第一章　集合

1.1　集合与集合的表示方法

1.1.1　集合的概念

集合一词与我们日常熟悉的整体、一类、一群等词语的意义相近.例如，数学书的全体、地球上人的全体、所有文具的全体等都可分别看成一些对象的集合.

我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象.一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.

例如，把小于10的自然数

0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9中的各个数都看作对象，所有这些对象汇集在一起构成一个整体，我们就说由这些对象构成了一个集合.

康托尔（Cantor. G. F. L. P.，1845—1918）.德国数学家，集合论的创始者.

节头图是中国体育代表团步入亚特兰大奥林匹克体育场的照片，代表团的309名成员构成一个集合.下面我们再举几个集合的例子：

（1）方程x^（2）=1的解的全体构成一个集合，其中每一个解都是这个集合的元素；

（2）平行四边形的全体构成一个集合，其中每一个平行四边形都是这个集合的一个元素；

（3）平面上与一个定点O的距离等于定长r的点的全体构成一个集合，这个集合是以O为圆心、半径长为r的圆.圆上的每个点都是这个集合的元素.

上面是我们用自然语言来描述集合的几个例子，下面我们将逐步引入集合语言来描述集合.

集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示，它们的元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示.

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作

a∈A，

如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

aA，读作a不属于A.

我们考虑方程x＋1=x＋2的解的全体构成的集合，显然这个集合不含有任何元素.

一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.

关于集合概念，还要作如下说明：

（1）确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的.这就是说，不能确定的对象就不能构成集合.也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.

（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）.这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归人同一个集合时只能算作集合的一个元素.

集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：

含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.

我们约定，用某些大写英语字母表示常用的一些数集：

非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N；

在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N＋或N^（*）；

整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z；

有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q；

实数全体构成的集合，叫做实数集，记作R.

1.1.2　集合的表示方法

如何表示一个集合呢？

1.列举法

如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号{　}内表示这个集合.例如，由两个元素0，1构成的集合可表示为

{0，1}.

又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24构成的集合可以表示为

{1， 2， 3， 4， 6， 8， 12， 24}.

这种表示集合的方法叫做列举法.

有些集合的元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.

例如，不大于100的自然数的全体构成的集合，可表示为

{0， 1， 2， 3，…， 100}.

无限集有时也用上述的列举法表示.例如，自然数集N可表示为

{0， 1， 2， 3，…， n，…}.

由一个元素构成的集合，例如集合{a}，要与它的元素a加以区别.a与{a}是完全不同的，a是集合{a}的一个元素，而{a}表示一个集合.例如，某个国家代表团只有一个人，这个人本身和这个人构成的代表团是完全不同的.

用列举法表示集合时，一般不必考虑元素的前后顺序.例如，集合{1，2}与{2，1}表示同一个集合.

2.描述法

一种更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特征性质来描述.

例如，正偶数构成的集合，它的每一个元素都具有性质

能被2整除，且大于0，

而这个集合外的其他元素都不具有这种性质.因此，我们可以用上述性质把正偶数集合表示为

{x∈R|x能被2整除，且大于0}或{x∈R|x=2n，n∈N＋}，

大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖线右边写出只有集合内的元素x才具有的性质.

一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有性质p（x），则性质p（x）叫做集合A的一个特征性质.于是，集合A可以用它的特征性质p（x）描述为

{x∈I|p（x）}，

它表示集合A是由集合I中具有性质p（x）的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.

例如，集合A={x∈R|x^（2）－1=0}的特征性质是

x^（2）－1=0.

在实数范围内，集合A的所有元素都满足方程x^（2）－1=0，满足方程x^（2）－1=0的所有元素也都在集合A内.因此，可用集合A来表示方程x^（2）－1=0的解集.

在求解方程时，通常用列举法表示方程的解集.例如方程x^（2）－1=0的解集，记为A={－1， 1}.

在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写.例如，在实数集R中取值，∈R常

{x|x^（2）－1=0}.

在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别.

1.2　集合之间的关系与运算

1.2.1　集合之间的关系

1.子集

考察集合

A={1， 3}， B={1， 3， 5， 6}；

C={x|x是长方形}，D={x|x是平行四边形}；

P={x|x是菱形}，Q={x|x是正方形}.

容易看出，集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素，而集合P中的元素不都是集合Q的元素.

一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作

AB或BA，

读作A包含于B，或B包含A.

如果集合P中存在着不是集合Q的元素，那么集合P不包含于Q，或Q不包含P.分别记作

PQ或QP.

依照上述定义，任意一个集合A都是它本身的子集，即AA.

我们规定：空集是任意一个集合的子集.也就是说，对任意集合A，都有

A.

如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作

AB或BA，

读作A真包含于B，或B真包含A.

例如，

A={1， 2}， B={1， 2， 3， 4}，

由观察可知，A是B的子集，但3∈B，3A，因此A是B的真子集，即AB.

符号∈与符号表达的含义相同吗？

我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合（图1－1（1））.用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做维恩（Venn）图.

图1－1

如果集合A是集合B的真子集，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部（图1－1（2））.

根据子集、真子集的定义可以推知：

对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC；

对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.

2.集合的相等

考察集合

A={x|（x＋1）（x＋2）=0}， B={－1，－2}.

可以看出，集合A和集合B的元素完全相同，只是表达形式不同.

一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作

A=B.

由相等的定义，可得：

如果AB，又BA，则A=B；反之，如果A=B，则AB，且BA.

集合的相等与集合的特征性质有关系吗？

3.集合关系与其特征性质之间的关系

已知Q={x|x是有理数}，R={x|x是实数}，容易判断Q是R的子集，即QR.

如果再考虑它们的特征性质之间的关系，也容易判断命题

如果x是有理数，则x是实数

是正确的命题.

这个命题，还可以表述为

x是有理数推出x是实数.

推出一词用符号表示，读作推出.于是上述命题可以表述为

x是有理数x是实数.

反过来，如果上述命题正确，那么有理数集Q也一定是实数集R的子集.

由此可见，我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系.或用集合特征性质之间的关系，判断集合之间的关系.

例如，

北京市居民构成的集合一定是中国居民构成的集合的子集.

由此，我们一定可以判断：

如果我是北京市的居民，则我是中国居民是正确的命题.

反过来，如果上述命题正确，则北京市居民的集合一定是中国居民集合的子集.

一般地，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}.如果AB，则

x∈Ax∈B.

于是x具有性质p（x）x具有性质q（x），即

p（x）q（x）.

反之，如果p（x）q（x），则A一定是B的子集.

如果命题p（x）q（x）和命题q（x）p（x），都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出.互相推出可用符号表示.于是，上述两个正确的互逆命题可表示为

p（x）q（x）.

显然，如果p（x）q（x），则A=B；反之，如果A=B，则p（x）q（x）.

1.2.2　集合的运算

两个集合能进行运算吗？

过去我们只对数或式进行算术运算或代数运算，这里集合运算的含义是，由两个已知的集合，按照某种指定的法则，构造出一个新的集合.

1.交集

已知

A={1， 2， 3， 4， 5}， B={3， 4， 5， 6， 8}，

由这两个集合的所有公共元素构成一个新的集合

{3， 4， 5}.

一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作

A∩B，

读作A交B.例如，

{1， 2， 3， 4，5}∩{3， 4， 5， 6，8}={3， 4， 5}.

又如，直线l与⊙O相交于两点A，B（图1－2），用集合语言可表示为

l∩⊙O={A， B}.

图1－2

图1－3

两个集合A，B的交集可用图1－3中的阴影部分表示.

由交集的定义可知，对于任意两个集合A，B，都有

A∩B=B∩A；

A∩A=A；

A∩=∩A=；

如果AB，则A∩B=A.

2.并集

已知

A={1， 3， 5}， B={2， 3， 4， 6}，

由这两个集合的所有元素构成一个新的集合

{1， 2， 3， 4， 5， 6}.

一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作

A∪B，

读作A并B.例如，

{1， 3， 5}∪{2， 3， 4， 6}={1， 2， 3， 4， 5， 6}.

集合A与B的并集，可用图1－4（1）或（2）中的阴影表示.

在求集合的并集时，同时属于A和B的公共元素，在并集中只列举一次.

图1－4

由并集的定义可知，对于任意两个集合A，B，有

A∪B=B∪A；

A∪A=A；

A∪=∪A=A；

如果AB，则A∪B=B.

注

例5可直接应用并集的性质给出：因为ZQ，所以Q∪Z=Q.

3.补集

在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示.

例如，我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集.如果我们讨论的数仅限为自然数，我们可取自然数集N为全集.

如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作

_UA，读作A在U中的补集.

全集通常用矩形区域表示.全集与它的任意一个真子集之间的关系，可用维恩图表示，如图1－5.

图1－5

由补集定义可知，对于任意集合A，有

A∪_UA=U， A∩_UA=，_U（_UA）=A.

本章小结

Ⅰ　知识结构

阅读与欣赏

聪明在于学习，天才由于积累——自学成才的华罗庚

华罗庚是国际著名的数学家，又是一位伟大的爱国主义者.1950年，他响应祖国的召唤，毅然从美国回到北京，投身于社会主义建设事业并作出了重大贡献.1979年他光荣加入了中国共产党.1985年6月12日在访日作学术报告的讲台上，不幸逝世.党和国家对他的一生作了高度的评价.

华罗庚1910年11月12日出生于江苏金坛一个贫苦家庭.1924年，他初中毕业因家境贫寒而辍学.为学点本事养家糊口，他考取了上海中华职业学校学习会计，又因交不起学费，只上了一年就离开了学校，在其父经营的小杂货铺里帮工当学徒.渴望学习的他，只能利用业余时间刻苦自学数学.1929年，他在金坛中学任庶务主任，并开始在上海《科学》杂志发表论文.1930年他19岁时写的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》一文，受到清华大学数学系主任熊庆来先生的赞赏，邀请他到清华大学边工作边进修.到清华大学后，他更加勤奋学习数学，四年中打下了坚实的数学基础，并自学了英文、法文和德文.同期，仅数论这一分支他就写了十几篇高水平的论文，成为一名优秀的青年数学家.这时他从管理员升为助教，继而晋升为讲师.1936～1938年他作为访问学者，到英国剑桥大学工作并深造.抗日战争爆发后回国.因成绩卓著，他于1938～1946年受聘为西南联合大学教授.当时，他生活条件极为艰苦，白天教学，晚上在柴油灯下孜孜不倦地从事研究工作.著名的《堆垒素数论》就是在这样的条件下写成的.1945年，他应苏联科学院的邀请赴苏旅行和讲学，受到热烈欢迎.1946年，他应美国普林斯顿高等研究院的邀请任研究员，在普林斯顿大学执教，后被伊利诺伊大学聘任为终身教授.1950年回国后，他担任我国科学界诸多重要职务.回顾他的一生，只有一张初中文凭，却成为蜚声中外的杰出数学家.靠什么呢？华罗庚从不迷信天才，他说：聪明在于学习，天才由于积累.他就靠刻苦自学、靠勤奋钻研，给人类留下了近300篇学术论文和多种学术专著，写了10多种科普读物.他在晚年已有很高的声望和地位，但仍手不释卷，顽强地读和写，他说：树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实而终.发白才知智叟呆，埋头苦干向未来.勤能补拙是良训，一分辛苦一分才.这是他留给我们的多么宝贵的精神财富啊！

第二章　函数

2.1 函数

2.2 一次函数和二次函数

2.3 函数的应用（I）

2.4 函数与方程

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在本章深入学习函数概念之前，首先让我们看看物理学家是如何用函数语言来刻画自由落体运动的.自由落体运动涉及距离和时间两个变量.在伽利略时代，物理学家们通过实验和数学推理后发现：初速度为0的自由落体运动，物体下落的距离（s）与所用的时间（t）的平方成正比.这个规律用数学式子可描述为

s=kt^（2），

其中k=1/2g，g=9.8 m/s^（2）.

现在我们可以用计算机来模拟自由落体运动，观察物体下落的距离与时间的关系.右图是通过计算机模拟得到的一组数据.

从这组数据可以验证：物体下落的距离（s）与所用的时间（t）的平方的比值接近一个常数.

科学家们通常都是通过实验、观察，搜集并整理数据来发现变量之间的变化规律，并用含有变量的等式来描述这些量之间的变化规律.科学家们为了研究事物的变化规律，创造了函数语言.为了更确切地表达函数关系，数学家们又用集合语言来刻画函数，并用函数语言表达不同集合之间的关系.近代数学本质上可以说是变量数学.

函数语言与集合语言一样，都是数学中的通用语言.函数是描述变量之间依赖关系和集合之间关系的一个基本的数学模型，是研究客观世界变化规律和集合之间关系的一个最基本的数学工具.几乎所有的科学研究领域都使用函数语言，大到宇宙起源、天体的运动，小到原子、分子的运动，以及研究人口的增长，金融市场的变化，国民经济的发展，工程技术的创新等，都需要使用函数语言来描述.我们日常生活中碰到的各种各样的问题，也需要用变量的观点去思考.由此可见，我们学习函数的有关知识是多么的重要.

本章我们将进一步体会、理解函数概念，学习函数的基本性质，学习函数的表示方法.通过研究一次函数和二次函数的性质，学习研究函数性质的一些基本方法，理解函数与方程之间的联系，为下一章学习指数函数、对数函数、幂函数和进一步学习打下基础.

2.1　函数

2.1.1　函数

1.变量与函数的概念

在初中，同学们已学习了变量与函数的概念.在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.

在数学发展的过程中，函数的含义也在不断地发展变化着.科学家当初引入函数概念就是用来描述变量之间的依赖关系的.例如，在引言中所讨论的自由落体运动，是用关系式

s=1/2gt^（2

来描述的（图2－1）.这里时间t为自变量，距离s为因变量，时间t在某个范围内变化，距离s也相应地在某个范围内变化，距离s是时间t的函数.

用变量的观点来描述函数，可以形象生动地描述事物的变化规律，但有一定的局限性.下面我们举例对函数关系作进一步的分析，以便引入更为确切的语言来表达函数概念.

（1）在研究学生好奇心指标随年龄增长的变化规律时，通过某次实验得到的数据如图2－2所示.

图2－1

图2－2

在这个图象中，给定10～15岁的每一个年龄（以岁为单位），就对应一个好奇心指标.你能从这个图象中了解到哪些信息？

（2）农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为31个时间段，通过实验得到

图2－3

在玉米生长的31个时间段内，给定生长的某个时间段，就可从这张图中查到与这个时间段相应的玉米植株的高度.

（3）下表列出了我国从1998年到2002年，每年的国内生产总值.

给定1998—2002年中的任一年，都可从上表中查到当年的国内生产总值.

（4）电路中的电压U=220 V，电流I与电阻R之间的变化规律，用欧姆定律表示，即

I=220/R（R〉0）.

这个公式表明，在电路中，电压（U）不变，电流（I）与电阻（R）的变化成反比例关系.只要测出电路中的电阻值，就可由上述公式计算出唯一的电流值.

在上述的每个例子中，都指出了自变量的变化范围、由自变量确定因变量的对应法则，以及由此确定的因变量的取值范围.这就是说，一个函数关系必须涉及两个数集（自变量和函数的取值集合）和一个对应法则.由此可见，函数关系实质上是表达两个数集的元素之间，按照某种法则确定的一种对应关系.这种对应关系反映了函数的本质.因此，我们可以用集合语言来更确切地刻画函数.

图2－4

定义　设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作

y=f（x）， x∈A.

其中x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.

如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作

y=f（a）或y|x=a.

所有函数值构成的集合

{y|y=f（x）， x∈A}

叫做这个函数的值域.

函数y=f（x）也经常写作函数f或函数f（x）.

因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则.

根据以上定义，我们要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：

（1）定义域和对应法则是否给出；

（2）根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.

在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.例如，函数

y=

没有指出它的定义域，则它的定义域是x≥－3，并且x≠0的全体实数，即

{x∈R|x≥－3， x≠0}.

在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.

函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念.

设a，b∈R，且a〈b.

满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作[a，b]（图2－5（1））；

满足a〈x〈b的全体实数x的集合，叫做开区间，记作（a，b）（图2－5（2））；

满足a≤x〈b或a〈x≤b的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作

[a，b）或（a，b]（图2－5（3）（4））；

分别满足x≥a，x〉a，x≤a，x〈a的全体实数的集合分别记作

[a，＋∞），（a，＋∞），（－∞，a]，（一∞，a）（图2－5（5）（6）（7）（8））.

a与b叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示.

注

f出自英语单词function（函数）.

图2－5

实数集R，也可用区间（－∞，＋∞）表示，符号＋∞读作正无穷大，－∞读作负无穷大.

2.映射与函数

在现实生活和科学研究中，不仅是数集之间存在着某种对应关系，很多集合之间也存在着某种对应关系.下面看几个例子：

为了研究两个集合的对应关系，我们引入映射的概念.

定义　设A，B是两个非家集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x).于是

y=f(x)，

x称作y的原象.映射f也可记为：

f:A→B

x→f(x)

其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所冇象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).

由以上定义，我们可以看到，上面考察的三个例子都是一个集合到另一个集合的映射？

例4是5名同学构成的集合到5名同学的数学测试成绩构成的集合的映射.

例5是数轴上的点集到实数集R的映射.

例6是直角坐标平面内的点集到有序实数对(x,y)集合的映射？

如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.容易看出，例5、例6都是一一映射，例4就不是一一映射.（为什么？）

在引入映射概念后，我们再来看两个变量之间的函数关系.

对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数

集内变化.于是函数也就是数集到数集的映射.例如，

一次函数

y=kx+b (k≠O)

就是在对应法则:V= Ax+6 G乒0)的作用下，实数集R到实数集R的映射，映射的定义域是R，值域也是R.

二次函数

就是在对应法则y=x^（2）的作用下，实数集R到非负实数集的映射.映射的定义域是实数集R，值域是非负实数集.

由上述分析可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.

函数是数学中的一个基础概念，随着它在数学中的广泛应用，它的含义也在不断地扩展.在初中，我们把函数理解为两个变量之间的依赖关系，前面我们用集合语言刻画函数，现在又可把它理解为数集到数集的映射.随着学习的深入，我们还会不断地加深对函数概念的理解.

从上例我们可以看到：

从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素.

3.用Scilab语言求函数值的方法（选学）

Scilab语言在书后附录中有简单的介绍.有计算机的同学可以自学.有条件的学校可进行适当的教学.

已知函数的表达式，用Scilab语言求函数值的步骤为：

（1）在函数的定义域内给变量x赋值（取值）；

（2）给定函数表达式；

（3）计算函数值，并在屏幕上输出.

例如，已知函数y=x^（2）＋3x－1，求f（3.1）.

在Scilab工作界面的命令行输入（∥及后面的文字不需要输入）：

——〉x=3.1；　∥给变量x赋值，按Enter键确认.

——〉y=x^2＋3*x－1　∥给定函数表达式，按Enter键确认并计算f（3.1）.

y=

17.91　∥输出显示函数值.

上面的计算步骤，实际上是对计算机发出的一串指令，让计算机去计算（每条指令都能给出唯一的结果）.用Scilab语言计算函数值是十分简单的事.如果你要计算较为复杂的函数值或对自己计算的结果没有把握，不妨让Scilab帮你计算或验证.计算机之所以能按你输入的函数式和自变量的值计算出函数值，是因为软件工程师已为一些常用函数编写了算法程序.算法是什么，将在本书2.4.2节的《二分法》和数学3的《算法初步》一章中介绍.

2.1.2　函数的表示方法

1.函数的表示方法

如何表示一个函数呢？我们已经看到，一个函数y=f（x）除直接用自然语言来表述外，常用的方法还有列表法、解析法和图象法三种.下面对这三种表示方法作一小结，并举例说明.

列表法

通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.

例如，新中国成立后共进行了五次人口普查，各次普查得到的人口数据如下表所示.这张表清楚地表示了年份与当年普查总人口（单位：亿）的函数关系.从这张表，我们可从年份查出当年普查的人口总数.

从这张表中，我们能清楚地看出这个函数的定义域和值域：

定义域：{1953，1964，1982，1990，2000}；

值域：{5.9，6.9，10.1，11.3，12.7}.

图象法

用图象表示函数关系，同学们在初中已很熟悉了，这里我们用集合语言对函数的图象概念进行较精确完整的描述.

我们知道，对于函数y=f（x）（x∈A）定义域内的每一个x值，都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对（x，y）作为点P的坐标，即P（x，y），则所有这些点的集合F叫做函数y=f（x）的图象，即

F={P（x， y）|y=f（x）， x∈A}.

这就是说，如果F是函数y=f（x）的图象，则图象上的任一点的坐标（x，y）都满足函数关系y=f（x）；反之，满足函数关系y=f（x）的点（x，y）都在图象F上.

这种用图形表示函数的方法叫做图象法，如图2－9.

从列表法和图象法可以看到，函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表（图），由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.

图2－9

解析法

如果在函数y=f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式（或解析式）来，则这种表示函数的方法叫做解析法.（也称为公式法.）

例如，

y=3x+2，y=x^（2），y=,y=x-1/x+1,….

下面举例说明这三种表示方法的运用.

应当指出，如果计算出更多的函数对应值，就可画出更多的点，从而使得作出的函数图象更准确，但工作量也将随着增大.如果你用计算机作图，即使作出成千上万个点，也并非难事.下一节将向大家介绍计算机的作图功能.

函数的图象能够帮助我们全面了解函数的性质.特别是我们可以应用计算机技术进行研究，根据公式和数据作出函数的图象，使得我们很容易通过函数的图象发现并研究函数的性质.

数形结合是我们研究函数的重要方法，画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能.同学们在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质.

注

例2中的函数通常称作取整函数.

例3中的函数定义所用到的运算，通常叫做递归运算.这种定义函数的方法在计算机语言中经常使用.

2.分段函数

下面我们通过具体实例，了解简单的分段函数及其简单应用.

像例4这样的函数，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.

2.1.3　函数的单调性

考察函数

y=2x， y=－2x， y=x^（2）＋1的图象（图2－15）.

图2－15

我们可以看到，当自变量在实数集内由小变大时，函数y=2x的值也随着逐渐增大，函数y=－2x的值反而减小，而函数y=x^（2）＋1，在区间（－∞，0]上，它的函数值逐渐减小，在区间[0，＋∞）上又逐渐增大.为了刻画函数的这种增、减性质，我们引入增函数和减函数的概念.

在函数y=f（x）的图象上任取两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记

△x=x₂－x1，△y=f（x₂）－f（x1）=y₂－y₁.

△x表示自变量x的改变量，△y表示因变量y的改变量，其中△为希腊字母，读作delta.

一般地，设函数y=f（x）的定义域为A，区间MA.

如果取区间M中的任意两个值x₁，x₂，改变量△x=x₂－x1〉0，则

当△y=f（x₂）－f（x1）〉0时，就称函数y=f（x）在区间M上是增函数，如图2－16（1）；

当△y=f（x₂）－f（x₁）〈0时，就称函数y=f（x）在区问M上是减函数，如图2－16（2）.

图2－16

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性.（区间M称为单调区间.）

2.1.4　函数的奇偶性

考察函数

f（x）=1/4x^（3），g（x）=x^（2

在x和－x处的函数值：

f（x）=1/4x^（3），f（－x）=1/4（－x）^（3）=－1/4x^（3）；

g（x）=x^（2），g（－x）=（－x）^（2）=x^（2）.

可以发现，函数f（x）对两个互为相反数的自变量x和－x，它们的函数值也互为相反数，即

f（－x）=－f（x）.

而函数g（x）在x处的函数值与在－x处的函数值相等，即

g（－x）=g（x）.

