线段

      知识2 比例线段

      1.比例线段

      在四条线段中,如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.

      已知四条线段a、b、c、d,如果a/b=c/d,那么a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项,线段d叫做a、b、c的第四比例项.

      温馨提示 ①通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a和b统一为一个单位,c和d统一为另一个单位也可以.因为整体表示两个比相等.

      ②若四条线段a、b、c、d成比例,则a/b=c/d(或a∶b=c∶d)是有顺序的,位置不能随意颠倒.

      2.比例中项

      如果作为比例线段的内项是两条相同的线段,即a∶b=b∶c或a/b=b/c,那么线段b叫做线段a、c的比例中项.

       知识3 比例的基本性质

      知识3 比例的基本性质

      如果a∶b=c∶d或a/b=c/d,那么ad=bc,即比例的内项之积与外项之积相等;反之,如果ad=bc,那么a∶b=c∶d或a/b=c/d

      根据比例的基本性质,由ad=bc还可以推出另外7个比例式:

      ①d/b=c/a;②a/c=b/d;③d/c=b/a;④b/a=d/c;

      ⑤c/d=a/b;⑥c/a=d/b;⑦b/d=a/c.

       知识4 合比、等比性质

      知识4 合比、等比性质

      1.合比性质

      如果a/b=c/d,那么a±b/b=c±d/d.

      根据比例的基本性质和合比性质还可以推出

      (1)如果a/b=c/d,那么a/a±b=c/c±d(a±b≠0,c±d≠0).

      (2)如果a/b=c/d,那么a±kb/b=c±kd/d(k为常数).

      2.等比性质

      如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么=a/b.

      根据等比性质可以推出:如果a/b=c/d,那么a+c/b+d=a/b=c/d.

       知识5 黄金分割

      知识5 黄金分割

      如图,将一条线段AB分割成大小两条线段AP、BP,若小线段与大线段的长度之比等于大线段的长度与全长之比,即PB/AP=AP/AB(此时线段AP是线段PB,AB的

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      比例中项),经计算可得出这一比值等于≈0.618,则这种分割称为黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分割点,称为黄金分割比.注意一条线段的黄金分割点有两个.

       知识6 平行线分线段成比例定理

      知识6 平行线分线段成比例定理

      (1)定理:三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例.

      如图所示,若l1∥l2∥l3,则AB/BC=DE/EF,AB/AC=DE/DF,BC/AC=EF/DF,AB/DE=BC/EF=AC/DF.

      (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

      如图所示,若DE∥BC,则

      AD/DB=AE/EC,AD/AB=AE/AC,DB/AB=EC/AC,AD/AE=DB/EC=AB/AC.

      (3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.

      如上面两图所示,

      如果AD/AB=AE/AC,那么DE∥BC;

      如果AD/DB=AE/CE,那么DE∥BC;

      如果BD/AB=CE/AC,那么DE∥BC.

      (4)(相似三角形的预备定理)平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三边与三角形的三边对应成比例.

      (5)平行线分线段成比例定理的形象记忆

      如图,AB∥CD∥EF,则AC/CE=BD/DF,CE/AC=DF/BD,AC/AE=BD/BF,CE/AE=DF/BF,…,

      若将AC、BD称为上,CE、DF称为下,AE、BF称为全,上述比例式可用形象的语言简述为上/下=上/下,下/上=下/上,上/全=上/全,下/全=下/全,….

      方法清单

      ·方法1 比例性质的应用方法

      ·方法2 解决相似中多解问题的方法

      ·方法3 作平行线构造成比例线段的方法

      ·方法4 证明比例式或等积式的方法

       方法1 比例性质的应用方法

      方法1 比例性质的应用方法

      与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形,得出所要的计算结果.

       方法2 解决相似中多解问题的方法

      方法2 解决相似中多解问题的方法

      在相似三角形中,当出现△ABC与△DEF相似或以A、B、C为顶点的三角形相似于△DEF时,由于点的对应关系不确定,所以在解三角形相似问题时应分情况讨论.

      page0277
       方法3 作平行线构造成比例线段的方法

      方法3 作平行线构造成比例线段的方法

      (1)作平行线构造A型X型直接转为比例线段或线段的比.

      (2)在遇到角平分线时,①过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交;②过三角形的一个顶点作一边的平行线与角的平分线相交.

       方法4 证明比例式或等积式的方法

      方法4 证明比例式或等积式的方法

      证明比例式或等积式的方法主要是三点定形法.

      (1)横向定形:

      欲证AB/BE=BC/BF,横向观察,比例式的分子中的两条线段是AB和BC,三个字母A,B,C恰为△ABC的顶点;分母中的两条线段是BE和BF,三个字母B,E,F恰为△BEF的三个顶点.因此只需证△ABC~△EBF.

      (2)纵向定形:

      欲证AB/BC=DE/EF,纵向观察,比例式的左边的线段AB和BC中三个字母A,B,C恰为△ABC的顶点;右边的线段DE和EF中三个字母D,E,F恰为△DEF的三个顶点.因此只需证△ABC~△DEF.

      (3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况,此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后,再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.

      page0278

      27.2 相似三角形

      知识清单

      ·知识1 相似形

      ·知识2 相似三角形

      ·知识3 相似比

      ·知识4 相似三角形的性质(重点)

      ·知识5 相似三角形的判定(重点)

       知识1 相似形

      知识1 相似形

      把形状相同的图形叫做相似形.相似图形之间的互相变换称为相似变换.

      温馨提示 ①两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.

      ②全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同,大小也相同.

      ③判断两个图形是否相似,就是看两个图形是不是形状相同,与其他因素无关.

       知识2 相似三角形

      知识2 相似三角形

      对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形,△ABC和△DEF相似,记作△ABC~△DEF.

      温馨提示 ①全等三角形一定是相似三角形,相似三角形不一定是全等三角形.

      ②相似三角形的定义既是最基本、最重要的判定方法,也是最基本、最重要的性质.

      ③用~这个符号表示两个图形相似时,对应的顶点应该写在对应的位置上,如图所示,△ABC和△DEF相似,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角是∠E,∠C的对应角是∠F,即△ABC~△DEF,如果把△ABC写成△BAC,那么就应该记作△BAC∽△EDF,这样做的目的是为了指明对应顶点、对应角及对应边.

       知识3 相似比

      知识3 相似比

      相似三角形的对应边的比叫做相似比.

      温馨提示 ①相似比带有顺序性,如:△ABC~△A′B′C′,则AB/A′B′=BC/B′C′=CA/C′A′=k,反过来,△A′B′C′与△ABC的相似比为1/k(设比值为k).

      ②三角形全等是三角形相似的特殊情况.全等三角形的相似比等于1.

       知识4 相似三角形的性质(重点)

      知识4 相似三角形的性质(重点)

      (1)相似三角形的对应边成比例,对应角相等.

      几何表示:

      ∵△ABC~△A′B′C′,

      ∴AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′;

      ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′.

      (2)相似三角形的对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比.

      几何表示:

      如图,①∵AD、A′D’分别为BC、B′C′边上的高线,△ABC~△A′B′C′,∴AD/A′D′=AB/A′B′.

      ②∵AF、A′F′分别为BC,B′C′边上的中线,△ABC~△A′B′C′,∴AF/A′F′=AB/A′B′.

      ③∵AE、A′E’分别为∠BAC、∠B′A′C′的平分线,△ABC~△A′B′C′,∴AE/A′E′=AB/A′B′.

      (3)相似三角形的周长比等于相似比.

      (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

      温馨提示 ①由两个三角形相似确定对应角相等,对应边成比例,关键是要找准对应角和对应边.观察图形遵循:大对大,小对小;长对长,短对短.

      ②当我们用该性质解题时,要特别注意其中的对应,要注意并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比,而只有对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比才等于相似比.

      page0279
       知识5 相似三角形的判定(重点)

      知识5 相似三角形的判定(重点)

      1.判定两个三角形相似的方法

      (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似.

      (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形和原三角形相似.如图,如果DE∥BC,那么△ABC~△ADE.

      (3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.如图,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,那么△ABC~△A′B′C′.

      (4)如果两个三角形的两组对应边的比相等,且对应边的夹角相等,那么这两个三角形相似.如图,在△ABC与△DEF中,如果∠B=∠E,AB/DE=BC/EF=2/3,那么△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时,相等的角必须是已知两对应边的夹角,才能使这两个三角形相似.

      (5)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.这种判定方法是常用的判定方法,也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等,就可判定这两个三角形相似.如图,如果AB/DE=BC/EF=AC/DF,那么△ABC~△DEF.

      (6)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

      (7)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(用时需证明).

      2.利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤

      (1)定:先确定比例式中的四条线段所在的两个可能相似的三角形;

      (2)找:找出这两个三角形相似所需的条件;

      (3)证:根据以上分析,写出证明过程.

      3.相似三角形的几种基本图形

      图①为A型图,条件是DE∥BC,基本结论是△ADE∽△ABC;

      图②为X型图,条件是ED∥BC,基本结论是△ADE~△ABC;

      图③图④是图①的变式;图⑤是图②的变式;

      图⑥是母子型图,条件是CD为直角△ABC斜边上的高,基本结论是△ACD~△ABC~△CBD.

      page0280

      方法清单

      ·方法1 利用相似三角形的性质进行计算的方法

      ·方法2 相似三角形的判定方法

      ·方法3 相似三角形在实际生活中的应用方法

      ·方法4 利用相似三角形列函数关系式的方法

      ·方法5 相似三角形在探索开放性问题中的应用方法

      ·方法6 相似三角形在动态几何问题中的应用方法

       方法1 利用相似三角形的性质进行计算的方法

      方法1 利用相似三角形的性质进行计算的方法

      利用相似三角形的性质可推得成比例线段,从而建立等式求得未知线段的长;在中考题中常常运用相似三角形面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.

       方法2 相似三角形的判定方法

      方法2 相似三角形的判定方法

      (1)条件中若有平行线,可采用找角相等证两个三角形相似的方法.

      (2)条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找此角的边所在的两边对应成比例.

      (3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.

      (4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例.

      (5)条件中若有等腰关系,可找顶角相等,或找对应底角相等,或找底和腰对应成比例.

      page0281
       方法3 相似三角形在实际生活中的应用方法

      方法3 相似三角形在实际生活中的应用方法

      在实际生活中,处处都存在相似三角形.当我们与其接触时,就能利用相似的相关知识去识别和解决实际生活中的问题,如:

      ①同一时刻物高与影长的问题;

      ②利用相似得到无法直接测量的物体的长度;

      ③利用相似进行图形设计等.

       方法4 利用相似三角形列函数关系式的方法
      page0282

      方法4 利用相似三角形列函数关系式的方法

      求几何图形中的函数关系,已经成为很多地区中考试卷的常客.解决这类问题,往往要用到几何图形的特征和相似的性质,尤其是利用相似得到比例式,从而将未知线段用含字母的代数式表示出来.

       方法5 相似三角形在探索开放性问题中的应用方法

      方法5 相似三角形在探索开放性问题中的应用方法

      开放性问题是指那些条件不完整,结论不确定的数学问题,解这类题没有固定的形式和方法,我们要认真收集信息,通过观察、分析、比较、概括、猜想、论证等探索活动来确定所需的结论、条件和方法,才能使问题得到解决.

      page0283
       方法6 相似三角形在动态几何问题中的应用方法

      方法6 相似三角形在动态几何问题中的应用方法

      运动型问题是初中探究性问题的一种重要题型,在几何运动中,由于点的运动、线的运动或者面的运动造成一个几何量随着另一个几何量的改变而改变,探究图形在运动过程中的相似性,然后利用相似图形的性质来探究几何问题是中考的热点,也是难点.

      解此类题的关键是在运动中寻找相似图形,当运动的时间为t时,要用t来表示相关线段的长度,得出与变量有关的比例式,从而得到函数关系.解题时注意数形结合,把所有可能的情况都要考虑到,做好分类讨论.

      page0284

      27.3 相似多边形与位似图形

      知识清单

      ·知识1 相似多边形及其性质

      ·知识2 相似多边形的判定

      ·知识3 位似图形

      ·知识4 位似中心

      ·知识5 位似比

      ·知识6 位似图形的性质(重点)

      ·知识7 画位似图形的一般步骤

      ·知识8 位似变换的坐标特征

       知识1 相似多边形及其性质

      知识1 相似多边形及其性质

      1.相似多边形的定义

      两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形.

      2.相似多边形的性质

      (1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;

      (2)相似多边形对应对角线的比等于相似比;

      (3)相似多边形周长的比等于相似比;

      (4)相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于多边形的相似比;

      (5)相似多边形的面积比等于相似比的平方.

       知识2 相似多边形的判定

      知识2 相似多边形的判定

      相似多边形的定义也就是相似多边形的判定方法.

      温馨提示 ①判定两个多边形相似,必须同时具备:a.边数相同;b.对应角相等;c.对应边的比相等.

      ②识别两个图形是否相似,可以从形状来识别,也可以用对应边的比相等,对应角相等来识别.两个边长不等的正方形,由于它们对应边的比相等,对应角都是直角,所以两个边长不等的正方形相似.

       知识3 位似图形

      知识3 位似图形

      如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形.

      如图所示,△ABC与△A′B′C′相似,且它们的对应顶点所在的直线AA′,BB′,CC′都经过点O,所以△ABC和△A′B′C′是位似图形.

      温馨提示 ①位似图形一定是相似图形,而相

      page0285
      似图形不一定是位似图形.

      ②位似图形的对应顶点的连线相交于一点,位似图形的对应边互相平行或共线.

       知识4 位似中心

      知识4 位似中心

      位似图形的每组对应点所在的直线都经过同一点,这个点叫做位似中心.

      温馨提示 ①两个位似图形的位似中心只有一个.

      ②两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部、边上或在顶点上.

      ③两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的同侧.

      例如:如图所示的都是位似图形.其中△ABC与△A′B′C′是以O为位似中心的位似图形,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以O为位似中心的位似图形,五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是以O为位似中心的位似图形.

      图(1)

      图(2)

      图(3)

       知识5 位似比

      知识5 位似比

      位似图形是相似图形,这时的相似比又称为位似比.

      温馨提示 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k.也就是说,将一个多边形各点的坐标都乘以k(或除以k),所得的新多边形与原多边形是以原点为位似中心,位似比为k∶1或1∶k的位似图形.

       知识6 位似图形的性质(重点)

      知识6 位似图形的性质(重点)

      位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

       知识7 画位似图形的一般步骤

      知识7 画位似图形的一般步骤

      (1)确定位似中心;

      (2)连接位似中心和能代表原图的关键点并延长;

      (3)根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;

      (4)顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.

       知识8 位似变换的坐标特征

      知识8 位似变换的坐标特征

      在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,位似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.即若原图形的某一点坐标为(x0,y0),则其位似图形对应点的坐标为(kx0,ky0)或(-kx0,-ky0).

      page0286

      方法清单

      ·方法1 相似多边形的判别方法

      ·方法2 相似多边形性质的应用方法

      ·方法3 位似图形的识别方法

      ·方法4 位似图形性质的应用方法

       方法1 相似多边形的判别方法

      方法1 相似多边形的判别方法

      在判别两个多边形相似时,不能仅凭直观感觉,而应该使用准确的判别方法.在确定多边形的对应边时,常根据图形的形状,长边对长边,短边对短边.当发现有一组对应边的比与其他对应边的比不相等时,即对应边不成比例,则两个多边形不相似.

       方法2 相似多边形性质的应用方法

      方法2 相似多边形性质的应用方法

      利用相似多边形对应边的比相等来求某条线段的长或求两条线段的比是一种常用的方法,采用此方法时一定要注意找准对应关系.

       方法3 位似图形的识别方法

      方法3 位似图形的识别方法

      识别位似图形,关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点,相交于一点的,就是位似图形,交点就是位似中心.

      page0287
       方法4 位似图形性质的应用方法

      方法4 位似图形性质的应用方法

      位似图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行,所以利用位似比求线段的长度与利用相似三角形的对应边成比例求线段的长度一样,要注意找准对应关系.

       知识1 正弦

      第28章 解直角三角形

      page0288

      28.1 锐角三角函数

      知识清单

      ·知识1 正弦

      ·知识2 余弦

      ·知识3 正切

      ·知识4 特殊角的三角函数值

      ·知识5 锐角三角函数的关系

      ·知识6 锐角三角函数的性质

      知识1 正弦

      如下图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比也随之确定,∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A=∠A的对边/斜边=a/c.

       知识2 余弦

      知识2 余弦

      如上图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果锐角A确定,那么∠A的邻边与斜边的比也随之确定,∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A=∠A的邻边/斜边=b/c.

       知识3 正切

      知识3 正切

      如上图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比也随之确定,∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=∠A的对边/∠A的邻边=a/b.

      温馨提示 ①锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数,锐角三角函数定义是解直角三角形的重要工具.

      ②若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号∠,如tan A、sinα、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号∠,如sin∠ABC、cos∠2、tan∠1.

      ③tan A是一个完整的符号,表示∠A的对边与邻边的比值.tan A乘方时,一般写成tan^(n)A,它与(tan A)^(n)含义相同(正弦、余弦同理).

      ④当锐角A固定时,它的正弦值、余弦值、正切值也固定;当锐角A变化时,它的正弦值、余弦值、正切值也变化,但是无论∠A的正弦、余弦及正切变与不变,都与∠A的对边、邻边及斜边的长度无关.

      ⑤直角三角形中,各边长都是正数,于是有tan A>0,0<sin A<1,0<cos A<1(0°<∠A<90°).

      ⑥锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.三角函数也是一种函数:在锐角A的三角函数中,∠A是自变量,其取值范围是0°<∠A<90°;三个比值是因变量.当∠A确定时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.

       知识4 特殊角的三角函数值

      知识4 特殊角的三角函数值

          特殊角
      函数值
      30° 45° 60°
      sinα 1/2 /2 /2
      cosα /2 /2 1/2
      tanα /3 1

      温馨提示 ①特殊角的三角函数值是本章的重要内容之一,要求熟练掌握.记忆特殊角的三角函数值可用下述方法:30°、45°、60°的正弦值分别是.而它们的余弦值分别是;它们的正切值分别是

      ②数形结合记忆:画两个直角三角形,其中一个直角三角形的两锐角分别为30°、60°(如图a所示),设30°角所对的直角边为1,则斜边为2,另一直角边为;另一个直角三角形的两锐角都是45°(如图b所示),设45°角所对的直角边为1,则斜边为;根据各三角函数的定义,易得出各特殊角的三角函数值.这种

      page0289
      方法形象、直观、简单、易记,同时巩固了三角函数的定义.

      ③表中是特殊角的三角函数值,反过来,已知一个特殊角的三角函数值,要会求出相应的锐角.

      ④其他锐角三角函数值可通过查表或利用计算器求得;反之,已知锐角的某种三角函数值,也可通过查表或利用计算器求出此锐角的大小.

       知识5 锐角三角函数的关系

      知识5 锐角三角函数的关系

      互余两角的三角函数关系(A为锐角):

      sin A=cos(90°-A),即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.

      cos A=sin(90°-A),即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

       知识6 锐角三角函数的性质

      知识6 锐角三角函数的性质

      当角度在0°~90°之间变化时:

      正弦值随角度的增大(或减小)而增大(或减小);

      余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大);

      正切值随角度的增大(或减小)而增大(或减小).

      温馨提示 ①在0°~90°之间,角越大,正弦值、正切值也越大;余弦值反而越小.

      ②根据锐角三角函数的性质,同名三角函数值的大小可通过角度的大小来比较.

      方法清单

      ·方法1 利用锐角三角函数的概念求三角函数值

      ·方法2 利用锐角三角函数的概念进行计算的方法

      ·方法3 利用特殊角三角函数值进行计算的方法

      ·方法4 等角代换法求锐角三角函数值

      ·方法5 设参数法求锐角三角函数值

      ·方法6 构造直角三角形求锐角三角函数值

       方法1 利用锐角三角函数的概念求三角函数值

      方法1 利用锐角三角函数的概念求三角函数值

      在直角三角形中,求锐角三角函数值的问题,一般可转化为求两条边的比的问题.首先要确定它们所在的三角形,然后根据定义求解即可.

       方法2 利用锐角三角函数的概念进行计算的方法

      方法2 利用锐角三角函数的概念进行计算的方法

      在解题时,若能利用锐角三角函数定义把三角函数转化为线段的比,或把线段的比转化为三角函数,实现三角函数与线段的比之间的灵活转化,则可起到事半功倍的效果.

      page0290
       方法3 利用特殊角三角函数值进行计算的方法

      方法3 利用特殊角三角函数值进行计算的方法

      有关三角函数值的计算是一种重要题型,解这类问题时,要在熟记各种特殊角的三角函数值的基础上,先将各角的三角函数值代入,然后化简计算或者先根据代数式的特点,化简整理后再代人求值.

       方法4 等角代换法求锐角三角函数值

      方法4 等角代换法求锐角三角函数值

      数学解题的过程是转化的过程,即将所要解决的问题转化为熟悉的问题.求某个锐角的三角函数值可以寻找与之相等的角来代替求解.

       方法5 设参数法求锐角三角函数值

      方法5 设参数法求锐角三角函数值

      要求锐角三角函数值,但不知各边的长度,只知边长的比,我们可用设参数法引入新的变量,使问题中长度未知的各个量之间的关系明确出来,使解题过程更简单.

       方法6 构造直角三角形求锐角三角函数值

      方法6 构造直角三角形求锐角三角函数值

      在几何图形中求某个锐角的三角函数值,一般要构造一个以此锐角为内角的直角三角形,然后利用三角函数的定义,求出相应的边长,即得三角函数值当所求角的三角函数值不可直接求时,可将这个角转化为其他相等的角,再构造直角三角形求三角函数值.

      page0291

      28.2 解直角三角形

      知识清单

      ·知识1 解直角三角形

      ·知识2 解直角三角形的理论依据(重点)

      ·知识3 解直角三角形的常见类型

      ·知识4 解直角三角形应用题中的常见概念

      ·知识5 解直角三角形应用题的一般步骤

      ·知识6 测量物体的高度的常见模型

       知识1 解直角三角形

      知识1 解直角三角形

      在直角三角形中,除直角外,一共还有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.

       知识2 解直角三角形的理论依据(重点)

      知识2 解直角三角形的理论依据(重点)

      在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c.

      ①三边之间的关系:a^(2)+b^(2)=c^(2);

      ②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;

      ③边、角之间的关系:

      sin A=a/c, cos A=b/c,tan A=a/b,

      sin B=b/c,cos B=a/c,tan B=b/a;

      ④面积公式:S△ABC=1/2ab=1/2ch(h为斜边上的高).

      温馨提示 ①在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一条边),可求出其余的三个未知元素(知二求三).

      ②若一个直角三角形可解,则其面积可求.但在一个解直角三角形的题中,如无特别说明,则不包括求面积.

      ③已知两个角不能解直角三角形,因为有两个角对应相等的两个三角形相似,但不一定全等,因此其边的大小不确定.

      ④解直角三角形的关键是正确地选择公式.为了迅速准确地选择所需公式,应依题意画出图形,将数据标在图上,便于分析.在选择公式时,尽量利用原始数据,避免链式错误和积累误差.

       知识3 解直角三角形的常见类型

      知识3 解直角三角形的常见类型

      解直角三角形的类型与解法

      已知条件 解法步骤
      Rt△ABC
      两边 两直角边(如a,b) 由tanA=a/b,求∠A,∠B=90°-∠A,c=
      斜边,一直角边(如c,a) 由sinA=a/c,求∠A,∠B=90°-∠A,b=
      一边一角 一直角边和一锐角 锐角,邻边(如∠A,b) ∠B=90°-∠A,a=b·tanA,c=b/cosA
      锐角,对边(如∠A,a) ∠B=90°-∠A,b=a/tanA,c=a/sinA
      斜边,锐角(如c,∠A) ∠B=90°-∠A,a=c·sin A,b=c·cosA

      温馨提示 ①解直角三角形的思路可概括为有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中.其含义是当已知或求解中有斜边时,可用正弦或余弦;无斜边时,就用正切;当所求元素既可用乘法又可用除法时,则通常用乘法,不用除法;既可用已知数据又可用中间数据求解时,则取已知数据,忌用中间数据.

      ②在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后再进行计算.

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       知识4 解直角三角形应用题中的常见概念

      知识4 解直角三角形应用题中的常见概念

      (1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母α表示.

      坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度,用字母i表示,则i=h/l=tanα,如图①.

      (2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角.如图②.

      温馨提示 坡度与坡角是两个不同的概念:坡角是两个面的夹角,坡度是比值;两者之间的关系是i=tanα,坡角越大,坡度越大.如图所示.

       知识5 解直角三角形应用题的一般步骤

      知识5 解直角三角形应用题的一般步骤

      (1)弄清题中的名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.

      (2)将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题.当有些图形不是直角三角形时,可适当添加辅助线,把它们分割成直角三角形或矩形.

       知识6 测量物体的高度的常见模型

      知识6 测量物体的高度的常见模型

      (1)利用水平距离测量物体的高度:

      数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据原理
      测倾器、皮尺 α、β、水平距离a tanα=l/x1,tan β=l/x2
      l=a·
      直角三角形的边角关系
      tanα=,tanβ=l/x,
      l=a·

      (2)测量底部可以到达的物体的高度:

      数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据原理
      皮尺、镜子 目高a1,水平距离a2,水平距离a3 h/a3=a1/a2,h=a1a3/a2 反射定律
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      皮尺、标杆 标杆髙a1,标杆影长a2,物体影长a3 h/a3=a1/a2, h=a1a3/a2 同一时刻物高于影长成正比
      皮尺、测倾器 测倾器高a1,水平距离a2,倾斜角a tanα=h-a1/a2, h=a1+a2tanα 矩形的性质和直角三角形的边角关系
      仰角α,俯角β,水平距离a tanα=h1/a, tanβ=h2/a, h=h1+h2=a(tanα+tanβ) 矩形的性质和直角三角形的边角关系

      (3)测量底部不可到达的物体的高度:

      数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据原理
      皮尺、测倾器 仰角α,俯角β,高度a tanα=h1/x,tanβ=a/x,h=a+h1=a+tanα/tanβa=a(1+tanα/tanβ) 矩形的性质和直角三角形的边角关系
      俯角α,俯角β,高度a tanα=,tanβ=a/x,x==a/tanβ,h=atanα/tanβ
      仰角α,俯角β,水平距离a1,测倾器高a2 tanα=,tanβ=h1/x,h1=,h=a2+h1=a2
      仰角α,仰角β,高度a tanα=h/x,tanβ=,h=
      仰角α,仰角β,高度a tanα=h/x,tanβ=,h=
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      方法清单

      ·方法1 解直角三角形的方法

      ·方法2 解斜三角形的方法

      ·方法3 双直角三角形问题的解题方法

      ·方法4 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法

      ·方法5 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题的方法

      ·方法6 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题的方法

      ·方法7 运用解直角三角形的知识解决台风相关问题的方法

      ·方法8 利用解直角三角形的知识测量物体的高度的方法

       方法1 解直角三角形的方法

      方法1 解直角三角形的方法

      对于解直角三角形的非基本类型的题目,通常是已知一边长及一锐角的三角函数值,可通过方程(组)转化为基本类型求解;如果有些问题一时难以确定解答方式,可以依据题意画图帮助分析;对比较复杂的问题,往往要通过作辅助线构造直角三角形.

       方法2 解斜三角形的方法

      方法2 解斜三角形的方法

      在解斜三角形时,通常把斜三角形转化为直角三角形,常见的方法是作高,通过作高把斜三角形转化为直角三角形,再利用解直角三角形的有关知识解决问题.

       方法3 双直角三角形问题的解题方法

      方法3 双直角三角形问题的解题方法

      双直角三角形是指一条直角边重合,另一条直角边共线的两个直角三角形.双直角三角形问题作为中考的一个热点,一直受到各地命题者的青睐.解这类问题的基本思路是:通过作辅助线(如斜三角形的高线)把它转化为双直角三角形问题,然后根据已知条件与未知元素之间的关系,利用解直角三角形的知识,列出方程求解.

      page0295
       方法4 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法

      方法4 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法

      (1)实际问题中已知有关视角的度数求边长时,应先根据题意画出直角三角形,求出这个角的三角函数值,再利用三角函数的定义求得相应边长.

      (2)利用三角函数求实际问题中视角的度数时,应先根据题意画出直角三角形,并根据已知条件求出这个角的三角函数值,再求出角的度数.

       方法5 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题的方法

      方法5 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题的方法

      关于航海、距离最短等问题应首先弄清方向角的意义,再结合实际问题抽象出示意图并构造三角形,还要分析三角形中的已知元素和未知元素,如果这些元素不在同一个直角三角形中或者在同一个斜三角形中,就需要添加辅助线,化不可解的三角形为可解的直角三角形.在解题的过程中,有时还需要设未知数,通过构造方程来求解.这类题目主要考查同学们解决实际问题的能力.

      page0296
       方法6 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题的方法

      方法6 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题的方法

      解决坡角、坡度相关问题时,首先要认真读题,弄清题意,理解坡角、坡度的实际意义及坡角与坡度的关系,其次是从图中确定要解的直角三角形,充分使用坡角、坡度提供的相关数据,正确选择关系式.

       方法7 运用解直角三角形的知识解决台风相关问题的方法

      方法7 运用解直角三角形的知识解决台风相关问题的方法

      台风是一种自然灾害,在台风到来时,需要根据台风的半径来判断某地区是否会受到台风影响,这时候也需要借助于三角函数来比较该地区与台风中心的距离,把动态的影响转化为距离的变化来解决问题.

      page0297
       方法8 利用解直角三角形的知识测量物体的高度的方法

      方法8 利用解直角三角形的知识测量物体的高度的方法

      把课本知识与实际问题有机结合起来是理论联系实际的途径之一,也是形成应用数学意识最好的思路.利用解直角三角形的知识测量物体的高度关键在于抽象出几何图形,再通过有关三角函数知识列出相关的等式,求出物体的高度.

       选修4-2 矩阵与变换

      选修4-2 矩阵与变换

      第一讲 线性变换与二阶矩阵

      知识清单

      ·知识1 线性变换

      ·知识2 二阶矩阵

      ·知识3 零矩阵与二阶单位矩阵

      ·知识4 旋转变换

      ·知识5 反射变换

      ·知识6 伸缩变换

      ·知识7 投影变换

      ·知识8 切变变换

      ·知识9 变换与矩阵的相等

      ·知识10 列向量

      ·知识11 矩阵与向量乘法

      ·知识12 线性变换的性质和定理

      知识1 线性变换

      在平面直角坐标系内,形如x′=ax+by,y′=cx+dy.①其中系数a,b,c,d均为常数的几何变换称为线性变换,①式叫做这个线性变换的坐标变换公式.P′(x′,y′)是P(x,y)在这个线性变换作用下的像.

      知识2 二阶矩阵

      引入矩形数表来表示线性变换.

      由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵,数a,b,c,d称为矩阵的元素.在二阶矩阵中,横的叫行,竖的叫列.

      知识3 零矩阵与二阶单位矩阵

      元素全为0的二阶矩阵称为零矩阵,简记为0.矩阵称为二阶单位矩阵,记为E2.

      知识4 旋转变换

      在直角坐标系xOy内,每个点都绕原点O按逆时针方向旋转α角的旋转变换(通常记为Ra)的坐标变换公式:

      如图,分别连结OP,OP′,设OP=OP′=r,记θ是以x轴的正半轴为始边、以射线OP为终边的角.由三角函数的定义得

      所以,绕原点O按逆时针方向旋转α角的旋转变换的坐标变换公式是x′=xcos α-ysin α,y′=xsin α+ycos α.对应的二阶矩阵为.

      知识5 反射变换

      关于x轴的反射变换把直角坐标系xOy内的任意一点P(x,y)变成它关于x轴的对称点P′(x′,y′),相应的坐标变换公式是x′=x,y′=-y.

      与之对应的二阶矩阵是.

      同样,关于y轴的反射变换把直角坐标系xOy内的任意一点P(x,y)变成它关于y轴的对称点P′(x′,y′).相应的坐标变换公式是x′=-x,y′=y.

      对应的二阶矩阵为.

      我们知道,在直角坐标系xOy内,任意一点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P′(y,x).所以,关于直线y=x的反射变换把直角坐标系内任意一点P(x,y)变成它关于直线y=x的对称点P′(x′,y′),相应的坐标变换公式是x′=y,y′=x.

      对应的二阶矩阵为.

      一般地,我们把平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点P′的线性变换叫做关于直线l的反射.

      知识6 伸缩变换

      在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2倍,其中k1,k2均为非零常数,我们称这样的几何变换为伸缩变换.

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      一般地,在直角坐标系xOy内,将每个点的纵坐标变为原来的k倍(k是非零常数),横坐标保持不变的线性变换,其坐标变换公式是x′=x,y′=ky.

      对应的二阶矩阵是.

      将每个点的横坐标变为原来的k倍(k是非零常数),纵坐标保持不变的线性变换,其坐标变换公式是x′=kx,y′=y.

      对应的二阶矩阵是.

      将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2倍(k1,k2均为非零常数)的线性变换,其坐标变换公式是x′=k1x,y′=k2y.

      对应的二阶矩阵为.

      知识7 投影变换

      设l是平面内一条给定的直线,对平面内的任意一点P作直线l的垂线,垂足为点P′,则称点P′为点P在直线l上的投影.将平面上每一点P变成它在直线l上的投影P′,这个变换称为关于直线l的投影变换.

      如图,设在关于x轴的(正)投影变换的作用下,点P(x,y)变成点P′(x′,y′),则x′=x,y′=0.

      因此,该变换的坐标变换公式为x′=x,y′=0.

      对应的二阶矩阵为.

      知识8 切变变换

      如图,在直角坐标系xOy内,将每一点P(x,y)沿着与x轴平行的方向平移ky个单位变成点P′,其中k是非零常数,称这类变换为平行于x轴的切变变换.

      设P′(x′,y′),则x′=x+ky,y′=y.

      因此,平行于x轴的切变变换的坐标变换公式为x′=x+ky,y′=y.

      从而,对应的二阶矩阵为.

      平行于y轴的切变变换是指将直角坐标系内的每一点P(x,y)沿着与y轴平行的方向平移kx个单位(其中k是非零常数)的线性变换.其坐标变换公式为x′=x,y′=kx+y.

      对应的矩阵为.

      特别提醒 在切变变换的条件下,变换前后的图形的面积大小不变.

      知识9 变换与矩阵的相等

      设σ,p是同一直角坐标平面内的两个线性变换,如果对平面内任意一点P,都有σ(P)=p(P),则称这两个线性变换相等,简记为σ=p.

      设σ,p所对应的二阶矩阵分别为A=,B=.如果σ=p,那么它们对应的系数分别相等,即a1=a2,b1=b2,c1=c2,d1=d2.这时我们也称二阶矩阵A与二阶矩阵B相等,即对于两个二阶矩阵A与B,如果它们的对应元素都分别相等,则称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B.

      知识10 列向量

      向量(x,y)是一对有序数组,x,y叫做它的两个分量.我们把这两个分量按照x在上,y在下的次序写成一列,这种形式的向量称为列向量,相应的,形如(x,y)的向量称为行向量.

      知识11 矩阵与向量乘法

      设A=,α=,规定二阶矩阵A与向量α的乘积为向量,记为Aα或,即Aα==.

      这样就定义了矩阵与向量的乘法.

      由上述定义可知,二阶矩阵A与平面向量α的乘积仍然是一个平面向量,它的第一个分量为A的第一行的元素与α的对应位置元素乘积的和,第二个分量为A的第二行的元素与α的对应位置元素乘积的和.

      page281

      知识12 线性变换的性质和定理

      (1)设A是一个二阶矩阵,α,β是平面上的任意两个向量,λ,μ是任意两个实数,则A(λα)=λAα,A(α+β)=Aα+Aβ,A(λα+μβ)=λAα+μAβ.

      (2)二阶矩阵对应的线性变换把平面上的直线变成直线(或一点).

      知识拓展 根据向量加法的平行四边形法则,图中的单位正方形区域可用向量形式表示为x1i+x2j(0≤x1,x2≤1).

      设A是一个二阶矩阵,由矩阵与平面向量乘积的性质得A(x1i+x2j)=x1(Ai)+x2(Aj)(0≤x1,x2≤1).

      由于上述等式的右端表示以Ai,Aj为邻边的平行四边形区域,所以矩阵A所对应的线性变换把图中的单位正方形区域变成以Ai,Aj为邻边的平行四边形区域(如图).因此,我们只需考察单位向量i,j在线性变换作用下的结果,就能得到单位正方形区域在线性变换作用下所变成的图形.

      (1)恒等变换

      把平面上任意一点变成它本身的几何变换称为恒等变换,记为I.容易看出,恒等变换保持平面上的每一点的位置不变.

      恒等变换I对应的矩阵为E2=.

      (2)旋转变换

      旋转变换Rα对应的矩阵为A=.

      ②当α=90°时,A=.

      (3)切变变换

      ①平行于x轴的切变变换,对应的矩阵为A=,其中k是非零常数,令k=1,则A=.

      ②平行于y轴的切变变换,对应的矩阵为A=,其中k是非零常数,令k=1,则A=.

      (4)反射变换

      ①关于x轴的反射变换,对应的矩阵为A=.

      ②关于y轴的反射变换,对应的矩阵为A=.

      (5)投影变换

      ①关于x轴的正投影变换,对应的矩阵为A=.

      page282

      ②关于y轴的正投影变换,对应的矩阵为A=.

      方法清单

      ·方法1 代入法求线性变换下的直线方程

      ·方法2 利用特殊变换的矩阵求曲线方程

      ·方法3 利用特殊变换的性质解题

      方法1 代入法求线性变换下的直线方程

      利用矩阵对应的变换求得变换前后变量之间的关系式,代入已知的直线方程,从而求出所求直线方程.

      方法2 利用特殊变换的矩阵求曲线方程

      曲线的变换可用矩阵表示,从而利用矩阵的运算求曲线方程.

      方法3 利用特殊变换的性质解题

      对于一些特殊变换可直接利用其性质解题.

      page283
       第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法

      第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法

      知识清单

      ·知识1 复合变换

      ·知识2 二阶矩阵的乘法

      ·知识3 矩阵乘法的性质

      知识1 复合变换

      设A=,B=,在直角坐标系xOy内,它们所对应的线性变换分别为f,g,对平面上的任意一个向量α=依次作变换g和f,其作用效果为=,这也是一个线性变换,我们称它为变换g与变换f的复合变换,记为f·g.

      知识2 二阶矩阵的乘法

      AB==称这个二阶矩阵为矩阵A与矩阵B的乘积.

      知识3 矩阵乘法的性质

      (1)矩阵的乘法满足结合律:设A,B,C是任意三个二阶矩阵,则(AB)C=A(BC).

      (2)矩阵的乘法不满足交换律.

      (3)矩阵的乘法不满足消去律.

      (4)设A是二阶矩阵,n是任意自然数,规定A^(0)=E2,A^(1)=A,A^(2)=AA^(1),A^(3)=AA^(2),…,A^(n)=AA^(n-1).

      (5)设A是二阶矩阵,k,l是任意自然数,有A^(k)A^(l)=A^(k+l),(A^(k))^(l)=A^(kl).

      方法清单

      ·方法1 利用矩阵乘法公式进行运算

      ·方法2 利用矩阵相等求矩阵的元素

      ·方法3 利用矩阵乘法求图形面积

      ·方法4 特殊点法求线性变换下直线的方程

      方法1 利用矩阵乘法公式进行运算

      使用矩阵乘法公式时,要记准所得矩阵每一元素的运算方式.

      方法2 利用矩阵相等求矩阵的元素

      两个矩阵相等当且仅当对应元素相等.

      方法3 利用矩阵乘法求图形面积

      利用矩阵乘法求图形面积时,先利用矩阵求出变换后顶点的坐标.

      page284

      可知O,A,B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为0′(0,0),A′(2,0),B′(2,-1).可知△O′A′B′的面积为1.

      方法4 特殊点法求线性变换下直线的方程

      因为线性变换将直线变成直线(或点),因此可取变换前直线上的两点,求出所取的两点在线性变换下的像,然后用两点式求出直线方程.

       第三讲 逆变换与逆矩阵

      第三讲 逆变换与逆矩阵

      知识清单

      ·知识1 逆变换与逆矩阵

      ·知识2 二阶行列式

      ·知识3 逆矩阵的性质

      ·知识4 二元一次方程组的矩阵形式

      ·知识5 系数矩阵可逆的方程组的解

      ·知识6 二元一次方程组有非零解的充要条件

      知识1 逆变换与逆矩阵

      (1)逆变换

      一般地,设p是一个线性变换,如果存在线性变换σ,使得σp=pσ=I,则称变换p可逆,并且称σ是p的逆变换.

      (2)逆矩阵

      设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA=AB=E2,则称矩阵A可逆,并称B是A的逆矩阵.

      知识2 二阶行列式

      表达式ad-bc称为二阶行列式,记作,也称为二阶矩阵A=的行列式,记为det A或|A|.

      知识3 逆矩阵的性质

      (1)不是每个变换都有逆变换,不是每个矩阵都有逆矩阵.

      (2)若二阶矩阵A可逆,则A的逆矩阵唯一,记作A^(-1).

      (3)若二阶矩阵A,B可逆,则AB也可逆,且(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

      (4)二阶矩阵A=可逆,当且仅当det A≠0.

      (5)二阶矩阵A=可逆时,A^(-1)=.

      知识4 二元一次方程组的矩阵形式

      一般地,关于变量x,y的二元一次方程组

      ax+by=e,cx+dy=f ①(其中a,b,c,d均为常数)可以写成

      , ②其中矩阵A=是把二元一次方程组①中未知数x,y的系数按原来的顺序写出来得到的,所以称之为二元一次方程组①的系数矩阵,②式称为二元一次方程组①的矩阵形式.

      对于一般的二元一次方程组①,从线性变换的角度来看,解这个方程组可以表述为:

      已知线性变换p:=和平面上的一个确定的向量,找出平面上的向量,使得该向量在线性变换p的作用下变成已知向量.

      page285

      有时我们也把二元一次方程组①的解写成向量的形式,称这种形式的解为二元一次方程组①的解向量.

      知识5 系数矩阵可逆的方程组的解

      如果关于变量x,y的二元一次方程组(线性方程组)ax+by=e,cx+dy=f的系数矩阵A=可逆,那么该方程组有唯一解=.

      知识6 二元一次方程组有非零解的充要条件

      关于变量x,y的二元一次方程组ax+by=0,cx+dy=0,其中a,b,c,d是不全为零的常数,有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式=0.

      方法清单

      ·方法1 公式法求逆矩阵

      ·方法2 待定系数法求逆矩阵

      ·方法3 利用逆矩阵解方程组

      ·方法4 利用行列式的定义求行列式的值

      方法1 公式法求逆矩阵

      求一个矩阵的逆矩阵先求出其行列式的值,然后用公式求逆矩阵.

      方法2 待定系数法求逆矩阵

      待定系数法求矩阵是求矩阵的一种通用通法,设出其元素,然后利用矩阵相等求.

      方法3 利用逆矩阵解方程组

      利用逆矩阵的知识可以解方程组.

      方法4 利用行列式的定义求行列式的值=ad-bc.

      page286
       第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量

      第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量

      知识清单

      ·知识1 矩阵的特征值与特征向量

      ·知识2 特征值与特征向量的性质

      ·知识3 特征方程

      知识1 矩阵的特征值与特征向量

      设矩阵A=,若存在实数λ及非零向量ξ,使得Aξ=λξ,则称λ是矩阵A的一个特征值,ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量.

      知识2 特征值与特征向量的性质

      (1)不是每个矩阵都有特征值与特征向量.

      (2)属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.

      (3)设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则对任意的非零常数k,kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.

      (4)所谓特征向量是指在线性变换下变成了与自身共线的向量.

      知识3 特征方程

      对于矩阵A=,称多项式f(λ)=为矩阵A的特征多项式,方程=0,即f(λ)=0称为矩阵A的特征方程.

      方法清单

      ·方法1 特征值与特征向量的求法

      ·方法2 利用特征值、特征向量计算矩阵的高次乘方

      方法1 特征值与特征向量的求法

      求矩阵A=的特征值、特征向量的方法:

      (1)写出矩阵A的特征多项式f(λ)=.

      (2)令f(λ)=0,得矩阵A的特征值λ.

      (3)通过Aξ=λξ求出矩阵A属于特征值λ的特征向量ξ.

      方法2 利用特征值、特征向量计算矩阵的高次乘方

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       选修4-4 坐标系与参数方程

      选修4-4 坐标系与参数方程

      第一讲 坐标系

      知识清单

      ·知识1 直角坐标系

      ·知识2 平面上的伸缩变换

      ·知识3 极坐标系

      ·知识4 极坐标和直角坐标的互化

      ·知识5 曲线的极坐标方程

      ·知识6 直线的极坐标方程

      ·知识7 圆的极坐标方程

      ·知识8 柱坐标系及柱坐标与直角坐标的转化

      ·知识9 球坐标系及球坐标与直角坐标的转化

      知识1 直角坐标系

      (1)建立坐标系必须满足的条件

      任意一点都有确定的坐标与它对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置.

      (2)数轴(直线坐标系)

      在直线上取定一点O,取定一个方向,再取一个长度单位.点O,长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系,简称数轴.如图.

      (3)平面直角坐标系

      在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线,一条称为x轴,一条称为y轴,交点O称为原点,再取一个长度单位.如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系,记为xOy.如图.

      (4)空间直角坐标系

      过空间中一个定点0,作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴,就构成了空间直角坐标系.点O称为坐标原点,三条数轴分别称为x轴、y轴、z轴.如图.

      (5)坐标系的作用

      ①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物.

      ②可找到动点的轨迹方程,确定动点运动的轨迹(或范围).

      ③可通过数形结合,用代数的方法解决几何问题.

      知识2 平面上的伸缩变换

      设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:x′=λx(λ>0),y′=µy(µ>0)的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.

      特别提醒 ①λ>0,μ>0;

      ②把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;

      ③在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换.

      知识3 极坐标系

      (1)极坐标系的概念

      在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

      极坐标系的要素:极点,极轴,长度单位,角度单位和它的正方向.极坐标系的五要素,缺一不可.

      (2)点的极坐标

      设M是平面内任意一点,用p表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么p叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(p,θ)叫做M点的极坐标,如图.

      特别提醒 ①关于θ和p的正负:

      极角θ的始边是极轴,取逆时针方向为正,顺时针方向为负,θ的值一般以弧度为单位.

      page288

      ρ>0时,坐标为(ρ,θ)的点M在极角θ的终边上,|OM|=ρ;ρ<0时,坐标为(ρ,θ)的点M在极角θ的终边的反向延长线上,|OM|=-ρ.

      ②特殊位置点的极坐标:

      极点的极坐标为(0,θ)(θ为任意值);

      极轴上的点的极坐标为(ρ,0)(ρ>0);

      极轴反向延长线上的点的极坐标为(ρ,π)(p>0);

      极垂线(过极点且垂直于极轴的直线)上的点的极坐标为(ρ,π/2),(ρ,3π/2)(ρ>0).

      ③点的极坐标的多值性:非极点M的坐标有无限多个.

      一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

      如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.

      知识4 极坐标和直角坐标的互化

      (1)互化的前提条件

      ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;

      ②极轴与x轴的正半轴重合;

      ③两种坐标系中取相同的长度单位.

      (2)互化公式

      x=ρcos θ,y=ρsin θ;ρ^(2)=x^(2)+y^(2),tan θ=y/x(x≠0).

      特别提醒 (1)直角坐标化为极坐标用第二组公式.通常取p>0,而极角θ由tanθ=y/x(x≠0)及点(x,y)所在的象限取最小正角.

      (2)当x=0时,(0,0)(0,θ)(θ∈R);当y>0时,(0,y)(ρ,π/2);当y<0时,(0,y)(ρ,3π/2).

      (3)直角坐标方程与极坐标方程互化时,要注意互化前后方程的等价性.

      (4)若极点与坐标原点不是同一个点.如图,设M点在以O为原点的直角坐标系中的坐标为(x,y),在以O′(x0,y0)为原点也是极点的时候的直角坐标为(x′,y′),极坐标为(ρ,θ),则有

      第一组公式用于极坐标化直角坐标;第二组公式用于直角坐标化极坐标.

      知识5 曲线的极坐标方程

      一般地,在极坐标系中,如果一条曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.

      知识6 直线的极坐标方程

      (1)过极点且与极轴成α角的直线方程是θ=α.

      方程θ=α(ρ≥0)表示过极点与极轴成α角的射线OM(如图).

      (2)过点(a,π/2),且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=a.当a>0时,直线在极轴的上方;当a<0时,直线在极轴的下方(如图).

      (3)过点(a,0),且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=a.当a>0时,直线在极点的右侧;当a<0时,直线在极点的左侧(如图).

      (4)倾斜角为α,且极点到直线的距离是d的直线方程.

      若直线与极轴相交,则ρsin(α-θ)=d(如图).

      若直线与极轴的反向延长线相交,则ρsin(θ-α)=d.

      (5)过定点M(ρ0,θ0),且倾斜角为α的直线方程是ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0)(如图).

      page289

      知识7 圆的极坐标方程

      (1)圆心是(ρ0,θ0),半径为r(如图),则圆的方程为ρ^(2)-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02)-r^(2)=0.

      这是圆在极坐标系下的一般方程.

      (2)过极点且半径为r的圆的方程

      ①若圆心是(r,θ0)(如图),则方程为ρ=2rcos(θ-θ0);

      ②若圆心是(r,0)(如图),则方程为ρ=2rcosθ;

      ③若圆心是(r,π)(如图),则方程为ρ=-2rcosθ;

      ④若圆心是(r,π/2)(如图),则方程为ρ=2rsinθ;

      ⑤若圆心是(r,3π/2)(如图),则方程为ρ=-2rsinθ.

      (3)以极点为圆心、r为半径的圆(如图)的方程是ρ=r.

      知识8 柱坐标系及柱坐标与直角坐标的转化

      (1)柱坐标系

      设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的投影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标,点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(ρ,θ,z)叫点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z).其中ρ≥0,0≤θ<2π,z∈(-∞,+∞).

      柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及

      page290
      空间直角坐标系中的一部分建立起来的(如图).

      (2)柱坐标与直角坐标的转化关系式

      x=ρcos θ,y=ρsin θ,z=z.(ρ≥0,0≤θ<2п,-∞<z<+∞)

      知识9 球坐标系及球坐标与直角坐标的转化

      (1)球坐标系

      设P是空间任意一点,连结OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影点为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π(如图).

      (2)球坐标与直角坐标的转化关系式

      x=rsin φcos θ,x=rsin φsin θ,z=rcos φ.(r≥0,0≤φ≤п,0≤θ<2п)

      知识拓展 如图,以焦点O为极点,Ox为极轴建立极坐标系,Ox与准线l垂直,极轴所在的直线与l交于D点.设圆锥曲线方程为ρ=ρ(θ),在曲线上任取一点M(ρ,θ),过点M作准线l的垂线MN,过极点O作MN的垂线OE,交曲线于A点,作AB∥MN,记|OD|=ρ,离心率为e,则圆锥曲线的极坐标方程为:ρ=.

      方法清单

      ·方法1 求伸缩变换后的图形

      ·方法2 待定系数法求伸缩变换

      ·方法3 极坐标与直角坐标的互化

      ·方法4 普通方程与极坐标方程的互化

      ·方法5 极坐标系下的运算

      ·方法6 直角坐标与柱坐标的互化

      ·方法7 直角坐标与球坐标的互化

      方法1 求伸缩变换后的图形

      由伸缩变换公式解出x,y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程.

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      方法2 待定系数法求伸缩变换

      求伸缩变换时,首先用待定系数法设出变换,再代入原方程或变换后的方程,求出其中的系数即可.

      方法3 极坐标与直角坐标的互化

      极坐标与直角坐标的转化:x=ρcos θ,y=ρsin θ或ρ^(2)=x^(2)+y^(2),tanθ=y/x(x≠0).当极坐标中含有sinθ、cosθ时,可将方程两边同乘p,凑成psinθ,pcosθ的项,以便代入互化公式化为直角坐标方程.

      方法4 普通方程与极坐标方程的互化

      利用极坐标与直角坐标的互化公式x=ρcos θ,y=ρsin θ或ρ^(2)=x^(2)+y^(2),tanθ=y/x(x≠0)进行转化.

      方法5 极坐标系下的运算

      极坐标系中的相关计算问题一般都化为直角坐标或普通方程后,应用平面直角坐标系中的相关公式、相关结论求解,体现了转化与化归思想.

      page292

      方法6 直角坐标与柱坐标的互化

      由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,我们可以先设出点M的柱坐标为(p,θ,z),代入变换公式x=ρcos θ,y=ρsin θ,z=z求ρ;也可以利用ρ^(2)=x^(2)+y^(2)求ρ.利用tanθ=y/x求θ,在求θ的时候要特别注意角θ所在的象限,从而确定θ的取值.

      方法7 直角坐标与球坐标的互化

      将直角坐标化为球坐标时,我们可以先设点M的球坐标为(r,φ,θ),再利用变换公式x=rsin φcos θ,y=rsin φsin θ,z=rcos φ求出r、φ、θ;也可利用r^(2)=x^(2)+y^(2)+z^(2),tanθ=y/x,cosφ=z/r.特别注意由直角坐标求球坐标时,θ和φ的取值应首先看明白点所在的象限,准确取值,才能无误.

       第二讲 参数方程

      第二讲 参数方程

      知识清单

      ·知识1 参数方程的概念

      ·知识2 参数方程和普通方程的互化

      ·知识3 圆的参数方程

      ·知识4 椭圆x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1(a>b>0)的参数方程

      ·知识5 抛物线y^(2)=2px(p>0)的参数方程

      ·知识6 双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a,b>0)的参数方程

      ·知识7 直线的参数方程及其推导过程

      ·知识8 渐开线及其参数方程

      ·知识9 摆线及其参数方程

      ·知识10 利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算方法

      知识1 参数方程的概念

      一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数x=f(t),y=g(t),并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点

      page293
      M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.

      相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

      关于参数的几点说明:

      (1)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.

      (2)同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不同.

      (3)在实际问题中要确定参数的取值范围.

      知识2 参数方程和普通方程的互化

      在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.否则,互化就是不等价的.

      (1)参数方程化为普通方程的过程就是消参过程,常见方法有三种:

      ①代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数;

      ②三角法:利用三角恒等式消去参数;

      ③整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.

      (2)普通方程化为参数方程需要引入参数.

      如:①直线l的普通方程是2x-y+2=0,可以化为参数方程x=t,y=2t+2(t为参数).

      ②在普通方程xy=1中,令x=tanθ(tanθ≠0),可以化为参数方程(θ为参数).

      知识3 圆的参数方程

      (1)圆心为原点,半径为r的圆的参数方程

      如图,如果点P的坐标为(x,y),圆的半径为r,∠AOP=θ,根据三角函数定义,知点P的横坐标x、纵坐标y都是θ的函数,即x=rcos θ,y=rsin θ(θ为参数).

      并且对于θ的每一个允许值,由方程所确定的点P(x,y)都在圆O上.我们把这个方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程,θ为参数.

      (2)圆心为O1(a,b),半径为r的圆的参数方程

      如图,圆心为O1(a,b)、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆经过平移得到,设圆O1上任意一点P(x,y)是圆O上的点P1(x1,y1)平移得到的,由平移公式,有x=x1+a,y=y1+b.

      又x1=rcos θ,y1sin θ,所以x=a+rcos θ,y=b+rsin θ,即为所求的参数方程.

      知识4 椭圆x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1(a>b>0)的参数方程

      如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个同心圆,点B是大圆半径0A与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时,点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设∠xOA=φ,M(x,y),则A(acosφ,asinφ),B(bcosφ,bsinφ),由已知得x=acosφ,y=bsinφ(φ为参数),

      page294
      即为点M的轨迹参数方程.

      消去参数得x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1,即为点M的轨迹普通方程.

      (1)参数方程x=acosφ,y=bsinφ是椭圆的参数方程.

      (2)在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b,φ称为离心角,规定参数φ的取值范围是[0,2π).

      (3)焦点在y轴的参数方程为x=bcosφ,y=asinφ

      知识5 抛物线y^(2)=2px(p>0)的参数方程

      如图,抛物线y^(2)=2px(p>0)的参数方程为x=2pt^(2),y=2pt(t为参数,t∈R).其中参数t=1/tanα(α≠0).

      几何意义为:t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.即M(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=x/y.

      知识6 双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a,b>0)的参数方程

      其中φ是参数,0≤φ<2π,φ≠π/2,φ≠3/2π.

      知识7 直线的参数方程及其推导过程

      设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右(l的倾斜角为0)的单位方向向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同).

      直线l的倾斜角为α,定点M0、动点M的坐标分别为(x0,y0)、(x,y),

      e=(cosα,sinα),=(x,y)-(x0,y0)=(x-x0,y-y0).

      ∥e,

      ∴存在实数t∈R,使得=te,

      即(x-x0,y-y0)=t(cosα,sinα),

      ∴x-x0=tcosα,y-y0=tsinα,

      即x=x0+tcosα,y=y0+tsinα.

      ∴经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数).

      直线的参数方程中参数t的几何意义是:|t|表示参数t对应的点M到定点M0的距离.当与e同向时,t取正数;当与e异向时,t取负数;当点M与M0重合时,t=0.

      知识8 渐开线及其参数方程

      (1)渐开线的定义

      如图1,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线就是一个圆的渐开线,固定的圆称为渐开线的基圆.

      (2)渐开线的参数方程

      如图2,以基圆圆心O为原点,直线OM0为x轴,建立平面直角坐标系.设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为(x,y).∠AOB=∠MAB=φ,显然,点M由角φ唯一确定.取φ为参数,则点A的坐标为(rcosφ,rsinφ),从而=(x-rcosφ,y-rsinφ),

      |=rφ,因为向量e=(cosφ,sinφ)是与同方向的单位向量,所以(sinφ,-cosφ)是与同方向的单位向量,所以=(x-rcosφ,y-rsinφ)

      page295
      =rφ(sinφ,-cosφ),

      解得x=r(cosφ+φsinφ),y=r(sinφ-φcosφ)(φ是参数).

      这就是圆的渐开线的参数方程.

      知识9 摆线及其参数方程

      (1)摆线的定义

      一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点M的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线.

      (2)摆线的参数方程

      根据点M满足的几何条件,我们取定直线为x轴,定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系.圆的半径为r.

      如图,设开始时定点M在原点,圆滚动了t角后与x轴相切于点A,圆心在点B.从点M分别作AB,x轴的垂线,垂足分别是C,D.设点M的坐标为(x,y),取t为参数,根据点M满足的几何条件,有x=OD=OA-DA=OA-MC=rt-rsin t,y=DM=AC=AB-CB=r-rcos t.

      所以,摆线的参数方程为x=r(t-sint),y=r(1-cost)(t为参数).

      知识10 利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算方法

      把l:x=x0+tcos α,y=y0+sin α代入圆锥曲线C:F(x,y)=0,即可消去x,y,从而得到关于t的一元二次方程at^(2)+bt+c=0(a≠0).则(1)当Δ<0时,l与C无交点;(2)当Δ=0时,l与C有一个公共点;(3)当Δ>0时,l与C有两个公共点,此时方程at^(2)+bt+c=0有两个不同的实根t1、t2,把参数t1、t2代入l的参数方程,即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐标.另外,由参数t的几何意义,可知弦长|M1M2|=|t1-t2|=.

      方法清单

      ·方法1 参数方程与普通方程的互化

      ·方法2 求直线的参数方程

      ·方法3 参数方程问题的解决方法

      ·方法4 利用圆的渐开线的参数方程求点

      ·方法5 求圆的摆线的参数方程

      ·方法6 利用参数的几何意义解题

      ·方法7 数形结合法解参数方程有关问题

      方法1 参数方程与普通方程的互化

      (1)将曲线的参数方程化为普通方程的方法应视题目的特点而定,要选择恰当的方法消参,并要注意由于消参后引起的范围限制消失而造成的增解问题.常用的消参技巧有加减消参,代入消参,平方消参等.

      (2)普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t,先确定一个关系x=f(t)(或y=φ(t)),再代入普通方程F(x,y)=0,求得另一关系y=φ(t)(或x=f(t)).一般地,常选择的参数有角、斜率、某一点的横坐标(或纵坐标)等.普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一样.

      方法2 求直线的参数方程

      求直线的参数方程或应用直线的参数方程,要熟记直线参数方程的形式及参数的意义.

      page296

      方法3 参数方程问题的解决方法

      解决参数方程的一个基本思路是将其转化为普通方程,然后在直角坐标系下利用解决问题的方式进行解题.

      方法4 利用圆的渐开线的参数方程求点

      利用参数方程求解点只需将参数代入方程就可求得.

      方法5 求圆的摆线的参数方程

      根据圆的摆线的参数方程的表达式x=r(φ-sinφ),y=r(1-cosφ)(φ为参数),可知只需求出其中的r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,因此只需把点代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.

      方法6 利用参数的几何意义解题

      过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数).

      参数t的几何意义:|t|表示参数t对应的点M到定点M0的距离,利用这一几何意义可求线段的长.

      page297

      方法7 数形结合法解参数方程有关问题

      对于参数方程的有些问题,可用数形结合的方法求解.

      方法拓展 参数方程与极坐标的综合问题常统一成直角坐标问题,再用解析几何知识求解.此类问题中常出现两个坐标系:直角坐标系和极坐标系,一定要看清是在哪个坐标系下的方程.

      page298
       选修4-5 不等式选讲

      选修4-5 不等式选讲

      第一讲 不等式和绝对值不等式

      知识清单

      ·知识1 三个正数的算术—几何平均不等式

      ·知识2 绝对值的定义

      ·知识3 绝对值不等式的解集

      ·知识4 绝对值三角不等式

      ·知识5 绝对值不等式的解法

      知识1 三个正数的算术—几何平均不等式

      (1)定理

      如果a、b、c∈R^(+),那么,当且仅当a=b=c时,等号成立.

      (2)推广

      对于n个正数a1,a2,a3,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即

      (当且仅当a1=a2=a3=…=an时,等号成立).

      知识2 绝对值的定义

      |a|=

      由定义易得

      |ab|=|a||b|,|a/b|=|a|/|b|(b≠0).

      知识3 绝对值不等式的解集

      一般地,可得解集规律:

      形如|x|<a和|x|>a(a>0)的含绝对值不等式的解集:

      (1)不等式|x|<a的解集为{x}-a<x<a}(表示如下图).

      (2)不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a}(表示如下图).

      特别提醒 如果a≤0,不等式的解集易得.利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.

      知识4 绝对值三角不等式

      (1)基本形式

      定理1:如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

      定理2:如果a、b、c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+

      b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.

      (2)推广形式

      如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

      |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.

      (3)复数形式

      |z1+z2|≤|z1|+|z2|(如图).

      (4)向量形式

      |a+b|≤|a|+|b|(如图).

      知识5 绝对值不等式的解法

      解含有绝对值的不等式,关键在于去绝对值符号,将含有绝对值的不等式转化成一般的代数不等式.常用的去绝对值的方法有:

      (1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(a>0)型不等式的解法

      对于这类不等式常用定义法求解.

      page299

      ②|ax+b|≥c

      特别地,当a=1,b=0时,即为|x|≤c或|x|≥c,则

      ①|x|≤c

      ②|x|≥c

      (2)|x-a|<|x-b|,|x-a|>|x-b|(a≠b)型不等式的解法

      对于这类不等式,我们常用两边平方去绝对值符号的方法求解,即

      |x-a|<|x-b|(x-a)^(2)<(x-b)^(2);

      |x-a|>|x-b|(x-a)^(2)>(x-b)^(2).

      (3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法

      这类不等式可应用以下三种方法考虑:

      ①分区间(分类)讨论法.

      ②图象法.作出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象,先将f(x)的解析式表示出来,设a<b时,f(x)=再数形结合求解.

      ③几何法.|x-a|+|x-b|>c(c>0)可以理解为数轴上到定点A(a),B(b)的距离之和大于c的点M(x)的全体.

      ∴当c<|a-b|时,|x-a|+|x-b|<c无解;|x-a|+

      x-b|>c的解集为R

      (4)|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型的解法

      ①|f(x)|<g(x)f(x)≥0,f(x)<g(x)

      或f(x)<0,-f(x)<g(x).(定义法)

      |f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x).(等价式)

      ②|f(x)|>g(x)f(x)≥0,f(x)>g(x)或f(x)<0,-f(x)>g(x).(定义法)

      |f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(等价式)

      (5)|f(x)|>|g(x)|,|f(x)|<|g(x)|型不等式的解法

      |f(x)I>|g(x)|[f(x)]^(2)>[g(x)]^(2);

      |f(x)|<|g(x)|[f(x)]^(2)<[g(x)]^(2).

      两边平方法适合不等式两边非负的情形.

      知识拓展 关于凹凸函数性质的重要结论:

      (1)凸函数

      均值的函数值不小于函数值的均值,即f()≥.

      (2)凹函数

      均值的函数值不大于函数值的均值,即f()≤

      方法清单

      ·方法1 利用绝对值的几何意义解含绝对值的不等式

      ·方法2 利用绝对值三角不等式定理求最值

      ·方法3 零点分段法解绝对值不等式

      ·方法4 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法

      ·方法5 绝对值不等式问题中求范围的方法

      ·方法6 含绝对值不等式的证明

      方法1 利用绝对值的几何意义解含绝对值的不等式

      (1)根据绝对值的几何意义,可以借助数轴直观地解决问题:

      ①|x|的几何意义是数轴上点x到原点的距离;

      ②|x1-x2|的几何意义是数轴上点x1到点x2的距离.

      例如:对一切实数x,不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立,求实数a的取值范围.

      解析:|x+1|+|x-2|的几何意义是数轴上点x到-1与2两点的距离之和,又因为数轴上点到-1,2两点距离和的最小值为3,所以要保证对任何实数x,不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立,只有a<3.

      (2)根据函数y=|f(x)|图象的画法,即保持y=f(x)图象中在x轴上方的部分不动,将y=f(x)图象中在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,可得y=|f(x)|的图象.利用图象法求解绝对值不等式,可使问题变得简单明了.

      page300

      方法2 利用绝对值三角不等式定理求最值

      (1)绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤

      a|+|b|中等号成立的条件要特别注意,特别是用此定理求最值及进行不等式放缩时.

      (2)定理可推广:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

      方法3 零点分段法解绝对值不等式

      (1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的解.

      (2)把这些解由小到大排序,它们把数轴分为若干个区间.

      (3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集.

      (4)这些解集的并集就是原不等式的解集.

      方法4 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法

      形如|ax+b|≤c和|ax+b|≥c的不等式的解法除用绝对值的意义去掉绝对值符号外,也可采用两边平方的方法,但应注意c的正负.

      (1)c>0,则|ax+b|≤c可转化为-c≤ax+b≤c,

      ax+b|≥c可转化为ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a、b的值解出即可.

      (2)c<0,则|ax+b|≤c的解集为,|ax+b|≥c的解集为R

      page301

      方法5 绝对值不等式问题中求范围的方法

      绝对值不等式问题中的求取值范围的问题常转化为求函数的最值或数形结合求最值.

      方法6 含绝对值不等式的证明

      一类是比较简单的不等式,往往可以通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式的证明,或利用绝对值三角不等式性质定理,通过适当添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.

       第二讲 证明不等式的基本方法

      第二讲 证明不等式的基本方法

      知识清单

      ·知识1 几个重要的放缩不等式

      ·知识2 不等式的几个常见结论

      ·知识3 数学归纳法与贝努利不等式

      知识1 几个重要的放缩不等式

      知识2 不等式的几个常见结论

      (1)a,b>0,m,n∈N,n≥m,a^(n)+b^(n)≥a^(m)b^(n-m)+a^(n-m)b^(m)(纯大杂小).

