1.1 集合与集合的表示方法
1.2 集合之间的关系与运算
2008年北京要举办第29届奥运会,奥运会组委会的工作非常繁重.例如,安排各代表团的吃、住、行就是一件大事,要考虑各地区、各民族的生活、饮食习惯,分别为他们准备餐厅;要统计各代表团中,运动员(分男、女)、工作人员(分男、女)的人数和名单,分别为他们准备住处;要统计参加各大项比赛的运动员、教练员和裁判员各有多少,分别为他们准备交通工具……
为了组织、安排好各项比赛,组委会还要统计参加每个小项目的运动员人数和名单.有的项目,例如羽毛球比赛,除了男、女单打,还有男双、女双、混双等,有的运动员要参加其中的两项甚至三项比赛,怎样收集、整理这些资料呢?……
我们设想建立这样一个模型,把参加奥运会的每个代表团都看成是一个集合,代表团中的每个成员就是这个集合的一个元素.这样,解决以上实际问题,就变成了研究这些集合之间的关系与性质的问题.当然,建立这样的数学模型也并非易事,它是一件复杂的工作,但运用本章学习的集合观点,借助计算机的帮忙,这些工作都能较容易地完成.
集合不仅在实际中有着广泛的应用,还是研究数学的一个重要工具,一种重要的数学语言.
我们知道,数学之所以能成为科学的基础和应用广泛的学科,一个重要的原因是数学使用了抽象的符号语言,通常我们把它称作数学语言.事实上,从小学到初中,你已经掌握了许多数学语言,并已经学着用数学语言表达自己的思想和解决一些问题.
学习数学的过程,也是逐渐理解数学语言的过程.例如,写出等式
a+b=b+a,
你会理解这个等式表达的含义:交换两个加数的顺序,它们的和不变.这就比用自然语言叙述要简明准确得多.
数学中的符号语言是我们人类的创造.通过学习,大家一定能够理解并掌握它.进入高中阶段,你将会学到更多更精确的数学语言.在这开篇的第一章,我们就要学习数学中最基础、最通用的数学语言:集合语言.用集合语言能精确地表达各类对象之间的关系,更简洁、更准确地表达相关的数学内容。
学好这一章可以为整个高中阶段的数学学习打下较好的基础,并将提高你运用数学语言,理解、表达和处理问题的能力.
集合一词与我们日常熟悉的整体、一类、一群等词语的意义相近.例如,数学书的全体、地球上人的全体、所有文具的全体等都可分别看成一些对象的集合.
我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号,都可以看作对象.一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
例如,把小于10的自然数
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中的各个数都看作对象,所有这些对象汇集在一起构成一个整体,我们就说由这些对象构成了一个集合.

康托尔(Cantor. G. F. L. P.,1845—1918).德国数学家,集合论的创始者.
节头图是中国体育代表团步入亚特兰大奥林匹克体育场的照片,代表团的309名成员构成一个集合.下面我们再举几个集合的例子:
(1)方程x^(2)=1的解的全体构成一个集合,其中每一个解都是这个集合的元素;
(2)平行四边形的全体构成一个集合,其中每一个平行四边形都是这个集合的一个元素;
(3)平面上与一个定点O的距离等于定长r的点的全体构成一个集合,这个集合是以O为圆心、半径长为r的圆.圆上的每个点都是这个集合的元素.
上面是我们用自然语言来描述集合的几个例子,下面我们将逐步引入集合语言来描述集合.
集合通常用英语大写字母A,B,C,…来表示,它们的元素通常用英语小写字母a,b,c,…来表示.
如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作
a∈A,
读作a属于A.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作
a
A,读作a不属于A.
我们考虑方程x+1=x+2的解的全体构成的集合,显然这个集合不含有任何元素.
一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作
.
关于集合概念,还要作如下说明:
(1)确定性:作为一个集合的元素,必须是确定的.这就是说,不能确定的对象就不能构成集合.也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.
(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的).这就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归人同一个集合时只能算作集合的一个元素.

集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:
含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集.
我们约定,用某些大写英语字母表示常用的一些数集:
非负整数全体构成的集合,叫做自然数集,记作N;
在自然数集内排除0的集合叫做正整数集,记作N+或N^(*);
整数全体构成的集合,叫做整数集,记作Z;
有理数全体构成的集合,叫做有理数集,记作Q;
实数全体构成的集合,叫做实数集,记作R.