由这两个例子，我们引出奇函数和偶函数的定义.

设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且

f（－x）=－f（x），

则这个函数叫做奇函数.

设函数y=g（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且

g（－x）=g（x），

则这个函数叫做偶函数.

考察奇函数y=f（x）的图象（图2－19），依奇函数的定义可知，

点P（x，f（x））与点P′（－x，－f（x））都在这个奇函数的图象上.直观上容易发现，点P绕原点O旋转180°后与点P′重合.这说明这两点关于坐标原点对称，所以它的图象关于坐标原点对称；反之亦然.于是我们得到：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

图2－19

图2－20

再考察偶函数y=g（x）的图象（图2－20），依偶函数

点（x，g（x））与点（－x，g（－x））

都在这个偶函数的图象上，这两点关于y轴对称；反之，如果函数y=g（x）的图象关于y轴对称，则g（x）=g（－x），g（x）是偶函数.于是可以得到：

如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象.

在奇函数与偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数.

2.1.5　用计算机作函数的图象（选学）

打开计算机，你就会从屏幕上看到丰富多彩的计算机图形或动画，这些生动的视觉效果会向你传递各种各样的信息，使你增强对各种信息的记忆和思考.用图形表示的信息与其他的表示方式相比，生动、直观、并富有想象力.

屏幕上所以能够显示图形，是基于计算机图形技术.由于计算机技术的迅速发展和普及，计算机的图形技术已广泛地应用到工程制图、建筑设计、卫星发射、益智游戏、广告和天气预报等各个领域.现在适用于各行各业的画图软件也都相继开发出来.使用计算机处理图形要比手工和机械方法快速和精确得多.基于计算机图形的上述优点，在学习高中数学的过程中，大家应初步掌握用计算机作图的技能.

如何使用计算机图形技术作函数的图象呢？下面我们向大家作一简单的介绍.

我们把显示屏幕想象为一张纸.向计算机依次发出以下指令（这里先用语言叙述）：

（1）给自变量x赋值；

（2）给出计算法则，求对应的y值；

（3）由x和对应的y值组成有序数对集合；

（4）建立直角坐标系，并根据有序数对，在直角坐标系中作出对应的点集；

（5）通过这些点集描出函数的图象.

例如，作函数y=x^（2）的图象.

打开Scilab4.1，使用plot2d（）作图命令，依次输入以下指令，并按Enter键执行.

——〉x=－3：0.5：3；∥给x赋值，由－3每间隔0.5取一个值，一直取到3.输入分号

；，不显示结果.

——〉y=x2；　∥给出函数表达式，并计算y的值.

——〉[x；y]　∥列x，y对应值表.显示结果.

！－3　－2.5　－2　－1.5　－1　－0.5　0 0.5　1 1.5　2 2.5 3！

！9　 6.25　4　2.25　1　0.25　0 0.25　1 2.25　4 6.25 9！

——〉plot2d（x，y，style=[0]，strf=＂045＂）

∥建立坐标系，描点.

∥style为描点指令，其参数为[0].

∥确定点形状.st rf＂045＂使y轴居中.

——〉xgrid（6）　∥在坐标系中画网格，参数6表示画粉红色.

——〉plot2d（x， y， strf=＂045＂）

∥作更多的点画出图象.

函数的图象如图2－22所示.坐标轴刻度自动生成，每次生成的坐标轴的刻度可能不同.

使用打印机，还可以在纸上打印出上述函数的图象.

以上作图，只要函数的表达式已知，就能画出函数的图象.

同学们可以看到，这里用计算机作函数图象的步骤与我们用手工和工具作图的程序基本相同.用手工作图，函数图形上选择的点越多，图画得就越精确.但随着点的增多，工作量也会越来越大.当点转换为用数字（点的坐标）表示后，让计算机去计算、画图，100个点、1000个点或更多，都是很容易的事.

爱思考的同学可能会问，计算机是如何根据指令去计算和作图的呢？要了解其中的原理，还需要更多的数学和编写程序的知识.这里，你可把指令所做的工作，当成圆规、直尺等画图工具，至于圆规、直尺是如何制造出来的，随着学习的深入，大家就会逐渐明白其中的奥秘.

图2－22

2.2　一次函数和二次函数

在初中，我们学过一次函数和二次函数，现在重温这两类函数，整理它们的性质与应用.从而进一步学习研究函数和利用函数解决实际问题的一般方法.

2.2.1　一次函数的性质与图象

函数

y=kx＋b（k≠0）叫做一次函数.它的定义域为R，值域为R.

一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象是直线，以后简写为直线y=kx＋b，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距.

一次函数又叫做线性函数.

一次函数具有如下一些主要性质：

（1）函数值的改变量△y=y₂－y₁与自变量的改变量△x=x₂－x₁的比值等于常数k.k的大小表示直线与x轴的倾斜程度.

事实上，在直线y=kx＋b上任取两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（图2－23），则

y₁=kx₁＋b，

y₂=kx₂＋b，

两式相减，得

y₂－y₁=k（x₂－x₁），

即==k或△y=k△x（x₂≠x₁）.

这就是说它的平均变化率为常数k，即对任意点x₁，相应函数值的改变量与自变量的改变量成正比.

（2）当k〉0时，一次函数是增函数；当k〈0时，一次函数是减函数.

（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数.

图2－23

（4）直线y=kx＋b与x轴的交点为（－b/k，0），与y轴的交点为（0，b）.

2.2.2　二次函数的性质与图象

函数

y=ax^（2）＋bx＋c（a≠0）

叫做二次函数，它的定义域是R.

特别地，当b=c=0，则二次函数变为

y=ax^（2）（a≠0）.

我们知道，它的图象是一条顶点为原点的抛物线（图2－24），a〉0时，抛物线开口向上，a〈0时，抛物线开口向下.这个函数为偶函数，y轴为它的图象的对称轴.

对任意一个特殊的二次函数y=ax^（2）（如y=x^（2）），当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象就从x轴的上方（或下方）无限逼近x轴.

在同一坐标系中，作出

y=－3x^（2），y=－2x^（2），y=－x^（2），y=－0.5x^（2），

y=0.5x^（2），y=x^（2），y=2x^（2），y=3x^（2）的图象（图2－24），可以看出，函数y=ax^（2）中的系数a对函数图象的影响.当a从－3逐渐变化到0时，抛物线开口向下并逐渐变大；当a=0时，y=0，抛物线变为x轴；当a由0（不包括0）变到＋3时，抛物线开口向上并逐渐变小.

下面举例说明研究二次函数的一般方法.

图2－24

配方法是研究二次函数的主要方法.熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键.对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质.

2.2.3　待定系数法

在解应用问题时，我们常用一个字母，如x，y，z，…来表示未知数，然后根据问题的条件列方程求解.在解决某些问题中，有时要根据条件确定一个未知函数.

例如，已知一个正比例函数的图象通过点（－3，4），求这个函数的解析表达式.

为此，我们可设所求的正比例函数为

y=kx，

其中k待定.根据已知条件，将点（－3，4）代入可得

4=－3k，

从而解得k=－4/3.

因此，这个未知函数也就求出来了，即y=－4/3x.

如果已知函数是二次函数，则可设所求的函数为

y=ax^（2）＋bx＋c，

其中a，b，c待定.

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确

2.3　函数的应用（Ⅰ）

现举例说明一次和二次函数模型的应用.

这里是同学们第一次学习数学建模，问题虽然简单，但体现了数学建模的主要思路.顺此思路，同学们不妨取两点（0，8.2067），（2，9.5933）去求例4的函数关系式，进一步体会数学建模的思想.

2.4　函数与方程

这一节，我们通过二次函数和简单的三次函数说明函数与方程的联系.

2.4.1　函数的零点

请你先想一个问题.

已知二次函数：y=x^（2）－x－6，试问x取哪些值时，y=0？

求使y=0的x值，也就是求二次方程

x^（2）－x－6=0的所有根.

解此方程得x₁=－2，x₂=3.

这就是说，当x=－2或x=3时，这个函数的函数值y=0.

画出这个函数的简图（图2－28）.从图象上可以看出，它与x轴相交于两点

（－2，0），（3，0）.

这两点把x轴分成3个区间：

（－∞，－2），（－2，3），（3，＋∞）.

当x∈（－2，3）时，y〈0；

当x∈（－∞，－2）∪（3，＋∞）时，y〉0.

二次方程x^（2）－x－6=0的根－2，3常称作函数y=x^（2）－x－6的零点，在坐标系中表示图象与x轴的公共点是（－2，0），（3，0）.

图2－28

一般地，如果函数y=f（x）在实数α处的值等于零，即

f（α）=0，

则α叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与x轴的公共点是（α，0）点.

注

这里只讨论零点为实数的情况，说到零点指的都是实零点.

我们知道，对于二次函数y=ax^（2）＋bx＋c：

当△=b^（2）－4ac〉0时，方程ax^（2）＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，这时说二次函数

当△=b^（2）－4ac=0时，方程ax^（2）＋bx＋c=0有两个相等的实数根（重根），这时说二次函数y=ax^（2）＋bx＋c有一个二重的零点或说有二阶零点；

当△=b^（2）－4ac〈0时，方程ax^（2）＋bx＋c=0没有实数根，这时二次函数y=a x^（2）＋bx＋c没有零点.

考虑函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步.例如，求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图.

另外，我们还能从二次函数的图象看到二次函数零点的性质：

（1）当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.如上例，函数

y=x^（2）－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.

（2）两个零点把x轴分为三个区间：

（－∞，－2），（－2，3），（3，＋∞），在每个区间上所有函数值保持同号.

由此可见，我们可以通过方程研究函数的一些性质.

图2－29

2.4.2　求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

由于解决实际问题的需要，人们经常需要寻求函数y=f（x）的零点（也就是方程f（x）=0的根）.求一次函数或二次函数的零点，我们可以用熟知的公式解法.

在16世纪，人们找到了三次函数和四次函数的求根公式，但对于高于四次的函数，类似的努力却一直没有成功.到了19世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于四次的函数（即高于四次的代数方程）不存在求根公式，也就是说，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，对于三次和四次的代数方程，由于公式解的表示相当复杂，一般来讲并不适宜用作具体计算.因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求求零点的近似解的方法，这在计算数学中是一个十分重要的课题.

在分析函数零点的性质时，我们已经看到，如果函数y=f（x）在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号（见图2－30），即f（a）f（b）〈0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x₀∈（a，b），使f（x₀）=0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如图2－30中的x₀，x₂.如果没

依据这个性质，下面我们介绍求函数零点的近似值的一种计算方法：二分法.

已知函数y=f（x）定义在区间D上，求它在D上的一个零点x₀的近似值x，使它满足给定的精确度.

下面我们分步写出，用二分法求函数零点的一般步骤.

图2－30

第一步　在D内取一个闭区间[a₀，b₀]D，使f（a₀）与f（b₀）异号，即f（a₀）·f（b₀）〈0.零点位于区间[a₀，b₀]中.

第二步　取区间[a₀，b₀]的中点（图2－31），则此中点对应的坐标为

x₀=a₀＋1/2（b₀－a₀）=1/2（a₀＋b₀）.

计算f（x₀）和f（a₀），并判断：

（1）如果f（x₀）=0，则x₀就是f（x）的零点，计算终止；

（2）如果f（a₀）·f（x₀）〈0，则零点位于区间[a₀，x₀]中，令a₁=a₀，b₁=x₀；

（3）如果f（a₀）·f（x₀）〉0，则零点位于区间[x₀，b₀]中，令a₁=x₀，b₁=b₀.

第三步　取区间[a₁，b₁]的中点，则此中点对应的坐标为

x₁=a₁＋1/2（b₁－a₁）=1/2（a₁＋b₁）.

计算f（x₁）和f（a₁），并判断：

（1）如果f（x₁）=0，则x₁就是f（x）的零点，计算终止；

（2）如果f（a₁）·f（x₁）〈0，则零点位于区间[a₁，x₁]上，令a₂=a₁，b₂=x₁；

（3）如果f（a₁）·f（x₁）〉0，则零点位于区间[x₁，b₁]上，令a₂=x₁，b₂=b₁.

……

继续实施上述步骤，直到区间[a_n，b_n]，函数的零点总位于区间[a_n，b_n]上，当区间的长度b_n－a_n不大于给定的精确度时，这个区间[a_n，b_n]中的任何一个数都可以作为函数y=f（x）的近似零点，计算终止.

图2－31

图2－32

以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效.如果一种计算方法对某一类问题（不是个别问题）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法.算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果.算法更大的优点是，它可以让计算机来实现.例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点.有兴趣的同学，可以在Scilab界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值.本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法.在数学3中，我们还要系统地学习算法.

想想看，你还能找到计算函数零点的另一种算法吗？

本章小结

Ⅰ　知识结构

阅读与欣赏

函数概念的形成与发展

17世纪是工业生产和科学技术飞速发展的时代.天文学、航海业及机械工业的发展，促进了数学的进一步研究与发展.当时人们把函数理解为变化的数量关系，把曲线理解为几何形象.法国哲学家、数学家笛卡儿（R. Descartes，1596—1650）引入了坐标系，创立了解析几何.他把几何问题转化为代数问题.对此，恩格斯给予了很高的评价，他说：数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学.

英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿（I. Newton，1643—1727），以流数来定义描述连续量——流量（fluxion）的变化率，用以表示变量之间的关系.因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那个时代函数的概念.

函数（function）一词首先是由德国哲学家莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）引入的.他用函数一词来表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并引入了常量、变量、参变量等概念.瑞士数学家欧拉（L Euler，1707—1783）于1734年引入了函数符号f（x），并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是由一个公式确定的数量关系.他于1775年在《微分学》中写道：如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面的变量也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数.

直到1837年，德国数学家狄利克雷（P. G. L. Dirichlet，1805—1859）放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，提出了y=f（x）是x与y之间的一种对应的现代数学观点.在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一.狄利克雷关于函数的定义沿用至今，他抓住了函数概念的本质——对应规律，摆脱了隐于这一概念之中的有关时间、运动等其他非本质的因素.

1859年我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰（1811—1882）第一次将function译成函数，这一名词一直沿用至今.

1. 表中人口数据来源于《2002年中国统计年鉴》，其中未包括香港、澳门特别行政区及台湾省数据.

第三章　基本初等函数（Ⅰ）

3.1　指数与指数函数

3.1.1　实数指数幂及其运算

我们先复习初中学过的整数指数幂概念及其运算，然后推广到分数指数幂和无理指数幂及其运算.

1.整数指数

在初中我们学习了正整数指数.知道

a2=a·a， a^（3）=a·a·a，

a^（n）=.

由此可见，a^（n）不过是n个相同因子a的连乘积的缩写.

a^（n）叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数.并规定

a1=a.

在上述定义中，n必须是正整数，所以这样的幂叫做正整指数幂.容易验证，正整指数幂的运算满足如下法则：

（1）am·a^（n）=a^（m＋n）；

（2）（a^（m））^（n）=a^（mn）；

（3）=a^（m－n）（m〉n， a≠0）；

（4）（ab）m=a^（m）b^（m）.

在初中我们还学习过：如果取消法则（3）中m〉n的限制，则正整指数幂就推广到整数幂.例如，当a≠0时，有

=a^（3－3）=a^（0），=a^（3－5）=a^（－2），

这些结果不能用正整指数幂的定义来解释.但我们知道，

=1，=.

这就启示我们，如果规定

a^（0）=1， a^（－2）=，

则上述运算就合理了.于是，我们规定

a^（0）=1（a≠0），

a^（－n）=（a≠0， n∈N_＋）.

如此规定的零指数幂和负整指数幂，就把正整指数幂推广到整数指数幂，并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.例如，

8^（0）=1；（－8）^（0）=1；（a－b）^（0）=1（a≠b）；

10^（－3）==0.001；

（－1/2）^（－6）===64；

（2x）^（－3）=2^（－3）x^（－3）=（x≠0）；

（）^（－2）==；0.0001=10^（－4）；=a^（2）b^（－2）c^（－1）.

2.分数指数

在初中我们还学习过平方根和立方根的概念.

如果x^（2）=a，则x叫做a的平方根（或二次方根）.

当a〉0时，有两个平方根，它们互为相反数，正平方根为，负平方根为－；

当a=0时，=0；

当a〈0时，在实数范围内没有平方根.

如果x^（3）=a，则x叫做a的立方根（或三次方根），在实数范围内a只有一个立方根，记作.

方根的概念可进一步推广如下：

如果存在实数x，使得x^（n）=a（a∈R，n〉1，n∈N_＋），则x叫做a的n次方根.求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算.

正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为

，－（a〉0，n为偶数）；

负数的偶次方根在实数范围内不存在；

正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为

（n为奇数）.

正数a的正n次方根叫做a的n次算术根.

当有意义的时候，叫做根式，n叫做根指数.

根据n次方根的定义，根式具有性质：

（1）（）^（n）=a（n〉1，且n∈N＋）；

（2）=

例如，

（）^（4）=5，（）^（3）=－5，（）^（5）=2^（3）=8；

=5，==3.

我们还可以把整数指数幂的运算法则推广到正分数指数幂.例如，

（）^（3）==a，

（a^（3==a^（2）.

显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定

=，=，

则上述分数指数幂的运算就能像整数指数幂那样运算了.

应注意，不一定等于a.

为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数a〉0.于是，正分数指数幂可定义为

=（a〉0）；

=（）^（m）=（a〉0，n，m∈N＋，且m/n为既约分数）.

负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可定义为

a^（－=（a〉0，n，m∈N_＋，且m/n为既约分数）.

至此，我们已把整数指数幂推广到有理指数幂.设a〉0，b〉0，对任意有理数α，β，有理指数幂有如下三条运算法则：

a^（α）a^（β）=a^（α＋β），

（a^（α））^（β）=a^（αβ），

（ab）^（α）=a^（α）b^（α）.

例如，

×==8^（1）=8；

=（）^（2）=2^（2）=4；

3××=3×××==3^（2）=9；

（）^（3）=（a）^（3）（b）^（3）=a^（2）b；

（＋）（－）=（）^（2）－（）^（2）=a－b；

（＋）^（2）=a＋b＋2.

3.无理指数幂

有理指数幂还可以推广到无理指数幂.我们在这里不能给出无理指数幂严格的定义，而是通过一个例子来描述其中的思想.

例如，是一个什么样的数呢？

首先我们按照要求的精确度，取无理数的不足近似值或过剩近似值：

1.4，1.41，1.414，…（的不足近似值）；

1.5，1.42，1.415，…（的过剩近似值）.

其次，我们相应地可用有理指数幂的序列

3^（1.4），3^（1.41），3^（1.414），…或3^（1.5），3^（1.42），3^（1.415），…来近似地计算无理指数幂的不足或过剩近似值.如果的任一个有理数不足近似值记作a_n，其相应的有理数过剩近似值记作b_n，那么当n无限增大时，a_n，b_n就逼近于一个实数，因而3^（an），3^（bn）也就逼近于一个实数.这就是说，两个有理指数幂的序列3^（an），3^（bn）无限逼近一个实数.

一般地，当a〉0，α为任意实数值时，实数指数幂a^（α）都是有意义的.

可以证明，对任意实数值α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立.

3.1.2　指数函数

先看两个具体的例子，研究问题中两个变量之间的依赖关系.

（1）细胞分裂问题.

细胞分裂，每个细胞每次分裂为2个，则1个这样的细胞第一次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细胞……

在这个问题中，分裂的次数是一个变量，我们把它看作自变量，用x表示.每次分裂后，细胞的个数也是一个变量，显然这个变量是自变量x的函数，用y表示.如何由x来计算y呢？

x=0， y=2^（0）=1；

x=1， y=2^（1）=2；

x=2， y=2^（1）×2=2^（2）=4；

x=3， y=2^（2）×2=2^（3）=8；

这样，我们可归纳出，第x次分裂后，细胞的个数

y=2^（x）.

这个函数的定义域是非负整数集.由上式，任给一个x值，我们就可求出对应的y值.

（2）一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%.

求出这种物质的剩留量随时间（单位：年）变化的函数关系.

设最初的质量为1，时间变量用x表示，剩留量用y表示，则

经过1年，y=1×84%=0.84^（1）；

经过2年，y=1×0.84×0.84=0.84^（2）；

……

这样，我们可归纳出，经过x年，

y=0.84^（x）.

这个函数的定义域是正整数集.由上式，任意给一个x值，我们就可求出对应的y值.

从这两个实例中，我们得到两个同类的函数，自变量都出现在指数位置上.

一般地，函数

y=a^（x）（a〉0， a≠1， x∈R）

叫做指数函数.

下面研究指数函数的图象和性质.

画出指数函数

y=2^（x），y=（1/2）^（x）的图象.

列出x，y的对应值表：

用描点法画出图象（图3－1）.

从函数的对应值表和图象，可以看到：

y=2^（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，当x逐渐增大时，函数值y增大得越来越快，当x逐渐减小时，函数值y逐渐减小，函数的图象从x轴的上方逐渐逼近x轴；

y=（1/2）^（x）在（－∞，＋∞）上是减函数，当x逐渐增大时，函数值y逐渐减小，函数的图象从x轴的上方逐渐逼近x轴，当x逐渐减小时，函数值y增大得越来越快.

图3－1

这两个函数的图象都在x轴的上方，它们的函数值y都大于0，且它们的图象都通过点（0，1）.

由以上实例，我们可以归纳出指数函数

y=a^（x）（a〉0， a≠1， x∈R）

具有下列性质：

（1）定义域是实数集R，对任意实数x，都有y〉0，即值域是（0，＋∞）；

（2）函数图象在x轴的上方且都通过点（0，1）；

（3）当a〉1时，这个函数是增函数；

当0〈a〈1时，这个函数是减函数.

指数函数y=a^（x）（a〉0，且a≠1），a〉1时，x取何值，y〉1？x取何值，0〈y〈1？0〈a〈1时呢？

由指数函数的定义可知，指数函数的定义域是实数集，但在实际问题中不都如此.例如，开始引进的两个函数的例子，第1个例子，函数y=2^（x）的定义域是非负整数集，第2个例子，函数y=0.84^（x）的定义域是正整数集，它们的定义域都是指数函数定义域的子集，而且它们在其定义域内分别与指数函数y=2^（x），y=0.84^（x）取相同的值.通常，我们把这类函数称为指数函数的限制函数.

3.2　对数与对数函数

3.2.1　对数及其运算

1.对数概念

在上一节，我们研究细胞分裂时，曾归纳出，第x次分裂后，细胞的个数

y=2^（x）.

给定分裂次数x，可求出细胞个数y.在实际问题中，又常常需要由细胞分裂若干次后的个数y，计算分裂的次数x.为解决这类问题，我们引入一个新的概念——对数.

在指数函数y=a^（x）（a〉0，且a≠1）中，对于实数集R内的每一个值x，在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值y，在R内都有唯一确定的值x和它对应（图3－2）.幂指数x，又叫做以a为底y的对数.例如：

因为4^（2）=16，所以2是以4为底16的对数；

因为4^（1）=4，所以1是以4为底4的对数；

因为=2，所以1/2是以4为底2的对数；

因为4^（－1）=1/4，所以－1是以4为底1/4的对数；

因为=1/2，所以－1/2是以4为底1/2的对数.

图3－2

我们常用符号log（拉丁字logarithm的缩写）表示对数.那么，2是以4为底16的对数，就可写成

2=log₄16.

一般地，对于指数式a^（b）=N，我们把以a为底N的对数b记作log_a N，即

b=1og_aN（a〉0，且a≠1）.

其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作b等于以a为底N的对数.

实质上，上述对数表达式，不过是指数式N=a^（b）的另一种表达形式.