      ①和定时两正数越相近其积越大,即x1+y1=x2+y2=S,若|x2-y2|>|x1-y1|,则x2y2<x1 y1(和定近积大);

      ②积定时两正数越相近其和越小,即x1y1=xy2=P,若|x2-y2|>|x1-y1|,则x2+y2>x1+y1(积定近和小).

      (2)m,n,k,l>0,若m+n=k+l,|m-n|>|k-l|,则<(近大远小).

      知识3 数学归纳法与贝努利不等式

      (1)用数学归纳法证明不等式

      在不等式关系的证明中,有多种多样的方法,其

      page302
      中数学归纳法是最常用的方法之一,在运用数学归纳法证不等式时,推导k+1成立时,其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用.

      (2)贝努利不等式

      定理:设x>-1,且x≠0,n为大于1的自然数,则(1+x)^(n)>1+nx.

      证明:(用数学归纳法)

      ①当n=2时,由x≠0知

      (1+x)^(2)=1+x^(2)+2x>1+2x,

      因此n=2时命题成立.

      ②假设n=k(k≥2为正整数)时命题成立,即(1+x)^(k)>1+kx,

      则当n=k+1时,

      (1+x)^(k+1)=(1+x)^(k)(1+x)>(1+kx)(1+x)

      =1+x+kx+kx^(2)>1+(k+1)x.

      由①②及数学归纳法知原命题成立.

      方法清单

      ·方法1 比较法

      ·方法2 综合法

      ·方法3 分析法

      ·方法4 反证法

      ·方法5 放缩法

      ·方法6 数学归纳法证明不等式

      方法1 比较法

      比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法,它常用的证明方法有两种:

      (1)作差比较法

      ①应用范围:当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,常用此法.

      ②方法:欲证A>B,只需证A-B>0.

      ③步骤:作差→变形(常用的变形方法有:通分、因式分解、配方等)→判断(各因式大于或小于0)→结论(原不等式成立),其关键是分清题型进行合理变形.

      ④使用此法作差后主要变形形式的处理.

      a.将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式,常用配方法或实数特征(a^(2)≥0)判断差的符号.

      b.将差变形为几个因式的积的形式,常用因式分解法.

      总之,变形的主要目的是有利于判断式子的符号,而变形方法不限定.也就是说,关键是变形的目标.如将差变形为(a-b)(a^(3)-b^(3))也能进行判断,尽管它不是平方和的形式,也不是因式分解的结果.

      c.若变形后得到二次三项式,常用判别式法判断符号.

      (2)作商比较法

      ①应用范围:当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时,常用此法.

      ②方法:要证A>B,常分以下三种情况:

      若B>0,只需证明A/B>1;

      若B=0,只需证明A>0;

      若B<0,只需证明A/B<1.

      ③步骤:作商→变形→判断(大于1或小于1)→结论.

      方法2 综合法

      利用题设和某些已经证明过的不等式或不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法称为综合法.

      综合法的思路是由因导果,也就是从已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直至推导出欲证的不等式.

      page303

      方法3 分析法

      从所求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已具备,就可断定原不等式成立,这种证明的方法叫做分析法.

      使用分析法时,通常采用欲证—只需—已知的格式.

      分析法的思路是执果索因,在表述中经常用符号.这里要注意箭头的方向.用分析法时,一般用,用综合法时,一般用.

      一般来说,无理数不等式、三角不等式以及含绝对值符号的不等式,采用分析法较方便.

      方法4 反证法

      要证不等式M>N,先假设M≤N,由题设及其他性质,推出矛盾,从而肯定M>N成立.凡涉及要证的不等式为否定性命题、唯一性命题或是含至多至少等字眼时,可考虑使用反证法.

      反证法属于间接证明,其步骤是:

      (1)假设:作出与命题结论相反的假设;

      (2)归谬:在假设的基础上,经过推理,导出矛盾的结果;

      (3)结论:肯定原命题的正确性.

      方法5 放缩法

      要证明不等式A<B成立,有时可以将它的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A<C,再证C<B,这种证法叫做放缩法.

      常用的放缩技巧有:舍掉(或加进)一些项;在分式中放大或缩小分子或分母;应用基本不等式放缩.如:

      放缩法的理论依据主要有:不等式的传递性;等量加不等量为不等量;同分子(分母)、异分子(分母)的两个分式大小的比较.

      page304

      方法6 数学归纳法证明不等式

      应用数学归纳法证明不等式时,往往结合放缩法证明n=k+1时的情况.

       第三讲 柯西不等式与排序不等式

      第三讲 柯西不等式与排序不等式

      知识清单

      ·知识1 柯西不等式

      ·知识2 排序不等式

      知识1 柯西不等式

      (1)柯西不等式的代数形式

      设a1,a2,b1,b2均为实数,则

      )(

      ≥(a1b1+a2b2)^(2),

      当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立.

      (2)柯西不等式的向量形式

      当α,β是两个向量,则

      |α·β|≤|α|·|β|.

      当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.

      (3)三角不等式

      由|α|+|β|≥|α+β|可得:设a1,a2,b1,b2均为实数,

      .

      等号成立存在非负实数μ及λ使得μa1=λb1,μa2=λb2.

      (4)平面三角不等式

      设a1,a2,b1,b2,c1,c2为实数,则

      .

      等号成立存在非负实数λ及μ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1),μ(a2-b2)=λ(b2-c2).

      (5)设α,β,φ为平面向量,则

      |α-β|+|β-φ|≥|α-φ|.

      当α-β,β-φ为非零向量时,上面不等式中等号成立存在正数λ,使得α-β=λ(β-φ)向量α-β与β-φ同向,即夹角为零.

      (6)柯西不等式的一般形式

      设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn为实数,则

      (a12)+a22)+…+an2))(b12)+b22)+…+bn2))≥(a1b1+a2b2+…+anbn)^(2).

      等号成立a1/b1=a2/b2=…=an/bn

      (当b^(j)=0时,认为aj=0,j=1,2,…,n)

      知识2 排序不等式

      (1)定义

      设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,称

      a1b1+a2b2+…+anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称

      a1bn+a2bn1+…+anb1

      page305
      为这两个实数组的反序积之和(简称反序和),称

      a1c1+a2c2+…+ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).

      (2)定理:(排序不等式,又称排序原理)

      设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则

      a1bn+a2bn1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn

      当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.

      排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和.

      方法清单

      ·方法1 利用柯西不等式求最值

      ·方法2 利用柯西不等式进行证明

      ·方法3 用排序不等式证明不等式

      方法1 利用柯西不等式求最值

      (1)二维形式的柯西不等式(a^(2)+b^(2))(c^(2)+d^(2))≥(ac+bd)^(2),当且仅当ad=bc时等号成立.

      (2)对于不等式(a12)+b12)+c12))(a22)+b22)+c22))≥(a1a2+b1b2+c1c2)^(2),当且仅当a1/a2=b1/b2=c1/c2时等号成立.

      因此使用柯西不等式时构造符合的形式是关键.

      方法2 利用柯西不等式进行证明

      构造两组数是用柯西不等式证明问题的一个关键点.

      方法3 用排序不等式证明不等式

      用排序不等式的关键是构造两组数,并比较出大小及按顺序排列.

      方法拓展 含参变量的柯西不等式的应用:

      含参变量的柯西不等式的恒成立问题,同一般不等式的恒成立问题思路一样,都是分离变量后,求不等式一边的代数式的最大值或最小值.本题就是凑出柯西不等式的形式,利用柯西不等式求最值.

      page306
       数学重要思想方法

      数学重要思想方法

      1 函数与方程思想

      知识清单

      ·知识1 函数与方程思想的概述

      ·知识2 函数思想

      ·知识3 方程思想

      ·知识4 函数与方程思想的应用

      知识1 函数与方程思想的概述

      函数与方程的思想是高中数学的一条主线,这可以从高中课程内容一直是以函数为主线这一事实体现出来,而且函数与方程思想也是数学最本质的思想之一.函数思想使常量数学进入了变量数学,高中数学中的基本初等函数、数列、不等式、解析几何等问题都可以转化为函数与方程问题.

      知识2 函数思想

      函数思想是指运用运动和变化的观点去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题和解决问题.深刻理解一般函数的单调性、周期性、值域和图象变换,熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的具体特性,是应用函数思想解题的基础,而善于分析问题的结构特征,揭示其内在联系,挖掘隐含条件,从而恰当地构造函数和灵活运用函数的性质是实施解题的关键,它广泛地应用于方程、不等式和数列等问题中.

      知识3 方程思想

      与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想,就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数及各量的值,使问题获得解决,所设的未知数,沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件,它架设了由已知探索未知的桥梁.事实上,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.

      知识4 函数与方程思想的应用

      函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在以下几个方面:

      (1)函数与不等式的相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就化为不等式f(x)>0,借助函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.

      (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.

      (3)函数f(x)=(a+bx)^(n)(n∈N^(*))与二项式定理密切相关,利用这个函数,用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题及求和问题.

      (4)解析几何中的许多问题,例如直线与曲线的位置关系问题,需要通过解方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

      (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间向量后,立体几何与函数的关系就更加密切了.

      (6)函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等.

      (7)方程思想的应用可分为逐渐提高的四个层次:

      ①解方程;

      ②含参数的方程的讨论;

      ③转化为对方程的研究,如曲线的位置关系、函数的性质、集合的关系;

      ④构造方程求解.

      page307

      方法清单

      ·方法1 函数思想解恒成立问题或存在性问题

      ·方法2 方程思想解解析几何问题

      ·方法3 用函数与方程思想求取值范围

      ·方法4 构造符合条件的函数求值

      ·方法5 构造函数证明不等式

      ·方法6 利用方程的判别式求参数取值范围

      ·方法7 利用方程求解字母的值

      方法1 函数思想解恒成立问题或存在性问题

      恒成立问题与存在性问题是高考中常考类型题,通过把不同的变量分离到等号或不等号的两边,转化为求函数的最大值或最小值.

      解决这类问题的关键是分清取最大值还是最小值以及正确求出最值.

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      方法2 方程思想解解析几何问题

      在解析几何问题中,常利用根与系数之间的关系解决长度、中点等问题.

      方法3 用函数与方程思想求取值范围

      求取值范围的问题通常通过变量的代换转化为求函数的值域.

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      方法4 构造符合条件的函数求值

      抽象函数的求值问题可以通过赋值的方法求解,在选择题、填空题中也可以构造符合条件的函数求值.

      方法5 构造函数证明不等式

      不等式的证明问题可以通过不等式的变形构造出合适的函数,通过求函数的值域(或最值)证明不等式成立.

      方法6 利用方程的判别式求参数取值范围

      将参数转化为一元二次方程的系数,可利用判别式求参数的取值范围.

      方法7 利用方程求解字母的值

      利用方程求解字母的值,一般有几个字母就需要几个方程.

      page310
       数形结合思想

      2 数形结合思想

      知识清单

      ·知识1 数形结合思想概述

      ·知识2 利用数形结合思想可求解的几种问题

      ·知识3 数形结合的途径

      ·知识4 数形结合的原则

      ·知识5 利用数形结合思想分析和解决问题时需注意的问题

      知识1 数形结合思想概述

      数形结合是解数学题中常用的思想方法,使用数形结合的方法很多问题都能迎刃而解,且解法简捷.所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过以形助数,以数解形,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

      数形结合思想常与以下内容有关:

      (1)实数与数轴上的点的对应关系;

      (2)函数与图象的对应关系;

      (3)曲线与方程的对应关系;

      (4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如复数、三角函数等;

      (5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.

      知识2 利用数形结合思想可求解的几种问题

      (1)构建函数模型并结合图象求参数的范围;

      (2)构建函数模型并结合图象研究方程根的范围;

      (3)构建函数模型并结合图象研究量与量之间的大小关系;

      (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;

      (5)构建立体几何模型研究代数问题;

      (6)构建解析几何的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;

      (7)研究图形的形状、位置和性质等:

      (8)集合及其运算问题——Venn图与数轴;

      (9)数学概念及数学表达式几何意义的应用.

      知识3 数形结合的途径

      (1)通过坐标系数形结合

      借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化.这一方法在解析几何中体现得相当充分;值得强调的是,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧.

      (2)通过转化构造数形结合

      许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将a>0与距离互化,将a^(2)与面积互化,将a^(2)+b^(2)+ab=a^(2)+b^(2)-2a·bcosθ(θ=120°)与余弦定理沟通,将a≥b≥c>0且b+c>a中的a,b,c与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线、二元二次方程与相应的圆锥曲线对应.

      知识4 数形结合的原则

      (1)等价性原则

      在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.

      (2)双向性原则

      在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析,在很多时候是很难行得通的.

      (3)简单性原则

      找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法,则取决于哪种方法更为简单,而不要刻意去追求一种流行的模式.

      知识5 利用数形结合思想分析和解决问题时需注意的问题

      (1)要准确地画图,并注意函数的定义域;

      (2)要弄清概念的几何意义及曲线的代数特征;

      (3)要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化工作;

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      (4)用图象法讨论含参方程或含参不等式时,要把两边的代数式看成两个函数表达式,然后作出图象,由图形再结合其他知识(如判别式)求解.

      方法清单

      ·方法1 数形结合解线性规划问题

      ·方法2 利用数轴、Venn图求集合

      ·方法3 数形结合解向量问题

      ·方法4 数形结合解解析几何问题

      ·方法5 数形结合解函数问题

      ·方法6 数形结合求最值

      ·方法7 利用数学表达式的几何意义解题

      方法1 数形结合解线性规划问题

      (1)类似分式问题常转化为斜率问题.

      (2)类似(x-1)^(2)+(y+1)^(2)可看作点(x,y)到点(1,-1)的距离的平方的问题.

      方法2 利用数轴、Venn图求集合

      用数轴解决数集之间的关系运算问题,直观简洁,易于得到答案.

      方法3 数形结合解向量问题

      向量用有向线段表示,则向量的数量关系就可以用图形表示.

      方法4 数形结合解解析几何问题

      每一个曲线的方程都对应着一条曲线,画出方程的曲线,利用定义或几何性质解题.

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      方法5 数形结合解函数问题

      画函数的图象时,注意不同函数图象的相对位置关系要准确.

      方法6 数形结合求最值

      求最值时首先考虑的是数形结合,正确画出题目中的图形,从图形上看最大值、最小值.

      方法7 利用数学表达式的几何意义解题

      在解题时有意识地找到数学式子表达的几何图形,从而使问题形象、直观且简单.

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       分类讨论思想

      3 分类讨论思想

      知识清单

      ·知识1 分类讨论思想的概述

      ·知识2 简析引起分类讨论的原因

      ·知识3 分类原则及方法

      ·知识4 解分类讨论问题的步骤

      ·知识5 简化和避免分类讨论的策略

      知识1 分类讨论思想的概述

      (1)分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的答案.

      (2)分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一,是历年高考的重点.

      ①分类讨论思想具有明显的逻辑特点.

      ②分类讨论问题一般覆盖知识点较多,考查学生的知识面.

      ③解分类讨论问题,需要学生有一定的分析能力和分类技巧.

      ④分类讨论的思想与生产实践以及高等数学都紧密相关.

      知识2 简析引起分类讨论的原因

      有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论的思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种:

      (1)涉及的数学概念需分类讨论.如绝对值|a|的定义分a>0,a=0,a<0三种情况,这种分类讨论的题型称为概念型.

      (2)运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况,这种分类讨论的题型称为性质型.

      (3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性.

      (4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果.如解不等式ax>2分a>0,a=0和a<0三种情况讨论,这种分类讨论的题型称为含参型.

      (5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.

      知识3 分类原则及方法

      (1)分类原则

      ①对所讨论的全域分类要既不重复,也不遗漏;

      ②在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;

      ③对多级讨论,应逐级进行,不能越级.

      (2)分类方法

      ①概念和性质是分类的依据;

      ②按区域(定义域或值域)进行分类是基本方法;

      ③不定因素(条件或结论不唯一,数值大小的不确定,图形位置的不确定)是分类的突破口;

      ④层次分明是分类讨论的基本要求.

      知识4 解分类讨论问题的步骤

      (1)确定分类讨论的现象,即对哪个参数进行讨论.

      (2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级).

      (3)逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决.

      (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.

      知识5 简化和避免分类讨论的策略

      在重视分类讨论思想的同时,要防止见参数就讨论的做法,尽量使分类讨论更加合理,常用的优化策略有:

      (1)直接回避.如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开繁琐的讨论;

      (2)变更主元.如分离参数、变参置换,构造以讨论对象为变量的函数有时可避开讨论;

      (3)利用合理运算,简化讨论,如利用函数奇偶性、变量的对称变换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论;

      (4)利用数形结合,简化讨论,利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时也可以避开讨论.

      page314

      方法清单

      ·方法1 对问题的变量或参数进行分类讨论

      ·方法2 对条件是分类给出的问题进行分类讨论

      ·方法3 对求解过程不便统一表述的问题进行分类讨论

      ·方法4 关于图形的位置、类型的分类问题

      ·方法5 解题过程中间出现的分类讨论

      方法1 对问题的变量或参数进行分类讨论

      数学问题中含有变量或参数,这些变量或参数取不同的值会导致不同的结果,或者由于参数的不同值要运用不同的推算方法,因此要对参数分类讨论.

      方法2 对条件是分类给出的问题进行分类讨论

      有些概念、定理、公式、法则本身就包含了分类,如绝对值、直线的斜率、指数函数与对数函数的定义、等比数列的求和公式等,当求解需要突破这些限制条件时就必须要分类讨论,这些范围或条件为分类提供了依据.

      方法3 对求解过程不便统一表述的问题进行分类讨论

      在求解过程中,由于受题目条件的限制,统一表达不方便,必须进行分类讨论.

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      方法4 关于图形的位置、类型的分类问题

      有些几何问题中,由于图形的形状、位置的不确定性需要对问题进行分类讨论.

      方法5 解题过程中间出现的分类讨论

      在解题过程中间出现了因为字母范围不确定而需要分类讨论的情况,需增加条件,从而得到明确的解题方向.

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       转化与化归思想

      4 转化与化归思想

      知识清单

      ·知识1 转化与化归思想的概述

      ·知识2 转化与化归的原则

      知识1 转化与化归思想的概述

      所谓化归思想就是通过转化,使所要解决的问题由难变易或变为已经解决的问题,或者把某一数学分支中的问题变为另一数学分支中的问题,以有利于解决问题的一种数学思想.

      化归思想常常以变换题目的结构形状、变更问题、从反面探究结论等方式出现,前面所介绍的函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论等都是重要的化归方法.

      知识2 转化与化归的原则

      (1)目标简单化原则

      将复杂的问题向简单的问题转化.

      (2)和谐统一性原则

      即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐,在量、形关系上趋于统一的方向进行,使问题的条件和结论更均匀和恰当.

      (3)具体化原则

      即化归方向应由抽象到具体.

      (4)低层次原则

      即将高维空间问题化归成低维空间问题.

      (5)正难则反原则

      即当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.

      方法清单

      ·方法1 直接转化法

      ·方法2 换元法转化

      ·方法3 数形结合法转化

      ·方法4 构造法转化

      ·方法5 坐标法转化

      ·方法6 补集法转化

      ·方法7 空间与平面间的转化

      ·方法8 几何条件转化为向量关系的方法

      ·方法9 变更主元的转化方法

      ·方法10 一般式转化为标准式

      方法1 直接转化法

      把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

      方法2 换元法转化

      运用换元把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

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      方法3 数形结合法转化

      研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)的关系,通过互相变换获得转化途径.

      方法4 构造法转化

      构造一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题.

      方法5 坐标法转化

      以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径.

      方法6 补集法转化

      如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结果看作集合A,而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集CUA使原问题得以解决.

      方法7 空间与平面间的转化

      将空间的图形转化为平面图形,利用平面几何的知识来解决问题.

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      方法8 几何条件转化为向量关系的方法

      解决平面几何问题时,常常结合向量的运算及向量的特征,将一些几何条件转化为向量之间的关系,使其方便求解.

      方法9 变更主元的转化方法

      这类问题往往含有多个变元,为了消除在讨论问题中的分类因素,常通过变更主元的方法来实现.

      方法10 一般式转化为标准式

      圆锥曲线中如不是标准方程则不容易看出其几何意义,常把一般式转化为标准式.

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       整体思想

      5 整体思想

      知识清单

      ·知识 整体思想的概述

      知识 整体思想的概述

      解数学问题时,人们常习惯于把它分成若干个简单的问题,再各个击破,分而治之.有时,研究问题应有意识地放大观察问题的视角,将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构,并注意已知条件及待求结论在这个整体中的地位和作用,然后通过对整体结构的调节和转化使问题获解.这种对数学问题的整个系统或整个过程进行研究的思想方法称为整体思想.

      在解题时,要仔细观察命题的外形,把握问题的特征,展开联想,创设整体(或整体处理),常常会使解题思路豁然开朗.

      方法清单

      ·方法1 整体代入

      ·方法2 整体变形

      ·方法3 构造整体法

      ·方法4 设而不求

      方法1 整体代入

      在求值过程中,将已知某个部分整体代入可简化运算.

      方法2 整体变形

      将求解问题看成是一个整体,然后根据题目特点进行整体变形,达到求解的目的.

      方法3 构造整体法

      在解题过程中,有时将局部的问题通过适当的增添补形,使之成为容易解决的整体.

      方法4 设而不求

      在求解某个量的过程中,可能要借助其他量,对于这些辅助量,我们只要表示出而不必求出,谓之设而不求,其实质也是一种整体代换.

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       数学建模思想

      6 数学建模思想

      知识清单

      ·知识 数学建模思想

      知识 数学建模思想

      数学建模是运用数学思想方法和知识解决实际问题的过程.一般来说,可采用下列策略进行数学建模:

      (1)双向推理列式,利用已知条件顺向推理,运用所求结果进行逆向搜索.

      (2)借助常用模型直接列式,平均增长率的问题可建立指、对数函数或方程模型;行程、工程、浓度问题可以建立方程(组)或不等式模型;拱桥、炮弹发射问题可建立二次函数模型;测量问题可建立解三角形模型;计数问题可建立排列、组合模型;机会大小问题可建立概率模型;优化问题可建立线性规划模型.

      方法清单

      ·方法1 构建数列模型

      ·方法2 构建函数模型

      ·方法3 构建三角函数模型

      ·方法4 构建线性规划模型

      方法1 构建数列模型

      在实际问题中如能构建数列模型,则利用通项或前n项和表示有关的量,用数列有关的知识解决实际问题.

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      方法2 构建函数模型

      当实际问题中量与量的关系用函数式表示时,可构建函数模型用函数的性质解决实际问题.

      方法3 构建三角函数模型

      在实际问题中涉及测量长度或角度问题时常构造三角形,利用解三角形的知识解题.

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      方法4 构建线性规划模型

      当实际问题中可以构建用两个变量表示的约束条件和目标函数时,可用线性规划的知识解决问题.

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       数学三种题型的常用解法

      数学三种题型的常用解法

      1 选择题的常用解法

      知识清单

      ·知识 题型概述

      知识 题型概述

      数学选择题是数学命题的重要形式之一,因此它的解法既有解答一般数学题的方法,即以逻辑思维为主的方法,又有符合其题型本身特征的一些方法,即以直觉思维为主的方法.直觉思维的主要特征是思维的突发性、思维过程的非逻辑性、思维结果的创造性以及思维模式的灵活性及敏捷性等,逻辑思维与直觉思维形成辩证互补关系,高考试题中的解答题以逻辑思维为主,而选择题则以直觉思维为主,二者结合,相得益彰,考查学生完整的思维能力.

      高考数学命题者在设计选择题时,往往是起点低,落点高,考生可以从多个角度去思考,给考生提供较大的思维空间.由于思考角度不同,运用方法不同,从而花费的时间必然不同.费时少而解答正确的考生,其思维水平自然要高,这其中又必定含有直觉思维的因素.直觉思维得出的结论并不是主观臆断,而是以扎实的知识、技能技巧及有效的具体方法为基础,以对题目的敏锐观察、深刻理解为前提,即人们常说的心有灵犀一点通.

      解答数学选择题的主要方法包括直接法、排除法、特例法、数形结合法、验证法等,这些方法既是数学思维的具体体现,又是解题的有效手段.它们不仅有明确具体的内涵,而且有具体的实施步骤,具有可操作性.

      方法清单

      ·方法1 直接法

      ·方法2 验证法

      ·方法3 构造法

      ·方法4 反证法

      ·方法5 数形结合法

      ·方法6 排除法

      ·方法7 特例法

      ·方法8 估算法

      方法1 直接法

      从问题给出的已知条件出发,运用有关的定义、公理、定理、性质、公式等,使用正确的解题方法,经过推理和运算,得出正确的结论,然后对照题目中给出的选项进行判断,作出相应的选择,这种方法称之为直接法.

      在高考试卷中,有些涉及基本运算、基本推理论证的选择题,常需要用这种方法来解.直接法是解选择题的通法,适用范围广,也是高考所要考查的主要方法之一.

      方法2 验证法

      一般地,验证法是将各个选项所给的结果进行验证,根据题意,从整体出发,设计一个先后顺序,然后逐一代入题设中去检验,从而得到正确答案的方法称之为验证法.

      page324

      方法3 构造法

      它是指在解决一些较为抽象复杂的数学问题时,先考虑简单情形,或者特殊对象、特殊位置,或者极端情况,构造出一个符合题设的具体例子,将抽象问题放到简单具体背景下去考虑.

      方法4 反证法

      如果题目能够集中到某一个问题的论证,不妨使用反证法试一试,或许能得到意想不到的效果.

      方法5 数形结合法

      (1)数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考,也就是使抽象思维和形象思维有机结合,通过以形助数或以数解形,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题的目的.

      (2)运用数形结合的思想解题,不仅易于寻找解题途径,而且可以避免繁琐的计算和推理,简化解题过程,这在解选择题、填空题中更能显示出其优越性.

      方法6 排除法

      在题目提供的选项中,有且仅有一个选项是正确的.如果能利用题干所提供的条件(包括隐含条件)或已学习过的数学概念、法则、公式、定理及推论等,从选项中逐渐排除掉错误的选项,最后得到正确选项,这种方法叫做排除法.排除法是解答选择题的主要方法之一,通常较直接法要简便.

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      方法7 特例法

      特例法就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对选择项进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,判别选项真伪的方法.用特例法解选择题时,特例取得越简单越特殊越好.

      特例法主要包括:特殊值法、特殊函数法、特殊方程法、特殊位置法、特殊点法等.

      (1)特殊值法

      (2)特殊函数法

      (3)特殊方程法

      方法8 估算法

      估算法是用于解答选择题的一种简捷方法,它是指通过大体估值、合理猜想或特殊验证等手段,准确、迅速地选出答案的方法,充分体现了小题小(巧)做的解题策略.在近几年高考的多想少算命题思想中,估算法是解决此类问题的有效途径,常用的有以点估式(图)、以部分估整体、以范围估数值等.

       填空题的常用解法

      2 填空题的常用解法

      知识清单

      ·知识 题型概述

      知识 题型概述

      填空题是高考试卷中三大题型之一,设计的试题难度属于中低等难度.但填空题具有客观题型主观解答的特点.由于数学填空题只要求写出结果,不要求写出解答过程,更易造成众多考生失分.

      高考试题中填空题主要考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力.其主要特征是题目小,跨度大,知识覆盖面广,形式灵活.近几年的高考题出现了不少的创新题型:如阅读理解题,多项选择题,实际应用题等,使解填空题的要求更高更严.填空题解题的基本原则也是小题不能大做.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.

      完成填空题的规范要求:

      对于填空题,所填结果要:①完整,如写某一函数解析式时不能忘了定义域;②规范,如写不等式解集时,不能用一个不等式表示;③简洁,能化成最简

      page326
      形式的一定要化成最简形式;④全面,即有两种结果的要全部写出,不可遗漏.

      填空题不同于选择题,由于没有非正确选项干扰,因此不必担心上当受骗而误入歧途,但填空题最容易出现错误答案,或答案不当,或答案不全等问题,下面结合具体实例介绍解填空题的常用方法.

      方法清单

      ·方法1 直接法

      ·方法2 列举法

      ·方法3 构造法

      ·方法4 等价转化法

      ·方法5 数形结合法

      ·方法6 特殊值法

      方法1 直接法

      所谓直接求解法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、定义、性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断得出结论的一种解题方法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题,要善于通过现象看本质,自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.

      方法2 列举法

      填空题只要求写最后结果,通过列举算出最后结果,或通过列举找到规律,从而写出结果.

      方法3 构造法

      用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法建立在观察联想、分析综合的基础之上,首先应观察题目,观察已知(例如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型,达到快速解题的目的.

      方法4 等价转化法

      根据题意对题目所要考查的知识点进行等价转化,从而使得题目更加容易解决,在这个过程中,一定要注意对题意进行等价转化,这往往是解题的关键.

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      方法5 数形结合法

      对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目中的条件,作出符合题意的图形,并通过对图形的直观分析、判断,即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显,如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等,求解的关键是明确几何含义,准确规范地作出相应的图形.

      方法6 特殊值法

      当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等进行处理,从而得出探求的结论.为保证答案的正确性,在利用此方法时,一般应多取几个特例.

       解答题的常用解法

      3 解答题的常用解法

      知识清单

      ·知识1 题型概述

      ·知识2 完成解答题,要把握好的环节

      ·知识3 确定解题方法时,必须遵循四条基本原则

      ·知识4 完成解答题应注意的几个事项

      知识1 题型概述

      高考数学解答题考查的范围涵盖了中学数学主要内容,综合考查学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力;从历年高考试卷分析,题目的设置一般为三角函数题、立体几何题、函数与导数题、解析几何题、概率与统计题、数列题这六个方面.前两题一般难度稍低,中间两题难度稍大,最后两题多为压轴题,它们的特点为:入口宽,但对不同层次的考生设置了关卡,多层次、多角度地对考生的基础知识掌握程度和基本技能以及知识迁移等能力进行考查,用以区分考生灵活地运用知识和方法去分析和解决问题的能力.

      知识2 完成解答题,要把握好的环节

      (1)审题:这是解题的开始,也是解题的基础,一定要全面审视题目的所有条件和答题要求,以求正确、全面理解题意,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.

      审题思考中,要把握三性,即明确目的性、提高准确性、注意隐含性,解题实践表明:条件暗示可启发解题手段,结论预示并诱导解题方向,只有细致审题,才能从题目本身获得尽可能多的信息,这一步,不要怕慢,其实慢中有快,解题方向明确,解题手段合理得当,这是快的前提和保证.

      (2)寻求合理的解题思路和方法,破除模式化,力求创新是近几年高考数学试题的显著特点,解答题体现得尤为突出,因此,切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法,而应从各个不同的侧面,不同的角度,识别题目的条件和结论,认识条件和结论之间的关系,图形的几何特征与数式的数量特征的关系,谨慎地确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意.注意挖掘隐含的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.

      (3)设计有效的解题过程和步骤:解题过程中的每个步骤都要做到推理严谨,言必有据,演算准确,

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      表述得当.

      (4)画好图形:做到定形(状),定性(质),定(数)量,定位(置),注意图形中的可变因素,注意图形的运动和变换.

      知识3 确定解题方法时,必须遵循四条基本原则

      (1)熟悉化原则,即在分析题目特点的基础上,联想并利用与其有关的定理、公式和命题,把问题转化为熟悉的情形来处理.

      (2)具体化原则,即使题目中的各种概念和概念之间的关系具体、明确,以便把一般原则、一般规律应用到具体的解题过程中去.

      (3)简单化原则,即把复杂的问题转化为较简单的问题,把复杂的形式转化为较简单的形式.

      (4)和谐化原则,即强调变换问题的条件和结论,使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点,或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系.

      知识4 完成解答题应注意的几个事项

      (1)设计有效的解题过程和步骤:初步确定问题的思路和方法后,就要设计解题的过程和步骤,切忌盲目落笔,顾此失彼.解题过程中的每个步骤都要做到推理严谨,言之有据,演算准确,表述得当,及时核对数据,进行必要检查,注意不要跳步,防止无根据的判断,防止只凭直观,以不存在的图形特征作为条件进行推理,有些单纯的数式计算步骤可以适当省略,但要注意不要因此出现计算错误.

      (2)力求表述得当:解答不要使用不规范的语言,不要以某些习题中的结论为根据,只写结论,不写推导过程.

      (3)画好图形:做到定形(状),定性(质),定(数)量,定位(置).注意图形中的可变因素,注意图形的运动和变换.画好图形,对于理解题意,寻求思路,检验答案都可发挥重要的作用,一定不要只求示意,不求准确.

      方法清单

      ·方法1 语言转换的策略

      ·方法2 联想迁移的策略

      ·方法3 分类讨论的策略

      ·方法4 整体处理的策略

      ·方法5 合理转化的策略

      方法1 语言转换的策略

      每个数学命题都是由一些特定的数学语言、文字语言、符号语言、图形语言组成.数学的解题过程,实际上是数学语言的转换过程,通过语言的转换过程理解题意,确定解题方案.

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      方法2 联想迁移的策略

      联想是一种特定的想象,它是把某一领域的事物与其他领域的事物联系起来思考并由此激发新的认识的思维方式.数学解题需要联想,联想思维的过程实质上是一个知识迁移的过程.联想的目的是为了寻找解题途径,促使问题得到解决,或归纳出一个比较理想的结论.

      方法3 分类讨论的策略

      分类讨论是一种化整为零,各个击破的思想方法.先根据题目要求,确定适当的分类标准,然后对划分的每一类分别求解,如有必要可再加以分类,最后进行综合,从而得出结果.

      方法4 整体处理的策略

      整体处理,就是在处理问题时利用问题中的整体与部分的关系,通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法进行整体处理常可以简化运算过程,提高解题速度.

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      方法5 合理转化的策略

      转化思想方法就是转化到另一种情境使问题得到解决的一种方法,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维模式,转化的目的是使问题变得简单、容易、熟知,达到解决问题的有利境地,通向问题解决之路.

      (1)常量转化为变量

      有的问题需要常、变量相互转化,使求解更容易.

      (2)主元转化为辅元

      有的问题按常规方法确定主元进行处理往往受阻,陷于困境,这时可以将主元化为辅元,即可迎刃而解.

      (3)正向转化为反向

      有些数学问题,如果直接从正向入手求解难度较大,可以从反面考虑,这种方法也叫正难则反.

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      (4)数与形的转化

      数形结合实质上是将抽象的语言与直观的图形结合起来,以便化抽象为直观,达到化难为易,化繁为简的目的.

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      必修1

      必修1

      第1章 集合与函数概念

      1.1 集合

      知识清单

      ·知识1 元素与集合的概念

      ·知识2 集合中元素的性质

      ·知识3 集合的表示法

      ·知识4 元素与集合的关系

      ·知识5 集合的分类

      ·知识6 常用数集的符号

      ·知识7 子集与真子集

      ·知识8 集合相等

      ·知识9 空集

      ·知识10 Venn图

      ·知识11 交集

      ·知识12 并集

      ·知识13 全集

      ·知识14 补集

      ·知识15 集合的运算律

      ·知识16 集合中元素的个数

      ·知识17 集合与集合的关系

      ·知识18 集合中符号的区别与应用

      ·知识19 集合中子集的个数

      ·知识20 偶数集、奇数集

      知识1 元素与集合的概念

      (1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).

      集合是数学中不加定义的原始概念,是最基本的概念之一,它是用描述性语言叙述的.集合的例子数不胜数,如高三(1)班学生就组成一个集合,记为{高三(1)班学生};又如{本学校的教室}、{1,2,3,4,5}都是集合.

      (2)集合常用大写的英文字母A,B,C,…表示,元素常用小写的英文字母a,b,c,…表示.

      (3)为了更好地理解集合与元素,我们讲解下列几组对象:

      ①1,2,3,4,5,6,7,8,9;

      ②某农场所有的拖拉机;

      ③在实数范围内方程x^(2)+5=0的解.

      经过分析,我们可以看出①是由一些数组成的;②是由一些物体组成的.比如,①可以看作是由数1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的集合,其中的对象1,2,3,4,5,6,7,8,9都是这个集合中的元素;②是由某农场所有的拖拉机组成的集合,其中的对象是每一辆拖拉机,它们都是这个集合的元素;③是一个不包含任何元素的集合,是空集.

      知识2 集合中元素的性质
      确定性 对于任意一个元素,要么它属于某个指定集合, 要么它不属于该集合,二者必居其一
      互异性 同一个集合中的元素是互不相同的,相同的元素 只能出现一次
      无序性 集合中的元素没有先后顺序,即任意改变集合中 元素的排列次序,它们仍然表示同一个集合

      识图巧记

      特别提醒 集合中元素的互异性在解题中应用非常广泛,解题时如果遇到求解字母的值时,一定要将所求的字母的值代回集合检验,应用集合中元素的互异性判断字母的值是否符合题意.

      知识3 集合的表示法
      列举法 把集合中的元素一一列举出来,并用大括号{}括起来表示集合的方法叫做列举法.如:方程(x-1)(x-2)=0的所有实数根组成的集合表示为{1,2}
      描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.格式{x∈A|p(x)}.
      具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.如:由大于10、小于20的所有整数组成的集合可表示为A={x∈Z|10<x<20}
      图示法 画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合,如:表示集合{1,2,3}

      特别提醒 (1)使用列举法时,需要注意以下几点:

      ①元素间用,分隔开;

      ②元素不能重复;

      ③元素无顺序.集合{1,3,5,7}与集合{3,1,7,5}

      page1
      表示同一个集合;

      ④对于含较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.

      (2)对于描述法,不能只把注意力放在竖线I右边x适合的条件,还要对竖线I左边x的形式足够重视,看下面几个例子:

      ①对于集合A={x|x^(2)+x-1=0},A中的元素是方程x^(2)+x-1=0的解,A即方程的解构成的集合;

      ②对于集合N={(x,y)|2x-y+4>0},N中的元素可以看作是不等式2x-y+4>0所表示的平面区域,即直线2x-y+4=0右下方的坐标平面内所有的点构成的集合.

      描述法的语言形式有三种:文字语言,符号语言,图形语言.例如,由直线y=x上所有的点组成的集合,可用下列三种方法表示:

      文字语言形式:直线y=x上所有的点组成的集合;

      符号语言形式:{(x,y)|y=x};

      图形语言形式:在平面直角坐标系内画出直线y=x(略).

      使用描述法时,需注意以下几点:

      a.写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号);

      b.说明该集合中元素的性质;

      c.不能出现未被说明的字母;

      d.多层描述时,应当准确使用且或;

      e.所有描述的内容都要写在集合符号内;

      f.用于描述的语句力求简明、准确.

      知识4 元素与集合的关系
      关系 读法 记法
      a是集合A的元素 a属于集合A a∈A
      a不是集合A的元素 a不属于集合A aA

      特别提醒 (1)a与{a}不相同,前者是元素,后者是集合,它们的关系是a∈{a}.

      (2)元素与集合之间只有两种关系:属于(∈)和不属于().如1∈{1,2},3{1,2}.

      知识5 集合的分类
      集合 按元素的属性分 数集(元素是数)
      点集(元素是点)
      按元素的多少分 有限集(元素个数是有限个)
      无限集(元素个数是无限个)
      知识6 常用数集的符号

      为了书写的方便,我们规定常见的数集用特定的字母表示,下面是几种常见的数集的记法,请牢记.

      (1)全体非负整数组成的集合通常简称为非负整数集(或自然数集),记作N.

      (2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N^(*)(或N).

      (3)全体整数组成的集合通常简称为整数集,记作Z.

      (4)全体有理数组成的集合通常简称为有理数集,记作Q.

      (5)全体实数组成的集合通常简称为实数集,记作R.

      (6)全体复数组成的集合通常简称为复数集,记作C.

      识图巧记

      知识7 子集与真子集
      子集
      定义 若对任意的x∈A,都有x∈B,则称A是B的子集,记作AB(或BA),规定:空集是任何集合的子集
      性质 ①AA;②A;③若AB,BC,则AC
      真子集 定义 若AB,且存在元素bA,b∈B,则称A是B的真子集,记作AB(或 BA).空集是任何非空集合的真子集
      性质 A(A≠);
      ②若AB,BC,则AC
      知识8 集合相等
      集合相等 定义 对于两个集合A、B,如果AB,同时BA,那么集合A和集合B相等,记为A=B
      知识9 空集

      不含任何元素的集合叫空集,通常记为.数0、{0}、、{}的关系:数0不是集合,{0}是含一个元素0的集合,而是不含任何元素的集合,{}是指以为元素的集合.另外,在集合的关系与运算中千万别漏了空集这种情况.

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      知识10 Venn图

      用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.

      若A是B的真子集,则用Venn图表示为如图所示.

      知识11 交集
      交集 定义 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫做集合A与B的交集,记为A∩B={x|x∈A,且x∈B}
      性质 ①A∩A=A;②A∩=
      ③A∩B=B∩A;
      ④A∩BA,A∩BB;
      ⑤ A∩B =ABA,A∩B=BAB
      知识12 并集
      并集 定义 由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集,记为A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
      性质 ① A∪A=A;②A∪=A;
      ③ A∪BB(或A);④A∪B=B∪A
      知识13 全集

      定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.

      性质:全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素,因此全集因研究问题而异.例如,在研究数集时,常常把实数集R看作全集.在立体几何中,三维空间是全集,这时平面是全集的一个子集,而在平面几何中,整个平面可以看作是一个全集.

      知识14 补集
      补集 定义 一般地,设U是一个全集,A是U的一个子集(即AU)由U中所有不属于集合A的元素组成的集合,叫做子集A在全集U中的补集,记为CUA,即CUA={x|x∈U,且xA}
      性质 ①A∪CUA=U;②A∩ CUA=
      ③CU( CUA )=A;④ CU (A∪B)=(CUA)∩( CUB);⑤CU (A∩B)=(CUA)∪( CUB);⑥CU=U;⑦ CUU=
      知识15 集合的运算律

      (1)交换律

      A∩B=B∩A,

      A∪B=B∪A.

      (2)结合律

      A∩(B∩C)=(A∩B)∩C,

      A∪(BUC)=(A∪B)∪C.

      (3)分配律

      A∩(B∪C)=(A∩B)U(A∩C),

      AU(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

      (4)德·摩根定律

      CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),

      CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB).

      知识16 集合中元素的个数

      有限集合A的元素个数记作card(A).例如,A={a,b,c,d},则card(A)=4.

      一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

      当且仅当A∩B=时,

      card(A∪B)=card(A)+card(B).

      知识17 集合与集合的关系

      (1)集合与集合的关系有:=四种.

      (2)集合A与集合B的包含关系有且仅有两种:AB和AB.

      (3)需要说明的几点:

      ①真子集必是子集,子集不一定是真子集,即

      ABAB,ABAB.

      ②任何一个集合是它本身的子集,即AA.

      ③空集是任何集合的子集,即A.

      空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠).

      ④对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC.

      对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC.

      知识18 集合中符号的区别与应用

      (1)用符号∈,是表示元素与集合之间的关系,在立体几何中体现点与直线(面)的关系.

      (2)用符号= 表示集合与集合之间的关系.

      知识19 集合中子集的个数

      由n个元素组成集合A,则有:

      (1)A的子集个数是2^(n);

      (2)A的真子集个数是2^(n)-1;

      (3)A的非空子集个数是2^(n)-1;

      (4)A的非空真子集个数是2^(n)-2.

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      知识20 偶数集、奇数集

      (1)偶数集={x|x=2n,n∈Z}={x|x=2(n-1),n∈Z}={…,-6,-4,-2,0,2,4,6,…}.

      (2)奇数集={x|x=2n-1,n∈Z}={x|x=2n+1,n∈Z}={x|x=4n±1,n∈Z}={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}.

      方法清单

      ·方法1 列举法

      ·方法2 数形结合在集合中的应用

      ·方法3 Venn图的运用

      ·方法4 应用集合中元素的三性

      ·方法5 补集思想(转化思想)

      ·方法6 信息给予题的探究方法

      方法1 列举法

      在求集合的子集时,可用列举法一一列举出来.在列举时要按照一定的顺序进行,如按子集中元素个数从少到多排列.

      方法2 数形结合在集合中的应用

      为了使集合的交、并、补关系直观形象地显示而利于运算,要十分重视数形结合思想的应用.本节中数形结合主要体现在用韦恩图及数轴解决有关问题.

      数轴的运用要注意的几个方面:

      (1)利用数轴解决集合的运算问题时,特别需要注意的是端点值的问题,是能取等号,还是不能取等号.

      (2)数轴法的特点是简单直观,因此,要注意将数轴画出来,只有对数轴的运用达到熟练掌握,才可以不画数轴,但也应在草稿纸上画出数轴,避免出错.

      (3)要注意各个端点的画法:能取到端点的值时,用实心的点在数轴上表示;取不到端点的值时,用空心的圈在数轴上表示.

      方法3 Venn图的运用

      用Venn图讨论集合的关系,具有化抽象为具体的功能.我们要做到已知集合运算式就能作出相应的Venn图.

      方法4 应用集合中元素的三性

      集合中元素的性质:确定性、互异性、无序性.解有关集合的问题要自始至终围绕着这三个性质展开.解集合问题,首先要认清集合是由哪些元素组成的,这就要根据集合的情况,把元素表述的抽象形式具体化、形象化,使元素的特征(或属性)充分显现出来,再根据集合中对元素的约束条件,分清集合的元素,从而把集合的元素确定下来,这是解集合问题的关键,也就是说,要围绕集合中元素的确定性这一性质来确定集合,利用元素的互异性检验,最后解决问题.

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      方法5 补集思想(转化思想)

      转化思想作为一种思想方法,给我们研究问题开辟了新思路,今后要有意识地去体会并运用.在正向思维受阻时,改用逆向思维,可能会柳暗花明.

      方法6 信息给予题的探究方法

      有些试题是通过定义一个新概念或约定一种新运算或给定一个新模型来创设新的问题情境,它要求考生在阅读理解的基础上,依据题中提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,从而顺利地解决问题.信息给予题已成为近几年高考的热点问题.

      知识拓展 1.研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.

      集合 {x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)}
      集合的意义 方程f(x)=0的解集 不等式f(x)>0的解集 函数y=f(x)的定义域 函数y=f(x)的值域 函数y=f(x)图象上的点集

      2.数轴、韦恩图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题.

      3.注意空集的特殊性,在解题中,若未指明集合非空时,要考虑空集的可能性,如AB,则有A=和A≠两种可能,此时应分类讨论.

      1.2 函数及其表示

      知识清单

      ·知识1 函数的定义

      ·知识2 函数概念的理解

      ·知识3 映射

      ·知识4 函数的定义域

      ·知识5 函数的值域

      ·知识6 函数的对应关系

      ·知识7 函数相等

      ·知识8 分段函数

      ·知识9 区间与无穷的概念

      ·知识10 区间在数轴上的表示

      ·知识11 复合函数

      ·知识12 函数的表示方法

      知识1 函数的定义

      (1)传统定义:在某一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于某个范围内的任一个x的值,都有唯一的y值与之对应,则称y是x的函数,x叫自变量,y叫因变量.

      (2)现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f∶A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x)(x∈A),其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

      page5
      知识2 函数概念的理解

      (1)A、B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.在现代定义中,B不一定是函数的值域.

      (2)对应关系、定义域、值域是函数的三要素,三者缺一不可,其中对应关系f是核心,定义域是根本.只有当两个函数的对应关系和定义域都分别相同时,才能说这两个函数是同一个函数.如y=x与y=()^(2)、y=x^(2)/x的定义域互不相同,因此是不同的函数.

      知识3 映射

      (1)映射的定义

      设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f∶A→B为从集合A到集合B的一个映射.

      (2)映射f∶A→B的三个特性

      ①存在性:对于A中的任一元素a,必存在元素b作为它的象:a→b=f(a);

      ②唯一性:A中每个元素a的象f(a)是唯一的,即a=bf(a)=f(b);

      ③封闭性:A中每个元素a的象f(a)必须在B中,即f(a)∈B.

      特别提醒 ①任意性:映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形等组成的集合.

      ②在映射f∶A→B中,集合A(定义域),集合B,法则f(对应关系)三位一体,缺一不可.

      ③映射是有方向的.A到B的映射不能说成B到A的映射,也不能说成A与B之间的映射.

      ④映射中的对应包括一对一和多对一,但不包括一对多或多对多.

      比如,在如图所示的四个对应中,只有(b),(d)才是从集合A到集合B的映射.

      (3)一一映射

      设A,B是两个非空集合,f∶A→B是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做从A到B的一一映射.

      (4)映射与函数的联系与区别

      ①函数一定是映射,但映射不一定是函数.

      ②在函数中,A,B是两个数集,即A,B中的元素都是实数.但在映射中,A,B中的元素不一定是实数.

      知识4 函数的定义域

      函数的定义域是自变量x的取值范围,它是构成函数的重要组成部分,确定函数定义域的原则:

      (1)当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合;

      (2)当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数x的集合;

      (3)当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合;

      (4)当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定;

      (5)函数的定义域必须是非空数集,因此定义域为空集的函数不存在.

      知识5 函数的值域

      函数的值域是由对应关系f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值组成的集合.

      (1)函数的值域的理解

      ①函数的值域与最值均是在定义域上研究的,闭区间上的连续函数必有最大值和最小值.

      ②函数值域的几何意义是对应函数图象上纵坐标的变化范围.

      page6

      (2)确定函数值域的原则

      ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;

      ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;

      ③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数定义域及其对应关系唯一确定;

      ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.

      (3)常见函数的值域一览表

      函数 函数值域
      一次函数y=kx+b(k≠0) R
      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a≠0) 当a>0时,值域
      为[,+∞);
      当a<0时,值域
      为(-∞,]
      反比例函数y=k/x(x≠0,k≠0) {y|y∈R且y≠0}
      指数函数y=a^(x)(a>0且a≠l) (0,+∞)
      对数函数y=loga(a>0且a≠1) R
      正弦函数y=sinx;
      余弦函数y=cosx
      [-1,1]
      正切函数y=tanx(x≠п/2+kп,k∈Z) R
      知识6 函数的对应关系

      (1)对应关系f是函数关系的本质特征

      y=f(x)的意义:y就是x在关系f下的对应值,而f是对应得以实现的方法和途径.如f(x)=3x+5,f表示3倍的自变量加上5,如f(3)=3×3+5=14.

      (2)f(x)与f(a)的区别与联系

      f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量为x的函数,在一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28,是一个常数.

      (3)函数符号f(x)中的f表示对应关系

      在不同的问题中,f的具体含义不一样.例如在函数y=2x^(2)-3x+1中,对应关系f就表示函数值是自变量的平方的2倍减去自变量的3倍加上1;而在函数y=1/x+中,对应关系f就表示函数值是自变量的倒数加上自变量的算术平方根的1/5.

      知识7 函数相等

      (1)函数相等的定义

      如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.

      (2)如何判断两个函数是否为相等函数

      函数含有三个要素,即定义域A,值域C和对应关系f.其中核心是对应关系f,它是函数关系的本质特征.

      只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是:

      ①定义域不同,两个函数也就不同.

      ②对应关系不同,两个函数也是不同的.

      ③即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数.因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.

      知识8 分段函数

      在函数的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数通常称为分段函数.如函数

      就是分段函数.

      特别提醒 (1)分段函数的定义域是各段自变量的取值集合的并集;

      (2)分段函数的值域是各段函数的取值集合的并集;

      (3)分段函数是一个函数,而不是几个函数;

      (4)研究分段函数的性质时,应根据先分后合的原则.

      page7
      知识9 区间与无穷的概念

      (1)区间

      设a,b是两个实数,而且a<b,规定:

      ①闭区间:满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b];

      ②开区间:满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b);

      ③半开半闭区间:满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a, b].

      这里的实数a与b都叫做相应区间的端点,a为左端点,b为右端点,称b-a为区间长度.

      (2)无穷的概念

      实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),∞读作无穷大,-∞读作负无穷大,+∞读作正无穷大.把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).

      特别提醒 (1)区间是集合的又一种表示形式.

      (2)区间符号内两个字母(或数字)之间用,隔开,且区间的左端点必小于右端点.

      (3)无穷大是一个符号,不是一个数.以-∞或+∞为区间的一端点时,这一端必须是小括号.

      知识10 区间在数轴上的表示
      定义 名称 符号 数轴表示
      {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
      {x|a<x<b} 开区间 (a,b)
      {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b)
      {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b]
      {x|x≥a} [a,+∞)
      {x|x>a} (a,+∞)
      {x|x≤b} (-∞,b]
      {x|x<b} (-∞,b)
      知识11 复合函数

      复合函数:如果y是u的函数,而u是x的函数,即y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做复合函数,u叫做中间变量.如函数y=(a>0且a≠1)可以看成是由指数函数y=a^(u)和二次函数u=x^(2)+4x-2复合而成的.

      知识12 函数的表示方法

      表示函数的常用方法:解析法、列表法、图象法.

      (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个数学表达式表示,这个数学表达式又叫做函数的解析表达式,简称解析式.

      例如,S=60t^(2);A=πr^(2);S=2πrl;y=ax^(2)+bx+c;y=(x≥2);…都是用解析式表示的函数关系.

      (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

      实例:初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表都是用来表示函数关系的.我们生活中也经常遇到列表法,比如银行中的利息表、列车时刻表、国民生产总值表都是列表法.

      (3)图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

      实例:气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线,工厂的生产图象及股票走势图等,都是用图象法表示函数关系的.

      (4)三种方法的优缺点

      优点 缺点
      解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来
      列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
      图象法 能直观、形象地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大
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      方法清单

      ·方法1 求函数定义域的常用方法

      ·方法2 求函数解析式的常用方法

      ·方法3 求函数值域的常用方法

      方法1 求函数定义域的常用方法

      (1)若f(x)是整式,则f(x)的定义域是R.

      (2)若f(x)是分式,则要求分母不为零.

      (3)若(n∈N^(*)),则要求f(x)≥0.

      (4)若logaf(x)(a>0且a≠1),则要求f(x)>0.

      (5)y=x^(0)的定义域是{x∈R|x≠0}.

      (6)若同时出现上述几种情况,则分别找出各自的定义域然后求交集.

      (7)抽象函数的定义域:

      当所给函数没有解析式,即为抽象函数时,其定义域的求解:要弄清所给函数间有何关系,进而求解.如:

      ①已知y=f[g(x)]的定义域为A,求f(x)的定义域就是求g(x)的值域,其中x∈A.

      ②已知y=f(x)的定义域为A,求f[g(x)]的定义域就是由g(x)∈A解出x的范围,即为f[g(x)]的定义域.

      特别提醒 已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(x+1)的定义域.

      错解:∵函数f(x)的定义域为[0,1],即0≤x≤1,

      ∴1≤x+1≤2.

      ∴f(x+1)的定义域是[1,2].

      错因分析:对抽象函数的定义域理解不透,不明白f(x)与f[g(x)]定义域之间的区别与联系,其实在这里只要明白:f(x)中x的取值范围与f[g(x)]中式子g(x)的取值范围一致就行.

      正解:∵函数f(x)的定义域为[0,1],即0≤x≤1,

      ∴f(x+1)满足:0≤x+1≤1,即-1≤x≤0,

      ∴f(x+1)的定义域是[-1,0].

      误区警示:做这类题目必须真正理解函数的定义域,在相同对应关系下哪些量的取值范围是相同的,这是解决这类问题的关键.

      (8)当函数是以实际问题给出时,其定义域不仅要考虑其解析式的意义,还要看实际意义.

      方法2 求函数解析式的常用方法

      (1)换元法:设t=g(x),解出x,代入f[g(x)],即可得f(t)的解析式,使用此法时,一定要注意新引入的变量的取值范围.

      (2)待定系数法:有些题目给出函数特征,求函数的解析式,可用待定系数法,比如函数是二次函数,可设f(x)=ax^(2)+bx+c(a≠0),其中a,b,c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a,b,c即可.

      (3)配凑法:根据具体解析式凑出复合变量的形式,从而求出解析式,若已知f[g(x)]的解析式,要求f(x)的解析式时,可从f[g(x)]的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示,再将解析式两边的g(x)用x代替即可.

      (4)函数方程法:将f(x)作为一个未知数来考虑,建立方程(组),消去其他的未知数便得f(x)的解析式.

      方法3 求函数值域的常用方法

      在解题中,关键是要熟悉求函数值域的几种基本方法.遇到求值域的问题时,应首先考虑有哪几种基本方法.一般方法是什么,特殊方法是什么,在多种方法中选出最优方法.求函数值域没有通用方法和固定模式,

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      要靠自己积累经验,掌握规律.函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题,要注意基本不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应用.求函数值域,不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域的制约作用.

      (1)观察法

      函数解析式结构简单,可直接看出其单调性或某一部分的范围的,可结合不等式求出其值域.

      (2)配方法

      需要转化为二次函数,并注意完全平方项是否为零,形如y=ax^(2)+bx+c(a≠0)或F(x)=a[f(x)]^(2)+bf(x)+c(a≠0)这一类的函数.

      (3)换元法

      通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式.换元法是数学方法中几种最主要的方法之一,在求函数的值域中同样发挥着重要作用.

      (4)三角代换法

      对于含结构的函数,可利用三角代换,令x=acosθ,θ∈[0,π],或令x=asinθ,θ∈[-π/2,π/2]转化为三角函数.

      (5)判别式法

      需要转化为一元二次方程,并注意等号能否成立,形如y=(a1,a2不同时为0)的函数.

      ①函数的定义域应为R;②分子、分母没有公因式;③要注意二次方程中二次项的系数,只有二次项系数非零时,才能使用判别式.

      (6)利用函数的单调性

      如果函数在某区间上具有单调性,那么在该区间两端点函数取得最值.对于常见的一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数以及y=型函数,可依据图象确定其单调性,然后求其最值.这里,着重介绍形如y=x+k/x(k>0)的函数.在不能用重要不等式的情况下(等号不成立),可考虑用函数的单调性.当x>0时,函数y=x+k/x(k>0)的单调减区间为(0,],单调增区间为[,+∞).平时,大家把函数y=x+k/x(k>0,x>0)叫做对号函数(图象形如√),至于x<0的情况,可根据函数的奇偶性加以解决.

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      (7)分离常数法

      注意到分式的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后再通过观察或配方等其他方法易得函数值域.

      (8)函数有界法

      直接求函数的值域有困难时,可以利用已学过的函数的有界性来确定函数的值域.

      三角函数和有界函数常用有界法确定函数的值域.

      (9)数形结合法

      对于容易画出函数图象的求值域问题可画出图象,从图象上读出值域.

      (10)不等式法

      借助于重要不等式a+b≥2(a,b∈R^(+))求函数的值域.用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件一正、二定、三相等.

      1.3 函数的基本性质

      知识清单

      ·知识1 增函数与减函数的定义

      ·知识2 单调性与单调区间

      ·知识3 函数单调性的证明

      ·知识4 函数的最大(小)值

      ·知识5 函数的奇偶性

      ·知识6 函数奇偶性的性质

      ·知识7 函数的周期性

      ·知识8 函数的图象

      ·知识9 复合函数的单调性

      ·知识10 函数的对称性和周期性之间的关系

      知识1 增函数与减函数的定义
      增函数 减函数
      定义 设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA,如果取区间M中的任意两个值x1,x2,当改变量Δx=x2-x1>0时,有Δy=f(x2)-f(x1)>0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数 设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA,如果取区间M中的任意两个值x1,x2,当改变量Δx=x2-x1>0时,有Δy=f(x2)-f(x1)<0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是减函数
      函数值的变化趋势 函数值随自变量的值的增大而增大 函数值随自变量的值的增大而减小
      图象的形状 在区间M上,函数的图象自左至右逐渐上升 在区间M上,函数的图象自左至右逐渐下降
      不等式表示 对于区间M中的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2
      (不一定要求x1<x2),都有>0
      对于区间M中的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时(不一定要求x1<x2),都有<0
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      知识2 单调性与单调区间

      (1)单调性、单调区间的定义:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

      (2)关于函数单调性的理解应从下面几个方面把握:

      ①函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.

      ②函数f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质.

      ③函数单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,任意二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1<x2;三是同属一个单调区间.三者缺一不可.

      ④求函数的单调区间,必须先求函数的定义域,因为函数的单调区间一定是函数定义域的子区间.

      知识3 函数单调性的证明

      证明函数的单调性主要是利用定义来证明,其步骤为:

      (1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1<x2

      (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;

      (3)定号:确定差值的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;

      (4)判断:根据定义作出结论.

      特别提醒 (1)在用定义法证明单调性时,为了确定符号,一般是将f(x1)-f(x2)尽量分解出x1-x2的因式,再将剩下的因式化成积(商)的形式,或化成几个非负实数的和等,这样有利于该因式的符号的确定.

      (2)若要证明f(x)在区间[a,b]上不是单调函数,只要举出反例即可,即只要找到两个特殊的x1,x2不满足定义即可.

      知识4 函数的最大(小)值

      (1)最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

      ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;

      ②存在x0∈I,使得f(x0)=M.

      那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.

      (2)最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足s:

      ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;

      ②存在x0∈I,使得f(x0)=M.

      那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.

      特别提醒 (1)对于单调函数,最大(小)值出现在定义域的边界处.

      (2)对于非单调函数,通常借助图象求解更方便.

      (3)一般地,因为恒成立的问题可以用求最值的办法来解决,而利用单调性是求最值的常用方法.有以下关系:

      f(x)≥a恒成立f(x)min≥a;

      f(x)≤a恒成立f(x)max≤a.

      函数的单调性是研究函数的值域与最值问题的重要方法.

      知识5 函数的奇偶性
      定义 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数
      偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数
      非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数,称为非奇非偶函数
      说明 具有奇偶性的函数的定义域必须是关于坐标原点对称的区间.若f(x)≠0,f(-x)/f(x)=-1f(x)为奇函数;f(-x)/f(x)=1f(x)为偶函数
      知识6 函数奇偶性的性质

      (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称.

      (2)两个奇偶函数四则运算的性质:

      ①两个奇函数的和仍为奇函数;

      ②两个偶函数的和仍为偶函数;

      ③两个奇函数的积是偶函数;

      ④两个偶函数的积是偶函数;

      ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

      (注:上面所说的函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上)

      (3)函数f(x)是奇函数曲线y=f(x)关于原点对称.

      函数f(x)是偶函数曲线y=f(x)关于y轴对称.

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      (4)若f(x)是具有奇偶性的单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的.

      (5)对于复合函数F(x)=f[g(x)],若g(x)为偶函数,则F(x)为偶函数;若g(x)为奇函数,f(x)为奇函数,则F(x)为奇函数;若g(x)为奇函数,f(x)为偶函数,则F(x)为偶函数.

      (6)若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

      知识7 函数的周期性

      (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,使得当x取定义域内的每一值时,都有f(x+T)=f(x)成立,那么函数y=f(x)叫周期函数,非零常数T叫做f(x)的周期.

      (2)最小正周期:周期函数的周期可以不止一个,如果在所有的周期中存在着一个最小正数,则称这个最小正数为该函数的最小正周期.

      (3)设m是非零常数,若对于函数f(x)定义域中的任意x,恒有下列条件之一成立:

      ①f(x+m) =-f(x);

      ②f(x+m)=1/f(x);

      ③f(x+m)=-1/f(x);

      ④f(x+m)=

      ⑤f(x+m)=

      ⑥f(x+m)=f(x-m),

      则f(x)是周期函数,2m是它的一个周期.

      特别提醒 周期不仅是对三角函数而言的,一般的函数也可能有周期,但有些三角函数也可能不具备周期性,如y=|sin x|,x∈[-π/2,π/2]就不是周期函数.

      知识8 函数的图象

      函数图象的基本作法:描点法、图象变换法.

      (1)描点法:其步骤是列表、描点、连线.

      (2)图象变换法:通过基本函数的图象,经过翻折、平移、伸缩等变换作出相应函数的图象.

      (3)作函数图象的一般步骤

      ①求出函数的定义域;②化简解析式;③讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图象上的特殊点、线(如渐近线、对称轴等);④利用基本函数的图象画出所给函数的图象.

      (4)图象变换的四种形式

      平移变换 (1)y=f(x-a)的图象可由y=f(x)的图象沿x轴向右(a>0)或向左(a<0)平移lal个单位长度得到
      (2)y=f(x)+h的图象可由y=f(x)的图象向上(h>0)或向下(h<0)平移|h|个单位长度得到
      伸缩变换 (1)kf(x)(k>0)的图象可由y=f(x)的图象上的所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的k倍(k>1时伸长,0<k<1时缩短)而得到
      (2)y=f(kx)(k>0)的图象可由y=f(x)的图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
      1/k(k>1时缩短,0<k<1时伸长)而得到
      对称变换 (1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称
      (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称
      (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称
      (4)y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称
      (5)y=f(x)与-y=f(2a-a)的图象关于点(a,0)对称
      翻折变换 (1)y=|f(x)|的图象:可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折,其余部分不变
      (2)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x)(x≥0)的图象,再利用偶函数的图象关于y轴对称的性质,作出y=f(x)(x<0)的图象
      知识9 复合函数的单调性

      对于复合函数y=f(g(x)),若称t=g(x)为内层函数,y=f(t)为外层函数,则复合函数的单调性符合下表:

      外层函数y=f(t)的单调性 内层函数t=g(x)的单调性 函数y=f(g(x))的单调性

      即复合函数的单调性符合同增异减的原则.

      注:求复合函数单调区间时应首先求出函数的定义域.

      求复合函数的单调性的步骤:

      (1)求复合函数的定义域;

      (2)把复合函数分解为基本函数;

      (3)把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围;

      (4)由复合函数的单调性规律判断其单调性或单调区间.

      page13
      知识10 函数的对称性和周期性之间的关系

      (1)如果函数f(x)的图象有两条对称轴x=a,x=b,则f(x)是周期函数,两条对称轴之间距离的2倍即2|a-b|是函数的一个周期;

      (2)如果函数f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0),则f(x)是周期函数,两个对称中心之间距离的2倍2|a-b|是函数的一个周期;

      (3)如果函数f(x)的图象有一个对称中心(a,0),一条对称轴x=b,则f(x)是周期函数,对称中心与对称轴之间距离的4倍即4|a-b|是函数的一个周期.

      方法清单

      ·方法1 函数的单调性的判断方法

      ·方法2 解函数单调性的逆向问题的方法

      ·方法3 利用函数的奇偶性与单调性的关系

      ·方法4 函数奇偶性的判断方法

      方法1 函数的单调性的判断方法

      判断函数的单调性的常用方法:

      (1)定义法:即取值——作差——变形——定号——判断.要注意的是:

      当函数在其定义域上的单调区间是由几个区间组成的,问题又未指明其单调区间而需要探求,这时可从如下两个方面入手:①定义域:若定义域是由几个区间组成的,则其单调区间必是某个区间的子区间;②从情况入手分析:当某个代数式的符号无法确定时,可取x1=x2,以此为界进行分类讨论.

      特别提醒 ①本题的关键环节是判断f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-)的符号,设x1>x2>0,且x1、x2在同一区间上,故由1->0(或<0)知,x2 x2>a(或<a),从而知以为分界点.

      ②当f(x)的表达式为多项式、分式、根式、对数式时,适合作差比较,作差后多项式合并同类项、分式通分、根式有理化、对数式运用运算法则;当f(x)是指数式、积式时,可作商比较.

      (2)图象法:先作出函数图象,利用图象直观判断函数的单调性.

      (3)直接法:对于我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等可直接写出它们的单调区间.

      (4)记住几条常用的结论:

      ①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;

      ②函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性;

      page14

      ③当c>0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性;当c<0时,它们具有相反的单调性;

      ④若f(x)≠0,则函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性;

      ⑤若f(x)≥0,则函数f(x)与具有相同的单调性;

      ⑥若f(x),g(x)具有相同的单调性,则f(x)+g(x)也具有相同的单调性;

      ⑦若f(x),g(x)具有相反的单调性,则f(x)-g(x)具有与g(x)相反(与f(x)相同)的单调性;

      ⑧若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于0时,f(x)·g(x)也是增(减)函数,当两者都恒小于0时,f(x)·g(x)是减(增)函数.