如何表示一个集合呢?
如果一个集合是有限集,元素又不太多,常常把集合的所有元素都列举出来,写在花括号{ }内表示这个集合.例如,由两个元素0,1构成的集合可表示为
{0,1}.
又如,24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成的集合可以表示为
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
这种表示集合的方法叫做列举法.
有些集合的元素较多,元素的排列又呈现一定的规律,在不致于发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.
例如,不大于100的自然数的全体构成的集合,可表示为
{0, 1, 2, 3,…, 100}.
无限集有时也用上述的列举法表示.例如,自然数集N可表示为
{0, 1, 2, 3,…, n,…}.
由一个元素构成的集合,例如集合{a},要与它的元素a加以区别.a与{a}是完全不同的,a是集合{a}的一个元素,而{a}表示一个集合.例如,某个国家代表团只有一个人,这个人本身和这个人构成的代表团是完全不同的.
用列举法表示集合时,一般不必考虑元素的前后顺序.例如,集合{1,2}与{2,1}表示同一个集合.

一种更有效地描述集合的方法,是用集合中元素的特征性质来描述.
例如,正偶数构成的集合,它的每一个元素都具有性质
能被2整除,且大于0,
而这个集合外的其他元素都不具有这种性质.因此,我们可以用上述性质把正偶数集合表示为
{x∈R|x能被2整除,且大于0}或{x∈R|x=2n,n∈N+},
大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意一个元素,元素x从实数集合中取值,在竖线右边写出只有集合内的元素x才具有的性质.
一般地,如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.于是,集合A可以用它的特征性质p(x)描述为
{x∈I|p(x)},
它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.
例如,集合A={x∈R|x^(2)-1=0}的特征性质是
x^(2)-1=0.
在实数范围内,集合A的所有元素都满足方程x^(2)-1=0,满足方程x^(2)-1=0的所有元素也都在集合A内.因此,可用集合A来表示方程x^(2)-1=0的解集.
在求解方程时,通常用列举法表示方程的解集.例如方程x^(2)-1=0的解集,记为A={-1, 1}.
在不致发生误解时,x的取值集合可以省略不写.例如,在实数集R中取值,∈R常
常省略不写.上述集合A可以写作{x|x^(2)-1=0}.

在几何中,通常用大写字母表示点(元素),用小写字母表示点的集合,应注意区别.


考察集合
A={1, 3}, B={1, 3, 5, 6};
C={x|x是长方形},D={x|x是平行四边形};
P={x|x是菱形},Q={x|x是正方形}.
容易看出,集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,集合C中的任意一个元素都是集合D的元素,而集合P中的元素不都是集合Q的元素.
一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作
A
B或B
A,
读作A包含于B,或B包含A.
如果集合P中存在着不是集合Q的元素,那么集合P不包含于Q,或Q不包含P.分别记作
P
Q或Q
P.
依照上述定义,任意一个集合A都是它本身的子集,即A
A.
我们规定:空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A,都有

A.
如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作
A
B或B
A,
读作A真包含于B,或B真包含A.
例如,
A={1, 2}, B={1, 2, 3, 4},
由观察可知,A是B的子集,但3∈B,3
A,因此A是B的真子集,即A
B.
符号∈与符号
表达的含义相同吗?
我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合(图1-1(1)).用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩(Venn)图.
如果集合A是集合B的真子集,那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(图1-1(2)).
根据子集、真子集的定义可以推知:
对于集合A,B,C,如果A
B,B
C,则A
C;
对于集合A,B,C,如果A
B,B
C,则A
C.

考察集合
A={x|(x+1)(x+2)=0}, B={-1,-2}.
可以看出,集合A和集合B的元素完全相同,只是表达形式不同.
一般地,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就说集合A等于集合B,记作
A=B.
由相等的定义,可得:
如果A
B,又B
A,则A=B;反之,如果A=B,则A
B,且B
A.
集合的相等与集合的特征性质有关系吗?


已知Q={x|x是有理数},R={x|x是实数},容易判断Q是R的子集,即Q
R.
如果再考虑它们的特征性质之间的关系,也容易判断命题
如果x是有理数,则x是实数
是正确的命题.
这个命题,还可以表述为
x是有理数推出x是实数.
推出一词用符号
表示,读作推出.于是上述命题可以表述为
x是有理数
x是实数.
反过来,如果上述命题正确,那么有理数集Q也一定是实数集R的子集.
由此可见,我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系.或用集合特征性质之间的关系,判断集合之间的关系.
例如,
北京市居民构成的集合一定是中国居民构成的集合的子集.
由此,我们一定可以判断:
如果我是北京市的居民,则我是中国居民是正确的命题.
反过来,如果上述命题正确,则北京市居民的集合一定是中国居民集合的子集.
一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.如果A
B,则
x∈A
x∈B.
于是x具有性质p(x)
x具有性质q(x),即
p(x)
q(x).
反之,如果p(x)
q(x),则A一定是B的子集.
如果命题p(x)
q(x)和命题q(x)
p(x),都是正确的命题,这时我们常说,一个命题的条件和结论可以互相推出.互相推出可用符号
表示.于是,上述两个正确的互逆命题可表示为
p(x)
q(x).
显然,如果p(x)
q(x),则A=B;反之,如果A=B,则p(x)
q(x).