例如，

3^（4）=81与4=log₃81，

是同一关系的两种表达形式.

根据对数的定义，可以得到下面的对数恒等式：

a^（log_aN=N.

例如，2^（log232）=32，10^（log10100）=100.

根据对数的定义，对数log_aN（a〉0，且a≠1）具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即N〉0；

（2）1的对数为0，即log_a l=0；

（3）底的对数等于1.即log_aa=1.

2.常用对数

以10为底的对数叫做常用对数.为了简便，通常把底10略去不写，并把log写成lg，即把1og₁₀N记作lg N.以后如果没有指出对数的底，都是指常用对数.例如，100的对数是2，就是100的常用对数是2.

3.积、商、幂的对数

现在研究对数的运算.

已知log_aM，log_aN（M，N〉0），求log_a（MN），log_a M/N，log_aM^（α）.

设log_aM=p，log_aN=q，根据对数的定义，可得

M=a^（p），N=a^（q）.

因为MN=a^（p）a^（q）=a^（p＋q），

所以log_a（MN）=p＋q=1og_aM＋log_aN.

同样地，因为M/N==a^（p－q），

所以log_a M/N=p－q=log_aM－log_aN.

因为M^（α）=（a^（p））^（α）=a^（pα），

所以1og_aM^（α）=αp=αlog_aM.

总结以上论证，我们得到下面的对数运算法则：

（1）log_a（MN）=log_aM＋log_aN

因为同底数的幂相乘，不论有多少因数，都是把指数相加，所以这个性质可推广到若干个正因数的积：

log_a（N₁N₂…N_k）=log_aN₁＋log_a N₂＋…＋log_aN_k.

即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.

（2）log_a M/N=log_aM－log_aN

即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.

（3）log_aM^（α）=α1og_aM

即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数.

4.换底公式与自然对数

在实际应用中，常常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数呢？例如，如何求1og₃5？

我们可以根据对数的性质，利用常用对数来计算.

设log₃5=x，写成指数形式，得

3^（x）=5.

两边取常用对数，得

x1g 3=1g 5.

所以x=lg5/lg3≈0.6990/0.4771≈1.465，

即log₃5≈1.465.

上面求解的关键是将以3为底的对数用以10为底的对数来表示.

一般地，下面的换底公式成立：

log_bN=.

证明：设log_bN=x，则

b^（x）=N.

两边取以a为底的对数，得

xlog_ab=1og_a N.

所以x=.

即log_bN=.

在科学技术中，常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数.1og_eN通常记作ln N.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：

ln N=lgN/lge≈lgN/0.4343，

即ln N≈2.3026lg N.

实际上，用科学计算器可直接求自然对数.例如，求ln 34（精确到0.0001），可用科学计算器计算如下：

按键　显示

ln 34　=　3.526360525

所以ln 34≈3.5264.

3.2.2　对数函数

根据对数式

x=1og_ay（a〉0， a≠1），

对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应.根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，其中y是自变量，x是因变量.函数

x=log_ay（a〉0， a≠1， y〉0）

叫做对数函数.它的定义域是正实数集，值域是实数集R.

由对数函数的定义可知，在指数函数y=a^（x）和对数函数x=log_ay中，x，y两个变量之间的关系是一样的.所不同的只是在指数函数y=a^（x）里，x当作自变量，y当作因变量，而在对数函数x=1og_ay中，y当作自变量，x是因变量.习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此对数函数通常写成

y=log_ax（a〉0， a≠1， x〉0）.

作下面两个对数函数的图象：

（1）y=log₂x；（2）y=lox.

首先作x，y的对应值表.简便的作法是把3.1.2节的两个指数函数

y=2^（x），y=（1/2）^（x）的对应值表里x和y的数值对调，就可得到下面的两个表：

表1　y=log₂x

表2　y=logx

在同一坐标系里，用描点法画出图象（图3－3）.从这两个函数的对应值表和图象可看到，y=log₂x在区间（0，＋∞）上是增函数，而y=logx在区间（0，＋∞）上是减函数.这两个函数的定义域都是（0，＋∞），并且它们的图象都通过点（1，0）.

一般地，由对数函数

y=log_ax（a〉0， a≠1）

的定义可知，它的定义域是正实数集，即x∈（0，＋∞）.

对数函数还具有下列性质：

（1）值域是实数集R；

（2）在定义域内，当a〉1时是增函数，当0〈a〈1时是减函数；

（3）图象都通过点（1，0）.

图3－3

对数函数y=1og_ax（a〉0且a≠1），当a〉1，x取何值时，y〉0？x取何值时，y〈0？0〈a〈1呢？

3.2.3　指数函数与对数函数的关系

由对数函数的定义可知，对数函数y=1og₂x是把指数函数y=2^（x）中的自变量与因变量对调位置而得出的.在列表画y=log₂x的图象时，也是把指数函数y=2^（x）的对应值表里的x和y的数值对换，而得到对数函数y=log₂x的对应值表，如下：

表1　y=2^（x

表2　y=log₂x

在同一坐标系里，用描点法画出图象（图3－4）.

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.

由图3－4可知，对数函数y=log_ax与指数函数y=a^（x）互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.

又如，函数y=5x，x∈R.如果把y作为自变量，x作为y的函数，则x=y/5，y∈R.通常自变量用x表示，函数用y表示，则

y=x/5， x∈R.

我们就说函数y=x/5，x∈R与函数y=5x，x∈R互为反函数.

函数y=f（x）的反函数通常用y=f^（－1）（x）表示.

从反函数的概念可知，如果函数y=f（x）有反函数y=f^（－1）（x），那么函数y=f^（－1）（x）的反函数就是y=f（x）.这就是说，函数y=f（x）与y=f^（－1）（x）互为反函数.

上面我们已分别研究了指数函数与对数函数的性质.现在我们来比较这两个函数增长的差异.

观察图3－4，我们可以看到，当x〉1时，对相同的自变量的增量，指数函数的增量与对数函数的增量存在着很大的差异.

指数函数y=2^（x），当x由x₁=2增加到x₂=3时，△x=1，△y=2^（3）－2^（2）=4；

对数函数y=1og₂x，当x由x₁=2增加到x₂=3时，△x=1，而△y=log₂3－log₂2≈0.5850.

由此可知，在区间[1，＋∞）内，指数函数y=2^（x）随着x的增长函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y=log₂x的增长速度逐渐变得很缓慢.

图3－4

3.3　幂函数

考察已经学过的函数

y=x， y=x^（2），y=1/x，…，

可以发现这些函数的表达式有着共同的特征：幂的底数是自变量，指数是常数.

一般地，形如

y=x^（α）（α∈R）的函数称为幂函数，其中α为常数.

下面我们通过举例来研究这类函数的一些性质.

作出下列函数的图象：

（1）y=x；　（2）y=；　（3）y=x^（2）；

（4）y=x^（－1）；　（5）y=x^（3）.

解：列各函数的对应值表：

它们的图象如图3－5所示.

从这些函数的图象大家可以看到，幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同.但它们也有一些共同的性质：

（1）所有的幂函数在（0，＋∞）都有定义，并且图象都通过点（1，1）；

（2）如果α〉0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞）上是增函数；

（3）如果α〈0，则幂函数在区间（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴.

图3－5

3.4　函数的应用（Ⅱ）

指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中有着广泛的应用.下面举例说明：

注

①复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息.

我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算的储蓄.

注

①剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期.

本章小结

Ⅰ　知识结构

阅读与欣赏

对数的发明

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J. Napier， 1550—1617）.他对数字计算很有研究，他发明的球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔算筹在当时都很有名，而贡献最大的发明是对数.

1614年，纳皮尔出版了《奇妙的对数》.在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机：

没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者了.这不仅浪费时间，而且容易出错.因此，我开始考虑怎样消除这些障碍.经过长时间的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则……

奇怪的是，纳皮尔发明对数是在指数的书写方法发明之前完成的.一直到18世纪，瑞士数学家欧拉（Euler，1707—1783）才发现指数与对数的联系，他指出对数源于指数，这个见解很快被人们接受.如今，人们大都先学指数再学对数，但这并不符合它们发展的历史顺序.

对数的功绩

对数b=log_am是实数，其中b，a，m的关系是m=a^（b）.对数具有一种奇妙的性质：可以把高一级的乘、除、乘方、开方运算分别转化为低一级的加、减、乘、除运算.进行大量的计算时，对数的这种功能可使计算的效率成倍地提高.

比如计算2^（64）的近似值，若用64个2连乘，其繁难与费时可以想象，如果利用lg 2^（64）=64·1g 2=64×0.3010，求出对数值，再查反对数表就可求出2^（64）的近似值，就可以体会到对数在数字计算上的优越性.

早在公元前200多年，阿基米德就注意到1，10，10^（2），10^（3），10^（4），…与0，1，2，3，4，…之间的对应关系.这是关于对数的原始思想.到17世纪初叶，商业、工业的兴起促进了天文学、力学等学科的发展，在航海、天文观测、透镜设计和抛物体运动等实际工作中，出现了大量极繁杂的计算，耗去了工作人员的大量时间.提高计算效率成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在1594年产生了把乘、除计算归结为加减运算的想法.经过研究他发现了对数，揭示了对数的理论，并认识到对数的广泛应用在于提供对数表.以后20年间，他埋头于对数的计算，于1614年造出了以1/e为底的八位对数表.与此同时，瑞士人比尔吉（J. Burgi，1552—1632）也做了类似的工作.1615年英国人布里格斯（H. Briggs，1561—1630）着手编造以10为底的常用对数表，他尽毕生努力拿

编造对数表有如此之难吗？是的，当时只能使用初等数学的方法，一个人进行笔算，仅求5的对数就需完成22次开方运算.要拿出完整的对数表，其难度之大是可想而知的.

后来有了高等数学，利用级数理论中的公式ln（1＋x）=x－＋－＋－＋…

（－1〈x≤1），求对数值就容易多了.

三百年来，世界科技界一直把对数作为不可缺少的工具，它把科学家们从繁杂的计算里解放出来，等于延长了科学家的生命.对数为人类劳动生产率的提高作出了巨大的贡献.

现在科学技术又发展到一个新的阶段，随着计算机科学的快速发展，计算机功能越来越强大.求一个数的对数，进行一些繁难的计算，简单到只要按一下计算器上的按键就可以了.如求x=lg 964的近似值，只要在计算器上按顺序按键：

显示屏上就可给出答案：2.984077034.

反之，要求10^（2.98408）的近似值，只要按顺序按键：

显示屏上就可给出答案：964.0065838.

第一章　立体几何初步

1.1 空间几何体

1.2 点、线、面之间的位置关系

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我们经常观察周围各种各样的物体，并且不断地学着区分物体形状之间的差异.从儿童时代起，我们就通过观察、玩各种玩具，通过父母和老师的启蒙教育，认识了各种各样的物体的形状，它们有些是长方体形的物体，有些是球形的物体等.然后离开具体的实物，开始辨认画在纸上的物体，例如汽车、飞机、床、桌子、房屋的图片等.后来又通过学习几何知识，认识了许多几何图形，如长方形、长方体、圆、球等.同学们有没有想过，为什么画在纸上的各种各样的物体，你一看就能认出它是某种物体呢？

人类从能区分各种各样的物体到把这些物体画在纸上表达它们，直到现代利用计算机画出复杂物体的图形，经历了漫长的年代.不过，你只要通过短时间的学习，就能初步学会人类几千年所积累到的立体几何知识.

在小学和初中，我们已经学习了一些简单的几何体.你还记得图1－1中一些几何体的名称吗？在图1－2的照片中，我们看到的各种各样的建筑物，大都是由图1－1中的几何体组成的.

图1－1

图1－2

这一章我们先从分析常见立体图形的几何结构开始，建立空间概念，学习描述简单立体图形的结构，从而学习如何在平面上表示这些立体图形，然后分析这些知识的逻辑结构，认识有关图形的基本性质，培养空间想象能力和逻辑思维能力.

1.1　空间几何体

观察我们生活的空间，一切物体都占据着空间的一部分.如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体.例如，一个长方体形包装箱，占有的空间部分就是一个几何体.我们知道这个几何体叫做长方体（图1－3）.

同学们可以通过折纸练习，自己制作一些几何体的模型，帮助学习本节内容.

图1－3

1.1.1　构成空间几何体的基本元素

让我们以长方体为例，分析构成几何体的基本元素以及它们之间的关系.

如图1－3所示，长方体由六个矩形（包括它的内部）围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点.长方体有6个面，12条棱，8个顶点.观察长方体和各种几何体的构成可以发现，任意一个几何体都是由点、线、面构成的.点、线、面是构成几何体的基本元素.

线有直线（段）和曲线（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部分）之分.工程人员为了检查一个物体的表面是不是平的，通常把直尺放在物体表面的各个方向上，看看直尺的边缘与物体表面有没有缝隙，如果都不出现缝隙，就判断这个物体表面是平的.由此可见，平面是处处平直的面，而曲面就不是处处平直的.

图1－4

在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面（图1－4），并把它想象成无限延展的.

平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，例如，图1－4中的平面α、平面β、平面ABCD或平面AC等.

我们还可以从运动的观点，来理解空间基本图形之间的关系.流星划过夜空，给我们一种点动成线的视觉感受.在

图1－5

如图1－6所示，直线平行移动，可以形成平面或曲面.固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面.

图1－6

如图1－7所示的水平放置的长方体，通常记作长方体ABCD－A'B'C'D'.这个长方体，可看成矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A'B'C'D'所形成的几何体.

让我们通过长方体的顶点、棱和面之间的位置关系来直观认识一下空间点、直线和平面之间的位置关系.在下一节，我们还要对它们之间的位置关系和性质作进一步的探讨.

图1－7

设想长方体的棱可延伸为直线，面可延伸为平面.容易看到，在长方体的棱所在直线中，有些相交，有些平行，另外还可观察到直线AA'和直线BC，它们既不相交也不平行.空间中，两条直线的这种关系比比皆是，如交叉走向的高压线等.

观察长方体中棱所在直线及面所在平面的位置关系，容易看到，除直线在平面内或直线与平面相交外，直线和平面还有可能没有公共点，这时，我们说直线和平面平行.如图1－7中，直线AB和平面A'C'平行，记作AB∥平面A'C'.

在图1－7中，观察直线AA'和平面ABCD，我们看到直线AA'和平面内的两条直线AB，AD都垂直，可以想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会和AA'垂直.直线AA'给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA'与平面AC垂直，

在图1－7中，再观察平面与平面的位置关系.可以想象，长方体ABCD－A'B'C'D'两个相对面所在的平面没有公共点.如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行.如果面ABCD和面A'B'C'D'分别作为长方体的底面，则棱AA'，BB'，CC'，DD'都与底面垂直且等长.我们知道它们都是这个底面上的高，它们的长度称作两底面间的距离.

容易看到，两个平面会相交于一条直线，此时，我们说这两个平面相交.如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们说这两个平面互相垂直.

1.1.2　棱柱、棱锥和棱台的结构特征

1.多面体

观察图1－8中的几何体，这些几何体都是多面体.

图1－8

我们来研究所有多面体构成的集合.现在要问：

多面体集合的哪些性质可以作为它的特征性质（多面体具有，而不是多面体的几何体都不具有的性质）？

建议同学们通过思考或讨论，回答上面的问题.

多面体的每个面都是多边形（围成多面体的多边形都包含它内部的平面部分），而圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质.

由此得出多面体的结构特征：

多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.

如图1－9，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD、面BCC'B'；相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AB、棱AA'；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点A、顶点A'；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，如对角线BD'.

把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体.如图1－8中的（1）（2）（3）都是凸多面体，而（4）不是.

本书中说到多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体.

多面体至少有4个面.多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体……

一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的截面，在图1－9中画出了多面体的一个截面EAC.

在小学和初中，同学们已经学习过一些特殊的多面体，如棱柱、棱锥和棱台，对这些几何体，大家都能直观地区分它们，这是因为它们各自具有自己的结构特征.这一节，我们要通过实验、观察，进一步研究它们的特征性质.

图1－9

2.棱柱

当你观察图1－10中的一些多面体时，根据小学和初中学过的几何知识，你可能会判定这些多面体是一些棱柱.为什么你会判定它们是棱柱呢？

图1－10

图1－11

请你通过自己思考或与同学讨论，回答下面的问题：

棱柱有哪些性质？哪些性质可以作为棱柱集合的特征性质？

如果我们以运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.

观察这个移动过程，我们可以得到棱柱的主要特征性质：

棱柱有两个互相平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行（图1－10）.

棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的高.

显然棱柱集合是多面体集合的一个子集.

棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示.例如，图1－10（3）中的五棱柱可表示为棱柱ABCDE－A'B'C'D'E'或棱柱AC'.

棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.

侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱（图1－10（1））.

侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱（图1－10（2）（3））.

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱（图1－10（3））.

下面研究一些特殊的四棱柱.

底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体（图1－11（1）（3）（4））.侧棱与底面垂直的平

3.棱锥和棱台

棱锥

观察图1－12中的几何体，你可能会判定它们是一些棱锥.为什么你会判定它们是棱锥呢？

请你通过自己思考或与同学讨论，回答下面的问题：

棱锥有哪些性质？哪些性质可以作为棱锥集合的特征性质？

通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：

图1－12

棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形.

棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离，叫做棱锥的高.

棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示.例如，图1－13中棱锥可表示为棱锥S－ABCDE或者棱锥S－AC.

棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥（图1－13）.

容易验证：正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高（图1－13）.

图1－13

棱台

如图1－16所示，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高.

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.

棱台可用表示上下底面的字母来命名.如图1－17中的棱台，记作棱台ABCD－A'B'C'D'，或记作棱台AC'.棱台的下底面为ABCD、上底面为A'B'C'D'、高为OO'.

图1－16

图1－17

1.1.3　圆柱、圆锥、圆台和球

1.圆柱、圆锥、圆台

观察图1－18中的几何体，你可能会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台.为什么你会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台呢？

图1－18

请你通过自己思考或与同学讨论，回答下面的问题：

圆柱、圆锥、圆台分别具有哪些性质？哪些性质可以分别作为圆柱、圆锥和圆台集合

通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体（图1－19）.

图1－19

其中，旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边（或它的长度）叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线.如图1－19中，直线O'O，SO是轴，线段O'O，SO是高，A'A，SA是母线.

2.球

球是大家非常熟悉的几何体，请你通过思考或与同学讨论回答下面的问题：

球具有哪些性质？哪些性质可作为球集合的特征性质？

让我们做一个试验：

一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，研究半圆运动的轨迹是怎样的空间图形.

通过观察可以发现，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球（图1－21）.

形成球的半圆的圆心叫球心；连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径.如图1－21中点O为球心，OA为球的半径，AB为球O的直径.

一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球O.

球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.

图1－21

用一个平面α去截半径为R的球O（图1－22），不妨设平面α水平放置且不过球心，OO'为平面α的垂线，并与平面α交于点O'，O0'=d，则对于平面α与球面的交线上任意

点P，都有O'P=，是一个定值.这说明截面与球面的交线是在平面α内，并且到定点O′的距离等于定长的点的集合.因此平面α截球面所得到的交线是以O'为圆心，以

r=（R是球的半径）为半径的一个圆.也就是说，截面是一个圆面（圆及其内部）.

如果平面α过球心，则d=0，r=R.截面是半径等于球的半径的一个圆面.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球

当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆（图1－23）.

图1-22

图1-23

在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.事实上，人们把这个弧长叫做两点的球面距离.例如，图1－24中劣弧的长度就是P，Q两点的球面距离.飞机、轮船都是尽可能地以大圆弧（劣弧）为航线航行的.

图1－24

圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴.操作课件旋转体生成，可以自己动手生成一些旋转体.

3.组合体

我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的.这些几何体叫做组合体.如图1－26中所展示的机械可以看成是由一些基本几何体构成的组合体.对组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究.

可结合课件旋转体生成设计生成组合体.

图1－26

1.1.4　投影与直观图

可结合课件平行投影学习平行投影的性质.

图1－27

1.平行投影与直观图

观察图1－27，太阳光线（可看成平行的）可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的夹角有所改变，但框边

在立体几何中，一般都是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图形.下面我们来研究平行投影的概念及其性质.

已知图形F，直线l与平面α相交（图1－28）.过F上任意一点M作直线MM'平行于l，交平面α于点M'，则点M'叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影（或象）.如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F'，则F'叫做图形F在α内关于直线l的平行投影.平面α叫做投射面，l叫做投射线.

观察图1－27中窗户的影子（或打开课件平行投影）观看平行投影的演示，容易观察到，当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：

1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

3.平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；

如图1－29中，A'B'AB，C'D'CD.

4.与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

5.在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比（图1－30）.

事实上，如果线段AB在平面α内关于直线l的平行投影是A'B'（图1－30），点M在AB上，且AM：MB=m：n，则点M的平行投影M′在A'B'上，由初中所学的知识可以得出A'M'：M'B'=m：n.

当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形.像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.

依据平行投影的性质画直观图的方法，国家规定了统一的标准.一种较为简单的画图标准是斜二测画法.这种画法的投射线与人的视线的方向不同，下面举例说明斜二测画法.

斜二测画法的规则是（以一个正方体的模型为例）：

（1）在已知模型所在的空间中取水平平面ABCD（图1－31（1）），以A为原点O，以AB，AD分别为互相垂直的轴Ox，Oy，以AA′为Oz轴，则∠xOz=90°，且∠yOz=90°.

（2）画直观图时（图1－31（2）），把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'=45°（或135°），∠x'O'z'=90°. x'O'y'所确定的平面表示水平平面.

图1－28

图1－29

图1－30

图1－31

（3）已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.

（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图（图1－31（3））.

下面举例说明.

通过以上的例子，我们介绍了空间图形直观图的画法。为了简便，在不作严格要求时，画图时长度和角度可适当的选取，只要符合平行投影的要求，有一定的立体感就可以了，例如，三角形的投影一般还是三角形，长方形的投影一般为平行四边形（图1-36）。

图1-36

2.中心投影

如图1－37所示，一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.

下页中的两幅照片都是物体在平面上的中心投影.

图1－37

从图中可以看到，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点.中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法.但在立体几何中很少用中心投影原理来画图.

1.1.5　三视图

在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直（图1－38），则称这样的平行投影为正投影.

容易知道，正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：

（1）垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；

（2）垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.

为了使空间图形的直观图更准确地反映空间图形的大小和形状，往往需要把图形向几个不同的平面分别作正投影，然后把这些投影图放在同一个平面内，并有机地结合起来表示物体的形状和大小.

图1－38

通常，总是选取三个两两互相垂直的平面作为投射面，如图1－39所示：

一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；

一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；

和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图.

将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面

例如，一个长方体ABCD－A'B'C'D'，它的侧面分别平行于三个投射面（图1－40），把它向三个投射面投影：

图1－39

图1－40

它的主视图是一个矩形，它表示长方体的高度和长度；

它的俯视图也是一个矩形，它表示长方体的长度和宽度；

它的左视图，同样是一个矩形，它表示长方体的宽度和高度.

把这三个投影图放在一个平面内，并按一定的布局排列，如图1－40所示.这个图就是长方体的三视图.

从以上对三视图的描述可知，三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形.

任意一个物体的长、宽、高，一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离.一个物体的三视图的排列规则是，俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆，通常说：

长对正、高平齐、宽相等或说主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽.

对简单的几何体，如一块砖，向两个互相垂直的平面作正投影，就能真实地反映它的

根据以上分析，画出奖杯的直观图，如图1-42（2）所示。

1.1.6　棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1.直棱柱和正棱锥的表面积

我们来探讨直棱柱和正棱锥侧面积和表面积的计算方法.