      方法2 解函数单调性的逆向问题的方法

      函数的单调性具有可逆性,若f(x)在区间D上单调递增,则x1,x2∈D且f(x1)>f(x2)时,有x1>x2(事实上,若x1≤x2,则f(x1)≤f(x2),这与f(x1)>f(x2)矛盾).

      类似地,若f(x)在区间D上单调递减,则当x1,x2∈D且f(x1)>f(x2)时,有x1<x2.

      利用函数的单调性的可逆性,可以脱去某些函数符号,也可以解某些不等式.

      方法3 利用函数的奇偶性与单调性的关系

      (1)联系

      ①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.

      ②偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

      (2)区别

      函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与研究函数的单调性不同.从这个意义上说,函数的单调性是函数的局部性质而奇偶性是整体性质.只有对函数定义域内的每一个x值,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇函数(或偶函数).

      方法4 函数奇偶性的判断方法

      函数奇偶性的定义语言非常简练:对定义域内的任意x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),则称f(x)为奇函数(或偶函数).其内涵却是极其深刻的:

      (1)对定义域内的任意x说明奇偶性是函数f(x)的一条整体性质;

      (2)f(-x)、f(x)都有意义说明f(x)的定义域关于原点对称.

      判断函数f(x)的奇偶性的主要步骤:

      ①求函数f(x)的定义域;②验证f(x)的定义域是否关于原点对称;③化简函数f(x)的解析式;④判断f(-x)与f(x)的关系;⑤给出结论.

      page15

      方法拓展 (1)已知函数的奇偶性利用函数的奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.

      (2)已知函数的奇偶性求解析式:

      将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.

      (3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值:

      常常利用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解.

      (4)已知f(x)是偶函数,则有f(-x)=f(x)=f(|x|).

      利用偶函数的性质,将自变量加上绝对值,在利用单调性解题时避免了讨论.

      page16
      第2章 基本初等函数(Ⅰ)

      第2章  基本初等函数(Ⅰ)

      2.1 指数函数

      知识清单

      ·知识1 方根的定义与性质

      ·知识2 分数指数幂

      ·知识3 有理数指数幂的运算法则

      ·知识4 指数函数

      ·知识5 指数函数的图象与性质

      ·知识6 底数对指数函数的影响

      知识1 方根的定义与性质

      (1)方根的定义与性质

      定义 如果存在实数x,使得x^(n)=a(a∈R,n>1,n∈N^(*)),则x叫做a的n次方根.求a的n次方根,叫做把a开n次方,称为开方运算
      性质 正数a的偶次方根有两个,它们互为相反数,正、负偶次方根分别表示为,-(n为偶数,a>0)
      负数没有偶次方根(即负数的偶次方根无意义)
      正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,都表示为(n为奇数,a∈R)
      零的n次方根都是0(n∈N^(*),n>1)
      正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根(n∈N^(*),n>1)

      (2)根式的定义与性质

      定义 有意义时,式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数
      性质
      知识2 分数指数幂

      (1)分数指数幂

      (2)0的分数指数幂

      0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.

      (3)指数概念的扩充

      规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就实现了由整数指数幂向有理数指数的扩充.当a>0,p是一个无理数时,a^(p)的值就可用两个指数为p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数幂序列无限逼近而得到(这个逼近结果的极限值就等于a^(p)),故a^(p)是一个确定的实数,而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用.这样,指数概念就扩充到了整个实数范围.

      幂指数 定义 底数的取值范围
      正整数
      指数

      (n∈N^(*))
      a∈R
      零指数 a^(0)=1 a≠0且a∈R
      负整数
      指数
      a^(-n)=1/a^(n)( n∈N^(*)) a≠0且a∈R
      正分数
      指数

      (m, n∈N^(*),且m,n互质)
      m为奇数 a∈R
      m为偶数 a≥0
      负分数
      指数
      m为奇数 a≠0且a∈R
      m为偶数 a>0
      无理数 a^(p)是一个确定的实数(其中p为无理数) a>0
      知识3 有理数指数幂的运算法则

      设a>0,b>0,则对任意的有理数α、β,有理数指数幂的运算法则是:

      数学表达式 文字语言叙述
      a^(α)·a^(β)=a^(α+β 同底数的幂相乘,底数不变,指数相加
      a^(α)÷a^(β)=a^(α)/a^(β)或a^(α-β 同底数的幂相除,底数不变,指数相减
      (a^(α))^(β)=a^(αβ 幂的乘方,底数不变,幂指数与乘方次数相乘
      (ab)^(α)=a^(α)b^(α 积的乘方,各个因式分别乘方再相乘
      (a/b)^(α)=a^(α)/b^(α 分式乘方,分子乘方所得的幂作分子,分母乘方所得的幂作分母
      知识4 指数函数

      函数y=a^(x)(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.

      理解指数函数定义需注意的几个问题:

      ①因为a>0,x是任意一个实数时,a^(x)是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.

      page17

      ②规定底数a大于零且不等于1的理由:

      如果a=0,当x>0时,a^(x)恒等于0,x≤0时,a^(x)无意义.

      如果a<0,比如y=(-4)^(x),这时对于x=1/4,x=1/2,…,在实数范围内函数值不存在.

      如果a=1,y=1x=1是一个常量,对它就没有研究的必要.为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.

      ③像y=2·3^(x),y=2^(1/x),y=,y=3^(x)+1等函数都不是指数函数,要注意区分.

      知识5 指数函数的图象与性质
      0<a<l a>1
      图象
      性质 定义域 R
      值域 (0,+∞)
      恒过定点 (1,0)
      单调性 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数
      函数值的变化规律 当x<0<1时,y>1 当0<x<1时,0<y<l
      当x=1时,y=0 当x=1时,y=0
      当x>0时,y<0 当x>1时,y>0
      知识6 底数对指数函数的影响

      对于底数对函数值的影响,可从以下几点来研究:

      ①在同一坐标系内分别作函数y=2^(x)和y=3^(x)的图象,易看出:当a>1时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当0<a<1时,底数越小,函数图象在第一象限越靠近x轴.

      ②底数对函数值的影响如图.

      ③当a>0,且a≠1时,函数y=a^(x)与函数y=(1/a)^(x)的图象关于y轴对称.

      利用指数函数的性质比较大小:

      若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较;

      若底数不同而指数相同,用作商法比较;

      若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值.

      方法清单

      ·方法1 指数式的运算

      ·方法2 指数函数图象的应用

      ·方法3 指数型复合函数的性质的应用

      ·方法4 化为同底利用指数函数的性质解题

      方法1 指数式的运算

      在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中要注意运用方程的观点处理问题,通过解方程(组)来求值,或用换元法转化为方程求解.

      (1)带条件的求值问题,常有两种思考方法:

      ①将已知的条件变形得到所需要的值或关系式;

      ②将待求的式子化成可用已知条件表示的式子.

      (2)若先由已知求x,再代入所求式,虽然可以求值,但较麻烦.这里观察式子的特点,由已知两边平方、立方求分母、分子的值,再计算较简捷.

      方法2 指数函数图象的应用

      函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质可以从图象上一览无余.数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变换可得出一般函数的图象.

      利用指数函数的图象,可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.

      (1)定点问题

      由于y=a^(x)(a>0,且a≠1)的图象恒经过定点(0,1),因此指数函数与其他函数复合会产生一些丰富多彩的定点问题,如:y=a^(x+1)-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-1,-1),实际上就是将定点(0,1)向左平移1个单

      page18
      位,向下平移2个单位得到.

      (2)求取值范围问题

      方法3 指数型复合函数的性质的应用

      (1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类:①y=a^(f(x))(a>0,且a≠1);②y=f(a^(x)).无论是哪一类,要搞清楚复合过程,才能确定复合函数的值域和单调区间.具体问题中,a的取值不定时,要对a进行分类讨论.

      (2)对于形如y=a^(f(x))(a>0,a≠1)一类的指数型复合函数,有以下结论:

      ①函数y=a^(f(x))的定义域与f(x)的定义域相同;

      ②先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性,确定函数y=a^(f(x))的值域;

      ③当a>1时,函数y=a^(f(x))与函数f(x)的单调性相同;当0<a<1时,函数y=a^(f(x))与函数f(x)的单调性相反.

      方法4 化为同底利用指数函数的性质解题

      在解与指数函数有关的不等式或方程问题时,常化为同底利用指数函数的单调性解题.

      2.2 对数函数

      知识清单

      ·知识1 对数的定义、性质与对数恒等式

      ·知识2 常用对数与自然对数

      ·知识3 对数的运算法则

      ·知识4 对数换底公式及其推论

      ·知识5 对数函数的定义、图象和性质

      ·知识6 互为反函数的定义及图象的性质

      ·知识7 对数函数与指数函数的关系

      ·知识8 底数对函数值大小的影响

      知识1 对数的定义、性质与对数恒等式
      定义 一般地,如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,即a^(b)=N,那么b叫做以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数,读作b等于以a为底N的对数
      性质 负数和0无对数
      1的对数等于0,即loga1=0
      logaa=1

      (1)对数恒等式:

      logaa^(x)=x(a>0,a≠1).

      page19

      =N(a>0,a≠1,N>0).

      证明:设a^(b)=N,根据对数与指数间的关系得b=loga N,将其代入a^(b)=N,得=N.故结论得证.

      温馨提示 本公式称为对数恒等式,在应用时,注意公式的结构特点及各字母的取值范围,即a>0,a≠1,N>0.

      (2)指数式与对数式的互化

      根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系.

      当a>0,且a≠1时,a^(x)=Nx=log^(a)N.用图表示为:

      知识2 常用对数与自然对数
      名称 定义 符号
      常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N简记作lg N
      自然对数 以e为底的对数叫做自然对数,e是无理数,e≈2.718 28 logeN简记作ln N
      知识3 对数的运算法则

      如果a>0,a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么我们有:

      运算 数学表达式 自然语言描述
      积的对数 loga(MN)=logaM+logaN 正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和
      商的对数 loga(M/N)=logaM-logaN 两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数
      幂的对数 logaM^(α)=αlogaM 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数
      知识4 对数换底公式及其推论

      设a>0,a≠1,b>0,b≠1,m>0,则

      logam=logbm/logba.

      推论:

      ①logab·logba=1;

      b^(m)=logab,b^(n)=nlogab/m;

      ③logam·logbn=logan·logbm(n>0);

      (c>0,c≠1).

      知识5 对数函数的定义、图象和性质

      一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数,对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示:

      0<a<l a>l
      图象
      性质 定义域 (0,+∞)
      值域 R
      恒过定点 (1,0)
      单调性 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数
      函数值的变化规律 当0<x<1时,y>0 当0<x<1时,y<0
      当x=1时,y=0 当x=1时,y=0
      当x>1时,y<0 当x>1时,y>0
      知识6 互为反函数的定义及图象的性质
      定义 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y=f(x)的反函数常用y=f^(-1)(x)表示
      性质 函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数,即y=f^(-1)(x)的反函数是y=f(x).函数y=a^(x)(a>0且a≠1)与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数
      函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=f^(-1)(x)的值域、定义域
      互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称
      知识7 对数函数与指数函数的关系

      (1)函数y=a^(x)(a>0,a≠1)与y=logax(a>0,a≠1)互为反函数,它们的定义域、值域互换,图象关于直线y=x对称.

      (2)它们都是单调函数,都不具有奇偶性.

      当a>1时,它们是增函数;当0<a<1时,它们是减函数.

      (3)指数函数与对数函数的联系与区别

      指数函数y=a^(x)(a>0且a≠1) 对数函数y=logax(a>0且a≠1)
      定义域 R (0,+∞)
      值域 (0,+∞) R
      图象
      page20
      性质 当x=0时,y=1 当x=1,y=0
      当a>1时,函数单调递增.
      当x∈(-∞,0)时,y∈(0,1);
      当x∈(0,+∞)时,y∈(1,∞)
      当a>1时,函数单调递增.
      当x∈(0,1)时,y∈(-∞,0);
      当x∈(1,+∞)时,y∈(0,∞)
      当0<a<1时,函数单调递减.
      当x∈(-∞,0)时,y∈(1,∞);
      当x∈(0,+∞)时,y∈(0,1)
      当0<a<1时,函数单调递减.
      当x∈(0,1)时,y∈(0,∞);
      当x∈(1,+∞)时,y∈(-∞,0)
      关系 y=a^(x)(a>0且a≠1)与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数
      知识8 底数对函数值大小的影响

      在同一坐标系中分别作出函数y=log2x及y=log3x的图象,如图所示,可以看出:当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴,同理,当0<a<1时,底数越小,函数图象越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题.

      类似地,在同一坐标系中分别作出y=logax(a>1)及y=logax(0<a<1)的图象,如图所示,它们的图象在第一象限的规律是:直线x=1把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小,比如,C1,C2,C3,C4分别对应函数y=,y=,y=,y=,则必有a4>a3>1>a2>a1>0.

      方法清单

      ·方法1 对数式的化简与求值

      ·方法2 对数函数单调性的讨论

      ·方法3 利用对数函数的图象解题

      ·方法4 利用对数的真数大于零求函数定义域

      方法1 对数式的化简与求值

      (1)化同底是对数式变形的首选方向,其中经常用到换底公式及其推论.

      (2)结合对数定义,适时进行对数式与指数式的互化

      (3)利用对数运算法则,在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化.

      方法2 对数函数单调性的讨论

      解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数a是否大于1进行讨论;二是运用复合法来判断其单调性,但应注意中间变量的取值范围;三要注意其定义域(这是一个隐形陷阱),也就是要坚持定义域优先的原则.

      page21
      方法3 利用对数函数的图象解题

      涉及对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象.特别地,要注意底数a>1与0<a<1的两种不同情况.

      方法4 利用对数的真数大于零求函数定义域

      当自变量出现在对数的真数位置时,要满足真数大于零.

      2.3 幂函数

      知识清单

      ·知识1 幂函数的概念

      ·知识2 幂函数的图象和性质

      ·知识3 幂函数的单调性和奇偶性

      知识1 幂函数的概念

      (1)一般地,形如y=x^(α)(α∈R)的函数叫做幂函数,其中x为自变量,α为常数.其特征是以幂的底为自变量,指数为常数.

      (2)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1).

      (3)学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点:

      ①形如y=(2x)^(α),y=2·x^(α),y=x^(α)+2,…形式的函数不是幂函数.

      ②幂函数y=x^(α)中的α为任意实数.

      ③确定一个幂函数,只需求出α即可.

      知识2 幂函数的图象和性质

      (1)在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x^(2),y=x^(3),y=X^(1/2),y=x^(-1)的图象.

      从图象观察得出幂函数的性质如下:

      解析式 y=x y=x^(2 y=x^(3 y=1/x y=x^(1/2
      图象
      定义域 R R R {x:x≠0} [0,+∞)
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      值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞)
      奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
      单调性 在(-∞,0)上↙,在[0,+∞)上↗ 在(-∞,0)上↙,在[0,+∞)上↗
      定点 (1,1)
      图象特点 在第一象限内,幂函数的指数越小,其图象越靠近x轴

      (2)规律总结

      所有幂函数y=x^(α)(α∈R)在(0,+∞)上都有定义.

      ①当α>0时,图象都过点(0,0)和(1,1),且在第一象限为增函数.

      ②当0<α<1时,曲线上凸,当α>1时,曲线下凸.

      ③当α<0时,幂函数图象过点(1,1),且在第一象限为减函数.

      ④当α=1时,图象为过点(0,0)和(1,1)的直线.

      ⑤当α=0时,y=x^(α)表示过点(1,1)且平行于x轴的直线(除去点(0,1)).

      知识3 幂函数的单调性和奇偶性

      对于幂函数y=x^(α)(α∈R).

      (1)单调性

      当α>0时,函数y=x^(α)在第一象限内是增函数;

      当α<0时,函数y=x^(α)在第一象限内是减函数.

      (2)奇偶性

      ①当α为整数时,

      若α为偶数,则y=x^(α)是偶函数;

      若α为奇数,则y=x^(α)是奇函数.

      ②当α为分数,即α=p/q(p,q互素,p,q∈Z)时,

      若分母q为奇数,则分子p为奇数时,y=x^(α)为奇函数;分子p为偶数时,y=x^(α)为偶函数.

      若分母q为偶数,则y=x^(α)为非奇非偶函数.

      方法清单

      ·方法1 幂函数单调性的应用

      ·方法2 幂函数图象与性质的综合应用

      方法1 幂函数单调性的应用

      两个或几个幂,当指数相同,而底数不同时,常先构造幂函数,然后利用单调性比较大小;有时可与0,1等值比较,从而进一步进行比较,这种方法常称为媒介法.

      方法2 幂函数图象与性质的综合应用

      对于与幂函数有关的最值及单调区间问题可画出幂函数的图象,从图象上得出最值和单调区间.

      page23

      方法拓展 二次函数与指数函数、对数函数、幂函数的综合应用

      二次函数与指数函数、对数函数、幂函数的综合是常见考点,在这些复合函数问题中,解决方法一般是换元法,注意新元的取值范围.如果函数解析式中含有参数,还需要分类讨论,这时一定要明确分类标准,分类要做到不重复、不遗漏,尤其是二次项系数含有字母的问题,一定要分二次项系数为0和不为0两种情况进行讨论.

      易错提醒 本题中不仅要理解函数的定义域的意义,还要有定义域优先的意识,本题容易用函数f(x)的定义域代替所求函数的定义域而出现错误.

      page24
      第3章 函数的应用

      第3章 函数的应用

      3.1 函数与方程

      知识清单

      ·知识1 函数的零点

      ·知识2 函数零点具有的性质

      ·知识3 二分法的定义

      ·知识4 函数零点的存在性定理

      ·知识5 二次函数的性质

      ·知识6 二次函数在闭区间上的最值的求法

      ·知识7 利用二分法求方程的近似解

      知识1 函数的零点
      函数零点的定义 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.
      有时我们把一函数的图象与x轴的交点的横坐标,也叫做这个函数的零点
      函数的零点与方程的根之间的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交战
      函数零点的判断(即零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)<0,则这个函数在区间(a,b),使f(x0)=0,这样的零点叫做变号零点.有时曲线通过零点时不变号,这样的零点叫做不变号零点
      知识2 函数零点具有的性质

      对于任意函数y=f(x),只要它的图象是连续不间断的,则有:

      (1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x^(2)-2x-3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变为正.

      (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.

      知识3 二分法的定义

      对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

      用二分法求函数零点的近似值时,最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中,这样可以更清楚地发现零点所在区间.

      知识4 函数零点的存在性定理

      函数零点存在性定理:一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.

      特别提醒 (1)根据该定理,能确定f(x)在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一.

      (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,例如,函数f(x)=x^(2)-3x+2有f(0)·f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.

      (3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有唯一的零点.

      page25
      知识5 二次函数的性质
      图象 函数性质
      a>0 定义域 R(个别题目有限制的,由解析式确定)
      值域 a>0 a<0
      [,+∞) (-∞,)
      奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数
      a<0 单调性 a>0 a<0
      当x∈(-∞,-]时递减 当x∈(-∞,-]时递增
      当x∈[-,+∞)时递增 当x∈[-,+∞)时递减
      图象特点 ①对称轴:x=-b/2a
      ②顶点(-)
      知识6 二次函数在闭区间上的最值的求法

      (1)二次函数f(x)=ax^(2)+bx+c(a≠0)在区间[p,q]上的最值问题

      一般情况下,需要分<p,p≤≤q和>q三种情况讨论解决.

      当a>0时,f(x)在区间[p,q]上的最大值为M,最小值为m,令x0=1/2(p+q).

      ①若<p,则f(p)=m,f(q)=M;

      ②若p≤<x0,则f(-b/2a)=m,f(q)=M;

      ③若x0<q,则f(p)=M,f()=m;

      ④若≥q,则f(p)=M,f(q)=m.

      特别提醒 在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论.

      (2)二次函数f(x)=a(x-k)^(2)+h(a>0)在区间[m,n]上的最值问题

      一般地,有以下结论:

      ①若k∈[m,n],则f(x)min=f(k)=h,f(x)max=max{f(m), f(n)};

      ②若k[m,n],则f(x)min=min{f(m),f(n)},f(x)max=max{f(m), f(n)}.

      (a<0时可仿此讨论).

      特别提醒 max{1,2}=2,即取集合{1,2}中元素的最大值.

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      知识7 利用二分法求方程的近似解

      (1)二分法的优点是思考方法非常简明,缺点是为了提高解的精确度,求解的过程比较长,有些计算不用计算工具甚至无法实施,往往需要借助于科学计算器.

      (2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法,它只要求函数是连续的,因此它的使用范围很广,并便于在计算机上实现,但是它不能求重根,也不能求虚根.

      (3)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

      第一步:确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;

      第二步:求区间(a,b)的中点x1

      第三步:计算f(x1);

      ①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;

      ②若f(x1)·f(a)<0,则令b=x1,此时零点x0∈(a,x1);

      ③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1,此时零点x0∈(x1,b).

      第四步:判断是否达到精确度ε.即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.

      关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点:

      ①第一步中要使区间长度尽量小,f(a),f(b)的值比较容易计算,且f(a)·f(b)<0.

      ②根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程的根是等价的,对于求方程f(x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根.

      ③设函数的零点为x0,则a<x0<b,作出数轴,在数轴上标出a,b,x0对应的点,如图,所以0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0.由于|a-b|<ε,所以|x0-a|<b-a<ε,|x0-b|<

      a-b|<ε.即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度ε.

      ④我们可用二分法求方程的近似解.由于计算量大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算.

      方法清单

      ·方法1 利用一元二次方程与二次函数的关系解题

      ·方法2 函数零点个数的判断方法

      ·方法3 用待定系数法求二次函数解析式

      ·方法4 二次函数的综合问题

      方法1 利用一元二次方程与二次函数的关系解题

      我们初中还学过一元二次方程,其形式为ax^(2)+bx+c=0(a≠0),那么如何理解一元二次方程与二次函数的关系?

      剖析:一元二次方程的根就是相应的二次函数与x轴交点的横坐标.反之,二次函数与x轴交点的横坐标就是相应方程的根.二者关系密切.一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a>0)的两根x1,x2与对应的二次函数y=ax^(2)+bx+c(a>0)之间的关系如下表.

      根的分布 图象 满足的条件
      x1<x2<m Δ>0
      -<m
      f(m)>0
      m<x1<x2 Δ<0
      -<m
      f(m)<0
      x1<m<x2 f(m)<0
      page27
      根的分布 图象 满足的条件
      x1,x2∈(m,n) Δ>0
      m<-<n
      f(m)>0
      f(n)>0
      m<x1<n<x2<p f(m)>0
      f(n)<0
      f(p)>0
      只有一根在(m,n)之间

      温馨提示 表中条件仅适合于a>0的情形,a<0时可变形为a>0.

      方法2 函数零点个数的判断方法

      (1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

      特别提醒 ①方程的根与函数的零点尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x^(2)-2x+1=0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x^(2)-2x+1在[0,2]上只有一个零点.

      ②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

      (2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.

      方法3 用待定系数法求二次函数解析式

      (1)二次函数的表达式有三种形式:一般式、顶点式、两根式.

      ①一般式:y=ax^(2)+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);

      ②顶点式:y=a(x-h)^(2)+k(a,h,k为常数,a≠0);

      ③两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0).

      当已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;

      当已知抛物线的顶点(h,k)和抛物线上另一点时,通常设函数解析式为顶点式;

      当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时,通常设函数解析式为两根式.

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      (2)根与系数的关系

      二次函数f(x)=ax^(2)+bx+c(a≠0).当Δ=b^(2)-4ac>0时,图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0),这里的x1,x2是方程f(x)=0的两根,且x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.

      |M1M2|=|x1-x2|=/|a|.

      方法4 二次函数的综合问题

      (1)二次函数问题往往不是孤立的,而是由定义域、值域、对称性、单调性等方面构建的综合问题.解决此类问题常需综合运用二次函数的图象和性质,并结合一元二次方程的理论进行处理.

      (2)二次函数的图象和性质是研究二次函数不可缺少的两个方面.图象能直观地反映性质;借助性质能使画图的操作更简便,使图象更精确.以上两个方面体现的是数形结合的思想方法.

      其应用主要分为:

      ①由形化数,借助所给图形,仔细观察研究,揭示出图形中蕴涵的数量关系,反映出事物的本质特征.

      ②由数化形,根据题意正确绘制相应的图形,使图形能充分反映出相应的数量关系,数形结合一起思考,化难为易.

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      3.2 函数模型及其应用

      知识清单

      ·知识1 函数模型的概念

      ·知识2 数学建模的步骤

      ·知识3 常见的数学函数模型

      ·知识4 几何常见函数的增长情况

      ·知识5 利率问题

      ·知识6 增长率问题

      知识1 函数模型的概念
      函数模型的概念 函数模型就是用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题进行归纳加工,建立相应的目标函数,确定变量的取值范围,运用函数的方法进行求解,最后用其解决实际问题
      知识2 数学建模的步骤
      步骤 意义
      阅读理解材料 读懂文字叙述,理解实际背景,弄清楚问题中各个量之间的关系,把问题用数学语言来表达,把实际问题抽象成数学问题
      建立数学模型 把问题中的相关量用数学符号表示出来,建立起数学模型
      求解数学模型 根据所建的数学模型,结合题目要求,讨论有关性质,获得相关结果
      得出相应的结论 对实际问题得出合乎题意的相应结论
      知识3 常见的数学函数模型

      常见的8种函数模型:

      (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);

      (2)反比例函数模型:f(x)=k/x+b(k,b为常数,k≠0);

      (3)二次函数模型:f(x)=ax^(2)+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);

      (4)指数函数模型:f(x)=ab^(x)+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);

      (5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);

      (6)幂函数模型:f(x)=ax^(n)+b(a,b,n为常数,a≠0);

      (7)对勾函数模型:f(x)=x+k/x(k为常数,且k>0);

      (8)分段函数模型.

      特别提醒 (1)不同的函数增长模型,增长变化存在着很大的差异,因此,投资方案在选择函数模型时的原则是:投入资金相同,回报量多者为优.

      (2)建立相应函数模型后,求函数解析式多采用待定系数法.

      知识4 几种常见函数的增长情况
      常数函数 没有增长
      一次函数 直线上升(k>0,k为斜率)
      指数函数 随着x的增大,y=a^(x)(a>1)的增长速度越来越快
      对数函数 在区间(0,+∞)上,随着x的增大,logax(a>l)增大得越来越慢,图象渐渐与x轴平行
      幂函数 随着x的增大,y=x^(n)图象逐渐上升
      知识5 利率问题

      贷款所付的代价或储蓄存款所得的报酬叫做利息,利息简称利.贷款或储蓄的金额叫做本金,或叫本.每期利息与本金的比率叫做利率,通常用百分比表示.

      (1)单利:无论经过多少期,都用存款作为本金,利不生利的利息方式叫做单利.

      单利利息=本金×利率×期数.

      (2)复利:把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,这种利上加利的利息方式叫做复利.

      第n期的本利和=本金×(1+利率)^(n).

      若设本金为A,本利和为x,利率为r,则经过n期后,单利算法:x=A(1+nr);复利算法:x=A(1+r)^(n).

      知识6 增长率问题

      后一单位时间产量比前一单位时间产量增长的百分比叫做增长率.

      一般地,设原来产值基础数为N,平均增长率为p,若对于时间x的总产量为y,则y=N(1+p)^(x).

      放射性物质的衰变、人口的增长、国民经济生产增长、成本的增长或降低等问题,都可用这个公式解决.

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      方法清单

      ·方法1 一次函数模型的应用

      ·方法2 二次函数模型的应用

      ·方法3 指数函数模型的应用

      ·方法4 其他函数模型的应用

      ·方法5 分段函数模型的应用

      方法1 一次函数模型的应用

      一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0),一次函数也是最常见的一种函数模型,在初中就已接触过.

      方法2 二次函数模型的应用

      二次函数模型:f(x)=ax^(2)+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).

      二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故最优、最省等最值问题大都是二次函数的模型.

      方法3 指数函数模型的应用

      指数函数模型:f(x)=ab^(x)+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1).

      在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y可以用公式y=N(1+p)^(x)表示.解决平均增长率的问题,要用到这个函数式.

      page31
      方法4 其他函数模型的应用

      在实际问题中,还有如幂函数模型、对数函数模型、反比例函数模型等,我们都应注意对图表、图象进行准确的识别与判断.

      (1)幂函数模型:f(x)=ax^(n)+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1).

      (2)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,a>0,a≠1).

      (3)反比例函数模型:f(x)=k/x+b(k,b为常数,k≠0).

      (4)对勾函数模型:形如f(x)=x+a/x(a>0,x>0)的函数模型,在现实生活中也有着广泛的应用,常利用基本不等式解决,有时利用函数的单调性求最值.

      方法5 分段函数模型的应用

      由于分段函数在不同区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.

      page32

      方法拓展 函数模型的确定:

      利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法:

      ①根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;

      ②利用待定系数法,确定具体函数模型;

      ③对选定的函数模型进行适当的评价、比较、并选择最恰当的模型;

      ④根据实际问题对模型进行适当的修正.

      page33
      必修2

      必修2

      第1章 空间几何体

      1.1 空间几何体的结构

      知识清单

      ·知识1 多面体

      ·知识2 旋转体

      ·知识3 简单组合体

      ·知识4 棱柱、棱锥、棱台的图形、表示及分类

      ·知识5 棱柱的定义与性质

      ·知识6 棱锥、棱台的定义与性质

      ·知识7 旋转体的定义、表示、性质

      ·知识8 长方体的性质

      ·知识9 四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之间的关系

      ·知识10 圆柱、圆锥、圆台的关系

      ·知识11 球的截面性质

      ·知识12 球面距离

      知识1 多面体

      一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.棱柱、棱锥、棱台等都是多面体.

      知识2 旋转体

      一般地,由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.圆柱、圆锥、圆台、球等都属于旋转体.

      知识3 简单组合体

      (1)定义

      由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

      (2)简单组合体的构成有两种基本形式

      一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,具体来说:

      知识4 棱柱、棱锥、棱台的图形、表示及分类

      ①多面体与多面体的组合体

      由两个或两个以上的多面体组成.如图a是由一个四棱柱挖去一个三棱柱而得到的.

      ②多面体与旋转体的组合体

      由一个多面体与一个旋转体组合而成.如图b是由一个三棱柱挖去一个圆柱而得到的.

      ③旋转体与旋转体的组合体

      由两个或两个以上的旋转体组成.如图c是由一个球和一个圆柱组合而成的.

      名称 棱柱 棱锥 棱台
      图形
      表示 棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′,或棱柱AC′ 棱锥S-ABCDE,或棱锥S-AC 棱台ABCD-A′B′C′D′,或棱台AC′
      分类 以底面多边形的边数为标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等,以侧棱是否与底面垂直分为直棱柱和斜棱柱 以底面多边形的边数为标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 以底面多边形的边数为标准分为三棱台、四棱台、五棱台等
      page34
      知识5 棱柱的定义与性质
      名称 棱柱 直棱柱 正棱柱
      图形
      定义 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱
      侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等
      侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形
      过不相邻两侧棱的截面的形状 平行四边形 矩形 矩形
      平行于底面的截面的形状 与底面全等的多边形 与底面全等的多边形 与底面全等的正多边形

      易错提醒 对棱柱的概念应准确把握两个本质特征:

      ①有两个面(底面)互相平行.

      ②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.

      因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.但是要注意有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱,如图所示的几何体有两个面平行,其余各面都是平行四边形,但不满足每相邻两个侧面的公共边互相平行,所以它不是棱柱.

      知识6 棱锥、棱台的定义与性质
      名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台
      图形
      定义 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 底面是正多边形,顶点在过底面中心且垂直于底面的直线上的棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分 由正棱锥截得正棱台
      侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点
      侧面的形状 三角形 全等的等腰三角形(注:各侧面三角形的髙叫做正棱锥的斜髙) 梯形 全等的等腰梯形(注:各侧面等腰梯形的高叫做正棱台的斜髙)
      过不相邻两条侧棱的截面的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形
      page35
      名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台
      平行于底面的截面形状 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形
      知识7 旋转体的定义、表示、性质
      名称 圆柱 圆锥 圆台
      图形
      定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球
      表示 圆柱OO′ 圆锥SO 圆台OO′ 球O
      底面 平行且全等的两个圆面 圆面 相似的两个圆面
      轴线 过底面圆心且垂直于底面 过顶点和底面圆的圆心且垂直于底面 过上、下底面圆的圆心且垂直于底面 过球心
      母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
      轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 大圆
      平行于底面的截面 与底面全等的圆 球心和截面圆圆心的连线垂直于截面
      侧面展开图 矩形 扇形 扇环
      母线与底面圆直径相等的圆柱、圆锥分别称为等边圆柱、等边圆锥
      知识8 长方体的性质

      (1)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和,即l^(2)=a^(2)+b^(2)+c^(2),其中l为长方体的对角线,a、b、c分别为长方体的长、宽、高.

      (2)cos^(2)α+cos^(2)β+cos^(2)φ=1(α,β,φ为一条对角线与共顶点的三条棱所成的角).

      (3)cos^(2)α+cos^(2)β+cos^(2)φ=2(α,β,φ为一条对角线与共顶点的三个面所成的角).

      知识9 四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之间的关系

      棱柱、棱锥、棱台的形状不同,它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下可以相互转化.当棱台的上底面与下底面相同时,棱台就转化为棱柱;当棱台的上底面收缩为一个点时,棱台就转化为棱锥.如图所示.

      知识10 圆柱、圆锥、圆台的关系

      当圆台的上底面与下底面相同时,圆台转化为圆柱;当圆台的上底面缩小为一个点时,圆台转化为圆锥.如图所示.

      page36
      知识11 球的截面性质

      用一个平面去截一个球,截面是圆面,球的截面有如下性质:

      (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面(如图).

      (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:

      r=(如图).

      ①当d=0时,截面过球心,此时截面面积最大.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆.

      ②当d=R时,平面与球相切.

      ③当0<d<R时,平面与球面截得的圆叫做小圆.不过球心的平面截得的圆叫做球的小圆.

      知识12 球面距离

      在球面上,两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,这个弧长叫做两点的球面距离.

      球面上的两点间的球面距离,必须是在球面过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度,不能在过此两点的球的小圆中求.

      由于球是旋转体,而旋转体又是轴对称的几何体,因此在解题时,常利用球的轴截面图形来研究问题,从而将空间问题转化为平面问题.

      熟练掌握球的截面中大圆的半径,截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球的问题的关键.

      知识拓展 地球上的经纬线

      (1)当把地球看作一个球时,经线是指球面上从北极到南极的半个大圆.纬线是指垂直于地轴的一组平行平面所截得的圆,纬线除了赤道是大圆外,其余都是小圆.如图所示.

      (2)某点的经度是经过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线(0°经线)和地轴确定的半平面所成的二面角的大小.此角实则为二面角.

      某点的纬度是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数.此角实则为线面角.

      下面用图标注:

      方法清单

      ·方法1 利用空间几何体的结构特征解题

      ·方法2 用平面方法解决立体几何问题

      方法1 利用空间几何

      该方法需准确理解几何体的定义,要真正把握几何体的结构特征.要学会通过反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,设法举出一个反例即可.

      page37
      方法2 用平面方法解决立体几何问题

      在立体几何中求线段长或角的大小时,常把线段或角放在平面图形中用平面几何知识去求.

      1.2 空间几何体的三视图和直观图

      知识清单

      ·知识1 平行投影和中心投影

      ·知识2 三视图

      ·知识3 常见几何体的三视图

      ·知识4 空间图形的直观图

      ·知识5 立体图形的直观图的画法

      知识1 平行投影和中心投影

      (1)基本概念

      我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.把一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影.

      (2)平行投影与中心投影的区别和联系

      ①平行投影的投影线都互相平行,中心投影的投影线是由同一个点发出的.如图所示.

      ②中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法.平行投影包括斜二测画法和三视图.中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多,但直观性强,看起来与人的视觉效果一致.

      ③画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法.

      知识2 三视图

      (1)三视图的相关概念

      三视图包括正视图、侧视图、俯视图.

      正视图是光线自物体的前面向后面正投影所得的投影图.

      俯视图是光线自物体的上面向下面正投影所得的投影图.

      侧视图是光线自物体的左面向右面正投影所得的投影图.

      如图所示是一个长方体的三视图.

      (2)画三视图的规则

      ①画三视图的规则是正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽,即正视图、侧视图一样高,正视图、俯视图一

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      样长,俯视图、侧视图一样宽.

      ②画三视图时应注意:被挡住的轮廓线画成虚线,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.尺寸线用细实线标出;D表示直径,R表示半径;单位不注明时按mm计.

      ③对于简单的几何体,如一块砖,向两个互相垂直的平面作正投影,就能真实地反映它的大小和形状.一般只画出简单几何体的正视图和俯视图(二视图).对于复杂的几何体,三视图可能还不足以反映它的大小和形状,还需要更多的投射平面.

      (3)三视图的画法

      画几何体的三视图的要求是正视图、俯视图长对正,正视图、侧视图高平齐,俯视图、侧视图宽相等,前后对应.画出的三视图要检验是否符合长对正、高平齐、宽相等的基本特征.

      知识3 常见几何体的三视图
      知识4 空间图形的直观图

      (1)空间图形的直观图的概念

      空间几何体的直观图通常是指在平行投影下画出的空间图形.

      (2)画直观图的方法(如图所示)

      斜二测画法

      斜二测画法:

      ①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.

      ②画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的轴O′x′,O′y′,0′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′0′z′=90°.x′O′y′所确定的平面表示水平平面.

      ③已知图形中,平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段.并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.

      ④已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.

      ⑤画图完成后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.

      特别提醒 用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出,一般情况下,这些点的位置都要通过其所在的平行于x轴、y轴、z轴的线段来确定,当原图中无所需线段时,需要作辅助线段.

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      知识5 立体图形的直观图的画法

      画立体图形的直观图时,主要有下面几个步骤:

      (1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可.

      (2)画z′轴,z′轴过点O′,且与x′轴夹角为90°,并画高线(与原图高线相等,画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图.

      (3)擦去辅助线,被遮线用虚线表示.

      特别提醒 (1)画立体图形的直观图的要求不高,只要会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱台的直观图即可.

      (2)画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴的是z′轴,平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面.平行于z轴(或在z轴上)的线段,其平行性和长度都不变.

      (3)竖直方向(z轴方向)的长度要保持不变,因此用斜二测画法作几何体的直观图时,要抓住平行形不变,x轴、z轴方向上的线段长度不变,y轴方向上的线段长度减半这个原则.

      方法清单

      ·方法1 已知三视图画直观图的方法

      ·方法2 已知直观图画三视图的方法

      ·方法3 依据斜二测画法求直观图面积

      方法1 已知三视图画直观图的方法

      在工程技术中,为了全面展示图纸上的几何体的特征和尺寸,常给出三视图,而要清晰地观察到其效果,则需将其转化为直观图(具有空间立体感).

      在由三视图转化为直观图时,先由三视图确定几何体的长、宽、高,与常见几何体的三视图进行比较,从而得到正确的直观图.

      方法2 已知直观图画三视图的方法

      在由直观图画三视图时,先由与投影面平行或垂直的线段确定三视图的顶点,与投影面平行的线段投影后长度不变,与投影面垂直的线段投影后是一个点.

      易错提醒 错解:学生甲:由几何体知,截去一个四棱锥后有两条侧棱投影到长方体的侧面上.故选B.

      学生乙:由几何体知,四棱锥中仅一条侧棱投影到长方体的侧面上,故选C.

      错因:根据提示观测位置确定三视图时其实质是

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      正投影,将几何体中的可见轮廓线在三视图中画为实线,不可见轮廓线画为虚线.投影实质上利用了垂直关系.学生甲或乙出现错选B或C都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影的位置,从而导致失误.

      方法3 依据斜二测画法求直观图面积

      求直观图面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直观图的底边和高.原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度变为原来的一半的线段,以此为依据求出相应的高线即可.

      将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形,其作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x轴的线段的长度不变,而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍.

      1.3 空间几何体的表面积与体积

      知识清单

      ·知识1 侧面积和全面积的定义

      ·知识2 多面体的侧面积与体积

      ·知识3 旋转体的侧面积、表面积和体积

      知识1 侧面积和全面积的定义

      (1)侧面积的定义

      把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开,所得到的展开图的面积,就是空间几何体的侧面积.

      (2)全面积的定义

      空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积.

      知识2 多面体的侧面积与体积
      多面体 图形 侧面积 体积
      棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形S直棱柱侧=ch(c为底面周长) V=Sh(S为底面面积,h为高)
      棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形,S正棱柱侧=1/2ch′(c为周长) V=1/3S(S为底面面积,h为高)
      棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形,S正棱台侧=1/2(c+c′)h′(c′、c分别为上、下底面周长) V=1/3(S′++S)h(S′、S分别为上、下底面面积,h为棱台髙)
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      知识3 旋转体的侧面积、表面积和体积
      旋转体 图形 侧面积与表面积 体积
      圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形,S圆柱侧=2пrl,表面积S=2пr^(2)+2пrl=2пr(r+l) (S为底面面积,为高)
      圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形,S圆锥侧=пrl,表面积S=пr^(2)+пrl=пr(r+l) 体积V=1/3Sh(S为底面面积,h为高)
      圆台 圆台的侧面展开图是扇环,S圆台侧=п(r1+r2)l,
      表面积S=п(r12)+r22)+r1l+r2l)
      圆台的体积V=1/3(S′++S)h(S′、S分别为上、下底面面积,h为圆台高)
      半径为R的球的表面积S=4пR^(2 半径为R的球的体积V=4/3пR^(3

      知识拓展 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如图.

      方法清单

      ·方法1 求体积的几种方法

      ·方法2 多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法

      ·方法3 几何体中的最值问题

      ·方法4 组合体的表面积和体积

      方法1 求体积的几种方法

      体积的求解与计算是立体几何学习的重点,也是高考考查的重点和热点,其方法灵活多样,而分割、补形和等积变换是我们中学阶段常见的三种求体积的方法.其中分割、补形也称为割补法.

      (1)分割求和法

      求一个规则或不规则几何体的体积时,可将它们分割成若干个规则的小几何体,求得小几何体的体积后,求和即得原几何体的体积,这就是分割法.

      (2)补形法

      把不规则形体补成规则形体,不熟悉形体补成熟悉形体,便于计算其体积.

      常见的补形方法:

      ①将正四面体补为正方体,如图所示.

      page42

      ②将对棱长相等的三棱锥补成长方体,如图所示.

      ③将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示.PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.

      ④将三棱锥补成三棱柱或平行六面体,如图所示.

      ⑤将三棱柱补成平行六面体,如图所示.

      ⑥将台体补成锥体,如图所示.

      (3)等积转化法

      从不同的角度看待原几何体,通过改变顶点和底面,利用体积不变的原理,求原几何体的体积.

      方法2 多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法

      求多面体表面上两点间的最短距离,一般将表面展开为平面图形,从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题.如果不是指定的两点间的某种特殊路径,其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成平面图形后各自所得最短距离中的最小值.

      旋转体侧面上两点间的最短距离如同多面体一样,将侧面展开,转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决.

      page43
      方法3 几何体中的最值问题

      有关面积和体积的最值问题一般有以下三类:

      (1)求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.

      (2)求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值.

      (3)组合体中的最值问题一般是指圆锥的内接球、内接圆柱、内接长方体的表面积和体积的最值,以及球的内接圆锥、内接圆柱、内接长方体、内接三棱锥的表面积和体积的最值等问题.

      解决此类问题一般有两种思路:一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式,将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值,根据平面图形的有关结论直接进行判断.二是利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式,然后利用函数方法或者导数方法解决问题.

      方法4 组合体的表面积和体积

      与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题;球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或切点、接点作出截面图.

      page44
      第2章 点、直线、平面之间的位置关系

      第2章 点、直线、平面之间的位置关系

      2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

      知识清单

      ·知识1 平面

      ·知识2 平面的基本性质

      ·知识3 点、线、面的位置关系

      ·知识4 平行公理和空间等角定理

      ·知识5 异面直线

      ·知识6 平面公理的三个推论

      知识1 平面

      (1)定义

      平面内有无数个点,平面可以看成是空间点的集合.几何里的平面是无限延展的.

      (2)画法

      ①通常把水平的平面画成锐角为45°,横边长等于其邻边长2倍的平行四边形,如图1所示.

      ②如果一个平面被另一个平面挡住,则被遮挡的部分用虚线画出来,如图2所示.

      (3)表示法

      ①平面通常用一个希腊字母表示,如:平面α、平面β、平面γ等.

      ②也可用代表平面的平行四边形的四个顶点表示,如:平面ABCD.

      ③或用相对顶点的两个大写英文字母来表示,如:平面AC或平面BD.

      知识2 平面的基本性质
      公理1 公理2 公理3
      自然语言 如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线在此平面内 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
      图形语言
      符号语言 A∈l,B∈l,A∈α,B∈αlα A,B,C三点不共线有且只有一个平面α,使 A∈α,B∈α, C∈α P∈α∩βα∩β=l且P∈l
      主要应用 (1)检验平面;(2)判定直线是否在平面内;(3)点是否在平面内 (1)确定平面;(2)可用其证明点、线共面问题 (1)它是判定两个不重合平面是否相交的依据,只要两个不重合平面有一个公共点,就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线;(2)它可以判定点在直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在交线上
      page45
      知识3 点、线、面的位置关系

      (1)点、线、面位置关系的符号语言与数学语言见下表

      数学符号表示 数学语言表示
      A∈a 点A在直线a上
      Aa 点A在直线外
      A∈α 点A在平面α内
      Aα 点A在平面α外
      aα 直线a在平面α内(或平面α过直线a)
      a∩b=A 直线a、b相交于点A
      α∩β=A 平面α、β相交于直线a

      (2)空间两条直线的位置关系见下表

      位置关系 共面情况 公共点个数
      相交 在同一平面内 有且只有一个交点
      平行 在同一平面内 没有
      异面 不同在任何一个平面内 没有

      (3)一条直线和一个平面的位置关系见下表

      位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
      公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
      符号表示 aα a∩α a∥α
      图形表示

      我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外,记作aα.

      (4)两个平面的位置关系见下表

      位置关系 两平面平行 两平面相交
      符号表示 α∥β α∩β=a
      图形表示

      ①两个平面平行——没有公共点;

      ②两个平面相交——有一条公共直线.

      知识4 平行公理和空间等角定理

      (1)平行公理

      平行于同一直线的两条直线平行.

      我们也将这个公理称为空间平行线的传递性.根据平行公理可知:直线间平行的传递性在空间也是成立的.

      (2)空间等角定理与平移

      ①等角定理:

      如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.

      要正确运用等角定理,必须抓住角的两边分别平行和方向相同这两个条件.

      ②空间图形的平移:

      如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到f′的位置,那么我们就说图形F在空间作了一次平移.

      特别提醒 (1)空间等角定理是用于证明空间两个角相等的判定定理,它是平面几何中的等角定理在空间中的推广.

      (2)空间等角定理解决了角在空间中经过平移后大小是否改变的问题,为两条异面直线所成的角及后面的二面角的平面角的定义提供了理论依据,保证了其大小的唯一性.

      (3)在空间中若两个角的对应边平行,则这两个角相等或者互补.

      (4)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

      (5)等角定理是证明不共面的角相等的方法之一.

      知识5 异面直线

      定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

      画法:如图.

      知识拓展 过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.

      用符号可表示为(如图):

      若lα,Aα,B∈α,Bl,则直线AB与l是异面直线.

      异面直线所成角:如图,a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

      page46
      知识6 平面公理的三个推论

      推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.

      推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

      推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

      ①作为推论,需要利用公理给出严格的证明.与平面几何的证明一样,证明立体几何问题的一般步骤:

      第一步:根据题意作图,写出已知,求证;

      第二步:写出证明过程.

      ②对于有且只有型命题的证明,要从有和只有两方面证明,即既证明存在性——有,又证明唯一性——只有.

      方法清单

      ·方法1 解立体几何问题的重要方法

      ·方法2 求异面直线所成的角的方法

      方法1 解立体几何问题的重要方法

      根据平面的基本性质,把空间图形转化为平面图形来解决,这是立体几何中解决问题的重要思想方法.通常要解决以下四类问题:

      (1)证明空间三点共线问题

      证明这类问题一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上,即先确定出某两个点在某两个平面上,再证明第三个点既在第一个平面内,又在第二个平面内,当然必在两平面的交线上.

      (2)证明空间三线共点问题

      证明这类问题一般根据公理1和公理3,把其中一条直线作为分别通过其余两条直线的两个平面的交线,然后证明两条直线的交点在此直线上.

      (3)证明空间点共面问题

      可根据公理2,先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证其他各点都在这个平面内.

      (4)证明空间直线共面问题

      一般根据公理2及推论,先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证其余直线在这个平面内.或者由这些直线中取适当的两条确定若干个平面,再一一确定这些平面重合.

      公理2及三个推论可以用来证明点、线共面.证明此类问题,常用的方法有:

      ①纳入法:先利用公理2及三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,再证明其余的点和直线

      page47
      也在这个确定的平面内.

      ②同一法:先利用公理2及三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,另一些点和直线在另外一个确定的平面内,……,最后证明这些平面重合.

      ③反证法:可以假设这些点和直线不在同一个平面内,然后通过推理,找出矛盾,从而否定假设,肯定结论.

      方法2 求异面直线所成的角的方法

      一作(平移构造),二证(证明是异面直线所成的角),三求,四结(作结论).

      特别提醒 (1)两异面直线所成的角与点O(两直线平移后的交点)的选取无关.

      (2)两异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°.

      (3)判定空间两条直线是异面直线的方法:

      ①判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不过点B的直线是异面直线.

      ②反证法:证明两直线共面不可能.

      方法拓展 (1)画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定.作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置.

      (2)正方体的截面形状:

      ①截面可以是三角形:等边三角形、等腰三角形,一般三角形;

      ②截面三角形是锐角三角形,但不能是直角三角形,钝角三角形;

      ③截面可以是四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;截面为四边形时,这个四边形中至少有一组对边平行;

      ④截面不能是直角梯形;

      ⑤截面可以是五边形:截面为五边形时必有两组分别平行的边,同时有两个角相等;截面是五边形时不能是正五边形;

      ⑥截面可以是六边形:截面为六边形时必有分别平行的边,同时有两个角相等;特别地,可以是正六边形.

      对应截面图形如图所示:

      page48

      2.2 直线、平面平行的判定及其性质

      知识清单

      ·知识1 空间中的平行

      ·知识2 两平面平行的性质定理

      ·知识3 线线平行、线面平行、面面平行间的关系

      知识1 空间中的平行
      定义 图形 判定定理 性质定理 符号语言
      线线平行 同一平面内无公共点的两条直线平行 平面几何、立体几何中有关的判定定理 平行线的传递性 a∥b,b∥ca∥c
      线面平行 若直线和平面无公共点,则称直线和平面平行 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面相交,这条直线与交线平行 判定:

      性质:
      面面平行 若两个平面无公共点,则称这两个平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平¡Œ,则这两个平面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 判定:

      性质:
      知识2 两平面平行的性质定理
      序号 文字语言 图形语言 符号语言
      性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 α∥β且aαa∥β
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      序号 文字语言 图形语言 符号语言
      性质定理2 如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线 α∥β且l⊥αl⊥β
      知识3 线线平行、线面平行、面面平行间的关系

      由于三者之间相互沟通、相互联系,因此立体几何问题的解决往往一题多解(证).

      方法清单

      ·方法1 证明直线与平面平行的常用方法

      ·方法2 证明面面平行的常用方法

      ·方法3 证明线线平行的常用方法

      方法1 证明直线与平面平行的常用方法

      (1)判定定理法,即a∥b,aα,bαa∥α.

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      方法2 证明面面平行的常用方¹法

      判定定理:aα,bα,a∩b=A,a∥β,b∥βα∥β.

      方法3 证明线线平行的常用方法

      ①利用定义,证两线共面且无公共点;②利用公理4,证两线同时平行于第三条直线;③利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行,转化思想在立体几何中贯穿始终,转化的途径是把空间问题转化为平面问题;④三角形的中位线;⑤证两线是平行四边形的对边.

      page51

      2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

      知识清单

      ·知识1 直线与平面垂直的定义

      ·知识2 直线与平面垂直的判定定理

      ·知识3 平面与平面垂直

      ·知识4 平面与平面垂直的性质

      ·知识5 空间中的角

      ·知识6 二面角及二面角的平面角

      ·知识7 空间中的距离

      ·知识8 线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系

      知识1 直线与平面垂直的定义

      如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.

      画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.

      理解线面垂直的定义,必须注意以下几点:

      (1)注意定义中的任何一条直线,它与所有直线是同义语,但与无数条直线不同,定义的实质就是直线和平面内的所有直线都垂直.

      (2)直线与平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.

      (3)有了这样的定义,就可判定线线垂直,即当直线和平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何一条直线,可以作为线线垂直的判定定理.

      (4)两个重要结论:

      ①过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.

      ②过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.

      知识2 直线与平面垂直的判定定理

      如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线与这个平面垂直.即:l1∩l2=P,a⊥l1,a⊥l2,l1,l2αa⊥α,如图所示.

      判定定理的条件中,平面内的两条相交直线是关键性语句,一定要记准.

      (1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论是错误的.

      (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论也错误,因为这无数条直线可能平行.

      知识3 平面与平面垂直

      平面角是直角的二面角叫做直二面角,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,如图.

      根据这个定义,知两个平面相交成4个二面角,其中相对的两个二面角的大小相等,如果这4个二面角中有1个是直二面角,那么这4个二面角都是直二面角,这时两个平面互相垂直.按照定义,欲证两个平面互相垂直,或者欲证某个二面角是直二面角,只需证明它的平面角是直角.两个平面相交,如果相交形成的二面角不是直二面角,那么必有一对锐二面角和一对钝二面角,今后,两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角,并注意两个平面所成的角与二面角的区别.

      知识4 平面与平面垂直的性质

      (1)两个平面垂直的性质定理

      两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

      性质定理的符号表示形式:如果α⊥β,α∩β=l,aβ,a⊥l,那么a⊥α.这个定理从侧面给出了判定直线与平面垂直的一种方法,也给出了过一点引一个平面的垂线,只需找两个互相垂直的平面,在一个平面内,作两平面交线的垂线,从而垂直于另一个平面.

      (2)结论

      如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.此结论可以作为性质定理用.

      从该性质定理的条件看出:只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线,那么这条垂线必在这个平面内.点的位置既可以在交线上,也可以不在交线上,如图.

      page52
      知识5 空间中的角

      (1)异面直线所成的角

      ①定义:a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角θ(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.

      ②取值范围:0°<θ≤90°.

      (2)直线和平面所成的角

      ①直线和平面所成的角有三种:

      a.斜线和平面所成的角:一条直线与平面α相交,但不和α垂直,这条直线叫做平面α的斜线.斜线与α的交点叫做斜足,过斜线上斜足以外的点向平面引垂线,过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影.

      平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

      b.垂线与平面所成的角:一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角.

      c.一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角为0°.

      ②直线与平面所成角的取值范围:0°≤θ≤90°.

      知识6 二面角及二面角的平面角

      (1)半平面

      一条直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.

      (2)二面角

      从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.

      若两个平面相交,则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.

      二面角的大小用它的平面角来度量.

      (3)二面角的平面角

      ①二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的平面角范围是[0,π].

      平面角是直角的二面角叫做直二面角.

      ②二面角的平面角具有下列性质:

      a.二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面.

      b.从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.

      c.二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直.

      ③求作二面角的平面角的常用方法见下表:

      方法依据 作法 图形
      定义 在棱上找一点O,在两个面内分别作棱的垂线AO,BO, ∠AOB为α-CD-β的平面角
      垂面性质 过棱上一点O作棱的垂直平面γ,与两个半平面的交线分别为AO,BO,∠AOB为α-CD-β的平面角
      知识7 空间中的距离

      (1)点到平面的距离

      从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

      (2)直线和平面的距离

      一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离.

      (3)平行平面的距离

      和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线,公垂线夹在两个平行平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.

      (4)异面直线的距离

      与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.

      任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线线段.

      知识8 线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系
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      知识拓展 最小角定理:

      斜线和它在平面内的射影所成的角(即线面角),是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角.

      如图所示,θ、θ1、θ2之间的关系为cosθ=cosθ1·cosθ2.

      方法清单

      ·方法1 证明线线垂直的方法

      ·方法2 证明线面垂直的方法

      ·方法3 证明面面垂直的方法

      ·方法4 线线角的求法

      ·方法5 求直线与平面所成的角的方法

      ·方法6 二面角的求法

      ·方法7 求点面距离常用的方法

      ·方法8 求线到面、面到面的距离的方法

      方法1 证明线线垂直的方法

      (1)垂直问题的证明,其一般规律是由已知想性质,由求证想判定,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理,根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.

      (2)证明线线垂直的常用方法

      ①利用定义:同一平面内两直线相交成直角时,两直线互相垂直,异面直线成直角时,两条异面直线互相垂直.

      方法2 证明线面垂直的方法

      (1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围,线垂直于面,线就垂直于面内所有直线,这也是线面垂直的必备条件,利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化,这样就完成了空间问题与平面问题的转化.

      (2)证线面垂直的方法

      ①用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.

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      方法3 证明面面垂直的方法

      证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的,在关于垂直问题的论证中,要注意三者之间的相互转化.必要时可添加辅助线.如:已知面面垂直时,一般用性质定理,在一个平面内作出交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后转化为线线垂直,故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法.

      线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直,证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质;证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量.

      方法4 线线角的求法

      用平移转化的方法,使之成为两相交直线所成的角,当异面直线垂直时,应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为90°.

      方法5 求直线与平面所成的角的方法

      求直线与平面所成角的一般过程:①通过射影转化法,作出直线与平面所成的角;②在三角形中求角的大小.

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      方法6 二面角的求法

      (1)定义法

      通过二面角的平面角来求;找出或作出二面角的平面角;证明其符合定义;通过解三角形,计算出二面角的平面角.

      上述过程可概括为一作(找)、二证、三计算.

      (2)垂面法

      已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.

      page56

      方法拓展 射影法:

      利用面积射影定理求二面角的大小:S′=S·cosα,其中S为二面角一个面内平面图形的面积,S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,α为二面角的大小.

      方法7 求点面距离常用的方法

      (1)直接利用定义

      ①找到(或作出)表示距离的线段;

      ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.

      (2)利用两平面互相垂直的性质

      如果已知点在已知平面的垂面上,则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.

      (3)体积法

      其步骤:①在平面内选取适当三点和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由V=1/3S·h,求出h.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离,难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.

      方法8 求线到面、面到面的距离的方法

      (1)线到面的距离

      在直线上任取一点转化为点到面的距离.

      (2)面到面的距离

      转化为点到面的距离(同线面距离).

      page57
      第3章 直线与方程

      第3章 直线与方程

      3.1 直线的倾斜角与斜率

      知识清单

      ·知识1 直线的倾斜角

      ·知识2 直线的斜率

      知识1 直线的倾斜角

      (1)直线的倾斜角

      我们取x轴为基准,x轴正向与直线l向上(如图所示)的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.注意两个方向:直线向上方向,x轴的正方向.

      特别提醒 规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°.

      由此我们得到直线倾斜角α的范围为[0,π).

      (2)直线倾斜角的意义

      ①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度.

      ②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角.

      ③如图所示,倾斜角相同,未必表示同一条直线.

      特别提醒 确定直线位置的方法:一点+倾斜角确定一条直线(两者缺一不可).

      知识2 直线的斜率

      (1)描述直线倾斜程度的量

      日常生活中,我们经常用升高量与前进量的比表示倾斜面的坡度(倾斜程度),即坡度=升高量/前进量(如图所示).

      (2)直线的斜率的定义

      倾斜角不是π/2的直线,它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k表示,即k=tanα,0≤α<π(α≠π/2).

      特别提醒 每条直线都有倾斜角,但每条直线不一定都有斜率.当α≠π/2时,k=tanα;当α=π/2时,斜率不存在;当α∈[0,π/2)时,α增大,k为正值,也逐渐增大;当α∈(π/2,π)时,α增大,k为负值,且逐渐增大.

      (3)直线的斜率公式

      经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=或k=

      特别提醒 k的值与P1,P2两点的顺序无关.

      知识拓展 倾斜角的范围与斜率的范围之间的关系:

      ①α=0°k=0.

      ②0°<α<90°k>0.k随α的增大而增大.

      ③α=90°k不存在.

      ④90°<α<180°k<0.k随α的增大而增大.

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      方法清单

      ·方法1 求倾斜角的方法

      ·方法2 求直线的斜率

      ·方法3 斜率公式的应用

      方法1 求倾斜角的方法

      对于直线的倾斜角,应紧扣倾斜角的定义和取值范围,明确倾斜角α与斜率k的关系,注意二者之间的转化.在实际问题中,多结合图形分析、认识问题.

      方法2 求直线的斜率

      确定直线的斜率一般有两种情况,即已知直线的倾斜角,由k=tanα(α≠π/2)求斜率;已知两点,由斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.在实际问题中,应注意结合图形分析,准确求解并注意斜率不存在的情况.

      方法3 斜率公式的应用

      (1)三点共线的证明

      斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,直线上任意两点所确定的方向不变,即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率证明三点共线的原因.

      三点共线的判定方法:

      已知三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则判定三点A,B,C在一条直线上的常用方法是:

      ①||+||=||;

      ②kAB=kBC

      ③写出过A,C两点的直线方程,再检验B点坐标是否适合直线AC的方程.

      (2)利用斜率公式k=构造斜率,灵活解决形如之类的问题

      page59

      3.2 直线的方程

      知识清单

      ·知识1 直线的方程

      ·知识2 直线方程的几种形式

      ·知识3 两条直线平行

      ·知识4 两条直线垂直

      ·知识5 直线系方程

      知识1 直线的方程

      如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.

      知识2 直线方程的几种形式
      直线名称 方程形式 常数的意义 适用范围 备注
      点斜式 y-y1=k(x-x1) (x1,y1)是直线上一定点,k是斜率 不垂直于x轴 当k不存在时,直线方程为x=x1
      斜截式 y=kx+b k是斜率,b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴 当k不存在时,直线为y轴,即x=0
      两点式 = (x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个定点(x1≠x2,y1≠y2) 不垂直于x,y轴 当x1=x2时,直线方程为x=x1;当y1=y2时,直线方程为y=y1
      截距式 x/a+y/b=1 a,b分别是x,y轴上的非零截距 不垂直于x,y轴且不过原点 当a=b=0时,直线过原点,直线为y=kx
      一般式 Ax+By+C=0 A,B为x,y的系数,C为常数不同时为零 平面直角坐标系内的直线都适用 当C=0时,直线过原点;
      当A=0时,直线斜率为零;
      当B=0时,直线斜率不存在

      特别提醒 几种特殊位置的直线方程:

      x轴:y=0;

      y轴:x=0;

      平行于x轴的直线:y=b;

      平行于y轴的直线:x=a;

      过原点且有斜率的直线:y=kx.

      知识3 两条直线平行

      两条直线平行的判定:

      文字表述 如果两条不重合的直线(存在斜率)平行,那么它们的斜率相等;反之,如果两条不重合直线的斜率相等,那么它们平行
      符号表示 l1:y=k1x+b1
      l2:y=k2x+b2
      l1∥l2k1=k2
      且b1≠b2
      l1:A1x+B1y+C1=0,
      l2:A2x+B2y+C2=0,
      l1∥l2A1/A2=B1/B2≠C1/C2

      特别提醒 ①l1∥l2k1=k2成立的前提条件是两条直线的斜率存在,分别为k1,k2,l1与l2不重合.

      ②当两条直线不重合且斜率均不存在时,l1∥l2.

      知识4 两条直线垂直

      两条直线垂直的判定:

      文字表述 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积为-1;反之,如果两条直线的斜率之积为-1,那么它们互相垂直
      符号表示 l1:y=k1x+b1
      l2:y=k2x+b2
      l1⊥l2k1=-1/k2
      l1⊥l2k1·k2=-1
      l1:A1x+B1y+C1=0,
      l2:A2x+B2y+C2=0,
      l1⊥l2A1/ B1·A2/B2=-1或l1⊥l2A1A2+B1B2=0

      特别提醒 ①l1⊥l2k1k2=-1成立的前提条件是斜率都存在且不等于零.

      ②两条直线中,若一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则这两条直线垂直.这样,两条直线垂直的判定就可叙述为:一般地,l1⊥l2k1k2=-1,或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零.

      知识5 直线系方程

      具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系,其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数,常见的直线系有如下四类:

      page60
      定点直线系方程 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(除直线x=x0),其中k是待定系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,其中A,B是待定系数
      共点直线系方程 经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(除l2),其中λ是待定系数
      平行直线系方程 直线y=kx+b中,当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程,与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C),λ是参变量
      垂直直线系方程 与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0,λ是参变量

      方法清单

      ·方法1 求直线方程的一般方法

      ·方法2 求与已知直线垂直的直线方程的方法

      ·方法3 求与已知直线平行的直线方程的方法

      方法1 求直线方程的一般方法

      (1)直接法

      根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接求出直线方程.应明确直线方程的几种形式及各自的特点,合理选择解决方法.一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知在两坐标轴上的截距用截距式;已知两点用两点式,这时应特别注意斜率不存在的情况.

      (2)待定系数法

      先设出直线的方程,再根据已知条件求出假设系数,最后代入直线方程.待定系数法常适用于斜截式,已知两点坐标等.

      利用待定系数法求直线方程的步骤:

      ①设方程;②求系数;③代入方程得直线方程.

      如果已知直线过一个定点A(x0,y0),可以利用直线的点斜式y-y0=k(x-x0)求方程,也可以利用斜截式、截距式等形式求解.

      方法2 求与已知直线垂直的直线方程的方法

      (1)一般地,与Ax+By+C1=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0;过点A(x0,y0)与直线Ax+By+C1=0垂直的直线方程可设为B(x-x0)-A(y-y0)=0.

      (2)利用互相垂直的直线之间的关系求出斜率,再用点斜式写出直线方程.

      page61
      方法3 求与已知直线平行的直线方程的方法

      (1)一般地,直线Ax+By+C1=0中系数A,B决定直线的斜率,因此,与直线Ax+By+C1=0平行的直线方程可设为Ax+By+C2=0(C1≠C2),这是常常采用的解题技巧.

      当C2=C1时,Ax+By+C2=0与Ax+By+C1=0重合.

      (2)一般地,经过点A(x0,y0)且与直线Ax+By+C1=0平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0.

      (3)利用平行直线斜率相等,求出斜率,再用点斜式求出直线方程.

      3.3 直线的交点坐标与距离公式

      知识清单

      ·知识1 两条直线的交点

      ·知识2 距离公式·知识3对称问题

      知识1 两条直线的交点

      设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2∶A2x+B2y+C2=0,两条直线是否有交点,就要看这两条直线的方程所组成的方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0是否有唯一解.

      特别提醒 ①若方程组无解,则直线l1与l2平行;反之,亦成立.

      ②若方程组有无穷多个解,则直线l1与l2重合;反之,也成立.

      ③当有交点时,方程组的解就是交点坐标.

      ④l1与l2相交的条件是A1B2-A2B1≠0.

      知识2 距离公式

      (1)两点间的距离

      平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为

      P1P2|=.

      特别地,原点O(0,0)与任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.

      特别提醒 ①在公式中,P1和P2的位置是对称的,没有先后之分,即P1和P2间的距离也可表示为

      |P1P2|=.

      ②当P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|;

      当P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|.

      (2)点到直线的距离公式

      点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的距离d=.

      特别提醒 ①点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离(这是从运动观点来看的).

      ②若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离.

      ③点到直线的距离公式适用于任何情况,其中点P在直线l上时,它到直线的距离为0.

      ④点到几种特殊直线的距离:

      a.点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;

      b.点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;

      c.点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;

      d.点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.

      (3)两条平行直线间的距离

      两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离d=.