两个集合能进行运算吗?
过去我们只对数或式进行算术运算或代数运算,这里集合运算的含义是,由两个已知的集合,按照某种指定的法则,构造出一个新的集合.
已知
A={1, 2, 3, 4, 5}, B={3, 4, 5, 6, 8},
由这两个集合的所有公共元素构成一个新的集合
{3, 4, 5}.
一般地,对于两个给定的集合A,B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫做A,B的交集,记作
A∩B,
读作A交B.例如,
{1, 2, 3, 4,5}∩{3, 4, 5, 6,8}={3, 4, 5}.
又如,直线l与⊙O相交于两点A,B(图1-2),用集合语言可表示为
l∩⊙O={A, B}.
两个集合A,B的交集可用图1-3中的阴影部分表示.
由交集的定义可知,对于任意两个集合A,B,都有
A∩B=B∩A;
A∩A=A;
A∩
=
∩A=
;
如果A
B,则A∩B=A.

已知
A={1, 3, 5}, B={2, 3, 4, 6},
由这两个集合的所有元素构成一个新的集合
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
一般地,对于两个给定的集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做A与B的并集,记作
A∪B,
读作A并B.例如,
{1, 3, 5}∪{2, 3, 4, 6}={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
集合A与B的并集,可用图1-4(1)或(2)中的阴影表示.
在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次.
由并集的定义可知,对于任意两个集合A,B,有
A∪B=B∪A;
A∪A=A;
A∪
=
∪A=A;
如果A
B,则A∪B=B.

注
例5可直接应用并集的性质给出:因为Z
Q,所以Q∪Z=Q.

在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.
例如,我们在研究数集时,常常把实数集R作为全集.如果我们讨论的数仅限为自然数,我们可取自然数集N为全集.
如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作
UA,读作A在U中的补集.
全集通常用矩形区域表示.全集与它的任意一个真子集之间的关系,可用维恩图表示,如图1-5.
由补集定义可知,对于任意集合A,有
A∪
UA=U, A∩
UA=
,
U(
UA)=A.



Ⅰ 知识结构




华罗庚是国际著名的数学家,又是一位伟大的爱国主义者.1950年,他响应祖国的召唤,毅然从美国回到北京,投身于社会主义建设事业并作出了重大贡献.1979年他光荣加入了中国共产党.1985年6月12日在访日作学术报告的讲台上,不幸逝世.党和国家对他的一生作了高度的评价.
华罗庚1910年11月12日出生于江苏金坛一个贫苦家庭.1924年,他初中毕业因家境贫寒而辍学.为学点本事养家糊口,他考取了上海中华职业学校学习会计,又因交不起学费,只上了一年就离开了学校,在其父经营的小杂货铺里帮工当学徒.渴望学习的他,只能利用业余时间刻苦自学数学.1929年,他在金坛中学任庶务主任,并开始在上海《科学》杂志发表论文.1930年他19岁时写的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》一文,受到清华大学数学系主任熊庆来先生的赞赏,邀请他到清华大学边工作边进修.到清华大学后,他更加勤奋学习数学,四年中打下了坚实的数学基础,并自学了英文、法文和德文.同期,仅数论这一分支他就写了十几篇高水平的论文,成为一名优秀的青年数学家.这时他从管理员升为助教,继而晋升为讲师.1936~1938年他作为访问学者,到英国剑桥大学工作并深造.抗日战争爆发后回国.因成绩卓著,他于1938~1946年受聘为西南联合大学教授.当时,他生活条件极为艰苦,白天教学,晚上在柴油灯下孜孜不倦地从事研究工作.著名的《堆垒素数论》就是在这样的条件下写成的.1945年,他应苏联科学院的邀请赴苏旅行和讲学,受到热烈欢迎.1946年,他应美国普林斯顿高等研究院的邀请任研究员,在普林斯顿大学执教,后被伊利诺伊大学聘任为终身教授.1950年回国后,他担任我国科学界诸多重要职务.回顾他的一生,只有一张初中文凭,却成为蜚声中外的杰出数学家.靠什么呢?华罗庚从不迷信天才,他说:聪明在于学习,天才由于积累.他就靠刻苦自学、靠勤奋钻研,给人类留下了近300篇学术论文和多种学术专著,写了10多种科普读物.他在晚年已有很高的声望和地位,但仍手不释卷,顽强地读和写,他说:树老易空,人老易松,科学之道,戒之以空,戒之以松,我愿一辈子从实而终.发白才知智叟呆,埋头苦干向未来.勤能补拙是良训,一分辛苦一分才.这是他留给我们的多么宝贵的精神财富啊!