图1－44分别是直六棱柱和正四棱锥的展开图.不难发现，直棱柱的侧面展开图是矩形，而正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形.对此，我们在剪纸折叠几何体时也有所体会.由矩形和三角形面积的计算公式，不难得到它们的侧面面积的计算公式.

图1－44

设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则得到直棱柱侧面面积计算公式

S直棱柱侧面积=ch.

即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.

正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形.底面是正多边形，如果设它的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h'，容易得到正n棱锥的侧面积的计算公式

S_正棱锥侧=1/2nah'=1/2ch'.

即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半.

棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和.

2.正棱台的表面积

图1－45是正四棱台的展开图.棱台的展开图是由棱台的各个侧面和上下底组成的.

图1－45

正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形.设棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a'、周长为c'，斜高为h'，可以得出正n棱台的侧面积公式

S_正棱台侧=n·1/2（a＋a'）h'=1/2（na＋na'）h'=1/2（c＋c'）h'，

即

s正棱台侧=1/2n（a＋a'）h'－1/2（c＋c'）h'.

这一结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出.

棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和.

想想看，能否从圆柱和圆锥的展开图，得到计算圆柱和圆锥侧面积的公式

S圆柱侧=2πRh，S圆锥侧=πRl.

3.球的表面积

柱、锥的表面都可展开放在平面内，这样我们就可以根据平面图形的性质，求它们的表面积.但球面不能展平成平面，我们要用其他方法求它的面积（具体算法请看选修系列2中的微积分内容）.这里我们给出由球的半径R计算球表面积的公式

S_球=4πR^（2）.

即球面面积等于它的大圆面积的四倍.

1.1.7　柱、锥、台和球的体积

我们在小学和初中已经知道求长方体体积V的公式

V长方体=abc=Sh.

其中a，b，c分别是长方体的长、宽和高，S，h分别是长方体的底面积和高.

由长方体体积的算法，可以推出求其他几何体体积的算法.

我国古代对几何体的体积研究，取得了光辉的成就，并建立了完整的理论体系.这个理论的基础是：

祖暅原理：幂势既同，则积不容异.

这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（图1－48）.

这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸张堆放在桌面上，将它们如图1－49中的右图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞纸的体积与变形前相等.

可利用课件祖暅原理探索几何体的体积的计算方法.

祖暅是我国古代南北朝时期（5世纪）的数学家，他在总结前人研究的基础上，总结出这个原理.在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实.

图1－48

图1－49

应用祖暅原理可以说明：

等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.

1.棱柱和圆柱的体积

如图1－50所示，设有一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，它们的底面积都等于S，高都等于h，它们的下底面都在同一平面上.因为它们的上底面和下底面平行，并且高都相等，所以它们的上底面都在和下底面平行的同一个平面内（图1－50）.

用与底面平行的任意平面去截它们时，所得的截面面积都等于S，根据祖暅原理，它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积，于是我们得到柱体体积的计算方法：

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即

V柱体=Sh.

底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是

V圆柱=πr^（2）h.

图1－50

2.棱锥和圆锥的体积

在小学我们就通过比较容积的方法，验证了圆锥的体积是等底面积、等高的圆柱体积的三分之一.如图1－51所示，用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三棱柱，这说明三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的三分之一（图1－51）.

对三棱锥体积公式的推，导感兴趣的同学可结合课件三棱锥的体积进行研究.

图1－51

在此基础上，可以推出锥体体积的计算公式.

如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体=1/3Sh.

特别地，如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是

V_圆锥=1/3πr^（2）h.

3.棱台和圆台的体积

我们知道，棱台和圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的.因此，台体的体积可以用两个锥体体积的差来计算（图1－52），计算过程从略.下面给出台体体积的计算公式

V_台体=1/3h（S＋＋S'）.

其中S'，S分别是台体上、下底面的面积，h是台体的高.

特别地，如果圆台的上、下底面的半径分别是r'，r，高是h，则它的体积是

V_圆台=1/3πh（r^（2）＋rr'＋r'^（2））.

4.球的体积

应用圆柱和圆锥的体积公式，根据祖暅原理可以得到球的体积公式

V_球=4/3πR^（3）.

图1－52

关于球体积的推导过程，可参看选修2－2中的导数及其应用一章.

实习作业

1.2　点、线、面之间的位置关系

点、直线（线段）和平面是我们最常见的基本图形.用它们可以构成各种各样的图形.本节将深入探讨它们之间的逻辑关系，进行必要的说理论证，进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.

1.2.1　平面的基本性质与推论

1.平面的基本性质

在几何学中，我们用点标记位置.在日常生活中，一位同学从一个位置走到另一个位置，他经过的路径，就用一条线来表示.在初中几何中，大家通过实验、观察得到了如下的点和直线的基本性质：

连接两点的线中，线段最短；

过两点有一条直线，并且只有一条直线.

几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的.画出的点，我们不考虑它们的大小，画出的线也不考虑它们的粗细.基于这种抽象的思考，我们才能总结出上述点与直线的性质.大家学完初中几何后，已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用.

现在我们通过观察、想象来探讨几何中平面的概念.

在日常生活中，我们对平面的认识是直观的.大家都会判断什么样的物体表面是平的，什么样的面是凹凸不平的.物体平的表面使我们认识了平面的形象，现在我们来研究平面的特征性质.

基本性质1　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（图1－55）.

这时我们说，直线在平面内或平面经过直线.

图1－55

这一性质是平面的主要特征.弯曲的面就不是处处具有这种性质.

利用这一性质，可以判断一条直线是否在一个平面内.

从基本性质1出发，再进一步探讨平面的其他基本性质.

在空间给定不共线的三点A，B，C（图1－56），作直线AB，BC，CA，再在直线BC，CA，AB上分别取动点P，Q，R，作直线AP，BQ，CR，让P，Q，R分别在直线BC，CA，AB上运动，我们可以想象，这些直线编织成一个平面.

由以上试验可以得到平面的另一个基本性质：

基本性质2　经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面.

例如，照相机需用三条腿的架子才能支撑在地面上，就是根据这个性质.

过不共线的三点A，B，C的平面，通常记作平面ABC（图1－57）.

回顾第1.1节的内容，我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此我们总结出以下性质：

基本性质3　如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线（图1－58）.

为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指不重合的两个平面.

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交.这条公共直线叫做这两个平面的交线.如图1－58，平面α与β相交，交线是a；平面δ与γ相交，交线是b.

图1－56

图1－57

图1－58

在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画.

2.平面基本性质的推论

由平面的基本性质，可以得到下面的推论：

推论1　经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面（图1－59（1））.

事实上，如图1－59（1）所示，直线BC外一点A和直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.并且，点A和直线BC都在平面ABC内.

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面（图1－59（2））.

事实上，如图1－59（2）所示，两条相交直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面.

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面（图1－59（3））.

事实上，根据平行线的定义，这两条平行线在同一平面内，又如图1－59（3）所示，这个平面含有一条直线上的点A和另一条线上的两点B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的.

图1－59

3.共面与异面直线

空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面.如果两条直线共面，那么它们平行或者相交.

在空间，两条直线还可能有既不相交也不平行的情况.如图1－60所示，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，直线l在α内，但不过点B.这时直线l与直线AB，既不相交也不平行，它们不可能在同一平面内，否则点A在α内.这与点A在α外矛盾.因此我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线.

由以上分析，我们可以得到判断两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.

我们把空间看作点的集合，这就是说，点是空间的基本元素，直线和平面都是空间的子集，直线是它所在平面的子集.于是，我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.例如：

点A在平面α内，记作A∈α；点A不在α内，记作Aα；

直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα；

图1－60

平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β=a；

直线l和直线，n相交于点A，记作l∩m={A}，简记作l∩m=A.

基本性质1可以用集合语言描述为：

如果点A∈α，点B∈α，那么直线ABα.

1.2.2　空间中的平行关系

1.平行直线

在初中几何中，我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，还学过平行公理：

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

在初中几何中，我们还学过平行线的另一条重要性质：

在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

这一性质同样可以推广到空间，作为空间中平行直线的基本性质：

基本性质4　平行于同一条直线的两条直线互相平行。

即，如果直线a∥b，c∥b，那么a∥c（图1－61）.

上述基本性质通常又叫做空间平行线的传递性.

定理　如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.

已知：如图1－62所示，∠BAC和∠B'A'C'的边AB∥A'B'，AC∥A'C'，且射线AB与A'B'同向，射线AC与A'C'同向.

求证：∠BAC=∠B′A'C'.

证明：对于∠BAC和∠B′A'C'在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明.下面证明两个角不在同一平面内的情形.

分别在∠BAC的两边和∠B'A'C'的两边上截取线段AD，AE和A'D'，A'E'，使AD=A'D'，AE=A'E'.

因为ADA'D'，

所以AA'D'D是平行四边形.

可得AA'DD'.

同理可得AA'EE'.

于是DD'EE'.

因此DD'E'E是平行四边形.

可得DE=D'E'.

于是△ADE≌△A'D'E'.

因此∠BAC=∠B'A'C'.

图1－61

图1－62

如图1－63（1）所示，顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形.这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表示.例如，〉图1－63（2）中的四边形可以表示为空间四边形ABCD，线段AC，BD是它的对角线.

图1－63

2.直线与平面平行

我们知道，如果一条直线和一个平面有两个公共点，那么这条直线就在这个平面内（图1－66（1））.在空间中，一条直线和一个平面的位置关系，除了直线在平面内，还有另外两种情况.

直线a和平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，这个公共点A叫做直线与平面的交点（图1－66（2）），并记作a∩α=A.

直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行.并记作a∥α（图1－66（3））.

图1－66

从以上分析可知，如果直线不在平面内，则直线与平面的位置关系不是平行就是相交.

让我们进行以下的操作与思考，来说明与一个确定的平面α没有公共点的直线是存在的.

如果一条直线m在平面α内（即mα），一条与m重合的动直线l沿着一个方向平移（保持与m平行），当直线l离开平面到任意一个位置时，我们知道，直线l不可能与直线m相交.同样也使我们认识到，直线l也不会和平面α相交.这个直观感知的结论是否正确，下面再作分析.

从正面思考这个问题，有一定的难度，不妨从反面想一想.

如果直线l和平面α相交，则l和α一定有公共点，可设l∩α=P（图1－67）.再设l与m确定的平面为β，则依据平面的基本性质3，点P一定在平面α与平面β的交线m上，于是l和m相交，这和l∥m矛盾.所以可以断定l和α不可能有公共点，即l∥α.

由以上的操作与说理，我们可以归纳出直线与平面平行的判定定理：

定理　如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

根据上述定理，画一条直线与已知平面平行，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行（图1－68）.

图1－67

图1－68

我们从上面的分析过程中可以看到（图1－67），由l∥m可以推断出/∥α；反过来，由l∥α，且β∩α=m也可得到l∥m.由此可见，直线和平面平行具有如下性质：

定理　如果一条直线和一个平面平行.经过这条直线的平面和这个平面相交.那么这条直线就和两平面的交线平行.

已知：l∥α，lβ，α∩β=m（图1－69）.

求证：l∥m.

证明：因为l∥α，

所以l和α没有公共点.

又因为m在α内，

所以l和m也没有公共点.

因为l和m都在平面β内，且没有公共点，

所以l∥m.

在空间中，经常应用这条定理，由线、面平行去判断线、线平行.

图1－69

3.平面与平面平行

两个不重合的平面的位置关系除相交外，还有一种情况：

如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行.平面α平行于平面β，记作α∥β.

由于平面是无限延展的，从直观上很难判定是否存在两个没有公共点的平面.下面我们仍像探究直线与平面平行的问题那样进行操作与说理，归纳出平面与平面平行的判定定理.

图1－72

我们知道，两条相交直线确定唯一一个平面.这启发我们尝试用两条相交直线来讨论平面的平行问题.

如图1－72，在平面α内，作两条直线a，b，并且a∩b=P，平移这两条相交的直线a，b到直线a'，b'的位置，设a'∩b'=P'，

a'∥α， b'∥α.

想必同学们已经认识到，由相交直线a'，b'所确定的平面β与平面α不会有公共点.否则，如图1－72，如果两平面相交，交线为c，于是a'，b'都平行于这两个平面的交线c，这时，过点P'有两条直线平行于交线c，根据平行公理，这是不可能的.

由此，我们可以归纳出两个平面平行的判定定理：

定理　如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

利用直线与平面平行的判定定理，我们可以得到：

推论　如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.

根据上述定理和推论，在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线（图1－73）.

图1－73

图1－74

观察长方体形的教室，天花板面与地面是平行的.直观上能感觉到，墙面分别与天花板面、地面相交所得到的两条交线也是平行的.一般来说，两个平面平行有如下性质：

定理　如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

事实上，由于两条交线分别在两个平行平面内，所以它们不相交，它们又都在同一平面内，由平行线的定义可知它们是平行的（图1－74）.

想一想，应用本节判定定理的推论，可以怎样证明例4。本例通常可叙述为：

本例通常可叙述为：

两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

1.2.3　空间中的垂直关系

1.直线与平面垂直

图1－77中的灯塔与地平面的位置关系，给我们直线与平面垂直的形象.在第一大节，我们通过对长方体以及周围物体的观察，已经初步了解了空间中的直线与平面垂直的概念.这一节我们将进一步研讨直线与平面垂直的判定与性质.

在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交.在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线为异面直线，我们同样称它们互相垂直.下面我们给出空间中任意两条直线互相垂直的定义.

如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.

在初中我们学习过：如果A，B是一个平面内两个定点，那么这个平面内到这两个定点距离相等的点的轨迹是连接这两点线段的垂直平分线.

设l是线段AB的垂直平分线，垂足为O.这时，我们说A，B两点关于直线l成轴对称（图1－78（1））.

想想看，如果A，B是空间中的两点，那么在空间中线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形（图1－78（2））？固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转，l的轨迹是怎样的图形？

图1－77

图1－78

容易发现，空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面.

由此可以归纳出空间直线与平面垂直的定义：

如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.

如图1－79，如果l⊥α，垂足为O，直线m是平面α内不过点O的任意一条直线，那么在α内过点O，可引直线m∥a，根据空间直线与平面垂直的定义，由l⊥a可得l⊥m.这就是说：

如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.

画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1－79所示.

直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.

用直线与平面垂直的定义，直接检验直线是否与平面垂直是困难的.想想看，判定直线与平面垂直是否有容易操作又比较简单的方法？

什么是棱锥、圆锥的高及顶点到底面的距离？

图1－79

我们已经知道，一个平面被它所含的两条相交直线完全确定.实际上只要检验这条直线与平面内的两条相交直线是否垂直就可以了，如果都垂直，则这条直线就与平面垂直.当这两条相交直线不都经过这条直线与平面的交点时，可以把它们平行移动到交点处后进行研究.

由以上分析，我们归纳出直线与平面垂直的判定定理：

定理　如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.

我们知道两条平行直线确定唯一一个平面，试问：如果一条直线垂直于平面内的两条平行直线，这条直线一定垂直于这个平面吗？

推论1　如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

如图1－81，如果直线l平行于直线m，且直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b.根据空间两条直线垂直的定义，易知，m与直线a和b也垂直，所以m与平面α垂直.

下面我们来研究直线与平面垂直的性质.

试问，如果两条直线l，m都垂直于平面α，这两条直线平行吗？

从直观感知，我们会得出结论：直线l和m平行.要说出平行的理由，并不简单.不看下面的证明，自己先想想看，能否说出理由.

推论2　如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.

已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B（图1－82）.

求证：l∥m.

证明：假设直线m不与直线l平行.过直线m与平面α的交点B，作直线

m'∥l，

由直线与平面垂直的判定定理的推论可知

m'⊥α.

图1－81

图1－82

设m和m'确定的平面为β，α与β的交线为a.

因为　直线m和m'都垂直于平面α，

所以　直线m和m'都垂直于交线a.

因为　在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，

所以　直线m和m'必重合，即有l∥m.

2.平面与平面垂直

在第一大节，我们曾直观地看到，当一个平面通过另一个平面的垂线时，就给我们两个平面互相垂直的形象.这一小节我们将进一步研究平面与平面垂直的判定与性质.

如图1－87，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使

BA⊥CD， BE⊥CD.

于是，直线CD⊥平面ABE.

容易看到，当∠ABE为直角时，给我们两平面互相垂直的印象.由此可以给出两平面垂直的一个定义：

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.

平面α，β互相垂直，记作α⊥β

在图1－87中，由于∠ABE为直角，可知BA⊥BE.又BA⊥CD，所以BA⊥β

这就是说平面α过平面β的垂线BA.现在要问，如果平面α过平面β的垂线BA，那么这两个平面是否相互垂直呢？

答案是肯定的.事实上，只要在平面β内作BE⊥CD，由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE为直角.

依两个平面垂直的定义，就可以推出α⊥β.

由以上观察和分析，我们可以得到平面与平面垂直的判定定理：

定理　如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.

建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直（图1－88），实际上就是依据这个定理.

下面我们再来研究两平面垂直的性质.

再观察图1－87，设平面α与平面β垂直，α∩β=CD，如果平面α内的直线BA⊥CD，这时，BA是否垂直平面β？

定理　如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

已知：（图1－89）平面α⊥平面β，α∩β=CD，BAα，BA⊥CD，B为垂足.

求证：BA⊥β.

证明：在平面β内过点B作BE⊥CD.

因为　α⊥β，

所以　BA⊥BE.

又因为　BA⊥CD，CD∩BE=B，

所以　BA⊥β

图1－87

图1－88

图1－89

本章小结

阅读与欣赏

散发着数学芳香的碑文

在几位古代数学家的墓碑上，人们根据他们的遗愿，有的刻着图形，有的写着数字，用图形和数字表达他们一生的追求和业绩.下面举出几例，以学习他们的敬业精神.

一

图1－92是古希腊数学家阿基米德的墓碑图案.墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现：图中圆柱的体积是球体积的3/2，圆柱的表面积也是球表面积的3/2.

二

古希腊数学家丢番图的墓碑文，用独特的方式介绍他的生平：

过路人，这座墓里安葬着丢番图.他生命的1/6是幸福的童年，生命的1/12是青少年时期，又过了生命的1/7他才结婚.婚后5年有了一个孩子，孩子活到父亲的一半年纪就死去了.孩子死后，丢番图在深深的悲哀中活了4年，也结束了尘世生涯.过路人，你知道丢番图的年纪吗？

丢番图（246－330）是古希腊最后一位数学家.他的碑文写得多么妙！多么奇特！这是用未知的方式写出了他已知的一生.谁想知道丢番图的年纪，谁就得解这个一元一次方程

x/6＋x/12＋x/7＋5＋x/2＋4=x.

解得x=84，即丢番图享年84岁.碑文是一个方程应用题，丢番图写这个碑文的目的是，提醒前来瞻仰的人们，不要忘记他所献身的事业.

三

图1－93是德国数学家鲁道夫（1540－1610）的墓碑文.1610年鲁道夫把π的近似值算到了小数点后35位，是当年的世界纪录.

鲁道夫的一生献给了圆周率的研究，德国为尊敬他的功绩，至今还把π称作鲁道夫数.

我们从上述的碑文中可以领悟到，这些数学家生前酷爱数学，到死也不忘数学.热爱是最好的老师.

图1－92

图1－93

1. 本书提到的课件都可从人教网（http：//www. pep.com.cn）的高中数学B版栏目中下载.
2. 这里的基本性质也可以看作是公理.

第二章　平面解析几何初步

2.1 平面直角坐标系中的基本公式

2.2 直线的方程

2.3 圆的方程

2.4 空间直角坐标系

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我国神舟五号载人航天飞船在2003年10月15日发射成功并进入预定的轨道.航天科学家是如何计算出飞船的轨道（路线）的？如果要回答这个问题，就必须把几何图形转化为用数字或符号表达的语言，并能借助数字来确定空间点的位置.

在学习地理时，我们已经知道，用经度和纬度这两个数字可以确定地球表面上一点的位置.

为了表示空间中任意一点的位置，只用两个数字就不够了，而是需要三个数字.例如，为了确定一架正在飞行的飞机的位置，我们不仅需要经度和纬度，还需要确定它距离地球表面的高度.

用数字或其符号来确定一个点或一个物体位置的方法叫做坐标方法.相关的符号和数称为点的坐标.

在实际生活中，也离不开用数来确定位置.

例如，你去看电影，进电影院后根据电影票上标出的几排几号，就可找到自己的座位.

用数可以确定火车在铁路上的位置：一个以km为单位的数，就可表示火车离开出发站后行驶的距离.

在本章的学习中，大家会看到，我们能用数来表示空间、平面和直线上任意一点的位置，并能用字母和数字来表达各种图形.

坐标方法非常重要，它使得现代计算机不仅可以进行各种数值计算，还能解决几何问题，研究几何体的性质和它们之间的关系.

这一章，我们主要学习如何用数和代数方程表达图形，并用代数方法研究图形的性质，还要了解用计算机画图的一些原理.有计算机的同学还可以学着使用计算机画图.

2.1　平面直角坐标系中的基本公式

这一大节，我们首先系统地复习一下坐标系的有关概念，然后导出解析几何中常用的基本公式.这一大节是学习解析几何的基础.

2.1.1　数轴上的基本公式

我们知道，一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系（ 图2－1）.

注

如不特别说明，我们约定数轴水平放置，正方向从左到右.

图2－1

在数轴上，点P与实数x的对应法则是：如果点P在原点朝正向的一侧，则x为正数，且等于点P到原点的距离；如果点P在原点朝负向的一侧，则x为负数，其绝对值等于点P到原点的距离.原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系.即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应.

如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P（x）.

如果数轴上的单位长取作1cm，你能在数轴上标出数0.001，0.0001和对应的点吗？你能说明在数轴上确实存在这些点吗？

如图2－1所示.数轴x上的点M的坐标为3，记作M（3），点N的坐标为－2，记作N（－2）.

我们再来研究如何用数来表示数轴上的点的位移（图2－2）.

如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移.位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量.

图2－2

从点A到点B的向量，记作.点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点，线段AB的长叫做向量的长度，记作.

数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量.

例如图2－2中的=.

我们可用实数表示数轴上的一个向量.例如，图2－2中的向量，即从点A沿x轴的正向移动3个单位到达点B，可用正数3表示；反之，用－3表示B为起点A为终点的向量，3和－3分别叫做向量和的坐标或数量.

一般地，轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取正数；反之取负数.向量坐标的绝对值等于向量的长度.

起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的坐标为0

向量的坐标，在本书中用AB表示.

例如，在图2－3中，AB=4，BA=－4，|AB|=4，|BA|=4.显然AB=－BA或AB＋BA=0.

图2－3

容易推断，相等的向量，它们的坐标相等；反之，如果数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等.如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的.

在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由点B再作一次位移到点C，则位移叫做位移与位移的和.记作

=＋

由数轴上向量坐标的定义和有理数的运算法则，容易归纳出，对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系

AC=AB＋BC.①

如图2－3所示，已知AB=4，BC=－5，则

AC=AB＋BC=4＋（－5）=－1；

AB=AC＋CB=－1＋5=4；

BC=BA＋AC=－4＋（－1）=－5.

上述关系等式①是我们学习解析几何的基础.

下面我们来研究，对于数轴上的任意一个向量，怎样用它的起点坐标和终点的坐标来计算它的坐标.

设是数轴上的任意一个向量，例如图2－4，O是原点，点A的坐标为x₁，点B的坐标为x₂，则

OB=OA＋AB，或

AB=OB－OA.

依轴上点的坐标的定义，OB=x₂，OA=x₁，所以

AB=x₂－x₁.