      特别提醒 ①两条平行直线间的距离,就是在其中一条直线上任取一点,这个点到另一条直线的距离,此点一般可以取直线上的特殊点.该方法体现了化归思想,即由线线间的距离到点线间的距离的转化,当然点线间的距离也可以转化为点点间的距离来求解.

      ②当利用两条平行直线间的距离公式d=时,一定要先将两直线的方程化为一般形式且x和y的系数对应相等.

      ③如果两平行直线的方程用斜截式方程表示为l1:y=kx+b1,l2∶y2=kx+b2,那么两平行直线间的距离d=.

      page62
      知识3 对称问题

      (1)点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点,因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.

      设P(x0,y0),对称中心为A(a,b),则P关于A的对称点为P′(2a-x0,2b-y0).

      (2)点关于直线成轴对称问题

      由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的垂直平分线.利用垂直平分这两个条件建立方程组,就可求出对称点的坐标.一般情形如下:

      设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′,y′),则有

      特殊地,点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P′(2a-x0,y0);点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P′(x0,2b-y0).

      (3)曲线关于点的中心对称、曲线关于直线的轴对称问题,一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点,也可选任意点).一般结论如下:

      ①曲线f(x,y)=0关于已知点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0.

      ②曲线f(x,y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法:

      设曲线f(x,y)=0上任意一点为P(x0,y0),P点关于直线y=kx+b的对称点为P′(x,y),则由(2)知,P与P′的坐标满足从而解出x0、y0,代入已知曲线f(x,y)=0,应有f(x0,y0)=0.利用坐标代换法就可求出曲线f(x,y)=0关于直线y=kx+b对称的曲线方程.

      几种特殊位置的对称:

      对称轴 对称点坐标
      P(a,b) x轴 (a,-b)
      y轴 (-a,b)
      y=x (b,a)
      y=-x (-b,-a)
      x=m(m≠0) (2m-a,b)
      y=n(n≠0) (a,2n-b)

      特别提醒 点A(x0,y0)关于直线x+y+c=0的对称点A′的坐标为(-y0-c,-x0-c),关于直线x-y+c=0的对称点A的坐标为(y0-c,x0+c).

      曲线f(x,y)=0关于直线x+y+c=0的对称曲线的方程为f(-y-c,-x-c)=0,关于直线x-y+c=0的对称曲线的方程为f(y-c,x+c)=0.

      以上这种方法用来解填空题、选择题特别有效,应加以理解与记忆,其规律是当对称轴所在直线方程斜率为1或-1时,将A(x0,y0)中的x0代入对称轴方程x的位置,解出的y是对称点的纵坐标,将A点纵坐标y0代入对称轴方程y的位置,解出的x是对称点的横坐标.

      page63

      知识拓展 两条直线l1与l2相交后可以定义两个不同的角,l1与l2相交所成的两对对顶角,我们把其中的锐角或直角叫做两条相交直线l1与l2所成的角(或夹角),记作θ,于是两条相交直线所成角的范围是(0,π/2],我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角叫做l1到l2的角,记作θ′.研究这两个角的大小,都可以通过直线的斜率使之代数化,即有tanθ=

      ,tanθ′=.

      理解这两个公式时,首先应注意在tanθ′=中,两个斜率k1、k2的顺序是不能改变的,θ′是直线l1到直线l2的角,若写成tanθ′=,则θ′为直线l2到直线l1的角,这两者是有区别的,而在夹角公式tanθ=

      |中,两直线的斜率没有顺序要求.

      在两直线的夹角为90°时,我们有k1k2+1=0,同理,若k1k2=-1,则直线l1与直线l:垂直,用这两个公式可以求解角平分线问题及与之有关的问题.

      方法清单

      ·方法1 代入法求直线方程

      ·方法2 求两条直线的交点的方法

      ·方法3 距离公式的应用

      ·方法4 利用距离的几何意义求最值

      方法1 代入法求直线方程

      设出所求直线上任意一点Q(x,y),利用已知条件找到Q与已知直线上点P(x0,y0)的关系,用x,y表示x0,y0,代入已知直线方程得到关于x,y的二元一次方程即为所求.

      方法2 求两条直线的交点的方法

      求两直线的交点,通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.若已知交点坐标求直线方程中的变

      page64
      量,直接代入即可.

      方法3 距离公式的应用

      由点到直线的距离公式可以求点到直线的距离以及求直线方程、两平行直线的距离.

      方法4 利用距离的几何意义求最值

      连结两点的连线中,线段的长度最短,常用来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边,常用来求距离差的最大值.

      page65
      第4章 圆与方程

      第4章 圆与方程

      4.1 圆的方程

      知识清单

      ·知识1 圆的定义

      ·知识2 圆的标准方程

      ·知识3 圆的一般方程

      ·知识4 几种特殊位置的圆的方程

      知识1 圆的定义

      特别提醒 当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.

      知识2 圆的标准方程

      圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程是

      (x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2).

      圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是

      x^(2)+y^(2)=r^(2).

      特别提醒 (1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.

      (2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.

      知识3 圆的一般方程

      形如x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,当D^(2)+E^(2)-4F>0时,叫做圆的一般方程.

      配方,得(x+D/2)^(2)+(y+E/2)^(2)=

      所以圆心为(-D/2,-E/2),半径为.

      当D^(2)+E^(2)-4F=0时,方程表示一个点(-D/2,-E/2);

      当D^(2)+E^(2)-4F<0时,方程没有实数解,它不表示任何图形(没有轨迹).

      特别提醒 (1)圆的一般方程形式的特点:

      a.x^(2),y^(2)的系数相同且不等于零;

      b.不含xy项.

      (2)形如Ax^(2)+Bxy+Cy^(2)+Dx+Ey+F=0的方程表示圆的条件:

      a.A=C≠0;

      b.B=0;

      c.(D/A)^(2)+(E/A)^(2)-4F/A>0,即D^(2)+E^(2)-4AF>0.

      知识4 几种特殊位置的圆的方程
      条件 标准方程 一般方程
      圆心在原点 x^(2)+y^(2)=r^(2) x^(2)+y^(2)+F=0
      过原点 (x-a)^(2)+(y-b)^(2)=a^(2)+b^(2) x^(2)+y^(2)+Dx+Ey=0
      圆心在x轴上 (x-a)^(2)+y^(2)=r^(2) x^(2)+y^(2)+Dx+F=0
      圆心在y轴上 x^(2)+(y-b)^(2)=r^(2) x^(2)+y^(2)+Ey+F=0
      与x轴相切 (x-a)^(2)+(y-b)^(2)=b^(2) x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0(D≠0),E^(2)-4F=0
      与y轴相切 (x-a)^(2)+(y-b)^(2)=a^(2) x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0(D≠0),E^(2)-4F=0
      与x,y轴都相切 (x-a)^(2)+(y-b)^(2)=a,|a|=|b|≠0 x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0,|D|=|E|≠0,D^(2)-4F=0
      圆心在x轴上且过原点 (x-a)^(2)+y^(2)=a^(2) x^(2)+y^(2)+Dx=0
      圆心在y轴上且过原点 x^(2)+(y-b)^(2)=b^(2) x^(2)+y^(2)+Ey=0

      知识拓展 (1)在圆(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2)(r>0)中,

      ①当a^(2)+b^(2)=r^(2)时,圆过原点;

      ②当|a|=r时,圆与y轴相切;

      page66

      当|b|=r时,圆与x轴相切;

      当|a|=|b|=r时,圆与两坐标轴相切;

      当|a|=r,b=0时,圆与y轴相切于原点;

      当|b|=r,a=0时,圆与x轴相切于原点.

      (2)若方程x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0表示圆,则

      ①当F=0时,圆过原点;

      ②当D=0,E≠0时,圆心在y轴上;当D≠0,E=0时,圆心在x轴上;

      ③当D=F=0,E≠0时,圆与x轴相切于原点;当E=F=0,D≠0时,圆与y轴相切于原点;

      ④当D^(2)=E^(2)=4F时,圆与两坐标轴相切.

      (3)求圆的一般方程,只需用待定系数法求出D,E,F三个系数就可以了.

      (4)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

      方法清单

      ·方法1 圆的标准方程的求法

      ·方法2 利用圆的一般方程确定圆

      ·方法3 巧用圆系方程解题

      方法1 圆的标准方程的求法

      (1)直接代入法

      已知圆心坐标和半径大小直接代入圆的标准方程.

      (2)待定系数法

      圆的标准方程中含有三个参变量,必须具备三个独立的条件,才能确定出圆的方程.当已知曲线为圆时,一般用待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r.一般步骤:

      ①根据题意,设出所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)^(2)=r^(2);

      ②根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;

      ③解方程组,求a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的方程,即求得圆的方程.

      (3)几何性质法

      如果在求解圆的方程这类问题中,能够结合圆的有关几何性质来考虑,可以使思路更直观,而且计算更简捷,这就是我们常说的数形结合思想,在学习解析几何时,要努力培养这种重要思想.

      在求圆的标准方程时,尽量利用圆的几何性质,可以大大减少计算.圆心的三个重要几何性质:第一,圆心在过切点且与切线垂直的直线上;第二,圆心在每一条弦的中垂线上;第三,两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

      方法2 利用圆的一般方程确定圆

      如果已知条件中圆心的位置不确定,则可以利用圆的一般方程.

      在圆的一般方程x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0中含有三个相互独立的参数D、E、F,因此,必须具备三个独立的条件才能确定圆的一般方程,方法仍为待定系数法.

      一般步骤:

      page67

      ①设圆的方程为x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0;

      ②根据条件列出方程组;

      ③解方程组,求D、E、F的值;

      ④得圆的一般方程.

      方法3 巧用圆系方程解题

      若所求的圆过已知两圆的交点或过一直线与一圆的交点,则可考虑将圆的方程设为过这两种交点的圆系方程的形式,常见的圆系方程有如下几种:

      (1)过直线Ax+By+C=0与圆x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).

      (2)过两圆x^(2)+y^(2)+D1x+E1y+F1=0和x^(2)+y^(2)+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x^(2)+y^(2)+D1x+E1y+F1+λ(x^(2)+y^(2)+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),

      此圆系不含x^(2)+y^(2)+D2x+E2y+F2=0.

      注意当λ=-1时,所得方程是两圆的公共弦所在的直线方程.

      方法拓展 利用数学式子的几何意义解与圆有关的最值问题:

      涉及与圆有关的最值问题可借助图形性质,利用数形结合求解,一般地,

      (1)u=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.

      (2)t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题.

      (3)l=(x-a)^(2)+(y-b)^(2)形式的最值问题,可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离的最值问题.

      page68

      4.2 直线、圆的位置关系

      知识清单

      ·知识1 点与圆的位置关系

      ·知识2 直线与圆的位置关系

      ·知识3 圆与圆的位置关系

      知识1 点与圆的位置关系

      点与圆的位置关系:点在圆内、圆上、圆外.

      点与圆的位置关系的判定:

      (1)利用点到圆心的距离来判定

      其判断方法是由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小.

      设点M(x0,y0)到圆C:(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2)的圆心C的距离为d,则

      d=|MC|=.

      将所给点M与圆心C的距离和半径r作比较:

      若|CM|=r,则点M在圆C上;

      若|CM|>r,则点M在圆C外;

      若|CM|<r,则点M在圆C内.

      (2)利用圆的标准方程来判定

      点M(m,n)在圆C上(m-a)^(2)+(n-b)^(2)=r^(2);

      点M(m,n)在圆C外(m-a)^(2)+(n-b)^(2)>r^(2);

      点M(m,n)在圆C内(m-a)^(2)+(n-b)^(2)<r^(2).

      知识2 直线与圆的位置关系

      直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系.

      位置关系 相离 相切 相交
      图形

      直线与圆相交有两个公共点;

      直线与圆相切有一个公共点;

      直线与圆相离没有公共点.

      知识3 圆与圆的位置关系

      (1)圆与圆的位置关系

      圆与圆有五种位置关系:相交、外离、外切、内切和内含.

      (2)圆与圆的位置关系的判断方法

      ①利用圆心距和两圆半径比大小(几何法):

      设两圆(x-a1)^(2)+(y-b1)^(2)=r12)与(x-a2)^(2)+(y-b2)^(2)=r22)的圆心距为d,显然d=,则位置关系表示如下:

      位置关系 关系式 图示
      外离 d>r1+r2
      外切 d=r1+r2
      相交 |r1-r2|<d<r1+r2
      内切 d=|r1-r2|
      内含 d<|r1-r2|

      ②利用两圆的交点进行判断(代数法):

      设由两圆的方程组成的方程组为

      x^(2)+y^(2)+D1x+E1y+F1=0,
      x^(2)+y^(2)+D2x+E2y+F2=0.

      由此方程组得:

      有两组不同的实数解两圆相交;

      有两组相同的实数解两圆相切;

      无实数解两圆相离.

      知识拓展 两圆的公共弦

      (1)定义:

      当两圆相交时,必有两个交点,那么过这两个交点的弦称为两圆的公共弦.

      (2)公共弦所在直线方程:

      圆C1:x^(2)+y^(2)+D1x+E1y+F1=0, ①

      圆C2:x^(2)+y^(2)+D2x+E2y+F2=0. ②

      ①-②得

      (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. ③

      圆C1与C2相交,③式为公共弦所在直线方程.

      (3)公共弦长的求法:

      两圆公共弦长的求法有两种.

      方法一:将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,

      page69
      利用两点间的距离公式求其长;

      方法二:求出公共弦所在直线的方程,利用勾股定理解如图所示的Rt△OAM,求出弦长.

      方法清单

      ·方法1 直线与圆位置关系的判定方法

      ·方法2 圆的切线方程的求法

      ·方法3 直线与圆相交的弦长公式

      方法1 直线与圆位置关系的判定方法

      (1)代数法

      判断直线Ax+By+C=0和圆x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0的位置关系,可由Ax+By+C=0,x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0推出mx^(2)+nx+p=0,利用判别式Δ进行判断.

      Δ>0直线与圆相交;

      Δ=0直线与圆相切;

      Δ<0直线与圆相离.

      (2)几何法

      已知直线Ax+By+C=0和圆(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2),圆心到直线的距离

      d<r直线和圆相交;

      d=r直线和圆相切;

      d>r直线和圆相离.

      特别提醒 ①上述两种方法,以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷.而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断.

      ②直线与圆相交,应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形,可使解法简单.

      ③上述结论列表如下:

      关系 相离 相切 相交
      二元二次方程组 方程组无解 方程组有一组解 方程组有两组不同的解
      消元后的一元二次方程 方程无实数根(Δ<0) 方程有两个相等的实数根(Δ=0) 方程有两个不相等的实数根(Δ>0)
      圓心到直线的距离d与圆半径r的关系 d>r d=r d<r
      图示
      page70
      方法2 圆的切线方程的求法

      (1)圆的切线方程的一般求法

      ①代数法:

      设出切线方程,利用切线与圆仅有一个交点,将直线方程代入圆的方程,从而Δ=0,可求解.

      ②几何法:

      利用几何特征:圆心到切线的距离等于圆的半径,可求解.

      切点与圆心的连线与切线垂直.

      (2)过定点的圆的切线方程

      ①过圆上一点的切线方程:

      与圆x^(2)+y^(2)=r^(2)相切于点(x1,y1)的切线方程是x1x+y1y=r^(2);

      与圆x^(2)+y^(2)=r^(2)相切于点(rcosθ,rsinθ)的切线方程是xcosθ+ysinθ-r=0;

      与圆(x-A)^(2)+(y-B)^(2)=r^(2)相切于点(xy1)的切线方程是(x1-A)(x-A)+(y1-B)(y-B)=r^(2);

      与圆x^(2)+y^(2)+Dx+Ey+F=0相切于点(xy1)的切线方程是x1x+y1y+D()+E()+F=0.

      ②过圆外一点的切线方程:

      设P0(x0,y0)是圆(x-a)^(2)+(y-b)^(2)=r^(2)外一点,求过P0点的圆的切线方程.

      方法一:设切点是P1(x1,y1),解方程组

      (x1-a)^(2)+(y1-b)^(2)=r^(2),
      (x0-a)(x1-a)+(y0-b)(y1-b)r^(2),

      求出切点P1的坐标,即可写出切线方程.

      方法二:设切线方程是y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,再由=r求出待定系数k,就可写出切线方程.

      特别提醒 一般说来,方法二比较简便,但应注意可能遗漏k不存在的切线.因此,当解出的k值唯一时,应观察图形,看是否有垂直于x轴的切线.

      方法3 直线与圆相交的弦长公式

      (1)几何法

      如图所示,直线l与圆C相交于A,B两点,线段AB的长即为l与圆相交的弦长.

      设弦心距为d,半径为r,弦为AB,则有|AB|=2.

      page71

      (2)代数法

      直线l与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,则联立直线方程和圆的方程得方程组.

      方法一:解方程组得A、B点的坐标,再由两点间的距离公式求弦长|AB|(如图).

      方法二:消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系可得弦长|ABI=|x1-x2|=|y1-y2|,其中k为直线的斜率且k≠0.特别地,当k=0时,可直接利用|AB|=|x1-x2|计算.

      特别提醒 ①几何法构造了直角三角形,计算量小,非常适合求直线与圆相交的弦长.

      ②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现,也是解析几何的实质,是用代数法研究几何问题.

      方法拓展 求轨迹方程的步骤:

      (1)建系,设点:建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y);

      (2)写集合:写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)};

      (3)列式:用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0;

      (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;

      (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

      page72

      4.3 空间直角坐标系

      知识清单

      ·知识1 空间直角坐标系

      ·知识2 空间点的坐标

      ·知识3 空间两点间的距离公式

      ·知识4 空间中对称点的坐标

      ·知识5 中点坐标公式及三角形的重心坐标公式

      知识1 空间直角坐标系

      如图,OABC-D′A′B′C′是单位正方体.以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y轴和z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴和z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.

      特别提醒 在平面上画空间直角坐标系O-xyz时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°.

      在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,那么称这个坐标系为右手直角坐标系.

      知识2 空间点的坐标

      设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,依次交x轴、y轴、z轴于点P、Q、R(如图).设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).

      反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x、y、z的点P、Q、R,分别过P、Q、R各作一个平面,分别垂直于x轴、y轴和z轴,这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x,y,z)确定的点M.

      这样,空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.

      知识3 空间两点间的距离公式

      设空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A、B两点间的距离公式为

      特别地,点A(x,y,z)到坐标原点的距离为d(O,A)=.

      知识4 空间中对称点的坐标

      坐标平面内的点与对称点:在空间直角坐标系O-xyz中,点P(x,y,z)在三个坐标平面xOy,yOz,zOx的射影为(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z),点P(x,y,z)的对称点坐标:

      知识5 中点坐标公式及三角形的重心坐标公式

      (1)已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P1P2的中点P的坐标为().

      (2)已知△ABC的三个顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC的重心G的坐标为().

      知识拓展 空间特殊平面与特殊直线

      (1)xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集,其中x,y为任意实数;

      xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集,其中x,z为任意实数;

      yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集,其中y,z为任意实数;

      x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集,其中x

      page73
      为任意实数;

      y轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集,其中y为任意实数;

      z轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集,其中z为任意实数.

      (2)三个坐标平面把空间分为八部分,每一部分都称为一个卦限.

      在坐标平面xOy上方,分别对应该坐标平面上四个象限的卦限,称为第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限;在下方的卦限称为第V卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限(如图).

      在每个卦限内,点的坐标中各分量的符号是不变的.例如在第Ⅰ卦限,三个坐标分量x,y,z都为正数;在第Ⅱ卦限,x为负数,y,z都为正数……

      方法清单

      ·方法1 空间直角坐标系的建立方法

      ·方法2 公式法求空间长度或中点坐标

      方法1 空间直角坐标系的建立方法

      空间直角坐标系的建立要充分利用题目中的线线垂直,线面垂直,使得最多的点在坐标轴或坐标平面上.

      方法2 公式法求空间长度或中点坐标

      已知点的坐标直接代入公式求长度或中点坐标.

      page74
       必修3

      必修3

      第1章 算法初步

      1.1 算法与程序框图

      知识清单

      ·知识1 算法的相关概念

      ·知识2 程序框图

      ·知识3 算法的三种基本逻辑结构及框图表示

      ·知识4 三种基本结构的共同特点

      知识1 算法的相关概念

      (1)算法的定义

      在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.

      (2)算法的特点

      明确性 算法对每一个步骤都有确切的规定,即每一步对于利用算法解决问题的人或计算机来说都是可识别的、可执行的
      有效性 算法的每一个步骤都能够通过基本运算有效地进行,并得到确定的结果;对于相同的输入,无论谁执行算法,在哪执行,都能够得到相同的结果
      有限性 算法应由有限步组成,对于某些输入,算法应在有限步内结束,并给出计算结果
      数据输入 算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步
      信息输出 一个算法至少要有一个有效的信息输出,这个有效的信息输出就是问题求解的结果
      不唯一性 求解每一个题的解法都不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法

      (3)描述算法的方法

      描述算法可以有不同的方法,常用的有:自然语言、程序框图、程序设计语言.

      (4)设计算法的要求

      ①符合运算规则,计算机能操作;②每个步骤都有一个明确的计算任务;③对于重复操作步骤应该做返回处理;④算法的步骤应尽可能少;⑤每个步骤的语言描述要准确、简明.

      知识2 程序框图

      (1)概念

      程序框图:又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.其中的多边形叫做程序框,带箭头的线叫做流程线.

      (2)构成程序框图的图形符号及作用

      通常,程序框图由程序框、流程线和必要的文字说明组成.如下表列出了一些常用的表示算法的图形符号.

      图形符号 名称 符号表示的意义
      起、止框 框图的开始或结束
      输入、输出框 数据的输入或者结果的输出
      处理框 赋值、执行计算语句、结果的传送
      判断框 根据给定条件判断
      流程线 流程进行的方向
      连接点 连接另一页或另一部分的框图
      注释框 帮助理解框图
      知识3 算法的三种基本逻辑结构及框图表示

      (1)顺序结构

      顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本结构.用程序框图可以表示为:

      (2)条件结构

      条件结构是根据给定条件选择执行不同指令的控制结构.根据给定的条件P是否成立而选择执行A框或B框.无论条件P是否成立,只能执行A框或B框之一,不可能同时执行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行.条件结构可以用程序框图表示为下面的两种形式:

      page75

      (3)循环结构

      在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,这种结构称为循环结构.反复执行的处理步骤称为循环体.在循环结构中,通常都有一个起到循环计数作用的变量,这个变量的取值一般都含在执行或终止循环体的条件中.循环结构有两种结构形式.

      ①直到型循环:在执行了一次循环体之后,对条件进行判断,当条件不满足时,就继续执行循环体,满足则停止.

      ②当型循环:在每次执行循环体前,对条件进行判断,当条件满足时,执行循环体,不满足则停止.

      知识4 三种基本结构的共同特点

      (1)只有一个入口.

      (2)只有一个出口,请注意一个菱形判断框有两个出口,而一个条件结构只有一个出口,不要将菱形框的出口和条件结构的出口混为一谈.

      (3)结构内的每一部分都有机会被执行到,也就是说,对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它.像图①中的A框,没有一条从入口到出口的路径通过它,就是不符合要求的程序框图.

      (4)结构内不存在死循环,即无终止的循环.像图②就是一个死循环.在程序框图中是不允许有死循环出现的.

      三种基本逻辑结构的共同特点,也是检查一个程序框图或算法是否正确、合理的方法和试金石.

      知识拓展 (1)程序框图的图形符号一定要规范,要特别注意:

      ①终端框(起止框)是任何流程不可少的,表明程序的开始和结束.

      ②输入、输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置.

      ③算法中要处理数据或计算,可分别写在不同的处理框内.

      ④当算法要求对两个不同的结果进行判断时,判断条件要写在判断框内.

      ⑤一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接.

      ⑥如果一个流程图需要分开来画,要在断开处画上连接点,并标出连接的号码,如图,在图中有两个以〇为标志的连接点(在连接点中写上1),它表示这两个点是互相连接在一起的.实际上它们是同一个点,只是画不下才分开来画.用连接点可以避免流程线的交叉或过长,使流程图清晰.

      ⑦注释框不是流程图中必须要的部分,不反映流程和操作,只是为了对流程图中某些框的操作作必要的补充说明,以帮助阅读流程图的人更好地理解流程图.

      (2)画程序框图的规则:

      为了使大家彼此之间能够读懂各自画出的框图,必须遵守一些共同的规则,下面对一些常用的规则作一简单的介绍:

      ①使用标准的框图符号.

      ②框图一般按从上到下、从左到右的方向画.

      ③除判断框外,大多数程序框图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框是具有超过一个退出点的唯一符号.

      ④在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.

      page76

      方法清单

      ·方法1 模拟运算写出输出结果

      ·方法2 检验法选择程序框内应填的内容

      ·方法3 赋值法解程序框图问题

      ·方法4 条件结构与分段函数的联系

      方法1 模拟运算写出输出结果

      在需要写出输出结果的一类问题中,可利用模拟程序框图表达的运算方式逐一运算,从而得到结果,需特别注意判断框内表达的结束条件.

      方法2 检验法选择程序框内应填的内容

      对于程序框内应填内容的选择问题,可逐一检验所给选项是否符合已知条件.

      方法3 赋值法解程序框图问题

      对于用字母表示的算法问题,可以采用赋值的方法来理解程序框图表示的算法.

      page77
      方法4 条件结构与分段函数的联系

      条件结构实质是指在算法中通过对条件的判断,根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构,条件结构常常用在一些大小比较、正负判断、分段函数求值等问题的算法设计中,尤其是分段函数的求值问题,经常用到条件分支结构,所以考生要关注算法和分段函数的结合问题.

      1.2 基本算法语句

      知识清单

      ·知识1 赋值语句

      ·知识2 输入语句

      ·知识3 输出语句

      ·知识4 条件语句

      ·知识5 条件语句的功能

      ·知识6 条件语句的嵌套

      ·知识7 循环语句

      知识1 赋值语句

      在表述一个算法时,经常要引入变量,并赋给该变量一个值.用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句.

      赋值语句的一般格式是变量=表达式

      关于赋值语句,有以下几点需要注意:

      ①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式,例如3=m是错误的.

      ②赋值号左、右不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量,例如y=x,表示用x的值替代变量y原先的取值,不能改写为x=y.因为后者表示用y的值替代变量x的值.

      ③不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等),例如y=x^(2)-1=(x+1)(x-1),这是不能实现的.在赋值语句中的赋值号右边的表达式中的每一个变量都必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现两个或多个=.

      ④赋值号与数学中的等号的意义不同,赋值号左边的变量如果原来没有值,则在执行赋值语句后,获得一个值.如果原已有值,则执行该语句后,以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值,即将原值冲掉.如:N=N+1在数学中是不成立的,但在赋值语句中,意思是将变量N的原值加1后再赋值给变量N,结果使变量N的值增加了1.

      page78
      知识2 输入语句

      输入语句的一般格式是

      INPUT提示内容;变量

      变量=input(提示内容)

      变量是指程序在运行时其值可以变化的量,输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式,例如输入200/5,20*4,60-12,70+2等都不行.INPUT语句还可以给多个变量赋值.

      输入语句的作用是实现算法的输入信息功能.

      知识3 输出语句

      输出语句在这里我们主要介绍PRINT语句,其一般格式是

      PRINT提示内容;表达式

      print(%io(2),变量1,变量2,…)

      表达式是指程序要输出的数据,输出语句可以输出常量、变量或表达式的值.

      输出语句的作用是实现算法的输出结果功能.

      知识4 条件语句

      (1)条件语句的一般格式:

      特别提醒 计算机在执行①这种格式的条件语句时,首先对IF后的条件进行判断,如果(IF)条件符合,那么(THEN)执行语句体1,否则(ELSE)执行语句体2.

      其对应的程序框图如图甲所示.

      ②这种格式的语句的功能:如果表达式结果为真,则执行表达式后面的语句序列1;如果表达式结果为假,则执行else后面的语句序列2.

      该语句对应的程序框图如图乙所示.

      (2)条件语句的一般格式:

      特别提醒 ①计算机执行①这种格式的条件语句时,首先对IF后的条件进行判断,如果(IF)条件符合,那么(THEN)执行语句体,否则执行END IF之后的语句.

      其对应的程序框图如图甲所示.

      图甲

      其实,if语句最简单的格式是:

      这就是说,如果表达式结果为真,则执行表达式后面的语句序列1,否则跳过语句序列1.

      ②这类语句对应的程序框图如图乙所示.

      图乙

      知识5 条件语句的功能

      条件语句主要用来实现算法中的条件结构,因为人们对计算机运算的要求并不仅限于一些简单的运算,而是经常需要计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同情况进行不同的处理,如判断一个数的正负,比较两数的大小,对一组数据进行排序等就需要用到条件语句.

      知识6 条件语句的嵌套

      在某些较为复杂的算法中,有时需要按条件要求执行某一语句(特别是ELSE后的语句)后,继续按照另一条件进行判断,这时可以再利用条件语句完成这一要

      page79
      求,这就形成了条件语句的嵌套,其一般形式:

      对应的程序框图如图:

      特别提醒 编写嵌套语句可分块处理,识读程序时可用文字缩进来表示嵌套的层次.

      知识7 循环语句

      (1)WHILE语句的一般格式

      特别提醒 ①当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE与WEND之间的循环体,然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止.这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句.

      ②WHILE循环对应的程序框图如图所示:

      (2)UNTIL语句的一般格式

      特别提醒 ①当计算机执行该语句时,先执行一次DO和UNTIL之间的循环体,再对UNTIL后的条件进行判断,若条件不满足,继续执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,直接跳到UNTIL语句后,接着执行UNTIL语句之后的语句.这种语句是先执行循环体后再进行条件的判断,因而又称为后测试型循环.

      ②UNTIL循环对应的程序框图如图所示:

      (3)for语句的一般格式

      特别提醒 当程序执行时,遇到for语句,首先把初值赋给循环变量,记下终值和步长,并比较初值和终值,若初值没有超过终值,就开始执行for语句后面的语句,然后计算机让循环变量增加一个步长,然后用增值后的循环变量值与终值比较,如果超过终值,就执行end后面的语句,否则执行for语句后面的语句.

      循环变量是用于控制算法中循环次数的变量,起计数作用,它有初值和终值,是循环开始和结束时循环变量的值,步长是指循环变量每次增加的值.步长为1时可以省略不写,但为其他值时,必须写,不能省略.

      (4)循环语句的功能

      循环语句主要用来实现算法中的循环结构,在处理一些需要有规律重复的计算问题,如叠加求和、累乘求积等问题时常常用循环语句编写程序.

      知识拓展 计算机语言中的常用运算符:

      运算符/函数名 功能 运算符/函数名 功能
      * 乘法运算 \ 取商
      / 除法运算 MOD 取余数
      ^ 幂运算 ABS(X) |x|
      >= SQR(X) (x≥0)
      <= Log(X) ln x(x>0)
      <>
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      方法清单

      ·方法1 赋值与输入、输出语句的使用方法

      ·方法2 条件语句的使用方法

      ·方法3 循环语句的使用方法

      方法1 赋值与输入、输出语句的使用方法

      编写程序的关键是搞清问题的算法,特别是算法的结构,然后确定采用哪一种算法语句.

      方法2 条件语句的使用方法

      条件语句一般用在对条件进行判断的算法设计中,在求分段函数的函数值时往往用条件语句.

      方法3 循环语句的使用方法

      (1)在描述循环结构的算法时,若循环次数是明确的,两种语句均可使用,若循环次数不明显,一般用while语句.

      (2)for语句是先执行循环体,后判断条件(循环次数确定).

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      1.3 辗转相除法

      知识清单

      ·知识1 辗转相除法

      ·知识2 更相减损术

      ·知识3 秦九韶算法

      ·知识4 进位制

      知识1 辗转相除法

      辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的一种方法,其算法是对于给定的两个正整数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.

      (1)算法步骤

      第一步:输入两个正整数m,n.

      第二步:计算m除以n所得的余数r.

      第三步:m=n,n=r.

      第四步:若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.

      第五步:输出最大公约数m.

      (2)程序框图

      知识2 更相减损术

      更相减损术是我国古代《九章算术》中介绍的一种求两个正整数最大公约数的一种算法,其算法是对于给定的两个正整数,用较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的一对数,对这一对数再用较大的数减去较小的数,将差和较小的数构成新的一对数,反复执行此步骤直到差和较小的数相等,此时这个数便为原来两个数的最大公约数.

      (1)算法步骤

      第一步:输入两个正整数a,b.

      第二步:若a不等于b(a>b),则执行第三步;否则,转到第五步.

      第三步:把a-b的值赋给r.

      第四步:如果b>r,那么把b赋给a,把r赋给b,执行第二步;否则把r赋给a,执行第二步.

      第五步:输出最大公约数b.

      (2)程序框图

      知识3 秦九韶算法

      秦九韶算法是用于计算一元n次多项式的值的一种算法.

      秦九韶算法过程分析:

      设Pn(x)=anx^(n)+an1x^(n-1)+…+a1x+a0,将其改写为Pn(x)=(anx^(n-1)+an1x^(n-2)+…+a1)x+a0=((anx^(n-2)+an1 x^(n-3)+…+a2)x+a1)x+a0=(…((anx+an1)x+an2)x+…+a1)x+a0

      令vk=(…(anx+an1)x+…+ank1)x+ank,则递推公式为:v0=an,vk=vk-1+an-k,其中k=1,2,…,n.

      这样我们便可由v0依次求出v1,v2,v3,…,vn

      v1=v0x+an1,v2=v1x+an2,v3=v2x+an3,…,vn=vn1x+a0.

      显然,当用秦九韶算法求n次多项式的值时只需做n次乘法运算和n次加法运算.

      (1)算法步骤

      第一步:输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值

      第二步:将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1.

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      第三步:输入i次项的系数ai.

      第四步:v=vx+ai,i=i-1.

      第五步:判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v.

      (2)程序框图

      知识4 进位制

      (1)进位制的定义

      所谓进位制,是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.约定满二进一,就是二进制;满八进一,就是八进制;满十进一,就是十进制;等等.即满几进一就是几进制,几进制的基数就是几.因此k进制需要使用k个数字来表示.

      (2)k进制的特点

      具有k个数字符号,它们是0,1,2,3,…,(k-1).由低位到高位是按逢k进一的规则进行计数,可以表示为一串数字连写在一起的形式:

      anan1…a1a0k(0<an<k,0≤an1,an2,…,a1,a0<k,an,an1,…,a1,a0∈N).

      如110 0112=1×2^(5)+1×2^(4)+0×2^(3)+0×2^(2)+1×2^(1)+1×2^(0).

      (3)k进制数与十进制数之间的转化

      ①将一个k进制数转换为十进制数的方法是:先将该k进制数写成不同位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式,即:

      anan1…a1a0k=an×k^(n)+an1×k^(n-1)+…+a2×k^(2)+a1×k+a0,再计算出该式等号右边的值,就得到了相应的十进制数.

      ②将一个十进制数转换为k进制数,一般用除k取余法.其方法是:用k连续去除这个数或所得的商,一直到商为0为止,然后把每次所得的余数倒过来排成一个数,就是相应的k进制数.为了直观,又便于操作,常把除的过程连同余数写成竖式.如将十进制数30化为二进制数,如图所示:

      把上式中各步所得的余数从下到上排列,得到3010=11 1102.

      特别提醒 k进制数的基数都是大于I的整数,为区分不同的进制数,常在数的右下角标明基数,十进制数一般不标注基数.方法清单

      ·方法1 用辗转相除法和更相减损术求最大公约数

      ·方法2 用秦九韶算法求多项式的值

      ·方法3 进位制之间的转化方法

      方法1 用辗转相除法和更相减损术求最大公约数

      更相减损术与辗转相除法的比较:尽管两种算法分别来源于东西方古代数学专著,但是二者的算理却是相似的,有异曲同工之妙;主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,即辗转相除,而更相减损术进行的是减法运算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程,最终达到解决问题的目的.

      page83
      方法2 用秦九韶算法求多项式的值

      利用秦九韶算法计算多项式的值,关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向外逐层计算,由于每步计算都是相关联的,因此计算一定要细心准确,更不能漏项.

      如果多项式函数中缺少某项,要以系数为0的项补齐后再计算.否则,影响秦九韶算法中的加法次数.

      方法3 进位制之间的转化方法
      page84
       第2章 统计

      第2章 统计

      2.1 随机抽样

      知识清单

      ·知识1 统计的基本数学思想

      ·知识2 简单随机抽样

      ·知识3 系统抽样

      ·知识4 分层抽样

      ·知识5 三种抽样方法的比较

      知识1 统计的基本数学思想

      统计的基本数学思想是用样本估计总体,即通常不是直接去研究总体,而是通过从总体中抽取一个样本,根据样本的情况去估计总体的相应情况.为了使样本具有代表性、具有较高的可信度,必须使总体中的每个个体被抽取的概率相等.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都满足这一要求.

      知识2 简单随机抽样

      (1)定义

      设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,称这种抽样方法为简单随机抽样.

      (2)特点

      ①被抽取样本的总体中个体数有限.这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析.

      ②它是从总体中逐个不放回地进行抽取.

      ③它是一种不放回抽样.

      ④每次抽取时,总体中各个个体被抽到的可能性相同.

      特别提醒 从个体数为N的总体中,抽取一个容量为n的样本,则每个个体被抽到的概率都是n/N.

      (3)分类

      ①抽签法

      把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个不透明容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.

      步骤 优点 缺点
      第一步:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可以从1到N);
      第二步:把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸片、竹板等制作),然后将这些号签放在同一个不透明容器里并搅拌均匀;
      第三步:每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本
      简单易行,当总体中的个体数不多时,搅拌均匀很容易,每个个体有均等的机会被抽中,从而能保证样本的代表性 当总体个体数较多时,如果标号的纸片或小球搅拌得不均匀,可能导致抽样的不公平

      ②随机数法

      随机数法:利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.

      随机数表 随机数法步骤
      随机数表是由0~9这十个数字组成的数表,并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同(随机数表不是唯一的,只要符合每一位置出现各个数字的可能性相同的要求就可以构成随机数表) 第一步:将总体中的个体编号.为了保证抽取样本有很好的代表性,编号时位数要相同;
      第二步:选定开始的数字.为了保证所选定数字的随机性,应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置;
      第三步:获取样本号码.随机确定一个读数方向,读数的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等,重复的号码跳过.编号范围外的数去掉,直到取满n个号码为止,就得到一个容量为n的样本

      特别提醒 ①简单随机抽样包括抽签法和随机数表法,它们都是等概率抽样,从而保证了抽样的公平性.

      ②简单随机抽样有操作简便易行的优点,在总体个体数较少的情况下是行之有效的抽样方法.

      page85

      ③抽签法和随机数表法首先都要对总体中的所有个体编号,编号的起点不是唯一的.

      知识3 系统抽样
      定义 特点 步骤
      当总体元素个数很多时,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样 系统抽样也是等概率抽样,即每个个体被抽到的概率是相等的,从而保证了抽样的公平性.系统抽样适合于总体的个体数较多的情形,操作上分四个步骤进行,除了剔除余数个体和确定起始号需要简单随机抽样外,其余样本号码由事先定下的规则自动生成,从而使得系统抽样操作简单、方便 第一步:将总体的N个个体编号;
      第二步:确定分段间隔对编号进行分段.当N/n(n是样本容量)是整数时,取k=N/n;
      第三步:在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号l(l≤k);
      第四步:按照一定的规则抽取样本

      特别提醒 在系统抽样中,总体中的个体数如果正好能被样本容量整除,则可用它们的比值作为进行系统抽样的间隔;如果不能被整除,可先按简单随机抽样的方法从总体中剔除若干个个体,再按照系统抽样的方法进行.系统抽样中每个个体被抽到的机会仍然相等.

      系统抽样也叫做等距抽样,总体中个体数比较多,系统抽样能使样本具有代表性.

      知识4 分层抽样
      定义 特点 步骤
      当总体由有明显差别的几部分组成时,按某种特征将总体中的个体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层抽出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样 使用分层抽样的前提是总体可以分层,层与层之间有明显的区别,而层内个体间差异较小,每层抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取,分层抽样要求对总体的内容有一定的了解,明确分层的界限和数目,只要分层恰当,一般来说抽样结果就比简单随机抽样更能反映总体情况 第一步:分层;
      第二步:按比例确定每层抽取个体的个数;
      第三步:各层抽样(方法可以不同);
      第四步:汇合成样本

      特别提醒 (1)各层抽取时采用简单随机抽样或系统抽样.分层抽样时,每个个体被抽到的机会是均等的.

      (2)在分层抽样中,确定抽样比k是抽样的关键.一般地,抽样比k=n/N(N为总体容量,n为样本容量),再按抽样比k在各层中采用简单随机抽样或系统抽样的方法抽取个体,就能确保抽样的公平性.

      (3)进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:

      ①样本容量/总体的个数N=该层抽取的个体数/该层的个体数;

      ②总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.

      知识5 三种抽样方法的比较
      类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
      简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的可能性相等 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少
      系统抽样 将总体均匀分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取 在超始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多
      分层抽样 将总体分成几层,分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成

      三种抽样方法在实际中的应用:

      当总体中的个体数较少时,常采用简单随机抽样;当总体中的个体数较多时,常采用系统抽样;当已知总体由差异明显的几部分组成时,常采用分层抽样.由于分层抽样充分利用了总体的一些信息,从而具有较好的代表性,在实践中有着广泛的应用.

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      方法清单

      ·方法1 简单随机抽样法

      ·方法2 系统抽样法

      ·方法3 分层抽样法

      方法1 简单随机抽样法

      (1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是号签是否搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.

      (2)随机数表中随机出现0,1,2,…,9十个数字,也就是说,在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的,在使用随机数表法时,如遇到三位数或四位数时,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或每四个作为一个单位,自左向右选取,舍去超过总体号码的数字和重复号码的数字.

      方法2 系统抽样法

      选用系统抽样方法时,应着力解决N不能被n整除的问题.在剔除多余的个体时,也必须随机地抽出,否则,不能保证抽样的公平性.既要关注剔除,又要合理分段.

      方法3 分层抽样法

      当总体是由有明显差别的几部分组成时,为了使抽取的样本更好地反映总体的情况,常采用分层抽样.

      分层抽样的优点:使样本具有较强的代表性,而且在各层抽样时,又可灵活地选用不同的抽样法.

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      2.2 用样本估计总体

      知识清单

      ·知识1 频率分布表和频率分布直方图

      ·知识2 总体密度曲线

      ·知识3 茎叶图

      ·知识4 样本的数字特征

      知识1 频率分布表和频率分布直方图

      (1)频率分布表

      当总体容量很大或不便获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布.我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.

      (2)频率分布直方图

      利用直方图反映样本的频率分布规律,这样的直方图称为频率分布直方图,简称频率直方图.

      (3)频率分布表和频率分布直方图的应用

      ①频率分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组内的个数;而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律,它可以使我们看到整个样本数据的频率分布.

      ②作频率分布直方图的步骤:

      1)求极差:即计算一组数据中最大值和最小值的差.

      2)决定组距与组数:将数据分组时,组数应力求合适,以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.这时应注意三点:a.一般地,样本容量越大,所分组数越多;b.为方便起见,组距的选择力求取整,且分点应比数据小一个数量级,如数据为2,3,4等整数,分点可以为2.5,2.1等,这样可以使每个数据都属于唯一的一组;c.当样本容量不超过100时,按照数据的多少,常分成5~12组.

      3)将数据分组.

      4)计算各小组的频率,作成频率分布表,

      各小组的频率=小组频数/样本容量.

      5)画频率分布直方图.

      (4)对频率分布直方图的理解

      ①小矩形的面积=组距×频率/组距=频率.

      ②各小矩形的面积之和等于1.

      ③小矩形的高等于频率/组距,所有小矩形的高的和为1/组距.

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      知识2 总体密度曲线

      (1)频率分布折线图

      把频率分布直方图中各个矩形上边中点用线段连结起来,就得到频率分布折线图.

      (2)总体密度曲线

      ①如果样本容量越大,所分组数越多,图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小.设想如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布,它可以用一条光滑曲线y=f(x)来描绘,这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.

      ②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律.

      (3)频率分布与总体分布

      ①总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息.总体在某一区间内取值的百分比就是该区间与该曲线所夹的曲边梯形的面积.

      ②总体密度曲线通常都是由样本的频率分布估计出来的.

      知识3 茎叶图

      (1)统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图.茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.茎叶图不仅能够保留原始数据,而且能够展示数据的分布情况.

      (2)作茎叶图的步骤:

      ①将所有两位数的十位数字作为茎,茎按从小到大的顺序自上而下排列,茎相同者共用一个茎,再在茎的两侧画上竖线作为分界线;

      ②在分界线的另一侧对应茎处,记录下叶——个位数字,一般共茎的叶按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出.

      知识4 样本的数字特征
      数字特征 定义
      众数 出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多,且出现的次数一样,这些数据都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数).在样本数据的频率分布直方图中,众数就是最髙矩形的底边中点的横坐标
      中位数 如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列,当数据有奇数个时,处在最中间的一个数是这组数据的中位数;当数据有偶数个时,处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数.频率分布直方图中,中位数左、右两边的直方图面积相等
      平均数 一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数=1/n(x1+ x2+…+ xn)=1/n
      ,平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
      样本标准差 反映样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差,一般用s表示.假设样本数据x1, x2,…, xn的平均数为则标准差的计算公式是:
      s=,s≥0,标准差越大,离散程度越大,数据较分散;标准差越小,离散程度越小,数据较集中.标准差为0的样本数据彼此相等
      样本方差 标准差的平方s2称为方差,有时用方差代替标准差测量样本数据的离散度.方差与标准差的测量效果是一致的,在实际应用中一般多采用标准差.

      结论:

      (1)用样本的数字特征估计总体的数字特征,是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据,估计总体相应的统计数据.

      (2)平均数对数据有取齐的作用,代表一组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中,我们常综合样本的多个统计数据,对总体进行估计,为解决问题作出决策.

      (3)现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数与标准差是未知的,我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差,但要求样

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      本有较好的代表性.

      (4)对同一个总体,可以抽取不同的样本,相应的样本的平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差,那么对总体所作的估计就会产生偏差;如果样本没有代表性,那么对总体作出错误估计的可能性就非常大,由此可见抽样方法的重要性.

      特别提醒 重要公式:

      ①如果x1,x2,…,xn的平均数为,那么ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b.

      ②数据x1,x2,…,xn与数据x1+m,x2+m,…,xn+m的方差相等.

      ③若x1,x2,…,xn的方差为s^(2),则kx1,kx2,…,kxn的方差为k^(2)s^(2).

      方法清单

      ·方法1 利用频率分布直方图解题

      ·方法2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

      ·方法3 用茎叶图分析总体的数字特征

      方法1 利用频率分布直方图解题

      在利用频率分布直方图解题时,首先应计算出小矩形的面积,该面积表示落在该组的数据的频率.

      方法2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

      方差和标准差的大小反映了总体或者样本的波动程度,可以对诸如均衡性、稳定性、差异性等作出描述.如果两个班级的学科测试成绩的平均数相等,那么可以再分别求出它们的方差加以分析,方差较大的班级学生的成绩波动较大,不均衡.再比如,考核一个运动员的水平不仅要考虑其成绩的平均数,而且要考虑其成绩的稳定性,后者往往更被看重.

      方法3 用茎叶图分析总体的数字特征

      用茎叶图刻画数据有两个优点:一是所有的信息都可以从图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况.但当样本数据较多或数据位数较多时,茎叶图就不太方便了.

      page90

      从这个茎叶图上可以看出:甲运动员的得分情况是大致对称的,中位数是36;乙运动员的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是25.

      (2)由(1),知甲运动员发挥比较稳定,总体得分情况比乙好.

      2.3 变量间的相关关系

      知识清单

      ·知识1 变量间的相关关系

      ·知识2 两个变量的线性相关

      ·知识3 回归直线方程

      知识1 变量间的相关关系

      (1)变量间的关系

      变量间的关系常见的有两类:一类是确定性的函数关系;另一类是变量与变量之间确实存在关系,但是却不具有函数关系所要求的确定性,它们的关系常带有随机性,具有不确定性,我们把这种关系称为相关关系.

      (2)相关关系与函数关系的异同点

      ①相同点:两者均是指两个变量间的关系.

      ②不同点:a.函数关系是一种确定的关系,如正方形的面积S与其边长a的关系.相关关系是一种非确定性的关系,如人的身高与体重的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量间的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量间的关系或两个随机变量之间的关系.

      b.函数关系是一种因果关系,该关系是确定的,不受其他因素的影响,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.

      ③联系:两种关系并非是不可转化的,在特定条件下,例如对于具有线性相关关系的两个变量来说,求其回归方程的过程,便是把非确定性关系向确定性关系转化的过程,随着人们对事物或规律认识的加深,一些相关关系可以转化为函数关系.

      知识2 两个变量的线性相关

      (1)回归分析

      对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.通俗地讲,回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.

      (2)散点图

      将n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.

      散点图形象地反映了各对数据的密切程度.

      ①散点图的优点:

      散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势,利用计算机作散点图是简单可行的方法,如图.

      ②散点图的缺点:

      散点图只是形象地描述点的分布情况,它的线性是否明显只能通过观察,要想把握其特征,必须进行定量的研究.

      (3)正相关、负相关

      如果两个变量的散点图中,点散布的位置是从左下角到右上角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关.

      反之,如果两个变量的散点图中,点散布的位置是从左上角到右下角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.

      知识3 回归直线方程

      (1)回归直线的画法

      ①建立平面直角坐标系,两轴的长度单位可以不一致.②将n个数据点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)描在平面直角坐标系中.③描的点可以是实心点,也可以是空心点.④画回归直线时,一定要画在多数点经过的区域,实际画线时,先观察有哪两个点在直线上即可.⑤具体作回归直线时,用一条透明的直尺的边缘在这些点间移动,使它尽量靠近或通过大多数点,然后画出直线.

      (2)回归直线方程的求法

      ①最小二乘法:

      设Q(a,b)是直线y=bx+a与各对应数据表示的散点在纵轴方向上的距离的平方和,可以用来衡量直线y=bx+a与图中各点的接近程度,设法取a,b的值,使Q(a,b)达到最小值.这种思想方法叫做最小二乘法.

      最小二乘法是统计学中重要的思想方法,可简单理解为二次函数Q(a,b)取最小值时的a,b的值.

      page91

      ②线性回归直线方程:

      一般地,设有(x,y)的n对观察数据如下:

      x x1 x2 x3 xn
      y y1 y2 y3 yn

      =x+,Q=(y1x1)^(2)+(y2x2)^(2)+…+(ynxn)^(2)取得最小值时,就称=x+为拟合这n对数据的线性回归方程,将该方程所表示的直线称为回归直线.

      其中,===1/n=1/n).

      根据最小二乘法的思想和公式,利用计算器或计算机,可以方便地求出回归方程.

      )称为样本点的中心,回归直线方程=x一定经过样本点的中心().

      方法清单

      ·方法1 公式法求回归直线方程

      ·方法2 数形结合判断变量的相关关系

      方法1 公式法求回归直线方程

      求回归直线方程,一般先要考查y与x是否具有线性相关关系,若具有这样的关系,则它的回归曲线为直线.

      方法2 数形结合判断变量的相关关系

      由散点图成条形分布可判断变量具有相关性,从左上角到右下角的点的分布知变量具有负相关关系,从左下角到右上角的点的分布知变量具有正相关关系.

      page92
       第3章 概率

      第3章 概率

      3.1 随机事件的概率

      知识清单

      ·知识1 随机现象

      ·知识2 事件

      ·知识3 频率与概率

      ·知识4 频率与概率的关系

      ·知识5 事件的关系

      ·知识6 概率的性质

      ·知识7 概率的加法公式

      知识1 随机现象

      (1)确定性现象(必然现象)

      在一定条件下,事先就能断定必然会出现某种结果的现象称为确定性现象,也称为必然现象.

      (2)随机现象

      在一定条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同,事先很难预料哪一种结果会出现的现象称为随机现象.

      (3)试验

      为了探索随机现象的规律性,就要对随机现象进行观察,我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验叫做试验.每让其条件实现一次,就称进行了一次试验.

      (4)随机试验

      一个试验如果满足下述条件:

      ①试验可以在相同的情形下重复进行;

      ②试验的所有结果是明确可知的,但不止一个;

      ③每次试验总是出现这些结果中的一个,但在试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果.

      像这样的试验是一个随机试验.

      知识2 事件

      (1)必然事件

      在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件.

      (2)不可能事件

      在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件.

      (3)确定事件

      相对于条件S的必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件,简称确定事件.

      (4)随机事件

      在条件S下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机事件.

      (5)事件及其表示方法

      确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C……表示.

      知识3 频率与概率

      (1)频数与频率

      在相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=nA/n为事件A出现的频率,且0≤nA/n≤1.

      (2)概率

      对于随机事件A,在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率m/n,当n很大时,总在某个常数附近摆动,随着试验次数的增加,摆动幅度越来越小.事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.

      ①概率从数量上反映一个事件发生的可能性的大小.

      ②概率的定义实际上也是求一个事件概率的基本方法.

      知识4 频率与概率的关系

      (1)频率随着试验次数的变化而变化,而概率却是一个常数,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时,频率向概率靠近.

      (2)频率是概率的近似值.在实际应用中,只要试验次数足够多,所得的频率就可近似地当成随机事件的概率.

      (3)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率可能不同;概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.

      概率可看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.而频率在大量重

      page93
      复试验的前提下可近似作为这个事件的概率.

      随机事件A的频率与概率的异同比较如表所示:

      随机事件A 相同点 不同点
      频率 都能反映事件A在一定条件下发生的可能性大小 大量重复试验测出来的 有波动性
      概率 通过理论计算求出来的 有稳定性
      知识5 事件的关系
      事件的关系 定义 与集合类比记忆
      包含关系 当事件A发生时,事件B—定发生,则AB(BA) (1) 与集合类比,B包含A,即AB;

      (2)不可能事件记为A且B
      (3)事件A也包含于事件A,即AA
      相等事件 若BA且AB,则称事件A与事件B相等,记作A=B 两个相等事件A,B要么同时发生,要么同时不发生.A=B表示A,B为同一事件
      并(和)事件 当且仅当事件A发生或事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作C=A∪B(或A+B) 与集合类比,并事件相当于求并集.

      应满足A∪B=B∪A
      交(积)事件 当且仅当事件A发生且事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB) 与集合类比,交事件相当于求交集
      互斥事件 两个集合的交集可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即A∩B=,此时,称事件A与事件B互斥 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生
      对立事件 若A∩B为不可能事件, A∪B为必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生

      特别提醒 互斥事件是不可能同时发生的事件,但是可以同时不发生.对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.

      知识6 概率的性质

      (1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在[0,1]内,从而概率满足0≤P(A)≤1.

      (2)在每次试验中,必然事件一定发生,因此它的频率为1,从而必然事件的概率为1.

      (3)在每次试验中,不可能事件一定不出现,因此它的频率为0,从而不可能事件的概率为0.

      知识7 概率的加法公式

      (1)当事件A与B互斥时

      P(A+B)=P(A)+P(B).

      如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),即彼此互斥事件和的概率等于概率的和.

      (2)当事件A,B互为对立事件时

      若事件A,B互为对立事件,则A∪B为必然事件,

      P(A∪B)=1.

      若事件A,B互为对立事件,则

      P(A)+P(B)=1,P(A)=1-P(B).

      page94

      方法清单

      ·方法1 利用概率的概念

      ·方法2 公式法求概率

      方法1 利用概率的概念

      概率是频率的稳定值,只是表示事件发生的可能性,并不等同于事件实际发生的可能性,所以在实际生活中根据概率作决策时,若把实际结果与根据概率算出的结果判断为一定相同,往往存在很大的风险.

      方法2 公式法求概率

      判断出事件之间是互斥事件时可用互斥事件的概率和公式求概率.

      直接求一个事件的概率不好求时,可用其对立事件的概率公式求概率.

      page95

      3.2 古典概型

      知识清单

      ·知识1 基本事件

      ·知识2 等可能基本事件

      ·知识3 古典概型及其概率公式

      知识1 基本事件

      (1)在试验中,能够表示其他事件且不能再分的最简单的事件称为基本事件.

      (2)基本事件有如下的特点:

      ①任何两个基本事件是互斥的,一次试验中,只可能出现一种结果,即产生一个基本事件,即基本事件不可能同时发生,因而任何两个基本事件是互斥的.

      ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

      相对于基本事件,由两个或两个以上基本事件组成的随机事件称为复杂事件.

      知识2 等可能基本事件

      若在一次试验中,每个基本事件都是随机事件且发生的可能性都相等,则称这些基本事件为等可能基本事件.

      知识3 古典概型及其概率公式

      (1)古典概型具有以下两个特征:

      ①有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;

      ②等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的.

      特别提醒 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性,并不是所有的试验都是古典概型.

      如果一次试验中基本事件共有n个,那么每一个基本事件发生的概率都是1/n.如果某个事件A包含了其中的m个基本事件,那么事件A发生的概率为P(A),P(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数=m/n

      知识拓展 (1)根据公式P(A)=m/n进行概率计算时,关键是求出n,m的值,在求n的值时,应注意这几种结果必须是等可能的.

      (2)简单的古典概型问题中,求m,n只需枚举即可.

      方法清单

      ·方法1 图示法找基本事件数

      ·方法2 古典概率模型的概率求法

      方法1 图示法找基本事件数

      在求概率时常常可以把全体基本事件放在表格中或利用直角坐标系中的点表示,以便准确找出某事件所包含的基本事件数,有效避免重复或遗漏.

      方法2 古典概率模型的概率求法

      (1)确定一次试验的每一个可能的结果是否具有等可能性,若是,则进行下一步.

      (2)求总的基本事件个数n,作为分母.

      (3)求A包含的基本事件个数m,作为分子.

      (4)利用P(A)=m/n求概率.

      page96

      3.3 几何概型

      知识清单

      ·知识1 几何概型

      ·知识2 几何概型与古典概型的联系与区别

      ·知识3 随机数

      知识1 几何概型

      (1)定义

      如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

      (2)几何概型的两个特点

      ①结果的无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的;

      ②等可能性,即每个基本事件发生的可能性是均等的.

      (3)计算公式

      一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件该点落在其内部一个区域d内为事件A,则事件A发生的概率为P(A)=d的测度/D的测度.

      这里D的测度不为0,其中测度的意义由D确定.当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应测度分别是长度、面积和体积.

      即P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

      知识2 几何概型与古典概型的联系与区别

      在古典概型及几何概型中,基本事件的发生都是等可能的;在古典概型中基本事件的个数是正整数n,而在几何概型中基本事件的个数是无限的;在古典概型中,每个基本事件发生的概率都是1/n,在几何概型中,每个基本事件(对应于几何区域中一个点)发生的概率是0.

      知识3 随机数

      (1)随机数的含义

      随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会均等.

      (2)均匀随机数的产生

      ①[0,1]上均匀随机数的产生:

      利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上的均匀随机数,试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟.

      ②[a,b]上均匀随机数的产生:

      利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩与平移变换,x=x1×(b-a)+a就可以得到[a,b]内的均匀随机数,试验的结果是[a,b]上的任何一个实数,并且出现任何一个实数都是等可能的.

      page97

      方法清单

      ·方法1 几何概型的计算

      ·方法2 与面积或体积有关的几何概型的求法

      ·方法3 与角度有关的几何概型的求法

      ·方法4 用随机数求概率

      方法1 几何概型的计算

      (1)计算几何概型的步骤

      ①判断几何概型,尤其是判断等可能性,这比古典概型更难判断.

      ②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积).

      ③利用公式代入求解.

      (2)与长度有关的几何概型的求法

      ①如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为P(A)=构成事件A的区域长度/试验的全部结果所构成的区域长度。

      ②将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.

      ③处理此类问题,判断基本事件应从等可能的角度入手,选择好观察角度.

      方法2 与面积或体积有关的几何概型的求法

      (1)与面积有关的几何概型的求法

      ①如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示,那么其概率的计算公式为P(A)=构成事件A的区域面积/试验的全部结果所构成的区域面积.

      ②面积比是求几何概型的一种重要类型.

      (2)与体积有关的几何概型的求法

      ①如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示,那么其概率的计算公式为P(A)=构成事件A的区域体积/试验的全部结果所构成的区域体积.

      ②解此类问题时一定要注意几何概型的条件.

      方法3 与角度有关的几何概型的求法

      (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示,则其概率的计算公式为P(A)=构成事件A的角度/试验的全部结果所构成的区域角度.

      (2)解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的,进而判定事件的发生是等可能的.

      page98
      方法4 用随机数求概率

      通过设计模拟试验,利用计算器或计算机产生随机数,通过随机数的特征来估计概率.这一方法在很多科学试验中都有广泛的应用.

      方法拓展 树状图法

      树状图法是利用树状结构图把事情中的元素依次写出,然后根据树状图的分支写出基本事件,并求其个数的方法.该种方法适用于试验的结果较多,试验中的元素较多的基本事件计数问题.利用树状图计算基本事件个数,应注意3个问题:

      (1)确定随机事件是否与顺序相关,树状图的每一个分支表示一个基本事件,如果选择了相同的元素,但该事件与顺序相关,则应用不同的分支来表示.

      (2)画树状图时应注意验证试验是否完成,以免漏掉中间环节.

      (3)画树状图时,如果事件与顺序无关,那么每一个分支对应的基本事件中的元素位置可以互换;如果事件与顺序相关,那么每一个分支对应的基本事件中的元素位置不能改变,否则就成为另一个基本事件了.

      page99
      必修4

      必修4

      第1章 三角函数

      1.1 任意角和弧度制

      知识清单

      ·知识1 角的有关概念

      ·知识2 角的单位制

      ·知识3 弧长公式及扇形面积公式

      ·知识4 几种常用角之间的换算

      ·知识5 几种常用角的表示

      ·知识6 弧度制下角的表示

      知识1 角的有关概念
      定义 角:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,叫做角.射线的端点叫做角的顶点,旋转开始时的射线叫做角的始边,旋转终止时的射线叫做角的终边.
      象限角:在直角坐标系中讨论角,角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限.
      终边相同的角:具有共同始边与终边的角,叫做终边相同的角,所有与角α终边相同的角(包括α在内)均可表示为:
      k·360°+α(k∈Z)或2kп+α(k∈Z)
      角的分类
      正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角
      负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角
      零角:一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角,零角的终边和始边重合
      知识2 角的单位制
      名称 定义 换算
      角度制 周角的1/360为1度的解,用度为单位度量角的制度,称为角度制,1°=60′,1′=60″ 180°=п弧度
      1°=п/180弧度≈0.017 45弧度
      弧度制 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度为单位度量角的制度,称为弧度制,弧度用字母rad表示 п弧度=180°
      1弧度=(180/п)°≈57.30°=57°18′
      知识3 弧长公式及扇形面积公式
      角度制 弧度制
      弧长公式 l=nпr/180 l=α·r(0<α<2п)
      扇形面积公式 S= nпr^(2)/180 S=1/2rl
      注意事项 r是扇形的半径,n是圆心角的度数 r是扇形半径,α是圆心角的弧度数,l是弧长
      知识4 几种常用角之间的换算
      30° 45° 60° 90° 120°
      弧度 0 п/6 п/4 п/3 п/2 2п/3
      135° 150° 180° 270° 360°
      弧度 3п/4 5п/6 п 3п/2 2п
      知识5 几种常用角的表示
      page100
      知识6 弧度制下角的表示

      (1)弧度制表示角省掉单位弧度后,就使角的集合与实数集R之间建立了一种一一对应的关系,即每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与之对应.

      (2)用弧度为单位表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特殊要求,不必把π写成小数,如45°=π/4弧度,不必写成45°≈0.785弧度.

      (3)与任意角α终边相同的角组成的集合为

      A={β|β=2kπ+α,k∈Z}.

      方法清单

      ·方法1 定义法求终边相同的角

      ·方法2 不等式法求角的范围

      ·方法3 用弧度表示的公式求弧长和面积

      ·方法4 已知α所在象限,求α/n(n≥2,n∈N^(*))所在象限

      方法1 定义法求终边相同的角

      与α终边相同的角(包括α在内)均可表示为k·360°+α(k∈Z)或2kπ+α(k∈Z).

      方法2 不等式法求角的范围

      在求角的范围问题中,找出限制角的范围的不等式,通过解不等式求范围.

      方法3 用弧度表示的公式求弧长和面积

      涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单、易记,在使用前,应将圆心角用弧度表示.

      弧长和扇形面积公式分别为l=αR,S=1/2αR^(2),其中0<α<2π.

      方法4 已知α所在象限,求α/n(n≥2,n∈N)所在象限

      (1)由α所在象限确定α/n所在象限

      ①由α的范围,求出α/n的范围.

      ②通过分类讨论把α/n写成θ+κ·360°(κ∈Z,0<θ<360°)的形式,然后判断α/n所在象限.

      (2)由α所在象限确定α/2所在象限

      ①画出区域:将坐标系每个象限二等分,得8个区域.

      page101

      ②标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,如图所示.

      ③确定区域:找出与角α所在象限标号一致的区域,即为所求.

      (3)由α所在象限确定α/3所在象限

      ①画出区域:将坐标系每个象限三等分,得到12个区域.

      ②标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,如图所示.

      ③确定区域:找出与角α所在象限标号一致的区域,即为所求.

      1.2 任意角的三角函数

      知识清单

      ·知识1 三角函数的定义

      ·知识2 三角函数的定义域

      ·知识3 三角函数值在各象限的符号

      ·知识4 三角函数线

      ·知识5 同角三角函数的基本关系

      ·知识6 特殊角的三角函数值表

      知识1 三角函数的定义

      (1)单位圆的定义

      在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.

      (2)三角函数的定义

      利用单位圆定义任意角的三角函数.

      如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:

      y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;

      x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;

      y/x叫做α的正切,记作tanα,即tanα=y/x(x≠0).

      对于每一个确定的角α,上述三个值都是唯一确定的,所以正弦、余弦、正切都是以角α为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.

      知识2 三角函数的定义域

      函数的定义域是函数概念的三要素之一.对于三角函数的定义域要给予足够的重视,确定三角函数定义域时,应抓住分母等于零时比值无意义这一关键,因此需要注意,当且仅当角的终边在坐标轴上时,点P的坐标中必有一个为零,结合三角函数的定义,可以得到三角函数的定义域.在函数自变量为弧度制时有下表:

      三角函数 定义域
      y=sin α R
      y=cos α R
      y=tan α {α|α∈R,且α≠п/2+kп,k∈Z}
      知识3 三角函数值在各象限的符号

      记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

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      知识4 三角函数线

      (1)设角α的终边与单位圆交于点P,如下图所示,过点P作PM⊥x轴,垂足为M.设单位圆与x轴的正半轴交于点A,过A作圆的切线交角α的终边(或终边的反向延长线)于点T.则

      sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.

      在如图所示的四个图中,这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.

      (2)用三角函数线解题时一定要注意角的象限及相互间的关系,准确画出三角函数线并清楚其方向.

      特别提醒 (1)三角函数线中字母顺序不可颠倒.

      (2)与坐标轴正方向一致的有向线段为正,此时相应的三角函数值为正;与坐标轴正方向相反的有向线段为负,此时相应的三角函数值为负.

      (3)角α终边在x轴上时,正切线、正弦线变为一个点;角α终边在y轴上时,余弦线变为一个点,正切线不存在.

      (4)若0<α<π/2,则sinα<α<tanα.牢记这一结论,以后比较三角函数值大小时常使用.

      (5)运用三角函数线可快速地判定角的终边位置.

      知识5 同角三角函数的基本关系

      (1)平方关系:sin^(2)α+cos^(2)α=1.

      (2)商数关系:tanα=sinα/cosα(α≠κπ+π/2,κ∈Z).

      已知一个角的一种三角函数值,根据角的终边的位置利用同角三角函数的基本关系,可以求出这个角的其他三角函数值.

      特别提醒 (1)在公式中,要求是同一个角,如sin^(2)α+cos^(2)β=1不一定成立.

      (2)上面的关系式都是对使它的两边具有意义的那些角而言的.如:基本三角函数关系式sin^(2)α+cos^(2)α=1,对一切α∈R成立;sinα/cosα=tanα仅在α≠κπ+π/2(κ∈Z)时成立.

      (3)同角三角函数的基本关系的应用极为广泛.它们还有如下等价形式:sin^(2)α=1-cos^(2)α,cos^(2)α=1-sin^(2)α,sinα=cosαtanα.

      (4)在应用平方关系时,常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念,应注意±的选取.

      知识6 特殊角的三角函数值表
      角α 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270°
      弧度 0 п/6 п/4 п/3 п/2 2п/3 5п/6 п 3п/2
      正弦 0 1/2 1 1/2 0 -1
      余弦 1 1/2 0 -1/2 - -1 0
      正切 0 1 不存在 - - 0 不存在

      知识拓展 sinα±cosα,sinαcosα间的基本变形

      三者通过(sinα±cosα)^(2)=1±2sinαcosα,可知一求二,有关sin^(4)α±cos^(4)α,sin^(6)α±cos^(6)α,tanα+1/tanα等化简都与此基本变形有广泛的联系,要熟练掌握.

      page103

      方法清单

      ·方法1 利用三角函数定义求值

      ·方法2 利用单位圆解三角不等式

      ·方法3 利用同角三角函数关系式进行化简与求值

      方法1 利用三角函数定义求值

      (1)给出角α的终边上任意一点的坐标,利用定义可求出角α的三角函数值.

      (2)若给出的点P的坐标含有数值不确定的字母,如t,则要对t的符号(正或负)进行讨论,这时角α的终边在两个位置.

      方法2 利用单位圆解三角不等式

      利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤:①用边界值定出角的终边位置;②根据不等式(组)求出角的范围;③求交集,找单位圆中公共的部分;④写出角的表达式.

      方法3 利用同角三角函数关系式进行化简与求值

      方程的思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用,还要注意1的灵活应用(1=sin^(2)x+cos^(2)x).

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      1.3 三角函数的诱导公式

      知识清单

      ·知识1 三角函数的诱导公式

      ·知识2 诱导公式的应用

      知识1 三角函数的诱导公式
      公式一 sin(α+k·2п)=sin α,(cos(α+k·2п)=cos α,tan(α+k·2п)=tan α(其中k∈Z)
      公式二 sin(п+α)=-sin α,cos(п+α)=-cos α,tan(п+α)=tan α
      公式三 sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α
      公式四 sin(п-α)=sin α,cos(п-α)=-cos α,tan(п-α)=-tan α
      公式五 sin(п/2-α)=cos α,cos(п/2-α)=sin α
      公式六 sin(п/2+α)=cos α,cos(п/2+α)=-sin α

      口诀:奇变偶不变,符号看象限.

      意义:κ·π/2±α(κ∈Z)的三角函数值.

      (1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号.

      (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号.

      记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限.

      记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角.

      以诱导公式二为例:

      若将α看成锐角(终边在第一象限),则π+α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二.

      以诱导公式四为例:

      若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四.

      知识2 诱导公式的应用

      运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:

      特别提醒 三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好.

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      方法清单

      ·方法1 求值问题

      ·方法2 化简问题

      ·方法3 证明问题

      方法1 求值问题

      对问题特点的敏锐观察、公式的恰当选择以及灵活准确的应用,是解好三角函数求值问题的关键.

      方法2 化简问题

      (1)利用同角三角函数的基本关系式化简

      应用同角三角函数式化简时,一般能求值则求值,最后所含三角函数种类以及所含角的个数尽量少.化简时常用的技巧:切化弦,分式通分,因式分解,含根式则平方等.另外还应注意1的代换:1=sin^(2)α+cos^(2)α.

      (2)利用诱导公式化简

      应用诱导公式化简复杂三角式,关键在于熟记公式并灵活运用,这是学习三角函数的基础,也是高考考查的重点.

      方法3 证明问题

      关于三角恒等式的证明,总结如下一些方法,仅供参考.

      (1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简.

      (2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子.

      (3)凑合法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异的方法,即化异为同.

      (4)比较法:即设法证明左边-右边=0或左边/右边=1.

      1.4 三角函数的图象与性质

      知识清单

      ·知识1 正弦函数和余弦函数的图象和性质

      ·知识2 正切函数的图象与性质

      ·知识3 函数的周期性

      知识1 正弦函数和余弦函数的图象和性质
      函数 y=sin x y=cos x
      图象
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      定义域 R R
      值域 [-1,1] [-1,1]
      最值 x=п/2+2kп时,ymax=1(k∈Z)
      x=-п/2+2kп时,ymin=-1(k∈Z)
      x=2kп时,ymax=1(k∈Z)
      x=п+2kп时,ymin=-1(k∈Z)
      单调性 在[-п/2+2kп,п/2+2kп](k∈Z)上为增函数
      在[п/2+2kп,3п/2+2kп](k∈Z)上为减函数
      在[-п+2kп,2kп](k∈Z)上为增函数
      在[2kп,п+2kп](k∈Z)上为减函数
      奇偶性 奇函数 偶函数
      周期 2п 2п
      对称性 对称轴:x=п/2+kп,k∈Z
      对称中心:(kп,0),k∈Z
      对称轴:x=kп,k∈Z
      对称中心:(п/2+kп,0),k∈Z

      特别提醒 (1)正、余弦函数的周期是2kπ(k∈Z,k≠0),因此,只要记住它们在[0,2π]内的图象形态,就可以画出正弦曲线和余弦曲线.

      (2)会作与正、余弦函数有关的函数图象是解题的基本要求,用五点法作图是常用的方法.

      (3)正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础,也是解决有关三角函数问题的工具,这是一种数形结合的数学思想.

      知识2 正切函数的图象与性质
      函数 y=tan x
      定义域 {x:x≠kп+п/2,k∈Z}
      值域 实数集R
      图象
      周期 п
      奇偶性 奇函数
      单调性 在(kп-п/2,kп+п/2)(k∈Z)内都是增函数
      对称中心 (kп/2,0),k∈Z

      特别提醒 (1)y=tan x无单调递减区间.

      (2)y=tan x在整个定义域内不单调.

      知识3 函数的周期性

      (1)对于函数y=f(x),若存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,则函数y=f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的周期.

      (2)所有周期中的最小正数叫这个函数的最小正周期.

      (3)y=sin x,y=cos x的最小正周期T=2π;y=tan x的最小正周期T=π.

      (4)函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是2π/|ω|,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期是π/|ω|,可以归纳为:最小正周期T=基本三角函数的最小正周期/自变量系数的绝对值

      特别提醒 (1)对周期的理解:

      ①周期为非零的常数;

      ②周期函数的周期不止一个,比如:2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…,任何一个常数2κπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期,故若函数f(x)为周期函数且周期为T,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期.

      (2)对最小正周期的理解:

      ①并非所有的周期函数都有最小正周期,比如f(x)=c(c为常数),所有非零实数T都是它的周期,而最小正数是不存在的,故常数函数没有最小正周期.

      ②若涉及周期,如不特别说明,一般都是指函数的最小正周期.

      方法清单

      ·方法1 与三角函数有关的几种常见函数的最值

      ·方法2 求三角函数的定义域

      ·方法3 求三角函数的单调区间

      ·方法4 判断三角函数的奇偶性

      方法1 与三角函数有关的几种常见函数的最值

      三角函数的值域及最值问题,实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题,常用的方法有:化为代数函数的值域或化为关于sin x(cos x)的二次函数

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      式,再利用换元、配方等方法求解.

      (1)y=(或y=)型,可用分离常数法或|cos x|≤1来解决.

      y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c型函数的最值

      一般地,对于形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的函数都可利用换元的方法求函数的最值.事实上,若令sin x+cos x=t,则sin xcos x=;若令sin x-cos x=t,则sin xcos x=,于是函数转化为二次函数y=+bt+c在闭区间∈[-]上的最值.

      方法2 求三角函数的定义域

      求三角函数的定义域,既要注意一般函数定义域的求法,又要注意三角函数的周期性及自身的定义域,常常利用三角函数线、三角函数的图象、数轴来取交集.

      方法3 求三角函数的单调区间

      求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去求,列不等式的原则是:①把ωx+φ(ω>0)视为一个整体;②当A>0(或A<0)时,所列不等式与y=sin x(x∈R)或y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式相同(相反).

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      方法4 判断三角函数的奇偶性

      (1)三角函数奇偶性判断的依据依然是函数奇偶性的定义,值得注意的是:

      ①要判断其定义域是否关于原点对称,而定义域关于原点对称只是函数为奇函数或偶函数的必要条件;

      ②稍微复杂的三角函数的奇偶性的判断,需要先化简.

      (2)函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数)的奇偶性的判断方法:

      ①若y=Asin(ωx+φ)为奇函数,根据诱导公式只需φ=kπ(k∈Z),即φ的终边在x轴上;

      ②若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,根据诱导公式只需φ=π/2+κπ(κ∈Z),即φ的终边在y轴上.

      1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

      知识清单

      ·知识1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

      ·知识2 由y=sinx的图象得到y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象的过程

      ·知识3 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的性质

      知识1 函数γ=1sin(ωx+φ)的图象

      (1)简谐运动的有关概念

      简谐运动图象的解析式 振幅 周期 频率 相位 初相
      y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈[0,+ ∞] A T=2п/ω f=1/T=ω/2п ωx+φ φ

      (2)五点作图法

      ①先确定周期T=2π/ω,作出在一个周期内的图象.

      ②令X=ωx+φ,即将X分别取0,π/2,π,3π/2,2π求出对应的x值.列表如下:

      X=ωx+φ 0 п/2 п 3п/2 2п
      x -φ/ω
      y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0

      ③描点画图,再利用函数的周期性,把所得简图向左右分别扩展,从而得到y=Asin(ωx+φ)的简图(但一般这步只作叙述,图象上不体现出来).

      特别提醒 (1)函数y=sin x,y=cos x,y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的图象均可用五点法作出.

      (2)当画函数y=Asin(ωx+φ)在某个指定区间上的图象时,一般先求出ωx+φ的范围,然后在这个范围内,选取特征点,连同区间的两个端点一起列表.

      知识2 由y=sin x的图象得到y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象的过程

      先画出函数y=sin x的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到y=sin(x+φ)的图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1/ω倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

      这一过程的步骤如下:

      这两个途径的关键差别在相位变换这一步骤上,其实质是要看自变量x的变化情况.对于第一种途径,在相位变换这一步中是由x变到x+φ,故应为将函数y=sin x(x∈R)图象上所有点向左(当φ>0时)或

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      向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度得函数y=sin(x+φ)(x∈R)的图象;对于第二种途径,在相位变换这一步中是由ωx变到ωx+φ,即ω(x+φ/ω),实质是x变化到x+φ/ω,故应为将函数y=sinωx(x∈R)的图象上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ/ω|个单位长度得到函数y=sin(ωx+φ)(x∈R)的图象.两者平移的方向相同,但平移的单位长度不同,这是很容易出错的地方.

      特别提醒 (1)由y=sin x得到y=Asin(ωx+φ)的过程体现了由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.

      (2)若y=Asin(ωx+φ)中的ω<0,可先用诱导公式把x前的系数变为正的,再进行变换.

      知识3 y=Asin(ωx+φ)(4>0,ω≠0)的性质

      (1)定义域

      y=Asin(ωx+φ)的定义域为R

      (2)值域

      y=Asin(ωx+φ)的值域为[-A,A].

      (3)周期性

      y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|

      (4)奇偶性

      当φ=κπ(k∈Z)时,为奇函数;当φ=κπ+π/2(κ∈Z)时,为偶函数.

      (5)单调性

      函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的单调增区间可由2κπ-π/2≤ωx+φ≤2κπ+π/2,κ∈Z解得;单调减区间可由2κπ+π/2≤ωx+φ≤2κπ+3π/2,κ∈Z解得.

      (6)对称中心

      y=Asin(ωx+φ)的对称中心的横坐标可由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,纵坐标为0.

      y=Acos(ωx+φ)的对称中心的横坐标可由ωx+φ=κπ+π/2(κ∈Z)解得,纵坐标为0.

      (7)对称轴

      y=Asin(ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ+π/2(κ∈Z)解得.

      y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得.

      在高考中经常综合考查三角函数的性质和有关公式的应用,我们应引起重视,对所学知识要融会贯通,切不可一知半解.

      知识拓展 三角函数图象的几种常见变换

      (1)振幅变换:

      (2)周期变换:

      (3)相位变换:

      (4)平移变换:

      (5)对称变换:

      方法清单

      ·方法1 由函数图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式

      ·方法2 利用三角函数图象变换解题

      ·方法3 与三角函数单调性有关的问题

      ·方法4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称问题

      ·方法5 求三角函数的周期

      ·方法6 五点法作三角函数图象

      ·方法7 三角函数性质的运用

      方法1 由函数图象确定γ=4sin(ωx+φ)的解析式

      给出一段曲线及某些关键点的坐标,求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式,其结论不唯一,一般根据图象具体情况选定一个简洁的表达形式即可.这类问题主要用五点法来确定其中的系数.

      (1)A:一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.

      (2)ω:因为T=2π/ω,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为T/2;相邻的两个最高点(或最

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      低点)之间的距离为T.

      (3)φ:从寻找五点法中的第一零点(-φ/ω,0)(也叫初始点)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零点的位置.

      特别提醒 A,ω,φ三个量中初相φ的确定是一个难点,除使用初始点(-φ/ω,0)外,还可利用五点法确定初相φ,即在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.

      方法拓展 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法:

      (1)求A,b.先确定函数的最大值M和最小值m,则A=, b=

      (2)求ω.相邻的最高点与最低点之间的距离为T/2;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T,再根据T=2π/ω,确定ω.

      (3)求φ.

      常用的方法:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在增区间上还是在减区间上).

      ②五点法:确定φ值时,往往以寻找五点法中的一个点为突破口.第一点即图象上升时与x轴的交点,此时ωx+φ=0;第二点即图象的峰点,此时ωx+φ=π/2;第三点即图象下降时与x轴的交点,此时ωx+φ=π;第四点即图象的谷点,此时ωx+φ=3π/2;第五点,此时ωx+φ=2π.另外,要特别注意已知条件中所给的φ的范围.

      方法2 利用三角函数图象变换解题

      (1)振幅变换:y=sin x→y=Asin x

      将y=sin x的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变).

      (2)相位变换:y=Asin x→y=Asin(x+φ)

      将y=Asin x的图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度.

      (3)周期变换:y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)

      将y=Asin(x+φ)的图象上各点的横坐标变为原来的1/ω倍(纵坐标不变).

      (4)由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象.一般先作相位变换,然后作周期变换,最后作振幅变换,即y=sin x→y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)→y=Asin(ωx+φ).如果先作周期变换,后作相位变换,则左(右)平移时不是|φ|个单位长度,而是|φ/ω|个单位长度,即y=sinωx→y=sin(ωx+φ)是向左(或向右)平移

      φ/ω|个单位长度.

      方法3 与三角函数单调性有关的问题

      (1)单调区间的求法

      要求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,

      page111
      基本思路是把ωx+φ看作一个整体,比如:由2kπ-π/2≤ωx+φ≤2kπ+π/2(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为增区间,由2kπ+π/2≤ωx+φ≤2kπ+3/2π(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为减区间.

      (2)如何比较两个三角函数值的大小

      比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数值,再利用单调性比较.

      方法4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称问题

      (1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωXk+φ=kπ+π/2,k∈Z)对称,也就是说,过波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴.

      (2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)中心对称,也就是说,函数图象与x轴的交点(平衡位置点)是其对称中心.

      方法5 求三角函数的周期

      (1)求三角函数的周期可利用公式求周期;

      (2)画出三角函数的图象求周期.

      方法6 五点法作三角函数图象

      作三角函数的图象,关键是找出与x相对应的五个点,一般令ωx+φ=0,π/2,π,3/2π,2π,即可得到绘图所需的五个点的坐标,其中x的取值依次成等差数列,公差为T/4,同时,若要求画出给定区间上的函数图象时,应适当调整ωx+φ的取值,以便列表时能使x在给定的区间内取值.

      page112
      方法7 三角函数性质的运用

      三角函数具有奇偶性、对称性(轴对称和中心对称)、单调性、周期性等性质,高考对这些常识性的知识常考不衰.

      1.6 三角函数模型应用的常见类型

      知识清单

      ·知识1 三角函数模型应用的常见类型

      ·知识2 解三角函数应用问题的基本步骤

      知识1 三角函数模型应用的常见类型

      (1)根据函数图象写出解析式.

      (2)根据函数解析式画出函数的图象.

      (3)从实际问题中抽象出与三角函数有关的模型.

      (4)建立实际问题中周期现象的数学模型.

      ①根据图象求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式时,要明确A,ω,φ,b对图象的影响,其中b表示将y=Asin(ωx+φ)向上(或向下)移动|b|个单位长度得到y=Asin(ωx+φ)+b.求解时,A,ω,φ,b的确定可按如下方法:A=,b=,根据周期来解ω,代入特殊点来求φ,但要注意对应.

      ②根据解析式作函数图象时,一般步骤为:列表、描点、连点成线.这种方法有时很麻烦,有时可借助前面已知函数的图象,利用图象变换法则来作图,变换法则有以下几种:

      a.平移变换:上加下减,左加右减.比如由y=sin x得y=sin x+b;由y=sin x得y=sin(x+φ);

      b.伸缩变换:主要是指在x轴、y轴方向上的伸缩.比如由y=sin x得y=sinωx;

      c.翻转变换:主要是指函数解析式中带有绝对值,比如由y=sin x得y=|sin x|,可将y=sin x的图象在x轴上方的图象不变,下方的作关于x轴对称的图象.

      ③用数学知识解决实际问题时,关键是从实际背景中抽象出数学关系,有时实际背景比较复杂,需要综合其他学科的相关知识求解,有时也可以利用图象观察出其规律后再寻找函数模型.

      知识2 解三角函数应用问题的基本步骤

      第一步:阅读理解,审清题意.

      读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.

      第二步:搜集整理数据,建立数学模型.

      根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题,实际问题的数学化,即建立三角函数模型.

      第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答,求得结果.

      第四步:将所得结论转译成实际问题的答案.

      page113

      方法清单

      ·方法1 求三角函数的解析式

      ·方法2 三角函数在实际问题中的应用

      方法1 求三角函数的解析式

      (1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,可以解决一些实际问题.

      (2)给定呈周期变化的图象,可以先利用待定系数法求出函数模型,再解决其他问题.

      方法2 三角函数在实际问题中的应用

      将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点:

      ①审题:把问题提供的条件逐条翻译成数学语言;

      ②描点画图,建立数学模型;

      ③求出三角函数解析式;

      ④利用函数的性质进行解题.

      page114
      第2章 平面向量

      第2章 平面向量

      2.1 平面向量的实际背景及基本概念

      知识清单

      ·知识1 向量的基本概念

      ·知识2 向量的表示法

      ·知识3 平行向量与相等向量的关系

      知识1 向量的基本概念
      向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量,记作:或a
      向置的模 向量的大小叫做向量的长度(或称模),记作:||或|a|
      零向量 长度为0的向量叫做零向量.记作:0.零向量的方向是任意的
      平行向量 方向相同或相反的非零向量.记作.平行向量也叫共线向量.规定0a
      单位向量 长度为1个单位的向量
      相等向量 长度相等且方向相同的向量.两个向量相等,与向量起点的位置无关
      相反向量 与a长度相等,方向相反的向量叫a的相反向量,记作:-a.规定0=-0
      向量的三要素 起点、方向、长度

      特别提醒 通过以上的基本定义可以得到以下推论:

      (1)零向量的方向是任意的,|0|=0.

      (2)向量是一对相反向量,记作=-

      (3)任一向量和它的相反向量的和是零向量.

      (4)两个非零向量平行的充要条件是这两个向量所在直线平行或重合.

      知识2 向量的表示法
      几何表示 用有向线段表示向量,有向线段的起点为向量的起点,有向线段的终点为向量的终点
      字母表示 小写英文字母上面加箭头表示为(手写体),印刷体写作:a,读作:向量a
      两个大写英文字母上面加箭头表示,如,A为向量的起点,B为向最的终点
      坐标表示 ij分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,若以i、j为基底,a=xi+yj,则这里我们把(x,y)叫做a的(直角)坐标,记作a=(x,y).其中,x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,此式叫做向量的坐标表示

      特别提醒 (1)两个向量的长度相等,这两个向量不一定相等.

      (2)两个向量相等,它们的起点和终点不一定相同.

      (3)若a=b,b=c,则必有a=c.

      知识3 平行向量与相等向量的关系

      (1)平行向量只要求向量的方向相同或相反即可,用有向线段表示平行向量时,向量所在的直线重合或平行.

      (2)平行向量要求两个向量均为非零向量,规定:零向量与任一向量平行,记作0∥a;相等向量则没有这个限制,零向量与零向量相等.

      (3)借助相等向量,可以把一组平行向量移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.

      (4)平行向量不一定是相等向量,但相等向量一定是平行向量.

      page115

      方法清单

      ·方法1 利用向量的实际意义解题

      ·方法2 利用向量的基本概念解题

      方法1 利用向量的实际意义解题

      在应用题中向量有其实际意义,需利用其实际意义解决有关向量的应用问题.

      方法2 利用向量的基本概念解题

      准确理解平面向量的概念,结合几何图形的性质解题.

      2.2 平面向量的线性运算

      知识清单

      ·知识1 向量的加法

      ·知识2 向量的减法

      ·知识3 向量的数乘

      ·知识4 向量共线

      知识1 向量的加法

      (1)向量的加法

      向量的加法是指两个向量和的运算.

      ①和向量仍然是向量,其大小和方向与原来的向量有关.

      ②对于零向量与任意向量a,仍然有0+a=a+0.

      (2)向量加法的三角形法则

      已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b==,这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则,如图.

      作两个向量的和向量,可分三步:①取点,在平面内任意取一点;②作相等向量,要求一个向量a的终点作为另一个向量b的起点,即两个向量首尾相连;③作和向量,要求从向量a的起点指向向量b的终点.

      特别提醒 使用三角形法则特别要注意首尾相接,具体做法是把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合,即用同一个字母表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和.对于n个向量,仍有+…+=,这可以称为向量加法的多边形法则.

      page116

      (3)向量加法的平行四边形法则

      以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则,如图.

      作两个向量的和向量,可分四步:

      ①取点,注意取点的任意性;

      ②作相等向量,分别作与两个已知向量相等的向量,使它们的起点重合;

      ③作平行四边形,以两个向量为邻边作平行四边形;

      ④作和向量,与两个向量有共同起点的对角线作为和向量,共同的起点作为和向量的起点,对角线的另一个端点作为和向量的终点.

      当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则是一致的;当两个向量共线时,三角形法则同样适用,而平行四边形法则就不适用了.

      (4)需要说明的几点

      ①当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且|a+b|<|a|+|b|.

      ②当两个非零向量a与b共线时,

      a.向量a与b同向(如下左图),即向量a+b与a(或b)方向相同,且|a+b|=|a|+|b|;

      b.向量a与b反向(如上右图)且|a|<|b|时,即a+b与b方向相同(与a方向相反),且|a+b|=|b|-|a|.

      综上可知||b|-|a||≤|a+b|≤|a|+|b|.

      (5)向量加法的运算律

      ①交换律:a+b=b+a;

      ②结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

      知识2 向量的减法

      (1)相反向量

      与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.

      ①零向量的相反向量仍是零向量.

      ②任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0,由此得-(-a)=a.

      ③若a,b互为相反向量,则

      a=-b,b=-a,a+b=0.

      (2)向量的减法

      向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b).

      求两个向量差的运算,叫做向量的减法.

      (3)向量减法的作图法

      作法一:如图,设=b,=a,则=-b,以为邻边作平行四边形ACED,由向量的加法定义可知,==a+(-b)=a-b.

      作法二:如图,∵||=||,且AB∥EC,∴四边形ABCE为平行四边形,∴=.

      由作法一可知,=a-b,∴=a-b.

      因此,a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.

      特别提醒 (1)定义向量减法是借助了相反向量和向量加法,其实,向量减法的实质是向量加法的逆运算.两个向量的差仍是向量.

      (2)作差向量时,作法一较为复杂,作法二较为简捷,应根据问题的需要灵活运用.

      (3)以=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线表示的向量为=a+b,=b-a,这一结论在以后的应用是非常广泛的,应该加强理解并记住.

      (4)对于任意一点O,=,简记为终减起,在解题中经常用到,必须记住.

      知识3 向量的数乘

      (1)向量数乘的概念

      一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:

      ①|λa|=|λ||a|.

      ②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;

      当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;

      当λ=0时,λa=0.

      特别提醒 ①向量数乘运算结果仍然是向量.

      ②实数与向量的积的特殊情况:

      当λ=0时,λa=0;而λ≠0时,若a=0也有λa=0.

      ③实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,比如λ+a,λ-a无意义.

      ④由向量数乘的概念可知其几何意义:

      可以把向量a的长度扩大(当|λ|>1时),也可以缩小(当|λ|<1时),同时,我们可以不改变向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0时).

      (2)向量数乘满足的运算律

      设λ,μ是实数,则有

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      λ(μa)=(λμ)a,(结合律)

      (λ+μ)a=λa+μa,(第一分配律)

      λ(a+b)=λa+λb.(第二分配律)

      特例:(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.

      (3)向量的线性运算

      向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.

      知识4 向量共线

      如果a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.

      向量共线(平行)基本定理有以下两层含义:

      (1)对于向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使得b=λa,那么由向量数乘的定义知,a与b共线.

      (2)反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.

      特别提醒 ①向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括重合.

      ②判断a(a≠0)与b是否共线时,关键是寻找a前面的系数,如果系数有且只有一个,说明共线;如果找不到满足条件的系数,那么这两个向量不共线.

      ③如果a=b=0,则数λ仍然存在,且此时λ并不唯一,是任意数值.

      知识拓展 平面向量的几个重要结论

      (1)若a、b为不共线向量,则a+b、a-b是以a、b为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量.

      如图:

      (2)|a+b|^(2)+|a-b|^(2)=2(|a|^(2)+|b|^(2)).

      (3)在△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),G为△ABC的重心=0G().

      (4)向量a的单位向量:

      给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量,叫做a的单位向量.

      方法清单

      ·方法1 利用向量运算的几何意义解题

      ·方法2 利用向量共线定理证明共线

      ·方法3 与向量线性运算有关的问题

      方法1 利用向量运算的几何意义解题

      涉及向量之间和与差的关系时,应借助图形,恰当地运用三角形法则或平行四边形法则进行运算.

      方法2 利用向量共线定理证明共线

      (1)共线向量基本定理及其应用:①可以利用共线向量基本定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.②若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.

      (2)证明三点共线的方法:若,则A,B,C三点共线.

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      方法3 与向量线性运算有关的问题

      正确运用向量的加、减法法则及运算,掌握数乘向量的概念,灵活应用数形结合思想理解向量线性运算的几何意义.

      2.3 平面向量的Ÿº本定理及坐标表示

      知识清单

      ·知识1 平面向量基本定理

      ·知识2 平面向量的正交分解和坐标表示

      ·知识3 平面向量的坐标运算

      ·知识4 平面向量共线的坐标表示

      知识1 平面向量基本定理

      如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

      我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

      特别提醒 ①e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,即e1,e2为非零不共线向量.

      ②在同一平面内任意向量a都可用e1,e2线性表示,且e1,e2前的系数唯一,也就是说,这种表示形式是唯一的.

      ③对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底.

      知识2 平面向量的正交分解和坐标表示

      (1)向量的正交分解

      把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

      (2)平面向量的坐标表示

      在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一个向量a,如图,由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x、y,使a=x·i+y·j,(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y),x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量的坐标表示.

      其中i,j称为标准基底,也叫基本向量.

      显然i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

      特别提醒 向量的坐标表示与点的坐标的区别:(1)写法区别:向量的坐标表示a=(x,y),点的坐标写作A(x,y).

      (2)说法区别:a=(x,y)中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标;A(x,y)中x叫做横坐标,y叫做纵坐标.

      (3)在平面直角坐标系中,位置不同的点对应的坐标不同;但位置不同的向量,只要是相等向量它们的坐标表示就相同;向量的坐标表示与向量的起点、终点的位置无关,只与起点、终点的横、纵坐标的差值有关.

      (4)如图,在直角坐标平面中,以原点O为起点作=a,设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A

      page119
      的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标,即当向量a的起点在坐标原点时,终点坐标就是对应向量的坐标表示.

      知识3 平面向量的坐标运算

      (1)加法运算

      若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2).

      即两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.

      (2)减法运算

      若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2).

      即两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差.

      (3)数乘运算

      若a=(x1,y1),则λa=(λx1,λy1).

      即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

      (4)向量坐标的求法

      若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).

      即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

      特别提醒 (1)要清楚向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.

      (2)通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对就表示一个向量,这样就引入了向量的坐标表示,使向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算,使得向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来,这样许多几何问题的解决,就可以转化为我们熟知的代数运算.

      (3)相等向量的坐标是相同的,但是起点和终点的坐标却不一定相同.

      知识4 平面向量共线的坐标表示

      设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b共线.对条件的理解有两方面的含义:由x1y2-x2y1=0,可判定a,b(b≠0)共线;反之,若a,b(b≠0)共线,则x1y2-x2y1=0.

      特别提醒 (1)b≠0包括三种情况:①b=(x2,0)(x2≠0),由a与b共线,得a=(x1,0),所以λ=x1/x2.

      x1与x2同号时,a与b方向相同;x1与x2异号时,a与b方向相反.

      ②b=(0,y2)(y2≠0),由a与b共线,得a=(0,y1),所以λ=y1/y2.

      y1与y2同号时,a与b方向相同;y1与y2异号时,a与b方向相反.

      ③b=(x2,y2)(x2≠0,y2≠0),由x1=λx2,y1=λy2得λ=x1/x2=y1/y2.当λ>0时,a与b方向相同;λ=0时,a=0;λ<0时,a与b方向相反.

      (2)凡遇到与平行有关的问题时,一般要考虑向量平行的充要条件.

      知识拓展 三点共线的充要条件:

      (1)若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条件是+β,且α,β∈R,α+β=1.

      证明:必要性:

      若A,B,C三点共线,则共线.于是存在实数λ,使.

      ==

      =λ(),

      +(1-λ).

      令λ=β,1-λ=α,得α+β=(1-λ)+λ=1,

      +ββ,且α+β=1.

      充分性:

      +β,且α+β=1,

      =(1-β)+β

      =+β(),=β(),

      ,β∈R,

      共线.而A是的公共端点,

      ∴A、B、C三点在一条直线上.

      (2)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.

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      方法清单

      ·方法1 平面向量基本定理及其应用

      ·方法2 向量的坐标运算

      ·方法3 向量共线条件的应用

      方法1 平面向量基本定理及其应用

      (1)若e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a为这一个平面内的任意向量,则向量a可用e1、e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1、λ2∈R),且表示方式是唯一的(有唯一的一对λ1、λ2),但未给出寻找λ1、λ2的方法,这需要结合具体问题,通过向量的线性运算来完成.

      (2)基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的一种重要方法,关键在于选取的基底是否合适,注意与已知条件联系.

      方法2 向量的坐标运算

      向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

      方法3 向量共线条件的应用

      向量共线的坐标表示实质是把向量问题转化为实数的运算,通过坐标表示建立参数的方程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用.

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      2.4 平面向量的数量积

      知识清单

      ·知识1 平面向量的数量积的定义

      ·知识2 平面向量数量积的重要性质

      ·知识3 平面向量数量积的运算律

      ·知识4 平面向量数量积的坐标表示

      ·知识5 平面向量数量积应用时应注意的几个问题

      知识1 平面向量的数量积的定义

      (1)向量的夹角

      已知两个非零向量a和b,如图,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a和b的夹角.

      当θ=90°,即a与b的夹角是90°时,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

      特别提醒 ①这两个向量有共同的起点.

      ②向量夹角的范围为0°≤θ≤180°.

      ③θ=0°,a与b同向;θ=180°,a与b反向;θ=90°,a⊥b.

      ④向量a与向量b的夹角和向量b与向量a的夹角相等.

      (2)向量的数量积

      已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,

      其中θ是a与b的夹角.

      向量a与b都是非零向量,我们规定,零向量与任一向量的数量积为0.

      特别提醒 ①两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.

      ②在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是[0,π].

      ③在书写两个向量的数量积时,中间的点乘不能省略不写,比如ab这种写法是错误的.

      (3)向量的投影

      如图,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.

      由向量投影的定义,我们可以得到a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

      特别提醒 投影是一个数,其大小与两个向量的夹角有关,如图.

      知识2 平面向量数量积的重要性质

      设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

      ①e·a=a·e=|a|cosθ.

      ②a⊥ba·b=0.

      ③当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.

      特别地,a·a=|a|^(2),或|a|==.

      ④cosθ=a·b/|a|·|b|=

      ⑤|a·b|≤|a||b|.

      知识3 平面向量数量积的运算律

      (1)交换律

      a·b=b·a.

      (2)结合律

      (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).

      (3)分配律

      (a+b)·c=a·c+b·c.

      (4)应用运算律得到的两个重要结论

      (a+b)^(2)=a^(2)+2a·b+b^(2),

      (a+b)·(a-b)=a^(2)-b^(2).

      特别提醒 (1)两向量的数量积不是向量而是数量,要准确区分两向量数量积的运算性质、数乘向量与实数与实数积之间的差异.

      (2)若a,b,c(b≠0)为实数,则ab=bca=c;但对于向量,就不正确,即a·b=b·ca=c,由图可以看出.

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      (3)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.

      知识4 平面向量数量积的坐标表示

      设i、j分别为x轴、y轴上的单位向量,即i=(1,0)j=(0,1),且a,b为两个非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),且i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0.

      则有a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2 j)

      =x1x2i^(2)+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j^(2)=x1x2+y1y2.

      这就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

      特别提醒 引入坐标后,实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来.

      知识5 平面向量数量积应用时应注意的几个问题

      (1)区分垂直与平行的充要条件

      x1y2-x2y1=0与x1x2+y1y2=0不同,前者是两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的充要条件,后者是它们垂直的充要条件.

      (2)各公式的作用

      设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角.

      |a|=;夹角公式cosθ=,分别用于解决长度、向量间的夹角问题,而a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0,用于解决有关垂直的问题.

      (3)a·b=0是a=0或b=0的必要但不充分条件.

      (4)确定两向量的夹角时,注意通过平移使它们的始点相同.如在△ABC中,的夹角是π-∠B,而不是∠B.

      方法清单

      ·方法1 平面向量的数量积的性质和运算律的应用

      ·方法2 求向量的夹角

      ·方法3 求向量的模

      ·方法4 利用向量的数量积为零表示垂直关系

      ·方法5 建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题

      方法1 平面向量的数量积的性质和运算律的应用

      只要把定义、公式及运算律熟记于心,计算问题便可迎刃而解.根据数量积的运算律,可知实数中的有些公式仍成立,如:

      (a±b)^(2)=a^(2)±2a·b+b^(2),

      a^(2)-b^(2)=(a+b)·(a-b),

      但(a+b)^(3)=a^(3)+3a^(2)·b+3a·b^(2)+b^(3)就不成立.

      方法2 求向量的夹角

      向量a与b的夹角公式为cosθ=a·b/|a||b|,其中θ=<a,b>.

      若<a,b>为锐角,则0<cosθ<1,

      ∴0<<1.

      若<a,b>为钝角,则-1<cosθ<0,

      ∴-1<<0.

      page123

      若<a,b>为直角,则a·b=0.

      ∵-1≤cosθ≤1,∴在求解<a,b>为锐角时,可先求a·b>0,再排除a∥b的情形;若<a,b>为钝角,可先求a·b<0,再排除a∥b的情形.

      方法3 求向量的模

      求向量a=(x1,y1)的模有两种方法:

      (1)|a|=.

      (2)|a|=.

      方法4 利用向量的数量积为零表示垂直关系

      直线或线段的垂直关系可以用向量的数量积为零表示.

      方法5 建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题

      当几何图形中有垂直关系时,可建立平面直角坐标系,用向量的坐标运算求角度或长度.

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      2.5 平面向量的应用举例

      知识清单

      ·知识1 向量在平面几何中的应用

      ·知识2 向量在解析几何中的应用

      知识1 向量在平面几何中的应用

      (1)证明线段平行或点共线问题(包括相似问题),常用共线向量定理:

      若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥ba=λbx1y2-x2y1=0(b≠0).

      (2)证明垂直问题,常用向量数量积的运算性质:

      a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.

      (3)求夹角问题,利用夹角公式:

      cos<a,b>=a·b/|a||b|=,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).

      (4)求线段的长度可以用向量的模的计算公式:

      若a=(x,y),则|a|==

      若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=||=.

      知识2 向量在解析几何中的应用

      在平面直角坐标系中,有序实数对(x,y)既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,使向量与解析几何有密切的联系,特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量法解决.

      直线的方向向量与法向量:

      若直线l的方程为Ax+By+C=0,则它的一个方向向量为v=(B,-A),一个法向量为n=(A,B).

      (1)设直线l1的方程为A1x+B1y+C1=0,直线l2的方程为A2x+B2y+C2=0.

      ①若l1∥l2,则向量v=(-B1,A1)和向量n=(-B2,A2)共线,所以A1B2-A2B1=0.

      ②若l1⊥l2,则向量v=(-B1,A1)和向量n=(-B2,A2)垂直,所以A1A2+B1B2=0.

      (2)过点P(x0,y0)且与向量a=(a1,a2)平行的直线方程为a2(x-x0)-a1(y-y0)=0.过点P(x0,y0)且与向量a=(a1,a2)垂直的直线方程为a1(x-x0)+a2(y-y0)=0.对于上述方程可利用向量平行与垂直的条件得到,要在理解的基础上运用.

      知识拓展 平面向量中的三角形四心问题

      在三角形中,四心是一组特殊的点,在近几年高考试题中,总会出现一些新颖别致的问题,不仅考查了向量等知识点,而且培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就四心作如下介绍:

      (1)重心:三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点的距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.设点G是△ABC所在平面内的一点,当点G是△ABC的重心时,有=0或=1/3()(其中P为△ABC所在平面内任意一点).反之,若=0,则点G是△ABC的重心.在向量的坐标表示中,若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点,且四点坐标分别为G(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则有x=,y=.

      (2)垂心:三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边.在平面向量中,若H是△ABC的垂心,则·=·=·2)+2)=2)+2)=*^(2)+2).反之,若·=·=·,则H是△ABC的垂心.

      (3)内心:三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等.在平面向量中,若点I是△ABC的内心,则有

      +|+|=0.反之|

      |.+|=0,则点I是△ABC的内心.

      (4)外心:三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶点的距离相等.在平面向量中,若点O是△ABC的外心,则()·=().=().=0或||=||=||.反之,若||=||=

      |,则点O是△ABC的外心.

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      方法清单

      ·方法1 用向量方法解决平面几何问题的三步曲

      ·方法2 利用向量的运算求轨迹

      ·方法3 利用向量方法解决物理问题

      方法1 用向量方法解决平面几何问题的三步曲

      (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题

      ①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中(建立坐标系),就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.

      ②基向量法.适当选取一组基底,沟通向量与向量之间的联系,利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解.

      (2)通过向量运算,研究几何元素之间的平行、垂直、距离和夹角等问题.

      (3)把运算结果翻译成几何关系.

      方法2 利用向量的运算求轨迹

      利用向量的运算求轨迹要理解几何关系与向量表示的内在联系,正确理解向量条件是解题的基础.

      向量的坐标表示,使向量成为解决平面几何问题的有利工具,在证明垂直、求夹角、写直线方程等问题上显示出了它的优越性,在处理平面几何问题时,需要将向量用坐标表示,利用向量的有关法则、性质列出方程,从而使问题得到解决.

      方法3 利用向量方法解决物理问题

      用向量方法解决物理问题的步骤:一是把物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题得到解决;三是将结果还原.

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      第3章 三角恒等变换

      第3章 三角恒等变换

      3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

      知识清单

      ·知识1 两角差的余弦公式的推导

      ·知识2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

      ·知识3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

      ·知识4 角的代换

      ·知识5 公式的逆用和变形

      ·知识6 函数y=asinα+bcosα的化简形式

      知识1 两角差的余弦公式的推导

      在两角和与差的公式中,以公式Cαβ为基本,其推导过程应熟练掌握.如图所示,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B.则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),||=||=1.

      则α-β=±<>+2kπ(k∈Z),

      ·=||||cos<>=cos(α-β),

      结合向量数量积的坐标表示,有

      ·=cosαcosβ+sinαsinβ,

      于是有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

      知识2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

      sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

      sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,

      上述两个公式的记忆规律:异名相乘,加减一致.

      两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系:

      知识3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

      (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式

      (2)知识结构图

      (3)关于这组公式的注意事项

      ①在公式Sαβ,Cαβ,Tαβ中,当α=β时,就可得到公式S2α,C2α,T2α.在公式S2α,C2α中,角α没有限制,在T2α中,只有当α≠kπ/2+π/4(k∈Z)且α≠kπ+π/2(k∈Z)时,公式才成立.

      ②在一般情况下,sin 2α≠2sinα,如sinπ/3≠2sinπ/6.当且仅当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sinα成立.同样,一般情况下,cos 2α≠2cosα,tan 2α≠2tanα.

      ③二倍角公式不仅可运用于α的2倍的情况,还

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      可以运用于诸如将4α作为2α的2倍,将α作为α/2的2倍,将α/2作为α/4的2倍.例如:

      sinα/2=2sinα/4cosα/4

      ④要熟悉这组公式的逆用.例如:

      sin 3αcos 3α=1/2sin 6α;

      4sinα/4cosα/4=2sinα/2;

      cos^(2)2α-sin^(2)2α=cos 4α;

      1±sin 2α=sin^(2)α+cos^(2)α±2sinαcosα

      =(sinα±cosα)^(2).

      知识4 角的代换

      将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式,像这样的代换方法就是角的代换.

      常见的配角技巧:

      α=2·α/2;

      α=(α+β)-β;

      α=β-(β-α);

      α=1/2[(α+β)+(α-β)];

      β=1/2[(α+β)-(α-β)];

      π/4+α=π/4-(π/4-α).

      知识5 公式的逆用和变形

      公式的顺用是常见的,但逆用和变形往往容易被忽视,而公式的逆用和变形不仅能开拓思路,而且能培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变用,才能熟练掌握公式的应用.

      (1)逆应用

      如:cos 20°cos 25°-cos 70°cos 65°=cos 20°cos 25°-sin 20°sin 25°=cos 45°=.

      (2)公式的变形

      (3)1的变形

      1=sin^(2)α+cos^(2)α,1=2cos^(2)α-cos 2α,

      1=cos 2α+2sin^(2)α,1=tanπ/4.

      知识6 函数y=asinα+bcosα的化简形式

      函数y=asinα+bcosα可化为一个三角函数即y=asinα+bcosα=sin(α+φ).

      其中cosφ=,sinφ=,化为这种形式可解决y=asinα+bcosα的许多有关问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.

      特别地,sinα±cosα=sin(α±π/4).

      方法清单

      ·方法1 三角函数式的化简

      ·方法2 三角函数的给值求值问题

      ·方法3 三角函数的给值求角问题

      方法1 三角函数式的化简

      (1)化简的方法

      弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂等.

      在化简三角函数式的过程中,要注意以下问题:

      ①化简要遵循三看原则:

      a.一看角,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式.

      b.二看函数名称,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦.

      c.三看结构特征,分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向,常见的有遇到分式要通分.

      ②根式的化简常常需要升幂去根号,在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负.

      ③对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:

      a.化为特殊角的三角函数值.

      b.化为正、负相消的项,消去求值.

      page128

      c.化成分子、分母出现公约数进行约分求值.

      (2)化简的要求

      ①能求出值的应求出值.

      ②尽量使三角函数种数最少.

      ③尽量使项数最少.

      ④尽量使分母不含三角函数.

      ⑤尽量使被开方数不含三角函数.

      方法2 三角函数的给值求值问题

      解决的关键在于把所求角用已知角表示.

      (1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.

      (2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角.

      方法3 三角函数的给值求角问题

      (1)通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:

      ①已知正切函数值,选正切函数.

      ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,π/2),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-π/2,π/2),选正弦较好.

      (2)解给值求角问题的一般步骤:

      ①求角的某一个三角函数值.

      ②确定角的范围.

      ③根据角的范围写出所求的角.

      3.2 简单的三角恒等变换

      知识清单

      ·知识1 半角公式

      ·知识2 公式的联系

      知识1 半角公式

      将倍角公式变形可得到半角公式:

      由2sin^(2)α/2=1-cosα,2cos^(2)α/2=1+cosα,

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      得sinα/2=±,cosα/2=±1+cosα/2,

      把两式的两边分别相除,得tanα/2=±1-cosα/1+cosα或tanα/2=sinα/1+cosα=1-cosα/sinα,

      此公式具有一箭双雕的作用:一是将角α/2化为角α;二是将正切函数化为弦函数.

      特别提醒 (1)sinα/2,cosα/2中的角α为任意角.tanα/2中的角α要求α≠(2k+1)π,k∈Z.要注意半角是相对的,不能认为α/2才是半角,比如:2α是4α的半角,3α/2是3α的半角.

      (2)半角公式的结构特点:上述半角公式中由于含有根式,故称为半角公式无理式.其特点是用cosα表示cosα/2,sinα/2,tanα/2.可以将半角公式看作倍角公式的变形.

      (3)正负号的选取.它取决于sinα/2,cosα/2,tanα/2的正负,而不是取决于cosα的正负,取正负号的关键是判断出角α/2的终边所在的象限,从而确定sinα/2,cosα/2,tanα/2的符号,当角α的范围不明确时,在根号前要保留正负号.

      知识2 公式的联系

      知识拓展 (1)万能公式:

      (2)和差化积、积化和差公式:

      和差化积公式:

      积化和差公式:

      page130

      方法清单

      ·方法1 三角恒等式的证明

      ·方法2 可转化为y=asin x+bcos x+k的函数问题

      ·方法3 三角变换的综合应用

      ·方法4 平面向量与三角函数

      方法1 三角恒等式的证明

      恒等式的证明,包括有条件恒等式和无条件恒等式两种.(1)无条件恒等式的证明:要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和关系,找出差异,寻找证明的突破口.

      (2)有条件恒等式的证明:一般可用消去法及基本量法.消去法即用代入、加减、平方等方法消去某些量;基本量法就是适当地选择其中可以独立取值的量作为基本量,其他的量都可以用基本量表示,从而将问题转化为研究这些量之间的关系.

      方法2 可转化为y=asin x+bcos x+k的函数问题

      若函数f(x)的解析式通过三角恒等变换可转化为f(x)=asin x+bcos x+k的形式,则函数f(x)的解析式可化为f(x)=sin(x+φ)+k(其中cosφ=,sinφ=)的形式.

      与三角函数有关的函数,若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题,一般要转化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.

      方法3 三角变换的综合应用

      在与角有关的问题中,找到角之间的关系、边之间的关系,利用三角变换解决问题.

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      方法4 平面向量与三角函数

      三角函数与平面向量相结合时,三角函数常作为平面向量的坐标,通过向量的运算转化为三角函数的化简、求值等问题.

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       必修5

      必修5

      第1章 解三角形

      1.1 正弦定理和余弦定理

      知识清单

      ·知识1 正弦定理

      ·知识2 三角形中正弦定理的应用

      ·知识3 余弦定理

      ·知识4 三角形中余弦定理的应用

      ·知识5 三角形中三个内角的三角函数关系

      ·知识6 三角形的面积公式

      知识1 正弦定理

      在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即在△ABC中,a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为△ABC外接圆半径).

      上式对任意三角形均成立.

      正弦定理可以变形为:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;③sin A=a/2R,sin B=b/2R, sin C=c/2R;④asin B=bsin A, csin B=bsin C,csin A=asin C等形式,以解决不同的三角形问题.

      知识2 三角形中正弦定理的应用

      (1)利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题

      ①已知三角形的两角和任一边,求三角形的其他边与角;

      ②已知三角形的两边和其中一边的对角,求三角形的其他边与角.

      已知三角形的两边和其中一边的对角,不能唯一确定三角形的形状,解这类三角形问题将出现无解、一解和两解三种情况,应分情况予以讨论.

      在△ABC中,已知a,b和∠A时,解的情况如下:

      ∠A为锐角 ∠A为純角或直角
      图形
      关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b
      解的个数 一解 两解 一解 一解 无解

      (2)由正弦定理容易得到边角关系

      在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即∠A>∠Ba>bsin A>sin B.

      知识3 余弦定理

      三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的二倍.

      即a^(2)=b^(2)+c^(2)-2bccos A,b^(2)=a^(2)+c^(2)-2accos B,c^(2)=a^(2)+b^(2)-2abcos C.

      此定理还有另一种形式:

      特别提醒 (1)若∠C=90°,则c^(2)=a^(2)+b^(2),这就是勾股定理,由此可知,余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.

      (2)由余弦定理知:若∠A为锐角,则cos A>0,b^(2)+c^(2)-a^(2)>0,即b^(2)+c^(2)>a^(2);若∠A为钝角,则cos A<0,从而b^(2)+c^(2)-a^(2)<0,即b^(2)+c^(2)<a^(2);若∠A为直角,则cos A=0,b^(2)+c^(2)=a^(2).在解客观题时使用上述结论较方便.

      知识4 三角形中余弦定理的应用

      利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:

      (1)已知三边,求三个角;

      (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

      这两类问题在有解时都只有一个解.

      知识5 三角形中三个内角的三角函数关系

      利用正弦定理、余弦定理在解决三角形的综合问题时,要注意三角形三个内角的一些三角函数关系:

      △ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,则

      ①sin A=sin(B+C), cos A=-cos(B+C),tan A=-tan(B+C).

      page133

      ②sin A/2=cos B+C/2, cos A/2=sin B+C/2.

      ③sin 2A=-sin(2B+2C),

      cos 2A=cos(2B+2C),

      tan 2A=-tan(2B+2C).

      ④sin A+sin B+sin C=4cos A/2cos B/2cos C/2,

      tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

      ⑤sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin Asin Bsin C,

      cos 2A+cos 2B+cos 2C=-1-4cos Acos Bcos C.

      知识6 三角形的面积公式

      在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a,b,c边上的高分别为ha,hb,hc,SABC为△ABC的面积,

      ①SABC=1/2aha=1/2bhb=1/2chc

      ②SABC=1/2absin C=1/2bcsin A=1/2acsin B.

      知识拓展 三角形面积公式的其他形式:

      在△ABC中,SABC为△ABC的面积,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,r为△ABC内切圆半径,R为△ABC外接圆半径,s=(△ABC周长的一半),则

      ①SABC=(海伦公式);

      ②SABC=abc/4R,SABC=r·s;

      ③SABC=2R^(2)sin Asin Bsin C;

      ④数量积形式的三角形面积公式:

      在△ABC中,设=a,=b,且<a,b>=θ,

      则SABC=1/2

      ⑤坐标形式的三角形面积公式:

      在△ABC中,设=a=(a1,a2),=b=(b1,b2),

      则SABC=1/2|a1 b2-a2b1|.

      方法清单

      ·方法1 已知一边和两角解三角形

      ·方法2 已知两边及其中一边的对角解三角形

      ·方法3 已知两边及其夹角解三角形

      ·方法4 已知三边解三角形

      ·方法5 三角形形状的判定

      ·方法6 三角形的面积问题

      ·方法7 正、余弦定理的综合应用

      方法1 已知一边和两角解三角形

      已知一边和两角(设为b、∠A、∠B),解三角形的步骤:

      ①∠C=180°-(∠A+∠B);

      ②由正弦定理,得a=bsinA/sinB;

      ③由正弦定理,得c=bsinC/sinB.

      方法2 已知两边及其中一边的对角解三角形

      已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角时,首先必须判断是否有解,例如在△ABC中,已知a=1,b=2,∠A=60°,则sin B=b/asin A=>1,问题就无解.如果有解,是一解,还是两解.解的个数讨论见下表:

      ∠A≥90° ∠A<90°
      a>b ∠B是锐角,一解 ∠B是锐角,一解
      a=b 无解 ∠B是锐角,一解
      a<b 无解 bsinA<a<b,∠B是锐角或钝角,两解;a=bsinA,∠B是直角,一解;a<bsinA,无解
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      方法3 已知两边及其夹角解三角形

      已知两边及其夹角(设为a、b、∠C),解三角形的步骤:

      ①由余弦定理,得c=

      ②由正弦定理求边a、b中较小边所对的锐角;

      ③利用内角和定理求第三个角.

      方法4 已知三边解三角形

      已知三角形的三边a,b,c,解三角形的步骤:

      ①利用余弦定理求出一个角;

      ②由正弦定理及∠A+∠B+∠C=π,求其他两个角.

      方法5 三角形形状的判定

      判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,看其是否是特殊三角形,要特别注意等腰直角三角形与等腰三角形或直角三角形的区别.依据已知条件中的边角关系进行判断时,主要有如下两条途径:

      (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

      (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数的恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用∠A+∠B+∠C=π这个结论.

      在以上两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

      方法6 三角形的面积问题

      根据已知的边角利用正弦定理或余弦定理,求出面积公式需要的边角,从而求出面积.

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      方法7 正、余弦定理的综合应用

      解三角形时,首先确认所求边角所在三角形,及已知边角所在三角形,从而选择合适的三角形及定理.

      已知条件 选用定理 结论
      一边两角(如∠A,∠B,c) 正弦定理 一解
      两边及夹角(如a,b,∠C) 余弦定理或正弦定理 一解
      两边及其中一边的对角(如a,c,∠A) 正弦定理 一解或两解或无解
      三边(a,b,c) 余弦定理 一解

      1.2 应用举例

      知识清单

      ·知识1 测距离的应用

      ·知识2 测高的应用

      ·知识3 测量中有关的名称、术语

      ·知识4 解斜三角形应用题的一般思路

      知识1 测距离的应用
      背景 可测元素 图形 目标及解法
      两点均可到达 a、b、α 求AB,AB=
      只有一点A可到达 b、α、β 求从AB,AB=
      A,B两点都不可到达 a、α、β、φ、θ 求AB,
      (1)在△ACD中,用正弦定理求AC;
      (2)在△BCD中,用正弦定理求BC;
      (3)在△ABC中,用余弦定理求从AB
      知识2 测高的应用
      背景 可测元素 图形 目标及解法
      底部可到达 a、α 求AB,AB=atan α
      底部不可到达 a、α、β 求AB,
      (1)在△ACD中,用正弦定理求AD;
      (2)AB=ADsin β
      知识3 测量中有关的名称、术语

      (1)仰角和俯角

      与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).

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      (2)方向角

      从指定方向线到目标方向线的水平角.

      (3)方位角

      从指北方向线顺时针转到目标方向的水平角.

      (4)坡度

      坡面与水平面所成的二面角的度数.

      知识4 解斜三角形应用题的一般思路

      (1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等;

      (2)根据题意画出图形;

      (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型,然后正确求解,演算要算法简练,计算准确,最后作答.

      用流程图可表示为:

      特别提醒 将三角形的解还原为实际问题的解时,注意实际问题中的单位、近似计算等要求.

      方法清单

      ·方法1 设计测量方案解三角形

      ·方法2 求距离

      ·方法3 求角度

      ·方法4 求高度

      方法1 设计测量方案解三角形

      解决实际测量问题,应首先明确仰角、俯角、方位角等概念,设计好测量步骤,用好正弦定理、余弦定理.

      方法2 求距离

      (1)求距离时,将已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之.

      (2)若实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解.

      (3)若实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题设条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.

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      方法3 求角度

      应首先明确方位角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题.解题中也要注意体会正弦定理、余弦定理联袂使用的优点.

      方法4 求高度

      测量高度一般涉及方位角、仰角、俯角等,在画图时,要注意运用空间想象力.解题时要尽可能地寻找直角三角形,利用直角三角形中的特殊关系解决问题,避免复杂的运算.

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      第2章 数列

      第2章 数列

      2.1 数列的概念与简单表示法

      知识清单

      ·知识1 数列的概念

      ·知识2 数列的表示法

      ·知识3 数列的分类

      ·知识4 数列的通项公式

      ·知识5 数列的递推公式

      ·知识6 数列的前n项和

      ·知识7 数列的性质

      知识1 数列的概念

      (1)从定义角度考虑

      按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(或首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.数列的一般形式为a1,a2,a3,…,an,….简记作{an}.

      ①数列的项具有有序性,一个数列不仅与构成数列的数有关,而且与这些数的排列顺序有关,注意与集合中元素的无序性区分开来.

      ②数列的项具有可重复性,数列中的数可重复出现,这也要与集合中元素的互异性区分开来.

      ③注意an与{an}的区别:an表示数列{an}的第n项,而{an}表示数列a1,a2,…,an,….

      (2)从函数角度看数列

      对任意数列{an},其每一项与序号都有对应关系,见下表:

      序号 1 2 3 4 n
      a1 a2 a3 a4 an

      数列可以看成是一个定义域为正整数集N^(*)(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,即当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从1开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况.

      特别提醒 ①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.

      ②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N^(*)或它的有限子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数的图象一般都是连续的曲线,因此,在解决问题时,要充分利用这一特殊性.

      知识2 数列的表示法

      数列作为一种特殊的函数有三种表示法:

      (1)列表法

      列表法就是列出表格来表示序号与项的关系.例如:数列6,66,666,6666,66666,666666.

      序号 1 2 3 4 3 6
      6 66 666 6 666 66 666 666 666

      (2)图象法

      在平面直角坐标系中,数列的图象是一列横坐标为正整数的孤立的点(n,an).

      (3)解析法

      将数列用一个数学式子表示出来的方法叫做解析法.可用通项公式表示数列.

      特别提醒 用通项公式表示数列是最常见的数列表示法.

      知识3 数列的分类
      分类标准 名称 含义 举例
      按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,4,…,n
      无穷数列 项数无限的数列 1,4,9,…,n^(2),…
      按项的变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 3,4,5,…,n+2
      递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项都小于它的前一项的数列 1,1/2,1/3,…1/2009
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      分类标准 名称 含义 举例
      按项的变化趋势 常数列 各项相等的数列 6,6,6,6,…,6
      摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,…
      知识4 数列的通项公式

      (1)数列的第n项叫做数列的通项.

      (2)如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

      特别提醒 (1)并不是所有的数列都有通项公式,如π精确到1,0.1,0.01,0.001的近似值排成的数列:3,3.1,3.14,3.141就没有通项公式.

      (2)只给出一个数列的最初若干项,而未指明构成规律时,该数列的通项公式不能唯一确定.例如,数列1,4,7,10,…的前四项适合的通项公式可以是an=3n-2,也可以是an=1+3(n-1)+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4).

      另外,数列通项公式的表示法也不是唯一的.如an=cos nπ及an=(-1)^(n)均是数列-1,1,-1,1,…的通项公式.

      知识5 数列的递推公式

      (1)递推公式

      如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

      (2)通项公式与递推公式的异同点

      不同点 相同点
      通项公式 可根据某项的序号n的值,直接代入求出项an 都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项
      递推公式 可根据第一项(或前几项)通过一次(或多次)赋值求出数列的项,直至求出所需的an
      知识6 数列的前n项和

      ak=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和,记作Sn.

      数列的通项an与前n项和Sn的相互关系:

      Sn=a1+a2+…+an

      an=S1 (n=1),an=Sn-Sn-1 (n≥2).

      特别提醒 an=Sn-Sn1不是对一切正整数n都成立,而是局限于n≥2的一切正整数n恒成立,因为当n=1时,Sn-Sn1无意义.

      因此,由前n项和Sn求通项公式an=f(n)时,要分n=1与n≥2两种情况,然后验证两种情形可否统一式子表示.若不能,就用分段函数表示.

      知识7 数列的性质

      (1)单调性

      如果对所有的n∈N^(*),都有an1>an,那么数列{an}为递增数列;如果对所有的n∈N^(*),都有an1<an,那么称数列{an}为递减数列;如果有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么称{an}为摆动数列;如果对所有的n∈N^(*),都有an1=an,那么称{an}为常数列.

      (2)周期性

      如果对所有的n∈N^(*),都有ank=an(k为常数),那么称{an}为以k为周期的周期数列.

      (3)有界性

      如果对所有的n∈N^(*),都有|an|≤M,那么称{an}为有界数列,否则称{an}为无界数列.

      特别提醒 求数列的最大(小)项,一般可以先研究数列的单调性,可以用an≥an-1,an≥an+1或an≤an-1,an≤an+1(n≥2,n∈N^(*))也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合.

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      方法清单

      ·方法1 用归纳法求数列的通项公式

      ·方法2 用叠加法求通项

      ·方法3 用累乘法求通项

      ·方法4 已知Sn与an间的关系求an

      ·方法5 函数思想求数列的项或前n项和

      ·方法6 数列单调性的判断及应用

      方法1 用归纳法求数列的通项公式

      (1)根据数列的前几项求数列的通项公式,要仔细观察、分析项的结构特点,善于发现项与序号的函数关系,猜想数列的通项公式,并注意验证.

      (2)与分段函数类似,数列的通项公式也有分段的情形.

      方法2 用叠加法求通项

      形如an1-an=f(n)形式的均可利用叠加法求通项公式,注意an=(an-an1)+(an1-an2)+…+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1.

      方法3 用累乘法求通项

      形如an+1/an=f(n)形式的数列可利用累乘法求数列的通项公式.凡数列的递推公式通过适当变形可化为an+1/an=f(n)形式的即可用累乘法求通项公式.

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      方法4 已知Sn与an间的关系求an

      题目给出了Sn的式子,可利用数列通项公式an与前n项和Sn的关系an=S1(n=1),an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N^(*))求an,当a1也适合n≥2时得到的解析式要合并,否则,用分段函数的形式表示.

      已知{an}的前n项和Sn,求an.应注意以下三点:

      (1)应重视分类讨论思想的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论;特别注意an=Sn-Sn1中需n≥2.

      (2)由Sn-Sn1=an推得an,当n=1时,若a1也适合an,则统一合写.

      (3)由Sn-Sn1=an推得an,当n=1时,若a1不适合an,则数列的通项公式应分段表示(分写),即an=S1 (n=1),an=Sn-Sn-1 (n≥2,n∈N^(*))

      方法5 函数思想求数列的项或前n项和

      数列是特殊的函数,可以通过求数列的周期性求数列的项或前n项和.

      方法6 数列单调性的判断及应用

      (1)判断数列单调性的方法:常采用作差比较的方法判断数列中相邻两项的大小来判断数列的单调性.当数列各项为正数时,也可用作商比较的方法判断,也可利用数列所对应的函数单调性来判断数列单调性.

      (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决.

      2.2 等差数列

      知识清单

      ·知识1 等差数列

      ·知识2 等差数列的通项公式

      ·知识3 等差中项

      ·知识4 等差数列的性质

      知识1 等差数列

      一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母d表示.

      特别提醒 ①如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或某一项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或某项开始是等差数列.

      ②求公差d时,因为d是这个数列的后一项与前一项的差,故有an1-an=an-an1=…=a2-a1=d,还有=d(m≠n).

      ③等差数列的单调性:

      公差d 数列{an}的增减性 举例
      d>0 数列{an}为递增数列 1,2,3,4,…,n,…
      d=0 数列{an}为常数列 1,1,…,1,1,…
      d<0 数列{an}为递减数列 3,2,1,0,-1,…,-n,…

      ④d=an-an1或d=an1-an是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.

      知识2 等差数列的通项公式

      (1)等差数列的通项公式

      an=a1+(n-1)d,a1为首项,d为公差.

      (2)等差数列公式的导出

      等差数列的通项公式可由a2,a3,a4,…归纳得出.

      page142
      当然,等差数列的通项公式也可用叠加法得到:

      a2-a1=d,

      a3-a2=d,

      an-an1=d,

      上述(n-1)个式子相加得

      an-a1=(n-1)d,

      即an=a1+(n-1)d.

      (3)对公式的理解

      ①从方程的观点来看,等差数列的通项公式中含有四个量,只要已知其中三个,即可求出另外一个.其中a1和d是基本量,只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项.

      ②从函数的观点来看,在等差数列的通项公式中,an是n的一次函数.其图象是直线y=dx+(a1-d)上均匀排开的一列孤立点.我们知道两点确定一条直线,因此,给出一个等差数列的任意两项,等差数列就被唯一确定了.

      知识3 等差中项

      如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,即A=.反之,若A=,则a,A,b三个数成等差数列.

      等差数列中相邻三项之间存在如下关系:an1+an1=2an(n≥2).反之,若数列中相邻三项之间存在如下关系:an1+an1=2an(n≥2),则该数列是等差数列.

      若a,A,b成等差数列,则A=,2A=a+b,A-a=b-A,a-A=A-b都是等价的.

      知识4 等差数列的性质

      设{an}为等差数列,公差为d,则

      (1)an,an1,an2,…,a2,a1仍为等差数列,公差为-d.

      (2)从第二项起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即2an1=an+an2,2an=anm+anm(n≥m+1,n,m∈N^(*)).

      (3)若n+m=p+q,则an+am=ap+aq,反之不一定成立(m,n,p,q∈N^(*)).

      (4)am,amk,am2k,am3k,…仍为等差数列,公差为kd(首项不一定选a1).

      (5)项数相同的连续项和a1+a2+…+ak,ak1+ak2+…+a2k,…也成等差数列.

      (6)若{bn}也为等差数列,公差为D,则{an±bn}(n∈N^(*))仍为等差数列,公差为d±D;对常数k,b,{kan},{kan±b}仍为等差数列.

      (7)an=am+(n-m)d;amn=an+md=am+nd.

      (8)通项公式an=An+B(A≠0)是项数n的一次函数(其中A=d);点列(1,a1),(2,a2),…,(n,an),…共线.

      (9)等差数列的通项公式变形得an=am+(n-m)d,得d=.

      等差数列{an}的最大项为akak≥ak-1,ak≥ak+1

      方法清单

      ·方法1 等差数列求解与证明的基本方法

      ·方法2 等差数列的判定方法

      ·方法3 用方程的思想解数列问题

      ·方法4 利用等差数列的性质解题

      方法1 等差数列求解与证明的基本方法

      (1)学会运用函数与方程思想解题.

      (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键.

      (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称知三求二).

      (4)巧设未知量.例如,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d(其中d为公差);若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(其中2d为公差).设项巧与不巧,关系到列式的简繁,计算是否容易,推理是否顺利等.

      page143
      方法2 等差数列的判定方法
      方法 步骤 结论
      定义法 an-an-1=d(n≧2,n∈N^(*)) 数列{an}是等差数列
      等差中项法 2an=an-1+an+1( n≧2,n∈N^(*))
      通项公式法 an=an+b
      方法3 用方程的思想解数列问题

      在等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中,有a1和d需要确定,在题中只要有关于a1和d的两个等式即可.

      方法4 利用等差数列的性质解题

      观察已知和所求项的序号之间的关系,利用等差数列的性质解题.

      2.3 等差数列的前n项和

      知识清单

      ·知识1 等差数列的前n项和公式

      ·知识2 等差数列的前n项和公式与函数的关系

      ·知识3 等差数列前n项和的性质

      知识1 等差数列的前l项和公式

      一般地,我们称a1+a2+…+an叫数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an.

      等差数列{an}的前n项和公式:

      Sn=n(a1+an)/2(公式一).

      如果将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d代入公式一,那么

      page144

      Sa=na1+n(n-1)/2d(公式二).

      (1)公式一反映了等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质.推导方法是倒序相加法.

      (2)公式二反映了等差数列前n项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于n的二次函数:Sn=An^(2)+Bn(不含常数项),其中A=d/2,B=a1-d/2.

      (3)当已知首项、末项和项数时,用公式一较为方便;当已知首项、公差和项数时,用公式二较为方便.