用d（A，B）表示A，B两点的距离，根据这个公式可以得到，数轴上两点A，B的距离公式是

d（A， B）=|AB|=|x₂－x₁|.

图2－4

2.1.2　平面直角坐标系中的基本公式

我们知道，在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系.如图2－5所示，有序数对（x，y）与点P对应，这时（x，y）称作点P的坐标，并记为P（x，y），x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标.

1.两点的距离公式

在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，我们来讨论如何计算这两点的距离.

可能有的同学会问，既然两点已知，取一把尺子量出它们的距离就可以了，由两点的坐标来计算它们的距离有何意义？

我们知道，计算机在软件的支持下能高速地进行计算.计算再麻烦，对计算机来说都是非常简单的事.如果我们能根据两点的坐标找出计算两点距离的一些规则，并根据这些规则向计算机发出一条条指令，这样我们就能用计算机算出两点的距离.

我们先寻求原点O（0，0）与任意一点A（x，y）之间距离的计算方法（图2－6），O，A两点间的距离通常用d（O，A）表示.

当点A不在坐标轴上时，从点A（x，y）作x轴的垂线段AA₁，垂足为A₁.这时，同学们只要想到勾股定理，会马上写出计算d（O，A）的公式

d（O，A）=.

图2－5

图2－6

显然，当点A在坐标轴上时，这一公式也成立.

如何求任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的距离呢（图2－7）？

当AB不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线AA₁，AA₂和BB₁，BB₂，垂足分别为

A₁（x1， 0）， A₂（0， y₁）， B₁（x₂，0）， B₂（0， y₂），其中直线BB₁和AA₂相交于点C.

在直角△ACB中，

|AC|=|A₁B₁|=|x₂－x₁|，

|BC|=|A₂B₂|=|y₂－y₁|.

由勾股定理，得

|AB|^（2）=|AC|^（2）＋|BC|^（2）=|x₂－x₁|^（2）＋|y₂－y₁|^（2）.

由此得到计算A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点之间的距离公式

d（A， B）=|AB|=.

显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式仍然成立.

已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：

（1）给两点的坐标赋值：

x₁=？， y₁=？， x₂=？， y₂=？；

（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即

△x=x₂－x1，△y=y₂－y1；

（3）计算d=；

（4）给出两点的距离d.

通过以上步骤，对任意两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离.

通过数学1的学习，我们已经知道，如果对一类问题能够一步步地求解，每一步都能算出结果，那么这个计算过程就是解这一类问题的一个算法.求解一类问题的算法是非常重要的，它可以使这一类的所有问题，都能按相同的步骤进行简单机械的计算，对每一步的计算结果，都可以检验它是对还是错.这种计算方法能很方便地编出计算机程序，并上机运算.

图2-7

例3证明了一个重要的定理：平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和.从中我们看到，几何问题可以转化为代数问题，通过一步步地计算来解决.这种解决问题的方法叫做坐标法.同学们在整章的学习中，都将体会到坐标法在研究几何问题中的作用和威力.

2.中点公式

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设点M（x，y）是线段AB的中点（图2－9）.过点A，B，M分别向x轴、y轴作垂线AA₁，AA₂，BB1，BB₂，MM1，MM₂，垂足分别为A1（x1，0），A₂（0， y1）， B1（x₂，0）， B₂（0， y₂）， M₁（x，0）， M₂（0， y）.

因为M是线段AB的中点，所以点M₁和点M₂分别是A₁B₁和A₂B₂的中点，即

图2－9

A₁M₁=M₁ B₁，A₂M₂=M₂B₂.

所以x－x₁=x₂－x，y－y₁=y₂－y.即

x=，y=

这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.

2.2　直线的方程

2.2.1　直线方程的概念与直线的斜率

1.直线方程的概念

我们已经学习过一元一次函数

y=kx＋b　（k≠0），知道所有一元一次函数的图象是一条直线.例如函数

y=2x＋1的图象是通过点（0，1）和点（1，3）的一条直线l（图2－11）.

直线l是函数y=2x＋1的图象，所表达的意义是：

如果点P在l上，则它的坐标（x，y）满足关系

y=2x＋1，①

反之，如果点P的坐标（x，y）满足①式，则点P一定在l上.

于是，函数式y=2x＋1，可作为描述直线l的特征性质，因此

l={（x， y）|y=2x＋1}.

我们再来看k=0的特殊情况.

例如方程y=2，无论x取何值，y始终等于2，虽然它已不是一次函数，但方程y=2（常值函数）的图象是一条通过点（0，2）且平行于x轴的直线.

一元函数的解析式，仅是方程的特例.在函数关系式中，我们已经指出，哪一个字母是自变量，哪一个字母是因变量.但方程表达的是两个变量之间的某种关系，它们之间并不一定存在函数关系，例如方程x^（2）＋y^（2）=1所表达的变量x与y之间的关系，在实数范围内，就不是函数关系.

由于函数y=kx＋b（k≠0）或y=b都是二元一次方程，因此，我们也可以说，方程y=kx＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系.

如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.

由于方程y=kx＋b的图象是一条直线，因此我们今后常说直线y=kx＋b.

图2－11

2.直线的斜率

直线y=kx＋b被其上的任意两个不同的点所唯一确定（图2－12）.如果点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）是这条直线上任意两点，其中x₁≠x₂，则由这两点的坐标可以计算出k的值.

由于x₁，y₁和x₂，y₂是直线方程的两组解，方程

y₁=kx₁＋b，

y₂=kx₂＋b

两式相减，得y₂－y₁=kx₂－kx₁=k（x₂－x₁）.因此

k=（x₁≠x₂）.

图2－12

所以由直线上两点的坐标，可以求出k的值，且它与这两点在直线上的顺序无关，即

k=（x₁≠x₂）.

如果令△x=x₂－x₁，△y=y₂－y₁，则△x表示变量x的改变量，△y表示相应的y的改变量.于是

k=（△x≠0）.

通常，我们把直线y=kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率.垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在.

方程y=kx＋b（k≠0）的图象是通过点（0，b）且斜率为k的直线.

对一次函数所确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值.直观上可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度.

x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.

由斜率k的定义可知：

k=0时，直线平行于x轴或与x轴重合；

k〉0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；

k〈0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k值增大，直线的倾斜角也随着增大.

垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.

关于直线的斜率与倾斜角之间的关系，我们将在数学4中再次进行讨论.

由以上的求解过程，我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算：

（1）给直线上两点的坐标赋值：x₁=？，x₂=？，y₁=？，y₂=？；

（2）计算△x=x₂－x₁，△y=y₂－y₁；

（3）如果△x=0，则判定斜率k不存在；

（4）如果△x≠0，计算k=；

（5）输出斜率k.

2.2.2　直线方程的几种形式

1.直线的点斜式方程和两点式方程

已知直线l过点P₀（x₀，y₀），且斜率为k（图2－14），我们来求直线l的方程.

设点P（x，y）为直线l上不同于P₀（x₀，y₀）的任意一点，则直线l的斜率k可由P和P₀两点的坐标表示为

k=.

即

y－y₀=k（x－x₀）.①

方程①就是点P（x，y）在直线l上的条件.在l上的点的坐标都满足这个方程，坐标满足方程①的点也一定在直线l上.

方程①是由直线上一点P₀（x₀，y₀）和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.

特别地，当k=0时，直线方程变为

y=y0.

这时，直线平行于x轴或与x轴重合.

如果一条直线通过点（0，b），且斜率为k（图2－15），则直线的点斜式方程为

y－b=k（x－0）.

整理，得

y=kx＋b.

这个方程叫做直线的斜截式方程.其中k为斜率，b叫做直线y=kx＋b在y轴上的截距，简称为直线的截距.

这种形式的方程，当k不等于0时，就是我们熟知的一次函数的解析式.

函数y=kx＋b与方程y=kx＋b，这两种说法的含义相同吗？

图2－14

图2－15

为了统一答案的形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax+by+c=0的形式.

经过讨论，我们可得到上述直线AB的方程为

=（x₁≠x₂，y₁≠y₂）

这种形式的方程叫做直线的两点式方程.

2.直线方程的一般式

我们在前面学习了直线方程的几种形式，它们都是二元一次方程，下面我们进一步研究直线与二元一次方程的关系.

我们知道，在坐标平面内，除垂直于x轴的直线外，其他直线都有斜率，它的方程都可以写成

y=kx＋b的形式.

垂直于x轴的直线（即y轴和平行于y轴的直线），其上所有点的横坐标是一个定值（设为x₁），纵坐标可取遍所有实数，它的方程可写成

x=x1的形式.这也是关于x，y的一次方程，其中y的系数是0.

这样，对于每一条直线都可求出它的方程，而且是二元一次方程.这也就是说：

直线的方程都是关于x，y的二元一次方程.

反过来要问，是否关于x，y的任何一个二元一次方程都表示一条直线？

关于x，y的二元一次方程的一般形式是

Ax＋By＋C=0，①

其中A，B不同时为0.下面分B≠0和B=0两种情况加以讨论：

（1）当B≠0时，方程①可化为

y=－A/Bx－C/B.

这是直线的斜截式方程.它表示斜率为－A/B，在y轴上的截距为－C/B的直线.

（2）当B=0时，由于A，B不同时为0，必有A≠0，于是方程①可化为

x=－C/A.

它表示一条与y轴平行或重合的直线.

根据以上讨论，我们又得到下面的结论：

关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.

我们把方程

Ax＋By＋C=0（A^（2）＋B^（2）≠0）.

叫做直线的一般式方程.

A^（2）＋B^（2）≠0意味着A，B不同时为0.

2.2.3　两条直线的位置关系

1.两条直线相交、平行与重合的条件

已知两条直线的方程为

l₁：A1x＋B1y＋C1=0，

l₂：A₂x＋B₂y＋C₂=0.

现在我们来研究这两条直线相交、平行、重合的条件.

为此，我们解方程组

①×B₂－②×B₁，得

（A₁B₂－A₂B₁）x＋B₂C₁－B₁C₂=0.

当A₁ B₂－A₂B₁≠0时，得

x=；

再由①×A₂－②×A₁，当A₁B₂－A₂B₁≠0时，得

y=.

因此，当A₁B₂－A₂B₁≠0时，方程组有唯一一组解.

这时，两条直线相交，交点的坐标就是（x，y）.

当A₁B₂－A₂B₁=0，而B₁C₂－C₁B₂≠0或A₂C₁－A₁C₂≠0时，方程组无解.又知方程①，②为直线方程，A₁与B₁，A₂与B₂不能同时为0，由此可推知这两条直线没有公共点，即这两条直线平行.

如果A₂，B₂，C₂全不为0，则上述两条直线平行的条件可转化为

=≠.

如果A₁=λA₂，B₁=λB₂，C₁=λC₂，其中λ≠0，则方程①，②中未知数的对应的系数成比例，直线l₁的方程变为

λ（A₂x＋B₂y＋C₂）=0，

由此可知，两个方程的解集相同.可知两个方程表示同一条直线，即直线l₁与l₂重合.

总结以上分析，我们得到

l₁与l₂相交A₁B₂-A₂B₁≠0或≠（A₂B₂≠0）.

l₁与l₂平行A₁B₂-A₂B₁=0，而B₁C₂-C₁B₂≠0或A₂C₁-A₁C₂≠0；或=≠（A₂B₂C₂≠0）.

l₁与l₂重合A₁=λA₂，B₁=λB₂，C₁=λC₂（λ≠0）；或==（A₂B₂C₂≠0）.

经过思考与讨论，同学们会得出

l₁∥l₂k₁=k₂且b₁≠b₂；

l₁与l₂重合k₁=k₂且b₁=b₂.

由例1所证结论，我们可以把与直线A_x＋B_y＋C=0平行的直线的方程，表示成A_x＋B_y＋D=0（D≠C）

2.两条直线垂直的条件

已知两条直线

l₁：A₁x＋B₁y＋C₁=0，

l₂：A₂x＋B₂y＋C₂=0.

下面我们来研究l₁与l₂垂直的条件.

由于直线l₁与直线A₁x＋B₁y=0平行或重合，直线l₂与直线A₂x＋B₂y=0平行或重合，因此我们研究l₁和l₂垂直的条件时，可转化为研究直线

l₁'：A₁x＋B₁y=0和l₂'：A₂x＋B₂y=0垂直的条件.

假定l₁，l₂都不与坐标轴平行或重合.

当l₁⊥l₂时（图2－16），通过坐标原点作直线l₁'∥l₁和l₂'∥l₂，则l₁'和l₂'互相垂直.

在直线l₁'，l₂'上，分别取两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（都不是原点）.由勾股定理，得

x₁2）＋y₁2）＋x₂2）＋y₂2）=（x1－x₂）^（2）＋（y1－y₂）^（2）.

化简，得

x₁x₂＋y₁y₂=0.

由假定可知B₁≠0，B₂≠0，因此y₁=－x₁，y₂=－x₂.代入上式，得

x₁x₂（1＋）=0.

因为A，B都不在y轴上，所以x₁x₂≠0，因此

1＋=0，①即

A₁A₂＋B₁B₂=0.②

由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l₁'与l₂'垂直.从而也就证明了l₁与l₂垂直.

假定l₁，l₂中有一条直线与坐标轴平行或重合.

当l₁⊥l₂时，可以推出l₁，l₂中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有

A₁A₂＋B₁B₂=0.

反过来，由条件A₁A₂＋B₁B₂=0也可以推出l₁⊥l₂.

总结以上讨论，我们得到对坐标平面内的任意两条直线l和l₂，有

l₁⊥l₂A₁A₂十B₁B₂=0.

如果B₁B₂≠0，则l₁的斜率k₁=－，l₂的斜率k₂=－.

由上面的①式，又可以得出

l₁⊥l₂k1₁₂=－1.

根据上述结论，我们可以写出判断直线l₁和l₂是否互相垂直的计算步骤：

（1）给A₁，B1，C1，A₂，B₂，C₂赋值；

（2）计算M=A₁A₂＋B₁B₂；

图2－16

（3）若M=0，则l₁⊥l₂；若M≠0，则l₁与l₂不垂直.

此题也可以直接看出直线2x=7平行于y轴，直线3y－5=0平行于x轴，从而可以判断这两条直线垂直.

2.2.4　点到直线的距离

设坐标平面上（图2－17），有点P（x₁，y₁）和直线

l：Ax＋By＋C=0（A^（2）＋B^（2）≠0）.

我们来寻求点P到直线l距离的求法.

作直线m通过点P（x₁，y₁），并且与直线l垂直，设垂足为P₀（x₀，y₀）.则问题可转化为求P和P₀两点之间的距离的问题.由距离公式，只要列出关于x₁－x₀，y₁－y₀的两个方程，就可求出这两点的距离.

由m⊥l可求得直线m的方程为

B（x－x1）－A（y－y₁）=0，由P₀∈m得

B（x₀－x₁）－A（y₀－y₁）=0.①

因为点P₀又在直线l上，可知Ax₀＋By₀＋C=0，因此

C=－Ax₀－By₀.

所以Ax₁＋By₁＋C=Ax₁＋By₁－Ax₀－By₀，即

A（x₁－x₀）＋B（y₁－y₀）=Ax₁＋By₁＋C.②

由①和②两式可以求出x₁－x₀和y₁－y₀.但我们只需求（x₁－x₀）^（2）＋（y₁－y₀）^（2），因此把等式①和②两边平方后相加，整理就可得

（A^（2）＋B^（2））[（x₁－x₀）^（2）＋（y₁－y₀）^（2）]=（Ax₁＋By₁＋C）^（2），即（x₁－x₀）^（2）＋（y₁－y₀）^（2）=

容易看出，等式左边即为点P（x₁，y₁）到直线l的距离的平方.由此我们就可以得到点P（x₁，y₁）到直线l的距离d的计算公式

d=.

我们可写出求点P（x₁，y₁）到直线Ax＋By＋C=0的距离的计算步骤：

（1）给点的坐标赋值：x₁=？，y1=？；

（2）给A，B，C赋值：A=？，B=？，C=？；

（3）计算d=；

（4）给出d的值.

图2－17

2.3　圆的方程

2.3.1　圆的标准方程

我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点是圆心，定长是圆的半径.

现在我们来求以C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程（图2－20）.

图2－20

设M（x，y）是⊙C上的任意一点.

点M在⊙C上的条件是

|CM|=r.

也就是说，如果点M在⊙C上，则|CM|=r，反之，如果|CM|=r，则点M在⊙C上.

由两点间的距离公式，所说条件可转化为方程表示

=r.

两边平方，得

（x－a）^（2）＋（y－b）^（2）=r^（2）.①

显然，⊙C上任意一点M的坐标（x，y）适合方程①；如果平面上一点M的坐标（x，y）适合方程①，可得|CM|=r，则点M在⊙C上.因此方程①是以点C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程.

图2－21

特别地，如果圆心在坐标原点（图2－21），这时a=0，b=0，圆的标准方程就是

x^（2）＋y^（2）=r^（2）.

容易看出，如果点M₁（x₁，y₁）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即

（x1－a）^（2）＋（y1－b）^（2）〉r^（2）.

如果点M₂（x₂，y₂）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半

（x₂－a）^（2）＋（y₂－b）^（2）〈r^（2）.

注 赵州桥，位于河北省赵县，净跨37.02m，是世界上著名的单孔空腹式石拱桥，建于395~605年.

2.3.2　圆的一般方程

把圆的标准方程

（x－a）^（2）＋（y－b）^（2）=r^（2）的左边展开，整理得

x^（2）＋y^（2）－2ax－2by＋a^（2）＋b^（2）－r^（2）=0.

在这个方程中，如果令D=－2a，E=－2b，F=a^（2）＋b^（2）－r^（2），则这个方程可以表示成

x^（2）＋y^（2）＋Dx＋Ey＋F=0.①

其中D，E，F为常数.

这是一个二元二次方程.如果方程①同一般的二元二次方程

Ax^（2）＋Bxy＋Cy^（2）＋Dx＋Ey＋F=0　②作比较，就会发现方程①具有两个特点：

（1）x^（2）和y^（2）项的系数相等且不为0；（x^（2）和y^（2）项的系数如果为不是1的非零常数，只需在方程两边除以这个数，就可得到方程①的形式.）

（2）没有xy这样的二次项.

因为所有圆的方程都可表示成①的形式，所以方程①的以上两个特点就成为二元二次方程表示圆的必须具备的条件.利用这两个条件，我们可以判定哪些二元二次方程的曲线肯定不是圆.例如，可以断定方程

x^（2）＋2y^（2）－2x－3y＋7=0和x^（2）＋xy＋y^（2）－3x－4y＋5=0

所表示的曲线都不是圆.这是因为在第一个方程中，x^（2），y^（2）的系数不相等；在第二个方程中，有xy项.

那么，具备这两个条件的二元二次方程是否一定表示圆呢？

我们将方程①左边配方，得

（x＋D/2）^（2）＋（y＋E/2）^（2）=.③

（1）当D^（2）＋E^（2）－4F〉0时，将方程③与圆的标准方程比较，可以看出方程①表示以（－D/2，－E/2）为圆心，1/2为半径的圆；

（2）当D^（2）＋E^（2）－4F=0时，方程③只有实数解x=－D/2，y=－E/2，所以方程①表示一个点（－D/2，－E/2）；

（3）当D^（2）＋E^（2）－4F〈0时，方程③没有实数解，因而方程①不表示任何图形.

因此，只有当D^（2）＋E^（2）－4F〉0时，二元二次方程

x^（2）＋y^（2）＋Dx＋Ey＋F=0才表示一个圆，这时这个方程叫做圆的一般方程.

圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程表明了方程形式上的特点.

要给出圆的标准方程，需要确定圆心坐标和半径；而要给出圆的一般方程，则需要确定一般方程中的三个系数D，E，F.

注：我们也可以设圆的方程为（x－a）^（2）＋（y－b）^（2）=r^（2）。同样，根据已知条件可以列出三个未知数的方程组。通过解方程组，求出a，b，r。

2.3.3　直线与圆的位置关系

在初中，我们已学过直线和圆的位置关系.现在直线和圆都可以用方程来表示.下面，我们通过具体的例子来学习如何用代数方法研究直线和圆的位置关系.

以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况（图2-25）

图2-25

通过上面的例子可以看到，有关直线与圆之间的位置关系问题，可以应用坐标法转化为你数方程来求解。

2.3.4　圆与圆的位置关系

设⊙O₁的半径为r₁，⊙O₂的半径为r₂.两圆的圆心距为d.

在初中我们知道：

当|r₁－r₂|〈d1＋r₂时，两圆相交；

当r₁＋r₂=d时，两圆外切；当|r₁－r₂|=d时，两圆内切；

当r₁＋r₂〈d时，两圆外离；当|r₁－r₂|〉d时，两圆内含.

因此，只要由两圆的方程，求出两圆的半径和圆心的坐标，就可根据上面的结论判断两圆的位置关系.下面我们举例说明.

2.4　空间直角坐标系

2.4.1　空间直角坐标系

在数轴上，一个实数就能确定一点的位置；在坐标平面上，需要一对有序实数才能确定一点的位置.为了确定空间任意点的位置，需要几个实数呢？

本章前言中曾说过，要确定一架飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面上的经度和纬度，还需要指出飞机距离地面的高度.这说明要确定空间一点的位置，需要三个实数.

为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直（图2－29），这样它们中的任意两条都互相垂直；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合.这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点.

有了空间直角坐标系，我们就能够建立空间内的任意一点P与三个实数的有序数组（x，y，z）之间的一一对应关系.其对应法则如下：

图2－29

如图2－29所示，过点P作一个平面平行于平面yOz（这样构造的平面同样垂直于x轴），这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x（图中为2），这个数x就叫做点P的x坐标.

过点P作一个平面平行于平面xOz（垂直于y轴），这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y（图中为3），这个数y就叫做点P的y坐标.

过点P作一个平面平行于坐标平面xOy（垂直于z轴），这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z（图中为5），这个数z就叫做点P的z坐标.

这样，我们对空间中的一个点，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作P（x，y，z）（图中为P（2，3，5））.其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.

反之，任意给定三个实数的有序数组（x，y，z），就能够确定空间一个点的位置与之

这样，在空间任意一点与三个实数的有序数组（点的坐标）之间，我们就建立起一一对应关系

P（x， y， z）

每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy，叫做坐标平面.

容易看出：

xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；

xOz平面（通过x轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；

yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y，z为任意的数；

x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；

y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；

z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数.

通过点P作平行于坐标平面的平面与坐标轴的交点P_x，P_y，P_z，其过程也就是作点P在坐标轴上的投影.即，从点P向坐标轴引垂线，它们的垂足分别为P_x，P_y，P_z.

所以点P的空间坐标为点P在坐标轴上的投影在这些坐标轴上的坐标.

三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分都称为一个卦限.在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第V卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限（图2－30）.

在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的.例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x，y，z都为正数；在第Ⅱ卦限，x为负数，y，z都为正数……

图2－30

2.4.2　空间两点的距离公式

在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，我们会求它们的距离.你会推出计算空间两点A（x1，y1，z1），B（x₂，y₂，z₂）距离的公式吗？

推导空间两点的距离公式与推导平面上两点的距离公式类似.

计算空间两点A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂）的距离公式是

d（A， B）=|AB|=

特别地，点A（x，y，z）到原点O的距离公式为

d（O， A）=|OA|=.

推导空间两点距离公式的思路是：

过两点分别作三个坐标面的平行平面（图2－31），则这六个平面围成一个长方体.我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.于是，只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式.

你还可以作线段AB在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决（图2－31）.