      知识2 等差数列的前n项和公式与函数的关系

      对于等差数列{an},如果a1,d是确定的,前n项和Sn=na1+n(n-1)/2d=d/2n^(2)+(a1-d/2)n,设A=d/2,B=a1-d/2,上式可写成Sn=An^(2)+Bn.

      当A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次函数式(常数项为0),点(n,Sn)在二次函数y=Ax^(2)+Bx的图象上.

      知识3 等差数列前n项和的性质

      (1)若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…(k∈N^(*))是等差数列,其公差等于k^(2)d.

      (2)若等差数列的项数为2n(n∈N^(*)),则S2n=n(an+an1),且S-S=nd,S/S=an1/an

      若项数为2n-1,则S2n1=(2n-1)an(an为中间项),且S-S=an,S/S=n-1/n.其中S=nan,S=(n-1)an.

      (3)若{an},{bn}都为等差数列,Sn,Tn分别为它们的前n项和,则am/bm=S2m1/T2m1

      (4)在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.

      特别提醒 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,且ak>0,ak1<0,则Sk为数列{Sn}中的最大值;若ak>0,ak1=0,则Sk=Sk1,且均为最大值.若a1<0,d>0,则情况相反.另外,点列(1,S1/1),(2,S2/2),…,(n,Sn/n),…共线.

      方法清单

      ·方法1 等差数列前n项和公式的应用

      ·方法2 等差数列前n项和公式的性质的应用

      ·方法3 利用等差数列前n项和与通项公式之间的关系解题

      方法1 等差数列前n项和公式的应用

      根据等差数列{an}的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)/2d=d/2n^(2)+(a1-d/2)n,当a1>0,d<0时,Sn有最大值;当a1<0,d>0时,Sn有最小值.下面以最大值为例,探讨求Sn的最值的一般方法.

      (1)Sn=d/2n^(2)+(a1-d/2)n,d<0,Sn的图象可看作开口向下的抛物线,离对称轴最近的自然数n是Sn取得最大值的n.(注:若对称轴为,则Sn与Sn1同时取得最大值)

      (2)由an≥0,an+1<0解出n的范围,从而确定此范围中的自然数n.

      (3)设法确定前几项为正,或是否有零项,那么所有非负整数项的和最大,若有零项,则有两个和相等并且最大.

      page145
      方法2 等差数列前n项和公式的性质的应用

      求出a1和d是解决数列问题的基本方法,称为基本量法,应熟练掌握.另外根据等差数列的性质探寻其他解法,可以开阔思路,有时可以简化计算.

      (1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题,一般宜用等差数列的性质求解.

      下面给出相关性质:

      在等差数列{an}中,

      ①若项数为2n+1(n∈N^(*)),则

      S/S=,其中S=(n+1)an1,S=nan1

      ②若项数为2n(n∈N^(*)),则

      S/S=an/an1,其中S2n=(an+an1)n,且S-S=nd.

      (2)涉及两个等差数列的前n项和之比的问题,一般是利用公式将它转化为两项之比的问题,再利用函数思想解决问题.

      方法3 利用等差数列前n项和与通项公式之间的关系解题

      等差数列的前n项和公式与通项公式之间有着密切的关系,充分利用公式的关系解题.

      下面给出一个常用的结论:

      若等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,则am/bm=S2m1/T2m-1.

      等差数列的前n项和之比是由等差数列的通项公式和前n项和公式经过变换得到的,在理解上述性质时,要从这两者的关系入手,不要死记硬背.

      page146

      2.4 等比数列

      知识清单

      ·知识1 等比数列

      ·知识2 等比数列的通项公式

      ·知识3 等比中项

      ·知识4 等比数列的性质

      ·知识5 等比数列与等差数列的比较

      知识1 等比数列

      一般地,如果一个数列从第2项起,每一项和它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母q表示(q≠0).

      特别提醒 ①公比q≠0,这是必然的,也就是不存在q=0的等比数列.我们还可以理解为在等比数列中,不存在数值为0的项.

      ②既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列.常数列都是等差数列,但不一定是等比数列,如各项均为0的数列就不是等比数列.

      知识2 等比数列的通项公式

      (1)若一个等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1·q^(n-1)(n∈N^(*)).

      特别提醒 ①在已知a1和q的前提下,利用通项公式an=a1q^(n-1)可求出等比数列中的任意一项.

      ②在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amq^(n-m)可求等比数列中任意一项.

      ③用函数的观点看等比数列的通项.

      等比数列{an}的通项公式an=a1q^(n-1),可以改写为an=a1/q·q^(n).当q>0,且q≠1时,y=q^(x)是一个指数函数,而y=a1/q·q^(x)是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数y=a1/q·q^(x)的图象上的一群孤立的点.

      (2)通项公式an=a1q^(n-1)亦可用以下方法推导出来:

      a2/a1=q,a3/a2=q,a4/a3=q,…,an/an1=q,

      将以上(n-1)个等式相乘,便可得到

      an/a1=q^(n-1),

      ∴an=a1q^(n-1)(n≥2).

      又∵当n=1时,上式也成立.

      ∴an=a1q^(n-1).

      (3)用方程的观点看通项公式.在an,q,a1,n中,知三求一.

      知识3 等比中项

      若a,G,b三个数成等比数列,则有G^(2)=ab.反之,不一定成立.

      由等比中项定义可知G/a=b/G,

      ∴G^(2)=ab,G=±

      这表明,只有同号的两项才有等比中项,并且这两项有2个互为相反数的等比中项.当a>0,b>0时,G=又叫做a,b的几何平均数.

      知识4 等比数列的性质

      等比数列有以下性质:

      设an=a1q^(n-1)(a1,q≠0),

      (1)当q>1,a1>0,或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0,或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.

      (2)一般地,若m,n,k,l为正整数,且m+n=k+l,则有am·an=ak·al,特别地,当m+n=2k时,am·an=ak2).

      (3)与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积,与某一项距离相等的两项的积等于这一项的平方.

      (4)数列{an}是等比数列,若等差数列{bn}的各项均为正整数,则数列{ab.}仍是等比数列,如{a2n1},{a3n}等仍是等比数列.

      (5)如果数列{an},{bn}均为等比数列,公比分别为q1,q2,那么数列{1/an},{kan}(k∈R,k≠0),{anbn},{bn/an},{|an|}仍是等比数列,且公比分别是1/q1,q1,q1q2,q2/q1,|q1|.

      (6)数列{an}是等比数列,若an>0,则{logaan}为等差数列.反之,若{logaan}是等差数列,则{an}是等比数列.

      (7)在等比数列{an}中,每隔k(k∈N^(*))项取出一项,按原顺序排列,所得新数列仍为等比数列,且公比为q^(k+1).

      (8)当m,n,p(m,n,p∈N^(*))成等差数列时,am,an,ap成等比数列.

      page147

      (9)an=amq^(n-m),anm=amq^(n)=anq^(m).

      Smn=Sm+Sn q^(m)=Sn+Smq^(n).

      a1·a2·a3·…·an=(a1·an)n/2.

      (10)等比数列中项数相同的连续项的和(和不为0)a1+a2+…+ak,ak1+ak2+…+a2k,…,仍构成等比数列.

      知识5 等比数列与等差数列的比较
      不同点 相同点
      等差数列 (1)强调每一项与前一项的差;
      (2)a1和d可以为零;
      (3)等差中项唯一
      (1)强调每一项与前一项的关系;
      (2)结果必须为常数;
      (3)数列都可由a1,d或a1,q确定
      等比数列 (1)强调每一项与前一项的比;
      (2)a1和q均不为零;
      (3)等比中项有两个

      方法清单

      ·方法1 等比数列求解的基本方法

      ·方法2 等比数列的判定与证明问题

      ·方法3 等比数列的性质应用问题

      方法1 等比数列求解的基本方法

      (1)学会用函数与方程的思想解决问题.

      (2)抓住首项与公比是解决等比数列问题的关键.

      (3)等比数列的通项公式、前n项和公式涉及的五个量:a1,q,n,an,Sn中,首项a1和公比q是两个基本量,知三可以求二.

      (4)注重灵活选设未知数.例如,当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为a/q,a,aq;当四个数成等比数列且公比为正数时,可设这四个数为a/q^(3),a/q,aq,aq^(3).

      (5)等比数列{an}的最大项为akak≥ak-1,ak≥ak+1.

      (6)在要求的几个数中,若有若干个数成等差数列,若干个数成等比数列,应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数.

      方法2 等比数列的判定与证明问题

      (1)等比数列的判定方法

      ①定义法:若an1/an=q(q为非零常数,且n∈N^(*)),则数列{an}是等比数列.

      ②中项公式法:若数列{an}中,an≠0,且an+12)=an·an2(n∈N^(*)),则数列{an}是等比数列.

      ③通项公式法:若数列{an}的通项公式可写成an=cq^(n)(c,q均为不为0的常数,n∈N^(*)),则数列{an}是等比数列.

      ④前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·q^(n)-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.

      page148

      (2)①前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择题、填空题中.

      ②若要判定一个数列不是等比数列,则只需说明任意连续三项不成等比数列即可.

      方法3 等比数列的性质应用问题

      (1)在等比数列的运算中,若能利用等比数列的性质,则可减少运算量,提高解题速度,这需要熟练掌握等比数列的性质,并能灵活运用,同时要注意挖掘已知条件及隐含条件.

      (2)注意下列性质:

      a1>0 { an}递增(q>1),
      { an}为常数列(q=1),
      { an}递减(0<q<1),
      { an}摆动(q<1).
      a1<0 { an}递增(0<q<1),
      { an}为常数列(q=1),
      { an}递减(q>1),
      { an}摆动(q<0).

      (3)等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同.

      2.5 等比数列的前n项和

      知识清单

      ·知识1 等比数列的求和公式

      ·知识2 等比数列前n项和公式与函数的关系

      ·知识3 等比数列前n项和的性质及简单应用

      知识1 等比数列的求和公式

      已知等比数列{an},首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,则有

      证明:Sn=a1+a1q+a1q^(2)+…+a1q^(n-2)+a1q^(n-1), ①

      qSn=a1q+a1 q^(2)+…+a1q^(n-2)+a1q^(n-1)+a1q^(n), ②

      由①的两边分别减去②的两边,得

      (1-q)Sn=a1-a1q^(n

      当q=1时,{an}是常数列,Sn=na1.

      知识2 等比数列前n项和公式与函数的关系

      当公比q≠1时,等比数列{an}的前n项和Sn=可变形为Sn=-·q^(n)+.设A=,上式可化简为Sn=-Aq^(n)+A.由此可见,非常数列的等比数列

      page149
      的前n项和Sn是一个指数型函数.

      当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1是n的正比例函数.

      特别提醒 当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn的图象是函数y=-Aq^(x)+A图象上一群孤立的点;当q=1时,数列S1,S2,…,Sn的图象是正比例函数y=a1x图象上一群孤立的点.当等比数列的公比不是一个常数,而是一个字母或一个代数式时,要养成讨论公比是否等于1的习惯.

      知识3 等比数列前n项和的性质及简单应用

      (1)数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和,且Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列,且有(S2n-Sn)^(2)=Sn·(S3n-S2n).

      (2)若某数列前n项和公式为Sn=a^(n)-1(a≠0,a≠1),则{an}为等比数列.

      (3)在等比数列中,若项数为2n(n∈N^(*)),S与S分别为偶数项与奇数项的和,则S÷S=q;若项数为2n+1,则=q.

      (4)若{an}是公比为q的等比数列,则Snm=Sn+q^(n)·Sm.

      方法清单

      ·方法1 等比数列前n项和公式的应用

      ·方法2 等比数列中的信息迁移问题

      方法1 等比数列前n项和公式的应用

      在等比数列的通项公式和前n项和公式中,有五个量a1,an,q,n,Sn,这五个量知三可求其余两个量,结合其他知识,可解决与通项或前n项和有关的问题.

      方法2 等比数列中的信息迁移问题

      创新意识和实践能力是高考命题立意的体现,也是新课程标准指导命题的一种趋势.

      准确理解题目中给出的信息,并转化为已掌握的知识是解此类问题的关键.

      page150

      2.6 数列的综合问题

      知识清单

      ·知识1 求数列的前n项和Sn的几种方法

      ·知识2 分期付款问题

      ·知识3 单利公式、复利公式

      知识1 求数列的前n项和Sn的几种方法
      错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成的,此时求和可采用错位相减法
      倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法
      分组转化法 把数列的每一项分成两项,或把数列的项集在一块重新组合,或把整个数列分成两部分,使其转化为等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法
      裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法
      公式法求和 所给数列的通项是关于n的多项式,此时求和可采用公式法求和,常用的公式有:
      k^(2)=1^(2)+2^(2)+…+n^(2)=1/6n(n+1)(2n+l),
      k=1+2+…+n=1/2n(n+1),
      k^(3)=1^(3)+2^(3)+…+n^(3)=1/4n^(2)(n+1)^(2

      特别提醒 (1)对通项公式含有(-1)^(n)的一类数列,在求Sn时,要注意讨论n的奇偶性.

      (2)在用等比数列前n项和公式时,一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论.

      知识2 分期付款问题

      (1)关于分期付款方案的确定

      分期付款即借款后不是一次性付清,而是分几次分别付款的一种借款方式,对于每一种分期付款方案,应明确以下几点:

      ①规定多长时间内付清全部款额;

      ②在规定的时间内分几期付款,并且规定每期付款额相同;

      ③规定多长时间结算一次利息.

      在选择分期付款方案时,必须计算出各种方案中每期应付款多少,总共应付款多少,这样才便于顾客比较,从而优化选择方案.

      (2)分期付款中的有关规定

      ①在分期付款中,每月的利息均按复利计算;

      ②分期付款中,规定每期所付款额相同,分期付款时,商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间推移而不断增值;

      ③各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.

      page151
      知识3 单利公式、复利公式

      单利公式——设本金为a元,每期利率为r,存期为n,则本利和an=a(1+rn),属于等差模型;复利公式——设本金为a元,每期利率为r,存期为n,则本利和an=a(1+r)^(n),属于等比模型.

      方法清单

      ·方法1 公式法求和

      ·方法2 倒序相加法求和

      ·方法3 错位相减法求和

      ·方法4 裂项相消法求和

      ·方法5 分组,转化为公式法求和

      ·方法6 数列的应用

      方法1 公式法求和

      (1)直接用等差、等比数列的求和公式.

      (2)掌握一些常见的数列的前n项和.

      1+2+3+…+n=n(n+1)/2.

      1^(2)+2^(2)+3^(2)+…+n^(2)=n(n+1)(2n+1)/6.

      1^(3)+2^(3)+3^(3)+…+n^(3)=n^(2)(n+1)^(2)/4.

      1+3+5+…+(2n-1)=n^(2).

      1^(2)+3^(2)+5^(2)+…+(2n-1)^(2)=n(4n^(2)-1)/3.

      1^(3)+3^(3)+5^(3)+…+(2n-1)^(3)=n^(2)(2n^(2)-1).

      2+4+6+…+2n=n(n+1).

      方法2 倒序相加法求和

      如果一个数列{an},与首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.

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      方法3 错位相减法求和

      错位相减法求和适用于{an·bn}型数列,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列,在应用过程中要注意:①项的对应需正确;②相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项;③若等比数列部分的公比为常数,要讨论是否为1.

      方法4 裂项相消法求和

      利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,再就是通项公式裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂项前后等式两边保持相等.

      常见的拆项公式有:

      page153
      方法5 分组,转化为公式法求和

      (1)数列求和应从通项公式入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为几个等差数列或等比数列或可求前n项和的数列来求.

      (2)常见类型及方法

      ①an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解;

      ②an=a·q^(n-1),利用等比数列前n项和公式直接求解,且要注意公比q的取值;

      ③an=bn±cn,数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,采用分组求和法求{an}的前n项和.

      方法6 数列的应用

      数列在实际生活中的应用非常广泛,因此,数列的实际应用问题也在历年高考中占有重要的位置.

      (1)解答数列应用题的基本步骤

      ①审题:仔细阅读材料,认真理解题意.

      ②建模:将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,分清该数列是等差数列还是等比数列,是求通项还是求前n项和.

      ③求解:求出该问题的数学解.

      ④还原:将所求结果还原到原实际问题中.

      (2)数列应用问题的常见模型

      ①等差模型:一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.其一般形式是an1-an=d(常数).

      ②等比模型:一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的百分数时,该模型是等比模型,增加(或减少)的百分数就是公比,其一般形式是×100%=q(常数).

      ③混合模型:在一个问题中,同时涉及等差数列和等比数列的模型.

      page154

      ④递推模型:如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an1(或前n项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题.

      方法拓展 由递推公式求通项的常用方法:

      1.形如an1=can+d,(c≠0,其中a1=a)型

      (1)若c=1,则数列{an}为等差数列;

      (2)若d=0,则数列{an}为等比数列;

      (3)若c≠1且d≠0,则数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

      方法如下:设an1+λ=c(an+λ),

      得an1=can+(c-1)λ,与题设an1=can+d比较系数得

      (c-1)λ=d,所以λ=(c≠0),所以有an=c(an1),

      因此数列{an}可构成以a1为首项,以c为公比的等比数列,

      page155

      所以an=(a1)·c^(n-1),即an=(a1)·c^(n-1)-.

      规律:将递推关系an1=can+d化为an1=c(an),构造成公比为c的等比数列{an},从而求得通项公式an1=+c^(n)(a1).

      2.形如an+1=panr)(其中p,r为常数)型

      p>0,an>0用对数法.

      3.形如an+1=pan+q^(n)(其中p,q均为常数,pa(p-1)≠0)

      (1)一般地,要先在递推公式两边同除以q^(n+1),得an+1/q^(n+1)=p/q·an/q^(n)+1/q,引入辅助数列{bn}(其中bn=an/q^(n)),得bn+1=p/q·bn+1/q,再用待定系数法解决.

      (2)也可以在原递推公式两边同除以p^(n+1),得an+1/p^(n+1)=an/p^(n)+1/p·(q/p)^(n),引入辅助数列{bn}(其中bn=an/p^(n)),得bn+1-bn=1/p(q/p)^(n),再利用叠加法求解.

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      第3章 不等式

      第3章 不等式

      3.1 不等关系与不等式

      知识清单

      ·知识1 不等关系与不等式

      ·知识2 不等式建立基础

      ·知识3 不等式的基本性质

      知识1 不等关系与不等式

      (1)不等式的定义

      用数学符号(如≠<>≤≥等)连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式,记作f(x)>g(x),f(x)≥g(x)等等.

      用><连接的不等式叫做严格不等式;用≤≥连接的不等式叫做非严格不等式.

      特别提醒 a=b,a>b中,只要有一个成立,就有a≥b.

      (2)不等关系与不等式的区别

      不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号<>≤≥来表示,也可以用语言表述;而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用a>ba<ba≥ba≤b等式子来表示,不等关系是通过不等式体现的.

      (3)不等式的分类

      ①按成立的条件分:

      a.绝对不等式:不等式中的字母取任意实数值都恒成立的不等式叫做绝对不等式.如x^(2)-x+1>0,|sin x|≤1均是绝对不等式.

      b.条件不等式:不等式中的字母取某些允许值才能成立的不等式叫做条件不等式.如x^(2)-3x-4<0是条件不等式,因为只有-1<x<4时才成立.

      c.矛盾不等式:不等式中的字母不论取何实数值都不能成立的不等式叫做矛盾不等式.如3x^(2)+1<0,<0均是矛盾不等式.

      ②按不等号开口方向分:

      a.同向不等式:不等号方向相同的两个不等式.

      b.异向不等式:不等号方向相反的两个不等式.

      知识2 不等式建立基础

      (1)实数比较大小的依据

      在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a、b之间具有以下性质:

      如图,如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b是负数,那么a<b;如果a-b等于零,那么a=b,反之也成立,从而a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.

      (2)实数比较大小的基本方法

      比较两个实数的大小,基本方法是作差,对差的正、负作出判断,进而得出结论.

      知识3 不等式的基本性质

      (1)a>bb<a.(反身性或对称性)

      (2)a>b,b>ca>c.(传递性)

      (3)a>ba+c>b+c.(平移性或加法单调性)

      (4)a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc.(伸缩性或乘法单调性)

      (5)a>b>0a^(n)>b^(n),n∈N,且n≥1.(乘方性)

      (6)a>b>0>,n∈N,且n≥2.(开方性)

      (7)a>b,c>da+c>b+d.(叠加性)

      (8)a>b>0,c>d>0ac>bd.(累乘性)

      方法清单

      ·方法1 不等式的性质问题

      ·方法2 比较数(式)的大小的方法

      ·方法3 确定代数式的取值范围的方法

      ·方法4 用不等式表示实际问题中的不等关系

      方法1 不等式的性质问题

      不等式性质使用时注意的问题:

      在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件.如同向不等式才可相加,同向且两边同正的不等式才可相乘.可乘性中的c的符号等都需要注意.

      page157
      方法2 比较数(式)的大小的方法

      (1)比较两数(式)大小的方法有两种:

      作差法:作差法是比较两数(式)大小的常用方法,其一般步骤:

      第一步:作差.

      第二步:变形.常采用因式分解(将差化成积)或配方(将差化为常数与n个平方和的形式)等恒等变形手段.

      第三步:定号,最后下结论.

      作差法一般将差化成非负数和的形式或因式乘积形式,即P-Q=a12)+a22)+…+an2)或P-Q=b1b2…bn,以便于判断差值的符号.

      作商法:作商法也是常见的比较两数(式)大小的方法.

      对于a>0,b>0,则有

      ①a/b>1a>b;②a/b=1a=b;③a/b<1a<b.

      (2)若比较两个数或代数式(均大于零)的大小,也可化为比较两个数平方的大小.

      (3)在比较两个数的大小时,若作差后不易变形,则可与中间量(如0或1等)进行比较,再由不等式的传递性得到两数的大小关系.

      (4)在比较两个数的大小时,若差式中变量较多,不易变形,则应考虑消元,减少式中变量,以利于判断差式的符号.

      方法3 确定代数式的取值范围的方法

      (1)同向不等式只能相加,不能相减,在求3α-β/3的范围时,将3α-β/3用α-β与α+β表示为4/3(α+β)+5/3(α-β)很重要.因此,解此类题,应从要确定范围的式子与已知给定范围的两个或几个式子的线性关系入手.

      (2)易错易混点:

      在应用不等式性质求代数式取值范围时,易错用性质或使范围变大.

      如:设f(x)=ax^(2)-b,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.

      错解:∵f(1)=a-b,f(2)=4a-b,

      -4≤a-b≤-1, ①
      -1≤4a-b≤5, ②
      由①②得 0≤a≤3,
      -1≤b≤7.

      ∵f(3)=9a-b,∴-7≤9a-b≤26,

      即-7≤f(3)≤26.

      错误原因是忽视了f(1)、f(2)是a与b的整体范围,它不同于a,b的单一范围,从f(1),f(2)的范围求出a,b的范围后再表示成f(3),范围必定扩大.

      正解:∵f(1)=a-b, ①

      f(2)=4a-b, ②

      由①②得a=1/3f(2)-1/3f(1),

      b=1/3f(2)-4/3f(1).

      f(3)=9a-b

      =8/3f(2)-5/3f(1),

      ∵-4≤f(1)≤-1,

      ∴5/3≤-5/3f(1)≤20/3,

      ∵-1≤f(2)≤5,

      ∴-8/3≤8/3f(2)≤40/3,

      -1≤8/3f(2)-5/3f(1)≤20,

      即-1≤f(3)≤20.

      page158
      方法4 用不等式表示实际问题中的不等关系

      将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时,应从实际问题中的关键性文字语言与对应的数学符号之间作出正确的转化.在用不等式表示不等关系时,注意以下几点:

      (1)不等关系是什么,怎样表达;

      (2)不等号是≥还是>;

      (3)实际意义对范围的影响.

      3.2 一元二次不等式及其解法

      知识清单

      ·知识1 一元二次不等式的概念

      ·知识2 一元一次不等式(组)的解法

      ·知识3 一元二次不等式的解集

      ·知识4 无理不等式的解法

      ·知识5 指数、对数不等式的解法

      ·知识6 含参数的一元二次不等式的解法

      ·知识7 恒成立问题

      知识1 一元二次不等式的概念

      只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.

      使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.

      如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式.如果一个不等式变形为另一个不等式时,这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做不等式的同解变形.

      解不等式的过程就是将不等式进行同解变形,化为最简形式的同解不等式的过程.变形时要注意条件的限制,比如:分母是否有意义,定义域是否有限制等.

      知识2 一元一次不等式(组)的解法

      解一元一次不等式(组)是解其他不等式(组)的基础,熟练掌握逻辑联结词或且的运用以及集合的并交运算是解不等式组的关键.

      一元一次不等式,整理成一般形式为ax>b(a≠0)或ax<b(a≠0).

      其中ax>b x>b/a(当a>0时),
      x<b/a(当a<0时),
      ax<b x<b/a(当a<0时),
      x>b/a(当a>0时).
      知识3 一元二次不等式的解集

      由一元二次不等式的一般形式知,任何一个一元二次不等式,整理成一般形式为ax^(2)+bx+c>0或ax^(2)+bx+c<0(a≠0),而且我们已经知道对于一元二次方程ax^(2)+bx+c=0(a>0),其中Δ=b^(2)-4ac,它的解按照Δ>0,Δ=0,Δ<0可分为三种情况.相应地,二次函数y=ax^(2)+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况,因此,对应的一元二次不等式ax^(2)+bx+c>0(a>0)的解集我们也分这三种情况进行讨论.

      Δ=b^(2)-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
      二次函数y=ax^(2)+bx+c(a>0)的图象
      一元二次方程似ax^(2)+bx+c=0(a>0)的根 有两实根x=x1或x=x2 有两个相等的实根x=x1=x2=-b/2a 无实根
      page159
      Δ=b^(2)-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
      一元二次不等式的解集 ax^(2)+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠-b/2a} R
      ax^(2)+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1x<x2}

      对Δ>0的解的结构可记为:ax^(2)+bx+c>0(a>0)的解为大于大根或小于小根;ax^(2)+bx+c<0(a>0)的解为大于小根且小于大根.

      解一元二次不等式的一般步骤为:

      (1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零;

      (2)计算相应的判别式;

      (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;

      (4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集.

      知识4 无理不等式的解法

      (1)<f(x)≥0,g(x)>0,f(x)<g(x);

      (2)f(x)≥f(x)≥0,g(x)≥0,[f(x)^(2)]≥g(x);

      (3)>g(x)f(x)>0,g(x)≥0,f(x)>[g(x)]^(2)或f(x)≥0,g(x)<0.

      知识5 指数、对数不等式的解法

      (1)同底法

      a^(f(x))>a^(g(x)若a>1,则f(x)>g(x);若0<a<1,则f(x)<g(x).

      loga f(x)>logag(x)若a>1,则f(x)>g(x),g(x)>0;

      若0<a<1,则f(x)<g(x),g(x)<0.

      (2)换元法

      形如A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C>0或A·[logaf(x)]^(2)+Bloga f(x)+C>0的不等式,可令t=a^(f(x))或t=loga f(x)转化成一元二次不等式.

      知识6 含参数的一元二次不等式的解法

      (1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论;

      (2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后,再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论;

      (3)如果判别式大于零,但两根的大小还不能确定,此时再以两根的大小作为分类标准进行分类讨论.

      知识7 恒成立问题

      (1)含参数的不等式的恒成立问题

      通过分离参数,把参数的范围转化为函数的最值

      page160
      问题.a>f(x)恒成立a>f(x)max,a<f(x)恒成立a<f(x)min.

      (2)一元二次不等式的恒成立问题

      ①ax^(2)+bx+c>0对任意实数x均成立a>0,Δ<0;

      ax^(2)+bx+c<0对任意实数x均成立a<0,Δ<0.

      ②若ax^(2)+bx+c>0(或<0)(a≠0)在x∈[x1,x2]时均成立,可利用根的分布求解.

      方法清单

      ·方法1 一元二次不等式的解法

      ·方法2 一元高次不等式的解法

      ·方法3 分式不等式的解法

      ·方法4 利用函数单调性解不等式

      方法1 一元二次不等式的解法

      解一元二次不等式ax^(2)+bx+c>0(或<0)的过程:

      (1)看二次项系数a是否为正,否则化为正.

      (2)用Δ判断是否有实根,用因式分解确定实根.

      (3)有根情况下看根的大小(x1<x2),ax^(2)+bx+c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2};ax^(2)+bx+c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}.无根情况下,ax^(2)+bx+c>0(a>0)的解集为R;ax^(2)+bx+c<0(a>0)的解集为.

      特别提醒 有时题目中会隐含问题的条件.如:ax^(2)+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},这时必有条件a<0成立.

      方法2 一元高次不等式的解法

      解简单的一元高次不等式,主要通过分析函数图象解决,常称为穿针引线法或数轴标根法,其步骤:

      ①将f(x)最高次项系数化为正;

      ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分解因式的积,然后求出f(x)=0的解,并在数轴上标出;

      ③自数轴正方向起,用曲线从右至左、自上而下依次由各解穿过数轴;

      用曲线经各解穿数轴时,遵循奇过偶不过的原则,即遇到含x的项是奇次幂就穿过,偶次幂穿而不过,例如用穿针引线法解不等式(x-a)(x-b)^(2)(x-c)≥0(c>b>a)时,作图如图所求.

      ④记数轴上方为正,下方为负,根据不等号写出解集.

      page161

      特别提醒 在用穿针引线法求解高次不等式的过程中要注意:a.区间端点能否取到;b.各因式中的最高次项数必须为正.

      方法3 分式不等式的解法

      (1)任何一个一元有理分式不等式,经过移项、通分和化简,都可以化成标准形式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0,其中f(x),g(x)都表示x的某一整式,然后按照商的符号法则转化成不等式组求解,详见下表.

      分式不等式 同解不等式
      f(x)/g(x)>0 与f(x)>0,g(x)>0或f(x)<0,g(x)<0或f(x)g(x)>0同解
      f(x)/g(x)<0 与f(x)>0,g(x)<0或f(x)<0,g(x)>0或f(x)g(x)<0同解

      即分式不等式转化为整式不等式,用数轴标根法求解.

      (2)分式不等式含等号,转化为整式不等式时,其分母不为零最易丢掉,这一点一定要注意.

      (3)当分式不等式分母正负不确定时,不可通过不等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等式.

      方法4 利用函数单调性解不等式

      对于能够判断单调性的函数,可将所给的不等式转化为相同结构式后利用函数单调性化简不等式,进而求解.

      page162

      3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

      知识清单

      ·知识1 二元一次不等式(组)的概念及其表示的平面区域

      ·知识2 简单的线性规划

      知识1 二元一次不等式(组)的概念及其表示的平面区域

      (1)二元一次不等式及其解的定义

      含有两个未知数,且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式,使不等式成立的未知数的值称为它的解.

      (2)二元一次不等式表示的平面区域

      在平面直角坐标系中,平面内所有点被直线Ax+By+C=0分成三类:

      ①在直线Ax+By+C=0上的点;

      ②在直线Ax+By+C=0上方区域内的点;

      ③在直线Ax+By+C=0下方区域内的点.

      一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线,以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.直线Ax+By+C=0叫做这两个区域的边界.

      对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,因此只需在直线Ax+By+C=0的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号就可以断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.如果直线不过原点,那么用原点的坐标来进行判断.

      知识2 简单的线性规划

      线性规划的基本概念

      名称 意义
      约束条件 变量x,y满足的条件
      线性约束条件 由x,y的一次不等式(方程)组成的不等式组
      目标函数 欲求最大值或最小值涉及变量x,y的解析式
      线性目标函数 目标函数是关于x,y的一次解析式
      可行解 满足约束条件的解(x,y)
      可行域 所有可行解组成的集合
      最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
      线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题

      特别提醒 ①可行域是约束条件对应的二元一次不等式(组)表示的平面区域(或其内部的部分点),可以是封闭的多边形,也可以是一个开放的平面区域.

      ②最优解可能唯一存在,也可能存在无穷个,还有可能没有,且一般会出现在可行域边界处.

      方法清单

      ·方法1 用二元一次不等式(组)表示平面区域

      ·方法2 线性规划求最值

      ·方法3 线性规划的实际应用

      ·方法4 目标函数中含有参数的线性规划问题

      ·方法5 约束条件中含有参数的线性规划问题

      方法1 用二元一次不等式(组)表示平面区域

      (1)一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:

      ①直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0;

      ②直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0;

      ③直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c<0.

      所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c的值的正负即可判断不等式表示的平面区域,简称为直线定界,特殊点定域.

      (2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

      page163
      方法2 线性规划求最值

      线性规划求最值问题,要充分理解目标函数的几何意义,诸如直线的截距、两点间的距离、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等.

      求目标函数z=ax+by(a,b∈R,且a,b为常数)最优解的方法:

      利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜率为k1<k2<…<kn,且目标函数的斜率k满足ki<k<ki1,直线li与li1的交点一般为最优解.在求最优解前,令z=0的目的是确定目标函数在可行域的什么位置有可行解.

      值得注意的是有些问题中可能要求x,y∈N(即整点),它不一定在边界上.

      特别地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行(k=ki)时,其最优解可能有无数个.

      用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目的量分类,列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组),寻求约束条件,并就题目所述找到目标函数.

      方法3 线性规划的实际应用

      在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.

      (1)用图解法解决线性规划问题的一般步骤:

      ①分析并将已知数据列出表格;

      ②确定线性约束条件;

      ③确定线性目标函数;

      ④画出可行域;

      ⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解;

      ⑥实际问题需要整数解时,应适当调整,以确定最优解.

      特别地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某条直线平行时(k=ki),其最优解可能有无数个.

      (2)若问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),此时应当做适当调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点,而不是在用图解法所得到的近似解附近寻找.

      如果可行域中的整点数目不多,可采用逐个检验的办法确定.

      page164
      方法4 目标函数中含有参数的线性规划问题

      这里的参数往往与直线的斜率有关,这类问题还有另一个特点,便是其最优解是可知的,往往是一个或无穷多个,因此解题时可充分利用斜率的特征加以转化.

      方法5 约束条件中含有参数的线性规划问题

      这里的参数指的是约束条件中某一个约束条件含有参数,这意味着约束条件是变动的,这种变动导致了目标函数最值的变化.

      page165

      3.4 基本不等式:

      知识清单

      ·知识1 基本不等式

      ·知识2 基本不等式的几种变形公式

      知识1 基本不等式

      (1)如果a、b∈R,那么a^(2)+b^(2)≥2ab(当且仅当a=b时取等号).

      如果a、b∈R^(+),那么(当且仅当a=b时取等号).

      特别提醒 基本不等式的证明是利用重要不等式推导的,∵a,b∈R^(+),∴()^(2)+()^(2)≥2,即有a+b≥2.

      (2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等.其中为a,b的算术平均数,为a,b的几何平均数.本定理也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

      特别提醒 要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件.

      均值不等式中当且仅当的含义是:

      ①当a=b时取等号,即a=b=

      ②当a=b时取等号,即=a=b.

      知识2 基本不等式的几种变形公式

      (1)a^(2)+b^(2)≥(a+b)^(2)/2;

      (2)ab≤a^(2)/2+b^(2)/2;

      (3)ab≤(a/2+b/2)^(2);

      (4)(a/2+b/2)^(2)≤a^(2)/2+b^(2)/2;

      (5)(a+b)^(2)≥4ab;

      (6)a/b+b/a≥2(ab>0);

      (7)≥a/2+b/2≥(a、b∈R^(+)).

      当且仅当a=b时,以上各式中等号成立.

      方法清单

      ·方法1 利用基本不等式比较实数大小

      ·方法2 利用基本不等式证明不等式

      ·方法3 利用基本不等式求最值

      ·方法4 基本不等式的实际应用

      方法1 利用基本不等式比较实数大小

      (1)注意基本不等式的前提条件.

      (2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式.

      (3)注意1的代换.

      (4)灵活变换基本不等式的形式,并注重其变形形式的运用.

      重要不等式a^(2)+b^(2)≥2ab的形式可以是a^(2)≥2ab-b^(2),也可以是ab≤,还可以是a+b^(2)/a≥2b(a>0),b^(2)/a≥2b-a(a>0)等.不仅要掌握原来的形式,还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等,以便应用.

      (5)合理配组,反复应用基本不等式.

      page166
      方法2 利用基本不等式证明不等式

      (1)充分利用条件是关键,要注意1的整体代换及几个=必须保证同时成立.

      (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其实质就是从已知的不等式入手,借助不等式性质和基本不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证问题,其特征是由因导果.

      (3)证明不等式时要注意灵活变形,可以多次利用基本不等式的变形形式.

      方法3 利用基本不等式求最值

      (1)利用均值定理求最值,必须同时满足以下三个条件:一正、二定、三相等.

      即:①x,y都是正数.

      ②积xy(或和x+y)为常数.(有时需通过配凑、分拆凑出定值)

      ③x与y必须能够相等.(等号能够取到)

      特别地,当式子中等号不成立时,则不能应用基本不等式,而改用函数的单调性求最值.

      (2)构造定值条件的常用技巧

      ①加项变换;②拆项变换;③统一换元;④平方后利用基本不等式.

      (3)基本不等式与最值

      若x,y是正数,

      ①若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积x·y取得最大值S^(2)/4;

      ②若x·y=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2.

      特别提醒 (1)形如y=f(x)/g(x)的分式,函数求最值时常常等价转化为y=a/x+bx(a>0,b>0)再求最值,其步骤可分为(i)变量替换,(ii)分离常数,(iii)若满足一正,二定,三相等,用均值不等式求解;若不满足,用导数判断出函数的单调性后求解.

      (2)易错易混点.在运用均值不等式求最值时,常见错误为直接套用均值不等式,而忽视正定等这三个条件.

      如:①已知x<5/4,求函数y=4x-2+的最值,有y=4x-5++3≥2+3=5的错误.

      错误原因是忽视了4x-5>0的条件.

      ②已知0<x<a/2,求函数y=x(a-2x)的最大值.

      错解:∵0<x<a/2,∴x>0,a-2x>0,

      ∴y=x·(a-2x)≤()^(2)=(a-x)^(2)/4.

      当且仅当x=a-2x,即x=a/3时上式=成立.

      ∴当x=a/3时,y有最大值(a-a/3)^(2)/4=a^(2)/9.

      错误原因是忽视了定值x+y=S的条件,而直接应用xy≤()^(2),没有考虑在x+y=S为定值时,xy才有最大值S^(2)/4.

      ③y=sin x+5/sin x,x∈(0,п/2),求最小值.

      错解:∵y=sin x+5/sin x≥2

      ∴ymin=2.

      错误原因是忽视了=成立的条件,上式当且仅

      page167

      当sin x=5/sin x,即sin x= 或sin x=-时取等号,显然是不可能的.

      方法4 基本不等式的实际应用

      解实际应用题要注意以下几点:

      (1)根据实际问题抽象出函数的解析式后,需利用基本不等式求得函数的最值.

      (2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

      方法拓展 不等式与数列交汇问题的解决方法

      在数列中出现的不等式,是以数列知识为背景,在选择题、填空题中多与等差数列的公差、等比数列的公比有关;在解答题中多是问题求解的第(2)问,第(1)问一般是利用数列知识求解,第(2)问常见的是比较大小或证明不等式,问题的求解需要较强的运算能力.

      page168
       选修2-1

      选修2-1

      第1章 常用逻辑用语

      1.1 命题及其关系

      知识清单

      ·知识1 命题

      ·知识2 四种命题

      ·知识3 四种命题的相互关系

      知识1 命题

      我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.一个命题一般可用一个小写英文字母表示,如p,q,r,….

      特别提醒 ①判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假.一般地,只有陈述句能判断真假,其他类型的句子(如疑问句、祈使句等)无所谓真假,我们把每个能判断真假的陈述句作为一个命题.

      ②对于一个句子,有时我们可能无法判断它的真假,但这个句子本身确实有真假,如太阳系外有外星人,对于这个句子所描述的情形,目前人们尚无法确定其真假,但从事物的本质而论,句子本身是可分辨真假的,这类语句也称为命题.语句是不是命题,关键在于能不能判断其真假,也就是判断其是否成立.

      ③不能判断真假的语句,就不能叫命题.如这是一棵大树x<2都不能叫命题.由于大树没有界定,就不能判断这是一棵大树的真假.由于x是未知数,也不能判断x<2是否成立.对于高中教材中命题这一概念,应结合前面所学集合中元素的确定性对照理解.

      知识2 四种命题

      (1)定义

      ①原命题:它是相对其他三种命题而言人为指定的命题,不是固定不变的,可以把任意一个命题看成原命题.

      ②逆命题:把原命题的条件作为结论,而原命题的结论作为条件,得到的命题称为原命题的逆命题.

      ③否命题:将原命题中的条件和结论同时加以否定后得到的命题称为原命题的否命题.

      ④逆否命题:将原命题的条件加以否定作为结论,将原命题的结论加以否定作为条件而得到的新命题称为原命题的逆否命题.

      (2)四种命题的形式

      如果原命题用若p,则q表示(p叫做原命题的条件,q叫做原命题的结论),p和q的否定用¬p和¬q表示,那么四种命题的形式:

      原命题:若p,则q;

      逆命题:若q,则p;

      否命题:若¬p,则¬q;

      逆否命题:若¬q,则¬p.

      (3)区分否命题与命题的否定

      否命题是对原命题若p,则q中的条件p和结论q都否定,即若¬p,则¬q;而命题p的否定,即非p(¬p)只需否定命题p的结论.

      知识3 四种命题的相互关系

      四种命题之间的关系,如图:

      (1)互为逆否命题的两个命题有相同的真假性,即原命题与逆否命题,逆命题与否命题的真假性相同.

      (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

      (3)在同一个命题的四种命题中,真命题的个数要么是0个,要么是2个,要么是4个.

      (4)在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.

      page169

      方法清单

      ·方法1 判断命题真假的方法

      ·方法2 借助命题间的等价转换解题

      ·方法3 四种命题间的相互关系及真假判断

      方法1 判断命题真假的方法

      一个命题要么真,要么假,两者必居其一.当一个命题改写成若p,则q的形式之后,判断这种命题真假的方法:若由p经过逻辑推理,得出q,则可判定若p,则q是真;判定若p,则q是假,只需举一个反例即可.

      方法2 借助命题间的等价转换解题

      对于四种命题之间的关系,能准确分清命题的条件和结论,是写出其他三种命题的前提,同时要特别注意命题中常用的否定词;而原命题与其逆否命题之间的等价性,又为我们提供了一种数学方法——反证法.

      特别提醒 (1)使用反证法的常见情况:①以至少……或至多……的形式为结论的命题;②涉及唯一性存在性的问题;③以否定形式为结论的命题;④从结论的反面更易入手研究的问题.

      (2)正确作出若p,则q的否定若p,则非q是正确运用反证法的前提.

      (3)反证法的逻辑根据:要证明命题若p,则q为真,改证若p,则¬q为假.因此,反证法的核心是从¬q出发去导出矛盾.

      方法3 四种命题间的相互关系及真假判断

      在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系,要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的逆命题否命题逆否命题.

      page170

      1.2 充分条件与必要条件

      知识清单

      ·知识1 充分条件与必要条件

      ·知识2 四种条件的判断

      知识1 充分条件与必要条件

      充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要是用来区分命题中条件与结论之间的关系.

      (1)从逻辑推理关系看

      命题p与q的条件关系通常有四类:

      ①充分而不必要条件:若pq且qp,则称p是q的充分而不必要条件.

      ②必要而不充分条件:若pq且qp,则称p是q的必要而不充分条件,即常说的有它不一定行,而没它肯定不行.

      ③充要条件:若pq且qp,则称p是q的充分必要条件,简称充要条件.同时,q也是p的充要条件.

      ④既不充分也不必要条件:若pq且qp,则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.

      特别提醒 通常要说明的条件关系一般是指这四种,但有时可能会出现只填充分条件或必要条件的情况.

      充要条件的同义词语有等价于当且仅当必须且只需等.

      数学中的每一个数学概念都是用充要条件来定义的,反过来,每个数学概念的定义都可以看成充要条件,当成判断依据或概念所具有的性质.

      (2)从集合角度看

      建立命题p,q相应的集合p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么

      ①若AB,则p是q的充分条件;若AB,则p是q的充分而不必要条件.

      ②若BA,则p是q的必要条件;若BA,则p是q的必要而不充分条件.

      ③若A=B,则p是q的充要条件.

      ④若AB且BA,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.

      知识2 四种条件的判断

      对于四种条件的判断常用以下几种方法:

      (1)定义法

      ①分清条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论;

      ②找推式:判断pq及qp的真假;③下结论:根据推式及定义下结论.

      (2)等价法

      将命题转化为另一个与其等价的以便于判断真假的命题.利用原命题与其逆否命题等价,逆命题与否命题等价来判断.

      (3)集合法

      如从命题的条件和结论之间的关系来考虑有困难时,有时可以从集合的角度来考虑.把命题的条件和结论视为集合(尤其是条件和结论为实数时),集合与条件的对应关系如下表所示:

      若pq,则p是q的充分而不必要条件
      若qp,则p是q的必要而不充分条件
      若p=q,则p与q互为充要条件
      若pq,qp,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

      方法清单

      ·方法1 充要条件的判定方法

      ·方法2 充要条件的证明方法

      ·方法3 充要条件的探求方法

      ·方法4 利用充分、必要条件确定参数

      方法1 充要条件的判定方法

      (1)从逻辑关系判断

      对充要条件的理解和判断,要搞清楚其定义实质:若pq,则p是q的充分条件,所谓充分,即要使q成立,有p就足够了;若qp,则p是q的必要条件,所谓必要,即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可.

      page171

      (2)利用集合间的关系判断

      充分、必要条件可以从集合的包含关系的角度来理解.

      (3)用命题的等价性判断

      若p与q分别表示命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系表述如下:

      ①如果原命题真逆命题假,那么p是q的充分不必要条件;

      ②如果原命题假逆命题真,那么p是q的必要不充分条件;

      ③如果原命题与逆命题都真,那么p是q的充要条件;

      ④如果原命题与逆命题都假,那么p是q的既不充分也不必要条件.

      (4)利用传递关系判断

      对于较复杂的(如连锁式)关系,常利用等符号进行传递,根据这些符号所组成的图示就可以得出结论.

      方法2 充要条件的证明方法

      (1)证明p是q的充要条件时,要分别从pq和qp两个方面验证,即要分别证明充分性和必要性两个方面,但是,在表述中要注意充分性与必要性对应的关系.

      (2)要分清命题中的条件和结论,防止充分性和必要性弄颠倒,由条件结论是证明充分性,由结论条件是证明必要性.如证p是q的充要条件时,充分性是指pq成立,必要性是指qp成立;而证p成立的充要条件是q时,充分性是指qp成立,必要性是指pq成立.

      page172
      方法3 充要条件的探求方法

      探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法:

      (1)先由结论成立推出命题成立的必要条件,然后再证明其充分性.

      (2)等价性:将一个命题等价转换为另一个命题,列出使该命题成立的充要条件.

      方法4 利用充分、必要条件确定参数

      如涉及参数问题,直接解决较为困难时,可用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及求字母参数的取值范围的充要条件问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来解决.

      1.3 简单的逻辑联结词

      知识清单

      ·知识1 逻辑联结词或且非

      ·知识2 真值表

      知识1 逻辑联结词或且非
      逻辑联结词 定义
      一般地,用逻辑联结词或把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作p或q
      一般地,用逻辑联结词且把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧,读作p且q
      一般地,对一个命题p否定,就得到一个新命题,记作¬p,读作非p或p的否定

      特别提醒

      逻辑联结词:或且非这些词叫做逻辑联结词.

      简单命题:不含逻辑联结词的命题,叫做简单命题.

      复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题,叫做复合命题.

      复合命题的形式:我们研究以下三种形式的复合命题:p或q,p且q,非p.

      逻辑联结词非(也称否定)是从日常语言中的不是全盘否定问题的反面等抽象而来的.

      逻辑联结词或且非与集合中所学的并

      page173
      集交集补集有密切关系.

      ①用并集的概念来理解或.

      A∪B={x|x∈A,或x∈B}中的或,它是指x∈Ax∈B中至少有一个成立,即x∈A且xB,x∈B且xA,x∈A且x∈B,也就是说,逻辑联结词或有可以兼有的意思,但并不意味一定兼有.这与生活中的或的含义不尽相同,生活中的或有不可兼有的意思.例如你去或我去,这句话在日常生活中,可以理解为你去我不去,我去你不去这两种情况之一,绝没有你我都去的意思.

      ②用交集的概念来理解且.

      A∩B={x|x∈A,且x∈B}中的且,它是指x∈Ax∈B这两个条件都要满足的意思,即x∈A同时x∈B.

      ③用补集的概念来理解非.

      CUA={x|x∈U,且xA},即A的补集指的是全集U中所有不属于A的元素组成的集合,是对A的否定,而非字就是否定的意思,从这个意义上讲,如果命题p对应的集合是P,那么命题非p就对应着集合CUP.

      对非的理解,非是否定的意思.一般地,写一个命题的否定,往往需要对正面叙述的词语进行否定,下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下:

      正面词语 都是 完全 负数 所有的 任意一个
      否定词语 不是 不都是 不完全 非负数 某些 某个
      正面词语 等于
      (=)
      大于(>) 小于(<) 至少一个 至多一个 至多n个
      否定词语 不等于(≠) 不大于(≦) 不小于(≧) 一个也没有 至少两个 至少(n+1)个
      知识2 真值表
      p q p且q

      (一假必假)

      p q p或q

      (一真必真)

      p 非p

      (真假相反)

      特别提醒 记忆口诀:①p或q有真则真;②p且q有假则假;③非p,真假相反.

      方法清单

      ·方法1 由真值表判断命题的真假

      ·方法2 解决与复合命题真假有关问题的方法

      方法1 由真值表判断命题的真假

      由真值表判断命题真假的步骤:

      ①确定命题的构成形式;

      ②判断其中各命题的真假;

      ③利用真值表判断命题p∨qp∧q¬p的真假.

      方法2 解决与复合命题真假有关问题的方法

      (1)根据含有逻辑联结词的复合命题的真假,求参数的取值范围的问题,首先要确定构成复合命题的各命题的真假,求出此时参数的取值范围;再根据真值表判断复合命题的真假,求出符合题意的参数的取值范围.特别注意p∧q为假且p∨q为真等价于p,q中一真一假.

      (2)解决此类问题时,若p,q中参数的取值范围不

      page174
      易求出,也可以利用¬p与p,¬q与q不能同真同假的特点,先求¬p,¬q中参数的取值范围.

      1.4 全称量词与存在量词

      知识清单

      ·知识1 存在量词与特称命题

      ·知识2 全称量词与全称命题

      知识1 存在量词与特称命题

      短语存在一个至少有一个某一个等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.

      特别提醒 特称命题M中存在一个x,使p(x)成立可用符号简记为x∈M,p(x).

      特称命题就是在某集合中有(存在)一些元素具有某性质的命题.

      知识2 全称量词与全称命题

      短语对所有的任意一个每一个等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题.

      特别提醒 将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为x∈M,p(x).

      全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.

      例如p:对所有整数x,x^(2)-1=0;q:对所有整数x,5x-1是整数,其中命题p,q都是全称命题.

      方法清单

      ·方法1 含有量词的命题的真假判断

      ·方法2 含有一个量词的命题的否定

      方法1 含有量词的命题的真假判断

      (1)利用全称命题、特称命题的概念来判断:

      ①要判定一个全称命题是真命题,必须用限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立,但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的举出一个反例).

      ②要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.

      (2)在数学中,经常有含有变量x的语句p(x),q(x)构成形如若p(x),则q(x)的命题,这时应理解为它是关于某集合M的一切元素x的全称命题.例如:若x/4>3,则x>12.通常的意思是:x∈R,若x/4>3,则x>12.

      (3)全称命题为真,意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质,使所给语句为真.因此,当给出限定集合中的任一特殊的元素时,自然应导出这个特殊元素具有这个性质(这类似于代入思想).例如:a,b∈R,(a+b)(a^(2)-ab+b^(2))=a^(3)+b^(3)为真,因此,当a=3,b=5时,(3+5)×(9-15+25)=3^(3)+5^(3)是正确的.以上思想要注意准确理解并运用.

      方法2 含有一个量词的命题的否定

      (1)含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:

      全称命题p:x∈M,p(x),它的否定¬p:x∈M,

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      ¬p(x).全称命题的否定是特称命题.

      (2)含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:

      特称命题p:x∈M,p(x),它的否定¬p;x∈M,¬p(x).特称命题的否定是全称命题.

      例如,命题p:x∈R,x^(2)-x+1/4≥0,它的否定为¬p:x∈R,x^(2)-x+1/4<0,¬p为假命题.

      命题q:x∈R,x^(2)+2x+2≤0,它的否定为¬q:x∈R,x^(2)+2x+2>0,¬q为真命题.

      因此可以通过举反例来否定一个全称命题.

      方法拓展 与全称或特称命题有关的参数取值范围问题

      在数学中,经常利用全称命题和特称命题来叙述有关条件和结论,我们必须准确把握它们.需要注意的是,对于有些全称命题和特称命题,表面上不含全称量词和存在量词,我们必须认真审题,领悟命题的本质,从而确定它是否为全称命题或特称命题.解决与全称命题或特称命题有关的参数取值范围问题,分离参数法是其有效方法.如:已知当x∈R时,不等式a+cos 2x<5-4sin x+恒成立,求实数a的取值范围.求解时将x与a分离,原不等式化为:4sin x+cos 2x<-a+5,要使上式恒成立,只需-a+5大于4sin x+cos 2x的最大值,从而转化为求f(x)=4sin x+cos 2x的最大值及解不等式-a+5>3的问题,简化了解题的过程.

      page176
       第2章 圆锥曲线与方程

      第2章 圆锥曲线与方程

      2.1 椭圆

      知识清单

      ·知识1 椭圆的定义

      ·知识2 椭圆的标准方程

      ·知识3 椭圆的几何性质

      ·知识4 椭圆的离心率

      ·知识5 椭圆的通径及有关最值结论

      ·知识6 关于椭圆的几个重要

      知识1 椭圆的定义

      我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.

      这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距.

      |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).

      椭圆的定义应该包含几个要素:

      (1)在平面内,

      (2)到两定点F1、F2的距离等于定长2a,

      (3)定长2a>|F1F2|.

      特别提醒 2a>|F1F2|时,所成曲线是椭圆;2a=|F1F2|时,所成图形是线段;2a<|F1F2|时,不能构成图形.

      知识2 椭圆的标准方程
      定义 |PF1|+|PF2|=2a(2a>2c>0)
      图形
      方程 x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1(a>b>0) y^(2)/a^(2)+x^(2)/b^(2)=1(a>b>0)

      特别提醒 巧记椭圆标准方程的形式:

      ①椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1;②椭圆的标准方程中,x^(2)与y^(2)的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上;③椭圆的标准方程中,三个参数a,b,c满足a^(2)=b^(2)+c^(2);④由椭圆的标准方程可以求出三个参数a,b,c的值.

      知识3 椭圆的几何性质
      标准方程 x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1(a>b>0) y^(2)/a^(2)+x^(2)/b^(2)=1(a>b>0)
      范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
      对称性 关于x轴、y轴对称;关于原点中心对称
      顶点坐标 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)
      焦点坐标 (c,0),(-c,0) (0,c),(0,-c)
      半轴长 长半轴长为a,短半轴长为b,a>b
      离心率 e=c/a
      a,b,c的关系 a^(2)=b^(2)+c^(2
      知识4 椭圆的离心率

      (1)椭圆的焦距与长轴长之比e=c/a叫做椭圆的离心率.

      (2)离心率的取值范围:0<e<1.

      (3)离心率对椭圆形状的影响:

      ①e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,椭圆就越扁.

      ②e越接近0,c就越接近0,从而b就越大,椭圆就越圆.

      (4)e与a,b的关系:e=c/a==b^(2)/a^(2).

      知识5 椭圆的通径及有关最值

      (1)通径

      过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所

      page177
      截得的线段称为椭圆的通径,其为2b^(2)/a.

      (2)两个最值

      ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点,到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

      ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

      距离最大值为a+c,

      距离最小值为a-c.

      知识6 关于椭圆的几个重要结论

      (1)弦长公式

      设P1(x1,y1),P2(x2,y2)为弦的两个端点,则

      (2)焦点三角形

      P为椭圆x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1(a>b>0)上异于长轴端点的点,F1,F2为两个焦点,若∠F1PF2=α,则△F1PF2的面积=b^(2)tanα/2.

      (3)椭圆的切线

      椭圆x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0y/a^(2)+y0y/b^(2)=1.

      (4)对于椭圆x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1,我们有

      ①P(x0,y0)在椭圆内部x02)/a^(2)+y02)/b^(2)<1;

      ②P(x0,y0)在椭圆外部x02)/a^(2)+y02)/b^(2)>1.

      方法清单

      ·方法1 利用椭圆的定义解题

      ·方法2 待定系数法求椭圆的标准方程

      ·方法3 利用椭圆的几何性质解题

      ·方法4 椭圆中求最值的方法

      ·方法5 椭圆中焦点三角形的解法

      ·方法6 椭圆中离心率的求法

      ·方法7 点差法

      方法1 利用椭圆的定义解题

      当题目中出现一点在椭圆上的条件时,注意使用定义|PF1|+|PF2|=2a.

      方法2 待定系数法求椭圆的标准方程

      求椭圆的标准方程常用待定系数法,要恰当选择方程的形式,如果不能确定焦点的位置,那么有两种方法来解决问题:一是分类讨论,全面考虑问题;二是把椭圆的方程设为mx^(2)+ny^(2)=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值,从而求出标准方程.

      page178
      方法3 利用椭圆的几何性质解题

      利用椭圆的几何性质可以求离心率e=c/a及椭圆的标准方程.

      要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a,b,c表示出来,例如焦点与各顶点所连线段的长,过焦点与长轴垂直的弦长等,这将有利于提高解题能力.

      方法4 椭圆中求最值的方法

      (1)利用函数最值的方法求最值

      利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理.此时应充分注意椭圆中x,y的范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.

      (2)数形结合的方法求最值

      解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义,寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系.

      page179
      方法5 椭圆中焦点三角形的解法

      椭圆上的点与两个焦点F1,F2所构成的三角形,通常称之为焦点三角形,解焦点三角形问题经常使用三角形的边角关系,解题中,通过变形,使之出现|PF1|+|PF2|,这样便于运用椭圆的定义,得到a,c的关系,拓宽解题思路,整体代换求|PF1|·|PF2|是这类问题中的常用技巧.

      方法6 椭圆中离心率的求法

      在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a,b,c的两个方程或由题目得到的图形中找到a,b,c的关系式,从而求离心率或离心率的取值范围.

      方法7 点差法

      若直线l与椭圆C有两个交点A和B,一般地,首先设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立了中点坐标和斜率的关系.

      page180

      2.2 双曲线

      知识清单

      ·知识1 双曲线的定义

      ·知识2 双曲线的标准方程

      ·知识3 双曲线的几何性质

      ·知识4 双曲线的离心率

      ·知识5 几种特殊的双曲线

      ·知识6 双曲线的通径

      ·知识7 关于双曲线的几个重要结论

      知识1 双曲线的定义

      平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(如图所示).①两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点;②|F1F2|=2c叫做双曲线的焦距.

      特别提醒 当|PF1|-|PF2|=2a时,点P的轨迹为近F2的双曲线的一支.

      当|PF1|-|PF2|=-2a时,点P的轨迹为近F1的双曲线的一支.

      注:2c>2a>0.①若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;②若2a>2c,则轨迹不存在;③若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

      知识2 双曲线的标准方程
      定义 ||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<| F1F2|)
      图象
      方程 x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0) y^(2)/a^(2)-x^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0)
      焦点 F1(-c,0),F2((c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
      a,b,c的关系 c^(2)=a^(2)+b^(2

      特别提醒 判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法:看未知数前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一个轴上.

      知识3 双曲线的几何性质
      定义 ||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|)
      图象
      方程 x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0) y^(2)/a^(2)-x^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0)
      范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
      对称性 关于x轴,y轴,原点对称
      顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
      离心率 e=c/a(e>l)
      渐近线 y=±bx/a y±ax/b
      知识4 双曲线的离心率

      (1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比e=c/a,叫做双曲线的离心率.

      (2)e的范围:e>1.

      (3)e的含义:e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.

      当e∈(1,+∞)时,

      b/a∈(0,+∞),且e增大,b/a也增大,渐近线与实轴的夹角也增大.

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      知识5 几种特殊的双曲线
      等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e=两条渐近线互相垂直
      共轭双曲线 双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0)的共轭双曲线方程为y^(2)/b^(2)-x^(2)/a^(2)=1(a>0,b>0),它们有共同的渐近线,其方程为y=±bx/a,它们的离心率e1,e2满足的关系式为1/e12)+1/e22)=1
      共渐近线的双曲线系 与双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程为x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=k(k≠0)
      知识6 双曲线的通径

      过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的通径.通径长为2b^(2)/a.

      知识7 关于双曲线的几个重要结论

      (1)弦长公式(与椭圆弦长公式相同).

      (2)焦点三角形

      已知F1,F2是双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1的两个焦点,P为双曲线上一点(异于顶点),∠F1PF2=α,则△F1PF2的面积为=.

      在解决与焦点三角形有关的问题时,应注意双曲线的定义、焦半径公式以及焦点三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用,还应注意灵活运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题.

      (3)基础三角形

      如图所示,△AOB中,|OA|=a,|AB|=b,|OB|=c,tan∠AOB=b/a.

      (4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.

      (5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线,垂足必在相应的准线上,即过焦点所作的渐近线的垂线,渐近线及相应准线三线共点.

      (6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实半轴为直径的圆外切或内切.

      (7)双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是x0x/a^(2)-y0y/b^(2)=1.

      (8)双曲线划分平面区域

      对于双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0),我们有:

      P(x0,y0)在双曲线内部(与焦点共区域)x02)/a^(2)-y02)/b^(2)>1;

      P(x0,y0)在双曲线外部(与焦点不共区域)x02)/a^(2)-y02)/b^(2)<1.

      方法清单

      ·方法1 定义法求双曲线的标准方程

      ·方法2 待定系数法求双曲线的标准方程

      ·方法3 利用双曲线的性质求解有关问题

      ·方法4 双曲线的综合问题

      方法1 定义法求双曲线的标准方程

      求动点的轨迹方程时,可利用定义先判断动点的轨迹,再写出方程.平面几何中的定理、性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用,一定要注意应用.

      根据双曲线的定义,知到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线,根据双曲线的定义可以求双曲线的标准方程.

      page182
      方法2 待定系数法求双曲线的标准方程

      在求双曲线标准方程时,可先设出其标准方程,再根据双曲线的参数a,b,c,e的取值及相互之间的关系,求出a,b的值.

      已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程时,可利用共渐近线双曲线系方程x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=λ(λ≠0),再由其他条件求λ.

      若焦点不确定,则要注意分类讨论.

      方法3 利用双曲线的性质求解有关问题

      要解决双曲线中有关离心率或离心率范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,构造出离心率e=c/a的关系式,这里应和椭圆中a,b,c的关系进行区分.

      方法4 双曲线的综合问题

      双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系,综合考查数学知识,应用中应注意对知识的综合及分析.

      双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量,如a,b,c,e等,树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助.另外,渐近线是双曲线特有的,双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1的渐近线方程可记为x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=0.同时以x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=0为渐近线的双曲线方程可设为x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=λ(λ≠0).特别地,等轴双曲线方程可设为x^(2)-y^(2)=λ(λ≠0).另外,类似于MF1⊥MF2的垂直关系的证明可以通过k1·k2=-1来证明,也可以通过·=0来证明,证明解析几何问题的方法具有多样性.

      page183

      2.3 抛物线

      知识清单

      ·知识1 抛物线的定义

      ·知识2 抛物线的有关概念

      ·知识3 抛物线的标准方程

      ·知识4 抛物线的性质

      ·知识5 抛物线的焦点弦的性质

      ·知识6 关于抛物线的几个重要结论

      知识1 抛物线的定义

      (1)定义

      平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.抛物线的定义也可以说成是:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹.

      (2)规律总结

      ①在抛物线的定义中,定点F不在直线l上,否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线,而不再是抛物线.

      ②抛物线的定义指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,故在一些问题中,二者可以互相转化,这是利用抛物线定义解题的关键.

      知识2 抛物线的有关概念
      定义 图形
      抛物线的弦、焦点弦 连结拋物线上任意两点的线段,叫做抛物线的弦.
      过抛物线焦点的弦,叫做抛物线的焦点弦
      抛物线的通径和焦参数 过焦点且垂直于拋物线的弦叫做抛物线的通径,通径长度的一半叫做抛物线的焦参数
      焦半径 抛物线上一点P和焦点的连线,叫做点P的焦点半径或焦半径
      抛物线的焦准距 抛物线的焦点和它的准线间的距离,叫做焦准距.
      依据定义,显然有KO=OF,KF=1/2HH′,即焦准距等于通径长的一半.焦准距用常数p表示
      知识3 抛物线的标准方程
      标准方程 y^(2)=2px(p>0) y=-2px(p>0) x^(2)=2py(p>0) x^(2)=-2py(p>0)
      图形
      焦点 F(p/2,0) F(-p/2,0) F(0,p/2) F(0,-p/2)
      准线 x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2

      ①抛物线的标准方程是指抛物线在标准状态下的方程,即顶点在原点,焦点在坐标轴上.

      ②抛物线的标准方程中的系数p叫做焦参数,它的几何意义是:焦点到准线的距离.焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为p/2.

      ③抛物线的标准方程有四种类型,所以判断其类型是解题的关键.在方程的类型已确定的前提下,因为标准方程只有一个参数p,所以只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程.

      ④对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,得出其异同点.

      共同点:

      a.原点在抛物线上;

      b.焦点都在坐标轴上;

      c.准线与焦点所在轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4,即2p/4=p/2

      不同点:

      a.焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y^(2);焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x^(2);

      b.开口方向与x轴(或y轴)的正半轴›¸同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方

      page184
      向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.

      知识4 抛物线的性质
      标准方程 y^(2)=2px(p>0) y=-2px(p>0) x^(2)=2py(p>0) x^(2)=-2py(p>0)
      图形
      顶点 O(0,0)
      对称轴 x轴 y轴
      焦点 F(p/2,0) F(-p/2,0) F(0,p/2) F(0,-p/2)
      准线 x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2
      范围 抛物线在y轴右侧,当x增大时,|y|也增大 抛物线在y轴左侧,当x减小时,|y|增大 抛物线在x轴上方,当y增大时,|x|也增大 抛物线在x轴下方,当y减小时,|x|增大
      离心率 e=1
      焦准距 p
      通径长 2p
      焦参数 p
      M(x0,y0)的焦半径 r=|MF|=x0+p/2 r=|MF|=p/2-x0 r=|MF|=y0+p/2 r=|MF|=p/2-y0
      知识5 抛物线的焦点弦的性质

      如图,AB为抛物线y^(2)=2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),焦点F(p/2,0),准线l:x=-p/2,AC⊥l,BD⊥l,且M,N分别为AB,CD的中点,则

      (1)y1y2=-p^(2),x1x2=p^(2)/4;

      (2)∠CFD=90°,NF⊥AB,AN⊥BN;

      (3)|AB|=x1+x2+p=|y1-y2|^(2)/2p=2p/sin^(2)θ(θ为AB的倾斜角);

      (4)直角梯形ABDC的对角线交于原点0,且SAOB=SCOD=p/4|y1-y2|=

      (5)MN被抛物线平分,即R为MN的中点;

      (6)|RF|=1/2|MN|=1/4|AB|;

      (7)1/|AF|+1/|BF|=2/p(定值);

      (8)以AB为直径的圆必与准线相切.

      知识6 关于抛物线的几个重要结论

      (1)弦长公式同椭圆.

      (2)对于抛物线y^(2)=2px(p>0),我们有P(x0,y0)在抛物线内部y02)<2px0;P(x0,y0)在抛物线外部y02)>2px0.

      (3)抛物线y^(2)=2px上的点P(x1,y1)的切线方程是y1y=p(x+x1),法线方程是y1x+py=py1+x1y1.

      抛物线y^(2)=2px的斜率为k的切线方程是y=kx+p/2k(k≠0).

      (4)抛物线y^(2)=2px外一点P(x0,y0)的切点弦方程是y0y=p(x+x0).

      (5)过抛物线y^(2)=2px上两点P1(x1,y1),P2(x2,y:)的两条切线交于点M(x0,y0),则

      方法清单

      ·方法1 定义法求抛物线的标准方程

      ·方法2 待定系数法求抛物线的标准方程

      ·方法3 利用抛物线的几何性质解题的方法

      ·方法4 抛物线中定点问题的解决方法

      ·方法5 利用焦点弦求值

      ·方法6 抛物线中的几何证明方法

      方法1 定义法求抛物线的标准方程

      定义法求曲线方程是经常用的一种方法,关键是理解定义的实质及注意条件,将所给条件转化为定义的条件,当然还应注意特殊情况.

      page185
      方法2 待定系数法求抛物线的标准方程

      求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法,为避免开口不确定,可以设抛物线方程为y^(2)=mx或x^(2)=ny(m,n≠0),若m、n>0,开口向右或向上;m、n<0,开口向左或向下.

      方法3 利用抛物线的几何性质解题的方法

      根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质:抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离.

      利用抛物线的几何性质,可以进行求值、判断及证明.

      方法4 抛物线中定点问题的解决方法

      圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点,解决这类题目的基本思想是明确的,就是通过变化的量(参数)去寻求不变的量.

      page186
      方法5 利用焦点弦求值

      利用抛物线及焦半径的定义,结合焦点弦的表示,进行有关的计算或求值.

      抛物线y^(2)=2px(p>0)上一点A(x0,y0)到焦点F(p/2,0)的距离为|AF|=x0+p/2,这就是抛物线的焦半径公式,焦点弦长为|ABI=x1+x2+p.

      方法6 抛物线中的几何证明方法

      利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型,证明时注意利用好图形,并做好转化代换.

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      2.4 直线与圆锥曲线的位置关系

      知识清单

      ·知识1 直线与圆锥曲线的位置关系

      ·知识2 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

      知识1 直线与圆锥曲线的位置关系

      (1)从几何角度来看,直线和圆锥曲线有三种位置关系:相离、相切和相交.相离是直线和圆锥曲线没有公共点,相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点,相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点,并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时,并不一定是相切,如直线与双曲线的渐近线平行时,与双曲线有唯一公共点,但这时直线与双曲线相交;直线平行(重合)于抛物线的对称轴时,与抛物线有唯一公共点,但这时直线与抛物线相交,故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切,也可能是相交,直线与这两种曲线相交,可能有两个交点,也可能有一个交点,从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系,但由位置关系可以确定公共点的个数.

      (2)从代数角度来看,可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系.

      设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax^(2)+bx+c=0.

      ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行或重合.

      ②若a≠0,设Δ=b^(2)-4ac.

      a.Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交.

      b.Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切.

      c.Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离.

      知识2 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

      若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:

      (1)求交点法

      把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间的距离公式,便得到弦AB的长,当交点容易求时用这种方法.一般来说,这种方法较为麻烦.

      (2)根与系数的关系的方法

      不求交点坐标,可用根与系数的关系求解.

      若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示.

      ①当直线l的方程为y=kx+m时,设点A(x1,y1),B(x2,y2).

      把y=kx+m代入F(x,y)=0中,整理,得

      ax^(2)+bx+c=0,则

      x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.

      设b^(2)-4ac=Δ,则

      ②当直线l的方程为x=n时,设点A(x1,y1),B(x2,y2).

      把x=n代入F(x,y)=0中,整理,得

      ay^(2)+by+c=0,

      则y1+y2=-b/a,y1y2=c/a.

      于是|AB|=|y1-y2|

      特别提醒 (1)当直线的斜率存在时,弦长l=|x1-x2|=,当k存在且非零时,l=|y1-y2|,其中A(x1,y1),B(x2,y2)是交点坐标,经常用设而不求的方法,借助根与系数的关系整体代入.

      (2)别忘了讨论斜率不存在的情况.

      (3)对于抛物线的焦点弦长利用定义则更简单.y^(2)=2px(p>0)的焦点弦长公式为|AB|=x1+x2+p=2p/sin^(2)α,其中α为过焦点的直线的倾斜角,抛物线y^(2)=2px(p>0)的通径长为2p.

      page188

      方法清单

      ·方法1 直线与椭圆的位置关系

      ·方法2 直线与双曲线的位置关系

      ·方法3 直线与抛物线的位置关系

      方法1 直线与椭圆的位置关系

      (1)判断直线与椭圆位置关系的步骤:

      第一步,联立直线方程与椭圆方程;

      第二步,消元得出关于x(或y)的一元二次方程;

      第三步,当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离.

      (2)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:

      涉及问题 处理方法
      弦长 根与系数的关系、弦长公式
      中点弦或弦的中点 点差法
      方法2 直线与双曲线的位置关系

      (1)研究直线与双曲线的位置关系时,一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组

      Ax+By+c=0,
      b^(2)x^(2)-a^(2)y^(2)=a^(2)b^(2)(a>0,b>0).

      对解的个数进行讨论,当消去一个未知数y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程时,当二次项系数不为0时,

      有两组不同实数解(Δ>0)时,直线与双曲线相交;

      有两组相同实数解(Δ=0)时,直线与双曲线相切;

      无实数解(Δ<0)时,直线与双曲线相离.

      (2)直线与双曲线相交,图形位置关系表示如下:

      如图,θ=α时,直线l只与双曲线的一支相交,交点只有一个;

      如图,θ>α时,直线l与双曲线的一支相交,交点有两个;

      如图,θ<α时,直线l与双曲线两支都相交,交点有两个.

      在解决直线与双曲线的综合问题时,仍要充分利用中点坐标公式、根与系数的关系、求根公式、弦长公式等.

      page189
      方法3 直线与抛物线的位置关系

      (1)通过直线与抛物线的交点个数判断直线与抛物线的位置关系.

      ①直线与抛物线有两个公共点直线与抛物线相交;

      ②直线与抛物线有一个公共点直线与抛物线相切(直线与抛物线的对称轴相交)或相交(直线与抛物线的对称轴平行或重合);

      ③直线与抛物线没有公共点直线与抛物线相离.

      (2)与弦中点有关的问题.

      ①设抛物线y^(2)=2px(p>0)的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为C(x0,y0),

      则有y12)=2px1,y22)=2px2.两式相减,得

      y12)-y22)=2p(x1-x2),即=.

      将y1+y2=2y0代入上式并整理,得kAB=p/y0.

      ②有关弦的中点问题常设出弦的中点和端点坐标,根据端点在曲线和直线上,结合中点坐标公式,寻找中点坐标与弦的斜率之间的关系.

      page190

      2.5 曲线与方程

      知识清单

      ·知识1 曲线的方程和方程的曲线

      ·知识2 曲线的交点与方程组的关系

      ·知识3 求曲线的轨迹方程的基本步骤

      ·知识4 求轨迹时,建立坐标系的注意事项

      ·知识5 轨迹问题

      知识1 曲线的方程和方程的曲线

      坐标系建立以后,平面上的点M与实数对(x,y)建立了一一对应关系.点的运动形成曲线C.与之对应的实数对(x,y)的约束关系,就形成方程f(x,y)=0,即

      一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:

      (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;

      (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

      那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.

      特别提醒 曲线上点的坐标都是这个方程的解,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说,曲线上所有点的坐标都符合这个方程而毫无例外(纯粹性).

      以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,阐明符合条件的所有的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性).

      如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.

      只有满足了上面两个条件,才能称方程f(x,y)=0是曲线C的方程和曲线C是方程f(x,y)=0的曲线.

      知识2 曲线的交点与方程组的关系

      两条曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程组成的方程组有实数解,方程组解的组数就是两曲线交点的个数,两曲线若无交点,则方程组也必无解.

      点P0(x0,y0)既在曲线C1:f(x,y)=0上又在曲线C2:g(x,y)=0上的充要条件是点P0的坐标是方程组f(x,y)=0,g(x,y)=0的解.

      特别提醒 (1)求两条曲线的交点坐标,只需解两条曲线的方程组成的方程组.

      (2)和两条曲线的交点有关的几何量的计算,也可以通过解方程组解决.

      (3)要想得知两曲线有无交点,或有几个交点,只需判断方程组有无实数解,或有几个实数解.

      (4)如果两曲线的位置是由交点个数决定的,那么位置关系可由方程组的实数解的情况来决定.

      知识3 求曲线的轨迹方程的基本步骤

      在求曲线的轨迹方程时,要历经审题、寻找和确定求解途径、分清解答步骤、逐步推演、综合陈述、完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节,其基本步骤:

      (1)建系设点

      建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;

      (2)列式

      写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)},关键是根据条件列出适合的等式;

      (3)代换

      用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;

      (4)化简

      把方程f(x,y)=0化成最简形式;

      (5)查漏除杂

      验证方程表示的曲线是否为已知的曲线,重点检查方程表示的曲线是否有多余的点,曲线上是否有遗漏的点.

      特别提醒 除个别情况外,化简过程都是同解变形过程,步骤(5)可省略不写,如有特殊情况,应予以说明.有时,也可根据实际情况,省略步骤(2),直接列出曲线方程.

      上述求曲线方程的方法,其实就是列方程解几何题,称之为直译法,也可以称为五步法,其实质就是几何条件代数化(坐标化).

      知识4 求轨迹时,建立坐标系的注意事项

      求轨迹时,如果题设条件中未给出坐标,要建立适当的坐标系,选择适当坐标系的原则是避繁就简,一般地,

      (1)若条件中只出现一个定点,常以该点为坐标原点;

      (2)若已知两定点,常以这两定点的中点为原点,

      page191
      以两定点所在的直线为坐标轴;

      (3)若已知两条互相垂直的直线,常以它们为坐标轴建立直角坐标系;

      (4)若已知一定点和一定直线,常以定点到定直线的垂线段的中点为原点,以点到直线的垂线为x轴建立直角坐标系;

      (5)若已知定角,常以定角的顶点为原点,定角的角平分线为x轴建立直角坐标系.

      特别提醒 坐标系建立的不同,同一曲线在不同坐标系中的方程也不同,但它们始终表示同一曲线.

      知识5 轨迹问题

      求曲线方程有两类基本题型:一类是曲线形状明确且便于使用标准形式,此时用待定系数法求其方程;另一类是曲线形状不明确,或不便用标准形式表示,这时常采用直译法、定义法、轨迹代入法、参数法、交轨法等求之.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解,这时要加强等价转化思想的训练.

      特别提醒 求曲线的方程与求轨迹是有不同要求的,求轨迹不仅要求出方程,而且还需说明所求轨迹是什么样的图形、在何处,即图形的形状、位置、大小都需说明.求轨迹时,首先要求出轨迹方程,然后再说明方程的轨迹图形,最后补漏和去掉多余的点,若轨迹有不同的情况,应分类讨论,以保证它的完整性.

      方法清单

      ·方法1 用直译法求轨迹方程

      ·方法2 用定义法求轨迹方程

      ·方法3 代入法(相关点法)

      ·方法4 交轨法

      ·方法5 参数法

      ·方法6 代换法

      方法1 用直译法求轨迹方程

      直接将动点满足的几何等量关系翻译成动点坐标所满足的关系式,得方程f(x,y)=0,即为所求动点的轨迹方程,用直译法求解问题,列式容易,但在对等式进行等价变形与化简过程中,应特别留心是否需要讨论.

      方法2 用定义法求轨迹方程

      若动点运动的几何条件恰好与某圆锥曲线的定义吻合,可直接根据定义建立动点的轨迹方程.用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式,再用待定系数法求之.

      page192
      方法3 代入法(相关点法)

      若所求轨迹上的动点P(x,y)与另一个已知曲线C:F(x,y)=0上的动点Q(x1,y1)存在着某种联系,可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来,然后代入已知曲线C的方程F(x,y)=0,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).

      方法4 交轨法

      在求动点的轨迹方程时,有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程,该法经常与参数法并用.

      page193
      方法5 参数法

      如果动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到,可先考虑将x,y用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.

      注意参数的取值范围对方程中的x和y的范围的影响.

      方法6 代换法

      求弦中点的轨迹方程,常常运用设而不求的技巧,通过中点坐标及斜率的代换,达到求出轨迹方程的目的,这种求轨迹方程的方法叫代换法,也可称之为点差法或设而不求法等.

      2.6 圆锥曲线中的综合问题

      知识清单

      ·知识1 中点弦问题

      ·知识2 对称问题

      ·知识3 定点、定值问题

      知识1 中点弦问题

      (1)直线与圆锥曲线的中点弦问题包括以下几种类型

      ①已知圆锥曲线内一点P,求过定点P且以P为中点的弦的直线方程;②利用已知条件求弦的中点;③线段的垂直平分线;④对称问题.

      (2)常用解题方法

      ①根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.它有一个固定的模式,即设交点坐标M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线方程和曲线方程,消元得出一个一元方程(必要时对二次项的系数加以讨论),得出x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)及Δ>0,然后再根据题设条件求解.

      ②点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B,一般地,首先设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立了中点坐标和斜率的关系.

      设弦AB的中点坐标为P(x0,y0),对于椭圆x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2

      page194
      =1,有kAB=-

      对于双曲线x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1,有kAB=

      对于抛物线y^(2)=2px,有kAB=p/y0.

      若知道中点,则利用点差法可得出过中点弦的直线的斜率.用点差法计算量较少,此法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题非常有效,但此法有一个弊端,它不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用判别式加以检验.

      (3)对于中点弦问题,常用的解题方法是平方差法,其解题步骤:

      ①设点:即设出弦的两端点坐标;

      ②代入:即代入圆锥曲线方程;

      ③作差:即两式相减,再用平方差公式把上式展开;

      ④整理:即转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解.

      知识2 对称问题

      对称分为中心对称和轴对称.

      (1)中心对称

      点(曲线)关于点的对称点(曲线)问题.

      (2)轴对称

      点(曲线)关于直线的对称点(曲线)问题.

      中心对称问题的解决方法:利用中点坐标公式求之.

      解决轴对称问题需利用两个条件:①垂直,即已知点和对称点的连线与对称轴垂直.②中点,即已知点和对称点的中点在对称轴上.

      圆锥曲线中的对称问题综合性较强,在求解时,应抓住斜率互为负倒数与中点两个关键点.一般有两种处理方式:第一种利用点差法,求得弦中点坐标,利用中点与圆锥曲线的位置关系求解参数的取值范围;第二种根据对称轴方程写出弦所在直线方程,联立曲线方程消元,利用判别式大于0及弦中点是两直线的交点求参数取值范围.若曲线为双曲线、抛物线,则第一种方法利用弦中点与曲线位置关系来求参数取值范围不易求解,因此第二种方法是处理这类问题的通法.

      page195
      知识3 定点、定值问题

      (1)定点、定值问题

      定点、定值问题的解法同证明题类似,在求定点、定值之前,已经知道结果(题中未告知,可用特值探路求之),解答这类问题要大胆设参,运算推理到最后参数必消,定值显露.

      (2)这类问题有两种处理方法

      ①从特殊入手,求出定点(定值),再证明这个点(值)与变量无关;②直线推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值),将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式,证明该式是恒定的.

      page196

      方法清单

      ·方法1 求圆锥曲线上的点到已知直线距离的方法

      ·方法2 求与圆锥曲线有关的最值的方法

      ·方法3 存在性问题的解法

      方法1 求圆锥曲线上的点到已知直线距离的方法

      圆锥曲线上的点到已知直线的距离问题,一般转化为与已知直线平行的切线问题来解决.

      方法2 求与圆锥曲线有关的最值的方法

      与圆锥曲线有关的最值问题,大都是综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何等多方面知识,现把这类问题的求解策略与方法介绍如下:

      (1)平面几何法

      平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.

      (2)目标函数法

      建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数,然后运用求函数最值的方法确定最值.

      (3)判别式法.

      (4)圆锥曲线定义的应用

      ①常用于:a.求轨迹问题;b.求曲线上某些特殊的点的坐标;c.求过焦点的弦长、焦半径.

      ②要注意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验,以便提高灵活应用定义解题的能力.

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      方法3 存在性问题的解法

      存在性问题通常采用肯定顺推法,将不确定性问题明朗化.其步骤:假设满足条件的值存在,根据已知条件列出方程或解析式,若求出,则存在,求不出则不存在.

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      方法拓展 活用平面几何知识解解析几何问题:

      解决解析几何问题时,往往需要求解含多个参数的方程组成的方程组,运算较为复杂,这对于运算能力稍差的同学,很难准确、迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质,并利用相关性质来解决问题,常常可以峰回路转,达到巧妙解题的效果.

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       第3章 空间向量与立体几何

      第3章 空间向量与立体几何

      3.1 空间向量及其运算

      知识清单

      ·知识1 空间向量及其加减法与数乘运算

      ·知识2 共线向量和共面向量

      ·知识3 空间向量的基本定理

      ·知识4 空间向量的数量积

      ·知识5 空间直角坐标系

      ·知识6 空间向量的坐标运算

      ·知识7 空间中的夹角和距离公式

      知识1 空间向量及其加减法与数乘运算

      (1)空间向量的有关概念

      ①空间向量及其表示:

      与平面向量一样,在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.

      与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||.

      ②特殊向量:

      长度为0的向量叫做零向量,记为0.

      模为1的向量称为单位向量.

      方向相同且模相等的向量称为相等向量.

      与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a.

      (2)空间向量的加减运算

      空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.已知空间向量a,b,我们可以把它们移到同一个平面内,以任意点O为起点,作向量=a,=b.类似于平面向量,定义空间向量的加法和减法运算(如图):

      ==a+b,

      ==a-b.

      空间向量的加法运算满足交换律及结合律:

      交换律:a+b=b+a.

      结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

      知识拓展 向量加法的几个重要结论:

      ①和向量的模满足:

      ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

      当a,b同向时,右等号成立,当a,b反向时,左等号成立,当a,b中有零向量时,两等号均成立.当a,b不共线时,上式的几何意义是三角形任意一边小于另两边之和,大于另两边之差.

      ②几个向量相加,可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.

      =.

      ③首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形,则它们的和为0.

      (3)空间向量的数乘运算

      ①空间向量的数乘:

      与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.如图,当λ>0时,λa与向量a方向相同;当λ<0时,λa与向量a方向相反;λa的长度是a的长度的|λ|倍.

      ②空间向量的数乘运算满足分配律及结合律:

      分配律:λ(a+b)=λa+λb.

      结合律:λ(μa)=(λμ)a.

      特别提醒 空间向量的定义以及加法、减法、数乘、数量积等运算及其运算定律与平面向量一样.学习时可类比平面向量.

      知识2 共线向量和共面向量

      (1)共线向量

      ①定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么称这些向量为共线向量或平行向量.a平行于b,记作a∥b.

      ②共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.

      ③推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式

      =+ta.①

      其中向量a叫做直线l的方向向量(如图).

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      在l上取=a,则①式可化为

      =+t

      =(1-t)+t.②

      当t=1/2时,点P是线段AB的中点,则

      =1/2().③

      ①②式都叫做空间直线的向量关系式,③式是线段AB的中点公式.

      (2)共面向量

      ①定义:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

      ②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.

      ③推论1:如图,空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使=x+y,(*)

      或对空间任一定点O,有=+x+y.

      在平面MAB内,点P对应的实数对(x,y)是唯一的.(*)式叫做平面MAB的向量关系式.

      推论2:空间中的一点P与不共线的三点A,B,C共面的充要条件是存在唯一的有序实数组{x,y,z},使=x+y+z,且x+y+z=1(其中O为空间任一点).

      ④如果三个不共面的向量a,b,c满足等式k1a+k2b+k3c=0,那么k1=k2=k3=0.这是共面向量定理的延伸.

      知识3 空间向量的基本定理

      (1)空间向量的基本定理

      如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使p=xa+yb+zc.

      其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c为基向量.

      (2)推论

      设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使=x+y+z.

      知识4 空间向量的数量积

      (1)空间向量的夹角

      ①夹角的定义:

      已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>.

      ②夹角的范围:

      空间任意两个向量的夹角的取值范围是0≤<a,b>≤π.特别地,当<a,b>=0时,两向量同向共线;当<a,b>=π时,两向量反向共线.所以,若a∥b,则<a,b>=0或<a,b>=π;当<a,b>=π/2时,两向量垂直,记作a⊥b.

      特别提醒 防止将<a,b>与表示点的符号(a,b)混淆;

      防止混淆图中的两个向量的夹角:

      图(a)中,∠AOB=<>,

      图(b)中,∠AOB=π-<>.

      (2)向量的数量积

      已知空间两个非零向量a,b,则|a|·|b|·cos<a,b>叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即

      a·b=|a|·|b|·cos<a,b>.

      (3)向量数量积的性质

      ①由a·a=|a|^(2)可得向量自身的数量积就是模的平方.

      ②a·b=0的充要条件是a⊥b(a,b为非零向量).

      ③两个非零向量a,b的夹角可由a,b的数量积表示:cos<a,b>=.

      ④对任意向量a,b,总有|a·b|≤|a|·|b|,并且只有当a∥b时,等号成立.

      (4)两个向量的数量积的运算律

      数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b);

      交换律:a·b=b·a;

      分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.

      特别提醒 ①a,b,c(b≠0)为实数,则ab=bca=c,但对于向量就不正确,即a·b=b·ca=c.

      ②数量积运算不满足乘法结合律.数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.

      ③空间向量没有除法运算.对于三个不为零的实数a,b,c,若ab=c,则a=c/b或b=c/a,但对于向量a·b=c,却没有a=c/b或b=c/a.

      (5)向量数量积的几何意义

      两个向量数量积的绝对值等于一个向量的模与另

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      一个向量在此向量上的正投影向量的模之乘积.

      当两个向量的夹角为锐角时,数量积为正;当两个向量的夹角为钝角时,数量积为负.

      知识5 空间直角坐标系

      (1)单位正交基底

      若空间一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为1,则这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.

      (2)空间直角坐标系的建立

      在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}(如图所示).以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立x轴,y轴,z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫做原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.

      (3)空间直角坐标系的画法

      作空间直角坐标系O-xyz,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.

      (4)向量的坐标表示

      给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i,j,k为坐标向量,由空间向量基本定理知,存在唯一的有序实数组{a1,a2,a3},使a=a1i+a2j+a3k,

      有序实数组{a1,a2,a3}叫做向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,即a=(a1,a2,a3).设A是空间任一点,=xi+yj+zk,则(x,y,z)称为点A的坐标.

      知识6 空间向量的坐标运算

      (1)空间向量的坐标

      一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

      =

      =(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1

      =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

      (2)空间向量的坐标运算

      设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则

      ①a的模为|a|=.

      ②两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和,即

      a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).

      ③两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差,即

      a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2).

      ④数乘向量,所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标,即λa=(λx1,λy1,λz1).

      ⑤两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2+z1 z2.

      (3)空间向量平行(共线)的充要条件

      设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则

      a∥bx1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).

      (4)空间向量垂直的充要条件

      设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则

      a⊥ba·b=0x1x2+y1y2+z1 z2=0.

      知识7 空间中的夹角和距离公式

      (1)夹角公式

      (2)距离公式

      其中dAB表示A,B两点之间的距离,这就是空间两点间的距离公式.

      特别提醒 ①夹角公式是根据数量积的定义a·b=|a|·|b|·cosθ推出的.注意其范围是0°≤θ≤180°,明确θ=0°,90°,180°时两向量的位置关系分别是共线同向,垂直,共线反向.

      ②两点间的距离公式其形式与平面向量的长度公式一致,它的几何意义表示长方体的对角线的长度.

      ③两点间的距离公式与坐标原点的选取无关,dAB表示的是A,B两点间的距离,经过适当转化也可以求异面直线间的距离,点到面以及平面与平面的距离等.

      ④设M是AB的中点,且M(x,y,z),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则由=1/2(),可知

      ⑤若三角形ABC的顶点坐标分别为(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),则其重心坐标(x,y,z)可表示为x=,y=,z=.

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      方法清单

      ·方法1 利用空间向量的概念与运算解题

      ·方法2 基底在向量中的应用

      ·方法3 应用空间向量的数量积解题

      ·方法4 空间向量的坐标运算

      ·方法5 用空间向量证明立体几何定理

      方法1 利用空间向量的概念与运算解题

      在空间中,向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样,注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念.

      方法2 基底在向量中的应用

      (1)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.

      (2)在空间中选择基底主要有以下几个特点:①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.

      (3)用基底表示向量,就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解.

      方法3 应用空间向量的数量积解题

      利用空间向量数量积的性质:(1)可用来求角;(2)可证明线线垂直;(3)可用来求线段的长.

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      方法4 空间向量的坐标运算

      用向量解决立体几何问题,坐标的求解非常关键,求点的坐标的方法有:(1)向坐标平面或坐标轴作垂线,利用坐标的意义求坐标;(2)设出坐标,通过解方程求坐标.

      方法5 用空间向量证明立体几何定理

      对于立体几何中的定理可以用空间向量的方法进行证明.

      3.2 立体几何中的向量方法

      知识清单

      ·知识1 平面的法向量

      ·知识2 求平面法向量的方法与步骤

      ·知识3 用向量方法判定空间中的平行关系

      ·知识4 用向量方法判定空间中的垂直关系

      知识1 平面的法向量

      已知平面α(如图),直线l⊥α,取l的方向向量a,有a⊥α,则称a为平面α的法向量.

      已知一平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量.一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可适当取平面的一个法向量.

      一般地,由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量,可归纳出如下结论:

      设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则

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      l∥ma∥ba=kb,k∈R;

      l⊥ma⊥ba·b=0;

      l∥αa⊥ua·u=0;

      l⊥αa∥ua=ku,k∈R;

      α∥βu∥vu=kv,k∈R;

      α⊥βu⊥vu·v=0.

      知识2 求平面法向量的方法与步骤

      特别提醒 一般情况下,求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度,仅规定方向,所以有一个自由度,可把n的某个坐标设为1,再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解.

      知识3 用向量方法判定空间中的平行关系

      空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行.

      (1)线线平行

      设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证明a∥b,即a=kb(k∈R).

      (2)线面平行

      ①设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0.

      ②根据线面平行的判定定理:如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.

      ③根据共面向量®š理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.

      (3)面面平行

      ①由面面平行的判定定理知,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.

      ②若能求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v.

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      特别提醒 证法一是建立坐标系,通过坐标运算证明结论,证法二和证法三没有建系,直接通过向量的分解及运算进行证明,在证法二和证法三中也可通过建立坐标系,利用坐标运算来证明.

      知识4 用向量方法判定空间中的垂直关系

      空间中的垂直关系主要是指:线线垂直、线面垂直、面面垂直.

      (1)线线垂直

      设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,则要证明l1⊥l2,只需证明a⊥b,即a·b=0.

      (2)线面垂直

      ①设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证l⊥α,只需证明a∥u.

      ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.

      (3)面面垂直

      ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.

      ②证明两个平面的法向量互相垂直.

      特别提醒 欲证a⊥b,只要把a、b用相同的几个向量表示,然后利用向量的数量积证明a·b=0即可,这是用向量证明线线垂直的基本方法.

      方法清单

      ·方法1 利用向量求空间角

      ·方法2 利用向量求空间距离

      方法1 利用向量求空间角

      (1)求异面直线所成的角

      已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点(如图),a,b所成的角为θ,则

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      特别提醒 ①求异面直线所成的角常用平移法或向量法,特别是向量法,由于降低了空间想象的要求,所以需引起我们的重视.用向量法时,需注意两异面直线夹角的范围是(0,π/2].

      ②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.

      (2)求直线和平面所成的角

      设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有

      sinθ=|cosφ|=或cosθ=sinφ.

      此外可由定义得到直线与平面所成的角θ,如图,θ=∠POA=<>.

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      特别提醒 求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法,也可选择空间向量的向量法.①求直线和平面所成角的步骤:作出斜线与其射影所成的角;证明所作的角就是要求的角;常在直角三角形(垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)中解出所求角的大小.

      ②在用向量法求直线OP与平面α所成的角时,一般有两种途径:一是直接求<>,其中OP′为斜线OP在平面α内的射影;二是通过求<n,>进而转化求解,其中n为平面α的法向量.

      (3)求二面角

      如图,若PA⊥α于点A,PB⊥β于点B,平面PAB交l于点E,则∠AEB为二面角α-l-β的平面角,∠AEB+∠APB=180°.若n1,n2分别为面α,β的法向量,∠AEB=<n1,n2>或π-<n1,n2>,即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角),

      于是cosθ=.

      ①当法向量n1与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角θ的大小等于法向量n1,n2的夹角<n1,n2>的大小.

      ②当法向量n1,n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角θ的大小等于法向量n1,n2的夹角的补角π-<n1,n2>的大小.

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      特别提醒 求二面角,大致有两种基本方法:

      传统立体几何的综合推理法:利用定义作出二面角的平面角放在三角形中去求,求二面角的大小关键是作出二面角的平面角,作二面角的平面角的方法:

      作法一(定义法):在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

      如图(1),∠AOB为二面角α-a-β的平面角.

      作法二(垂直法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.

      如图(2),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

      作法三(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.

      如图(3),∠ABO为二面角α-l-β的平面角.

      空间向量的坐标法:建系并确定点及向量的坐标,分别求出两个平面的法向量,通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.

      方法2 利用向量求空间距离

      空间中的距离有:点与点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线与线的距离、线与面的距离、面与面的距离.

      (1)点面距离的求法

      如图,BO⊥平面α,垂足为O,则点B到平面α的距离就是线段BO的长度.

      若AB是平面α的任一条斜线段,则在Rt△BOA中,=||·cos∠ABO=

      如果令平面α的法向量为n,考虑到法向量的方向,可以得到B点到平面α的距离为||=.

      因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:

      ①求出该平面的一个法向量;

      ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;

      ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.

      线面距、面面距均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解.

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      特别提醒 求异面直线的距离常用的方法:

      ①定义法:即作出或找出公垂线段,再求其长.

      ②转化法:即设a,b是异面直线,在b上取一点M,过点M作直线c∥a,则b与c可确定平面α;再过a上一点N,作直线d∥b,则a与d可确定平面β,于是线线

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      距离(a与b)线面距离(a与α)面面距离(α与β)点面距离(M与β).

      ③等积法:在转化为点与面的距离后,还可利用等积法来求解.

      ④向量法:利用向量法来求异面直线距离的常用方法有两种,其一是建立直角坐标系;其二是直接利用向量的运算来求解,它们都需要求出异面直线的公垂线的方向向量,再在两异面直线上分别取点P,Q,然后求在方向向量上的投影即可.

      ⑤函数法:在两异面直线上分别取点P,Q,建立||的函数关系,再求其最小值即可.

      (3)线面距离的求法

      当直线与平面平行时,才能求线面距离,一般有两种方法:一是转化为点到面的距离,二是利用空间向量求解.

      求线面距离:如图所示,直线a∥平面α.因直线a上任一点到平面α的距离相等,故直线a到平面α的距离d=,其中点A为直线a上任一点,B为平面α内任一点,n为平面α的法向量.

      特ˆ«提醒 ①利用|AB|=||=可以求解有关距离问题;

      设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

      求线段的长度:

      |AB|=||

      =.

      ②设e是直线l的一个单位方向向量,线段AB在l上的投影是A′B′,则有|A′B′|=|·e|,由此可求点到线、点到面的距离问题.

      方法拓展 用空间向量解决立体几何问题的思考过程:

      一般可按以下过程进行思考:

      (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量?

      (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示?

      (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系?

      (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需要的结论?

      page211
       选修2-2

      选修2-2

      第1章 导数及其应用

      1.1 导数

      知识清单

      ·知识1 平均变化率

      ·知识2 瞬时速度

      ·知识3 导数

      ·知识4 导函数

      ·知识5 曲线的切线

      ·知识6 导数的几何意义

      知识1 平均变化率

      一般地,对于函数y=f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式子表示,我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用表示,即平均变化率为

      ==

      上式中Δx,Δy的值可正可负,但Δx不为0.y=f(x)为常数函数时,Δy=0.

      知识2 瞬时速度

      如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度υ就是物体在t到t+Δt这段时间内,当Δt→0时平均速度的极限.

      特别提醒 ①瞬时速度实质是平均速度当Δt→0时的极限值.

      ②瞬时速度的计算必须先求出平均速度υ=,再对平均速度取极限.

      知识3 导数

      一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

      我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|xx0

      特别提醒 ①当Δx→0时,比值的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.

      ②自变量的增量Δx=x-x0可以为正,也可以为负,但Δx≠0.而函数的增量Δy可正可负,也可以为0.

      ③在点x=x0处的导数的定义可变形为

      知识4 导函数

      如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点x都可导,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f′(x).于是,在区间(a,b)内,f′(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为y=f(x)的导函数,记作f′(x)或y′.即f′(x)=y′=.

      特别提醒 ①导数的定义可变形为

      ②可导的偶函数其导函数是奇函数,而可导的奇函数其导函数是偶函数.

      ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数.

      ④并不是所有函数都有导函数.

      ⑤导函数f′(x)与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数f′(x)在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值.

      ⑥区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量,左端点无减量).

      知识5 曲线的切线

      (1)曲线y=f(x)在一点P(x0,y0)的切线的概念

      一般地,过曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0))作曲线的割线PQ,当Q点沿着曲线无限趋近于P时,若割线PQ趋近于某一确定的位置,则称这一确定位置的直线为曲线y=f(x)在点P处的切线,如图.

      page212

      (2)求曲线的切线

      若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))及其附近有意义,给横坐标x0一个增量Δx,相应的纵坐标也有一个增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),对应的点Q(x0+Δx,y0+Δy),则PQ为曲线y=f(x)的割线.当Δx→0时,Q→P.如果割线PQ趋近于一确定的直线(即极限位置),那么这条确定的直线即为曲线的切线.当然,此时割线PQ的斜率就趋近于切线的斜率,即切线的斜率为k==.切线的方程为y-y0=k(x-x0).

      知识6 导数的几何意义

      (1)函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义:曲线y=f(x)上过点x0的切线的斜率.

      (2)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线的区别与联系:

      ①曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线;

      ②曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

      特别提醒 (1)利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0);利用直线方程的点斜式写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).

      (2)若函数在x=x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线.但若函数在x=x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线.如函数y=在x=0处不可导,但其函数图象在x=0处的切线是y轴.即若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.

      (3)显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角;f′(x0)=0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.

      方法清单

      ·方法1 利用导数的定义解题

      ·方法2 导数几何意义的应用

      方法1 利用导数的定义解题

      求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤:

      (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

      (2)求平均变化率=

      (3)取极限得导数f′(x0)=.

      方法2 导数几何意义的应用

      函数在一点处的导数是函数图象上该点处切线的斜率,利用这一几何意义可以解决相关问题.

      page213

      1.2 导数的计算

      知识清单

      ·知识1 基本初等函数的导数公式

      ·知识2 导数的运算法则

      ·知识3 复合函数的导数

      知识1 基本初等函数的导数公式

      (1)若f(x)=c(c为常数),则f′(x)=0;

      (2)若f(x)=x^(a)(a∈Q^(*)),则f′(x)=ax^(a-1);

      (3)若f(x)=sin x,则f′(x)=cos x;

      (4)若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x;

      (5)若f(x)=a^(x),则f′(x)=a^(x)ln a;

      (6)若f(x)=e^(x),则f′(x)=e^(x);

      (7)若f(x)=logax,则f′(x)=

      (8)若f(x)=ln x,则f′(x)=1/x.

      特别提醒(1/x)′=-1/x^(2);()′=.

      知识2 导数的运算法则

      若f(x)、g(x)是可导函数,则

      (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);

      (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),

      特别地,[cf(x)]′=cf′(x);

      (3)[f(x)/g(x)]′=(f′(x)g(x)-f(x)g′(x))/[g(x)]^(2)(g(x)≠0),特别地,[1/g(x)]′=-g′(x)/[g(x)]^(2).

      知识3 复合函数的导数

      若变量y是关于变量u的函数y=f(u),变量u又是关于变量x的函数u=g(x),则称变量y也是关于变量x的函数,y=f[g(x)]称为复合函数.

      ①一般地,设函数u=g(x)在点x处有导数u′=g′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu′=f′(u),则复合函数y=f[g(x)]在点x处也有导数,且yx′=yu′·ux′或写作fx′[g(x)]=f′(u)·g′(x),这就是复合函数的求导法则,即复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

      ②复合函数的求导问题,应先分解函数,使之成为初等函数的复合,然后应用公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则进行求导,同时要注意计算的准确性.

      方法清单

      ·方法1 求函数的导数的方法

      ·方法2 复合函数的求导方法

      ·方法3 利用导数的几何意义求曲线在x=x0处的切线方程

      ·方法4 已知切线方程问题的解决方法

      方法1 求函数的导数的方法

      (1)总原则:先化简解析式,再求导.

      (2)具体方法:

      ①连乘积的形式:先展开化为多项式形式,再求导.

      ②根式形式:先化为分数指数幂,再求导.

      ③复杂分式:通过分子上凑分母,化为简单分式的和、差,再求导.

      page214
      方法2 复合函数的求导方法

      求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将复合函数的导数转化为基本初等函数的导数.

      (1)分析清楚复合函数的复合关系,即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成,适当选定中间变量;

      (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意中间变量的系数;

      (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数;

      (4)熟练掌握复合函数的求导方法以后,中间步骤可以省略,对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数,可以直接应用公式和法则,从最外层开始由外及内逐层求导.

      方法3 利用导数的几何意义求曲线在x=x0处的切线方程

      若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.

      (1)点P(x0,y0)是切点的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).此种情况下,题目中一般说在P点处的切线.

      (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:

      第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1));

      第二步:写出过P′(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);

      第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1

      第四步:将x1的值代人方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.

      方法4 已知切线方程问题的解决方法

      当曲线的切线方程当成已知条件时,常合理选择以下三个条件的表达式解题:

      (1)切点在切线上;

      (2)切点在曲线上;

      (3)切点处的导数等于切线的斜率.

      page215

      1.3 导数在研究函数中的应用

      知识清单

      ·知识1 函数单调性的判断

      ·知识2 函数的极值

      ·知识3 函数的最大值与最小值

      知识1 函数单调性的判断

      设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

      如果在(a,b)内恒有f′(x)=0,那么f(x)在(a,b)内是常数.

      特别提醒 (1)如果f′(x)>0,那么f(x)为严格增函数;如果f′(x)<0,那么f(x)为严格减函数.

      (2)如果在(a,b)内恒有f′(x)=0,那么f(x)在(a,b)内是常数.

      (3)f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而不必要条件.

      (4)在(a、b)内f′(x)≥0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是增函数;在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.

      知识2 函数的极值

      (1)极值的相关概念

      ①极小值点与极小值:

      如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

      ②极大值点与极大值:

      如图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

      (2)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

      (3)对函数极值概念的理解

      极值是一个新的概念,它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念,在理解极值概念时要注意以下几点:

      ①按定义,极值点x0是区间[a,b]内部的点,不会是端点a,b(因为在端点处不可导).如图.

      ②极值是一个局部性概念,只要在一个小区域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说,极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小,如图.

      ③如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.

      ④若函数f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的.

      ⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.

      不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点.

      举例说明:

      导数为0是极值点:y=x^(2),y′|x=0=0,x=0是极小值点;

      导数为0但不是极值点:y=x^(3),y′|x=0=0,x=0不是极值点.

      不可导点是极值点:y=|sin x|,x=0处不可导,是极小值点;

      page216

      不可导点不是极值点:y=x^(1/3),x=0处不可导,不是极值点.

      知识3 函数的最大值与最小值

      一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值.在开区间(a,b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.

      特别提醒 ①函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值.

      ②函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.

      ③闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则它就是函数的最值.

      方法清单

      ·方法1 利用导数求单调区间

      ·方法2 用导数证明函数f(x)在区间(a,b)上单调的步骤

      ·方法3 已知函数单调性,求参数的取值范围

      ·方法4 利用导数求函数的极值

      ·方法5 求极值的逆向思维问题

      ·方法6 求函数的最大值与最小值的方法

      ·方法7 利用导数比较函数的大小

      ·方法8 利用导数研究函数的零点问题

      ·方法9 导数的综合应用

      方法1 利用导数求单调区间

      求函数的单调区间,就是解一阶导数大于零的不等式f′(x)>0或小于零的不等式f′(x)<0,这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.

      对可导函数,求单调区间的步骤如下:

      (1)求f(x)的定义域;

      (2)求出f′(x);

      (3)令f′(x)=0,求出全部驻点;(补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)=0,则称点x0为函数f(x)的驻点)

      (4)驻点把定义域分成几个区间,列表求出这几个区间内f′(x)的符号,从而可确定f(x)的单调区间.

      特别提醒 ①在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意定义域内的不连续和不可导点.

      ②一般地,可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是:对任意的x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何区间内都不恒等于零,特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时,要注意等号是否可以取到.

      方法2 用导数证明函数f(x)在区间(a,b)上单调的步骤

      (1)求f′(x);

      (2)确认f′(x)在区间(a,b)上的符号;

      (3)作出结论:f′(x)>0时为增函数,f′(x)<0时为减函数.

      page217
      方法3 已知函数单调性,求参数的取值范围

      已知函数的单调性,求参数的取值范围,应注意函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)上仅可能有一个值x,使f′(x)=0,这样的点不可能充满所给区间.

      方法4 利用导数求函数的极值

      (1)可导函数极值存在的条件

      ①函数y=f(x)在x=x0处可导,f′(x)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,而不是充要条件.即可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)=0,但当f′(x1)=0时,x1不一定是极值点.如求f(x)=(x^(2)-1)^(3)的极值点,由f′(x)=6x(x^(2)-1)^(2)=0得3个解,但只有x=0是极值点.一般地,可导函数y=f(x)在x=x0两侧f′(x)符号相反,则存在极值;如果f′(x)在x=x0两侧符号相同,则f(x)在x=x0处无极值.

      ②可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左右两侧f′(x)的符号不同.

      (2)求函数f(x)极值的步骤

      ①确定函数f(x)的定义域;

      ②求导数f′(x);

      ③求方程f′(x)=0的解;

      ④检查方程的解的左右两侧导数的符号,确定极值点(最好通过列表法).

      a.如果f′(x)的符号从x0的左侧到右侧由正变负,那么f(x0)为函数f(x)的极大值;

      b.如果f′(x)的符号从x0的左侧到右侧由负变正,那么f(x0)为函数f(x)的极小值;

      c.如果f′(x)的符号在x0的左右两侧不变号,那么f(x0)不是函数f(x)的极值.

      方法5 求极值的逆向思维问题

      已知一个函数,我们可以用单调性研究它的极值.但有时候也会遇到已知函数的极值,反过来确定函数的系数问题,这类问题为逆向思维问题.

      page218
      方法6 求函数的最大值与最小值的方法

      设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:

      (1)求f(x)在(a,b)内的极值;

      (2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

      特别提醒 ①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值,因此,函数极大值和极小值的判别是关键.极值与最值的关系:极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值.

      ②如果仅仅是求最值,还可将上面的办法化简,因为函数f(x)在[a,b]内的全部极值,只能在f(x)导数为零的点或导数不存在的点取得(下称这两种点为可疑点),所以只需要将这些可疑点求出来,然后算出f(x)在可疑点处的函数值,与区间端点处的函数值进行比较,就能求得最大值和最小值.

      ③当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时,其最大值、最小值在端点处取得.

      方法7 利用导数比较函数的大小

      要证明不等式f(x)>g(x),x∈(a,b),可以转化为证明f(x)-g(x)>0.如果[f(x)-g(x)]′>0,说明函数F(x)=f(x)-g(x)在开区间(a,b)上是增函数.

      page219
      方法8 利用导数研究函数的零点问题

      高考题中对导数的考查经常会出现一类对高次函数或混合函数研究函数零点个数,或者通过函数的零点个数求参数的取值范围的题目,解决这类问题通常需分三步走:①对函数求导;②列表研究函数的单调性并求极值;③结合函数的单调性与极值画函数的草图,由草图研究函数的零点问题.

      方法9 导数的综合应用

      用导数解决恒成立问题或存在性问题,关键是构造合适的函数,转化为求最大值或最小值的问题.

      page220

      方法拓展 构造函数证明不等式的构造方法:

      证明函数背景下的不等式的通法是构造函数法.要解决好此类问题,关键是要构造好相应的函数.从哪里入手,怎么构造,如何构造出适当的、合理的、可行的、易操作的函数是解题的关键一步.

      (1)转化为f(a)+g(a)≥f(b)+g(b)型

      寻找待证不等式的等价不等式,把等价不等式转化为f(a)+g(a)≥f(b)+g(b)型,观察此等价不等式左右两边的结构,构造函数h(x)=f(x)+g(x).

      (2)转化为f(x)≥0(≤0)型

      寻找待证不等式的等价不等式,使等价不等式的一端形如f(x)≥0(≤0),由此构造函数g(x)=f(x).

      (3)转化为f(x)≥g(x)型

      寻找待证不等式的等价不等式,把等价不等式转化为f(x)≥g(x)型,由此构造两个函数h(x)=f(x),u(x)=g(x).接下来的工作是利用导数判断函数h(x),u(x)的单调性,进而求出函数h(x),u(x)的最值或临界值.

      这种方法具有很大的局限性,只有f(x)min≥g(x)max才能使用.

      (4)将要求的常数分离到不等式的一边,不等式的另一边为构造的函数.

      1.4 生活中的优化问题

      知识清单

      ·知识1 生活中的优化问题

      ·知识2 解决生活中的优化问题应当注意的问题

      知识1 生活中的优化问题

      生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.

      解决优化问题的方法很多,如:判别式法,均值不等式法,线性规划及利用二次函数的性质等.

      不少优化问题可以化为求函数最值问题.导数方法是解这类问题的有效工具.

      知识2 解决生活中的优化问题应当注意的问题

      (1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.

      (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)=0的情形.如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值.

      (3)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.

      方法清单

      ·方法 利用导数解决生活中的优化问题

      方法 利用导数解决生活中的优化问题

      利用导数解决生活中优化问题的一般步骤:

      (1)分析实际问题中各量之间的关系,构造出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),并根据实际意义确定定义域.

      (2)求函数y=f(x)的导数f′(x),解方程f′(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.

      (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,获得所求的最大(小)值.

      (4)还原到实际问题中作答.

      page221

      1.5 定积分的概念

      知识清单

      ·知识1 定积分的概念

      ·知识2 定积分的几何意义

      ·知识3 定积分的基本性质

      知识1 定积分的概念

      如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分为n个小区间,在每个小区间[xi1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式

      当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作

      这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.

      特别提醒 ①定积分不是一个表达式,而是一个常数,它只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,例如:

      ②定义中区间的分法和ξi的取法是任意的.

      知识2 定积分的几何意义

      一般情况下,设函数f(x)在区间[a,b]上连续,定积分的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和,如图所示.

      当f(x)≥0时,定积分在几何上表示由曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积,如图所示.

      特别地,当a=b时,有=0,当f(x)≤0时,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值,如图所示.

      page222

      特别提醒 根据定积分的几何意义,用定积分表示图中阴影部分的面积,如图所示.S1=,S2=,则S=-g(x)]dx.

      知识3 定积分的基本性质

      性质1:1dx=b-a

      性质2:kf(x)dx=kf(x)dx(其中k是不为0的常数)(定积分的线性性质).

      性质3:[f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx(定积分的线性性质).

      性质4:f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).

      □特别提醒  若f(x)是偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx;若f(x)是奇函数,则f(x)dx=0.

      方法清单

      ·方法1 用定义求定积分的一般步骤

      ·方法2 用所求定积分表示的几何意义求积分

      方法1 用定义求定积分的一般步骤

      (1)分割:n等分区间[a,b];

      (2)近似代替:取点ξi∈[xi1,xi];

      (3)求和:·

      (4)取极限:=.

      方法2 用所求定积分表示的几何意义求积分

      当定积分表示的面积容易求时,则利用定积分的几何意义求积分.

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      1.6 微积分基本定理

      知识清单

      ·知识1 微积分基本定理

      ·知识2 基本积分公式

      知识1 微积分基本定理

      一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么=F(b)-F(a).

      这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.

      为了方便,我们常常把F(b)-F(a)记成,即=F(b)-F(a).

      (1)在定理中,如果F′(x)=f(x),那么(F(x)+c)′=f(x),所以求定积分的关键是找到满足F′(x)=f(x)的任意一个函数F(x)即可;

      通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).

      (2)无论是a>b或a<b,此公式都成立.

      知识2 基本积分公式

      方法清单

      ·方法1 利用微积分基本定理求积分

      ·方法2 利用定积分求函数的解析式

      方法1 利用微积分基本定理求积分

      利用微积分基本定理求定积分的关键是找出f(x)的原函数F(x).通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出F(x),即求导运算与求原函数运算是互为逆运算的关系.

      如果被积函数是绝对值形式或分段函数,那么可以利用定积分的性质=(其中a<c<b),根据函数的定义域,将积分区间分为几部分,代入相应的解析式,分别求出定积分的值,相加即可.处理这类问题一定要弄清分段临界点.

      page224
      方法2 利用定积分求函数的解析式

      利用定积分求函数的解析式的关键是表示出被积函数,再根据题意列方程(组)求解即可.

      1.7 定积分的简单应用

      知识清单

      ·知识1 求几何图形的面积

      ·知识2 变速运动问题

      ·知识3 变力做功问题

      知识1 求几何图形的面积

      在直角坐标系中,由曲线f(x),直线x=a,x=b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积可以用定积分求.

      定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0.

      (1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积;

      (2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数;

      (3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

      知识2 变速运动问题

      如果变速运动的物体的速度υ关于时间t的函数是υ=υ(t)(υ(t)≥0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为.

      知识3 变力做功问题

      物体在变力F(x)的作用下,沿着与力F(x)相同的方向从x=a到x=b所做的功为.

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      方法清单

      ·方法 利用定积分求几何图形的面积的步骤

      方法 利用定积分求几何图形的面积的步骤

      (1)画出图形;

      (2)确定图形范围,通过解方程组求出交点横坐标,定出定积分上下限;

      (3)确定被积函数;

      (4)写出平面图形的定积分表达式;

      (5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.

      如图,由直线x=a,x=b(a<b),x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S=.

      如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x=a,x=b(a<b)围成(如图),那么所求图形的面积S=SAMNB-SDMNC=.

      page226
       第2章 推理与证明

      第2章 推理与证明

      2.1 合情推理与演绎推理

      知识清单

      ·知识1 推理的定义

      ·知识2 归纳推理

      ·知识3 类比推理

      ·知识4 合情推理

      ·知识5 演绎推理的区别与联系

      ·知识6 合情推理与演绎推理

      知识1 推理的定义

      根据几个或一个已知的事实(或假设)得出一个判断的思维方式叫做推理.它由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设),叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫做结论,推理也可以看成是用连接词将前提和结论逻辑的连接,常用的连接词有:如果……那么……因为……所以……根据……可知……等.

      推理一般分为合情推理和演绎推理.

      知识2 归纳推理

      定义

      根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳).归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.

      特别提醒 归纳推理是由特殊到一般,具体到抽象的一种推理形式,通过观察、实验,对有限的资料归纳整理,提出带有规律性的猜想.归纳推理得出的结论不一定正确.

      知识3 类比推理

      根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质,这样的推理叫类比推理(简称类比).

      类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式.类比的结论可能是真的,所以类比推理属于合情推理.

      知识4 合情推理

      归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

      通俗地说,合情推理是指合乎情理的推理.数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.

      推理过程概括为:

      从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想

      知识5 演绎推理

      (1)概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.

      ①演绎推理是由一般到特殊的推理;

      ②数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.

      (2)三段论是演绎推理的一般模式,包括:

      ①大前提——已知的一般原理;

      ②小前提——所研究的特殊情况;

      ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

      三段论可以表示为:

      大前提:M是P.

      小前提:S是M.

      结论:S是P.

      利用集合知识说明三段论:

      若集合M的所有元素都有性质P,

      S是M的一个子集,

      那么S中的所有元素也都具有性质P.

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      知识6 合情推理与演绎推理的区别与联系
      合情推理 演绎推理
      主要区别 常用形式 归纳、类比 三段论
      思维过程的方向 归纳推理是从部分到整体,从特殊到一般的推理;类比推理是从特殊到特殊的推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,即从一般到特殊的推理
      前提与结论联系的性质 结论超过了前提所断定的范围,其结论具有或然性 结论不超过前提所断定的范围,前提和结论的联系是必然的
      应用 不能作为数学证明的工具,但它具有创造性思维,对于数学结论的发现十分有用 可以作为数学证明的工具,缺少创造性,但它严密的论证有助于科学的理论化和系统化
      主要联系 两者紧密联系,互相依赖,互为补充.
      演绎推理的一般性的原理必须借助于合情推理从具体的经验中概括出来.从这个意义上说,没有合情推理就没有演绎推理.
      合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任务和方向必须借助于理论思维,以人们先前积累的一般性理论知识为指导.这本身就是一种演绎活动,并且合情推理得到的结论正确与否,必须借助于演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演绎推理也就没有合情推理

      方法清单

      ·方法1 归纳推理的应用方法

      ·方法2 类比推理的应用方法

      ·方法3 演绎推理的应用方法

      方法1 归纳推理的应用方法

      (1)所谓归纳,就是由特殊到一般,因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律,从而得到一般结论.

      (2)归纳推理的一般步骤:

      ①通过观察个别情况发现某些相同性质.

      ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).

      (3)常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:

      ①数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.

      ②形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.

      方法2 类比推理的应用方法

      (1)类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以原有的认识为基础,类比出新的结果;类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;

      (2)类比推理的一般步骤:

      ①找出两类事物之间的相似性或一致性.

      ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).

      (3)类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法.

      ①类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解;

      ②类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;

      ③类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.

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      方法3 演绎推理的应用方法

      (1)在推理论证过程中,一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成.大前提通常省略不写,或者写在结论后面的括号内,小前提有时也可以省略,而采取某种简明的推理模式.

      (2)演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性及书写格式的规范性.

      2.2 直接证明与间接证明

      知识清单

      ·知识 直接证明、间接证明的证明方法及图解

      知识 直接证明、间接证明的证明方法及图解
      类 别 定 义
      直接证明 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性
      间接证明 通过判定相关判断之假来断定论题之真的证明方法

      常用的证明方法:

      类别 定义 图解
      综合法 综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的一种方法 →…→(P表示条件或已有的定义、定理、公理等,P表示要证明的结论)
      分析法 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)的一种方法 →…→得到一个明显成立的条件
      分析法与综合法综合
      反证法 反证法是假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,从而说明假设错误,证明原命题成立的一种方法
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      方法清单

      ·方法1 综合法

      ·方法2 分析法

      ·方法3 反证法

      方法1 综合法

      综合法的思维方法:综合法的思维方向是顺推,即由已知条件出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的结论成立,故综合法又叫顺推证法或由因导果法.

      综合法的依据:已知条件以及逻辑推理的基本理论.在推理时要注意:作为依据和出发点的命题一定要正确.

      方法2 分析法

      (1)分析法的思维方向

      分析法的思维方向是逆求,即由待证的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的命题,故分析法又叫逆推证法或执果索因法.

      (2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用要证(欲证)……只需证……即证……等分析得到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.

      可见分析法是执果索因,步步寻求上一步成立的充分条件,它与综合法是对立统一的两种方法.

      特别提醒 当命题不知从何入手时,有时可以运用分析法来解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效.

      ①分析法证明过程不一定步步可逆,也没有必要要求步步可逆,因为这时仅需寻找充分条件,而不是充要条件;

      ②若非要步步可逆,则限制了分析法解决问题的范围,使得分析法只适用于证明等价命题.

      但是,只要我们搞清了用分析法证明问题的逻辑结构,明确四种命题之间的关系,那么用分析法证明不等式还是比较方便的.

      方法3 反证法

      (1)反证法中常见的矛盾形式

      ①与已知条件即题设矛盾;

      ②与假设矛盾;

      ③与已知的定义、公理和定理矛盾,即得出一个恒假命题;

      ④自相矛盾.

      (2)反证法的适用范围

      ①已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少;

      ②命题的结论以否定形式出现;

      ③命题的结论以至多至少的形式出现;

      ④命题的结论以唯一的形式出现;

      ⑤命题的结论以无限的形式出现;

      ⑥关于存在性命题;

      ⑦某些定理的逆定理.

      总之,正难则反,直接的东西较少、较抽象、较困难时,其反面的东西会较多、较具体、较容易,此时可尝试用反证法.

      (3)反证法证明问题时常见的反设词

      利用反证法证明问题时,首先应准确作出假设,这就要求我们掌握一些常见结论词的反设词,列表如下:

      原结论词 反设词 原结论词 反设词
      至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x不成立
      至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x成立
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      原结论词 反设词 原结论词 反设词
      至少有n个 至多有(n-1)个 p或q ¬p且¬q
      至多有n个 至少有(n+1)个 P且q ¬p或¬q

      (4)运用反证法证明数学命题的一般步骤

      ①反设:假设所要证明的结论不成立,而设结论的反面成立;

      ②归谬:由反设出发,通过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;

      ③结论:因为推理正确,产生矛盾的原因在于反设的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定结论成立.

      2.3 数学归纳法

      知识清单

      ·知识1 归纳法

      ·知识2 数学归纳法

      ·知识3 数学归纳法的重要结论及适用范围

      知识1 归纳法

      由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法.它是人们发现规律,产生猜想的一种方法.

      归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法.

      知识2 数学归纳法

      (1)一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:

      第一步,(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N^(*))时命题成立;

      第二步,(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N^(*))时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.

      只要完成这两个步骤,就可以判断命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

      上述证明方法叫做数学归纳法.

      (2)用框图表示如下:

      特别提醒 运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点:

      page231

      ①两个步骤,缺一不可;

      ②第二步中,证明n=k+1时结论正确的过程里,必须利用归纳假设,即必须用上当n=k时结论正确这一条件;

      ③在第二步的证明中,当n=k时结论正确这一归纳假设起着已知的作用,当n=k+1时结论正确则是求证的目标.在这一步中,一般首先要凑出归纳假设给出的形式,以便利用归纳假设,然后再凑出当n=k+1时的结论.

      知识3 数学归纳法的重要结论及适用范围
      数学归纳法的重要结论 1+2+3+…+n=1/2n(n+1)
      1^(2)+2^(2)+…+n^(2)=1/6n(n+1)(2n+1)1^(3)+2^(3)+…+n^(3)=1/4n^(2)(n+1)^(2)
      1+3+5+…+(2n-1)=n^(2)
      2+4+6+…+2n=n^(2)+n
      适用范围 只适用于证明与正整数集有关的数学命题

      方法清单

      ·方法1 证明数列有关问题

      ·方法2 数学归纳法证明恒等式的方法

      ·方法3 数学归纳法证明不等式的方法

      ·方法4 数学归纳法证明几何问题

      ·方法5 数学归纳法证明整除问题

      方法1 证明数列有关问题

      (1)数列与数学归纳法有着非常密切的关系,我们知道,数列是定义在N^(*)上的函数,这与数学归纳法运用范围是一样的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是一致的.数列中有不少问题都可用数学归纳法予以证明,诸如数列的通项、前n项和Sn的增减性、有界性等.

      (2)归纳探索性问题是高考重点之一,应引起足够重视,解此类问题,需从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳、猜想,探索一般规律.

      (3)这类题目特点:第一步是给出与正整数有关的命题结构,第二步要求计算出几个初始值,第三步要求通过已计算出的初始值,应用不完全归纳法,发现其命题的一般规律,作出科学的猜想和判断,最后用数学归纳法对所作的猜想作出科学证明.

      方法2 数学归纳法证明恒等式的方法

      数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题,其关键在于第二步,它有一个基本格式,我们不妨设命题为P(n):f(n)=g(n).

      其第二步相当于做一道条件等式的证明题:

      已知:f(k)=g(k),

      求证:f(k+1)=g(k+1).

      通常可采用的格式分为三步:

      ①找出f(k+1)与f(k)的递推关系;

      ②把归纳假设f(k)=g(k)代人;

      ③作恒等变形化为g(k+1).

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      示意图为:

      递推关系不一定总是像f(k+1)=f(k)+ak这样的表达式,更为一般性的示意为:

      f(k+1)=F[f(k),k, f(1)]=F[g(k),k,g(1)]=g(k+1).

      方法3 数学归纳法证明不等式的方法

      (1)用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式,一般有三种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是比较两个式子的大小,先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明;三是已知不等式成立,寻求变量的取值范围.

      (2)在证明由n=k到n=k+1成立时,一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式,由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.

      方法4 数学归纳法证明几何问题

      用数学归纳法证明几何问题,关键是找出n=k时到n=k+1时图形的变化.

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      方法5 数学归纳法证明整除问题

      用数学归纳法证明整除问题,把n=k+1时被除数分解出n=k时的式子及含有除数的式子.

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       第3章 数系的扩充与复数的引入

      第3章 数系的扩充与复数的引入

      3.1 数系的扩充和复数的概念

      知识清单

      ·知识1 虚数单位

      ·知识2 复数的概念

      ·知识3 复数相等的条件及应用

      ·知识4 复数的几何意义

      ·知识5 复数的模

      知识1 虚数单位

      i叫做虚数单位.并规定:

      (1)它的平方等于-1,即i^(2)=-1.

      (2)实数与它进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.

      依据这一规定,可得i的幂的周期性:

      i^(4k)=1, i^(4k+1)=i, i^(4k+2)=-1,i^(4k+3)=-i(k∈Z).

      特别提醒 第一条性质中,i^(2)=-1,并没有规定i=±还是i=或i=-,在今后的学习中将知道=±i,但不说i是±中的某一值.

      知识2 复数的概念

      形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,复数通常用一个字母z来表示,即

      z=a+bi(a,b∈R).

      其中a叫做它的实部,b叫做它的虚部.

      全体复数构成的集合叫做复数集,用字母C表示.

      (1)复数a+bi(a,b∈R),当b=0时,是实数.

      (2)复数a+bi(a,b∈R),当b≠0时,叫虚数.

      (3)复数a+bi(a,b∈R),当a=0,b≠0时,叫纯虚数.

      (4)复数a+bi(a,b∈R),当a≠0,b≠0时,叫非纯虚数.

      至此,我们学过的有关数集的关系如下:

      复数a+bi(a,b∈R)

      特别提醒 实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别与联系:实数集与虚数集都是复数集的真子集,它们的并集是复数集,它们的交集是空集,纯虚数集是虚数集的真子集.

      这些集合之间的关系可以用下图表示.

      知识3 复数相等的条件及应用

      如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.即如果a,b,c,d∈R,那么

      a+bi=c+dia=c且b=d.

      特殊地,a,b∈R时,a+bi=0a=0,b=0.

      复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径.

      特别提醒 两个实数可以比较大小,但两个复数至少有一个为虚数的,不能比较大小.

      知识4 复数的几何意义

      (1)复数与平面直角坐标系

      每一个复数,对应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量);反过来,平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量),也对应着唯一的一个有序实数对.这样我们通过有序实数对可以建立复数z=a+bi和点Z(a,b)(或向量)之间的一一对应关系.点Z(a,b)或向量是复数z的几何表示如下图.

      复数z=a+bi有序实数对(a,b)点Z(a,b).

      (2)复平面

      建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.x轴的单位是1,y轴的单位是i.

      显然,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚

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      轴上的点都表示纯虚数,即任意一个实数a与x轴上的点(a,0)一一对应,任意一个纯虚数bi(b≠0)与y轴上的点(0,b)一一对应.

      (3)复数的向量表示

      我们知道直角坐标平面内的任意一点Z(a,b),有唯一的向量与之对应,而平面内的点Z(a,b)与复数集中的复数z=a+bi(a,b∈R)也是一一对应的.因此,一个复数确定唯一一个以原点为起点的向量,根据向量相等的定义,也就是一个复数确定唯一一个平面向量;反之,一个平面向量有唯一一个复数与之对应.

      特别提醒 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).

      (2)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.

      (3)常把复数z=a+bi说成点Z或向量,并且规定:相等的向量表示同一个复数.

      知识5 复数的模

      (1)复数的模

      向量的模r叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知:

      |z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R).

      (2)复数模的几何意义

      |z|=,即点Z(a,b)到原点O的距离.一般地,

      z1-z2|即为复平面内点Z1到Z2的距离.

      方法清单

      ·方法1 利用复数的分类解题

      ·方法2 利用复数的几何意义解题

      ·方法3 利用复数相等解题

      方法1 利用复数的分类解题

      对于复数z=a+bi(a,b∈R)的分类,既有对a的要求,又有对b的要求.

      方法2 利用复数的几何意义解题

      在复平面内画出复数对应的点或向量,利用几何意义解题.

      方法3 利用复数相等解题

      将等号两边都化成a+bi(a,b∈R)的形式,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等解题.

      3.2 复数代数形式的四则运算

      知识清单

      ·知识1 复数的加法

      ·知识2 复数的减法

      ·知识3 复数的乘法

      ·知识4 复数的除法

      ·知识5 共轭复数

      ·知识6 复数模的性质

      知识1 复数的加法

      (1)加法的定义

      设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,规定复数的加法按照以下法则进行:

      (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

      特别提醒 ①复数代数形式的加法运算法则是一种规定,规定以后就按此依据进行运算.

      ②复数加法中的规定是实部与实部相加,虚部

      page236
      与虚部相加,很明显,两个复数的和仍然是一个复数.对于复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形.

      ③在这个规定中,当b=0,d=0时,与实数的加法法则一致.

      (2)加法的运算律

      对于任意z1,z2,z3∈C.

      ①交换律:z1+z2=z2+z1

      ②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

      (3)复数加法的几何意义

      分别与复数a+bi,c+di对应,且不共线(如下图),以OZ1,OZ2为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,则其对角线0Z所表示的向量就是复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.

      特别提醒 ①当共线时,我们可以画一个压扁了的平行四边形,并据此画出它的对角线来表示的和.

      ②在平面向量中已有向量加法的几何解释,它同复数加法的几何解释是一致的.

      知识2 复数的减法

      (1)相反数

      已知复数a+bi,根据加法的定义,存在唯一的复数-a-bi,使(a+bi)+(-a-bi)=0.

      -a-bi叫做a+bi的相反数,-a-bi=-(a+bi).

      在复平面内,互为相反数的两个复数关于原点对称.

      (2)减法法则

      我们规定两个复数的减法法则如下:

      (a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-c-di)=(a-c)+(b-d)i,

      即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

      可见,两个复数的差也是复数.

      总之,两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).

      (3)复数减法的几何意义

      复数减法是加法的逆运算,设分别与复数a+bi,c+di对应,且不共线(如下图),则这两个复数的差z1-z2与向量(等于)对应,这就是复数减法的几何意义.

      事实上,在平面向量中已有向量减法的几何解释,它同复数减法的几何解释是一致的.

      (4)两点间的距离公式

      结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式,设z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,则||=|z1-z2|=

      (x1+y1i)-(x2+y2i)|=|(x1-x2)+(y1-y2)i|=(x1-x2)^(2)+(y1-y2)^(2).

      知识3 复数的乘法

      (1)复数乘法的定义

      设z1=a+bi,z2=c+di,定义:

      z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

      (2)运算法则

      复数的乘法可以按照多项式乘法的方式运算.

      (3)运算律

      容易验证,复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律,即对任意复数z1,z2,z3,有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3.

      (4)虚数单位i的乘方

      计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,i^(n)有如下性质:

      i^(1)=i,i^(2)=-1,i^(3)=-i,i^(4)=1,i^(5)=i,i^(6)=-1,….

      从而对任意n∈N^(*),都有:i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-i,i^(4n)=1.

      知识4 复数的除法

      (1)复数z的倒数

      已知z=a+bi,如果存在一个复数z′,使z·z′=1,则z′叫做z的倒数,记作1/z.