图2－31

本章小结

阅读与欣赏

笛卡儿

笛卡儿（1596－1650）是法国伟大的数学家、哲学家和物理学家.1596年3月31日出生于法国都兰的贵族家庭，自幼丧母，体弱多病.8岁入拉弗来什公学读书.教师考虑他的特殊情况，允许他每天早上可以晚起床多休息.但笛卡儿利用这段时间进行晨读，并养成了善于思考的习惯.传说笛卡儿躺在床上观察虫子在天花板上爬行的位置，激发了灵感，使他产生了坐标的概念.

笛卡儿博览群书，曾自述：别人学的，我都学了.我并不以此为满足，那些认为最奇怪，最不寻常的有关各种学科的书，凡是我能搞到的，我都要把它们读完.他有好的思考习惯，每当读书时，总是把书拿来先弄清作者的主要意图，读完开头的部分就细细品味，并力求得出下面的结论.

1612年他入普瓦界大学攻读法学，四年后获博士学位，后去巴黎当律师.1618年参军，部队到荷兰南部的小城市布勒达时，一次巧遇街头小报上征解数学难题，笛卡儿成功应解，这使他对数学发生兴趣，并坚定了他终生研究数学的决心.1619年11月部队到达多瑙河上的一个小村镇时，他不断地思考数学、哲学上的新方法——怎样把代数应用到几何中去.他曾说：我想去寻求一种新的，包含这两门学科的好处，而又没有它们缺点的方法.他致力于研究数学中这一完全崭新的领域，这个领域后来被牛顿称之为解析几何.

1621年他退伍去荷兰、瑞士、意大利旅行.1625年返回巴黎.1628年定居荷兰进行研究和写作.这时他研究哥白尼学说，1634年写成《论世界》一书.1637年出版了《折光学》、《气象学》和《几何学》.

1644年笛卡儿出版了《哲学原理》、1646年出版了《论心灵的各种感情》等重要著作.同年冬，笛卡儿应瑞典女王克利斯蒂娜的邀请移居斯德哥尔摩为女王讲授哲学课，后因患感冒得肺炎，于1650年2月11日去世.笛卡儿研究的解析几何，使用的是坐标法.这种方法是在平面上建立点的坐标（x，y），用坐标（x，y）表示点的位置.于是一条曲线就可用两个变数的代数方程来表示.这样，笛卡儿把一个几何问题通过坐标归结为代数方程式，用代数方法研究方程的性质，然后再翻译成几何语言，得出图形的几何性质.笛卡儿用这种方法研究了含有两个变数的二次方程，指出根据方程的次数可.将曲线分类，并得出一般二次方程可分别表示椭圆、双曲线、抛物线等曲线的结论.

坐标法使代数学和几何学结合起来，开创了数学发展的一个崭新时代.恩格斯说：数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了.这段话正确地评价了坐标法的历史功绩.

第一章　常用逻辑用语

1.1　命题与量词

1.1.1　命题

在数学中，我们常常碰到许多用语言、符号或式子表达的语句.例如：

（1）lg 100=2；

（2）所有无理数都是实数；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）函数y=2x＋1是单调增函数；

（5）设a，b，c，d是任意实数，如果a〉b，c〉d，则ac〉bd；

（6）sin（α＋β）=sin α＋sinβ（α，β是任意角）.

这些语句都可以判断真假，其中（1）（2）（3）（4）都是真（正确的），（5）（6）都是假（不正确的）.

像这样一些能判断真假的语句就是我们初中已学习过的命题.

一个命题要么是真，要么是假，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.

应该指出：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能够判断真假的语句才是命题.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，如三角函数是周期函数吗？但愿每一个三次方程都有三个实数根！指数函数的图象真漂亮！等，都不是命题；（2）在数学或其他科学技术中，还有一类陈述句也经常出现，如每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和.（哥德巴赫猜想）在2020年前，将有人登上火星.等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍算为命题.

一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如p，q，r，….

1.1.2　量词

在数学中，我们经常见到一些含有变量x的语句，如x^（2）－1=05x－1是整数等，可用符号p（x），q（x）等表示.由于不知道x代表什么数，无法判断它们的真假，因而它们不是命题.然而，当赋予变量x某个值或一定的条件时，这些含有变量的语句又变成可以判定真假的语句，从而成为命题.例如

p（x）：x^（2）－1=0，不是命题；

q（x）：5x－1是整数，也不是命题.

如果赋予变量x某个数值，如x=5，可以分别得出

p（5）：5^（2）－1=0；

q（5）：5×5－1是一个整数.

想一想，p（5），q（5）是命题吗？为什么？

如果在语句p（x）或q（x）前面加上对所有整数x的条件，又可以得出

p₁：对所有整数x，x^（2）－1=0；

q₁：对所有整数x，5x－1是整数.

这里，短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.

事实上，全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题，用符号表示上述两个全称命题为

p₁：x∈Z，x^（2）－1=0；（假）

q₁：x∈Z，5x－1是整数.（真）

一般地，设p（x）是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如对M中的所有x，p（x）的命题.用符号简记为

x∈M，p（x）.

如果在语句p（x）或q（x）前面加上有一个整数x的条件，还可以得到命题

p₂：有一个整数x，x^（2）－1=0；（真）

q₂：至少有一个整数x，5x－1是整数.（真）

短语有一个有些至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题.

事实上，存在性命题就是陈述在某集合中有（存在）一些元素具有某性质的命题，用符号表示上述两个存在性命题为

p₂：x∈Z，x^（2）－1=0；（真）

q₂：x∈Z，5x－1是整数.（真）

一般地，设q（x）是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如存在集合M中的元素x，q（x）的命题，用符号简记为

x∈M， q（x）.

一个全称命题，可以包含多个变量，例如：

a，b∈R, (a+b)(a^（2）-ab+b^（2）)=a^（3）+b^（3

全称命题真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某性质，使所给语句真.因此，当给出限定集合中的任意一个特殊的元素时，自然应导出这个特殊元素具有这个性质（这类似于代入思想).例如，因为

a, b∈R, (a+b)(a^（2）-ab+b^（2）)=a^（3）+6^（3）真，

所以，当a=3，b=5时，

(3+5)(9-15+25)=3^（3）+5^（3

自然是正确的.

用以上思想去分析本章引言中2=1的错误，就可以说清道理了.由a二6命题真，可以导出以下三个命题真：a^（2）-b^（2）=ab-b^（2）, (a+b)(a-b)=b(a-b).但下一步导出a+b=b是错误的，由于它引用了一个不真的全称命题VJ6R，等式两边可以同时除以d，等式仍然成立.同样的锚误县由2b=b异出2=1.

1.2　基本逻辑联结词

1.2.1　且与或

在自然语言中，我们经常使用联结词且或非等，但是它们在不同的句子中有着不同的含义.在逻辑或数学中使用这些词，是用来联结两个命题，构成一个新命题的，它有着精确的含义.这些词在使用中，不能多义或引起歧义.下面介绍数学或逻辑中使用联结词且或非的精确含义.

1.且

逻辑联结词且与日常语言中的并且及和相当.在日常语言中常用且联结两个语句.例如，他是共青团员，且学习成绩全班第一，这个语句表达的意义是，这个同学既是共青团员，他的学习成绩又是全班第一.显然，这个语句只有在以上两层意思都真时，它表达的意思才是真实的.否则，只要有一层意思为假，它表达的意思就不是真实的.

设命题

p：2是质数；　q：2是偶数.

用且联结可构成新命题

2是质数且是偶数.

一般地，用逻辑联结词且把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作

p∧q，

读作p且q.

现在的问题是，如何由命题p，q的真假，来确定新命题p∧q的真假.

联想自然语言中并且的含义，我们可以得出：

如果p，q都是真命题，则p∧q是真命题；如果p，q两个命题中，至少有一个是假命题，则p∧q是假命题.反过来，如果p∧q是真命题，则p，q一定都是真命题；如果p∧q为假命题，则p，q两个命题中，至少有一个是假命题，即以下三种情况一定有一种情况出现

（1）p真，q假；（2）p假，q真；（3）p假，q假.

由且的含义，我们可以用且来定义集合A和集合B的交集

A∩B={x|（x∈A）∧（x∈B）}.

注　在数理逻辑的书中，通常把如何由p，q的真假判定p∧q真假总结成表Ⅰ.

表Ⅰ

想一想，这张表是不是完整地表达了，如何由p，q的真假来确定p∧q的真假.

2.或

逻辑联结词或的意义和日常语言中的或者是相当的.但是日常语言中的或者有两类用法：其一是不可兼的或，如向东或向西走，这里不可能同时向东又向西；其二是可兼的或，如要苹果或要香蕉，这里可以理解为要香蕉不要苹果，也可以理解为不要香蕉要苹果，还可以理解为香蕉、苹果两者都要.不可兼的或的含义，在程序设计语言中被抽象为异或概念，这里暂不学习；这里仅研究可兼的或在数学中的含义.

设命题

p：24是8的倍数；　q：24是9的倍数.

用或联结，可得新命题

24是8的倍数或24是9的倍数.

一般地，用逻辑联结词或把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作

p∨q，

读作p或q.

如何由命题p和命题q的真假，来确定新命题p∨q的真假呢？由于这里的或有可兼的含义，因此，我们规定：

如果p，q两个命题中，至少有一个是真命题，则p∨q是真命题；只有当两个命题都为假时，p∨q是假命题.反过来，如果p∨q是真命题，则p，q两个命题中，至少有一个是真命题，即以下三种情况必有一种出现：（1）p真，q真；（2）p真，q假；（3）p假，q真.如果p∨q是假命题，则p，q一定都是假命题.

由于命题p：24是8的倍数为真，命题q：24是9的倍数为假，因此新命题p∨q为真.

由或的含义，我们可以用或来定义集合A和集合B的并集

A∪B={x|（x∈A）∨（x∈B）}.

注　在数理逻辑的书中，通常把如何由p，q的真假判定p∨q的真假总结成表Ⅱ.

表Ⅱ

想一想，这张表是不是完整地表达了，如何由p，q的真假来确定p∨q的真假.

1.2.2　非（否定）

逻辑联结词非（也称为否定）的意义是由日常语言中的不是全盘否定问题的反面等抽象而来的.

例如，把命题

函数y=cos x的最小正周期是2π

加以否定，就构成了新的命题

函数y=cos x的最小正周期不是2π.

由此可见，如果原命题是真命题，则它的否定就应该是假命题.

一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作

p，

读作非p或p的否定.

显然，p与p不能同真或同假，其中一个为真，另一个必定为假.它们是互为否定的，从而有

（p）=p.

由非的含义，我们可以用非来定义集合A在全集U中的补集

_UA={x∈U|（x∈A）}={x∈U|xA}.

注　一般把如何由p的真假判定p的真假总结成表Ⅲ.

表Ⅲ

下面，我们来研究如何对含有量词的全称命题和存在性命题进行否定.

先看含有一个变量的存在性命题如何加以否定.例如，

P:有些三角形是直角三角形.

这是一个存在性命题，用符号可以表示为

x∈{三角形}，x是直角三角形.

这个命题的否定应该是没有一个三角形是直角三角形，也就是说

所有的三角形都不是直角三角形.

这样，可以用符号表示为P:x∈{三角形}，x不是直角三角形.

一般地，可以得出结论：

存在性命题　P：x∈A, P(x).

它的否定是P:x∈A,P(x).

再考察含有一个变量的全称命题如何加以否定.例如，

q：所有的质数都是奇数.

这是一个全称命题，用符号可表示为

x∈{质数}，x是奇数.

否定它只要能举出一个反例就行了.因而它的否定就可以表示为q:x∈{质数}，x不是奇数.

一般地，可以得出结论：

全称命题　q：x∈A, q(x).

它的否定是　q：x∈A, q(x).

我们已经学习了 且 或 非三个主要的逻辑联结词.这三个联结词同样可用来联结含有变量的语句?在用联结词联结含有变量的语句时，得到的新语句一般仍为含有变量的语句，它的真假要根据语句中变量的取值来确定.例如：

(1)x=2或x=3;

(2)x+y=9且x-y=-1.

对于(1)，x至少取2，3中的一个值时，语句表达才是真的，而x取其他任何值(1)都是假的；

对于(2)，只有x取值4，且:y取值5时，语句表达才是真的，而x，y取其他任何值时，语句(2)都是假的.

含有变量的语句，通常称为开句或条件命题.

1.3　充分条件、必要条件与命题的四种形式

1.3.1　推出与充分条件、必要条件

在数学和日常语言中，我们经常遇到如果p，则（那么）q形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.

有些命题的真假，要通过推理证明来断定.经过证明为真的命题，在数学中常称为定理.

我们知道，当命题如果p，则q经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p可以推出q，记作

pq，

读作p推出q.

如果p可推出q，则称

p是q的充分条件；q是p的必要条件.

这就告诉我们，

命题如果p，则q真；

pq；

p是q的充分条件；

q是p的必要条件.

这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.

下面我们再举例说明.

（1）命题如果x=－y，则x^（2）=y^（2）是真命题；

x=－yx^（2）=y^（2）；

x=－y是x^（2）=y^（2）的充分条件；

x^（2）=y^（2）是x=－y的必要条件.

以上不同形式的叙述，表达的都是同一个逻辑关系.

（2）命题若A∩B≠，则A≠是真命题；

A∩B≠A≠；

A∩B≠是A≠的充分条件；

A≠是A∩B≠的必要条件.

以上不同形式的叙述，表达了同一个意义的逻辑关系.

（3）平面几何中学习过的定理：在三角形中，等角对等边，以及它的逆定理：在三角形中，等边对等角，就是说：

命题在△ABC中，如果∠B=∠C，则AC=AB是真命题；

在△ABC中，∠B=∠CAC=AB；

在△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充分条件；

在△ABC中，AC=AB是∠B=∠C的必要条件.

以上叙述同样表达了意义相同的逻辑关系.

同时，我们还知道，命题在△ABC中，如果AB=AC，则∠B=∠C也是真命题.

这就是说，∠B=∠C不仅是AB=AC的充分条件，也是AB=AC的必要条件.

一般地，如果pq，且qp，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作

pq.

显然，当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.

p是q的充要条件，又常说成

q当且仅当p，或p与q等价.

例如：

（1）如果一元二次方程ax^（2）＋bx＋c=0的判别式△=b^（2）－4ac≥0，则这个方程有实数根；反之，如果一元二次方程ax^（2）＋bx＋c=0有实数根，则△≥0.由于这两个命题都是真命题，所以这两个命题合起来可用充要条件表述为

方程ax^（2）＋bx＋c=0（a≠0）有实数根的充要条件是△≥0.

（2）在△ABC中，如果∠C=90°，则AC^（2）＋BC^（2）=AB^（2）；反之如果AC^（2）＋BC^（2）=AB^（2），

则∠C=90°.由于这两个命题都是真命题，所以这两个命题合起来可用充要条件表述为

在△ABC中，∠C=90°的充分必要条件是AC^（2）＋BC^（2）=AB^（2）.

（3）如果四边形是平行四边形，则它的一组对边平行且相等；反之，如果四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形.由于这两个命题都是真命题，所以这两个命题合起来可用充要条件表述为

一个四边形是平行四边形的充要条件是它的一组对边平行且相等.

1.3.2　命题的四种形式

命题如果p，则（那么）q是由条件p和结论q组成的，对p，q进行换位和换质后，一共可以构成四种不同形式的命题.

（1）原命题：如果p，则q；

（2）条件和结论换位得

如果q，则p，

这称为原命题的逆命题；

（3）条件和结论换质（分别否定）得

如果非p，则非q，

这称为原命题的否命题；

（4）条件和结论换位又换质得

如果非q，则非p，

这称为原命题的逆否命题.

可以看出，原命题如果p，则q和它的逆命题如果q，则p是互逆的命题.同样，否命题如果非p，则非q和逆否命题如果非q，则非p也是互逆命题；

命题如果p，则q与如果非p，则非q，如果q，则p与如果非q，则非p分别是互否的命题；

命题如果p，则q与如果非q，则非p，如果q，则p与如果非p，则非q分别都是互为逆否的命题（图1－4）.

图1－4

由以上例题可以发现：原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题真假之间的关系是不定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假值上是始终保持一致的：同真或同假.

一般来说，命题如果p，则q的四种形式之间有如下关系：

(1)互为逆否的两个命题等价(同真或同假).因此，要证明原命题也可以只证明它的逆否命题.

(2)互逆或互否的两个命题不等价.

本章小结

阅读与欣赏

什么是数理逻辑

数理逻辑是用数学方法研究推理过程的科学.所谓数学方法就是用一套表意符号（即有确定意义的人工符号语言）表达思维规律与逻辑结构的方法.

三百多年前，德国数学家莱布尼兹就想发明一种语言符号用作推理，他认为逻辑语言就是用一些表意符号去分别代表一些简单的概念，然后用符号的各种不同组合来表达思维.继莱布尼兹后对数理逻辑作出重大贡献的是英国数学家布尔，他指出逻辑学应像代数那样，能够借助一些有确定意义的符号按照一定的运算法则进行演算，从而把思维规律的研究转化为符号运算规律的研究.布尔成功地定义了逻辑加法和逻辑乘法.例如，在本章中给定了两个命题，就可用联结词或且分别构造出新的命题.用或联结两个命题通常就叫做逻辑加，用且联结两个命题通常叫做逻辑乘，并且容易验证这些逻辑加法和逻辑乘法满足交换律、结合律和分配律，这样就把逻辑中语言推理转化为代数运算.应用数学方法研究逻辑，使数学的应用大大地扩大，所谓数学在生物学和社会学中的应用等于零的说法就完全不成立了.现代数理逻辑在数学、计算机科学、自动化控制、哲学、语言学、经济学等科学中有着广泛的应用.

同学们学点数理逻辑知识是完全必要的.这有助于提高我们的逻辑思维能力，为我们今后能正确使用数学语言打下基础.应当指出，近代数学语言已有了显著的变化，集合和数理逻辑语言已成了数学表述的通用语言.十多年来，数理逻辑在我国大学、中学已逐步普及.如果你不懂得一点数理逻辑知识，你就很难读懂数学书了.

现代数理逻辑的发展异常迅速，已取得了许多重大成果.数理逻辑基础知识一般包括：集合代数、命题代数和谓词演算等部分.

第二章　圆锥曲线与方程

2.1 曲线与方程

2.2 椭圆

2.3 双曲线

2.4 抛物线

2.5 直线与圆锥曲线

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我们知道，古希腊的几何学家对几何学作出过杰出的贡献，他们不仅对平面图形以及柱、锥、球进行过详细的研究，而且还对许多曲线进行过研究，并且取得杰出的成果，如获得椭圆、双曲线和抛物线等各种曲线的特征性质.

古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，当平面与圆锥面的轴线所成的角α变化时，获得不同的截线（图2－1）.

图2－1

设圆锥面的轴线与母线的夹角为θ，轴线与轴线在平面内正投影的夹角为α，则：

（1）当轴线垂直于平面时，截线是一个圆；

（2）当θ〈α〈π/2时，截线叫做椭圆；

（3）当α=θ时，截线叫做抛物线；

（4）当0≤α〈θ且平面不过圆锥面的顶点时，截线叫做双曲线.

人们通常把上述曲线叫做圆锥曲线.

圆锥曲线在数学和其他科学技术领域中，有着大量的应用.向太空发射人造地球卫星，机器制造、建筑以及各种工程建设中都需要应用圆锥曲线的性质.

在数学2平面解析几何初步一章的学习中，我们已经指出用数字表示点和用方程表示曲线的重要意义.用坐标方法研究曲线，可以充分有效地使用现代的计算机技术.这一章，我们将用坐标方法来讨论圆锥曲线的性质.

2.1　曲线与方程

2.1.1　曲线与方程的概念

通过数学2平面解析几何初步一章的学习，我们初步掌握了在直角坐标系中确定直线和圆的方程，并用方程研究直线和圆的几何性质的方法.我们称这种研究几何的方法为坐标法.现在我们以此为基础，进一步明确曲线与方程的概念.

用坐标法研究图形性质的基本思路是，借助于坐标系，把点与坐标、曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决.

让我们先回顾一下圆及其方程的意义.

如图2－2，以点O为圆心，半径为r（r〉0）的圆，记作⊙（O，r）.以O为原点建立直角坐标系xOy，我们可以得到圆的方程为

x^（2）＋y^（2）=r^（2）.①

上述圆的方程表示的意义是：

（1）设M（x₀，y₀）是⊙（O，r）上任意一点，则它到圆心O的距离等于r，因而满足方程=r，即x₀2）＋y₀2）=r^（2），这就是说，（x₀，y₀）是方程①的解；如果点（x₀，y₀）不在⊙（O，r）上，则必有≠r，即有x₀2）＋y₀2）≠r^（2），（x₀，y₀）就不会是方程①的解.

（2）如果（x₀，y₀）是方程①的解，则可以推得=r，即点M（x₀，y₀）到圆心O的距离等于r，点M在⊙（O，r）上；如果（x₀，y₀）不是方程①的解，则可以推出≠r，即点M（x₀，y₀）不在⊙（O，r）上.

以上两点说明了⊙（O，r）上的点与方程x^（2）＋y^（2）=r^（2）的解之间有一一对应关系.

我们知道，⊙（O，r）可以看成是一个动点M运动的轨迹.于是在坐标平面上，当⊙（O，r）上一个动点M沿该圆周运动时，点M的坐标（x，y）随着点M的运动而变化，点M运动的轨迹可以用方程x^（2）＋y^（2）=r^（2）来表达.

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.

一个二元方程总可以通过移项写成F（x，y）=0的形式，其中F（x，y）是关于x，y的解析式.例如，y=x^（2）可以写成x^（2）－y=0.

在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x，y）=0之间具有如下关系：

图2－2

（1）曲线C上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解；

（2）以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.

那么，曲线C叫做方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0叫做曲线C的方程.

这就是说，如果曲线C的方程是F（x，y）=0，则

M（x， y）∈CF（x， y）=0.

因此，方程F（x，y）=0可作为描述曲线C的特征性质.曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为

C={M（x， y）|F（x， y）=0}.

在坐标系选定以后，曲线被它的方程所唯一确定.但曲线的方程不是唯一的，除与我们选取的坐标系有关外，在同一坐标系下，还会有同解方程.

由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点的坐标.

已知两条曲线C₁和C₂的方程分别为

F（x， y）=0， G（x， y）=0.

则交点的坐标必须满足上面的两个方程.反之，如果（x₀，y₀）是上面两个方程的公共解，则以（x₀，y₀）为坐标的点必定是两条曲线的交点.因此，求两条曲线C₁和C₂的交点坐标，只要求方程组

的实数解就可以得到.

注 在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关系（1）和（2）缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F（x，y）=0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系（1）可知AB，由关系（2）可知BA；同时具有关系（1）和（2），就有A=B.

2.1.2　由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

在研究直线与圆的方程时，我们已经看到解析几何主要讨论下面的两个基本问题：

（1）由曲线求它的方程；

（2）利用方程研究曲线的性质.

下面让我们通过实例，进一步体会如何建立曲线的方程，以及如何利用方程研究曲线的性质.

2.2　椭圆

2.2.1　椭圆的标准方程

椭圆是常见的图形.例如，汽车油罐横截面的轮廓；天体中一些行星和卫星运行的轨道.又如在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上的影子也是椭圆形.

在画板上取两个定点F₁和F₂，把一条长度为定值且大于|F₁F₂|的细绳的两端固定在F₁，F₂两点（如图2－7）.用铅笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，画出的图形是一个椭圆.

图2－7

图2－8

从上面的画图过程，我们可以得出椭圆的定义：

平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数（大于

F₁F₂|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

现在我们根据椭圆的定义来求椭圆的方程.

设椭圆的焦距|F₁F₂|=2c，椭圆上任意一点与F₁，F₂的距离的和等于常数2a，其中a〉c〉0.

以过焦点F₁，F₂的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2－8所示.这时，焦点F₁，F₂的坐标分别为（一c，0），（c，0）.

设M（x，y）是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义可知，点M在椭圆上的充分必要条件是

|MF₁|＋|MF₂|=2a.

因为|MF₁|=，|MF₂|=，所以上述条件转化为坐标表示，就是

+=2a.①

当x≠0时，≠，由①得

=2a，

整理得

=a，

即

－=.②

①＋②，整理得

=a＋c/ax.③

将③式平方，再整理得

x^（2）＋y^（2）=a^（2）－c^（2）.④

因为a〉c〉0，所以a^（2）－c^（2）〉0.

设a^（2）－c^（2）=b^（2），b〉0，则④式化为

＋=1（a〉b〉0）.⑤

当x=0时，|MF₁|=|MF₂|=a.由=a，得y^（2）=a^（2）－c^（2）=b^（2），点M的坐标为（0，±b），此时M的坐标适合⑤.

因此，方程⑤是给定的椭圆的方程.通常把这个方程叫做椭圆的标准方程.焦点是F1（－c，0），F₂（c，0），且c^（2）=a^（2）－b^（2）.

注

本例用待定系数法求出了椭圆的标准方程.要注意焦点在x轴上的椭圆与焦点在y轴上的椭圆，其标准方程有不同的形式.

解题（2）时，也可以根据椭圆的定义，由点（，－）与焦点F₁，F₂的距离的和等于2a，求出a的值；然后由b₂=a₂-c₂，确定b₂的值，请同学们试一试.

2.2.2　椭圆的几何性质

已知椭圆C的标准方程是

＋=1（a〉b〉0），①

我们利用方程①来研究椭圆的一些几何性质.

1.范围

由方程①可得，椭圆C上任意一点的坐标（x，y）都适合不等式

≤1，≤1，

即

－a≤x≤a，－b≤y≤b.

这说明，椭圆C位于直线x=±a和y=±b围成的矩形内（如图2－11）.

2.对称性

在方程①中，把x换成－x，这个方程不变.可知如果M₁（x，y）是椭圆C上任意一点，则与点M₁关于y轴对称的点M2（－x，y）也在椭圆C上，即这个椭圆关于y轴对称.同样地，把y换成－y，或把x和y同时相应换成－x和－y，方程①都不变，可知这个椭圆关于x轴对称，又关于坐标原点对称.

因此椭圆C既是分别以y轴，x轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

图2－11

3.顶点

在方程①中，令y=0，得x=±a，可知椭圆C与x轴有两个交点，分别是A₁（－a，0）和A₂（a，0）；如果令x=0，则得y=±b，可知椭圆C与y轴也有两个交点，分别是B₁（0，－b）和B₂（0，b）.

因此，椭圆C与它的对称轴共有四个交点，即A₁，A₂和B₁，B₂（如图2－12），这四个点叫做椭圆的顶点.

在a〉b〉0的条件下，线段A₁A₂叫做椭圆的长轴，它的长等于2a；线段B₁B₂叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上.

于是，在椭圆的方程①中，a，b分别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长.又设椭圆的焦距为2c，则c是椭圆的半焦距.由a，b，c满足关系式

a^（2）=b^（2）＋c^（2），

可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，长度为a的线段是斜边.

图2－12中，F₁，F₂是椭圆的焦点，A₁，A₂，B₁，B₂是椭圆的顶点.可知

|OA₁|=|OA₂|=a，|OB₁|=|OB₂|=b，

|OF₁|=|OF₂|=c，|B₂F₁|=|B₂F₂|=a.

因此，直角三角形F₂OB₂（或F₁OB₂）直观地显示出a，b，c三者之间的关系.

4.离心率

椭圆的焦距与长轴长的比e=c/a叫做椭圆的离心率.

因为a〉c〉0，所以0〈e〈1. e越趋近于1，则c越趋近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，c越趋近于0，从而b越趋近于a，这时椭圆就越趋近于圆.

如果a=b，则c=0，两个焦点重合，这时椭圆的标准方程就变为圆的方程

x^（2）＋y^（2）=a^（2）.

图2－12

2.3　双曲线

2.3.1　双曲线的标准方程

我们已经知道，平面内与两个定点的距离的和为常数的点的轨迹可能是椭圆，那么与两个定点的距离差为非零常数的点的轨迹可能是怎样的曲线呢？

平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

以过焦点F₁，F₂的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（图2－15）.

图2－15

设M（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c〉0），那么F₁，F₂的坐标分别是（－c，0），（c，0）.又设点M与F₁和F₂的距离的差的绝对值等于常数2a（0〈a〈c）.则点M在双曲线上的充分必要条件是

︳|MF₁|－|MF₂|︳=2a，即|MF₁|－|MF₂|=±2a.

因为|MF₁|=，|MF₂|=，所以上述条件转化为坐标表示，就是

－=±2a，①

即

=±a.

得

+=±2c/ax.②

上面①，②两式中的右边同取＋号或同取－号.

由①＋②，得

=±（c/ax＋a）.③

将③式两边平方，再整理得

x^（2）－y^（2）=c^（2）－a^（2）.

因为c〉a〉0，所以c^（2）－a^（2）〉0.设c^（2）－a^（2）=b^（2），b〉0，则上式化为

－=1（a>0，b〉0）.④

因此，方程④是双曲线的方程，通常把这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的双曲线，两焦点在x轴上，焦点坐标分别为（－c，0），（c，0），这里c^（2）=a^（2）＋b^（2）.

2.3.2　双曲线的几何性质

我们利用双曲线C的标准方程

－=1（a〉0， b〉0）①来研究双曲线的一些几何性质.

1.范围

由方程①可知，双曲线C上任意一点的坐标（x，y）都适合不等式

≥1，

即x^（2）≥a^（2），得x≥a或x≤－a.

因此双曲线C位于两直线x=a和x=－a所夹平面区域的外侧，如图2－18所示.

图2－18

2.对称性

类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线C是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图形.这个对称中心叫做双曲线的中心.

3.顶点

在方程①中，令y=0，得x=±a，可知双曲线C与x轴有两个交点，分别是A₁（－a，0）和A₂（a，0）.令x=0，得y^（2）=－b^（2），这个方程没有实数根，说明双曲线C与y轴没有公共点.

双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.如图2－19所示，双曲线C的顶点是A₁（－a，0），A₂（a，0），这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点.线段A₁A₂叫做双曲线的实轴，它的长等于2a.同时，在y轴上作点B₁（0，－b），B₂（0，b），线段B₁B₂叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b.相应地，a，b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长.

图2-19

4.渐近线

观察图2－19中方程①所表示的双曲线C.在直线x=a的右侧，当x逐渐增大时，双曲线的右支向右上和右下逐渐延伸；在直线x=－a的左侧，当x逐渐减小时，双曲线的左支向左上和左下逐渐延伸.

我们再进一步分析双曲线的这一变化趋势，不妨先考虑它在第一象限内的那一部分，这一部分曲线的方程可表示为

y=b/a=（x〉a）。

由于x〉a〉0，可知〈x；又因为b〉0，所以

y〈b/ax.

这说明在第一象限内，双曲线C上的任意一点M（x，y）总是位于直线y=b/ax的下方.

如图2－19所示，过点M作直线y=b/ax的垂线MP，则M到直线y=b/ax的距离

|MP|=

=

=|x－|

=·.

因为当x〉a时，x＋随着x增大而增大，所以随着x增大而减小，可知当x越来越大时，|MP|越来越接近于0.这说明当点M从双曲线C的顶点A₂开始在第一象限沿此双曲线移动，并越来越远离点A₂时，点M和直线y=b/ax就越来越接近.

由此可见，此双曲线右支向右上方无限延伸时，它总在直线y=b/ax下方，且与直线y=b/ax越来越接近，但不会相交.

根据双曲线的对称性可知，双曲线C向外无限延伸时，总是局限在由直线y=b/ax和直线y=－b/ax相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并与这两条直线无限接近，但永远不会与这两条直线相交，如图2－19所示.

直线y=b/ax和直线y=－b/ax叫做双曲线的渐近线.

注 双曲线－=1的渐近线方程为y=±a/bx.

5.离心率

双曲线的焦距与实轴的比e=c/a，叫做双曲线的离心率.因为c>a〉0，所以双曲线的

由等式c^（2）－a^（2）=b^（2）可得

b/a===.

因此e越大，b/a也越大，即渐近线y=±b/ax的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.

2.4　抛物线

2.4.1　抛物线的标准方程

我们在操场上投掷铅球，或者进行排球比赛时向对方抛发球，看到的铅球、排球运行的轨道是抛物线的形象.抛物线是一种常见的曲线，它的应用也很广泛.例如太阳灶、探照灯、雷达天线、射电望远镜等，都是利用抛物线的原理制成的.

在画板上画一条直线l，使l与画板左侧的边线平行；再在直线l外画一个定点F（如图2－21）.取一把丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q.将一条长度等于|PQ|的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F.用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺，笔尖滑动画出的曲线是部分抛物线.

平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

下面我们根据抛物线的定义来探求它的方程.

过点F作直线l的垂线，垂足为K.以直线KF为x轴，线段KF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2－22所示.

设|KF|=p（p〉0），则焦点F的坐标为（p/2，0），准线l的方程为x=－p/2.

再设M（x，y）是抛物线上的任意一点，点M到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点M在抛物线上的充要条件是

|MF|=d.

因为|MF|=，d=|x＋p/2|，所以上述条件转化为坐标表示，就是

=|x＋p/2|.

图2－21

图2－22

将上式两边平方并化简，得

y^（2）=2px（p〉0）.①

方程①叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（p/2，0）；它的准线方程是x=－p/2，其中p是焦点到准线的距离.

2.4.2　抛物线的几何性质

我们根据抛物线的标准方程

y^（2）=2px（p〉0）①来研究它的一些几何性质.

1.范围

因为p〉0，由方程①可知，这条抛物线上任意一点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口向右.

2.对称性

以－y代y，方程①不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

3.顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中，当y=0时，x=0，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.

4.离心率

抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.按照抛物线的定义，e=1.

图2－23

在直角坐标平面上，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此拋物线的方程相应地有四种形式，它们都叫做拋物线的标准方程，它们的推导过程类同.

设拋物线的焦点到准线的距离为P(P＞0),上述拋物线方程的四种形式列表如下：

图形
标准方程	y^（2）=2px （p＞0）	y^（2）=-2px （p＞0）	x^（2）=2py （p＞0）	x^（2）=-2py （p＞0）
对称轴	x轴		y轴
顶点	原点
焦点坐标	（p/2，0）	（-p/2，0）	（0，p/2）	（0，-p/2）
准线方程	x=-p/2	x=p/2	y=-p/2	y=p/2

2.5　直线与圆锥曲线

我们知道，直线与圆的位置关系有相交、相切或相离三种情况，可以分别由直线与圆有两个不同的公共点、有且只有一个公共点或没有公共点来确定.直线与圆的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法来判断直线与圆的位置关系.现在，我们采用同样的方法来研究直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.下面举例说明.

注

直线与椭圆的公共点个数存在三种可能：有两个不同的公共点，有且只有一个公共点（其实是两个公共点重合为一点），没有公共点；相应地就说直线与椭圆相交，相切，相离.

直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.

在例2中所设直线l的方程为点斜式，已认定直线的斜率存在，这时要注意相线l的斜率不存在的情况.

本章小结

阅读与欣赏

圆锥面与圆锥曲线

圆锥曲线在科学研究以及生产和生活中具有广泛的应用.关于圆锥曲线的基本理论，成熟于古希腊.当法国数学家笛卡儿（Deacartes，1596－1650）和费马（Fermat，1601－1665）创立了解析几何时，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法开始朝着解析几何的方向发展.到了18世纪，人们对解析几何广泛地进行探讨，表示圆锥曲线的二元二次方程也被化为几种标准形式，或者用参数方程来表示.1748年欧拉（Euler，1707－1783）出版了《无穷小分析引论》，在这部著作中，给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，并从一般二元二次方程

ax^（2）＋bxy＋cy^（2）＋dx＋ey＋f=0出发，指出圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化为几种标准形式之一.

有意思的是，在进行坐标旋转变换和伸缩变换时，△=b^（2）－4ac的值是不会变的.而且，我们有如下结论：

若△〈0，则上述方程可以化成椭圆方程或类似于椭圆方程的形式；

若△〉0，则上述方程可以化成双曲线方程或类似于双曲线方程的形式；

若△=0，则上述方程可以化成抛物线方程或类似于抛物线方程的形式.

圆锥曲线是描述天体运行轨道时常用的曲线，也是我们日常生活中常见的曲线，圆锥曲线的光学性质在现实生活中的应用相当普遍.

下面我们不加证明直接列出圆锥曲线的一些光学性质：

（1）从椭圆的一个焦点处发出光线照射到椭圆上，经反射后都通过另一个焦点（如图2－29）；

图2－29

（2）从双曲线的一个焦点处发出光线照射到双曲线上，经反射后会使光线散开，如同光线是从另一个焦点发出来的一样（如图2－30）；

图2－30

（3）从抛物线焦点处发出的光线照射到抛物线上，经反射后都平行于抛物线的轴（如图2－31）.

图2－31

反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点（如图2－32）.

图2－32

圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中.例如电影放映机的聚光灯的反射镜的形状是旋转椭圆面；手电筒、探照灯、太阳灶的反光镜都是旋转抛物面.

第三章　空间向量与立体几何

3.1　空间向量及其运算

3.1.1　空间向量的线性运算

1.空间向量的概念

在空间中，同样把具有大小和方向的量叫做向量.例如，空间中点的一个位移就是一个向量.

与平面向量一样，空间向量也是用有向线段来表示，并且用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

例如，图3－1中的位移向量a，可以分别用同向且等长的有向线段，，，来表示，即

====a.

在空间中，用有向线段表示向量时，我们同样说向量，A为向量的起点，B为向量的终点.起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0.应注意，在手写向量时，仍要在字母上方加箭头.

与平面向量一样，表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|a|.有向线段的方向表示向量的方向.有向线段所在的直线叫做向量的基线.

如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.如图3－2所示，a平行于b，记作a∥b.我们规定零向量与任意向量共线.

图3－1

图3－2

2.空间向量的加法、减法和数乘向量运算

由于空间中任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，我们可把平面向量的线性运算，推广到空间中，用来定义空间向量的加法、减法和数乘向量运算.

例如，已知两个不平行的向量a，b，作=a，=b.这时，O，A，B三点不共线，于是这三点确定一个平面.如图3－3，我们有以下结论：

a＋b=＋=＋=；

a－b=a＋（－b）=＋===－；

注 应注意，平行向量的基线可能重合.

当λ〉0时，λa==λ；

当λ=0时，λa=0；

当λ〈0时，λa==λ.

想一想，以上运算结果，与向量起点的选择有没有关系.

由此可见，平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则，对空间向量也同样成立.

同样，我们也能把平面内多个向量的加法推广到空间.如图3－4所示

＋＋＋＋＋=.

这就是说，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和.为了便于记忆，常把这个和向量叫做封口向量.

空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样，满足如下运算律：

（1）加法交换律　a＋b=b＋a；

（2）加法结合律　（a＋b）＋c=a＋（b＋c）；

（3）分配律　（λ＋μ）a=λa＋μa，λ（a＋b）=λa＋λb.

请同学们根据图3－5中的空间四边形各边以及对角线表示的向量验证加法结合律.

由向量加法的交换律和结合律可以推知：

有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变.

图3－3

图3－4

图3－5

从上面例题的（1）我们可以得到下面的结论：

三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。

3.1.2　空间向量的基本定理

1.共线向量定理

两个平面向量共线的判定与性质，对于空间向量仍成立：

共线向量定理　两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使

a=xb.

定理的证明在平面向量中已经给出.

2.共面向量定理

已知向量a，作=a，如果a的基线OA平行于平面α或在α内，则就说向量a平行于平面α，记作a∥α（图3－8）.

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

任意两个空间向量总是共面的，但任意三个空间向量就不一定共面了.例如，在图3－9所示的长方体中，向量，，，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内.

下面我们研究向量共面的判定与性质.

共面向量定理　如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c=xa＋yb.

图3－8

图3－9

证明：（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，我们总可以通过平移，使它们位于同一平面内.由平面向量的基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，使

c=xa＋yb.

（2）充分性：如果c满足关系式

c=xa＋yb，

则可选定一点O（图3－10），作=xa，==yb，于是

=＋=xa＋yb=c.

显然，，，都在平面OAB内，这就说明c与a，b共面.

注 三个向量共面，又称这三个向量线性相关；反之，如果三个向量不共面，则称这三个向量线性无关.

图3－10

3.空间向量分解定理

空间向量分解定理　如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使

p=xa＋yb＋zc.

证明：如图3－12所示，过点O作

=a，=b，=c，=p.

过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点P′，在平面OAB内，过P′作直线P'A'∥OB，P'B'∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A'，B'，于是存在三个实数x，y，z，使

=x=xa，

=y=yb，

=z=zc，

图3－12

这就证明了表达式①是唯一的.

表达式xa+yb+zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合.

由上述定理可知，如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量.

由上述定理可知，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底.

3.1.3　两个向量的数量积

1.两个向量的夹角

已知两个非零向量a，b（图3－15），在空间中任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.

通常规定

0≤〈a， b〉≤π.

在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且

〈a， b〉=〈b， a〉.

如果〈a，b〉=90°，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

我们知道，两个向量一定共面.但在作有向线段分别表示向量a，b时，它们的基线可能不在同一平面内，我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直.

注 一条直线在空间有自己固定的位置，而一个向量在空间可平行移动，没有固定的位置.

图3－15

2.两个向量的数量积

在平面向量中，我们通过力做功和向量在轴上的投影的计算，引入了两个向量数量积的定义.平面向量的数量积可推广到空间向量.

已知空间两个向量a，b，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积

a·b=|a||b|cos〈a，b〉，叫做两个空间向量a，b的数量积（或内积）.

由这个定义可知，两个向量的数量积是一个实数.

与平面上两个向量的数量积一样，两个空间向量的数量积也具有如下性质：

（1）a·e=|a|cos〈a，e〉；（2）a⊥ba·b=0；

（3）|a|^（2）=a·a；（4）|a·b|≤|a||b|.

图3－17

两个空间向量的数量积同样满足如下运算律：

（1）（λa）·b=λ（a·b）；

（2）a·b=b·a；（交换律）

（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c.（分配律）

下面我们来证明数量积的分配律.

已知向量a，b，c，如果这三个已知向量共面，在平面向量中我们已经证明分配律成立.现假设这三个向量不共面（图3－18）.

作轴l∥c，设轴的单位向量为c₀.

在l上任取一点O，作=a，作=b，连OB，则=a＋b.过点A作AA′垂直l于点A′，过点B作BB′垂直l于点B′，则

（a＋b）·c₀=·c₀=OB′，

a·c₀=·c₀=OA′，

b·c₀=.c₀=A′B′.

因为OB′=OA′＋A′B′，所以

（a＋b）·c₀=a·c₀＋b·c₀.

上式两边同乘以|c|，即可证明

（a＋b）·c=a·c＋b·c.

图3－18

3.1.4　空间向量的直角坐标运算

1.空间向量的直角坐标运算

建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底（图3－21）.单位向量i，j，k都叫做坐标向量.

空间直角坐标系Oxyz，也常说成空间直角坐标系[O；i， j， k].

在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组（a₁，a₂，a₃），使

a=a₁i＋a₂j＋a₃k，

a₁i，a₂j，a₃k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组（a₁，a₂，a₃）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标.上式可简记作

a=（a₁，a₂，a₃）.

于是，我们在空间向量集合的元素与三元有序实数组集合的元素之间建立了一一对应关系，即

a（a₁，a₂，a₃）.

设a=（a₁，a₂，a₃），b=（b₁，b₂，b₃），则容易得到

a＋b=（a₁＋b₁，a₂＋b₂，a₃＋b₃），

a－b=（a₁－b₁，a₂－b₂，a₃－b₃），

λa=（λa₁，λa₂，λa₃），

a·b=a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃.

以上向量坐标运算法则，留给同学们自己证明.

在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点P，相对于原点确定了一个向量（图3－22）.设

图3－21

=xi＋yj＋zk，

则（x，y，z）也就是点P的坐标，即P（x，y，z）.

设A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），则

=－=（x₂－x₁，y₂－y₁，z₂－z₁）.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

2.空间向量平行和垂直的条件

我们知道

a∥b（b≠0）a=λb，

换用坐标表示，得

当b与三个坐标平面都不平行时，

a∥b==.

我们还知道

a⊥ba·b=0.

换用坐标表示，得

a⊥ba₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃=0.

图3－22

3.两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式

设a=（a₁，a₂，a₃），b=（b₁，b₂，b₃），则

|a|==，

|b|==，

cos〈a， b〉==

设A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），则

||=.

3.2　空间向量在立体几何中的应用

在学习平面向量时我们已经知道，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合（轨迹）.同样，我们可以利用空间向量确定空间中一点的位置或点的集合.

已知向量a，在空间中固定一个基点O，再作向量=a，则点A在空间中的位置就被向量a所唯一确定了.这时，我们称这个向量为位置向量.当在空间中给定一点时，就可以用不同的向量确定空间中不同点的位置.这就使我们能够用向量和向量运算研究空间图形的性质.

3.2.1　直线的方向向量与直线的向量方程

1.用向量表示直线或点在直线上的位置

给定一个定点A和一个向量a（图3－24），再任给一个实数t，以A为起点作向量

=ta，①

这时点P的位置被t的值完全确定.容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使=ta.

向量方程①通常称作直线l以t为参数的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.

直线的向量方程①，还可作如下的表示：对空间任一个确定的点O（图3－25），点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式

=＋ta.②

如果在l上取=a，则②式可化为

=＋t=＋t（－），

即

=（1－t）＋t.③

①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.

在③中，当t=1/2时，我们就可以得到线段中点的向量表示式.设点M是线段AB的中点，则

=1/2（＋）.

图3－24

图3－25

这就是线段AB中点的向量表达式.

下面我们举例说明，如何利用直线的方向向量和向量运算确定直线上任一点的位置.

在例1中，可以直接用直线的向量参数方程求解：根据条件求出l，直接代入方程.

2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行

设直线l₁和l₂的方向向量分别为v₁和v₂（图3－27（1）），则由向量共线的条件，得

l₁∥l₂或l₁与l₂重合v₁∥v₂.

图3－27

已知两个不共线向量v₁，v₂与平面α共面（图3－27（2）），一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得

l∥α或l在α内存在两个实数x，y，

使v=xv₁＋yv₂.

由共面向量定理，我们还可以得到：

如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式

=x＋y成立.

已知两个不共线的向量v₁，v₂与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得

α∥β或α与β重合v₁∥β且v₂∥β.

注

请用综合法证明例2，从中体会向量运算的几何意义.

3.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

如果知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否平行（或重合）、垂直来判定直线是否平行、垂直.

设两条直线所成的角为θ，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补.

如图3－29所示，设直线l₁和l₂的方向向量分别为v₁和v₂，则有

l₁⊥l₂v₁⊥v₂，

cosθ=|cos〈v₁，v₂〉|.

图3－29

注　从以上几个例子，可以看到，用向量方法解几何题的一般步骤是：把线段转化为向量来表示，并通过已知向量表示未知向量，或选用基向量表示其他向量，然后通过向量运算去计算或证明.

3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示

已知平面α（图3－32），如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交.