      (2)复数除法的运算法则

      知识5 共轭复数

      (1)概念

      当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

      复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数记作=a-bi.

      与z在复平面内的对应点关于实轴对称.

      ②实数的共轭复数是它本身.

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      (2)共轭复数的性质

      设z=a+bi,=a-bi(a,b∈R),z1,z2,…,zn∈C,则

      =z;

      ②z=z为实数;

      =-z且z≠0z为纯虚数;

      ④z=|z|=1;

      ⑤z=|z|^(2)=||^(2)=a^(2)+b^(2);

      ⑥z+=2a,z-=2bi;

      =+…+

      =

      =··…·

      ⑩(z1/z2)=(z2≠0).

      知识6 复数模的性质

      设z,z1,z2∈C,则

      (1)|z|=||=|-z|=

      (2)|z1·z2|=|z1|·|z2|,|z^(n)|=|z|^(n)(n∈N^(*));

      (3)=|z1/|z2|(z2≠0);

      (4)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|,

      我们称此不等式为三角形不等式;

      (5)|z1+z2|^(2)+|z1-z2|^(2)=2(|z1|^(2)+|z2|^(2)).

      此即为平行四边形对角线定理:两条对角线长的平方和,等于四边长度之平方和.

      方法清单

      ·方法1 分母实数化

      ·方法2 复数的代数运算

      ·方法3 利用复数模的定义解题

      ·方法4 复数问题实数化

      方法1 分母实数化

      对于复数中的除法运算(或分式型运算),常常用分母实数化策略,即分子、分母同乘分母的共轭复数.

      方法2 复数的代数运算

      复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i的看成一类同类项,不含虚数单位i的看成另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.

      方法3 利用复数模的定义解题

      ①|z|表示复数z对应的点与原点的距离.

      |z1-z2|表示两点间的距离,即表示复数z1与z2对应点间的距离.

      ②结合复数的几何意义、运用数形结合的思想,可把复数、解析几何有机结合在一起,达到了学科内的融合,而且解题方法更灵活.

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      方法4 复数问题实数化

      复数问题实数化是解决复数问题的重要方法,即用代数形式a+bi(a,b∈R)设出,进行运算后,利用两个复数相等的条件,把问题转化为实数问题.

      方法拓展 熟记常用复数运算式的结果可简化运算.

      在进行复数运算时,熟记下列各式的结果,有助于简化运算过程.

      ①(a+bi)(a-bi)=a^(2)+b^(2);

      ②(1±i)^(2)=±2i;

      =i,=-i;

      ④i^(n)+i^(n+1)+i^(n+2)+i^(n+3)=0(n∈N^(*));

      ⑤i的平方根是±(2/2+i);-i的平方根是±(-i);

      ⑥设ω为1的立方虚根,则有ω^(3)=1,1+ω+ω^(2)=0;

      ⑦-b+ai=i(a+bi).

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       选修2-3

      选修2-3

      第1章 计数原理

      1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

      知识清单

      ·知识1 分类加法计数原理

      ·知识2 分步乘法计数原理

      ·知识3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的关系

      知识1 分类加法计数原理

      (1)分类加法计数原理的概念

      做一件事,完成它有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

      (2)分类加法计数原理的特点

      分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理,其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情,我们可以用第1类有m1种方法第2类有m2种方法,…,第n类有mn种方法来表示分类加法计数原理,一共有m1+m2+…+mn种方法,强调每一类中的一种方法就可以完成这件事.

      (3)分类的原则

      分类计数时,首先要根据问题的特点,确定一个适当的分类标准,然后利用这个分类标准进行分类,分类时要注意两条基本原则:一是完成这件事的任何一种方法必须分为相应的类;二是不同类的任何方法必须是不同的方法,只要满足这两条基本原则,就可以确保计数的不重不漏.

      特别提醒 ①明确题目中所指的完成一件事是指什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎样才算完成这件事.

      ②完成这件事的n种方法是相互独立的,无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.

      ③确立恰当的分类标准,准确地对这件事进行分类,要求每一种方法必定属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法是不同的方法,也就是分类时必须做到既不重复也不遗漏.

      ④分类加法计数原理的集合表述形式

      做一件事,完成它的办法用集合S表示,S被分成n类,分别用集合S1,S2,…,Sn表示,即S=S1∪S2∪…∪Sn,且Si∩Sj=(i≠j),S1,S2,…,Sn中分别有m1,m2,…,mn种不同的方法,即集合S1,S2,…,Sn中分别有m1,m2,…,mn个元素,那么完成这件事共有的方法,即集合S中的元素的个数为m1+m2+…+mn.

      知识2 分步乘法计数原理

      (1)分步乘法计数原理的概念

      做一件事,完成它需要分成n个步骤,完成第一个步骤有m1种不同的方法,完成第二个步骤有m2种不同的方法,…,完成第n个步骤有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.

      (2)分步乘法计数原理的特点

      分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中,每一步中都要使用一种方法才能完成要做的事情,可以利用图形第一步有m1种方法第二步有m2种方法→…→第n步有mn种方法来表示分步乘法计数原理,图中的→强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情,从而共有m1×m2×…×mn种不同的方法可以完成这件事.

      (3)分步的原则

      应用分步乘法计数原理解题时要注意以下几点:

      ①明确题目中所指的完成一件事是指什么事,单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事,也就是说,是否必须经过几步才能完成这件事;

      ②完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个

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      步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任何一步,这件事就不可能完成;

      ③根据题意,正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这n个步骤逐步去做,才能完成这件事,各个步骤之中既不能重复也不能遗漏.

      知识3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的关系

      (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题,都是计数的方法,二者的区别在于:分类加法计数原理针对的是分类问题,其各种方法之间是相互独立的,其中的任何一种方法都可以单独完成这件事;而分步乘法计数原理针对的是分步问题,各个步骤之间相互依存,只有各个步骤都完成,才算完成这件事,单独的一步或几步不能完成这件事.

      (2)两个计数原理的区别在于分类加法计数原理每次得到的都是最后结果,而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果,可以用下表表示:

      区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
      完成一件事,共有n类办法,关键词是分类 完成一件事,共分n个步骤,关键词是分步
      每类办法都能独立完成这件事,它们是独立的,一次性的,且每一次得到的都是最后结果,只需一种方法就可以完成这件事 每一步得到的只是中间结果,任何一步都不可能独立完成这件事,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事
      各类办法之间是互斥的,并列的,独立的 各步之间是有关联的,不独立的,关键确保不遗漏、不重复

      (3)计数原理的选择:

      如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类加法计数原理;如果完成一件事情要分成n个步骤,各个步骤都是不可或缺的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事情,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数,就用分步乘法计数原理.

      从思想方法的角度看,分类加法计数原理是将问题进行分类思考;分步乘法计数原理是将问题进行分步思考,这两种方法贯穿本章的始终.

      方法清单

      ·方法1 分类加法计数原理的应用

      ·方法2 分步乘法计数原理的应用

      ·方法3 两个原理的综合应用

      ·方法4 元素、位置选择法

      ·方法5 树形图法

      ·方法6 正难则反的方法

      方法1 分类加法计数原理的应用

      根据已知条件确定好分类标准后,分类应满足:完成一件事的任何一种方法,必属于某一类而且仅属于某一类,即类与类之间是相互独立的,是确定的.

      在解题时,应首先分清楚怎样才算完成这件事,完成这件事有n类方法,其中的每一种都可以独立完成这件事.

      方法2 分步乘法计数原理的应用

      应用分步乘法计数原理时,关键是确定分步的步骤,必须是连续做完几步,要不漏不重.

      方法3 两个原理的综合应用

      两个计数原理在解决计数问题时,最重要的是

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      在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步.

      分类要做到不重不漏.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.

      分步要做到步骤完整——完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.

      方法4 元素、位置选择法

      在计数原理问题中涉及元素与位置,解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素.

      方法5 树形图法

      用树形图表示一目了然,便于分析计数,避免了重复或遗漏,在以后的学习中,用树形图直观分析问题是常用的方法,请同学们重视.

      方法6 正难则反的方法

      有些题目从正面思考比较困难,可从问题的反面考虑,即从所有结果中去掉不符合题意要求的结果,从而找到正确答案.

      1.2 排列

      知识清单

      ·知识1 排列

      ·知识2 排列数

      ·知识3 全排列和阶乘

      知识1 排列

      (1)排列的定义:从n个不同元素中取出m个元素(m≤n,n,m∈N),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

      特别提醒 ①排列的定义中包含两个基本内容,一是取出元素;二是按照一定的顺序排列.

      ②只有元素完全相同,并且元素的排列顺序也完全相同时,两个排列才是同一个排列,元素完全相同,但排列顺序不一样或元素不完全相同,排列顺序相同的排列,都不是同一个排列.

      ③定义中规定了m≤n,如果m<n,称为选排列;如果m=n,称为全排列.

      ④定义中一定的顺序,就是说排列与位置有关,在实际问题中,要由具体问题的性质和条件进行判断,这一点要特别注意.

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      ⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题,只有符合排列定义的说法,才是排列问题.

      (2)排列的判断

      判断一个问题是否为排列问题的依据:是否与顺序有关,与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的问题就是排列问题,否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置,看其结果是否有变化,若有变化就与顺序有关,就是排列问题;若没有变化,就与顺序无关,就不是排列问题.

      知识2 排列数

      (1)排列数定义

      从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.

      注意问题:排列与排列数是两个不同的概念,一个排列是指从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,它不是一个数,而是具体的一件事.而排列数是指从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数,它是一个数.

      (2)排列数公式

      特别提醒 ①排列数公式推导的思路:第1步,排第1个位置的元素有n种排法,第2步,排第2个位置的元素有n-1种排法,第3步,排第3个位置的元素有n-2种排法,…,第m步,排第m个位置的元素有n-m+1种排法.因此,由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法.

      ②在实际应用中,一般用=n(n-1)(n-2)×…×(n-m+1)求具体的排列数,而用=n!/(n-m)!进行化简或解决有关证明、解方程、解不等式等问题.

      ③记准公式的形式,并且注意n≥m且n,m∈N这个条件.

      知识3 全排列和阶乘

      (1)全排列

      n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,这时公式中m=n,即有

      =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.

      (2)阶乘

      正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.全排列数公式=n!,规定0!=1.

      知识拓展 排列的应用:

      (1)一般问题的应用:

      求解排列问题时,正确理解题意是最关键的一步,要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语;正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的;还要注意分类时不重不漏,分步时只有依次做完各个步骤,事情才算完成.解决排列应用题的基本思想是:

      解简单的排列应用问题,首先必须认真分析题意,看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序,如果是,再进一步分析n个不同的元素是指什么以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应着什么事情,最后再运用排列数公式求解.

      (2)有限制条件的排列问题:

      在解有限制条件的排列应用题时,要从分析入手,先分析限制条件有哪些,哪些是特殊元素,哪些是特殊位置,在限制条件较多时,要抓住关键条件(主要矛盾),通过正确分类、分步,把复杂问题转化为基本问题,解有限制条件的排列问题的常用方法是:

      直接法 位置分析法
      元素分析法
      插入法
      捆绑法
      间接法

      常见类型有:①在与不在:在的先排,不在的可以排在别的位置,也可以采用间接相减法;②邻与不邻:邻的用捆绑法,不邻的用插空法;③间隔排列:有要求的后排(插空).

      方法清单

      ·方法1 有关排列数的计算

      ·方法2 捆绑法

      ·方法3 插空法

      ·方法4 优先排列法

      ·方法5 排除法

      方法1 有关排列数的计算

      利用排列数公式可以对有关排列数进行求值、化简或证明,在计算中一般利用公式=n(n-1)…(n-m+1),在化简与证明中一般用=n!/(n-m)!.

      page243
      方法2 捆绑法

      把相邻的若干特殊元素捆绑成一个大元素,然后再与其余普通元素全排列,而后松绑,将特殊元素在这些位置上全排列,这就是所谓相邻问题捆绑法.

      方法3 插空法

      对于不相邻问题用插空法,先排其他没有要求的元素,让不相邻的元素插空.

      方法4 优先排列法

      某些元素(或位置)的排法受到限制,列式求解时,应优先考虑这些元素,叫元素分析法,也可优先考虑被优待的位置,叫位置分析法.

      方法5 排除法

      这种方法经常用来解决某些元素不在某些位置的问题.先总体考虑,后排除不符合条件的.

      page244

      1.3 组合

      知识清单

      ·知识1 组合

      ·知识2 组合数与组合数公式

      ·知识3 组合数的性质

      ·知识4 排列、组合的一些基本公式

      知识1 组合

      (1)组合的定义

      从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,也就是说,组合是从n个不同的元素中取出m(m≤n,n,m∈N)个元素,不分次序构成一组.

      (2)排列与组合的联系与区别

      从排列与组合的定义可以知道,两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N)个元素,这是排列与组合的共同点;它们的不同点:排列是把取出的元素再按顺序排列成一列,它与元素的顺序有关系,而组合只要把元素取出来就可以,取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列,否则就不相同;而对于组合,只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合,如a,b与b,a是两个不同的排列,但却是同一个组合.

      (3)规律总结

      ①组合要求n个元素是不同的,被取出的m个元素也是不同的,即从n个不同元素中进行m次不放回的抽取.

      ②组合取出的m个元素不讲究顺序,也就是说,元素没有位置的要求,无序性是组合的本质属性.

      ③根据组合的定义,如果两个组合中的元素完全相同,那么不论元素的顺序如何,都是相同的组合,而只有两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.

      知识2 组合数与组合数公式

      (1)组合数

      从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.

      特别提醒 ①组合数与组合是两个不同的概念,组合是从n个不同的元素中任取m(m≤n,n,m∈N)个元素并成一组,它是一件事,而组合数是一个数.

      ②从集合的角度来看,从n个不同的元素中任取m(m≤n,n,m∈N)个元素并成一组的组合的全体构成一个集合,组合数就是这个集合中元素的个数.

      (2)组合数公式

      知识3 组合数的性质

      (1)性质1=

      这个性质反映了组合数的对称性,其实际意义:从n个不同的元素中取出m(m≤n,n,m∈N)个元素后,就剩下(n-m)个元素,因而从n个不同元素中取m个元素与从n个不同元素中取(n-m)个元素是一一对应的,因此是一样多的.利用这个性质,当m>n/2时,我们可以不直接计算,而是改为计算,这样可以简化运算.

      (2)性质2=

      这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用,在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N)个元素时,对于某一个特定元素,只存在取与不取两种情况,如果取这个元素,则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素,有种取法;如果不取这个元素,则需从剩下的n个元素中取出m个元素,有种取法.

      由分类加法计数原理,可得:=.

      在应用中,要注意这个性质的变形、顺用、逆用等.

      知识4 排列、组合的一些基本公式
      page245

      知识拓展 排列、组合的综合问题:

      (1)应遵循的原则:先分类后分步;先选后排;先组合后排列;有限制条件的优先;限制条件多的优先;避免重复和遗漏.

      (2)具体途径:在解决一个实际问题的过程中,常常遇到排列、组合的综合性问题.而解决问题的关键是审题,只有认真审题,才能把握问题的实质,分清是排列问题,还是组合问题,还是综合问题,分清分类与分步的标准和方式,并且要遵循两个原则:①按元素的性质进行分类;②按事情发生的过程进行分析.

      (3)解排列、组合的综合问题要注意以下几点:

      ①分清分类计数原理与分步计数原理:主要看是独立完成,还是分步完成;

      ②分清排列问题与组合问题:主要看是否与顺序有关;

      ③要特别注意既不要重复,也不要遗漏;

      ④分清是否有限制条件:被限制的元素称为特殊元素,被限制的位置称为特殊位置.

      解这类问题通常从以下三种途径考虑:

      a.以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;

      b.以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;

      c.先不考虑限制条件,计算出排列或组合数,再减去不合要求的排列或组合数.

      前两种叫直接解法,后一种叫间接解法.不论哪种,都应特殊元素(位置)优先考虑.

      (4)排列、组合应用问题的解题策略:

      ①特殊元素优先考虑,特殊位置优先安排的策略;

      ②合理分类和准确分步的策略;

      ③排列、组合混合问题先选后排的策略;

      ④正难则反,等价转化的策略;

      ⑤相邻问题捆绑处理的策略;

      ⑥不相邻问题插空处理的策略;

      ⑦定序问题除法处理的策略;

      ⑧分排问题直接处理的策略;

      ⑨小集团排列问题中先整体后局部的策略;

      ⑩构造模型的策略.

      方法清单

      ·方法1 有关组合数的计算与证明

      ·方法2 组合问题的解决方法

      ·方法3 平均分组的方法

      ·方法4 用挡板法解组合问题

      ·方法5 用大元素法解决染色问题

      ·方法6 模型法

      ·方法7 定序问题除法处理

      方法1 有关组合数的计算与证明

      利用组合数的公式可以求值、化简、证明.

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      特别提醒 ①在解决与组合数有关的问题时要注意隐含条件m≤n且m,n∈N.如本例(3).

      ②要注意公式=的逆向运用,如本例(1)中利用=简化了计算过程.

      ③本例(4)所推导的结论m=n以及它的变形公式是非常重要的公式,应熟练掌握.

      方法2 组合问题的解决方法

      (1)组合的应用:①无约束条件的组合;②有约束条件的组合.掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常见类型,在解有限制条件的组合应用题时,要从分析入手,明确限制条件有哪些,所给元素分几类,识别是什么基本类型,使用直接法还是间接法.

      (2)常见的类型有:①分组与分配:平均分组用除法,分配是先分组后排列;②至多至少型:常用直接分类法或间接相减法;③图形问题:要注意共点、共线、共面等特殊情况,做到不重不漏.

      特别提醒 解决含与不含问题常用优先法来求解,至多至少问题,常采用直接分类法或间接排除法来求解,在选取元素时注意搭配原则,一定要做到不重不漏.

      方法3 平均分组的方法

      一般地,n个不同的元素分成p组,各组的元素数目分别为m1,m2,…,mp,其中k组元素数目相等,那么分组方法数是

      特别提醒 解决分配问题的关键是区分是否与顺序有关,对于平均分组要注意顺序,按先分组再分配的原则去计算.

      方法4 用挡板法解组合问题

      (1)必须是相同元素之间的分配问题才能用挡板法解决,不同元素之间的分配问题我们用分组法

      page247
      解决.

      (2)对于元素相同的至少型组合问题,先转化为至少一个型组合问题,再用n个隔板插在元素的空隙(不包括首尾)中,将元素分成(n+1)份.

      方法5 用大元素法解决染色问题

      用大元素法解决排列、组合中的染色问题,显得分类清楚,不重不漏,分类时要以所涂颜色种数分类,搞清有几对不相邻区域可同色(也即有几个大元素),最少用几种颜色,最多用几种颜色,分选颜色,排区域,涂颜色三步.

      方法6 模型法

      模型法就是通过构造图形,利用形象、直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法.模型法是解决计数问题的重要方法.模型法不仅可以帮助我们准确理解题意,而且还可以帮助我们分析问题,从而建立起两个原理的模型,使问题得以顺利解决.

      方法7 定序问题除法处理

      对于某些元素的顺序已经确定的问题称为定序问题,常用除法处理:先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列的个数.

      page248

      1.4 二项式定理

      知识清单

      ·知识1 二项式定理

      ·知识2 二项展开式的通项公式

      ·知识3 二项式系数的性质

      知识1 二项式定理

      (1)二项式定理的相关概念

      一般地,对于任意正整数n,都有(a+b)^(n)=a^(n)+a^(n-1)b+a^(n-2)b^(2)+…+a^(n-r)b^(r)+…+b^(n)(n∈N^(*)).

      这个式子所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(a+b)^(n)的二项展开式,其中系数(r∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.

      (2)二项式定理的证明

      由于(a+b)^(n)是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择,即选a或选b,并且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项.因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,(a+b)^(n)的展开式共有2^(n)项,其中每一项都是a^(n-k)b^(k)(k=0,1,2,…,n)的形式.

      a^(n-k)b^(k)出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数,这样(a+b)^(n)的展开式中,a^(n-k)b^(k)共有个,将它们合并同类项就可以得到二项展开式.

      特别提醒①(a+b)^(n)的二项展开式中有(n+1)项,比二项式的次数多1.

      ②二项式系数都是组合数(r=0,1,2,…,n),它与二项展开式的系数是两个不同的概念,在实际应用中应注意区别二项式系数与二项展开式的系数.

      ③二项式定理形式上的特点:

      在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,a的次数由n逐项减小1,直到0,同时字母b按升幂排列,次数由0逐项增加1,直到n,并且形式不能乱.

      ④二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)^(n)与(b+a)^(n)的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列次序是不同的,注意不要混淆.

      ⑤二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a,b,该等式都成立,因而,对a,b取不同的特殊值,可以对某些问题的求解提供方便,二项式定理通常有如下两种情形:

      (a-b)^(n)=a^(n)-a^(n-1)b+…+(-1)^(ra^(n-r)b^(r)+…+(-1)^(nb^(n);

      (1+x)^(n)=x+x^(2)+…+x^(r)+…+x^(n).

      ⑥对二项式定理还可以逆用,即a^(n)+a^(n-1)b+…+a^(n-r)b^(r)+…+b^(n)=(a+b)^(n),可用于式子的化简.

      知识2 二项展开式的通项公式

      (1)二项展开式的第(r+1)项Tr1=a^(n-r)b^(r)(r∈{0,1,2,…,n})叫做二项展开式的通项公式,它体现了二项展开式的项数、系数、字母的次数、项的次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些指定项及其系数方面有着十分广泛的应用.

      (2)通项公式的特点:

      ①它表示二项展开式的第(r+1)项,该项的二项式系数是,而不是

      ②字母b的次数与组合数的上标r相同;

      ③a与b的次数之和为n,这就是二项式的次数.

      知识3 二项式系数的性质

      当n依次取0,1,2,3,…,n时,观察(a+b)^(n)的展开式的二项式系数.

      在图中我们可以看出,左侧是根据二项式定理得到的,右侧是算出对应的组合数的值后所得结果,由此我们可以发现以下性质:

      (1)每一行中的二项式系数是对称的,如第一项与最后一项的二项式系数相等,第二项与倒数第二项的二项式系数相等.

      (2)每一行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

      (3)每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.

      (4)第一行为1=2^(0),第二行的两个数之和为2=2^(1),第3行的3个数之和为4=2^(2),…,第7行的各数

      page249
      之和为2^(6),…,第n行的n个数之和为2^(n-1).

      一般地,(a+b)^(n)的二项式系数,…,有如下性质:

      ③当r<时,<,当r>时,<,即n为偶数时,二项式系数中以最大,当n为奇数时,二项式系数中以最大且二者相等.

      特别提醒 上述性质既可以通过观察杨辉三角得到,又可以通过逻辑推理直接得到.

      由组合数的性质=可以得到对称性.

      ·,可知相对于的增减情况将由与1的大小关系决定.

      >1k<,可知当k<时,二项式系数是增加的,再由对称性可知,另一部分是减小的,所以在中间取得最大值.

      ①在二项式定理中,令a=b=1,便有(1+1)^(n)=+…+,即+…+=2^(n).

      ②若令a=1,b=-1,则有(1-1)^(n)=+…+(-1)^(n

      ③要特别注意赋值法的应用.

      方法清单

      ·方法1 利用二项式证明有关不等式

      ·方法2 利用二项式定理证明整除问题或求余数

      ·方法3 利用二项式进行近似计算

      ·方法4 求展开式特定项

      ·方法5 赋值法

      ·方法6 多项式的展开式问题

      方法1 利用二项式证明有关不等式

      证明有关不等式的方法:

      (1)用二项式定理证明组合数不等式时,通常表现为二项式定理的正用或逆用,再结合不等式证明的方法进行论证.

      (2)运用时应注意巧妙地构造二项式.

      证明不等式时,应注意运用放缩法,即对结论不构成影响的若干项可以去掉.

      方法2 利用二项式定理证明整除问题或求余数

      (1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是要巧妙地构造二项式,其基本做法:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.

      (2)用二项式定理处理整除问题时,通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了.

      (3)要注意余数的范围,a=c·r+b,b为余数,b∈[0,r),r是除数,利用二项式定理展开变形后,若剩余部分是负数要注意转换.

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      方法3 利用二项式进行近似计算

      当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式(1+a)^(n)≈1+na,因为这时展开式的后面部分a^(2)+a^(3)+…+a^(n)很小,可以忽略不计.类似地,有(1-a)^(n)≈1-na.但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求.

      要根据要求选取展开式中保留的项,以最后一项小数位超要求即可,少了不合要求,多了无用且增加麻烦.

      方法4 求展开式特定项

      (1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求,以确定公式中r的取值或范围.

      (2)要正确区分二项式系数与展开式系数,对于(a-b)^(n)展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题,要注意系数的正负.

      方法5 赋值法

      利用赋值法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题.

      一般地,对于多项式g(x)=(a+bx)^(n)=a0+a1x+a2x^(2)+…+anx^(n),

      g(x)的各项的系数的和为g(1),

      g(x)的奇数项的系数和为1/2[g(1)+g(-1)],

      g(x)的偶数项的系数和为1/2[g(1)-g(-1)].

      page251
      方法6 多项式的展开式问题

      对于多项式(a+b+c)^(n),我们可以转化为[a+(b+c)]^(n)的形式,再利用二项式定理,求解有关问题.

      特别提醒 (1)对某些不是二项式但又可化为二项式的式子,可先将其化为二项式,再求解.

      (2)利用二项式展开式的通项Tr1可求展开式中某些特定项.

      方法拓展 可转化为二项式的其他多项式问题:

      (1)三项式的问题转化为二项式问题,运用二项式定理加以解决,也可用二项式定理展开式.

      (2)对于求多个二项式的和或积及三项式的展开式中某项的系数问题,注意排列、组合知识的应用.

      page252
       第2章 随机变量及其分布

      第2章 随机变量及其分布

      2.1 离散型随机变量及其分布列

      知识清单

      ·知识1 试验与随机试验

      ·知识2 随机变量

      ·知识3 离散型随机变量的分布列

      ·知识4 两点分布

      ·知识5 超几何分布

      知识1 试验与随机试验

      凡是对现象的观察或为此而进行的一个实验,都称为试验,一个试验如果满足下述条件:①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果,那么这个试验就叫做随机试验.

      知识2 随机变量

      如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,随机变量常用希腊字母ξ,η等表示,也可以用英文字母X,Y等表示.

      (1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.

      (2)连续型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.

      (3)若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a,b是常数,则η也是随机变量.

      规律总结:随机变量是把随机试验的结果数量化,变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件,在学习中,要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系.

      随机变量和函数都是一种映射,随机变量把试验结果映射为实数,函数把实数映射为实数,在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.

      知识3 离散型随机变量的分布列

      (1)分布列的定义

      一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每个值xi(i=1,2,3,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:

      X x1 x2 xi xn
      P p1 p2 pi pn

      这个表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了简单起见,用式子P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n)表示X的分布列,或用图象表示.因此,分布列可有三种表示形式,即表格、式子P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n)、图象,常用的表格法是基本形式,其结构为两行、(n+1)列,第一行表示随机变量的取值,第二行是对应于变量的概率.

      (2)离散型随机变量的分布列的性质

      ①pi≥0,i=1,2,3,…,n;

      ②p1+p2+p3+…+pi+…+pn=1.

      并且有:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和,即P(a≤X≤b)=P(X=a)+P(X=1+a)+…+P(X=b),P(a<X<b)=P(X=a+1)+P(X=a+2)+…+P(X=b-1).

      知识4 两点分布

      随机变量X的分布列

      X 0 1
      P 1-p p

      称为两点分布的分布列,如果随机变量X的分布列为两点分布列,那么称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.

      知识5 超几何分布

      一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中含有X件次品,则事件X=k发生的概率为

      P(X=k)= ,k=0,1,2,…,m,

      其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈

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      N^(*),称分布列

      X 0 1 m
      P

      为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.

      特别提醒 ①超几何分布列给出了求解这类问题的方法,可以通过直接运用公式求解.但不能机械地去记忆公式,要在理解的前提下记忆.

      ②在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式,求出X取不同k值时的概率P(X=k),从而列出X的分布列.

      方法清单

      ·方法1 求离散型随机变量分布列

      ·方法2 求两点分布的分布列

      ·方法3 求超几何分布的分布列

      ·方法4 利用分布列求概率

      方法1 求离散型随机变量分布列

      (1)先判断一个变量是否为离散型随机变量,主要看变量的值能否按一定的顺序一一列举出来.

      (2)明确随机变量X可取哪些值.

      (3)求X取每一个值的概率.

      (4)列成分布列表.

      方法2 求两点分布的分布列

      两点分布的试验结果只有两个可能值,且概率之和为1.

      方法3 求超几何分布的分布列

      超几何分布中求随机变量取值的概率,关键是理解公式的意义,转化成符合超几何分布定义的题型.

      page254
      方法4 利用分布列求概率

      若已知离散型随机变量的分布列,可利用分布列的性质求概率.

      2.2 二项分布及其应用

      知识清单

      ·知识1 条件概率

      ·知识2 相互独立事件同时发生的概率

      ·知识3 独立重复试验

      ·知识4 二项分布

      ·知识5 二项分布的判断与应用

      知识1 条件概率

      (1)条件概率的定义

      对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示.

      (2)条件概率公式

      P(B|A)=P(A∩B)/P(A),其中P(A)>0,A∩B称为事件A与B的交(或积).

      (3)条件概率的求法

      ①利用条件概率公式,分别求出P(A)和P(A∩B),得P(B|A)=P(A∩B)/P(A).

      ②借助古典概型概率公式,先求出事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=n(AB)/n(A).

      知识2 相互独立事件同时发生的概率

      (1)相互独立事件

      ①相互独立事件的定义:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.

      ②一般地,当事件A与B相互独立时,事件A与与B,A与也都是相互独立的.

      (2)相互独立事件同时发生的概率

      对于事件A和事件B,用AB表示事件A与B同时发生.

      如果事件A与B相互独立,那么事件AB发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即

      P(AB)=P(A)·P(B).

      一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).

      知识3 独立重复试验

      (1)独立重复试验的意义:做n次试验,如果它们是完全同样的一个试验的重复,且它们相互独立,那么这类试验叫做独立重复试验.

      (2)一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=p^(k)(1-p)^(n-k),k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.

      (3)独立重复试验:在n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.

      (4)独立重复试验概率公式的特点

      Pn(k)=p^(k)(1-p)^(n-k)是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.

      其中,n是重复试验的次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数,需要弄清公式中n,p,k的意义,才能正确运用公式.

      page255
      知识4 二项分布

      如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X=k)=p^(k)q^(n-k),其中k=0,1,…,n,q=1-p,于是得到随机变量ξ的概率分布如下:

      X 0 1 k n
      P

      我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作X~B(n,p),其中n,p为参数,并记p^(k)q^(n-k)=B(k,n,p).

      二项分布是常见的离散型随机变量的分布.一般地,如果能考虑的试验可以看成是一个只有两个可能的结果A和A的独立重复试验,则n次试验中A发生的次数ξ服从二项分布.注意在实际应用中往往出现较大很大非常多等字眼,这表明试验可视为独立重复试验.

      知识5 二项分布的判断与应用

      (1)二项分布,实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述,判断二项分布,关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验,且每次试验只有两种结果,如果不满足这两个条件,随机变量就不服从二项分布.

      (2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果时,我们可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.

      知识拓展 常见事件与概率间的关系:

      已知两个事件A,B,它们的概率为P(A),P(B).将A,B中至少有一个发生记为事件A+B,都发生记为事件AB,都不发生记为事件,恰有一个发生记为事件A+AB,至多有一个发生记为事件B+A,则它们概率间的关系见下表:

      概率 A,B互斥 A,B相互独立
      P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P(
      P(AB) 0 P(A)P(B)
      P( 1-[P(A)+P(B)] P()P(
      P(A+B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B)
      P(+A+B) 1 1-P(A)P(B)

      方法清单

      ·方法1 直接由相互独立事件的概率公式求概率

      ·方法2 求条件概率

      ·方法3 求独立重复试验的概率

      ·方法4 二项分布的应用

      方法1 直接由相互独立事件的概率公式求概率
      方法2 求条件概率

      (1)求条件概率问题的步骤:

      ①用字母表示有关事件;

      ②求P(AB),P(A);

      ③利用条件概率公式求P(B|A).

      (2)要灵活掌握P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间的关系,即P(B|A)=P(AB)/P(A),P(A|B)=P(AB)/P(B),P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A).

      page256
      方法3 求独立重复试验的概率

      在n次独立重复试验中,在相同条件下等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响,即P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)…P(An),其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次试验的结果.

      方法4 二项分布的应用

      应用二项分布时应注意:

      (1)每次试验中,事件A发生的概率是相同的.

      (2)各次试验间都是相互独立的.

      (3)每次试验只有两种结果:事件A要么发生,要么不发生.

      2.3 离散型随机变量的均值与方差

      知识清单

      ·知识1 离散型随机变量的均值的定义

      ·知识2 均值的性质

      ·知识3 离散型随机变量的方差的概念

      ·知识4 方差的作用

      ·知识5 方差的有关性质

      ·知识6 常见离散型随机变量分布的数学期望与方差

      知识1 离散型随机变量的均值的定义

      一般地,若离散型随机变量X的分布列为

      X x1 x2 xi xn
      P p1 p2 pi pn

      则称E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望,用EX或EX表示,即E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn或E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn.

      离散型随机变量X的均值也称为X的概率分布的均值,它反映了随机变量X取值的平均水平.

      准确理解期望与方差的含义是解题的关键所在.

      page257

      应注意以下问题:

      (1)求离散型随机变量的期望应注意:

      第一,期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.

      第二,EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变的,可取不同值,而EX是不变的,它描述X取值的平均状态.

      第三,EX=x1p1+x2p2+…+xnpn直接给出了EX的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

      (2)随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随着抽取的样本的不同而不同,对于随机抽取的样本,随着样本容量的增大,样本平均值越来越接近于总体的均值,随机变量的均值越大,说明总体的平均数越大,反之,就越小.

      知识2 均值的性质

      若离散型随机变量X的均值为EX,Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是一个离散型随机变量;若X的分布列为

      X x1 x2 xn
      P p1 p2 pn

      则Y的分布列为

      Y y1 y2 yn
      P p1 p2 pn

      且yi=axi+b(i=1,2,…,n),所以有EY=y1p1+y2p2+…+ynpn=E(aX+b)=E(aX)+b=aEX+b.

      特别地,当a=0时,Eb=b;

      当a=1时,E(X+b)=EX+b;

      当b=0时,E(aX)=aEX.

      知识3 离散型随机变量的方差的概念

      设离散型随机变量X的分布列为

      X x1 x2 xi xn
      P p1 p2 pi pn

      则(xi-EX)^(2)描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度.

      而DX=(xi-EX)^(2)pi为这些偏离程度的加权平均数,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,我们称DX为随机变量X的方差,并称其算术平方根为随机变量X的标准差.

      随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.

      知识4 方差的作用

      随机变量的方差与标准差一样,都是反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散程度,方差越小,取值越集中,稳定性越高,波动性越小;反之,方差越大,取值越不集中,稳定性越差,波动性越大.

      对离散型随机变量的方差应注意:

      (1)DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大,表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散,反之,DX越小,X的取值越集中,在EX附近.统计中常用来描述X的分散程度.

      (2)DX与EX一样也是一个实数,由X的分布列唯一确定.

      知识5 方差的有关性质

      当a,b均为常数时,随机变量Y=aX+b的方差DY=D(aX+b)=a^(2)DX.

      特别地,当a=0时,Db=0;

      当a=1时,D(X+b)=DX;

      当b=0时,D(aX)=a^(2)DX.

      知识6 常见离散型随机变量分布的数学期望与方差

      (1)单点分布

      EX=C(C为常数),DX=0.

      (2)两点分布

      EX=p,DX=p(1-p).

      特别提醒 事实上,假设在一次试验中某事件发生的概率为p,X是一次试验中此事件发生的次数,令q=l-p,则有P(X=0)=q,P(X=1)=p,可得EX=0×q+1×p=p.

      DX=(0-p)^(2)P(X=0)+(1-p)^(2)P(X=1)

      =p^(2)(1-p)+(l-p)^(2)p

      =p(1-p)[p+(l-p)]=p(l-p).

      (3)二项分布

      若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).

      page258

      方法清单

      ·方法1 求均值(数学期望)的一般步骤

      ·方法2 方差的求法

      ·方法3 期望与方差的实际应用

      ·方法4 由期望、方差的定义求概率

      方法1 求均值(数学期望)的一般步骤

      (1)首先判断随机变量是否服从两点分布、二项分布或超几何分布,若服从,则直接用公式求均值.

      (2)若不服从特殊的分布,则先求出随机变量的分布列,再利用公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn求均值.

      方法2 方差的求法

      (1)若随机变量X服从两点分布或二项分布,则直接利用方差公式可求.

      (2)若随机变量X不服从特殊的分布时,求法:

      ①先求出X的分布列;

      ②求EX=x1p1+x2p2+…+xnpn

      ③利用公式DX=(x1-EX)^(2)p1+(x2-EX)^(2)p2+…+(xn-EX)^(2)pn,求方差DX.

      (3)利用公式DX=E(X^(2))-(EX)^(2)求方差.

      对公式DX=E(X^(2))-(EX)^(2)的证明如下:

      DX=(x1-EX)^(2)p1+ (x2-EX)^(2)p2 +…+(xn-EX)^(2)pn

      =(x12)p1+x22)p2+…+xn2)pn)-2EX(x1p1+x2p2+…+xnpn)+(EX)^(2)(p1+p2+…+pn

      =E(X^(2))-2(EX)^(2)+ (EX)^(2

      =E(X^(2))-(EX)^(2

      page259
      方法3 期望与方差的实际应用

      (1)期望刻画了离散型随机变量所取得的平均值,是描述这类随机变量集中趋势的一个特征数,在实际生活中,它可以用来为投资者预测其平均利润.

      (2)随机变量ξ的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况,若有两个随机变量ξ1,ξ2,且Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2比较接近,我们常用Dξ1与Dξ2来比较这两个随机变量.方差大时,则表明ξ较为离散,反之,则表明ξ较为集中.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确状况、武器的性能等很多指标与这两个特征值(期望、方差)有关.

      方法4 由期望、方差的定义求概率

      当已知随机变量的期望和方差时,可由期望、方差的定义求随机变量的概率.

      方法拓展 利用变量间的关系求期望:

      若已知X的分布列,变量Y=aX+b(a,b是常数),则可利用EY=aEX+b求变量Y的期望.

      page260

      2.4 正态分布

      知识清单

      ·知识1 正态曲线

      ·知识2 正态分布

      ·知识3 正态曲线的性质

      ·知识4 3σ原则

      知识1 正态曲线

      函数f(x)=,x∈R,其中实数μ和σ(σ>0)为参数.我们称f(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

      随机变量X落在区间(a,b]的概率为

      P(a<X≤b) ≈ f(x)dx

      即由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积,就是随机变量X落在区间(a,b]的概率的近似值,如图.

      知识2 正态分布

      一般地,如果对于任何实数a<b,随机变量X满足P(a<X≤b)=f(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ^(2)).如果随机变量X服从正态分布,那么记为X~N(μ,σ^(2)).

      特别提醒 (1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把μ=0,σ=1的正态分布叫做标准正态分布,记作N(0,1).

      (2)若X~N(μ,σ^(2)),则X的均值与方差分别为:EX=μ,DX=σ^(2),即参数μ为所给数据的数学期望或均值,σ^(2)为所给数据的方差,σ为标准差.

      (3)正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多随机变量都近似服从正态分布.如长度测量的误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等.

      (4)一般地,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.

      知识3 正态曲线的性质

      正态曲线f(x)=,x∈R有以下性质:

      (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

      (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

      (3)曲线在x=μ处达到峰值

      (4)曲线与x轴之间的面积为1;

      (5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图.

      (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越高瘦,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越矮胖,表示总体的分布越分散,如图.

      规律总结:性质(1)说明函数的值域为正实数集的子集,且以x轴为渐近线;性质(2)是曲线的对称性,关于直线x=μ对称;性质(3)说明函数在x=μ处取得最大值;性质(4)说明正态变量在(-∞,+∞)内取值的概率为1;性质(6)说明当均值一定时,σ变化对总体分布的集中、离散程度的影响.

      知识4 3σ原则

      若X~N(μ,σ^(2)),则对于任何实数a>0,P(μ-a<X≤μ+a)=.

      特别地:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,

      P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,

      page261

      P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974,

      如图:

      可以看到,正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.

      在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ^(2))的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.

      特别提醒 对于有关正态分布的计算问题,要记住正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.

      方法清单

      ·方法1 利用正态曲线的对称性求概率

      ·方法2 利用正态分布中的3σ原则求概率

      ·方法3 正态分布的实际应用方法

      方法1 利用正态曲线的对称性求概率

      充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质.

      正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于直线x=μ对称的区间上概率相等.

      方法2 利用正态分布中的3σ原则求概率

      P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,

      P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,

      P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.

      这三个概率是已知的,把所求的问题转到这三个区间内解决.

      方法3 正态分布的实际应用方法

      在实际问题中进行概率、百分比计算时,关键是确定正态分布的两个重要参数μ和σ,然后确定三个区间(范围):μ-σ<X≤μ+σ,μ-2σ<X≤μ+2σ,μ-3σ<X≤μ+3σ与所求区间的关系,再与已知概率进行联系求解.另外,还要注意μ为随机变量的均值,故P(X>μ)=0.5.

      page262
       第3章 统计案例

      第3章 统计案例

      3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

      知识清单

      ·知识1 线性回归方程的确定

      ·知识2 散点图

      ·知识3 回归分析

      ·知识4 线性相关系数

      ·知识5 相关性检验

      ·知识6 解释变量与随机误差对预报精度的影响以及残差分析

      ·知识7 非线性回归问题

      知识1 线性回归方程的确定

      如果一组具有相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)大致分布在一条直线附近,那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系(也称一元线性相关),这条直线就是回归直线,记为y=bx+a,由最小二乘法可求得中(x1,y1)为样本数据,==为样本平均数,()称为样本点中心,且所求线性回归直线经过样本点中心.当回归直线斜率b>0时,为线性正相关,b<0时,为线性负相关.

      知识2 散点图

      如果我们把n个样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),以x为横坐标,y为纵坐标,在xOy平面上描成点,就构成了散点图,那么经验公式=bx+a代表的直线f(x)=bx+a(称为回归直线)和观测数据点的偏差[yi-(bxi+a)]^(2)是xOy平面上所有直线和观测数据点的偏差中最小的.

      知识3 回归分析

      (1)函数关系

      函数关系是一种确定关系,可以用解析式来表示.

      (2)相关关系

      当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.

      (3)回归分析

      与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.

      特别提醒 进行回归分析时的注意事项:

      ①做回归分析要有实际意义;

      ②回归分析前,最好先作出散点图;

      ③应用回归方程进行预测时,不要使用超出资料所包括范围的自变量数值;

      ④预测的回归方程只能反映一定时期内事物间的相互关系,随着时间的推移,这种关系会起变化.

      知识4 线性相关系数

      对于变量x与y随机抽取到的n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用相关系数r来表示两个变量之间的线性相关关系,相关系数r的计算公式:

      当r>0时,表明两个变量正相关;

      当r<0时,表明两个变量负相关;

      |r|越接近于1,表明两个变量之间的线性相关

      page263
      关系越强;

      |r|越接近于0,表明两个变量之间的线性相关关系越弱;

      通常当|r|>0.75时,我们认为两个变量存在较强的线性相关关系.

      知识5 相关性检验

      利用散点图可以帮助我们寻找线性相关关系,但在实际问题中,有时较难确定这些点是不是分布在一条直线的附近.同时如果不考虑散点图,对于任意的一组数据,我们都可以求出一个回归方程,但它能不能反映这一组数据的变化规律?如果不能,这个回归直线方程就没有多少实际意义.

      为了解决上述问题,我们有必要对x与Y作线性相关性检验,简称相关性检验.

      检验的步骤如下:

      (1)作统计假设:x与Y不具有线性相关关系;

      (2)根据小概率0.05与n-2在附表中查出r的一个临界值r0.05

      (3)根据样本相关系数计算公式算出r的值;

      (4)作统计推断:如果|r|>r0.05,表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系.

      如果|r|≤r0.05,我们没有理由拒绝原来的假设,这时寻找回归直线方程是毫无意义的.

      知识6 解释变量与随机误差对预报精度的影响以及残差分析

      (1)线性回归模型y=bx+a+e,Ee=0,De=σ^(2)其中a和b为模型的未知参数,x称为解释变量,y称为预报变量,e是y与=bx+a之间的误差,e叫随机误差.随机误差的估计值为i=yii=yixi,i=1,2,…,n,êi称为相应于样本点(xi,yi)的残差.

      (2)随机误差的方差估计值σ^(2)衡量回归方程的预报精度.

      因此,可以用随机误差的方差估计值(其中n>2,残差平方和为Q()=(yii)^(2))衡量回归方程的预报精度,显然σ^(2)越小,预报精度越高.

      (3)通过残差分析判断模型的拟合效果.

      由êi=yii=yixi计算出残差ê1,ê2,…,ên,然后选取横坐标为编号或解释变量或预报变量,纵坐标为残差作出残差图.通过图形分析,如果样本点的残差较大,就要分析样本数据的采集是否有错误;另一方面,可以通过残差点分布的水平带状区域的宽窄,说明模型拟合效果,反映回归方程的预报精度.

      R^(2)反映模型的拟合效果.

      R^(2)越接近于1(即越接近于0),表示回归的效果越好,即解释变量和预报变量的线性相关性越强.

      知识7 非线性回归问题

      非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与以前学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合最好的函数,然后采用适当的变量置换,把问题转化为线性回归分析问题,使之得到解决.

      方法清单

      ·方法1 建立回归模型的基本步骤

      ·方法2 由回归方程系数的实际意义判定回归方程

      ·方法3 利用相关系数判断线性相关性的强弱

      方法1 建立回归模型的基本步骤

      (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量;

      (2)画出解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等);

      (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程);

      (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数;

      (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等),若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.

      page264
      方法2 由回归方程系数的实际意义判定回归方程

      相关系数r与回归方程=bx+a中的b具有相同的正负号.若b>0,则r>0,两个变量正相关;若b<0,则r<0,两个变量负相关.

      方法3 利用相关系数判断线性相关性的强弱

      (1)|r|越接近于1,表明两个变量间的线性相关关系越强;

      (2)|r|越接近于0,表明两个变量间的线性相关关系越弱;

      (3)通常当|r|>0.75时,我们认为两个变量存在较强的线性相关关系.

      方法拓展 非线性回归方程的求法:

      (1)根据原始数据(x,y)作出散点图;

      (2)根据散点图,选择恰当的拟合函数;

      (3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程;

      (4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.

      page265

      特别提醒 非线性相关问题中常见的几种线性变换:

      ①y=a+b/x,令y′=y,x′=1/x,则y′=a+bx′.

      ②y=ax^(b),令y′=ln y,x′=ln x,a′=ln a,则y′=a′+bx′.

      ③y=ae^(bx),令y′=ln y,x′=x,a′=ln a,则y′=a′+bx′.

      ④y=ae^(b/x),令y′=ln y,x′=1/x,a′=ln a,则y′=a′+bx′.

      ⑤y=a+bln x,令y′=y,x′=ln x,则y′=a+bx′.

      3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

      知识清单

      ·知识1 分类变量

      ·知识2 2×2列联表

      ·知识3 独立性检验

      知识1 分类变量

      对于性别变量,其取值为男和女两种.这种变量的不同值表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.

      特别提醒 (1)分类变量的取值一定是离散的,分类变量的取值有时可用数字来表示.

      (2)分类变量也称为属性变量或定性变量,其不同取值仅表示个体属性的类别.

      知识2 2×2列联表

      (1)列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.

      (2)一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表):

      y1 y2 总计
      x1 a b a+b
      x2 c d c+d
      总计 a+c b+d a+b+c+d
      知识3 独立性检验

      (1)概念

      利用随机变量(K^(2))确定在多大程度上可以认为两个分类变量有关系的方法称为两个分类变量的独立性检验.

      随机变量K^(2)=,其中n=a+b+c+d为样本容量.

      (2)独立性检验的基本思想

      独立性检验的基本思想类似于反证法,要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设两个分类变量没有关系成立,在该假设下构造的随机变量K^(2)应该很小,如果由观测数据计算得到的K^(2)的观测值k很大,那么在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量K^(2)的含义,与有关的临界值相比较,可确定可信程度.

      (3)独立性检验的基本方法

      一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)如下:

      y1 y2 总计
      x1 a b a+b
      x2 c d c+d
      总计 a+c b+d a+b+c+d

      若要推断的论述为H1:X与Y有关系,则可以按如下步骤判断结论H1成立的可能性:

      ①通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略判断两个分类变量是否有关系,但是这种判断方法无法精确给出所得结论的可靠程度.

      ②可以利用独立性检验来分析两个分类变量是否有关系,并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度,具体做法是:根据观测数据计算由公式K^(2)=所给出的检验随机变量K^(2)的观测值k,并且k的值越大,说明X与Y有关系成立的可能性越大,可以利用以下数据来确定X与Y有关系的可信程度.

      page266

      a.如果k>10.828,就有99.9%的把握认为X与Y有关系;

      b.如果k>7.879,就有99.5%的把握认为X与Y有关系;

      c.如果k>6.635,就有99%的把握认为X与Y有关系;

      d.如果k>5.024,就有97.5%的把握认为X与Y有关系;

      e.如果k>3.841,就有95%的把握认为X与Y有关系;

      f.如果k>2.706,就有90%的把握认为X与Y有关系;

      g.如果k≤2.706,就认为没有充分的证据显示X与Y有关系.

      知识拓展 反证法原理与独立性检验原理的比较:

      反证法原理 在假设H0下,如果推出一个矛盾结果,就证明了H0不成立
      独立性检验原理 在假设H0下,如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件,就推断H0不成立,且该推断犯错误的概率不超过这个小概率

      方法清单

      ·方法1 利用独立性检验推断分类变量的关系

      ·方法2 由频数分布表完成2×2列联表的方法

      方法1 利用独立性检验推断分类变量的关系

      可以利用独立性检验来推断两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法是:

      (1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0

      (2)利用公式,由观测数据计算得到随机变量K^(2)的观测值k;

      (3)如果k>k0,就以(1-P(K^(2)≥k0))×100%的把握认为X与Y有关系,否则就说样本观测数据没有提供X与Y有关系的充分证据.

      在实际应用中,要在获取样本数据之前通过下表确定临界值.

      P(K^(2)≧k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 010 0.05 0.025 0.010 0005 0001
      k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
      方法2 由频数分布表完成2×2列联表的方法

      独立性检验与统计知识结合在一起考查是一个很好的结合点,解题的关键是正确从图表中得到相关数据.

      page267

      方法拓展 列联表与等高条形图的应用:

      (1)利用列联表直接计算,如果两者相差很大,就判断两个分类变量之间有关系的可能性较大.

      (2)可以从等高条形图中直观判断列联表数据的频率特征,这种直观判断的不足之处在于不能直接给出推断两个分类变量有关系犯错误的概率.

      (3)计算随机变量K^(2)并加以判断.

      page268
       第4章 框图

      第4章 框图

      4.1 流程图

      知识清单

      ·知识1 流程图

      ·知识2 流程图的画法

      ·知识3 绘制流程图的一般过程

      知识1 流程图

      由一些图形符号与文字说明构成的图示称为流程图,常常用来表示一些动态过程,通常会有一个起点,一个或多个终点.显然,程序框图是流程图的一种.流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤,在生活和工作的很多领域有广泛的应用.

      知识2 流程图的画法

      (1)程序框图

      将每一个算法步骤分解为若干输入、输出、条件结构、循环结构等基本算法单元,然后根据各单元的逻辑关系,用流程线将这些基本单元连接起来.

      (2)工序流程图

      将工业生产的工序划分为若干步骤(每一个明确步骤叫一个基本单元),理清各步骤之间的顺序关系,用简洁的语言表述各步骤,绘制流程图,并检验是否符合实际情况.

      (3)数学方法中的流程图

      将数学方法的主要逻辑步骤分解为若干个单元,每个单元注以文字、符号说明,再用流程线连接.我们用流程图表示综合法和分析法的解题过程如下:

      综合法:

      P→Q1Q1→Q2Q2→Q3Qn→Q

      分析法:

      Q←P1P1←P2P2←P3得到一个明显成立的条件

      知识3 绘制流程图的一般过程

      首先,用自然语言描述流程步骤;其次,分析每一步骤是否可以直接表达,或是否需要借助逻辑结构来表达;再次,分析各步骤之间的关系;最后,画出流程图表示整个流程.

      鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端,人们开始用流程图来表示算法,这种描述方法既避免了自然语言描述算法的拖沓冗长,又消除了歧义性,且能清晰准确地表述该算法的每一步骤,因而深受欢迎.

      方法清单

      ·方法1 由程序框图的实际应用完善执行框的方法

      ·方法2 由程序框图的功能计算输出值的方法

      ·方法3 绘制流程图的方法

      方法1 由程序框图的实际应用完善执行框的方法

      对于程序框内的内容要由其完成的算法决定.

      page269
      方法2 由程序框图的功能计算输出值的方法

      可用列举的方法计算程序框图输出的值.

      方法3 绘制流程图的方法

      (1)自上而下,逐步绘制

      流程图一般按照从左到右、从上到下的顺序来写.首先把一个复杂的大问题分解为若干个相对独立的小问题,然后对应每个小问题再编写成相对独立的程序,最后再把各个部分统一组装.

      (2)明确步骤,搞清各步骤之间的关系

      用程序框图表示前,首先明确分几步,及各步骤之间的关系,才能够清晰地表达系统各部分之间的关系.

      4.2 结构图

      知识清单

      ·知识1 结构图

      ·知识2 结构图分类

      知识1 结构图

      结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成,连线通常按照从上到下,从左到右的方向(方向箭头按照箭头所指的方向)表示要素的从属关系或逻辑的先后关系.例如:图1中的定义图象和性质与指数函数都是从属关系,而图2则反映了指数幂的推广过程.

      page270
      知识2 结构图分类

      (1)树形结构图

      构成系统的要素一般至少有一个上位或下位要素.一般情况下,下位要素比上位要素更为具体,上位要素比下位要素更为抽象,下位要素越多,结构图越复杂.

      (2)环形结构图

      包含逻辑先后关系的结构图可能呈环形结构.在绘制环形结构时,可以先根据逻辑先后关系按照从左到右或从上到下的顺序画出各要素的图框,再用线或方向箭头适当连接.

      特别提醒 从结构图的功能来看,还可分为知识结构图、组织结构图等.知识结构图:描述知识各部分之间的关系.组织结构图:表示一个组织或部门的构成.

      知识拓展 流程图与结构图的区别:

      流程图用来描述动态过程,结构图用来刻画系统结构.

      方法清单

      ·方法1 分层绘制结构图的方法

      ·方法2 利用结构图确定要素间的关系

      方法1 分层绘制结构图的方法

      首先,要对所画结构图的每一部分有深刻的理解和透彻的掌握,从头至尾抓住主要脉络进行分解,然后将每一步分解进行归纳与提炼,形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内,最后,按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连,这样就画成了知识结构图.

      绘制结构图的步骤:①先确定组成系统的基本要素以及这些要素之间的关系;②处理好上位与下位的关系;下位要素比上位要素更为具体,上位要素比下位要素更为抽象;③再逐步细化各层要素;④画出结构图,表示整个系统.

      方法2 利用结构图确定要素间的关系

      结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成,连线通常是从上到下或从左到右的方向,一般呈树形状的结构,在结构图中也经常出现一些环形结构,这种情形常在表达逻辑先后关系时出现.

      page271
       选修4-1 几何证明选讲

      选修4-1 几何证明选讲

      第一讲 相似三角形的判定及有关性质

      知识清单

      ·知识1 平行线等分线段定理

      ·知识2 平行线分线段成比例定理

      ·知识3 相似三角形的判定

      ·知识4 相似三角形的性质

      ·知识5 直角三角形的射影定理

      知识1 平行线等分线段定理

      (1)定理

      如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.

      推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

      推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.

      (2)中位线定理

      三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.

      梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.

      以上两定理即为推论1、推论2的逆定理.

      知识2 平行线分线段成比例定理

      (1)定理

      三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

      推论1:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例

      推论2:用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

      推论1的逆定理:如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.

      (2)三角形内角平分线定理

      三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个三角形两边对应成比例.

      知识3 相似三角形的判定

      (1)相似三角形的概念

      对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,对应边的比称为相似比或相似系数.

      (2)预备定理

      平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.

      (3)相似三角形的判定定理

      判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.即两角对应相等,两三角形相似.

      判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.即两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.

      判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.即三边对应成比例,两三角形相似.

      (4)直角三角形相似的判定定理

      定理1:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似.

      定理2:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.

      定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

      知识4 相似三角形的性质

      性质定理1:相似三角形周长的比等于相似比.

      性质定理2:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

      性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方.

      性质定理4:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.

      知识5 直角三角形的射影定理

      (1)射影的概念

      在太阳光的照射下,物体总会在地面上留下阴

      page272
      影,这就是射影的概念.

      从一点向一条直线作垂线,垂足称作这个点在这条直线上的正射影.

      一般地,一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合,称这个点集在这条直线上的射影.如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段.

      (2)锐角三角函数的定义

      如图,sinα=α的对边/斜边,cosα=α的邻边/斜边,tanα=α的对边/α的邻边.

      (3)直角三角形的射影定理和逆定理

      定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.

      逆定理:如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项,那么这个三角形是直角三角形.

      勾股定理:直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.

      特别提醒 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似,在证明直角三角形相似时,要特别注意直角这一隐含条件.

      (4)任意三角形的射影定理

      定理:平面三角形中,设一个三角形的三边分别为a,b,c,它们所对的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,则有a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A.

      方法清单

      ·方法1 由判定定理判定三角形相似

      ·方法2 相似三角形性质的应用

      ·方法3 直角三角形性质的应用

      ·方法4 平行线分线段对应成比例的应用

      方法1 由判定定理判定三角形相似

      (1)已知有一角相等,可选择判定定理1或判定定理2;

      (2)已知有两边对应成比例,可选择判定定理2或判定定理3;

      (3)判定直角三角形相似时,首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定,若不能,再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定.

      方法2 相似三角形性质的应用

      在求角、线段、面积时,可利用相似三角形的性质转化到容易求的三角形中去求.

      方法3 直角三角形性质的应用

      当题目中有直角时可构造直角三角形,利用直角三角形的性质解题.

      page273

      方法4 平行线分线段对应成比例的应用

      利用题目中的中点、三等分点作平行线,利用平行线分线段对应成比例来解题.

      在利用平行线分线段成比例定理及推论解决问题时,常在复杂的图形中找出基本图形(有时需添加辅助线,构成基本图形),借图解题.

       第二讲 直线与圆的位置关系

      第二讲 直线与圆的位置关系

      知识清单

      ·知识1 圆周角定理

      ·知识2 直角三角形中线定理的逆定理

      ·知识3 圆内接四边形的性质与判定

      ·知识4 圆的切线的性质与判定

      ·知识5 弦切角

      ·知识6 与圆有关的比例线段

      知识1 圆周角定理

      (1)圆周角的概念

      顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角.如图,∠BAC为圆周角,圆周角的范围是(0,π).

      圆周角应满足两个条件:一是顶点在圆上,二是两边都和圆相交,二者缺一不可.

      (2)圆心角的概念

      顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数.如图,∠DOE为圆心角.

      圆心角一般是指劣弧所对的角.圆心角的范围是(0,2π).

      (3)圆周角定理

      圆上一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,其度数等于它所对的弧的度数的一半.

      (4)圆心角定理

      圆心角的度数等于它所对弧的度数.

      在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,因此,由圆周角定理可以直接得到:

      推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.

      推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.

      在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的关系:圆心角相等弧相等弦相等.

      知识2 直角三角形中线定理的逆定理

      如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

      知识3 圆内接四边形的性质与判定

      (1)圆内接多边形

      如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.

      同样,如果四边形的四个顶点都在同一个圆上,则称该四边形为圆内接四边形,圆叫做该四边形的

      page274
      外接圆.

      特别提醒 任一个三角形都有外接圆,但任一个四边形并不一定有外接圆.

      (2)圆内接四边形的性质

      定理1:圆的内接四边形的对角互补.

      定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

      托勒密定理:圆内接凸四边形的两对边乘积之和等于两对角线的乘积.

      (3)圆内接四边形的判定

      定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.

      推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.

      知识4 圆的切线的性质与判定

      (1)直线与圆的位置关系

      直线与圆有相交、相切和相离三种位置关系,这是从直线与圆的公共点个数来刻画的,直线与圆有两个公共点,称直线与圆相交;直线与圆只有一个公共点,称直线与圆相切;直线与圆没有公共点,称直线与圆相离.

      直线与圆的位置关系也可用圆心到直线的距离d与r的大小关系表示.

      (2)圆的切线的性质

      定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.

      推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

      推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

      (3)圆的切线的判定

      定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

      知识5 弦切角

      (1)弦切角的概念

      顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角.

      弦切角必须具备三个条件:①顶点在圆上;②一边是圆的切线;③一边是过切点的弦.三者缺一不可.

      (2)弦切角定理

      定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,其度数等于它所夹弧的度数的一半.

      (3)弦切角的应用

      在运用弦切角时,首先应根据弦切角的概念准确地找出弦切角,然后运用弦切角进行相关的计算、论证.弦切角的运用主要体现在以下几个方面:

      ①证明角相等;

      ②证明直线平行;

      ③证明线段相等;

      ④证明三角形相似.

      知识6 与圆有关的比例线段

      定理名称 基本图形 条件 结论 应用
      相交弦定理 弦AB,CD相交于⊙O内点P (1)PA·PB=PC·PD;(2)△ACP∽△DBP (1)在PA,PB,PC,PD四条线段中知三求一;(2)求弦长及角
      割线定理 直线PAB,PCD是⊙O的割线 (1)PA·PB=PC·PD;(2)△PAC∽△PDB (1)在PA,PB,PC,PD四条线段中知三求一,及求AB、CD;(2)应用相似知识求AC,BD
      切割线定理 PA切⊙O于点A,直线PBC是⊙O的割线 (1)PA^(2)=PB·PC;(2)△PAB∽△PCA (1)在PA,PB,PC三条线段中知二求一;(2)求AB,AC
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      定理名称 基本图形 条件 结论 应用
      切线长定理 PA,PB是⊙O的切线 (1)PA=PB;(2)∠OPA=∠OPB (1)证明线段相等;(2)求角

      方法清单

      ·方法1 弦切角的运用

      ·方法2 解决与圆有关的成比例线段问题的方法

      ·方法3 判定四点共圆的常用方法

      方法1 弦切角的运用

      在运用弦切角时,首先应根据弦切角的概念准确地找出弦切角,然后运用弦切角进行相关的计算、论证.弦切角的应用主要体现在以下几个方面:

      (1)证明角相等

      由弦切角定理可直接得到角相等,在与弦切角有关的几何问题中,往往还需借助其他几何知识来综合解答,由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件.

      (2)证明直线平行

      弦切角定理构建了角与角的相等关系,而直线的平行是以角的关系为基本条件的,因而在圆中我们可以利用弦切角定理来推理论证直线的平行.如图,若CD切圆O于点M,弦AM与弦BM相等,则∠CMA=∠B,∠A=∠B,所以∠CMA=∠A,从而CD∥AB.

      (3)证明线段相等

      借助于弦切角定理和圆的其他性质以及三角形有关知识,我们可以得到特殊三角形或全等三角形,从而证得线段相等.

      (4)证明三角形相似

      在圆中有丰富的相等的角,利用这些相等的角我们能找出许多与圆有关的相似三角形,进而能得到许多线段的数量关系.因而,解决问题时需充分利用圆的结论(如圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦切角定理等).

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      方法2 解决与圆有关的成比例线段问题的方法

      解决与圆有关的成比例线段问题的一般思路:

      (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;

      (2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为相似三角形→比例式→等积式,在证明中有时还要借助中间比来代换,解题中应灵活把握.

      方法3 判定四点共圆的常用方法

      (1)如果四个点与一定点的距离相等,那么这四个点共圆.

      (2)如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.

      (3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.

      (4)如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等且在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆.

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       第三讲 圆锥曲线性质的探讨

      第三讲 圆锥曲线性质的探讨

      知识清单

      ·知识1 平行射影

      ·知识2 平行射影基本定理

      ·知识3 射影定理

      ·知识4 平面与圆柱面的截线

      ·知识5 圆柱面的截线性质定理

      ·知识6 平面与圆锥面的截线

      知识1 平行射影

      (1)正射影

      给定一个平面α,从一点A作平面α的垂线,垂足为点A′,称点A′为点A在平面α上的正射影.一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形,称为这个图形在平面α上的正射影.

      (2)线段的正射影

      过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线,垂足A′、B′之间的线段A′B′叫做线段AB在直线l上的正射影,简称射影,如图所示.

      特别提醒 线段在直线上的射影结果一点或线段.

      直线在直线上的射影结果一点或直线.

      (3)平行射影

      设直线l与平面α相交,称直线l的方向为投影方向.过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′,称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影.一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形,叫做这个图形的平行射影.

      显然,正射影是平行射影的特例.

      知识2 平行射影基本定理

      (1)定理

      不平行于射影线的线段,在平面上的射影仍为线段,线段上的点分线段的比保持不变,端点仍为端点.

      (2)平行射影变换的基本性质

      在平行射影的变换下,线段变为线段、平行线变为平行线,平行或共线的线段比不变,图形面积比不变.

      (3)正射影的性质

      若正射影变换的原平面和像平面相交,则垂直于基线的直线的像仍垂直于基线.

      (4)中心射影

      射影交汇于一点的投影法称为中心射影法,根据中心射影法得到的射影称为中心射影.

      知识3 射影定理

      (1)直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;

      (2)每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,如图所示.

      CD^(2)=AD·DB,AC^(2)=AD·AB,BC^(2)=BD·AB.

      知识4 平面与圆柱面的截线

      用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两底面平行时,截面是一个圆;当平面与圆柱的两底面不平行时,截面是一个椭圆.

      知识5 圆柱面的截线性质定理

      (1)圆柱面的截线性质

      圆柱面的两个正截面之间所截的母线上的线段相等;正截面截圆柱面的截线是圆,其半径等于圆柱的底面半径.

      (2)圆柱面的截线定理

      不平行且不垂直于圆柱面母线的平面截割圆柱面,其截线是一个椭圆,椭圆的短半轴等于圆柱面的半径r,椭圆的长半轴等于r/sinα,这里α是截割平面与圆柱面母线所成的角,椭圆的离心率为e=cosα.

      知识6 平面与圆锥面的截线

      一般地,我们有

      (1)定理

      在空间中,如图所示,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l的交角为β(当π与l平行时,记β=0),则

      ①β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆;

      ②β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线;

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      ③β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线.

      此时截线的离心率e=cosβ/cosα

      (2)性质

      圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等;轴线上任一点到每条母线的距离相等.

      方法清单

      ·方法1 利用射影定理求线段的长

      ·方法2 利用圆柱截线的性质解题

      ·方法3 通过圆锥面截线判定圆锥曲线的类型

      方法1 利用射影定理求线段的长

      当题目中有直角三角形时,可选择射影定理求线段的长.

      方法2 利用圆柱截线的性质解题

      如果设斜截面与圆柱的母线夹角为φ,圆柱面的半径为r,则截线椭圆的长轴长2a=2r/sinφ,短轴长2b=2r,离心率e=cosφ,焦距2c=2acosφ=2r 1/tanφ.

      方法3 通过圆锥面截线判定圆锥曲线的类型

      由圆锥面的截线定理可知:若已知锥面的半顶角α和截面与轴的交角β,就能通过α和β的大小关系来判定截线是椭圆、双曲线还是抛物线,也可利用e=cosβ/cosα的大小来判定.

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