由平面法向量的定义可知，平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.

由于同时垂直于同一平面的两条直线平行，可以推知，一个平面的所有法向量互相平行.

由平面法向量的性质，很容易通过向量运算证明直线与平面垂直的判定定理.

如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

已知a，b是平面α内的两条相交直线，且直线n⊥a，n⊥b（图3－33）.

求证：n⊥α.

证明：设m是α内的任一条直线.在n，a，b，m上分别取非零向量n，a，b，m.因

图3－32

为a与b相交，由共面向量定理可知，存在唯一的数对（x，y），使

m=xa＋yb，

n·m=xn·a＋yn·b.

由已知条件，可推知

n·a=0， n·b=0.

因此n·m=0，得n⊥m.

因为直线n垂直于平面α内的任一直线，所以直线n垂直于平面α.

现在我们来研究问题：

设A是空间任一点（图3－34），n为空间内任一非零向量，适合条件

·n=0①的点M的集合构成什么样的图形？

容易看出，如果任取两点M₁，M₂（其中M₁，M₂和A三点不共线），且

·n=0，·n=0，

则n⊥平面AM₁M₂.

图3－33

图3－34

由直线与平面垂直的判定定理，就可以推知，在平面AM₁M₂内的任一点M都满足条件①式.又知满足条件①的所有点M都在平面AM₁M₂内.

这就说明，我们可以用①式表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面.①式通常称为一个平面的向量表示式.

设n₁，n₂分别是平面α，β的法向量，则容易得到

α∥β或α与β重合n₁∥n₂；

α⊥βn₁⊥n₂n₁·n₂=0.

于是我们就可利用向量的平行或垂直的条件，来讨论平面的平行或垂直.

已知平面a和一点A，过点A作a的垂线l与a相交于点A'，则A'就是点A在平面a内的正射影，以下简称射影.由上述定义可知，平面a内的任一点在a内的射影都是它自身.

图形F上所有的点在平面a内的射影所成的集合叫F,做图形F在平面a内的射影(图3-36).

如果一条直线AB和平面a相交于点B(图3-37)，但不和a垂直，那么直线AB叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点B叫做斜足，斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB.

图3-36

图3-37

本例证明所得的结论，通常称为三垂线定理.

三垂线定理　如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

类似地可以证明：

三垂线定理的逆定理　如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

想一想，如果在三垂线定理中，已知条件改为：直线l//平面a，并且直线l垂直于斜AC在平面a内的射影BC，直线l是否还垂直于斜线AC？

3.2.3　直线与平面的夹角

如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为90°.

如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0°.

平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？

我们先研究如何计算平面的斜线与该平面内任一条直线的夹角.

如图3-40，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影.设OM是α内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为θ₁，OB与OM所成的角θ₂，OA与OM所成的角为θ.下面我们用向量的运算来研究θ，θ₁，θ₂之间的关系.

在直线OM上取单位向量m，则⊥m，即·m=0.

因为=＋，所以

·m=.m＋.m，

因此·m=·m，即

||cosθ=||cosθ₂，

cosθ=cosθ₂.

图3-40

又因为=cosθ₁，所以

cosθ=cosθ₁cosθ₂.①

在上述公式中，因为0≤cosθ₂≤1，所以

cosθ≤cosθ₁.

因为θ₁和θ都是锐角或直角，所以θ₁≤θ.

由此我们得到：

斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）.

如图3-41，设向量在平面α内的射影为，且直线AB与平面α夹角为θ，则〈，〉=θ.易证

||=||cosθ.

在公式①中，如果θ₂=90°，你能得出什么结论？

图3-41

3.2.4　二面角及其度量

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α－l－β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A－l－B，也可记作^（2）∠l（图3-43）.

在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角（图3-43）.显然，这个平面角与点O在l上的位置无关（为什么？）.

图3-43

二面角的大小可以用它的平面角来度量.二面角的平面角是几度，就说这个二面角是

本书中，我们约定，二面角不小于0°，不大于180°.

平面角是直角的二面角叫做直二面角（图3-45）.互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面.

我们可用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量.

如图3-46所示，分别在二面角α－l－β的面α，β内，作向量n₁⊥l，n₂⊥l，则我们可以用向量n₁与n₂的夹角来度量这个二面角.

如图3-46，设m₁⊥α，m₂⊥β，则角〈m₁，m₂〉与该二面角大小相等或互补.

图3-44

图3-45

图3-46

在例2中，把△ABC换为a内的多边形可其他任意图形，所证公式仍然成立.设S是a内的任一平面图形的面积，它在平面β内正射影的面积为S'，则S'=Scosθ.

3.2.5　距离（选学）

1.距离的概念

在几何学中，我们经常碰到要计算两个图形之间的距离.一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离（图3-50）.

图3-50

图3-51

计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题.计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.下面举例说明如何用向量运算求两点之间的距离.

注 同样，例1可以通过构造三角形，再解三角形来求解.解法留给同学作为练习，并比较两种解法的内在联系.

2.点到平面的距离

我们知道，过平面α外一点P有唯一的一条直线PA垂直α（图3-52）.设A是垂足，B是α内异于A的任一点，由△PAB是直角三角形可得

PA〈PB.

这就是说，连接平面α外一点P与α内任意一点的所有线段

图3-52

一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离

3.直线与它的平行平面的距离

我们知道，如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等（图3-53）.

一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离.

图3-53

4.两个平行平面的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段.

如图3-54，平面α∥平面β，直线AA′，BB′都是它们的公垂线段，由四边形AA′B′B是矩形可知，两平行平面的公垂线段都相等.

两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离.

计算以上图形之间的距离，我们可以用勾股定理、三角函数和向量的内积运算求解得.下面我们举例说明，如何用向量运算来求点到平面的距离.

图3-54

本章小结

阅读与欣赏

向量的叉积及其性质

大家已经知道，向量是解决空间中平行、长度和角度的度量等问题的锐利武器.下面我们介绍向量的叉积运算，它在求平面之间的夹角、面积和体积问题时，有广泛应用.

给定空间中不共面的三个向量a，b，c，假设它们的始点都是O.如图1所示，如果此时a，b，c的位置关系和右手的拇指，食指，中指的位置关系相同，我们就称a，b，c构成右手系.

图1

如图2所示，给定两个不共线的空间向量a，b，它们的叉积是满足下列条件的向量c：

（1）c同时垂直于a和b；

（2）a，b，c构成右手系；

（3）|c|=|a||b|sin〈a，b〉.

向量a与b的叉积，记作a×b，读作a叉乘b.值得注意的是，

a||b|sin〈a，b〉就是以向量a，b为邻边的平行四边形的面积（如图2）.

图2

如果向量a，b共线，我们规定a×b=0.

两个向量的叉积运算，满足以下运算律.

对任意三个向量a，b，c和实数λ，有：

（1）a×b=－b×a；

（2）（λa）×b=λ（a×b）；

（3）（a＋b）×c=a×c＋b×c.

下面介绍，如何在空间直角坐标系中，用向量的坐标来进行向量的叉积运算.

如果a，b，c，d都是实数，我们规定

.

设e₁，e₂，e₃为单位正交基底，而且它们构成右手系.则显然

e₁×e₁=e₂×e₂=e₃×e₃=0，

e₁×e₂=e₃，e₂×e₃=e₁，e₃×e₁=e₂.

如果a=（a₁，a₂，a₃），b=（b₁，b₂，b₃）.

则

a×b=（a₁e₁＋a₂e₂＋a₃e₃）×

（b₁ e₁＋b₂e₂＋b₃e₃）

=（a₂b₃－a₃b₂）e₁＋（a₃b₁－a₁b₃）e₂＋

（a₁b₂－a₂b₁）e₃

=.

即

.

由此可知，空间向量a，b所张成的平行四边形（如图2）的面积为

S=.

第一章　导数及其应用

1.1　导数

1.1.1　函数的平均变化率

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁.怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题.

假设图1－1是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y=f（x）表示.

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y=f（x）表示此时旅游者所在的高度.想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？

图1－1

某旅游者从点A爬到点B，假定这段山路是平直的.设点A的坐标为（x₀，y₀），点B的坐标为（x₁，y₁），自变量x的改变量为x₁－x₀，记作△x，函数值的改变量为y₁－y₀，记作△y，即

△x=x₁－x₀，△y=y₁－y₀.

于是，此人从点A爬到点B的位移可用向量

=（△x，△y）

来表示.假设向量对x轴的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，从图1－2容易看出

k=tanθ==.

显然，线段所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡.这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓.

现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？

图1－2

=

来度量.由此，我们引出函数平均变化率的概念.

一般地，已知函数y=f（x），x₀，x₁是其定义域内不同的两点，记△x=x₁－x₀，△y=y₁－y₀=f（x₁）－f（x₀）=f（x₀＋△x）－f（x₀）①，则当△x≠0时，商

=

称作函数y=f（x）在区间[x₀，x₀＋△x]（或[x₀＋△x，x₀]）的平均变化率.

注

①这里△x，△y可为正值，也可为负值.但△x≠0，△y可以为0.

1.1.2　瞬时速度与导数

物体作匀速直线运动，速度是路程与时间之比：v=s/t.如果物体作变速直线运动，那幺它的速度如何刻画呢？例如，自由落体、竖直向上发射火箭都是变速直线运动，这类运动路程随时间变化，速度也随时间变化，速度与路程、时间有什幺样的关系呢？

设物体运动路程与时间的关系是s=f（t）（图1－4）.从t₀到t₀＋△t这段时间内，物体运动的平均速度是

v₀==.

可见平均速度v₀就是函数f（t）在区间[t₀，t₀＋△t]的平均变化率.那幺在某一时刻t₀，运动的速度（瞬时速度）是什幺呢？我们从平均速度出发讨论这个问题.

当|△t|取一系列越来越小的值时，平均速度v₀取一系列数值，这一系列数值有什幺特点呢？下面我们以10米跳台跳水运动为例来分析这个问题①.

设在10米跳台上，运动员跳离跳台时竖直向上的速度为6.5 m/s.运动员在时刻t距离水面的高度

h（t）=10＋6.5t－1/2gt^（2），

其中g为重力加速度，g≈9.8 m/s^（2）.于是，

h（t）=10＋6.5t－4.9t^（2）.

现在我们来探讨运动员在t=2 s时竖直向上的（瞬时）速度.容易算出，该运动员在2 s至2.1 s（记为[2，2.1]）这段时间内的平均速度为

==－13.59（m/s）.

运用计算器可以得到下列平均速度表：

注

①跳水运动在竖直方向上是匀加速运动，匀加速运动的运动方程是

s=v₀ t＋1/2at^（2），其中v₀为初始速度，a为加速度，t为运动时间.

（图1－4）

由此表可以看出，当时间间隔越来越小时，平均速度趋于常数－13.1，这个常数被视为该运动员在2 s时的瞬时速度，即

v（2）=－13.1（m/s），

这里－号表示这个运动员在2 s时的瞬时速度的方向是竖直向下的.我们把上述关于2 s时的瞬时速度用函数平均变化率的变化趋势描述如下：

当△t趋近于0时，趋近于－13.1.

我们也可以直接由看出这种变化趋势：

=

=

=－13.1－4.9△t.

当△t趋近于0时，上式右端趋近于常数－13.1.这与前面取具体值计算的结果一致.

一般地，对任一时刻t₀，也可以计算出瞬时速度：

=

=

=－9.8t₀＋6.5－4.9△t.（*）

当△t趋近于0时，上式右端趋近于－9.8t₀＋6.5.①这就是说，在t₀时刻，运动员的瞬时速度是－9.8t₀＋6.5（m/s）.

以上分析表明，当△t趋近于0时，函数h（t）在t₀到t₀＋△t之间的平均变化率

趋近于常数

注

①△t趋近于0时，△t乘上任何常数仍然趋于0.

－9.8t₀＋6.5，

我们把这个常数称为t₀时刻的瞬时速度.

这时，同学们可能会问，常数－9.8t₀＋6.5可以在上面（*）式的最后结果中，令△t=0而得到.为什幺要用趋近于0来表述？这里，先向同学们说明两点：

（1）在上面的例子中，我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程，在这个变化过程中，时间间隔△t越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0.

（2）当△t趋近于0时，存在着一个数l与商无限地接近.

应当注意，我们这里研究的问题与以前学过的数学有质的不同.这里研究的是两个变量△y与△x比值变化的性质与状态.尽管△x，△y在变化中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数.

由以上分析，我们给出函数瞬时变化率的概念.

设函数y=f（x）在x₀及其附近有定义，当自变量在x=x₀附近改变量为△x时，函数值相应地改变

△y=f（x₀＋△x）－f（x₀）.

如果当△x趋近于0时，平均变化率

=趋近于一个常数l，那幺常数l称为函数f（x）在点x₀的瞬时变化率.这样，运动的瞬时速度就是路程函数y=s（t）的瞬时变化率.

当△x趋近于0时，趋近于常数l可以用符号→（读作趋近于）记作

当△x→0时，→l，

上述过程，通常也记作

函数y=f（x）在点x₀的瞬时变化率，通常称为f（x）在点x₀处的导数，并记作f′（x₀）.

这时又称f（x）在点x₀处是可导的.于是上述变化过程，可以记作

当△x→0时，→f′（x₀）

或

=f′（x₀）.

如果f（x）在开区间（a，b）内每一点x都是可导的，则称f（x）在区间（a，b）可导.这样，对开区间（a，b）内每个值x，都对应一个确定的导数f′（x）.于是，在区间（a，b）内，f′（x）构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f（x）的导函数.记为f′（x）或y′（或）.

导函数通常简称为导数.本书中，如果不特别指明求某一点的导数，那幺求导数指的

1.1.3　导数的几何意义

设函数y=f（x）的图象如图1－6所示.AB是过点A（x₀，f（x₀））与点B（x₀＋Δx，f（x₀＋Δx））的一条割线.由此割线的斜率是

=，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线.于是，当Δx→0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即

=切线AD的斜率.

由导数意义可知，曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））的切线的斜率等于f′（x₀）.

图1－6

1.2　导数的运算

1.2.1　常数函数与幂函数的导数

（1）常数函数的导数.

设y=f（x）≡C，C是常数.

C′==，即C′=0.

（2）函数y=x的导数.

设y=f（x）=x.

x′===1，即x′=1.

（3）函数y=x2的导数.

设y=f（x）=x^（2）.

（x^（2））′=

=

=（2x+△x）=2x，即（x2）′=2x.

（4）函数y=x^（3）的导数.

设y=f（x）=x^（3）.

（x^（3））′=

=

=（3x^（2）＋3x△x＋△x^（2））=3x^（2），即（x^（3））′=3x^（2）.

（5）函数y=1/x的导数.

设y=f（x）=1/x，x≠0.

（1/x）′=

=

=①），即（1/x）′=－（x≠0）.

（6）函数y=的导数.

设y=f（x）=（x＞0）.

（）′=

=

=

=，即（）′=（x＞0）.

注

①在求导数时，当△x→0时，x是不变的，应视为常数，常数的极限是其本身.这里还用到求极限的四则运算法则：

=

=

=

=.

至此，除常数函数外，我们已经导出了5个常见幂函数的求导公式.你有没有发现求幂函数的导函数的规律？

我们把这些幂函数的求导结果的形式改写一下，有

（x^（1））′=1=1·x^（1－1），

（x^（2））′=2x=2x^（2－1），

（x^（3））′=3x^（2）=3x^（3－1），

（x^（－1））′=（1/x）′=－1/x=－x^（－1－1），

（）′=（）′==1/2.

由此我们推测，对任意幂函数y=x^（a），当a∈Q时，都有

（x^（a））′=ax^（a－1）.

例如：

如果y=x^（8），则y′=（x^（8））′=8x^（7）；

如果y=x^（12），则y′=（x^（12））′=12x^（11）；

如果y－x，则y′=（x）′=4/3x.

事实上，可以证明上面幂函数的求导公式，对任意实数幂都成立.现在，我们要证明它还有困难.只要求会使用它求幂函数的导数就可以了.但对上面几个常见的幂函数的求导公式要理解它们的推导过程.

我们约定，本章所涉及的函数，如果没有特别说明，指的都是初等函数.

1.2.2　导数公式表及数学软件的应用

1.基本初等函数导数公式表

在科学研究和工程计算中，经常要使用一些初等函数的导数.为了方便并减少重复的劳动，数学工作者制作出常用函数的求导公式表，供大家使用.这里仅列出基本初等函数的求导公式表，供同学们做练习时查用.

基本初等函数的导数公式表

注

①ln a=log_ea，称为a的自然对数，其底为e，e是一个和π一样重要的无理数：

e=2.718281 8284….

注意（e^（x））′=e^（x），（ln x）′=1/x.

2.数学软件的应用

查表求函数的导数，现在科研人员甚至大学生都很少使用了.由于计算机性能的提高和广泛普及，人们可以使用数学应用软件进行导数的计算.再复杂的函数，使用数学软件进行计算，只是瞬间的事.现在广泛使用的数学软件很多，如Maple、Matlab、Mathcad等.下面举例说明.

1.2.3　导数的四则运算法则

初等函数是由基本初等函数经过四则运算、乘方、开方和各种复合运算构成.初等函数的导数可以经过基本初等函数导数的运算而求得.我们在知道基本初等函数的导数公式的前提下，可以求得许多较为复杂的函数的导数.

1.函数和（或差）的求导法则

设f（x），g（x）是可导的，则

即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）.

证明：设y=f（x）＋g（x），则

△y=f（x＋△x）＋g（x＋△x）－[f（x）＋g（x）]

=[f（x＋△x）－f（x）]＋[g（x＋△x）－g（x）]

=△f＋△g.

=，

==，

即y′=（f＋g）′=f′＋g′，同理可证（f－g）′=f′－g′.

这个法则可推广到任意有限个函数，即

（f₁±f₂±…±f_n）′=f₁′±f₂′±…±f_n′.

根据函数导数的定义，同样可以证明两个函数之积与商的求导法则.

2.函数积的求导法则

设f（x），g（x）是可导的，则

即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.

由上述法则立即可以得出

[Cf（x）]′=Cf′（x）.

即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数.

3.函数的商的求导法则

设f（x），g（x）是可导的，g（x）≠0，则

特别是当f（x）≡1时，有

[]′=.

得

=.

而=u′（x）=a，

所以dy/dx=a[f（u）]_u′.

再将u=ax＋b代入上式便得到dy/dx

由例5的结论，我们可更方便地求出一些函数的导数，例如：

[（5x＋3）5]′=5（u^（5））_u′=5×5u^（4）=25（5x＋3）^（4）；

（sin 2x）′=2（sin u）_u′=2cos u=2cos 2x；

[sin（2x＋π/3）]’=2（sin u）_u′=2cos（2x＋π/3）.

1.3　导数的应用

1.3.1　利用导数判断函数的单调性

竖直上抛一个小沙袋，沙袋高度h是时间t的函数.设

h=h（t），

其图象如图1－7所示.横轴表示时间，纵轴表示沙袋的高度，设沙袋的最高点为A，其横坐标为t=t₀.

先考察沙袋在区间（a，t₀）的运动情况：

根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0.即，在区间（a，t₀），

=h′（t）＞0.

我们说在此区间内，函数h=h（t）是增函数.

再考察沙袋在区间（t₀，b）的运动情况：

在这个区间内，沙袋向下运动，其竖直向上的瞬时速度小于0.即，在区间（t₀，b），

h′（t）＜0.

我们说在此区间内，函数h=h（t）是减函数.

从以上实例能够看出，可以通过函数的导数来判断函数的单调性.我们进而得出用函数导数判断函数单调性的法则：

1.如果在（a，b）内，f′（x）＞0，则f（x）在此区间是增函数，（a，b）为f（x）的单调增区间；

2.如果在（a，b）内，f′（x）＜0，则f（x）在此区间是减函数，（a，b）为f（x）的单调减区间.

我们可以用s（t）与瞬时速度v（t）的关系来说明这个法则的正确性：

当v（t）=s′（t）＞0时，s（t）是增函数；当v（t）=s′（t）＜0时，s（t）是减函数.

我们还可以用函数曲线的切线的斜率来理解这个法则：

当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈上升状态.当切线斜率为负时，函数曲线呈下降状态（图1－8）.

如果函数y=f（x）在x的某个开区间内，总有f′（x）＞0，则f（x）在这个区间上是增函数；如果函数y=f（x）在x的某个开区间内，总有f′（x）＜0，则f（x）在这个区间上是减函数.

图1－7

（图1－8）

1.3.2　利用导数研究函数的极值

在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点.群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底的最低者的底部.

由此启发我们引出极值的概念，并经由极值求函数的最大（小）值.

已知函数y=f（x），设x₀是定义域（a，b）内任一点，如果对x₀附近的所有点x，都有

f（x）＜f（x₀），

则称函数f（x）在点x₀处取极大值.记作y_极大=f（x₀）.并把x₀称为函数f（x）的一个极大值点.如果在x₀附近都有

f（x）＞f（x₀），

则称函数f（x）在点x₀处取极小值，记作y极小=f（x₀）.并把x₀称为函数f（x）的一个极小值点.

极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.

函数f（x）的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值.

应注意，极值与最值不同，极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言.

下面，我们研究如何利用导数求函数的极值.

观察图1－12，我们可以看到曲线y=f（x）在极值点x₁，x₂，x₃处的切线与x轴平行

f′（x1）=0， f′（x2）=0， f′（x3）=0.

我们有如下结论：设x=x₀是y=f（x）的极值点，且f（x）在x=x₀是可导的，则必有f′（x₀）=0.

再观察一下在极大值点与极小值点附近函数及其导数的取值情况：

（1）在x=x₁处，f′（x₁）=0，在x₁左侧，f′（x）＞0，函数是增加的；在x₁右侧，f′（x）＜0，函数是减少的.x₁是f（x）的极大值点.

（2）在x=x2处，f′（x2）=0，在x2左侧，f′（x）＜0，函数是减少的；在x₂右侧，f′（x）＞0，函数是增加的.x₂是f（x）的极小值点.

（3）在x=x3处，f′（x3）=0，在x3左侧，f′（x）＞0，函数是增加的；在x₃右侧，f′（x）＜0，函数是减少的.x₃是f（x）的极大值点.

综合以上分析，我们得到求函数y=f（x）极值的如下方法：

第1步　求导数f′（x）；

第2步　求方程f′（x）=0的所有实数根；

第3步　考察在每个根x₀附近，从左到右，导函数f′（x）的符号如何变化.如果f′（x）的符号由正变负，则f（x₀）是极大值；如果由负变正，则f（x₀）是极小值.

如果在f′（x）=0的根x=x₀的左、右侧，f′（x）的符号不变，则f（x₀）不是极值.例如函数f（x）=x^（3（图1～13），有f′（0）=0，但x=0不是极值点.这就是说，f′（x）=0的根不一定都是函数的极值点.由此可见，可导函数f（x）在点x₀取得极值的充分必要条件是f′（x₀）=0，且在x₀左侧与右侧，f′（x）的符号不同.很明显，f′（x₀）=0是x₀为极值点的必要条件，并非充分条件.

如何求函数的最大（小）值呢？假设函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得.由于可导函数在区间（a，b）内的极值只可能在使f′（x）=0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f′（x）=0的点的值作比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为最小值.

例如，函数y=f（x）的图象如图1－14所示，函数在x=x₀处取得最小值f（x₀），在端点x=b取得最大值f（b）.

求函数y=f（x）在[a，b]的最大（小）值步骤如下：

第1步　求f（x）在开区间（a，b）内所有使f′（x）=0的点；

第2步　计算函数f（x）在区间内使f′（x）=0的所有

图1－12

（图1～13）

图1－14